Daila Silva Seabra de Moura Fonseca
CONVERGÊNCIA DE SEQUÊNCIAS E SÉRIES
NUMÉRICAS NO CÁLCULO: UM TRABALHO VISANDO A
CORPORIFICAÇÃO DOS CONCEITOS
OURO PRETO
2012
iii
Daila Silva Seabra de Moura Fonseca
CONVERGÊNCIA DE SEQUÊNCIAS E SÉRIES
NUMÉRICAS NO CÁLCULO: UM TRABALHO VISANDO A
CORPORIFICAÇÃO DOS CONCEITOS
Dissertação apresentada à Banca Examinadora, como exigência parcial à obtenção do Título de Mestre em Educação Matemática da Universidade Federal de Ouro Preto, sob orientação da Profa. Dra. Regina Helena de Oliveira Lino Franchi.
OURO PRETO
2012
iv
Catalogação: [email protected]
F676c Fonseca, Daila Silva Seabra de Moura
Convergência de sequências numéricas no Cálculo [manuscrito] : um trabalho visando a corporificação dos conceitos / Daila Silva Seabra de Moura Fonseca – 2012.
xx, 208 f.: il. color.; grafs.; tabs. Orientadora: Profª Drª Regina Helena de Oliveira Lino Franchi. Dissertação (Mestrado) - Universidade Federal de Ouro Preto. Instituto de Ciências Exatas e Biológicas. Departamento de Matemática. Mestrado
Profissional em Educação Matemática. Área de concentração: Educação Matemática.
1. Matemática - Estudo e ensino - Teses. 2. Séries (Matemática) - Teses. 3. Sequências (Matemática) - Teses. 4. Ciência cognitiva - Corporificação - Teses. I. Universidade Federal de Ouro Preto. II. Título.
CDU: 517.521:165.194
ix
AGRADECIMENTOS
Primeiramente a DEUS, por toda força para perseverar, por toda luz nos momentos de
escuridão e por estar ao meu lado em todos os dias da minha vida possibilitando a
realização dos meus sonhos.
Ao meu marido ALLAN, por todo amor, carinho e incentivo; por ser um grande
companheiro de vida e de estrada, por me ensinar a enxergar todas as grandes dificuldades
como pequenas pedras e por todos os momentos de alegria ao longo desses anos juntos.
Aos meus pais, IVANI e GERALDO, por se preocuparem com minha educação ao longo
de todos os anos da minha vida, por todo amor que me deram fazendo com que eu me
tornasse a pessoa que sou hoje e pelas orações feitas todos os dias pela manhã.
À professora REGINA, por aceitar me orientar depois de quase um ano do começo do
mestrado, por me ensinar a ser pesquisadora, por acreditar no meu potencial, pela
dedicação ao nosso trabalho e por ser muito mais que orientadora, sendo também um
pouco psicóloga e mãe.
Ao professor FREDERICO, pelas sugestões e orientações dadas em momentos de
importantes decisões feitas ao longo do mestrado e pelas contribuições neste trabalho.
À professora MÁRCIA, por aceitar nosso convite e pelas considerações feitas após ter
passado seu “pente fino”, enriquecendo o trabalho.
À professora ADRIANA TONINI, pela orientação inicial.
Aos PROFESSORES do programa que se dedicam ao nosso crescimento intelectual e
possibilitam um ensino de qualidade. Em especial, à professora ANA CRISTINA, por sua
dedicação ao programa, pelo apoio e orientação desde o começo da minha caminhada no
mestrado.
Aos meus irmãos, RÔNIA e DAVIDSON, por estarem todos os dias ao meu lado, mesmo
que somente em pensamento.
À minha FAMÍLIA, de sangue e de coração, por mostrar a força de uma família unida, por
me acolher sempre com muito amor e carinho e por entender os momentos em que não
pude estar presente.
x
Aos meus sobrinhos, GABRIEL, NATHAN, ALICE, SAMUEL, CAIO, YURI, MARIA
EDUARDA e CADU, pelos momentos de fantasia em meio ao caos.
Aos meus “afilhadrinhos”, KELLY e CÉLIO, que me acolheram em sua casa no primeiro
ano do mestrado, pela amizade sincera, por cuidarem de mim e pelo consolo e orientações
nos momentos de desespero.
Ao grande amigo DAVIDSON, por todos os conselhos e risadas até a madrugada.
À POLLYANNA, amiga que ganhei e conselheira durante as madrugadas em Ouro Preto.
A DÉBORA, NEWTON, LUCIENE, MAÍRA, IVAN, DANIELE, FERNANDA,
ROBERTO, MÁRCIA, MARIA ISABEL, WELLINGTON e GUTO, pelo
companheirismo neste longo caminho que é o mestrado.
À SULAMITA, amiga que surgiu durante a caminhada, por cuidar de mim.
Aos amigos de Belo Horizonte, Itabira e Congonhas, pelo apoio constante e por
compreenderem minhas ausências.
Aos meus alunos da Engenharia de Produção, por aceitarem e se dedicarem à participação
na pesquisa.
A coordenação do Instituto Federal em que a pesquisa foi realizada, pela confiança.
A todos vocês, MUITO OBRIGADA!
xi
RESUMO
A presente pesquisa buscou verificar se a aplicação de atividades, com o auxílio do
software GeoGebra, favoreceu a corporificação dos conceitos de convergência de
sequências e séries e a transição entre os mundo corporificado e simbólico, levando a uma
compreensão desses conceitos. Também teve por objetivo investigar se a transição entre os
mundos corporificado e simbólico contribuiu para a construção da base do mundo formal,
levando à passagem do pensamento matemático elementar para o avançado. A metodologia
de pesquisa utilizada foi a qualitativa. Como instrumentos de coleta de dados foram
utilizados: registros dos alunos das resoluções das atividades; gravação de áudio;
gravações das telas dos computadores; notas de campo da pesquisadora. Para alcançarmos
nosso objetivo, utilizamos como referência dois quadros teóricos – Pensamento
Matemático Avançado e Três Mundos da Matemática –, para dar oportunidade ao aluno de
experimentar aspectos diversos de um conceito, antes de apresentar sua definição formal.
As atividades estão separadas em: atividade introdutória, atividades exploratórias e
atividades de avaliação. A pesquisa foi realizada com um grupo de alunos do curso de
Engenharia de Produção de um Instituto Federal de Ensino que cursava a disciplina de
Cálculo II, sob a responsabilidade da pesquisadora. Foram realizadas aulas de laboratório,
com a aplicação das atividades exploratórias, para os alunos trabalharem a corporificação
por meio da experimentação e formulação de conjecturas que foram discutidas, refutadas
e/ou confirmadas nas aulas teóricas. Os dados coletados nos levam a crer que as atividades
promoveram a corporificação do conceito de convergência na maioria dos alunos. Além
disso, as atividades possuem potencial para a transição entre os três mundos da
Matemática, proporcionando ao aluno a passagem do pensamento matemático elementar
para o avançado. Por fim, foi elaborado um produto educacional intitulado “Estudo da
convergência de sequências e séries numéricas no Cálculo: um proposta utilizando o
software GeoGebra”, que está disponível na página do programa e tem por objetivo
auxiliar professores que desejam trabalhar o conteúdo de sequências e séries de maneira
diferenciada.
Palavras-chave: Educação Matemática. Três Mundos da Matemática. Pensamento
Matemático Avançado. Corporificação. Convergência. Sequências e séries numéricas.
xiii
ABSTRACT
This study aimed to verify whether the implementation of activities, with the help of
software GeoGebra, favored the embodiment of convergence concepts of sequences and
series and the transition between the embodied and symbolic world, leading to an
understanding of these concepts. It also aimed to investigate if the transition between the
embodied and symbolic worlds contributed to build the base of the formal world, leading
to the changeover of mathematical thinking from elementary to advanced. The research
methodology was the qualitative one. Student records of their activities resolutions; audio
recording of some classes; recordings of computer screens and researcher’s field notes
were used as instruments of data collection. In order to achieve our goal, we used two
theoretical frameworks – Advanced Mathematical Thinking and Three Worlds of
Mathematics – as reference, to give the student an opportunity to experience different
aspects of a concept, before submitting its formal definition. The activities are organized
into: introductory activity, exploratory activities and assessment activities. The survey was
conducted with a group of Production Engineering students from a Federal Education
Institute who was studying the subject Calculus II, under the responsibility of the
researcher. Laboratory classes were held, with the application of exploratory activities, for
students to work the embodiment through experimentation and conjectures which have
been discussed, refuted, and / or confirmed in the lectures. The collected data lead us to
believe the activities promoted the embodiment of the convergence concept in the majority
of students. Moreover, the activities have the potential for the transition between the three
worlds of Mathematics, providing the student with the changeover of mathematical
thinking from elementary to advanced. Finally, it was designed an educational product
titled "Study of numerical sequences and series convergence in Calculus: a proposal using
the software GeoGebra", which is available on the program site and aims to help teachers
who want to work content and sequence series in a different way.
Keywords: Mathematics Education. Three Worlds of Mathematics. Advanced
Mathematical Thinking. Embodiment. Convergence. Sequences and infinite series.
xv
LISTA DE FIGURAS
Figura 01: Números triangulares ...................................................................................... 34
Figura 02: Números quadrados ........................................................................................ 34
Figura 03: Visualização geométrica da convergência da série geométrica de razão 2
1 ... 47
Figura 04: Igualdade de integrais de uma função, e seu intervalo de integração,
transladados ...................................................................................................... 53
Figura 05: Prova corporificada da soma do n primeiros inteiros positivos ....................... 58
Figura 06: Os três modos de representação de Bruner ..................................................... 60
Figura 07: Três mundos de representação e suas ligações com outros pontos de vista .... 61
Figura 08: Desenvolvimento cognitivo da argumentação ................................................. 65
Figura 09: Arrastando a janela de visualização ao longo de um gráfico para ver a
inclinação mudando e a linearidade local ........................................................ 67
Figura 10: Exploração do conceito de derivada por meio de retas secantes ..................... 70
Figura 11: Tela inicial do GeoGebra contendo as janelas de álgebra, visualização
gráfica e planilha .............................................................................................. 86
Figura 12: Representação da sequência n
an
5= , com n variando de 1 até 12, como uma
função discreta. ................................................................................................ 93
Figura 13: Representação da sequência n
an
5= , com n variando de 1 até 40, como uma
função discreta. ................................................................................................ 94
Figura 14: Representação da sequência n
an
5= , com n variando de 1 até 15, como uma
função discreta e como pontos de uma reta ..................................................... 95
Figura 15: Distância entre termos consecutivos da sequência 1+
=
n
nan .......................... 96
Figura 16: Sequências do termo geral e das somas parciais da série ∑ −12
1n
................... 99
Figura 17: Resposta do aluno A12 às questões 1.b e 1.c da atividade introdutória ........ 101
Figura 18: Resposta do aluno A08 às questões 1.b e 1.c da atividade introdutória ........ 102
Figura 19: Resposta do aluno A12 à questão 1.a da atividade introdutória .................... 102
Figura 20: Resposta do aluno A13 à questão 1.a da atividade introdutória .................... 102
xvi
Figura 21: Resposta do aluno A13 à questão 5 da atividade introdutória ....................... 103
Figura 22: Resposta do aluno A12 à questão 5 da atividade introdutória ....................... 103
Figura 23: Resposta da aluna A14 à questão 5 da atividade introdutória ........................ 103
Figura 24: Resposta do aluno A12 à questão 7 da atividade introdutória ....................... 104
Figura 25: Resposta das alunas A11 e A14 à atividade 01 .............................................. 106
Figura 26: Gráfico da função f (n) = 2n, com n ϵ *+
Z ....................................................... 106
Figura 27: Resposta dos alunos A05 e A12 à atividade 02 ............................................. 108
Figura 28: Resposta das alunas A11 e A14 à atividade 02 .............................................. 108
Figura 29: Resposta dos alunos A10 e A13 à atividade 02 ............................................. 108
Figura 30: Resposta da aluna A11 à prova de sequências ............................................... 109
Figura 31: Resposta do aluno A22 à prova de sequências ............................................... 110
Figura 32: Resposta do aluno A12 à prova de sequências ............................................... 110
Figura 33: Resposta dos alunos A03 e A04 ao item 4.1.a da atividade 04 ...................... 111
Figura 34: Resposta dos alunos A22 e A29 ao item 4.1.a da atividade 04 ...................... 111
Figura 35: Resposta das alunas A27 e A30 ao item 4.1.a da atividade 04 ...................... 111
Figura 36: Resposta dos alunos A10 e A13 ao item 4.1.b da atividade 04 ..................... 111
Figura 37: Resposta das alunas A07 e A20 ao item 4.1.b da atividade 04 ...................... 111
Figura 38: Resposta dos alunos A02, A08 e A17 ao item 4.1.c da atividade 04 ............. 112
Figura 39: Resposta dos alunos A03e A04 ao item 4.2.a da atividade 04 ....................... 113
Figura 40: Resposta da aluna A11 ao item 4.2.b da atividade 04 .................................... 113
Figura 41: Resposta dos alunos A15 e A25 ao item 4.2.c da atividade 04 ...................... 113
Figura 42: Resposta da aluna A11 ao item 4.2.c da atividade 04 .................................... 114
Figura 43: Resposta dos alunos A02, A08 e A17 ao item 4.2.c da atividade 04 ............. 114
Figura 44: Resposta dos alunos A25 e A32 à atividade 05 ............................................. 115
Figura 45: Resposta dos alunos A06 e A23 à atividade 05 ............................................. 115
Figura 46: Resposta dos alunos A10 e A13 à atividade 06 ............................................. 116
Figura 47: Resposta das alunas A27 e A30 à atividade 06 .............................................. 116
Figura 48: Resposta da aluna A11 à atividade 06 ............................................................ 118
Figura 49: Resposta das alunas A27 e A30 à atividade 07 .............................................. 119
Figura 50: Resposta da aluna A11 à atividade 07 ............................................................ 121
Figura 51: Resposta dos alunos A10 e A13 aos itens 8.1a e 8.1b da atividade 08 .......... 122
Figura 52: Resposta dos alunos A10 e A13 aos itens 8.1.c da atividade 08 .................... 122
Figura 53: Teorema do confronto para sequências no GeoGebra ................................... 123
xvii
Figura 54: Resposta da aluna A20 à questão 1 da atividade de séries ............................ 126
Figura 55: Resposta do aluno A09 à questão 2 da atividade de séries ............................ 126
Figura 56: Resposta das alunas A21 e A31 à questão 3.a da atividade de séries ............ 128
Figura 57: Resposta da aluna A02 à questão 3.c da atividade de séries .......................... 129
Figura 58: Tela do computador da aluna A30 durante a resolução da questão 3.d da
atividade de séries .......................................................................................... 129
Figura 59: Resposta da aluna A30 à questão 3.d da atividade de séries ......................... 130
Figura 60: Resolução do aluno A12 à série harmônica na atividade de séries ................ 131
Figura 61: Resolução da aluna A20 à série harmônica na atividade de séries ................ 131
Figura 62: Conclusão do aluno A12 sobre a convergência de séries .............................. 131
Figura 63: Conclusão da aluna A20 sobre a convergência de séries ............................... 132
Figura 64: Conclusão da aluna A02 sobre a convergência de séries ............................... 132
Figura 65: Conclusão da aluna A21 sobre a convergência de séries ............................... 132
Figura 66: Corporificação da convergência da sequência n
nan
34 −= ............................ 135
Figura 67: Duas representações gráficas da sequência da atividade 04 .......................... 139
Figura 68: Resposta dos alunos A15 e A25 para a questão 4.2.a da atividade 04........... 141
Figura 69: Resposta dos alunos A15 e A25 para a questão 4.2.b da atividade 04 .......... 142
Figura 70: Tela da resolução da atividade 04 dos alunos A05 e A12 ............................. 144
Figura 71: Resposta da dupla A05 e A12 à questão 4.1.b da atividade 04 ..................... 145
Figura 72: Resposta da dupla A05 e A12 à questão 4.1.c da atividade 04 ...................... 146
Figura 73: Resposta das alunas A27 e A30 à atividade 05 .............................................. 148
Figura 74: Resposta do aluno A29 à questão 2 da atividade de séries ............................ 149
Figura 75: Resposta da aluna A11 à questão 1.b da atividade avaliativa de séries ......... 149
