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Curso MAT442 - EDP
Anderson Luis Albuquerque de Araujo
Universidade Federal de VicosaUFV
6 de abril de 2015
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Parte I
Convergencia das series de Fourier
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Convergencia Pontual da serie de Fourier
Enunciamos agora um resultado sobre a convergencia da serie deFourier no ponto x .
Teorema(Teste de Dini). Seja f : R→ R uma funcao periodica de perıodo2L e `1 em [−L, L]. Fixado x, em [−L, L], suponha que f (x + 0) ef(x - 0) existam e que exista η > 0 tal que∫ η
0
∣∣∣∣g(x , t)
t
∣∣∣∣ dt <∞. (1)
Entao en(x)→ 0, ou seja, sn(x)→ [f (x + 0) + f (x − 0)]/2,quando n→∞.
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Convergencia Pontual da serie de FourierDemonstracao do teste de Dini. Primeiramente, decompomosen(x) em duas partes:
en(x) =
∫ δ
0tDn(t)
g(x , t)
tdt +
∫ L
δsen
[(n +
1
2
)πt
L
]g(x , t)
2Lsenπt2L
dt.
A primeira integral sera feita pequena tomando-se δconvenientemente pequeno e usando (1). Quanto a segundaintegral, usaremos o lema de Riemann-Lebesgue. Vejamos osdetalhes: como
|tDn(t)| ≤ t
2Lsenπt2L
(2)
e como a funcao no segundo membro de (2) e contınua e crescenteem [0, L], obtemos a estimativa
|tDn(t)| ≤ 1
2, para t ∈ [0, L].
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Convergencia Pontual da serie de Fourier
Logo, dado ε > 0, tome δ < minL, η, tal que∣∣∣∣∫ δ
0tDn(t)
g(x , t)
tdt
∣∣∣∣ ≤ 1
2
∫ δ
0
∣∣∣∣g(x , t)
t
∣∣∣∣ dt <ε
2,
o que e possıvel pela Hipotese (1). Agora com esse δ fixado, olhe asegunda integral. Para aplicar o lema Riemann-Lebesgue, bastaverificar se a funcao
h(t) =g(x , t)
2Lsenπt2L
, t ∈ [δ, L]
e integravel. Mas isso e imediato porque o denominador nunca seanula em [δ, L] e g e integravel. Logo, para n suficientementegrande ∣∣∣∣∫ L
δsen
[(n +
1
2)πt
L
]g(x , t)
2Lsenπt2L
dt
∣∣∣∣ < ε
2,
e o teste de Dini fica provado.
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Convergencia Pontual da serie de FourierO teste de Dini pode ser utilizado para obter condicoes suficientespara convergencia da serie de Fourier, condicoes que sejam maisfacilmente verificaveis.Aplicacao 1: Suponha que f seja Holder contınua na vizinhancado ponto x , isto e, que existam constantes α > 0, δ > 0 e K > 0tais que
|f (t)− f (s)| ≤ K |t − s|α
para t, s ∈ [x − δ, x + δ]. Da desigualdade anterior, temos que f econtınua em x , e, portanto, f (x + 0) = f (x − 0) = f (x). Issojuntamente com a ultima desigualdade implica
|g(x , t)| ≤ |f (x + t)− f (x)|+ |f (x − t)− f (x)| ≤ 2K |t|α.
Logo, ∫ δ
0|g(x , t)
t|dt ≤ 2K
∫ δ
0tα−1dt <∞,
e assim mostramos que a condicao (1) do Teste de Dini se verifica.
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Desigualdade de BesselMostremos inicialmente que as reduzidas sn(x) da serie de Fourierde uma funcao f de quadrado integravel sao os polinomiostrigonometricos que melhor aproximam f em media quadratica.Mais precisamente, considere um polinomio trigonometrico deordem n:
tn(x) =c0
2+
n∑k=1
(ck cos
kπ x
L+ dksen
kπ x
L
),
e sejam
en =
∫ L
−L|sn(x)− f (x)|2ds
e
en =
∫ L
−L|tn(x)− f (x)|2ds.
Entao, podemos provar que
en ≤ en. (3)
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Desigualdade de BesselNa demonstracao de (3) usamos relacoes de ortogonalidade dasfuncoes trigonometricas. Usano as expressoes dos coeficientes deFourier, otemos
en =L
2c2
0 + Ln∑
k=1
(c2k + d2
k
)+
+
∫ L
−L|f (x)|2dx − La0c0 − 2L
n∑k=1
(akck + bkdk) .
