Desafios da Morfologia Matemáticapara Imagens Coloridas
MT 530 / MS 960 – Álgebra de Imagens
Marcos Eduardo Valle
8 de Junho de 2018
Marcos Eduardo Valle Morfologia Matemática 8 de Junho de 2018 1 / 50
Introdução
A morfologia matemática (MM) é um conjunto de ferramentasmatemáticas utilizada para análise e processamento de imagens.
A palavra morfologia tem suas origens no estudo das formas.
Com efeito, a MM usa conceitos geométricos e topológicos.
A MM foi desenvolvida inicialmente por Georges Matheron e JeanSerra nos anos 60s para a análise de imagens binárias (preto ebranco).
Uma imagem binária A pode ser vista como um subconjunto de umdomínio D, em que D ⊆ R2 ou D ⊆ Z2.
Marcos Eduardo Valle Morfologia Matemática 8 de Junho de 2018 2 / 50
Exemplo de Imagem Binária
Imagem binária de tamanho 1200× 1200.
200 400 600 800 1000 1200
200
400
600
800
1000
1200
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Operadores Elementares da MM
Os dois operadores elementares da morfologia matemática são adilatação e a erosão.
Outros operadores são obtidos combinando os dois operadoreselementares.
Ambos dilatação e erosão extraem informações geométricasusando um elemento estruturante (SE) S, em que S ⊆ Z2 ouS ⊆ R2, tal como o domínio da imagem D.
Marcos Eduardo Valle Morfologia Matemática 8 de Junho de 2018 4 / 50
Erosão
A erosão de uma imagem binária A por um SE S é o conjunto detodos os pontos nos quais S “cabe” em A.
Formalmente, a erosão de A por S é
εS(A) = {x : Sx ⊆ A},
em queSx = {s + x : s ∈ S},
denota a translação de S por x .
Marcos Eduardo Valle Morfologia Matemática 8 de Junho de 2018 5 / 50
Exemplo – Erosão
Erosão (vermelho) da imagem binária (preto) pela bola:
200 400 600 800 1000 1200
200
400
600
800
1000
1200
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Formulação Alternativa para Erosão
Usando a teoria dos conjuntos, podemos mostrar que:
x ∈ εS(A) ⇐⇒ Sx ⊆ A⇐⇒ x + s ∈ A, ∀s ∈ S⇐⇒ x ∈ A−s, ∀s ∈ S
⇐⇒ x ∈⋂s∈S
A−s.
A erosão corresponde a intersecção de translações da imagem A.
Essa formulação, além da contribuição teórica, é particularmenteútil do ponto de vista computacional.
Marcos Eduardo Valle Morfologia Matemática 8 de Junho de 2018 7 / 50
Dilatação
A dilatação é o conjunto de todos os pontos nos quais o elementoestruturante S “acerta” a imagem binária A.
Em termos matemáticos, a dilatação de A por S é
δS(A) = {x : Sx ∩ A 6= ∅}.
Equivalentemente, a dilatação corresponde à união de translaçõesda imagem A:
δS(A) =⋃s∈S
A−s.
A dilatação é também obtida “carimbando” o elemento estruturanterefletido:
δS(A) =⋃a∈A
Sa, em que S = {−s : s ∈ S}.
Marcos Eduardo Valle Morfologia Matemática 8 de Junho de 2018 8 / 50
Exemplo – Dilatação
Dilatação (azul) da imagem binária (preto) pela bola:
200 400 600 800 1000 1200
200
400
600
800
1000
1200
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Dualidade: Complemento e Adjunção
Usando a leis de De Morgan, concluímos que a erosão e a dilataçãosão duais com respeito ao complemento:
[εS(Ac)]c
=
[⋂s∈S
(A−s
)c
]c
=⋃s∈S
A−s = δS(A).
Dilatação e erosão não são operadores inversos, mas formam umaadjunção:
δS(A) ⊆ B ⇐⇒ A ⊆ εS(B).