Figura 76: Resposta do aluno A25 à questão 1.b da atividade avaliativa de séries ........ 150
Figura 77: Resposta do aluno A25 sobre a convergência de três sequências na atividade
avaliativa ........................................................................................................ 151
Figura 78: Resposta do aluno A15 sobre a convergência de uma sequência na atividade
avaliativa ........................................................................................................ 151
Figura 79: Resposta do aluno A01 à questão 5.a da atividade avaliativa de séries ......... 152
Figura 80: Resposta do aluno A25 às questões 2.b e 3.a da atividade avaliativa
de séries .......................................................................................................... 153
Figura 81: Resposta do aluno A29 sobre a definição formal da convergência de
sequência na atividade avaliativa ................................................................... 156
xviii
Figura 82: Resposta da aluna A02 sobre a definição formal da convergência de
sequência na atividade avaliativa ................................................................... 157
Figura 83: Resposta do aluno A13 sobre a divergência de uma sequência na atividade
avaliativa ........................................................................................................ 157
Figura 84: Resposta da aluna A20 à questão 3.a da atividade avaliativa de séries ......... 161
Figura 85: Resposta dos alunos A15 e A25 ao item 4.1.a da atividade 04 ...................... 163
Figura 86: Resposta dos alunos A09 e A16 ao item 4.1.a da atividade 04 ...................... 163
Figura 87: Resposta dos alunos A02, A08 e A17 ao item 4.1.b da atividade 04............. 163
Figura 88: Resposta dos alunos A03 e A04 ao item 4.1.c da atividade 04 ...................... 163
Figura 89: Representação da sequência n
an
5= , com n variando de 1 até 15, como uma
função discreta e como pontos sobre o eixo dos x’s ...................................... 165
Figura 90: Resposta da aluna A14 para a questão 4.2.a da atividade 04 ......................... 166
Figura 91: Resposta dos alunos A03 e A04 para a questão 4.2.b da atividade 04 .......... 166
Figura 92: Resposta dos alunos A03 e A04 para a questão 4.2.c da atividade 04 ........... 167
Figura 93: Resposta do aluno A01 à questão 2 da atividade de séries ............................ 168
Figura 94: Resposta da aluna A14 à questão 2 da atividade de séries ............................. 169
Figura 95: Resposta do aluno A24 à questão 3.a da atividade de séries ......................... 169
xix
LISTA DE QUADROS
Quadro 01: Enunciado da primeira questão da atividade introdutória .............................. 88
Quadro 02: Enunciado da segunda questão da atividade introdutória .............................. 88
Quadro 03: Enunciado da terceira questão da atividade introdutória ............................... 88
Quadro 04: Enunciado da quarta questão da atividade introdutória ................................. 88
Quadro 05: Enunciado da quinta questão da atividade introdutória ................................. 89
Quadro 06: Enunciado da sexta questão da atividade introdutória ................................... 89
Quadro 07: Enunciado da sétima questão da atividade introdutória ................................. 90
LISTA DE TABELAS
Tabela 01: Descrição do cronograma das aulas Sequências e Séries ................................ 84
21
SUMÁRIO
INTRODUÇÃO ................................................................................................................... 25
Questão e objetivos da pesquisa ................................................................................... 29
Estrutura ........................................................................................................................ 29
1 SEQUÊNCIAS E SÉRIES INFINITAS: DA HISTÓRIA AO ENSINO ......................... 31
1.1 Sequências e séries infinitas - um pouco de história .............................................. 32
1.2 O ensino de Cálculo e, em especial, o ensino de sequências e séries: situando o
contexto brasileiro ........................................................................................................ 42
2 BUSCANDO A FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA ......................................................... 49
2.1 O Pensamento Matemático Avançado .................................................................... 52
2.2 Os Três Mundos da Matemática ............................................................................. 59
2.2.1 Os Três Mundos da Matemática no Cálculo .............................................. 65
2.2.2 O uso de computadores como apoio para a corporificação e para a
relação entre os três mundos ...................................................................... 68
3 METODOLOGIA ............................................................................................................. 73
3.1 Onde? ...................................................................................................................... 77
3.2 Com quem? ............................................................................................................. 77
3.3 Que tipo de atividade? ............................................................................................ 78
3.4 O que utilizar na coleta de dados? .......................................................................... 79
3.5 Análise dos dados ................................................................................................... 80
4 APRESENTAÇÃO DA PESQUISA ................................................................................ 83
4.1 A concepção da proposta pedagógica ..................................................................... 83
4.1.1 O software GeoGebra................................................................................. 85
4.1.2 Atividade introdutória ................................................................................ 87
4.1.3 Atividades exploratórias ............................................................................ 90
4.1.4 Atividades de avaliação sobre sequências e séries ..................................... 99
4.2 O desenvolvimento das atividades: resultados parciais e interpretações .............. 100
4.2.1 Atividade Introdutória .............................................................................. 101
23
4.2.2 Atividades Exploratórias .......................................................................... 105
Atividades de 01 a 03 ................................................................................. 105
Atividade 04 ............................................................................................... 110
Atividade 05 ............................................................................................... 114
Atividade 06 ............................................................................................... 115
Atividades 07 e 08 ..................................................................................... 118
Atividade de séries ..................................................................................... 124
5 ANALISANDO OS TRÊS MUNDOS DA MATEMÁTICA E O PENSAMENTO
MATEMÁTICO AVANÇADO NO CONCEITO DE CONVERGÊNCIA ...................... 133
5.1 A corporificação dos conceitos de convergência e a relação com a
proceitualização e a axiomatização ............................................................................ 133
5.1.1 A convergência no mundo corporificado e na interseção entre os
mundos corporificado e simbólico ........................................................... 137
5.1.2 A convergência no mundo simbólico ....................................................... 150
5.1.3 A convergência de sequências na base do mundo formal ........................ 153
5.1.4 Convergência de séries na base do mundo formal ................................. 1588
5.2 Passagem do pensamento matemático elementar para o avançado ...................... 162
CONSIDERAÇÕES FINAIS ............................................................................................ 173
REFERÊNCIAS ................................................................................................................. 181
APÊNDICE ........................................................................................................................ 187
APÊNDICE A – ATIVIDADE INTRODUTÓRIA ................................................... 187
APÊNDICE B – ATIVIDADES EXPLORATÓRIAS ............................................... 191
APÊNDICE C – MINIMANUAL DE GEOGEBRA ................................................. 203
APÊNDICE D – PROVA SOBRE SEQUÊNCIAS ................................................... 205
APÊNDICE E – PROVA SOBRE SÉRIES ............................................................... 206
APÊNDICE F – TRABALHO SOBRE SÉRIES ....................................................... 207
25
INTRODUÇÃO
Meu interesse pelo ensino da Matemática surgiu quando eu ainda era adolescente,
aos 13 anos, enquanto ajudava os colegas de classe a entender melhor o conteúdo
explicado pela professora. Como resultado, ingressei, em 2003, no curso de Licenciatura
em Matemática da Universidade Federal de Minas Gerais (UFMG) e tive o primeiro
contato com os conteúdos de sequências e séries infinitas, apresentando dificuldade para
entender a matéria. Não conseguia compreender a finalidade de uma série e, no momento
de resolver os exercícios, não era capaz de caracterizar com que tipo de série estava
trabalhando para, então, escolher o teste de convergência.
Concluí a graduação no ano de 2006 e passei a lecionar para turmas de ensino
médio e de ensino superior. Em agosto de 2009, comecei a trabalhar em uma faculdade
particular em Belo Horizonte, ministrando a disciplina Cálculo Diferencial e Integral II
para alunos do segundo período do curso de Engenharia Mecânica. Durante aquele
semestre, pude acompanhar de perto as dificuldades dos alunos para entender alguns
conteúdos do curso. Surgiu, assim, uma preocupação: como ensinar o conteúdo de séries
sem adotar o método tradicional, com aulas expositivas e resolução de exercícios
semelhantes aos dados como exemplo? Encontrei muita dificuldade para lecionar a
matéria, pois intencionava relacioná-la com a prática, enfatizar a compreensão dos
conceitos e utilizar outros métodos de ensino, como a investigação e o uso de tecnologia.
Não consegui e isso foi uma grande decepção. Considero que não obtive sucesso no ensino
de séries, uma vez que as notas obtidas pelos alunos na prova sobre esse conteúdo foram
inferiores aos resultados nas demais avaliações.
Ao mesmo tempo em que ensinava Cálculo Diferencial e Integral II, cursei a
disciplina Educação Matemática Superior no Programa de Mestrado Profissional em
Educação Matemática da Universidade Federal de Ouro Preto (Ufop), como aluna especial.
Matriculei-me na disciplina em busca de uma base teórica para os conhecimentos que
adquiria com a prática e apoio para aprimorar a prática docente. Como previ, o convívio
com o meio científico e as discussões entre pesquisadores influenciou, positivamente,
minha prática docente, pois percebi que havia situações em que era melhor explicar o
conteúdo utilizando rigor e outras em que a melhor opção era a intuição. Também passei a
empregar mais intensivamente a tecnologia nas aulas, com calculadoras e computadores,
por acreditar que o uso das ferramentas poderia abrir possibilidade para a transposição do
26
saber, descrita por Balacheff (1994 apud ZUCHI, 2009, p. 240) como “o trabalho sobre o
conhecimento que permite uma representação simbólica e a aplicação dessa representação
por um dispositivo informático”. Para Zuchi (2009, p. 240) no “contexto de ensino, essa
transposição assume uma importância particular. Ela significa, de fato, uma
contextualização do conhecimento que pode ter consequências importantes sobre o
resultado da aprendizagem”. Nessa mesma disciplina tive o primeiro contato com os textos
do Advanced Mathematical Thinking, traduzido como Pensamento Matemático Avançado,
que apresenta ramificações para estudar o pensamento matemático avançado: natureza,
teoria cognitiva e pesquisas relacionadas ao ensino e à aprendizagem em diferentes áreas.
No início de 2010 ingressei, como aluna regular, no Programa de Mestrado
Profissional em Educação Matemática da Ufop e comecei a lecionar para três turmas em
uma universidade federal: na primeira, Cálculo Diferencial e Integral I; na segunda,
Cálculo Diferencial e Integral A; na última, Geometria Analítica. Nas duas primeiras
turmas, lancei mão de alguns recursos, principalmente os visuais como softwares gráficos,
para melhorar a aprendizagem de Cálculo Diferencial e Integral1. Ainda assim, os alunos
apresentaram dificuldades para assimilar o conteúdo da disciplina. Uma das dificuldades
sinalizada por eles era identificar qual técnica de integração deveriam usar para conseguir
resolver uma integral. Os alunos pediam que fosse feita uma relação entre o conteúdo de
integral e a prática e, sempre que possível, tentei estabelecer essa conexão. Outras
dificuldades dos alunos também têm sido apontadas por pesquisadores que discutem o
ensino de Cálculo. Entre eles, citamos Barbosa (2004, p. 83), para quem as maiores
dificuldades encontradas pelos alunos que estudam Cálculo I são “memorização de
fórmulas, provas com questões extensas e difíceis e incompreensão dos métodos de
resolução dos exercícios”. Problemas semelhantes aos apontados anteriormente também
aparecem em Cálculo II, em cujo programa estão os conteúdos de sequências e séries
infinitas.
Em virtude dessas experiências com Cálculo, como discente e docente, interessei-
me, inicialmente, por pesquisar o ensino de séries infinitas, a fim de encontrar alternativas
que facilitassem o processo de aprendizagem. A partir daí, iniciei a busca por referenciais
teóricos. Um desses referenciais foi um texto de Bagni (2005) em que ele afirma que, ao
introduzirmos o conteúdo de séries em sala de aula, devemos nos lembrar de que os alunos
costumam considerar que a soma de infinitos termos tende a se tornar cada vez maior.
1 Passaremos a chamar o Cálculo Diferencial e Integral apenas por Cálculo.
27
Imediatamente, me lembrei das minhas dificuldades como discente e das dúvidas
apresentadas pelos meus antigos alunos que, de certa forma, comprovam o que Bagni
aponta. Assim, juntamente com minha orientadora, procurei entender como se dá a
compreensão dos conceitos envolvidos nas questões de convergência e nos aparentes
paradoxos relacionados a eles, como, por exemplo, o fato de uma soma com infinitas
parcelas poder resultar em um valor finito.
Entendemos naquele momento que deveríamos procurar alternativas para tornar
os resultados mais “palpáveis” aos alunos, termo aqui usado no sentido de tentar trabalhar
com entes abstratos de uma forma mais concreta. Nessa procura, surgiram algumas
indagações como: será que uma representação visual e/ou numérica dos termos de uma
sequência pode ajudar na compreensão da convergência da sequência ou da série
correspondente? Os softwares podem contribuir? Afinal, eles possibilitam ao professor
trabalhar o conteúdo sem recorrer às aulas extremamente expositivas nem somente
reproduzir o que está publicada nos livros didáticos. Mas como utilizá-los?
As leituras revelaram que as questões relativas à compreensão dos conceitos de
Cálculo envolviam um jeito de pensar peculiar, diferente de outros conceitos elementares
de álgebra ou geometria. As bases estavam em processos que iam além de manipulações
“concretas”, como se pode fazer, por exemplo, com sólidos geométricos para geometria ou
com barrinhas Cuisenaire para frações. Poderíamos manipular “entes abstratos” com uso
de software?
Voltamos nossa pesquisa para um conjunto de referenciais teóricos sobre o ensino
de Matemática na educação superior, que já havia nos despertado interesse: o do
Pensamento Matemático Avançado. Esses referenciais vêm sendo trabalhados desde os
anos 1970, sendo David Orme Tall o seu principal organizador. Alguns dos autores
discutem como se dá o pensamento matemático avançado e quais os problemas enfrentados
na transição do pensamento matemático elementar para o pensamento matemático
avançado. Para Tall (1991), no ensino da Matemática não existe uma diferença muito
grande entre os dois processos de pensamento, mas a passagem de um para o outro
acontece quando o aluno passa do descrever para o definir e do convencer para o provar.
Esses aspectos a respeito da transição levaram-nos a refletir sobre o ensino de Cálculo.
Alguns de nossos questionamentos foram: espera-se que um aluno de Cálculo faça a
transição do pensamento matemático elementar para o avançado? É propósito do ensino de
Cálculo trabalhar demonstrações? O professor deve fazer as demonstrações? Por que fazê-
28
las se, em geral, os alunos não conseguem entender? E aqueles poucos que conseguem, o
que aproveitam disso? Seriam capazes de fazer, eles próprios, outras demonstrações?