Completando quadrados temos
en =L
2(c0 − a0)2 − La2
0
2+ L
n∑k=1
(ck − dk)2 +
+Ln∑
k=1
(dk − bk)2 +
∫ L
−L|f (x)|2dx − L
n∑k=1
(a2k + b2
k
).
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Desigualdade de BesselAgora e so notar que o menor valor de en sera obtido quandoc0 = a0, ck = ak , dk = bk para k = 1, 2, . . . , n. Neste caso, temosque en coincide com en. Logo, em geral en ≤ en.Para provarmos a desigualdade de Bessel
a20
2+∞∑k=1
(a2k + b2
k
)≤ 1
L
∫ L
−L|f (x)|2dx , (4)
observemos que 0 ≤ en, para qualquer escolha dos coeficientes ck edk . Portanto, para ck = ak e dk = bk temos
0 ≤ en =
∫ L
−L|f (x)|2dx − L
a20
2− L
n∑k=1
(a2k + b2
k
), (5)
e daı,a2
0
2+
n∑k=1
(a2k + b2
k
)≤ 1
L
∫ L
−L|f (x)|2dx .
Como a desigualdade vale para todo n, segue (4).
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Desigualdade de Bessel
Consideremos uma funcao f : R→ R seccionalmente contınua e2L-periodica. Representemos por sn(x) a reduzida de ordem n
sn(x) =a0
2+
n∑k=1
(ak cos
kπ x
L+ bksen
kπ x
L
),
e por σn+1, a media aritmetica de so , s1, ..., sn:
σn+1(x) =1
n + 1(s0 + ...+ sn).
Ja vimos anteriormente que
sn(x) =
∫ L
−LDn(x − y)f (y)dy ,
onde
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Desigualdade de Bessel
Dn(x) =1
2L
sen(n + 12 )πxL
senπx2L
, (6)
para n 6= 0,±2π,±4π, .... Logo,
σn+1(x) =
∫ L
−LFn(x − y)f (y)dy , (7)
onde
Fn+1(x) =1
n + 1
n∑k=0
Dk(x),
que e chamdo nucleo de Fejer.
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Desigualdade de Bessel
Teorema (Teorema de Fejer)
Seja f : R→ R uma funcao seccionalmente contınua, 2L-periodica.Entao,
i) para cada x,
limσ(x) =1
2[f (x + 0) + f (x − 0)],
ii) a sucessao (σn) converge uniformemente para f emtodo intervalo fechado I que nao contenha pontos dedescontinuidade de f .
Demonstracao: Exercıcio.
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Identidade de Parseval
Agora provaremos a identidade de Parseval
a20
2+∞∑k=1
(a2k + b2
k
)=
1
L
∫ L
−L|f (x)|2dx . (8)
Notemos que para provar a identidade de Parseval, e suficientemostrar que
limn→∞
en = 0, (9)
ou seja, mostraremos que
limn→∞
∫ L
−L|sn(x)− f (x)|2ds = 0, (10)
para toda funcao quadrado integravel em [−L, L].
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Identidade de Parseval
TeoremaSeja f : R→ R uma funcao 2L-periodica, e de quadrado integravelem [−L, L]. Entao a serie de Fourier da f converge em mediaquadratica para f , ou seja, a relacao (10) e valida.
Demonstracao no caso de f contınua: Pelo teorema de Fejer, asucessao (σn) das medias aritmeticas das reduzidas sn convergeuniformemente para f em [−L, L], i.e.,
max−L≤x≤L
|σn(x)− f (x)| → 0, n→∞.
Como ∫ L
−L|σn(x)− f (x)|2dx ≤ 2L max
−L≤x≤L|σn(x)− f (x)|2,
temos que
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Identidade de Parseval
limn→∞
∫ L
−L|σn(x)− f (x)|2dx = 0. (11)
Por outro lado como σn(x) e um polinomio trigonometrico deordem n, pelo que vimos inicialmente,∫ L
−L|sn(x)− f (x)|2dx ≤
∫ L
−L|σn(x)− f (x)|2dx ,
que junto com (11) prova (10).