Obs: O conceito de adjunção está relacionado ao conceito deconexão de Galois da álgebra.
Marcos Eduardo Valle Morfologia Matemática 8 de Junho de 2018 10 / 50
Abertura e Fechamento
Os demais operadores da morfologia matemática são obtidoscombinando dilatações e erosões.
A abertura e o fechamento de uma imagem binária A por umelemento estruturante S são
γS(A) = δS
(εS(A)
)e φS(A) = εS
(δS(A)
).
A abertura pode ser reformulada como
γS(A) =⋃{Sx : Sx ⊆ A},
ou seja, a abertura é obtida “carimbando” o elemento estruturante Squando ele “cabe” na imagem A.
Interpretação semelhante vale para o fechamento.Marcos Eduardo Valle Morfologia Matemática 8 de Junho de 2018 11 / 50
Exemplo – Abertura
Abertura (vermelho) da imagem binária (preto) pela bola:
200 400 600 800 1000 1200
200
400
600
800
1000
1200
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Abertura e Fechamento
A abertura e o fechamento são operadores idempotentes:
γS
(γS(A)
)= γS(A) e φS
(φS(A)
)= φS(A)
e satisfazemγS(A) ⊆ A ⊆ φS(A).
O fecho e o interior, relacionados a topologia usual do Rn, tambémsatisfazem propriedades semelhantes!
Com efeito, obtemos uma topologia considerando a família dospontos fixos de γS, ou seja,
{A : γS(A) = A},
é uma topologia definida pelo elemento estruturante.Marcos Eduardo Valle Morfologia Matemática 8 de Junho de 2018 13 / 50
Imagens em Tons de Cinza
Uma imagem em tons de cinza é uma função f : D → T, em que• D ⊆ Z2 ou D ⊆ R2 é o domínio da imagem.• T = [0,1] ou T = {0,1, . . . ,255} é o conjunto de tons de cinza.
Exemplo:
200 400 600 800 1000 1200
200
400
600
800
1000
1200
Marcos Eduardo Valle Morfologia Matemática 8 de Junho de 2018 14 / 50
MM para Imagens em Tons de Ciza
Os operadores elementares da MM para imagens em tons de cinzasão obtidos fazendo cortes na imagem f .
O limiar de nível α de f é o conjunto
[f ]α = {x ∈ D : f (x) ≥ α}.
A imagem f pode ser obtida “empilhando” os limiares de f :
f (x) = sup{α ∈ T : x ∈ [f ]α}.
Marcos Eduardo Valle Morfologia Matemática 8 de Junho de 2018 15 / 50
Limiares de Nível
Imagem em tons de cinza f :
200 400 600 800 1000 1200
200
400
600
800
1000
1200
Marcos Eduardo Valle Morfologia Matemática 8 de Junho de 2018 16 / 50
Limiares de Nível
Limiar de Nível α = 1:
200 400 600 800 1000 1200
200
400
600
800
1000
1200
Marcos Eduardo Valle Morfologia Matemática 8 de Junho de 2018 16 / 50
Limiares de Nível
Limiar de Nível α = 25:
200 400 600 800 1000 1200
200
400
600
800
1000
1200
Marcos Eduardo Valle Morfologia Matemática 8 de Junho de 2018 16 / 50
Limiares de Nível
Limiar de Nível α = 50:
200 400 600 800 1000 1200
200
400
600
800
1000
1200
Marcos Eduardo Valle Morfologia Matemática 8 de Junho de 2018 16 / 50
Limiares de Nível
Limiar de Nível α = 75:
200 400 600 800 1000 1200
200
400
600
800
1000
1200
Marcos Eduardo Valle Morfologia Matemática 8 de Junho de 2018 16 / 50
Limiares de Nível
Limiar de Nível α = 100:
200 400 600 800 1000 1200
200
400
600
800
1000
1200
Marcos Eduardo Valle Morfologia Matemática 8 de Junho de 2018 16 / 50
Limiares de Nível
Limiar de Nível α = 125:
200 400 600 800 1000 1200
200
400
600
800
1000
1200
Marcos Eduardo Valle Morfologia Matemática 8 de Junho de 2018 16 / 50
Limiares de Nível
Limiar de Nível α = 150:
200 400 600 800 1000 1200
200
400
600
800
1000
1200
Marcos Eduardo Valle Morfologia Matemática 8 de Junho de 2018 16 / 50
Dilatação e Erosão em Tons de Cinza
Dado um elemento estruturante S, definimos a erosão e a dilataçãode f por S “empilhando” a erosão e a dilatação dos limiares de nível.