Nas leituras que fizemos sobre o Pensamento Matemático Avançado conhecemos
os estudos teóricos de Tall sobre os Três Mundos da Matemática. Nesse quadro teórico,
Tall (2004), ao referir-se a estudos realizados conjuntamente com Ana Poyter a respeito da
conceitualização dos alunos sobre vetores diz: “percebemos que havia não só três tipos de
conceitos matemáticos (geométrico, simbólico e axiomático), havia na verdade três tipos
muito diferentes de desenvolvimento cognitivo que habitavam três diferentes mundos da
Matemática”2 (p. 2), sendo eles o corporificado, o proceitual/simbólico e o
axiomático/formal. O mundo corporificado está na base do pensamento matemático e é
fundamentado nas nossas percepções e ações sobre o mundo. O mundo proceitual é o
mundo dos símbolos e processamentos que utilizamos para o cálculo e manipulações
algébrica, aritméticas, entre outros. O mundo axiomático está baseado em propriedades
expressas em definições formais. Esses três mundos interagem entre si e cada um deles
possui maneiras diferenciadas de argumentação e prova3.
Nos Três Mundos da Matemática temos a possibilidade de desenvolver atividades
visando à corporificação dos conceitos e, assim, desenvolver as bases para a compreensão
de conceitos que demandam processos de pensamento matemático avançado.
A proposta desta pesquisa foi desenvolver um conjunto de atividades que
possibilitasse ao aluno construir os conceitos de convergência de sequências e séries
numéricas infinitas, com base na corporificação do conceito de convergência, tendo como
estratégia a utilização de um software de geometria dinâmica. O uso do software tem por
objetivo a visualização, buscando as percepções no mundo corporificado e, por meio da
experimentação, possibilitar a passagem para o mundo simbólico.
Para o trabalho com os conceitos, propusemos aulas de laboratório a fim de que a
corporificação desses conceitos pelos alunos acontecesse por meio da experimentação e
formulação de conjecturas, que seriam discutidas em aulas teóricas, nas quais também
aconteceria a formalização dos conceitos matemáticos.
2 Tradução nossa para: “We realised that there were not only three distinct types of mathematical concept (geometric, symbolic and axiomatic), there were actually three very different types of cognitive development which inhabited three distinct mathematical worlds.” 3 Esses temas serão abordados de forma mais detalhada na seção 2.2.
29
Questão e objetivos da pesquisa
Segundo Bogdan e Biklen (1991, p. 16), a questão de uma pesquisa é formulada
com o objetivo de investigar os fenômenos em toda a sua complexidade. A investigação
não é feita para responder questões prévias ou testar hipóteses, mas para compreender o
comportamento dos sujeitos a partir de suas perspectivas. Sendo assim, para nortear a
pesquisa formulamos a seguinte questão de investigação:
Que contribuições uma proposta pedagógica baseada na corporificação
de conceitos pode trazer para a compreensão do conceito de
convergência de sequências e séries em uma turma de Cálculo?
Nosso objetivo geral é verificar se o desenvolvimento de atividades baseadas na
corporificação dos conceitos, buscando a transição entre os mundos corporificado e
simbólico, com a utilização de software de geometria dinâmica, favorece a compreensão da
convergência de sequências e séries.
Nossos objetivos específicos são:
- investigar se (ou de que maneira) a utilização das diferentes formas de
representação (algébrica, gráfica, numérica e verbal) favorece a compreensão do conceito
de convergência;
- investigar se atividades que visam a propiciar transições entre os mundos
corporificado e simbólico podem contribuir para a construção de uma base para o mundo
formal, favorecendo a transição do pensamento matemático elementar para o avançado.
Estrutura
O presente trabalho está estruturado em cinco capítulos, que descrevem o
desenvolvimento da nossa pesquisa.
No primeiro capítulo, abordamos a importância histórica das sequências e das
séries no desenvolvimento da Matemática, com enfoque principal na criação do Cálculo.
Aproveitamos para discutir a importância e os problemas encontrados no ensino do
Cálculo, em especial no ensino de sequências e séries. Também apresentamos algumas
30
sugestões para a melhoria do ensino, de acordo com pesquisadores que se dedicam a essa
temática.
No segundo capítulo, abordamos dois quadros teóricos relativos à aprendizagem
da Matemática no ensino superior: o Pensamento Matemático Avançado e os Três Mundos
da Matemática. O primeiro quadro teórico discute possibilidades de ações para que o aluno
tenha sucesso durante a passagem do pensamento matemático elementar para o
pensamento matemático avançado, enquanto a segunda teoria descreve o desenvolvimento
do conhecimento matemático em três mundos: corporificado, proceitual e axiomático.
A metodologia, as escolhas para o desenvolvimento das atividades e a seleção dos
instrumentos utilizados para a coleta dos dados estão justificadas no terceiro capítulo.
Apresentamos, no quarto capítulo, a concepção e os objetivos das atividades de
acordo com o referencial descrito no segundo capítulo. Também descrevemos a aplicação
de cada atividade e trazemos nossa interpretação inicial dos resultados a partir dos dados
coletados.
No quinto capítulo fazemos a análise dos dados, de acordo com dois eixos
identificados a partir de nossos dois principais quadros teóricos: os Três Mundos da
Matemática e o Pensamento Matemático Avançado. Os dois eixos de análise foram
intitulados por: a corporificação dos conceitos de convergência e a relação com a
proceitualização e a axiomatização; e a transição do pensamento matemático elementar
para o avançado.
Por fim, nas considerações finais, retomamos a questão de investigação
analisando a proposta pedagógica desenvolvida no que diz respeito à compreensão do
conceito de convergência. Analisamos também a contribuição do software GeoGebra para
desenvolvimento das atividades e ainda em que medida as atividades contribuíram para a
construção de uma base para o mundo formal e favoreceram a transição do pensamento
matemático elementar para o avançado. Ainda é feita uma explanação sobre o produto
educacional, que é um resultado desta pesquisa e está intitulado “Estudo da convergência
de sequências e séries numéricas no Cálculo: um proposta utilizando o software
GeoGebra”.
31
CAPÍTULO 1
SEQUÊNCIAS E SÉRIES INFINITAS: DA HISTÓRIA AO ENSINO
A matemática é uma forma de raciocínio, e não uma coleção de truques.
Boyer
O conhecimento matemático tem importância histórica na evolução da
humanidade. Segundo D’Ambrósio (1999) em “todos os momentos da história e em todas
as civilizações, as ideias matemáticas estão presentes em todas as formas de fazer e de
saber” (p. 97). Ele ainda ressalta que a Matemática é “a espinha dorsal do conhecimento
científico, tecnológico e sociológico” (p. 106).
Comparável à importância da Matemática como ciência está a importância de se
pensar em como a humanidade pode se apropriar desse conhecimento matemático e fazer
uso dele. A escola tem papel relevante nesse sentido, pois é no ambiente escolar que o
saber sistematizado é discutido.
A Matemática aparece nos currículos desde os níveis iniciais da escolarização.
Barufi (1999) a considera como uma das áreas do conhecimento “mais aptas a
desempenhar um papel interdisciplinar e básico, comparável talvez somente à língua
materna” (p. 26).
Para Onuchic e Allevato (2009), nos dias atuais, a Matemática tem um papel de
extrema importância, sendo que a “necessidade de se ‘entender’ e de ‘ser capaz’ de usar a
Matemática na vida diária e nos locais de trabalho nunca foi tão grande” (p. 213), ou seja, a
Matemática é importante e necessária para se entender o mundo e viver nele. Ainda
segundo as pesquisadoras, vários têm sido os esforços para tornar o ensino de Matemática
mais eficiente. Durante o século XX, ocorreram muitos movimentos relacionados a
mudanças na Educação Matemática, fazendo com que esse assunto passasse a ter grande
importância em debates.
Igliori (2009, p. 11) conta que a Educação Matemática é um campo de pesquisa
que desenvolve investigações em diversos ramos da Matemática na sociedade, tendo
grande destaque as discussões sobre seu ensino e aprendizagem. Nas pesquisas dos anos
1960 o interesse estava voltado para o ensino fundamental. Em seguida, o ensino médio e a
formação de professores passaram a ser estudados. Por volta das décadas de 1980 e 1990,
32
passou-se a pesquisar também o ensino superior. O interesse pela pesquisa resulta do papel
da Matemática no desenvolvimento cognitivo das pessoas desde os níveis iniciais, bem
como pelas dificuldades de aprendizagem apresentadas pelos estudantes. Para Igliori é alto
o “percentual de estudantes do nível superior cujo desempenho na aprendizagem da
Matemática, em especial de Cálculo, tem deixado muito a desejar” (IGLIORI, 2009, p. 12).
A autora caracteriza a pesquisa sobre o processo de ensino e aprendizagem da Matemática
no ensino superior como:
a investigação de fenômenos relacionados à formação do pensamento avançado; investigar fatores que dificultam a aquisição de conceitos da Matemática avançada; expandir a faixa etária das teorias da aprendizagem para a aquisição de conceitos complexos da Matemática; investigar abordagens de ensino que favoreçam a apreensão dos conceitos, entre outros temas. (IGLIORI, 2009, p. 12)
Como podemos ver nas palavras de D’Ambrósio anteriormente citadas, a
Matemática tem um papel histórico importante no desenvolvimento da sociedade. O
Cálculo, cujo ensino tem sido bastante discutido, é um dos atores desse processo. Neste
capítulo, apresentamos alguns aspectos relativos ao surgimento do Cálculo Diferencial e
Integral, com especial destaque para os conceitos de convergência de sequências e de
séries infinitas. Resgatando o desenvolvimento histórico desses conteúdos buscamos
entender as ideias subjacentes ao processo de construção dos conceitos. Com isso,
pretendemos ressaltar a importância do assunto para o desenvolvimento da matemática e
em especial para as ideias básicas do Cálculo. Situando o campo em que está inserida esta
pesquisa, que é a do ensino de Cálculo, fazemos também considerações sobre o ensino de
Sequências e Séries e sobre o ensino de Cálculo no Brasil.
1.1 Sequências e séries infinitas - um pouco de história
Nosso intuito nesta seção é contextualizar o surgimento das ideias de
convergência das sequências e das séries infinitas e mostrar sua importância no
desenvolvimento da Matemática, com o cuidado de não restringir a história da Matemática
a um referencial teórico para o desenvolvimento da pesquisa.
A aparição de uma sequência na história da humanidade é muito antiga. Um dos
primeiros registros aparece no conhecido Papiro de Rhind. O Papiro de Rhind (ou Ahmes),
33
aproximadamente 1650 a.C., é um texto matemático na forma de um manual prático que
contém 85 problemas, sendo uma fonte primária rica sobre a Matemática egípcia antiga
(EVES, 2004, p. 69). Em seu 79º problema, cuja interpretação não é tão precisa, aparecem
os seguintes dados:
Bens Casas 7 Gatos 49 Ratos 343 Espigas de trigo 2401 Hecates de grãos 16807 19607
Esse conjunto de dados foi interpretado por um historiador da Matemática, o
alemão Moritz Cantor, em 1907, como sendo a formulação de algo do tipo: “Uma relação
de bens consistia em sete casas; cada casa tinha sete gatos; cada gato comeu sete ratos;
cada rato comeu sete espigas de trigo; cada espiga de trigo produzia sete hecates de grãos.
Casas, gatos, ratos, espigas de trigo e hecates de grãos, quanto havia disso tudo?” (EVES,
2004, p. 76). Podemos perceber que esses números caracterizam uma sequência finita que,
com a notação de sequência que utilizamos atualmente, se escreve como an = 7n, em que n
representa a ordem dos fatos ocorridos no problema. A pergunta “quanto havia disso
tudo?” nos permite estabelecer uma relação com a soma dos termos da sequência, ou seja,
com a série de finitos termos.
Na obra de Arquimedes (287-212 a.C) encontramos estudos relacionados às ideias
de sequências. Boyer (2012, p.s 99 – 110) relata que um deles buscou determinar a razão
entre a circunferência e o diâmetro de um círculo para obtenção do valor de π. O processo
usado por Arquimedes foi inscrever e circunscrever polígonos regulares no círculo,
calculando seus perímetros. Iniciando com o hexágono, Arquimedes foi dobrando
sucessivamente o número de lados dos polígonos, até chegar a noventa e seis lados. Nesse
processo iterativo chegou ao algoritmo de Arquimedes escrevendo a sequência Pn, pn, P2n,
p2n, P4n, p4n, ... em que Pn e pn são, respectivamente, os perímetros dos polígonos regulares
circunscritos e inscritos de n lados. Com isso, Arquimedes chegou a uma aproximação para
o valor de π expressa na desigualdade 223/71 < π < 220/70. No entanto, ele não falava de
processos infinitos, pois os mesmos eram mal vistos em seu tempo. Embora Boyer não fale
em convergência das sequências, interpretamos que no caso descrito esse conceito está
implícito.
34
Outro exemplo de sequência na História são os números triangulares e os números
quadrados, que são atribuídos aos membros mais antigos da escola pitagórica, por volta
dos anos 500 a.C. a 400 a.C.. Podemos ver suas construções na figura 01 e na figura 02,
respectivamente.
Figura 01: Números triangulares
Fonte: Elaborada pela autora.
Figura 02: Números quadrados Fonte: Elaborada pela autora.
Esses números, “que expressam o número de pontos em certas configurações
geométricas, representam um elo entre a geometria e a aritmética” (EVES, 2004, p. 100).
Com eles, conseguimos dois tipos de sequências infinitas4: nos números triangulares temos
uma sequência recursiva do tipo an = an–1 + n e nos números quadrados temos a sequência
an = n2, sendo an o número de pontos em cada figura e n a ordem da figura.
As sequências também aparecem na obra de Leonardo de Pisa (1180-1250), mais
conhecido como Fibonacci. Segundo Boyer (2012, p.s 181 – 183), Fibonacci escreveu um
livro em 1202, intitulado Liver abaci (ou Livro do Ábaco). Esse livro trata de métodos e
problemas algébricos em que o uso de numerais indoarábicos é recomendado. Nesse livro
são apresentados problemas dos quais um é muito semelhante ao problema do papiro
Ahmes, citado anteriormente. Outro, talvez um dos mais conhecidos, era: “Quantos pares
de coelhos serão produzidos num ano, começando com um só par, se em cada mês cada par
gera um novo par que se torna produtivo a partir do segundo mês?” (BOYER, 2012, p.
182). Esse problema deu origem à sequência de Fibonacci, {1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,..., an, ...}
4 Trataremos as sequências infinitas apenas por sequências.
35
em que an = an-1 + an-2. Sobre essa sequência pode-se provar que dois termos consecutivos
quaisquer são primos entre si e que n
n
n a
a 1lim −
∞→é a razão da seção áurea
2
15 −.
O matemático escocês James Gregory (1638-1675) estendeu o algoritmo de
Arquimedes à quadratura da elipse e da hipérbole. Para isso, ele tomou um triângulo
inscrito de área a0 e um quadrilátero circunscrito de área A0, duplicando sucessivamente os
lados dessas figuras e formando a sequência a0, A0, a1, A1, a2, A2, a3, A3, a4, A4 ... . Assim,
ele passava a ter duas sequências – das áreas inscritas e das áreas circunscritas – que
convergiam para a área da cônica. Essa foi a primeira vez que Gregory usou a palavra
“convergir” com essa acepção (BOYER, 2012, p. 268).