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Identidade de Parseval
Demonstracao no caso geral: Podemos mostrar que toda funcaof quadrado integravel pode ser aproximada em media quadraticapor funcoes contınuas ψ. E, alem disso, se f for 2L-periodica,entao ψ tambem sera. Pordedemos a demonstracao do teorema.Dado ε > 0, devemos provar que existe n0 tal que∫ L
−L|sn(x)− f (x)|2dx < ε, (12)
para todo n ≥ n0. Pelo que acabamos de discutir, existeψ : R→ R contınua e 2L-periodica tal que∫ L
−L|ψ(x)− f (x)|2dx <
ε2
4. (13)
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Identidade de ParsevalPor outro lado aplicado a parte do teorema ja demonstrado para ocaso de uma funcao cpontınua, segue-se a existencia de n0, tal quepara n ≥ n0, temos∫ L
−L|ψ(x)− sn(x)|2dx <
ε2
4, (14)
onde sn representa a reduzida de ordem n da serie de Fourier de ψ.Agora, pela desigualdade de Minkowski, tem-se[∫ L
−L|f (x)− sn(x)|2dx
]1/2
≤[∫ L
−L|f (x)− ψ(x)|2dx
]1/2
+
+
[∫ L
−L|ψ(x)− sn(x)|2dx
]1/2
,
e usando (13) e (14),∫ L
−L|f (x)− sn(x)|2dx < ε2 < ε,
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Identidade de Parseval
se ε < 1. Como s e um polinomio trigonometrico de ordem n, peloque ja vimos antes∫ L
−L|f (x)− sn(x)|2dx ≤
∫ L
−L|f (x)− sn(x)|2dx < ε
para n ≥ n0, o que prova o teorema.
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Convergencia Uniforme da serie de Fourier
Nesta secao, estudaremos condicoes suficientes sobre f(2L-periodica) demodo a garantir a convergencia uniforme de suaserie de Fourier. A ideia e aplicar o teste M de Weierstrass. Como
|an cosnπ x
L| ≤ |an|, |bn cos
nπ x
L| ≤ |bn|,
devemos ver em que condicoes a serie nu,erica
∞∑n=1
(|an|+ |bn|) (15)
converge.
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Convergencia Uniforme da serie de Fourier
Para isso, suponhamos que f seja contınua e que a derivadaprimeira seja uma funcao de L2. Entao, usando integracao porpartes concluimo que
an =−L
π nb′n, bn =
−L
π na′n,
onde a′n e b′n designam os coeficientes de Fourier de f ′. Portanto,a reduzida de ordem n de (15) e
n∑k=1
(|ak |+ |bk |) =L
π
n∑k=1
1
k(|a′k |+ |b′k |), (16)
aplicando a desigualdade de Cauchy-Schwarz para vetores do Rn,temos
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Convergencia Uniforme da serie de Fourier
n∑k=1
(|ak |+ |bk |) ≤L
π
(n∑
k=1
1
k2
)1/2( n∑k=1
(|a′k |+ |b′k |)2
)1/2
≤√
2L
π
(n∑
k=1
1
k2
)1/2( n∑k=1
(|a′k |2 + |b′k |2)
)1/2
,
onde usamos que (a + b)2 ≤ 2(a2 + b2).Portanto, (15) e majorada por
≤√
2L
π
( ∞∑k=1
1
k2
)1/2( ∞∑k=1
(|a′k |2 + |b′k |2)
)1/2
,
onde ambas convergem, a segunda convergindo pela desigualdadede Bessel.
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Convergencia Uniforme da serie de Fourier
Resumindo provamos o seguinte teorema.
Teorema (Primeiro teorema sobre convergencia uniforme daserie de Fourier)
Seja f uma funcao 2L-periodica, contınua e com derivada primeirade quadrado integravel. Entao, a serie de Fourier de f convergeuniformemente para f .
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Parte II
A equacao do calor
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A equacao do calor
Neste capıtulo discutiremos alguns problemas envolvendo aequacao de calor a uma dimensao espacial. Primeiramenteestudaremos problemas em um intervalo finito e, depois, na retainteira, o que nos levara naturalmente a introducao datransformada de Fourier.
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Separacao de Variaveis
Neste capıtulo, usaremos um problema envolvendo a equacao docalor para introduzir a ideia basica do metodo de separacao devariaveis o que nos levara, de forma natural as series de Fourier.Usaremos o problema:
µt = α2µxx em (0, l)× (0,∞),µ(0, t) = 0 = µ(l , t), t ≥ 0,µ(x , 0) = f (x), x ∈ [0, l ],
(17)
onde f tem que satisfazer a condicao de compatibilidade
f (0) = 0 = f (l)
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Separacao de Variaveis
Princıpio da Superposicao:
Proposicao
Seja L um operador diferencial parcial linear de ordem k cujoscoeficientes estao definidos em um aberto Ω ⊂ R2. Suponha queum+∞
m=1 e um conjunto de funcoes de classe C k em Ωsatisfazendo a EDP linear homogenea Lum = 0. Entao, seαm+∞
m=1 e uma sequencia de escalares tal que a serie
u(x) =∞∑
m=1
αmum(x)
e convergente e k vezes diferenciavel termo a termo em Ω, entao usatisfaz Lu = 0.