Em termos matemáticos, temos
εS(f )(x) = sup{α : x ∈ εS([f ]α)},
eδS(f )(x) = sup{α : x ∈ δS
([f ]α)}.
Marcos Eduardo Valle Morfologia Matemática 8 de Junho de 2018 17 / 50
Exemplo – Erosão e Dilatação em Tons de Cinza
Imagem em tons de cinza f :
200 400 600 800 1000 1200
200
400
600
800
1000
1200
Marcos Eduardo Valle Morfologia Matemática 8 de Junho de 2018 18 / 50
Exemplo – Erosão e Dilatação em Tons de Cinza
Erosão da imagem em tons de cinza pela bola:
200 400 600 800 1000 1200
200
400
600
800
1000
1200
Marcos Eduardo Valle Morfologia Matemática 8 de Junho de 2018 18 / 50
Exemplo – Erosão e Dilatação em Tons de Cinza
Dilatação da imagem em tons de cinza pela bola:
200 400 600 800 1000 1200
200
400
600
800
1000
1200
Marcos Eduardo Valle Morfologia Matemática 8 de Junho de 2018 18 / 50
Formulação Alternativa para Erosão e Dilatação
Sabemos que
x ∈ εS([f ]α)⇐⇒ Sx ⊆ [f ]α
⇐⇒ x + s ∈ [f ]α, ∀s ∈ S⇐⇒ f (x + s) ≥ α, ∀s ∈ S
Logo,
εS(f )(x) = sup{α : x ∈ εS([f ]α)}
= sup{α : f (x + s) ≥ α, s ∈ S}= inf
s∈S{f (x + s)}.
Analogamente, temos:
δS(f )(x) = sups∈S{f (x + s)}.
Marcos Eduardo Valle Morfologia Matemática 8 de Junho de 2018 19 / 50
Dualidade com respeito à Negação
A negação de uma imagem em tons de cinza f é a imagemf c : D → T dada por
f c(x) = tmax − f (x), ∀x ∈ D,
em que tmax representa o maior valor de T:
tmax =
{1, T = [0,1],
255, T = {0,1, . . . ,255}.
A erosão e a dilatação em tons de cinza são duais com respeito ànegação:
[εS(f c)]c
= tmax − infs∈S{tmax − f (x + s)} = sup
s∈S{f (x + s)} = δS(f ).
Marcos Eduardo Valle Morfologia Matemática 8 de Junho de 2018 20 / 50
Abertura e Fechamento em Tons de Cinza
Operadores da morfologia matemática em tons de cinza tambémsão obtidos combinando dilatações e erosões.
A abertura e o fechamento de uma imagem em tons de cinza f porum elemento estruturante S são
γS(f ) = δS
(εS(f )
)e φS(f ) = εS
(δS(f )
).
Pode-se mostrar que esses operadores são operadoresidempotentes
γS
(γS(f )
)= γS(f ) e φS
(φS(f )
)= φS(f )
e satisfazem a relação
γS(f )(x) ⊆ f (x) ⊆ φS(f )(x), ∀x ∈ D.