Com relação às séries infinitas5, Boyer (2012, p. 103) relata que há registros de
estudos na Antiguidade. Arquimedes discutiu a quadratura da parábola através da soma de
uma progressão geométrica infinita. Arquimedes não falava de infinito, mas ele provou a
quadratura por meio de reductio ad absurdum, nos moldes do método da exaustão 6.
No século XIV, alguns matemáticos como Richard Suiseth (mais conhecido como
Calculator, que viveu por volta de 1350) e Oresmes (1323?-1382), o maior matemático
daquele século, resolveram o seguinte problema que envolve séries:
Se, durante a primeira metade de um tempo dado, uma variação continua com uma certa intensidade, durante a quarta parte seguinte do intervalo continua com o dobro da intensidade, durante a oitava parte seguinte com o triplo da intensidade e assim ad infinitum; então a intensidade média para o intervalo todo será a intensidade da variação durante o segundo subintervalo (ou o dobro da intensidade inicial). (BOYER, 2012, p. 189)
Mostrar o que está enunciado acima é o mesmo que mostrar a convergência para 2
da série LL +++++n
n
28
3
4
2
2
1. Calculator fez uma longa demonstração analítica
enquanto Oresme utilizou um processo gráfico e provou o teorema com mais facilidade.
Oresme foi o primeiro a demonstrar a divergência da série harmônica, apesar de a
demonstração ser geralmente atribuída a Jacques Bernoulli (1654-1705), outro grande 5 Trataremos as séries infinitas apenas por séries. 6 Segundo Boyer (2012) do axioma de Eudoxo (ou Arquimedes) é fácil provar uma proposição que era a base do método da exaustão, pelo seguinte: “Se de uma grandeza qualquer subtrairmos uma parte não menor que sua metade e do resto novamente subtrai-se não menos que a metade e se esse processo de subtração é continuado, finalmente restará uma grandeza menor que qualquer grandeza de mesma espécie”. Essa propriedade equivale à formulação moderna de limite, pois é dito o seguinte: “se M é uma grandeza dada, ε uma grandeza prefixada de mesma espécie e r é uma razão tal que 1/2 ≤ r < 1, então podemos achar um inteiro N tal que M(1 – r)n < ε para todo inteiro n > N”, ou seja, 0)1(lim =−
∞→
n
nrM (BOYER, 2012, p. 81).
36
matemático que se interessava pelas séries. A prova dada por Oresme para a divergência da
série harmônica é uma conhecida prova em que se separa o primeiro termo e depois são
feitos agrupamentos do segundo com o terceiro termo (2 termos), do quarto ao sétimo
termo (4 termos) e, assim, sucessivamente, de forma que o n-ésimo grupo tenha 2n–1
termos. Dessa forma tem-se uma infinidade de grupos; para cada um deles a soma dos
termos é superior a 2
1, o que permite concluir que a soma de todos os termos supera
qualquer número dado (BOYER, 2012, p. 189).
Segundo Eves (2004, p. 403) enquanto os matemáticos tentavam obter melhores
aproximações para o valor de π, Gregory, em 1668, obtinha a série de potências para a
função arctg(x):
)11(9753
)(9753
≤≤−−+−+−= xxxxx
xxarctg L .
Gregory não percebeu que, para x = 1, a série tornava possível obter uma
aproximação para o valor de π:
L−+−+−=9
1
7
1
5
1
3
11
4
π
Essa série é associada a Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716), constituindo-se
uma de suas primeiras descobertas matemáticas (BOYER, 2012, p. 290). Falaremos mais
sobre Leibniz adiante.9
Nicolaus Mercartor (1620-1687) interessava-se muito pelos estudos de
logaritmos. Em 1668, publicou um resultado muito parecido com o de Gregory, baseado no
método da divisão de Gregory e na obra de Gregório de St. Vincent, sobre a área abaixo da
hipérbole x
y+
=1
1, de x = 0 à x = x ser igual a ln(1 + x). Chegou à seguinte integração7
LL −+−+−=+=+−+−=+∫ ∫ 5432
)1ln()1(1
5432
0 0
32 xxxxxxdxxxx
x
dxx x
7 A equação definida pela integral é uma escrita recente abordada por Boyer para explicar o resultado encontrado por Mercartor.
37
(BOYER, 2012, p. 269).
Segundo Eves (2004, p. 403), Gregory foi o primeiro matemático a fazer distinção
entre séries convergentes e séries divergentes. Para Boyer (2012, p. 269) se Gregory
tivesse expressado sua obra analítica, ao invés de geometricamente, teria sido o precursor
na invenção do Cálculo, pois tinha muito conhecimento sobre vários elementos
fundamentais da matéria.
Em 1672, foi publicada pelo italiano Pietro Mengoli (1625-1686) mais uma obra
que tratava da quadratura do círculo, a II problema della quadratura del circolo.
Influenciado pelas obras de Cavalieri, de Torricelli e de Gregório de St. Vincent, Mengoli
estudava indivisíveis e áreas sob as hipérboles e passou a trabalhar com um processo “cuja
utilidade começou a tornar-se evidente quase pela primeira vez – o uso de séries infinitas”
(BOYER, 2012, p. 257). Ele provou a seguinte igualdade da série alternada
2ln)1(
4
1
3
1
2
1
1
1 1
=+−
++−+−
+
LLn
n
.
E também redescobriu que a série harmônica não converge. Mengoli se preocupava com
somas e produtos infinitos, o que era importante para o desenvolvimento da Matemática
(BOYER, 2012, p. 257).
Encontramos na obra de Isaac Newton (1642-1727), a quem se atribui a
descoberta do Cálculo, muitos resultados relativos a processos e somas infinitas. Newton
foi sucessor de Jonh Wallis (1616-1703) e de Isaac Barrow (1630-1766), matemáticos que
trabalhavam com o infinito e cujas obras já apresentavam alguns resultados relativos aos
processos hoje conhecidos como derivação e integração.
Wallis, em 1655, escreveu sua obra Arithmetica infinitorum que continha grandes
contribuições à Matemática, dentre elas estavam a escrita das cônicas como curvas de
segundo grau (em vez de seções cônicas) e as extensões dos métodos de Descartes e
Cavaliere. Ao estudar as razões entre os quadrados dos indivisíveis no triângulo com o
quadrado dos indivisíveis no retângulo, Wallis concluiu que
nnnnnn
nn
6
1
3
1)1(21022222
22222
+=+++++
+−++++
L
L, quando n tende ao infinito, a razão tende a 1/3.
A razão anterior é equivalente à 3
11
0
2=∫ dxx . Por meio de indução incompleta Wallis
38
chegou à afirmação da fórmula que hoje8 equivale à 1
11
0 +=∫ m
dxxm , em que m é um valor
inteiro, ou um fracionário ou negativo, desde que seja diferente de –1 (BOYER, 2012, p.
266).
Wallis estava empenhado em determinar o valor de 4
π por meio da área de um
quadrante do círculo x2 + y2 = 1, que é equivalente à ∫ −
1
0
2/12 )1( dxx . Entretanto, Wallis
desconhecia o teorema geral do binômio, o que o impedia de encontrar o valor da integral
anterior. Com isso, ele calculou diversas áreas, trocando 1/2 por 0, 1, 2, 3,... e obtendo a
sequência 1, 2/3, 8/15, 16/35, ... . Wallis só foi conseguir uma aproximação para π depois
de um processo longo e complicado, resultando no seguinte produto infinito
K
K
7755331
8664422
2 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅⋅⋅=
π.
Como foi dito, outro predecessor de Newton foi Isaac Barrow. Em 1669 ele
publicou seu trabalho mais importante o Lectiones opticae et geometricae, que contava
com a ajuda de Newton na parte referente à ótica e no qual “se encontra uma abordagem
muito próxima do processo moderno de diferenciação, mediante o uso do chamado
triângulo diferencial, que ainda se encontra nos textos atuais de Cálculo” (EVES, 2004, p.
434). Barrow, em 1670, escreve em uma conferência sobre o método das tangentes,
Em suplemento a isso acrescentamos, sob forma de apêndices, um método para encontrar tangentes por cálculo frequentemente usado por nós, embora eu não saiba, depois de tantos métodos bem conhecidos e usados dados acima, se há alguma vantagem em fazê-los. No entanto, eu o faço por conselho de um amigo [que mais tarde se mostrou ter sido Newton]; e com tanto maior boa vontade por parecer ser mais proveitoso e geral que os que já discuti. (BOYER, 2012, p. 270)
Nas Lectiones de Barrow está enunciado e demonstrado, por meios geométricos,
que a diferenciação e a integração são operações inversas, o que hoje conhecemos como
Teorema Fundamental do Cálculo (EVES, 2004, p. 435).
8 Nenhum dos dois autores, Eves ou Boyer, dão indícios de como era a escrita desenvolvida por Wallis antes de Newton e Leibniz.
39
Por volta de 1665, Newton começou a exprimir funções em termos de séries e a
trabalhar com taxa de variação, fazendo uma ligação entre esses dois métodos (BOYER,
2012, p. 272). No começo, Newton estudou o trabalho de Wallis “sobre a determinação da
área (de x = 0 a x = x) sob curvas, cujas ordenadas são da forma (1 – x2)n” (BOYER, 2012,
p. 273), experimentando para n = 0, 1, 2, 3 e assim por diante. Ao trabalhar com o
expoente n = 2
1 concluiu que (1 – x2)n poderia ser expresso pela série
L−−−−−8642
128
5
16
1
8
1
2
11 xxxx .
Boyer (2012, p. 270) conta-nos que, em 13 de junho de 1676, Newton escreveu
uma carta que foi enviada a Oldenburg, mas que estava destinada a Leibniz, com o
seguinte teorema sobre divisões e radicais envolvendo quantidades algébricas:
As extrações de Raízes são muito abreviadas pelo Teorema
etcCQn
nmBQ
n
nmAQ
n
m
n
mP
n
mPQP +
−+
−++=+
3
2
2
onde P + PQ representa uma Quantidade cuja Raiz ou Potência ou cuja Raiz de uma Potência se quer achar, P sendo o primeiro termo dessa quantidade, Q sendo os termos restantes divididos por essa primeira e m/n o índice numérico das potências de P + PQ... Finalmente, em lugar dos termos que ocorrem durante o trabalho do Quociente, eu usarei A, B, C, etc. Assim A representa o primeiro termo P(m/n); B o segundo termo (m/n) AQ e assim por diante. (BOYER, 2012, p. 272 e 273)
Em 24 de outubro de 1676, enviou outra carta explicando detalhadamente como havia
chegado a essa série binomial.
Para Newton, tornou-se claro que era possível trabalhar com séries de maneira
semelhante à usada para expressões polinomiais finitas. Newton verificou que a análise por
séries estava sujeita às mesmas leis da álgebra finita. Boyer (2012, p. 273) reapresenta o
que Newton anunciou sobre séries infinitas e séries convergentes: “indicam a designação
de alguma quantidade particular por uma Progressão regular de quantidades que,
continuamente se aproximam dela e que, se prolongada infinitamente, devem ser iguais a
ela”.
Em 1711, Newton publicou um artigo intitulado De analysi per aequationes
numero terminorum infinitas, escrito em 1669, que dizia:
40
E tudo que a análise comum [isto é, a álgebra] executa por Meio de Equações com número finito de Termos (desde que possa ser feito) esse novo método sempre pode executar por Meio de Equações infinitas. Por isso não hesitei em dar a isso o nome de Análise também. Pois os raciocínios aqui não são menos certos que na outra; nem as Equações, menos exatas; embora nós Mortais cujos Poderes de raciocínio estão restritos a Limites estreitos, não possamos nem exprimir nem conceber todos os termos dessas Equações de modo a saber exatamente delas as Quantidades que queremos. Para concluir, podemos merecidamente considerar como pertencente às Áreas e Comprimentos etc. das Curvas podem ser exata e geometricamente determinados. (BOYER, 2012, p. 273, grifo do autor)
A obra De Analysi é de grande importância por apresentar o trabalho de Newton
sobre séries, constituindo-se em sua primeira exposição de maneira sistemática de sua
principal descoberta, o Cálculo (BOYER, 2012, p. 274).
As séries também tiveram papel importante no desenvolvimento das ideias
matemáticas de Leibniz, a quem também se atribui a descoberta do Cálculo.
Em 1673, Leibniz, ao ler a carta de Amos Dettonville sobre Traité dês sinus du
quart de cercle percebeu resultados sobre a determinação de tangentes e sobre as
quadraturas. Na linguagem de hoje, podemos dizer que Leibniz percebeu que a
determinação da tangente a uma curva dependia da razão das diferenças das ordenadas
pelas diferenças das abscissas, quando essas se tornavam infinitamente pequenas e que a
quadratura dependia da soma das áreas dos retângulos que possuíam altura na curva e cujas
bases, no eixo das abscissas, se tornavam infinitamente pequenas, determinando assim a
área sob a curva (BOYER, 2012, p. 288). Levando em consideração a quadratura de
Gregory e Mercator, Leibniz chegou à série para o arco seno de x. Newton já havia
encontrado a série por método semelhante.
Em 1676, foi proposto a Leibniz encontrar a soma dos recíprocos dos números
triangulares, ou seja, a soma dos termos da sequência cujo termo geral é )1(
2
+nn.
Sabiamente ele reescreveu esse termo geral como
+−
1
112
nn, chegando à conclusão de
que o valor da soma para infinitos termos é 2.
Ainda em 1676, Leibniz, assim como Newton, havia concluído que possuía um
método muito importante nas mãos, pois com ele era possível trabalhar com funções
racionais, irracionais, algébricas ou transcendentes (palavra inventada por Leibniz). Passou
a utilizar as notações dx e dy para os diferenciais em x e y e também o símbolo ∫ , como
41
uma letra s, para representar a soma das áreas dos retângulos formados abaixo da curva.
Utilizava também os nomes calculus differentialis para achar tangentes e calculus
integralis para achar a quadratura (BOYER, 2012, p. 289). Essas notações e expressões são
ainda hoje utilizadas nos cursos de Cálculo.
Os irmãos Jacques Bernoulli e Jean Bernoulli (1667-1748) entusiasmaram-se com
a Matemática ao lerem os artigos de Leibniz em Acta eruditorum e passaram a ter contato
com Leibniz (BOYER, 2012, p.s 291 – 296). Jacques Bernoulli interessou-se muito por
séries infinitas e, em seu primeiro artigo publicado sobre o assunto, em 1698, apresentou a
conhecida “desigualdade de Bernoulli”, expressa por ( ) nxx n+>+ 11 , em que x é real e
x > – 1 e x ≠ 0 e n é um inteiro maior do que um, mas que já havia sido publicado por
Barrow em 1670. Também mostrou que a série dos recíprocos dos quadrados perfeitos
LL ++++++2222
1
4
1
3
1
2
1
1
1
n
é convergente ao comparar, termo a termo, com a série
LL +−
++⋅
+⋅
+⋅
+nn )1(
1
43
1
32
1
21
1
1
1
que possui os termos maiores ou iguais aos da primeira, que ele já conhecia e sabia que
convergia para 2 (BOYER, 2012, p. 293).