A ideia entao e procurar uma familia de solucoes um+∞m=1 de (17)
tal que todas as solucoes possam ser expressas da forma
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Separacao de Variaveis
µ(x , t) =∞∑n=1
αnun(x , t)
f (x) =∞∑n=1
αnun(x , 0)(18)
Vamos procurar solucoes da forma(Utilizando Separacao deVariaveis):
µ(x , t) = ϕ(x)ψ(t) (19)
Substituindo na EDP:
µt = ϕ2µxx ,
temos
ϕ(x)ψ′(t) = α2ϕ
′′(x)ψ(t).
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Separacao de Variaveis
Dividindo por α2ϕ(x)ψ(t) (onde ϕ e ψ nao se anulam),
ϕ′′
(x)ϕ(x) = 1
α2ψ′(t)
ψ(t)(20)
O lado esquerdo da equacao e uma funcao so de x e quanto o ladodireito depende apenas de t, logo ambos os lados tem que seriguais a uma mesma constante que chamaremos de −λ. Obtemosentao duas EDO’s
−ϕ′′ = λϕ(x),
ψ′
= −α2λψ(t).
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Separacao de VariaveisEstamos procurando solucoesu ∈ C 2((0, l)× (0,+∞)) ∩ C ([0, l ]× [0,+∞]), logo queremos
ϕ ∈ C 2((0, l) ∩ C [0, l ]) e ψ ∈ C 2((0,+∞)) ∩ C ([0,+∞)).
Impondo a condicao de contorno,
ϕ(0)ψ(t) = 0 = ϕ(l)ψ(t), ∀t ≥ 0
e portanto, como nao queremos solucoes indenticamente nulas, ϕ esolucao do problema
ϕ′′
(x) + λϕ(x) = 0, 0 < x < l ,ϕ(0) = 0 = ϕ(l),
(21)
enquanto que ψ e qualquer solucao da EDO
ψ′′
(t) + α2λψ(t) = 0. (22)
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Separacao de Variaveis
Um valor de λ para o qual tem solucao trivial (isto e, que nao eidenticamente nula) e chamado de auto-valor do problema e assolucoes nao trivais correspondentes sao as auto-funcoescorrespondentes ao auto-valor λ.Como estamos procurando solucoes reais e - λ e igual a ambos oslados da equacao, e claro que so nos interessam os casos em queλ ∈ R . Mas de fato os auto-valores do problema sao sempre reaise positivos. Para provar isso, vamos adimitir por um instantesolucoes complexas e vamos introduzir um porduto interno noespaco CC([0, l ]), de todas as funcoes contınuas [0, l ]→ C : sef , g ∈ CC([0, l ]), definimos
(f |g) =
∫ 1
0f (x)g(x)dx , (23)
onde g(x) e o complexo conjugado de g(x), x ∈ [0, l ].
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Separacao de Variaveis
Proposicao
definido por 23 e um produto inteno em CC([0, l ]), isto e, satisfazas seguintes propriedades:
1. (f |f ) ≥ 0, ∀f ∈ CC([0, l ]);
2. (f |f ) = 0⇐⇒ f = 0;
3. (αf + g |h) = α(f |h) + (g |h),∀f , g , h ∈ CC(0, l), ∀α ∈ C;
4. (f |g) = (g |f ),∀f , g ∈ CC([0, l ]).
A demonstracao da proposicao e muito simples: basta escrever oproduto interno como uma integral e usar as propriedadeselementares da integral de funcoes contınuas.
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Separacao de VariaveisVoltando ao problema (18), se λ ∈ C e um auto-valor e ϕ umaauto-funcao associada, ϕ ∈ C 2
C((0, l)) ∩ CC([0, l ]), note que, comoϕ′′
= −λϕ, existem os limites
limx→0+
ϕ′′
(x) = −λ limx→0+
ϕ(x) = −λϕ(0) = 0, limx→1−
ϕ′′
(l) = −λ limx→1−
ϕ(x) = −λϕ(l) = 0;
por outro lado, como ϕ e contınua no intervalo fechado,
λ
∫ x
0ϕ(y)dy = lim
a→0+
∫ x
aϕ′′
(y)dy = lima→0+
[ϕ′(x)− ϕ′(a)],
λ
∫ 1
xϕ(y)dy = lim
b→l−
∫ b
xϕ′′
(y)dy = limb→l−
[ϕ′(b)− ϕ′(x)],
logo existem os limites
lima→0+
ϕ′(a), lim
b→l−ϕ′(b).