Marcos Eduardo Valle Morfologia Matemática 8 de Junho de 2018 21 / 50
Exemplo – Abertura e Fechamento
Imagem em tons de cinza f :
200 400 600 800 1000 1200
200
400
600
800
1000
1200
Marcos Eduardo Valle Morfologia Matemática 8 de Junho de 2018 22 / 50
Exemplo – Abertura e Fechamento
Abertura da imagem em tons de cinza pela bola:
200 400 600 800 1000 1200
200
400
600
800
1000
1200
Marcos Eduardo Valle Morfologia Matemática 8 de Junho de 2018 22 / 50
Exemplo – Abertura e Fechamento
Fechamento da imagem em tons de cinza pela bola:
200 400 600 800 1000 1200
200
400
600
800
1000
1200
Marcos Eduardo Valle Morfologia Matemática 8 de Junho de 2018 22 / 50
Analogias entre as Abordagens
A erosão e a dilatação para imagens binárias
εS(A) =⋂s∈S
A−s e δS(A) =⋃s∈S
A−s,
dependem da intersecção e da união.
A erosão e a dilatação para imagens em tons de cinza
εS(f )(x) = infs∈S{f (x + s)} e δS(f )(x) = sup
s∈S{f (x + s)},
dependem do máximo e do mínimo.
De um modo geral, a MM pode ser muito bem conduzida numaestrutura matemática chamada reticulado completo.
Marcos Eduardo Valle Morfologia Matemática 8 de Junho de 2018 23 / 50
Reticulado Completo
Um reticulado completo L é um conjunto parcialmente ordenado emque todo subconjunto (finito ou infinito) possui supremo e ínfimo.
Exemplo 1
Tanto o intervalo [0,1] como o conjunto discreto {0,1, . . . ,255} sãoreticulados completos com a ordem usual. Contudo, o conjunto dosnúmeros reais R não é um reticulado completo!
Exemplo 2
O conjunto das partes de D, P(D), é um reticulado completo emque o supremo é a união e o ínfimo é a intersecção.
O Exemplo 2 mostra que o espaço de todas as imagens binárias éum reticulado completo!
Marcos Eduardo Valle Morfologia Matemática 8 de Junho de 2018 24 / 50
Exemplo 3
Seja T um reticulado completo. A família de todas as funçõesf : D → T é um reticulado completo com a ordem parcial induzida
f ≤ g ⇐⇒ f (x) ≤ g(x), ∀x ∈ D.
O ínfimo e o supremo de uma família de funções F , são dados por
(inf F) (x) = inf{f (x) : f ∈ F} e (supF) (x) = sup{f (x) : f ∈ F}.
O Exemplo 3 mostra que o espaço de todas as imagens em tons decinza é um reticulado completo!
Podemos definir os operadores da morfologia matemática em umreticulado completo usando o conceito de adjunção!
Marcos Eduardo Valle Morfologia Matemática 8 de Junho de 2018 25 / 50
Morfologia Matemática em Reticulados Completos
Definição 4 (Adjunção, Erosão e Dilatação)
Seja L um reticulado completo. Dizemos que dois operadoresε : L → L e δ : L → L formam uma adjunção se
δ(x) ≤ y ⇐⇒ x ≤ ε(y).
Nesse caso,• ε é uma erosão.• δ é uma dilatação.
Além disso, pode-se mostrar que as composições
γ = δ ◦ ε e φ = ε ◦ δ,
representam respectivamente uma abertura e um fechamento.Marcos Eduardo Valle Morfologia Matemática 8 de Junho de 2018 26 / 50
Teorema 5A erosão binária e a dilatação binária formam uma adjunção:
δS(A) ⊆ B ⇐⇒ A ⊆ εS(A).
Demonstração:
δB(A) ⊆ B ⇐⇒⋃s∈S
A−s ⊆ B,
⇐⇒ As ⊆ B,∀s ∈ S⇐⇒ a + s ∈ B, ∀s ∈ S,∀a ∈ A,⇐⇒ a ∈ B−s, ∀s ∈ S, ∀a ∈ A,
⇐⇒ a ∈⋂s∈S
B−s,∀a ∈ A,
⇐⇒ a ∈ εS(B),∀a ∈ A,⇐⇒ A ⊆ εS(B).