À Jean Bernoulli é geralmente atribuído o cálculo com exponenciais, pois o
mesmo estudou as curvas exponenciais simples y = ax e também as gerais y = xx. A área
sob a curva y = xx de x = 0 a x = 1 foi determinada pelo suíço através da convergência da
série
L+−+−4321 4
1
3
1
2
1
1
1.
O matemático mais conhecido pelos estudos de séries de potências é Brook Taylor
(1638-1731). É informado por Eves (2004, p. 469), que Taylor publicou em 1715 a
chamada série de Taylor, que é a aproximação de uma função em um determinado ponto
por meio de uma série de potências da forma
42
LL +++++=+ )(!
)(''!2
)(')()( )(2
afn
haf
hahfafhaf n
n
.
Em 1717, Taylor substituiu o valor de a + h por x encontrando a seguinte
expressão:
LL +−++−+−+=n
n
axn
afax
afax
afafxf )(
!
)()(
!2
)('')(
!1
)(')()(
)(2 .
A série que leva o nome de Colin Maclaurin (1698-1746), publicada em 1742,
apresenta um caso particular da série de Taylor no qual o valor de a é substituído por zero
(Eves, 2004, p. 469).
Interessante destacar que Gregory tinha descoberto a série, que hoje recebe o
nome de série de Taylor, aproximadamente quarenta anos antes de Taylor, mas não a
publicou. Gregory também tinha conhecimento antecipado das séries de Maclaurin para
tangente, secante, arco tangente e arco secante de x, mas somente a série para arctg x leva o
seu nome (BOYER, 2012, p. 269).
É possível observar, por meio de toda história relatada, que ideias relativas a
sequências e séries estão presentes na história da Matemática por mais de três mil anos e
que esses dois conteúdos foram ferramentas importantes para o desenvolvimento do
Cálculo. A aprendizagem desses conceitos nos cursos superiores é de extrema importância,
uma vez que conceitos relacionados aos processos infinitos e convergência constituem
fundamentos para os conteúdos de Cálculo.
1.2 O ensino de Cálculo e, em especial, o ensino de sequências e séries: situando o
contexto brasileiro
A disciplina de Cálculo está presente no currículo da maioria dos cursos da área
de exatas e em alguns cursos de outras áreas. O Cálculo é lecionado com mais ou menos
profundidade de acordo com os objetivos do curso.
Encontramos vários autores que falam da importância do ensino de Cálculo. Para
Barufi (1999), o Cálculo é um curso “básico, amplo e integrador, de caráter fundamental”
(p. 3), pois serve para o estudo de funções de uma ou mais variáveis, taxas de variação de
43
grandezas e aproximação local de funções. Esses conteúdos constituem fundamentos para
vários cursos. Lachini (2001) diz que o ensino-aprendizagem de Cálculo tem dois objetivos
principais, “um deles é habituar o estudante a pensar de maneira organizada e com
mobilidade; o outro, estabelecer condições para que o estudante aprenda a utilizar as ideias
do Cálculo como regras e procedimentos na resolução de problemas em situações
concretas” (LACHINI, 2001, p. 147). Ao citar Willcox9 et al, sobre a relação do Cálculo
com o mundo real, Rezende (2003) concorda com Lachini ao dizer que o Cálculo é
“imprescindível para a formação do cidadão” (p. 37, grifo do autor) e também é
integrador do próprio conhecimento matemático, pois é “imprescindível para o
desenvolvimento e organização interna da matemática e de suas diversas áreas” (p. 37). A
pesquisadora Catapani (2001) considera que a disciplina de Cálculo tem por objetivo servir
de base para as carreiras diversas, devido à sua grande aplicabilidade. Franchi (1993)
destaca o importante papel do Cálculo como linguagem na representação dos fenômenos
da realidade e como instrumento para a resolução de problemas. Essas manifestações nos
mostram a importância da disciplina de Cálculo em cursos superiores, tanto para o
desenvolvimento pessoal do aluno quanto como base para as demais disciplinas.
É fato que, apesar da reconhecida importância da disciplina de Cálculo nos
currículos, muitos são os problemas com o seu ensino: aulas extremamente expositivas e
formais; apresentação de uma Matemática pronta, levando os alunos à memorização de
fórmulas; resolução de múltiplos exercícios, resultando em um processo mecânico de
aprendizagem; alunos com defasagem na aprendizagem dos ensinos fundamental e médio,
comprometendo a habilidade de abstração; dificuldade de operações com o infinito; pouco
entendimento do conceito de limite e de convergência.
Segundo Igliori (2009, p. 13) tanto o insucesso dos alunos no Cálculo quanto a
condição privilegiada da disciplina na formação do pensamento matemático avançado têm
motivado muitos estudos sobre o ensino de Cálculo, constituindo a maior parte das
pesquisas no ensino superior. Catapani (2001) considera que o ensino de Cálculo tem sido
amplamente discutido devido aos problemas que enfrenta, como altos índices de evasão e
reprovação.
Diversas questões têm sido apontadas por estudiosos da área como causa do problema, desde a forma tradicional de ministrar a disciplina até a falta de motivação por parte de professores e alunos envolvidos com o
9 Willcox et al (1971) diz que a importância do Cálculo deriva da potência e beleza intrínsecas de suas ideias e dos muitos e variados contatos entre essas ideias e o “mundo real”.
44
Cálculo. Dessa forma, ao invés de desempenhar importante papel no desenvolvimento da sociedade científica e tecnológica em que vivemos, o Cálculo tem-se colocado como barreira ao acesso profissional a muitos estudantes que conseguiram ingressar nas universidades. (CATAPANI, 2001, p. 49)
Há ainda o problema de o aluno desenvolver uma dependência do professor e não
uma autonomia com os conceitos matemáticos e encontrar dificuldades em sua aplicação
na vida profissional. Isso, segundo Soares e Sauer (2004), decorre da forma como são
ensinados:
tradicionalmente, têm sido baseados em atividades, operações, técnicas, manipulação de softwares e outros procedimentos realizados pelos alunos, por solicitação de seus professores. O conhecimento matemático é apresentado sob a forma de regras e fórmulas, execução de algoritmos, informações sobre definições, teoremas (resultados) e linguagem simbólica. (SOARES e SAUER, 2004, p. 245)
Soares e Sauer (2004) afirmam que, com isso, o aluno passa a ser passivo,
inseguro e dependente do professor para decidir se os resultados encontrados estão corretos
ou não. Acrescentam ainda que o aprender passa a ser “assistir a aulas, observar o que é
apresentado, copiar, repetir e apresentar respostas às questões, mais ou menos próximas do
que foi planejado” (p. 245).
Um dos problemas apontados no ensino de Cálculo por Rezende (2003) está em
um conflito pedagógico entre o que o professor pede para o aluno e o que o professor de
fato faz em sala de aula: “Se nas aulas propriamente ditas o que prevalece são as
demonstrações, nas avaliações o que se pede em geral é a técnica, os cálculos de limites, de
derivadas, de antiderivadas e integrais” (REZENDE, 2003, p. 13).
Ainda para Rezende (2003, p. 324), as dificuldades de aprendizagem em um curso
inicial de Cálculo vão desde “problemas de fundo emocional”, como medo de ser
reprovado na disciplina, até “problemas de base” na formação Matemática do estudante.
Para ele grande parte das dificuldades de aprendizagem é de natureza epistemológica, que
foi por ele dividida em cinco macroespaços: discreto/contínuo, finito/infinito,
variabilidade/permanência, local/global e sistematização/construção. A principal fonte de
obstáculos epistemológicos seria a falta das ideias e problemas essenciais do Cálculo no
ensino básico de Matemática.
São muitas as causas apontadas por Lachini (2001) para o insucesso de
professores e alunos no trabalho com Cálculo.
45
Elas varrem um leque de explicações que vão desde o despreparo do aluno e a incompetência de professores até fatores institucionais, política implementada pelo governo e dependência de capital internacional. Sem perder de vista o contexto em que a escola está inserida, vem como os múltiplos fatores intervenientes na ação pedagógica, o pressuposto [...] é que, tanto o sucesso quanto o insucesso podem ser explicados também nas relações instituídas por professores e alunos, em torno do trabalho com o conteúdo de Cálculo. (LACHINI, 2001, p. 149, grifos do autor)
Alguns autores tecem considerações sobre como devem ser as aulas em um curso
de Cálculo. De acordo com Barufi (1999), as aulas não devem ter como foco principal um
“universo rigoroso e distante” (p. 150) no qual o aluno não consegue exercer qualquer tipo
de crítica.
Para amenizar as dificuldades de natureza epistemológicas, Rezende (2003)
sugere que “se permita às ideias básicas do Cálculo participar efetivamente da tecedura do
conhecimento matemático no ensino básico” (p. 442). Isso sendo feito, “as dificuldades do
ensino superior de Cálculo serão, em grande parte, superadas, tanto quanto as do próprio
ensino de Matemática” (REZENDE, 2003, p. 442).
Ainda com relação à sala de aula, Lachini (2001) sugere algumas modificações
para as faculdades: redefinir a sala de aula como um espaço de trabalho e não meramente
um local de repasse de uma mercadoria; no caso do Cálculo, sendo o professor o
entregador e o aluno o consumidor, assim, seriam modificadas também as relações entre os
agentes. Sugere outras modificações que, para ele, são pequenas, mas significativas:
passar do dar e do assistir aula para o fazer aula; passar da presença-assinatura para a presença ativa em sala de aula; passar da avaliação através de provas para a avaliação através do trabalho efetivamente realizado ao longo do ano letivo; passar de um processo de memorização para um processo de incorporação. (LACHINI, 2001, p. 188)
A importância das sequências e séries, inseridas nas disciplinas básicas de cursos
superiores, também tem sido destacada por diversos autores pelas possibilidades de
utilização desses conceitos em diferentes contextos. James Stewart, um renomado autor de
livros didáticos tenta, na introdução de um dos capítulos de seu livro Cálculo, volume 2,
mostrar aos alunos a importância do conteúdo:
Muitas das funções que surgem em física-matemática e química, tais como funções de Bessel, são definidas como somas de séries assim, é importante nos familiarizarmos com os conceitos básicos de
46
convergência de sequências e séries infinitas. [...] Os físicos também usam séries de outra maneira [...]. Em áreas de estudo tão diversas quanto óptica, relatividade especial e eletromagnetismo, eles analisam fenômenos trocando uma função pelos principais termos da série que a representa. (STEWART, 2009, p. 640).
Na dissertação de Nunes (2001) sobre convergência de sequências numéricas, é
feita referência à pesquisa da francesa Aline Robert (1982) que diz que “a convergência
das sequências numéricas faz parte de um campo essencial nos fundamentos da análise
matemática, campo que concerne às funções numéricas, aos limites de funções, à
convergência, aos números reais” (NUNES, 2001, p. 9).
A introdução do conteúdo de sequências e séries em sala de aula não é simples.
Bagni (2005, p.8) ressalta diferentes aspectos relativos aos processos cognitivos
envolvidos. Na fase inicial, os alunos abordam os conceitos de uma maneira intuitiva sem
uma compreensão completa do problema. Essa fase é principalmente operacional. Depois
os alunos passam para uma fase de maturidade, na qual o aprendizado melhora
gradativamente. O professor tem que ter profunda habilidade epistemológica para ajudar os
alunos nessa transposição didática. Bagni aponta que, ao considerar uma abordagem que
passa primeiro por uma concepção operacional, para então passar por uma concepção
estrutural, algumas dificuldades podem ocorrer, como por exemplo, na medida em que
uma série está sendo ensinada, a passagem da concepção operacional para a estrutural tem
sido muito árdua por causa da necessidade de algumas noções básicas, como o conceito de
limite. Outro problema apontado é a passagem de operações finitas para o infinito
(BAGNI, 2005, p. 9).
Para o ensino de séries, Bagni (2005, p. 2) apresenta algumas sugestões. Segundo
ele, ao introduzirmos séries em sala de aula devemos saber que os alunos geralmente
consideram que uma soma de infinitos termos terá como resultado um valor infinitamente
grande. Podemos tentar sanar esse tipo de pré-conceito utilizando recursos visuais.
Tomemos como exemplo a série L+++++32
1
16
1
8
1
4
1
2
1 . É fácil ver, por meio da figura
3, que a mesma é convergente.
47
Figura 3: Visualização geométrica da convergência da série geométrica de razão
2
1
Fonte: Elaborada pela autora.
Esse exemplo pode ser muito útil, pois mostra uma soma de infinitos termos que
não possui um resultado infinito. Porém, Bagni (2005) observa que é necessário cautela,
pois os alunos poderiam perceber que os termos da série se tornam “indefinidamente
pequenos e essa condição pode ser considerada erradamente como suficiente para a
convergência de uma série infinita”10 (p. 3). A série harmônica seria uma alternativa para
superar esse equívoco. Devemos tomar o cuidado, também, para que os alunos não
procurem resolver todas as séries infinitas através de recursos visuais.
Ainda sobre o ensino de sequências e séries, Nunes (2001) apoia-se em Aline
Robert para dizer que a aprendizagem desses conteúdos deve partir da ação. Ressalta que,
para afastar certas representações erradas, devem ser usadas sequências didáticas bem
escolhidas.
As questões relativas às dificuldades no ensino de sequências e séries, bem como
do ensino de Cálculo, têm sido debatidas em âmbito internacional. Rezende (2003, p. 3)
relata que o fracasso no ensino do Cálculo não é uma questão apenas nacional, pois vários
trabalhos sobre o ensino e a aprendizagem de Cálculo têm sido publicados em outros
países. Um exemplo é o texto de Bagni (2005) já citado anteriormente nesse capítulo. Um
referencial usado em muitos desses trabalhos é o do Pensamento Matemático Avançado,
cujas “questões giram em torno das dificuldades encontradas nas aprendizagens dos
conceitos básicos do Cálculo, tendo a psicologia cognitiva como pano de fundo para suas
análises epistemológicas” (REZENDE, 2003, p. 4).
No Capítulo 2 veremos um pouco mais sobre o Pensamento Matemático
Avançado e sobre a teoria dos Três Mundos da Matemática que têm como um dos seus
principais articuladores o pesquisador David Orme Tall.
10 Tradução nossa para “indefinitely small and this condition can be considered wrongly as a sufficient one for the convergence of an infinite series”.
49
CAPÍTULO 2
BUSCANDO A FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
É fato que muitos alunos que tinham facilidade com a Matemática nos ensinos
fundamental e médio passam a ter dificuldade ao ingressarem no ensino superior.
Na Matemática trabalhada nos cursos de Cálculo, apesar de não haver
formalização como nos cursos de Análise, faz-se um movimento em direção à
apresentação dos conceitos por meio de suas definições e à dedução ou demonstração de
resultados. O aluno que vem do fundamental e médio provavelmente não vivenciou esse
tipo de abordagem.
Segundo Tall (1991, p. 3), muitas vezes no ensino de Matemática na graduação, é
apresentada a forma final da teoria ao invés de o aluno participar do ciclo de criação da
mesma. Ele ainda cita Skemp (1971) dizendo que “as atuais abordagens do ensino na
graduação tendem a dar aos alunos o produto do pensamento matemático, em vez de o
processo do pensamento matemático”11. Concordamos com essas ideias e entendemos que
não conhecer o processo pode dificultar o desenvolvimento dessa nova forma de pensar
exigida para a Matemática avançada.