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Separacao de VariaveisEssas propriedades nos permitem integrar as funcoes ϕ
′′e ϕ
′no
intervalo [0, l ]. Usando a EDP e integrando por partes, obtemos:
λ(ϕ|ϕ) = (λϕ|ϕ) = (−ϕ′′ |ϕ) = −∫ 1
0ϕ′′
(x)ϕ(x)dx
= − lim(a→0+)→(b→l−)
∫ b
aϕ′′
(x)ϕ(x)dx
= − lim(a→0+)→(b→l−)
[ϕ′(x)ϕ(x)
∣∣∣ba − ∫ b
aϕ′(x)ϕ(x)dx
]= − lim
(a→0+)→(b→l−)
[ϕ′(b)ϕ(b)− ϕ′(a)ϕ(a)
]+
∫ 1
0|ϕ′(x)|2dx
= (ϕ′ |ϕ′) > 0
pois a unica solucao constante do problema e ϕ ≡ 0, logo, como(ϕ|ϕ) > 0, λ > 0. E interessante notar tambem que se ϕ1 e ϕ2
sao auto-funcoes correspondente a auto-valores distintos λ1 e λ2
entao ϕ1 e ϕ2 sao ortogonais em relacao ao produto interno (18),isto e, (ϕ1|ϕ2) = 0: de fato, tomando limites como acima, vemosque podemos integrar por partes duas vezes para obter
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Separacao de Variaveis
λ1(ϕ1|ϕ2) = (λ1ϕ1|ϕ2) = (ϕ′′1 |ϕ2)
= −∫ 1
0ϕ′′1(x)ϕ2(x)dx
=
∫ 1
0ϕ′1(x)ϕ
′2(x)dx
= −∫ 1
0ϕ1(x)ϕ
′′2(x)dx
= (ϕ1|ϕ′′2)
= (ϕ1|λ2ϕ2) = λ2(ϕ1|ϕ2)
logo, como λ1 6= λ2, (ϕ1|ϕ2) = 0. Logo, impondo condcoes depositividade temos que a solucao geral da EDO (21) e:
ϕ(x) = a cos(√λx) + b sin(
√λl)
onde a, b ∈ R sao arbitrarios.
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Separacao de Variaveis
Impondo as condicoes de contorno,
ϕ(0) = a = 0
ϕ(l) = b sin(√λl) = 0.
como ϕ 6= 0, b 6= 0 e sin(√λl) = 0, logo
√λl = nπ para algum
n ∈ Z, n 6= 0, e portanto
√λl = nπ
(√λ)2 = (nπl )2
λ = (n2π2
l2), n ∈ N
onde λ sao os auto-valores de
ϕ′′
(x) + λϕ(x) = 0, 0 < x < lϕ(0) = 0 = ϕ(l)
e ϕ(x) = b sin(nπxl ), x ∈ [0, l ] as auto funcoes associadas.
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Separacao de Variaveis
Vamos agora resolver a equacao (22):
ψ(t) = ke−α2λt ,k e constante
λ = n2π2
l2, entao
ψ(t) = e(−α2n2π2tl2
).
Voltando a EDP:
un(x , t) = b sin (nπxl )exp(−α2n2π2tl2
)x ∈ [0, l ], t ≥ 0, n ∈ N.
Formalmente, ou seja, sem levar em consideracao a convergenciada serie, pelo Princıpio da Superposicao
µ(x , t) =∞∑n=1
bn sin (nπx
l)exp(
−α2n2π2t
l2), x ∈ [0, l ], t ≥ 0
sera solucao de
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Separacao de Variaveis
µt = α2µxx em (0, l)× (0,+∞),µ(0, t) = 0 = µ(l , t), t ≥ 0.
Procuramos solucao da equacao
µt = α2µxx em (0, l)× (0,+∞),µ(0, t) = 0 = µ(l , t), t ≥ 0.µ(x , 0) = f (x), x ∈ [0, l ],
supondo a condicao inicial
f (0) = 0 = f (l)
entao
f (x) =∞∑n=1
bn sin(nπx
l), x ∈ [0, l ].