Marcos Eduardo Valle Morfologia Matemática 8 de Junho de 2018 27 / 50
Teorema 6A erosão e a dilatação em tons de cinza formam uma adjunção:
δS(f ) ≤ g ⇐⇒ f ≤ εS(g).
Demonstração:
δS(f ) ≤ g ⇐⇒ δS(f )(x) ≤ g(x), ∀x ∈ D⇐⇒ sup
s∈S{f (x + s)} ≤ g(x),∀x ∈ D
⇐⇒ f (x − s) ≤ g(x), ∀s ∈ S,∀x ∈ D⇐⇒ f (y) ≤ g(y + s), ∀s ∈ S,∀y ∈ D⇐⇒ f (y) ≤ inf
s∈Sg(y + s),∀y ∈ D
⇐⇒ f (y) ≤ εS(g)(y),∀y ∈ D⇐⇒ f ≤ εS(g).
Marcos Eduardo Valle Morfologia Matemática 8 de Junho de 2018 28 / 50
Morfologia Matemática para Imagens Coloridas
Uma imagem coloria é uma função f : D → C, em que• D ⊆ Z2 ou D ⊆ R2 é o domínio da imagem.• C, geralmente um subconjunto de R3, é o espaço (ou conjunto)
das cores. Aqui, focaremos no espaço RGB.
A morfologia matemática em reticulados completos permite definiroperadores para imagens coloridas como segue:
εS(f )(x) = infs∈S{f (x + s)} e δS(f )(x) = sup
s∈S{f (x + s)}.
O maior desafio da morfologia matemática colorida é encontraruma ordem apropriada de modo que o espaço das cores seja umreticulado completo!
Marcos Eduardo Valle Morfologia Matemática 8 de Junho de 2018 29 / 50
Espaço RGB
No espaço RGB, denotado por CRGB = [0,1]× [0,1]× [0,1], umacor c = (cr , cg , cb) ∈ CRGB é escrita em termos das primitivas:• Vermelho (R, red),• Verde (G, green),• Azul (B, blue).
Marcos Eduardo Valle Morfologia Matemática 8 de Junho de 2018 30 / 50
Ordem Marginal
Podemos definir a seguinte ordem parcial em CRGB:
c ≤M c′ ⇐⇒ cr ≤ c′r , cg ≤ c′g e cb ≤ c′b.
Nesse caso, o ínfimo e o supremo de um conjunto de cores édeterminado componente-a-componente.
Exemplo 7
infM{ (1,1,0)︸ ︷︷ ︸amarelo
, (1,0,1)︸ ︷︷ ︸magenta
} = (1,0,0)︸ ︷︷ ︸vermelho
,
esupM{ (1,1,0)︸ ︷︷ ︸
amarelo
, (1,0,1)︸ ︷︷ ︸magenta
} = (1,1,1)︸ ︷︷ ︸branco
.
Marcos Eduardo Valle Morfologia Matemática 8 de Junho de 2018 31 / 50
Erosão e Dilatação Marginal
A erosão e a dilatação de uma imagem colorida com a ordemmarginal é determinada aplicando os operadores em tons de cinzaem cada canal de cor.
Formalmente, tem-se
εS(f )(x) =
(infs∈S{fr (x + s)}, inf
s∈S{fg(x + s)}, inf
s∈S{fb(x + s)}
),
e
δS(f )(x) =
(sups∈S{fr (x + s)}, sup
s∈S{fg(x + s)}, sup
s∈S{fb(x + s)}
).
Marcos Eduardo Valle Morfologia Matemática 8 de Junho de 2018 32 / 50
Exemplo – Erosão e Dilatação Marginal
Imagem colorida f :
200 400 600 800 1000 1200
200
400
600
800
1000
1200
Marcos Eduardo Valle Morfologia Matemática 8 de Junho de 2018 33 / 50
Exemplo – Erosão e Dilatação Marginal
Erosão da imagem colorida.