Dreyfus (1991) coloca que, geralmente, em um curso de Cálculo (e outros cursos),
são informados inicialmente ao professor o livro que deverá utilizar e o conteúdo que
deverá ministrar dentro de um prazo determinado. Isso dificulta o trabalho do professor,
que não consegue se afastar das aulas teóricas típicas, em que são apresentados vários
teoremas a serem provados e suas aplicações, tratando a Matemática de modo formal e
acabado. Apesar de esse professor saber que a Matemática não foi desenvolvida como é
apresentada nos livros didáticos, ou seja, de saber que a Matemática foi, e ainda é
desenvolvida através de formulações intuitivas, tentativa e erro, desenhos que tentam
expressar as estruturas do pensamento matemático, entre outras estratégias, muitas vezes
ele a ensina como um produto acabado: apresenta apenas o resultado final, seguindo a
sequência teorema, prova e aplicação. Essa maneira de ensinar, muitas vezes, se torna
conveniente, pois “permite uma estrutura bem planejada do curso, bem como o progresso
previsto pelo material, chegando, assim, a uma garantia quase certa de que a maioria do
11 Tradução nossa para: “current approaches to undergraduate teaching tend to give students the product of mathematical thought rather than the process of mathematical thinking”.
50
material no currículo pode ser coberto”12 (DREYFUS, 1991, p. 27). Todavia, essa
metodologia apresenta, pelo menos, uma desvantagem muito séria: ela é inflexível em
termos de adaptabilidade para os alunos.
Ainda nos é colocado por Dreyfus (1991) que o tipo de aula apresentada
anteriormente pode funcionar para alunos que têm grande facilidade com a Matemática,
que já possuem uma “atitude matemática”. Entretanto, ela não funciona com a maioria dos
alunos formados em cursos que possuem a Matemática como disciplina básica. Dreyfus
(1991), embasado na pesquisa de Davis (1988), aponta que os alunos aprendem a
Matemática como se fosse um ritual, ou seja,
o que a maioria dos alunos aprende em seus cursos de matemática é executar um grande número de procedimentos padronizados, moldados precisamente em formalismos, para obter respostas para uma classe de exercícios claramente delimitada. [...] Eles acabam com uma quantidade considerável de conhecimento matemático, mas sem a metodologia de trabalho dos matemáticos, de maneira que falta o know-how que lhes permite utilizar os seus conhecimentos de maneira flexível para resolver problemas de um tipo desconhecido para eles.13 (DREYFUS, 1991, p. 28).
Esses alunos aprendem a forma final da Matemática e não adquirem o
conhecimento do desenvolvimento dos processos matemáticos. Alguns professores acham
que apresentar a Matemática para os alunos em uma ordem lógica irá facilitar o
entendimento dos mesmos. Contudo, para o aluno, essa formalidade inicial pode apresentar
dificuldade no aprendizado. O essencial para o aluno é uma Matemática que cresce
juntamente com ele, ou seja, que apresenta o “desenvolvimento de sua estrutura de
conhecimento e os processos do pensamento” (TALL, 1991, p. 7).
Domingos (2001), em uma investigação teórica sobre o aprendizado de
Matemática, concluiu que
há uma evidência bastante acentuada que suporta a importância de aprender com compreensão desde o início, por contraposição a uma aprendizagem que assenta na aquisição de determinadas habilidades
12 Tradução nossa para: “it allows for a well-planned structure of the course, as well as for predictable progress through the material, and thus for a fairly certain guarantee that most of the material in the syllabus can be covered.” 13 Tradução nossa para: “what most students learn in their mathematics courses is, to carry out a large number of standardized procedures, cast in precisely defied formalisms, for obtaining answers to clearly delimited classes of exercise questions.[…] They end up with a considerable amount of mathematical knowledge but without the working methodology of the mathematician, that is they lack the know-how that allows them to use their knowledge in a flexible manner to solve problems of a type unknown to them.”.
51
isoladas para as quais só a posteriori é desenvolvida uma compreensão de como é que estas funcionam formando um todo. Quando os alunos aprendem com compreensão eles são capazes de aplicar esses conhecimentos para aprender novos tópicos e para resolver novos problemas. (DOMINGOS, 2001, p. 113)
Segundo Dreyfus (1991), os processos mentais que o professor espera provocar no
aluno para que ocorra a aprendizagem nem sempre acontecem por si sós e, mesmo quando
acontecem, o aluno pode não ter consciência disso. Para esse autor, não basta definir e
exemplificar um determinado conceito abstrato. Devem-se desenvolver atividades nas
quais as propriedades possam ser obtidas a partir da definição. Isso é feito com o objetivo
de levar o aluno à abstração e ele deve saber que esse é o objetivo da atividade.
Entre vários quadros teóricos que tratam do ensino e da aprendizagem da
Matemática no ensino superior, alguns se destacam no que diz respeito aos processos
cognitivos característicos dessa etapa e também à transição entre o tipo de pensamento
exigido no ensino secundário para o exigido no superior.
No ano de 1985 um grupo de pesquisadores se organizou para escrever artigos
relacionados a tal assunto. Estes artigos foram compilados em um livro, intitulado
Advanced Mathematical Thinking, que foi lançado em 1991, tendo David Tall como editor.
A publicação traz os textos agrupados em três categorias, sendo elas: a natureza do
pensamento matemático avançado; teoria cognitiva; e análise dos processos da pesquisa
cognitiva em diferentes áreas da matemática avançada.
Dentre os autores desse grupo destacamos em nossa pesquisa as perspectivas de
Tommy Dreyfus, David Tall, John Mason e Gila Hanna para descrever os processos
envolvidos na construção do conhecimento matemático e a noção de prova em diferentes
níveis de ensino. De Dreyfus utilizamos as ideias relativas ao conjunto de processos que
constituem o pensamento matemático avançado, o que nos deu subsídios para a análise dos
dados no que diz respeito à transição entre o pensamento matemático elementar e o
avançado. De Tall nos apropriamos principalmente do quadro teórico sobre o
desenvolvimento cognitivo em Matemática, denominado Três Mundos da Matemática, que
foi usado para concepção das atividades e análise dos dados no que diz respeito à
corporificação dos conceitos.
Esse mesmo aporte teórico é utilizado em outras pesquisas correlatas.
No cenário internacional destacamos as pesquisas de Anna Poynter (2004), que
analisou a compreensão do conceito de vetor por meio de uma abordagem experimental, e
de Juan Pablo Mejia-Ramos (2008) que estudou os meios utilizados pelos alunos de
52
graduação para construir argumentos matemáticos válidos para provar conjecturas em
matemática. Tanto Poynter, quanto Mejia-Ramos, foram orientados por Tall.
No cenário brasileiro destacamos as pesquisas de Lima (2007) e outras por ela
orientadas. Lima (2007) utiliza o quadro dos Três Mundos da Matemática para analisar
questões relativas às concepções de equações apresentadas por alunos do Ensino Médio.
Outros exemplos são as pesquisas de Badaró (2010), Freire (2011), Koch (2011), Santos
(2011), todas orientadas por Lima. Ainda encontramos dissertações, orientadas por outros
pesquisadores, relacionando os Três Mundos da Matemática com: a Modelagem (Sousa,
2010) e o conceito de função (Angelini, 2010).
Dedicamos este capítulo à discussão dos dois quadros teóricos: o Pensamento
Matemático Avançado e os Três Mundos da Matemática.
2.1 O Pensamento Matemático Avançado
Não vamos dar uma definição para o termo “pensamento matemático avançado”,
mas sim um sentido para ele por meio de alguns de seus aspectos. Dreyfus (1991)
considera o pensamento matemático avançado como um processo que consiste em uma
grande variedade de componentes que podem ser vistos como processos de aprendizagem
que interagem entre si, como representar, visualizar, generalizar, também outros como,
classificar, conjecturar, induzir, analisar, sintetizar, abstrair ou formalizar.
Para um melhor entendimento da interação que ocorre entre esses processos,
utilizaremos um exemplo dado por Dreyfus (1991) sobre os processos que um professor
pode utilizar ao tratar da seguinte igualdade:
dxkxgdxxgkb
ka
b
a ∫∫+
+−= )()( .
Uma maneira de pensar sobre a igualdade é considerar a função g como um objeto que
pode ser trabalhado de forma a integrar a função de a até b para resultar em um número e,
em seguida, visualizar e comparar com o valor resultante da integral, ao longo do intervalo
transladado, da função transladada para a direita. De acordo com Dreyfus (1991), no tipo
de pensamento anterior estão inseridos processos mentais que, para um especialista em
Matemática, podem ocorrer em alguns segundos, sendo eles: representando (a função,
53
talvez graficamente), transformando (pela translação), visualizando (a função, a função
transladada e as respectivas áreas sob os gráficos), verificando (que as duas translações vão
para a mesma direção) e deduzindo (que os números resultantes são iguais, pois
representam a mesma área) (Figura 04).
Figura 04: Igualdade de integrais de uma função, e seu intervalo de integração, transladados
Fonte: Elaborada pela autora.
Também pode estar envolvido o processo de particularizar (por exemplo, apenas para
funções positivas, como a figura acima) e depois o processo de generalizar. Esses
processos mentais que podem ser naturais para um especialista em Matemática nem
sempre são imediatos para o aluno. Dreyfus (1991, p. 29), a partir do exemplo anterior,
coloca que o pensamento matemático avançado é um processo extremamente complexo, no
qual vários processos componentes, também complexos, interagem entre si.
Ainda que a Matemática avançada seja centrada em abstrações de definições e de
deduções e que não haja distinção nítida entre muitos dos processos do pensamento
matemático elementar e avançado, Dreyfus (1991) diz que uma característica distintiva
entre esses dois tipos de pensamento está na complexidade do conceito matemático e na
forma como ele é tratado.
Em relação à distinção entre o pensamento matemático elementar e o avançado,
Dreyfus (1991, p. 26) descreve que é possível passar de um nível para o outro por meio de
representação e abstração, pois, com esses dois processos, é possível gerenciar a
complexidade da Matemática.
A representação tem um importante papel na Matemática. Ela pode ser separada
em dois tipos: representação simbólica e representação mental. A primeira é externada na
forma escrita ou falada, geralmente com o objetivo de tornar a comunicação sobre um
conceito mais fácil; já a segunda refere-se aos esquemas internos ou quadros de referência
que uma pessoa usa ao interagir com o mundo exterior (DREYFUS, 1991, p. 31). Para
Dreyfus (1991, p. 32), para uma pessoa ser bem sucedida em Matemática, é desejável que
54
ela tenha ricas representações mentais dos conceitos matemáticos. Essas representações
são ricas quando possibilitam o tratamento de vários aspectos ligados a um mesmo
conceito, podendo haver interação entre elas e são pobres se tiverem poucos elementos que
permitam flexibilidade na resolução de problemas. Para que as várias representações
tragam sucesso na resolução de problemas é necessário que elas estejam forte e
corretamente ligadas.
Na mente de um indivíduo podem coexistir vários componentes de representações
mentais de um mesmo conceito, e esses podem ser aproveitados de maneiras distintas ao
serem consideradas diferentes situações matemáticas. Em casos favoráveis, várias
representações mentais de um mesmo conceito podem se completar e, eventualmente,
podem se integrar em uma única representação do conceito (essa integração está
relacionada com a abstração). Entretanto, diferentes representações mentais também
podem entrar em conflito (DREYFUS, 1991, p. 32).
De acordo com Dreyfus (1991), dentre os processos envolvidos no
desenvolvimento do pensamento matemático avançado, o mais importante é a abstração,
pois
se um estudante desenvolve a habilidade de, conscientemente, fazer abstrações a partir de situações matemáticas, ele alcançou um nível avançado do pensamento matemático. Alcançar essa habilidade de abstrair pode muito bem ser o mais importante objetivo da educação matemática avançada14 (DREYFUS, 1991, p. 34)
Como foi dito anteriormente, a integração entre diferentes representações mentais
de um conceito está relacionada com a abstração. Mas, além desse processo, outros dois
são pré-requisitos para alcançar a abstração, sendo eles os processos de generalização e de
sintetização (DREYFUS, 1991, p. 34). Generalizar é “deduzir ou induzir a partir de
particularidades, para identificar pontos em comum, para expandir domínios de validade”15
(DREYFUS, 1991, p. 35). Já sintetizar significa “combinar ou compor peças de tal
maneira que elas formem um todo, uma entidade”16 (DREYFUS, 1991, p. 35).
14 Tradução nossa para: “if a student develops the ability to consciously make abstractions from mathematical situations, he has achieved level of mathematical thinking. Achieving this capability to abstract may well be the single most important goal of advanced mathematical education.” 15 Tradução nossa para: “To generalize is to derive or induce from particulars, to identify commonalities, to expand domains of validity.” 16 Tradução nossa para: “To synthesize means to combine or compose parts in such a way that they form a whole, an entity.”
55
Segundo Dreyfus (1991, p. 37), abstrair é um processo construtivo que está ligado
à construção de estruturas mentais a partir de estruturas matemáticas, isto é, com base em
propriedades e em relações entre objetos matemáticos. Para esse processo, é necessário o
isolamento de adequadas propriedades e relações de objetos matemáticos requerendo a
capacidade de desviar a atenção do objeto matemático para focar em suas estruturas e
propriedades.
Dreyfus (1991, p. 38) diz que representação e abstração são processos
complementares que possuem direções opostas. Pois, se por um lado, um conceito muitas
vezes é abstraído de suas representações variadas, por outro, as representações advêm de
um conceito abstrato.
As complementariedades entre abstração e representação e entre representações
matemáticas simbólica e mental podem ser, e têm sido, objeto de uso didático nos
processos de aprendizagem. Esses processos podem ser vistos em quatro fases:
• usar uma representação única;
• usar mais de uma representação em paralelo;
• fazer ligações entre as representações paralelas e
• integrar as representações e a troca flexível entre elas (DREYFUS, 1991, p.
39).
Na primeira fase, os processos iniciam-se a partir de um caso concreto, de uma
única representação. No segundo estágio, várias representações de um mesmo objeto
matemático são utilizadas em paralelo. A terceira etapa constitui-se em fazer fortes
relações entre as diferentes representações formadas que permitem ao aluno transitar entre
as diferentes representações, tornando-o consciente do conceito subjacente e apto a chegar
à abstração. Por fim, na quarta fase, as ligações, as relações, as propriedades comuns
permanecem para formar o conceito abstrato, enquanto os aspectos específicos ficam
guardados sem serem utilizados. Quando o aluno passa por essas quatro fases, ele forma
uma noção abstrata do conceito dado e se torna “dono” desse conceito; passa a controlar as
diferentes representações sendo capaz de acioná-las quando necessário (DREYFUS, 1991,
p. 39).
Dreyfus (1991, p. 40) volta a enfatizar que os processos de abstração e
representação estão entre os mais importantes para o pensamento matemático avançado,
mas que outros processos também estão relacionados a esse pensamento, como intuir,
descobrir, verificar, provar, definir, entre outros.