200 400 600 800 1000 1200
200
400
600
800
1000
1200
Marcos Eduardo Valle Morfologia Matemática 8 de Junho de 2018 33 / 50
Exemplo – Erosão e Dilatação Marginal
Dilatação da imagem colorida.
200 400 600 800 1000 1200
200
400
600
800
1000
1200
Marcos Eduardo Valle Morfologia Matemática 8 de Junho de 2018 33 / 50
Comentários:
• A abordagem marginal não leva em consideração a correlaçãoentre os canais de cores!
• A abordagem marginal pode introduzir “cores falsas”, isto é,cores que não pertencem a imagem original!
Marcos Eduardo Valle Morfologia Matemática 8 de Junho de 2018 34 / 50
Abordagem Lexicográfica
Na abordagem lexicográfica, as cores são ordenadassequencialmente como segue:
c ≤L c′ ⇐⇒
cr < c′r ,cr = c′r e cg < c′g ,cr = c′r , cg = c′g e cb ≤ c′b.
Exemplo 8
infL{ (1,1,0)︸ ︷︷ ︸amarelo
, (1,0,1)︸ ︷︷ ︸magenta
} = (1,0,1)︸ ︷︷ ︸magenta
,
esupL{ (1,1,0)︸ ︷︷ ︸
amarelo
, (1,0,1)︸ ︷︷ ︸magenta
} = (1,1,1)︸ ︷︷ ︸amarelo
.
Marcos Eduardo Valle Morfologia Matemática 8 de Junho de 2018 35 / 50
Exemplo – Erosão e Dilatação Lexicográfica
Imagem colorida f :
200 400 600 800 1000 1200
200
400
600
800
1000
1200
Marcos Eduardo Valle Morfologia Matemática 8 de Junho de 2018 36 / 50
Exemplo – Erosão e Dilatação Lexicográfica
Erosão da imagem colorida.
200 400 600 800 1000 1200
200
400
600
800
1000
1200
Marcos Eduardo Valle Morfologia Matemática 8 de Junho de 2018 36 / 50
Exemplo – Erosão e Dilatação Lexicográfica
Dilatação da imagem colorida.
200 400 600 800 1000 1200
200
400
600
800
1000
1200
Marcos Eduardo Valle Morfologia Matemática 8 de Junho de 2018 36 / 50
Comentários:
A ordem lexicográfica é uma ordem total, isto é, sempre podemoscomparar duas cores.
Numa ordem total, tanto o supremo como o ínfimo de um conjuntofinito é um elemento do conjunto.
Uma ordem total, incluindo a ordem lexicográfica, não introduzcores falsas!
Por outro lado, a ordem lexicográfica prioriza muito o primeiro canalde cor!
Marcos Eduardo Valle Morfologia Matemática 8 de Junho de 2018 37 / 50
Abordagem Baseada em Distância
Na abordagem baseada em distância, as cores são ordenadasusando a distância à uma certa cor de referência r e seguida deuma cascada lexicográfica para evitar ambiguidades:
c ≤r c′ ⇐⇒
{d(r , c) > d(r , c′),d(r , c) = d(r , c′) e cr ≤L c′r .
Note que a cor maior é aquela mais próxima da referência r .
A ordem baseada em distância é uma ordem total. Logo, nãointroduz cores falsas!
Marcos Eduardo Valle Morfologia Matemática 8 de Junho de 2018 38 / 50
Exemplo 9
Considere r = (0,1,0) (verde).Note que
d(
(1,1,0)︸ ︷︷ ︸amarelo
, (0,1,0)︸ ︷︷ ︸verde
)= 1 e d
((1,0,1)︸ ︷︷ ︸
magenta
, (0,1,0)︸ ︷︷ ︸verde
)=√
3.