56
Para Tall (1995, p. 163), o pensamento matemático avançado envolve o uso de
estruturas cognitivas produzidas por uma grande variedade de atividades matemáticas para
o desenvolvimento de novas ideias que fundamentam e ampliam o crescente sistema de
teoremas demonstrados. Esse pesquisador apresenta como hipótese que o desenvolvimento
cognitivo do pensamento matemático elementar para o avançado em um indivíduo parte
das “percepções de” e “ações sobre” objetos em um mundo exterior, construído através de
dois desenvolvimentos paralelos: um do visual-espacial para o formal-dedutivo; e outro de
sucessivas encapsulações do processo para o conceito usando a manipulação simbólica.
Esses dois desenvolvimentos inspiram o pensamento criativo baseado em objetos
formalmente definidos e em provas sistemáticas.
Tall (1991) diz que muitas das atividades que ocorrem no pensamento matemático
avançado também ocorrem no pensamento matemático elementar, mas a possibilidade de
definição formal e de dedução é um fator que os diferencia. Segundo Tall, a passagem do
pensamento matemático elementar para o pensamento matemático avançado envolve a
transição:
do descrever para o definir, do convencer para o provar de uma maneira lógica com base nas definições. [...] É a transição da coerência da matemática elementar para a consequência da matemática avançada, com base em entidades abstratas que o indivíduo precisa construir através de deduções das definições formais. (TALL, 1991, p. 20, grifos do autor)17
O ciclo completo para termos uma atividade para se pensar a Matemática
avançada parte “do ato criativo de considerar o contexto de um problema em investigação
matemática que leva à formulação criativa de conjecturas e à fase final de refinamento e
prova”18 (Tall, 1991, p. 3). Tall destaca nesse ciclo a necessidade de começar com
conjecturas e debates para construir significado, para refletir sobre definições formais e,
assim, construir o objeto abstrato cujas propriedades são aquelas e somente aquelas que
podem ser deduzidas da definição.
Ao interagir com o meio, o ser humano consegue desenvolver conceitos
matemáticos, sendo que esse desenvolvimento começa com a capacidade de perceber
coisas e agir sobre elas desenvolvendo uma Matemática simbólica. Ao refletir sobre essas 17 Tradução nossa para: “that from describing to defining, from convincing to proving in a logical manner based on those definitions. […] It is the transition from the coherence of elementary mathematics to the consequence of advanced mathematics, based on abstract entities which the individual must construct through deductions from formal definitions.” 18 Tradução nossa para: “from the creative act of considering a problem context in mathematical research that leads to the creative formulation of conjectures and on to the final stage of refinement and proof”.
57
ações o indivíduo desenvolve um caminho em direção à Matemática axiomática
(DOMINGOS, 2003; TALL, 1995).
Aspectos relativos às provas matemáticas têm sido considerados no quadro teórico
do pensamento matemático avançado. A prova desenvolve-se à medida que a Matemática é
construída. Tall utiliza Mason et al. (1982) para descrever o processo de verificação
matemática em três níveis:
- convencer a si mesmo: envolve compreender porque algumas afirmações são
verdadeiras;
- convencer a um amigo: requer a organização dos argumentos de uma maneira
coerente;
- convencer a um inimigo: necessita de argumentos que devem ser analisados e
refinados para resistir ao teste da crítica.
O último nível é o mais próximo da prova contida no pensamento matemático
avançado, faltando definições e deduções formais. Já no pensamento matemático elementar
há um nível de justificação, mas que não passa pela abstração e pela escrita formal.
Outras categorias de provas são dadas por Hanna (1989). Ela as diferencia em
dois tipos sendo as “provas que provam” e as “provas que explicam”. As provas que
provam mostram apenas que o teorema é verdadeiro e referenciam-se na indução
matemática ou em considerações sintáticas. As provas que explicam, além de mostrar que
um teorema é verdadeiro, também mostram o porquê de ele ser verdadeiro e oferecem um
raciocínio que está baseado nas propriedades matemáticas que motivaram o teorema.
Ressalta que as provas que provam e as provas que explicam são legítimas, preenchem
todas as exigências de uma prova matemática e são reconhecidas pela comunidade
matemática como provas válidas, embora possa haver diferenças de opinião sobre o grau
de rigor de cada uma.
Para ilustrar os dois tipos de prova, Hanna (1989) exemplifica com a soma dos n
primeiros inteiros positivos, 2
)1()(
+=
nnnS , obtida de três modos distintos:
1º) Prova por indução matemática, ou seja, mostra que é válido quando n = 1,
assume que é verdadeira para n igual a um k arbitrário e por fim mostra que é
verdadeira para k + 1, se for verdadeira para k, concluindo que é válido para
todo n.
58
2º) Demonstração de Gauss:
2
)1(
)1()1()1(2
1)1(
321+
=⇔
++++++=
+−+=
++++=nn
S
nnnS
nnS
nS
vezesn44444 344444 21
L
L
L
3º) Por meio de representação geométrica dos n primeiros termos por um
triângulo isósceles de pontos.
Para ilustrar o terceiro modo apresentamos uma imagem desenvolvida por Tall
(2002, p. 8, tradução nossa),
Figura 05: Prova corporificada da soma dos n primeiros inteiros positivos
Fonte: Tall, 2002, tradução nossa.
O cálculo do número de discos no triângulo do primeiro estágio é a metade do
número de discos no retângulo mostrado no segundo estágio, no qual o número de discos
pode ser obtido considerando que possui n colunas com n + 1 discos cada uma, ou seja,
n(n + 1).
O primeiro modo é o tipo de prova que prova, pois ela apenas demonstra que uma
afirmativa matemática é verdadeira, sem mostrar o porquê. O segundo e o terceiro modo
são provas que explicam, pois o segundo utiliza a propriedade de simetria para mostrar
porque a afirmativa é válida e o terceiro mostra visualmente essa veracidade.
Tall (2002) caracteriza esses três modos de prova dentro da teoria dos Três
Mundos da Matemática, como sendo o primeiro do mundo axiomático, o segundo do
59
mundo proceitual e o terceiro do mundo corporificado. Esse quadro teórico será abordado
na próxima seção.
Hanna (1989) defende uma abordagem explanatória para prova em sala de aula,
argumentando que dessa forma não há necessariamente um afastamento da prova
matemática legítima. Enfatiza: “O que é necessário é a substituição de um tipo de prova,
do tipo não exploratório, por uma outra igualmente legítima que tem poder de explicação,
o poder de fazer emergir a mensagem do teorema”19. E argumenta que o mecanismo da
prova é o aspecto menos significante da Matemática (embora os matemáticos o vejam
como necessário) e que “a significância do que é provado tem mais peso do que a exatidão
da prova”.20
Um referencial teórico que pode contribuir para o tratamento de aspectos relativos
ao pensamento matemático avançado e às provas matemáticas no Cálculo é o dos Três
Mundos da Matemática, que abordaremos a seguir.
2.2 Os Três Mundos da Matemática
Um novo quadro teórico sobre o desenvolvimento cognitivo em Matemática tem
sido desenvolvido desde 2002, inicialmente trabalhado por David Tall e Anna Watson
(atualmente conhecida como Ana Poynter) e intitulado os Três Mundos da Matemática.
Como parte do fundamento dessa nova teoria, Tall (2002) cita o ensaio “Patterns of
Growth” de Bruner (1966) no qual ele assinala três modos de representação mental: o
sensório-motor21, que se constitui através da ação; o icônico22, que depende do visual e de
uma organização sensorial do uso de imagens e síntese; e o simbólico23, que é a
representação do pensamento pelo uso de palavras (linguagem em sua forma natural) ou
linguagem (linguagem artificial de número e lógica). Bruner chama de encenado24 o
primeiro modo de representação, de icônico o segundo e de simbólico o terceiro. A figura
06 esquematiza os três modos de representação de Bruner e suas características.
19 Tradução de Márcia Fusaro Pinto do texto original de Hanna (1989). 20 Tradução de Márcia Fusaro Pinto do texto original de Hanna (1989). 21 No original: sensori-motor. 22 No original: iconic. 23 No original: symbolic. 24 O termo encenado é a tradução feita por Lima (2007) para termo enactive.
60
Figura 06: Os três modos de representação de Bruner
Fonte: Bruner 1966 (apud Tall, 2002, p. 2, tradução nossa)
Bruner considera que essas representações acontecem em sequência no
desenvolvimento cognitivo do indivíduo: primeiro, o modo encenado; em seguida, o
icônico e, por fim, o modo simbólico. Lima (2007) refere-se a essa forma hierárquica de
desenvolvimento iniciando
pelo sistema encenado, em que os indivíduos precisam das ações para compreender uma situação. Em seguida, o sistema icônico, em que imagens resumem as ações efetuadas sobre os objetos e, por fim, o sistema simbólico, para comunicação e raciocínio. Ainda, os três sistemas podem coexistir, isto é, um indivíduo pode fazer uso dos três sistemas para armazenar informações. (LIMA, 2007, p. 72 e 73).
Tall utiliza a teoria de Bruner, analisa a reforma do Cálculo25, a Regra de Três e a
passagem para a Regra de Quatro26, para categorizar os modos de representação mental em
três diferentes maneiras de ação sobre o objeto:
Corporificado: baseado em percepções e ações humanas em um contexto do mundo real, incluindo, mas não limitando, os aspectos encenado e icônico. Simbólico-proceitual: combinando o papel de símbolos na aritmética, álgebra e cálculo simbólico, baseado na teoria desses símbolos atuando duplamente como processo e conceito (proceito). Formal-axiomático: uma abordagem formal a partir de axiomas selecionados e com deduções lógicas para provar teoremas. (TALL, 2002, p. 3)27
25 A reforma do Cálculo tem com um de seus princípios a Regra de Três que diz que, sempre que possível, os temas devem ser ensinados de três maneiras: gráfica, numérica e analiticamente (simbolicamente). 26 A Regra de Quatro é a inclusão da representação verbal à Regra de Três. 27 Tradução nossa para: “Embodied: based on human perceptions and actions in a real-world context including but not limited to enactive and visual aspects. Symbolic-proceptual: combining the role of
61
Cada categoria possui seu próprio mundo de significados e maneiras distintas de
justificação embora também exista relação entre elas.
A figura 07 nos dá uma visualização da comparação dos mundos de representação
desenvolvidos por Tall, os modos de representação designados por Bruner e, por fim, a
Regra de Quatro.
Figura 07: Três mundos de representação e suas ligações com outros pontos de vista
Fonte: Tall, 2002, p. 4, tradução nossa.
A linguagem opera nos três mundos de Tall, diferentemente dos outros modos, nos quais a
linguagem está explicitada como uma categoria ou uma subcategoria. No modo de Bruner,
a linguagem é subdivisão apenas do simbolismo e na Regra de Quatro a linguagem é vista
como uma categoria à parte. Para Tall (2002), a linguagem permite que concepções cada
vez mais sofisticadas possam ser desenvolvidas em cada um dos mundos, sendo
ingrediente fundamental subjacente aos diferentes modos de operação. Adiante veremos a
importância da linguagem no desenvolvimento cognitivo dos indivíduos.
Antes de falarmos com detalhe sobre cada um dos três mundos, é necessária uma
ressalva. Tall utiliza o termo corporificado para se referir ao pensamento construído,
fundamentalmente, a partir de percepções sensoriais, ações e experiências de pensamento
(Tall, 2008); ou seja, no sentido de ‘dar um corpo’ a uma ideia abstrata.
symbols in arithmetic, algebra and symbolic calculus, based on the theory of these symbols acting dually as both process and concept (procept). Formal-axiomatic: a formal approach starting from selected axioms and making logical deductions to prove theorems.”
62
O primeiro mundo, denominado por Tall (2002, 2007) mundo conceitual-
corporificado ou somente mundo corporificado, está na base do pensamento matemático e
está fundamentado na percepção e na ação. Ele “se desenvolve a partir de nossas
percepções do mundo e é composto de nosso pensamento sobre as coisas que percebemos
e sentimos, não só no mundo físico, mas em nosso próprio mundo de significados
mentais”28 (TALL, 2004, p. 2). Assim, o mundo corporificado se baseia “na percepção e
reflexão sobre propriedades de objetos, inicialmente vistos e percebidos no mundo real,
mas depois imaginados na mente”29 (TALL, 2008, p.3)
Para focalizar nossa atenção nas ações que realizamos com os objetos é necessário
que pensemos sobre o que fazemos e não apenas sobre o que percebemos. Uma forma de
tornar isso viável é a introdução de símbolos que representem, ao mesmo tempo, as ações e
os conceitos que formamos em nossa mente (TALL e MEJIA-RAMOS, 2004, p.s 2-3).
Assim se constitui o segundo mundo: “é o mundo dos símbolos que usamos para o cálculo
e manipulação na aritmética, álgebra, cálculo e assim por diante”30 (TALL, 2004, p. 3).
Esse mundo inicia-se com ações que são encapsuladas em conceitos “usando símbolos que
nos permitem alternar facilmente de processos de fazer matemática para conceitos de
pensar sobre”31 (TALL, 2004, p. 3). Esse segundo mundo é chamado de mundo proceitual-
simbólico ou simplesmente mundo proceitual32. A palavra “proceito” foi formulada por
Gray e Tall (1994) para representar a dualidade entre o processo (ação) e o conceito que
constitui os símbolos da Matemática. De acordo com Lima,
conceitos matemáticos são representados por símbolos que podem ser manipulados. Essa manipulação sintetiza as ações exercidas sobre os conceitos matemáticos. Assim, os símbolos representam não só os conceitos, mas também as ações exercidas sobre os objetos e o produto dessas ações. (LIMA, 2007, p. 57)
Tall (2004, p. 3) exemplifica o ato de encapsular as ações em conceitos a partir de
uma análise de símbolos usados em aritmética. O símbolo 3 + 2 tem dupla conotação:
como processo da adição de três com dois e como conceito da soma que se refere ao
28 Tradução nossa para: “grows out of our perceptions of the world and consists of our thinking about things that we perceive and sense, not only in the physical world, but in our own mental world of meaning”. 29 Tradução nossa para: “perception of and reflection on properties of objects, initially seen and sensed in the real world but then imagined in the mind” 30 Tradução nossa para: “is the world of symbols that we use for calculation and manipulation in arithmetic, algebra, calculus and so on”. 31 Tradução nossa para: “using symbols that allow us to switch effortlessly from processes to do mathematics to concepts to think about”. 32 No original: proceptual-simbolic world ou proceptual world.
63
número 5. Lima (2007) destaca que pode haver diferentes proceitos de um mesmo processo
(como, por exemplo, 1 + 4, 2 + 3) resultando num mesmo conceito (o número 5).
O terceiro mundo é “baseado em propriedades, expressas em termos de definições
formais, que são usadas como axiomas para especificar estruturas matemáticas (tais como
‘grupo’, ‘corpo’, ‘espaço vetorial’, ‘espaço topológico’ e assim por diante)”33 (TALL,
2004, p. 3). Esse é chamado de mundo formal-axiomático ou mundo formal34.
O mundo formal é caracterizado pelo uso de definições formais para os conceitos,
a partir das quais deduções são feitas, e pressupõe a construção de um sistema axiomático
como, por exemplo, teoria de grupo, análise e topologia (TALL, 2002, p. 7).
O mundo formal surge de uma combinação de concepções corporificadas e
manipulação simbólica; no entanto, o contrário pode, ou não, acontecer (TALL, 2004,
p. 4).