Logo,infr{ (1,1,0)︸ ︷︷ ︸
amarelo
, (1,0,1)︸ ︷︷ ︸magenta
} = (1,0,1)︸ ︷︷ ︸magenta
,
esupr{ (1,1,0)︸ ︷︷ ︸
amarelo
, (1,0,1)︸ ︷︷ ︸magenta
} = (1,1,1)︸ ︷︷ ︸amarelo
.
Marcos Eduardo Valle Morfologia Matemática 8 de Junho de 2018 39 / 50
Exemplo – Erosão e Dilatação em Distância
Imagem colorida f :
200 400 600 800 1000 1200
200
400
600
800
1000
1200
Marcos Eduardo Valle Morfologia Matemática 8 de Junho de 2018 40 / 50
Exemplo – Erosão e Dilatação em Distância
Dilatação da imagem colorida com r = (1,0,0) (vermelho).
200 400 600 800 1000 1200
200
400
600
800
1000
1200
Marcos Eduardo Valle Morfologia Matemática 8 de Junho de 2018 40 / 50
Exemplo – Erosão e Dilatação em Distância
Dilatação da imagem colorida com r = (1,0.65,0) (laranja).
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Exemplo – Erosão e Dilatação em Distância
Dilatação da imagem colorida com r = (0,0,1) (azul).
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Exemplo – Erosão e Dilatação em Distância
Erosão da imagem colorida com r = (0,0,1) (azul).
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Comentários:
• A abordagem baseada em distância permite uma flexibilidademaior dos operadores da MM para imagens coloridas.
• Porém, requer a escolha apropriada da cor de referência!
• A dilatação baseada em distância expande objetos da cor dareferência r .
• A erosão, porém, não possui uma interpretação simples porque édifícil caracterizar os elementos mais distantes da referência r .
• Nas abordagens binária e em tons de cinza, a erosão e adilatação são duais com respeito ao complemento ou à negação.
• A dualidade com respeito a negação não é trivial na abordagembaseada em distância. De fato, falamos apenas emquase-dualidade porque ela não existe para algumas cores dereferência!Marcos Eduardo Valle Morfologia Matemática 8 de Junho de 2018 41 / 50
Ordem Total-h
A ordem baseada em distância pode ser vista como uma casoparticular de uma ordem reduzida total definida como segue.
Considere uma função contínua h : C→ T que transforma o espaçode cores num reticulado completo com a ordem natural de R.A ordem total-h “≤h” é definida como segue para c, c′ ∈ C:
c ≤h c′ ⇐⇒
{h(c) < h(c′)h(c) = h(c′) e c ≤L c′.
Na ordem baseada em distância temos hr (c) = κ(c, r), em que κ é afunção de base radial Gaussiana dada equação abaixo para σ > 0:
κ(c, r) = exp
(−d2(c, r)
2σ2
).
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Ordem-h Supervisionada
Em muitas situações, estamos interessados em discriminar coresde frente (foreground) e fundo (background).
A ordem-h supervisionada, introduzida por Velasco-Forero eAngulo, generaliza a ordem baseada em distância permitindo aousuário informar conjuntos de cores de frente e fundo.
Especificamente, sejam
F = {f1, f2, . . . , fK} e B = {b1,b2, . . . ,bM},
conjuntos de cores de referência de frente e fundo. Numa ordem-hsupervisionada, espera-se que h : C→ T satisfaça as condições
h(fi) = tmax, ∀i = 1, . . . ,K , e h(bj) = tmin, ∀j = 1, . . . ,M,
em que tmax e tmin denotam o maior e o menor elemento de T.Marcos Eduardo Valle Morfologia Matemática 8 de Junho de 2018 43 / 50
Ordem-h Supervisionada Fuzzy
A função hr : C → [0,1] dada por hr (c) = κ(c, r) pode serinterpretada como uma função de pertinência de uma cor fuzzy.Nesse caso, o valor hr (c) representa o valor com que c écompatível com a cor de referência r .
No caso supervisionado, definimos a função de pertinência noforeground caracterizado pelas cores F = {f1, f2, . . . , fK} como
F (c) = κ(c, f1) ∨ κ(c, f2) ∨ . . . ∨ κ(c, fK ), ∀c ∈ C.
Em palavras, F (c) representa compatibilidade da cor c com f1 oucom f2 ou ... ou com fK .
Analogamente, a função de pertinência no backgroundcaracterizado pelas cores B = {b1,b2, . . . ,bM} é
B(c) = κ(c,b1) ∨ κ(c,b2) ∨ . . . ∨ κ(c,bM), ∀c ∈ C.
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Finalmente, podemos definir a função hfuzzy : C→ [0,1] comosendo o grau de veracidade da afirmação:
“a cor c é uma cor de frente mas não é uma cor de fundo”.
Em termos matemáticos, temos
hfuzzy(c) = F (c) ∧ (1− B(c)), ∀c ∈ C.
Observe que o supremo e o ínfimo no reticulado completo(C,≤hfuzzy) possuem uma interpretação direta com respeito aosconjuntos de cores de frente (foreground) e fundo (background).
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Exemplo – Erosão e Dilatação com a Ordem-hfuzzyImagem colorida f . Escolhemos F = {�,�} e B = {�,�}.
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Exemplo – Erosão e Dilatação com a Ordem-hfuzzyErosão com F = {�,�} e B = {�,�}.
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Exemplo – Erosão e Dilatação com a Ordem-hfuzzyDilatação com F = {�,�} e B = {�,�}.
200 400 600 800 1000 1200
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Exemplo – Imagem Natural e a Ordem-hfuzzyImagem colorida f . Escolhemos F = {�,�,�,�,�} e B = {�,�}.
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Exemplo – Imagem Natural e a Ordem-hfuzzyDilatação com F = {�,�,�,�,�} e B = {�,�}.
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Exemplo – Imagem Natural e a Ordem-hfuzzyErosão com F = {�,�,�,�,�} e B = {�,�}.
Marcos Eduardo Valle Morfologia Matemática 8 de Junho de 2018 47 / 50
Exemplo – Imagem Natural e a Ordem-hfuzzyFechamento com F = {�,�,�,�,�} e B = {�,�}.
Marcos Eduardo Valle Morfologia Matemática 8 de Junho de 2018 47 / 50
Exemplo – Imagem Natural e a Ordem-hfuzzyAbertura com F = {�,�,�,�,�} e B = {�,�}.
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Irregularidade de uma Ordem Total
Uma ordem total não introduz cores falsas. Contudo, a topologiainduzida por uma ordem total não reproduz a topologia natural deum espaço métrico:
Teorema 10 (Chevallier e Angulo, 2016)
Seja (C,d) um espaço métrico equipado com uma ordem total ≤.Se existem τ > 0 e três pontos c1, c2, c3 ∈ C tais que d(ci , cj) > τpara todo i 6= j e o complemento Bc(ci , ε) da bolas B(ci , ε) sãoconexos, então existem pontos x , y , z ∈ C tais que
x ≤ y ≤ z mas d(x , z) < d(x , y).
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Desafios da Morfologia Matemática Colorida
• É possível medir, usando teoria da medida, a irregularidade deuma ordem total num espaço métrico?
• No caso afirmativo, existe uma ordem total que minimiza airregularidade?
• Vale um teorema semelhante para ordens parciais?
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Considerações Finais
Desafios semelhantes são encontrados para outros tipos deimagens multivaloradas, por exemplo, imagens multi-espectrais.
Como o fundo (background) da apresentação é branco, trocamos adilatação pela erosão, e vice-versa, em todas as abordagens excetona baseada em distância!
Uma das imagens coloridas usada nessa apresentação foi obtida de0melapics / Freepik e está disponível emhttp://www.freepik.com.
Muito grato pela atenção!
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