Cada um dos mundos anteriores possui maneiras diferenciadas para justificar e
provar, sendo essas muito bem estruturadas dentro de cada mundo. O mundo corporificado
começa com coisas que são verdadeiras, porque são visíveis. A prova no mundo
corporificado é feita através da realização de um experimento para verificar se o resultado
esperado ocorre e, assim, a verdade fica estabelecida, pois é possível ver essa verdade
acontecer (TALL, 2004, p. 5). Esse tipo de prova proporciona uma base humana35
fundamental para dar significado à Matemática (TALL, 2002). No mundo proceitual, a
verdade é estabelecida por meio do cálculo com números e da manipulação de símbolos
algébricos e a utilização desses símbolos para generalizar ideias (TALL, 2002, 2004).
Segundo Tall (2002), as provas corporificada e proceitual “têm significado humano claro, a
primeira traduz-se, naturalmente, para a segunda” (p. 8).
No mundo formal, a verdade é constituída por meio de prova formal a partir da
utilização de axiomas e de definições formais para que as deduções sejam feitas. Muitas
vezes, o elaborar uma prova formal (axiomática) corresponde a uma quebra na transição da
noção de prova nos dois primeiros modos para esta.
Para exemplificar a passagem natural da prova corporificada para a prova
proceitual e a quebra na transição da noção de prova no mundo formal, retomaremos o
33 Tradução nossa para: “is based on properties, expressed in terms of formal definitions that are used as axioms to specify mathematical structures (such as ‘group’, ‘field’, ‘vector space’, ‘topological space’ and so on)”. 34 No original: formal-axiomatic world ou formal world. 35 Em muitos de seus textos Tall usa a palavra “humano” ao referir-se às bases estabelecidas no mundo corporificado e simbólico. Interpretamos que o uso da palavra busca enfatizar as características sensoriais, de percepção e de ação predominantes nesses mundos.
64
exemplo abordado por Hanna na seção anterior (página 58). Para provar que a soma dos n
primeiros números inteiros positivos é 2
)1( +nn, pelo modo corporificado, podemos dispor
discos em n linhas, sendo que, na primeira, se coloca um disco; na segunda, dois discos, e
assim até a n-ésima com n discos (estágio 1 da figura 07). Um layout igual de discos pode
ser girado e encaixado no estágio 1, gerando o estágio 2. Podemos observar que cada linha
do estágio 2 possui n discos num total de n + 1 linhas. Logo, o estágio 1 contém a metade
dos discos do estágio 2. Sendo assim, o número de discos é 2
)1( +nn. A validade dessa
prova está na imagem visual.
Já na prova simbólica, escrevemos a soma 1 + 2 + 3 + ... + n e reescrevemos essa
mesma soma, só que de trás para frente, n + ... + 3 + 2 + 1. Ao adicionar as duas somas
obtemos (1 + n) + (2 + n – 1) + ... + (n + 1), que pode ser escrito como n fatores de n + 1,
isto é, n(n + 1). Então, novamente a soma é a metade disso, ou seja, 2
)1( +nn (TALL,
2002, p. 8). Podemos interpretar que, na prova simbólica, cada parcela da soma (1 + n) +
(2 + n – 1) + ... + (n + 1) representa uma coluna do estágio 2 da figura 07, havendo, assim,
uma ligação entre os dois tipos de demonstração. Por fim, a prova formal seria feita por
meio de indução, que não possui nenhum tipo de ligação com as duas primeiras.
As provas corporificada e simbólica geralmente são vistas pelos alunos como
significativas, pois elas mostram por que o argumento é significativo. Já uma prova formal,
como, por exemplo, a de indução, parece confusa para muitos alunos (TALL, 2007, p. 8),
uma vez que utiliza o resultado para provar o resultado.
Na figura a seguir podemos visualizar como os critérios de verdade em cada um
dos Três Mundos da Matemática interagem, em uma sequência de desenvolvimento
cognitivo como proposta em TALL (2007).
65
Figura 08: Desenvolvimento cognitivo da argumentação
Fonte: Tall, 2007, p. 10 (tradução nossa)
A esquematização da figura 08 nos mostra que, no mundo corporificado, há uma
construção das definições e deduções dos objetos devido ao uso cada vez mais sofisticado
da linguagem, o que pode levar a gerar uma teoria dedutiva. Já o desenvolvimento
cognitivo no mundo simbólico envolve uma compreensão cada vez mais sofisticada das
ações sobre a manipulação dos símbolos. Existe uma interface comum a esses dois
mundos, que permite tanto corporificar o simbolismo como simbolizar as corporificações.
Ao utilizar uma linguagem cada vez mais sofisticada, níveis mais avançados de
corporificação e simbolismo são desenvolvidos, surgindo definições e deduções que
interferem na fase de transição dos argumentos baseados na experiência para um sistema
cada vez mais axiomático, presente na prova formal.
2.2.1 Os Três Mundos da Matemática no Cálculo
O Cálculo tem relação com o mundo real. Podemos ver isso ao trabalharmos
mesmo com os primeiros conceitos, como os de taxa de variação e área. Eles foram
desenvolvidos de forma a permitir que sejam trabalhados operacionalmente tanto no
mundo físico quanto no mundo simbólico. Portanto, o Cálculo pode ser visto como uma
combinação dos mundos corporificado e proceitual, “embora os aspectos do mundo
66
corporificado geralmente sejam representados por imagens estáticas, em vez de movimento
dinâmico” (TALL, 2002, p. 9). Para sanar essa falta de movimento, é possível utilizar um
software de geometria dinâmica. Falaremos mais sobre isso na subseção sobre o uso dos
computadores como apoio para a corporificação.
Tall (1991 e 2002) argumenta que um curso de Cálculo não precisa ter como
objetivo o tratamento formal, característico da última fase do desenvolvimento cognitivo,
devendo esse tratamento ser feito na Análise. Para aquele pesquisador, os mundos
corporificado e proceitual são considerados uma base para melhor entendimento da
Análise, quando esta vier a ser trabalhada.
Ao analisar uma abordagem corporificada para o Cálculo, Tall nos diz que essa
abordagem
[...] incide sobre as ideias fundamentais de percepção antes de introduzir qualquer simbolismo. [...] atua melhor quando se liga ao mundo do simbolismo relacionado, com seus cálculos numéricos e manipulações algébricas para dar os procedimentos simbólicos de diferenciação [...]36 (TALL, 2002, p.11)
Ainda para Tall cada um dos três mundos de significados possui diferentes
critérios de verdade no Cálculo:
O mundo corporificado é um mundo de significado sensorial. Seu fundamento da verdade é que as coisas se comportam previsivelmente, de uma maneira esperada. O mundo proceitual é o mundo familiar tradicional do Cálculo em que os cálculos podem ser feitos (ambos aritméticos e algébricos). Um gráfico tem uma inclinação (derivada) ou uma área (integral), pois você pode calcular isso. O mundo axiomático é um mundo em que axiomas explícitos são assumidos para dar suporte e definições são dadas formalmente, em termos de quantificado conjunto de declarações teóricas. A função tem derivada ou integral, porque você pode provar isso. (TALL, 2002, p. 10)37
36 Tradução nossa para: “focuses on fundamental perceptual ideas before introducing any symbolism. […] is at its best when it links into the related world of symbolism, with its numeric calculations and algebraic manipulations to give the symbolic procedures of differentiation […]”. 37 Tradução nossa para: “The embodied world is a world of sensory meaning. Its warrant for truth is that things behave predictably in an expected way. The proceptual world is the familiar traditional world of calculus where calculations can be made (both arithmetic and algebraic). A graph has a slope (derivative) or an area (integral) because you can calculate it. The axiomatic world is a world where explicit axioms are assumed to hold and definitions are given formally in terms of quantified set-theoretic statements. A function has derivative or integral because you can prove it.”
67
O modo corporificado não prova a verdade matemática, mas dá uma base para a
construção do significado maior do que a do cálculo simbólico tradicional.
Para melhor entender sua perspectiva, retomamos Tall (2002) quando nos dá um
exemplo de corporificação no Cálculo, relacionado ao conceito de derivada. Com a
utilização de um computador, o usuário pode ampliar a imagem do gráfico de uma função,
e ver que ele é localmente uma linha reta, e mover uma janela ao longo desse gráfico de
forma a sentir a mudança da inclinação do gráfico. Isto é permitido quando se utiliza o
software Visual Calculus, programado pela pesquisadora Teresinha Kawasaki (Figura 09)
e inspirado do Graphic Calculus, desenvolvido por Tall nos anos 1980.
Figura 09: Arrastando a janela de visualização ao longo de um gráfico para ver a inclinação
mudando e a linearidade local Fonte: Tall, 2002, p. 10, tradução nossa.
Entendemos que no Cálculo deve haver uma interação entre os três mundos. Para
tanto, é importante que seja estabelecido um ambiente que propicie o desenvolvimento da
linguagem e permita a escrita simbólica do que foi corporificado, bem como a
corporificação do simbolismo e a constituição de uma base para a formalização a partir de
definições e deduções fundamentadas na corporificação e no simbolismo.
Tall (2002) relata que a ideia central para uma abordagem corporificada na
aprendizagem de derivadas, baseia-se na interação do indivíduo com a imagem “física” do
gráfico de uma função. Uma das alternativas que consideramos para a abordagem
corporificada no Cálculo é o uso de tecnologias. Passamos a discutir agora como elas
68
podem ser úteis na corporificação de conceitos e no processo do desenvolvimento
cognitivo demandado por sua formalização.
2.2.2 O uso de computadores como apoio para a corporificação e para a
relação entre os três mundos
As publicações relativas ao uso de tecnologias em educação matemática indicam a
possibilidade de construção de ambientes virtuais que permitem ao indivíduo indagar e/ou
investigar objetos da Matemática. As situações colocadas podem estimular a indagação,
experimentação e formação de conjecturas, com participação ativa do estudante em todo o
processo (FRANCHI, 2002; BORBA e PENTEADO, 2001).
Segundo Kawasaki (2008) é comum encontrarmos em pesquisas que
uma das principais vantagens, ao incorporar as tecnologias computacionais nos processos de ensinar/aprender matemática, é a possibilidade de visualizar e manipular as ideias matemáticas (objetos virtuais matemáticos). Tal possibilidade decorre do fato de alguns softwares (ou aplicativos) matemáticos serem capazes de transformar situações algébrico-simbólica em situações espaço-geométricas. Parece haver consenso entre educadores matemáticos sobre o valor pedagógico da visualização no ensinar, no aprender e, até mesmo, no ‘fazer’ matemática. Dessa forma, recursos visuais (não necessariamente, os computacionais) sempre foram utilizados, por professores, para introduzir ideias matemáticas abstratas e complexas. No caso do ensino de Cálculo, alguns educadores exaltam, no uso do computador, a possibilidade de visualizar e alterar uma representação gráfica, simultânea e continuamente articulando-a, de forma dinâmica, às suas representações numérica e algébrica. (KAWASAKI, 2008, p. 43, grifos da autora)
A mesma autora ainda nos conscientiza de que, ao utilizarmos o computador, é
possível admitir que a Matemática esteja sendo produzida de uma maneira diferenciada à
Matemática produzida através da utilização do lápis-e-papel. Isso ocorre porque, em geral,
as propostas educacionais para a construção da Matemática por meio do uso do
computador “não assumem a ideia tradicional de uma matemática ‘pronta’ ou ‘acabada’ a
ser ensinada, mas admitem também a possibilidade de se ‘fazer’ matemática em uma
atividade de aprendizagem” (KAWASAKI, 2008, p. 49). Isso vai ao encontro do que foi
colocado por Tall ao incentivar uma abordagem corporificada do Cálculo, em que
69
trabalhamos as ideias a partir da percepção, antes de introduzirmos qualquer simbolismo
(TALL, 2002, p. 11).
O ambiente informatizado parece-nos oferecer um possível local para o
desenvolvimento de atividades que visam a transitar pelos Três Mundos da Matemática.
De fato, muitas pesquisas indicam que o uso de tecnologias é um meio favorável para o
aluno desenvolver hipóteses e/ou conjecturas. Conforme nos diz Franchi (2007),
a Informática facilita as visualizações, possibilita testar mudanças relacionadas a características algébricas de conceitos matemáticos e observar as variações resultantes no aspecto gráfico. A comparação entre as representações gráficas, algébricas e numéricas, a observação e a reflexão sobre o observado podem levar à elaboração de conjecturas. Borba e Penteado (2001, p.39) afirmam que as conjecturas surgem com frequência em aulas utilizando tecnologias como o computador ou as calculadoras e que, se debatidas com a classe, podem levar a descobertas. (FRANCHI, 2007, p. 184)
Kawasaki (2008) faz referência a Tikhomirov (1981) para explicar que a atividade
humana, quando mediada pelo computador, “altera de forma qualitativa a estrutura da
atividade intelectual humana, reorganizando a memória, as formas com que passamos a
armazenar a informação e com que organizamos a sua busca” (p. 48).
Para dar ao Cálculo um significado humano devemos tirar vantagens de softwares
de manipulação (TALL, 2002, p. 9). Os alunos podem manipular diferentes tipos de
gráficos, desde aqueles mais simples até os que possuem irregularidades, que exigiriam um
tratamento matemático em um sentido formal. Dessa forma, pode-se criar uma abordagem
corporificada, que pode dar fundamento significativo para as mais refinadas ideias da
Análise (TALL, 2002, p. 10).
A utilização de tecnologia pode ajudar as percepções de ideias matemáticas,
favorecendo uma abordagem corporificada.
Um exemplo de corporificação no Cálculo, segundo Tall (2002), é a verificação
de que a derivada em relação a x, de cos(x) é igual a –sen(x), pois o gráfico da derivada de
cos(x) é o gráfico da função sen(x) de “cabeça para baixo”. Essa não é uma prova formal,
mas é considerada aceita no mundo corporificado: a verdade está estabelecida, pois é
possível “ver acontecer” a partir da comparação entre os gráficos.
O uso do computador com o software adequado pode ser um auxiliar para
trabalharmos o mundo corporificado no Cálculo, uma vez que possibilita o trabalho com o
70
modo de representação encenado (através da ação) e icônico (visual), enquanto os livros
trazem apenas a parte icônica.
Os softwares de geometria dinâmica, por exemplo, dão ao aluno a possibilidade
de explorar conceitos a partir da mudança imediata em um gráfico quando os dados são
modificados. Existem alguns softwares que possibilitam a visualização, ao mesmo tempo,
dos dados de maneira algébrica e geométrica, sem deixar de lado a possibilidade de
explorar o gráfico em uma planilha, tudo em uma mesma interface.
Um exemplo do uso dos recursos dos softwares de geometria dinâmica (como o
GeoGebra, por exemplo) é a construção de retas secantes a uma curva para explorar o
conceito de derivada. Dada uma função f(x), um ponto P(x, f (x)) sobre o gráfico de f (x),
determina-se um ponto ))(,( xxfxxQ ∆+∆+ e uma reta secante à curva passando pelos
pontos P e Q. Utilizando o Controle Deslizante38 é possível fazer x∆ tender a zero e
observar as mudanças na inclinação da reta secante, tendendo a se tornar tangente à curva
no ponto P (Figura 10).
Figura 10: Exploração do conceito de derivada por meio de retas secantes
Fonte: Elaborada pela autora.
Interpretamos que, por meio de uma atividade desse tipo, seria possível não
apenas a corporificação como também a proceitualização a partir da reflexão sobre a ação
realizada e do uso da simbologia adequada.
38 Explicaremos a ferramenta Controle Deslizante, do GeoGebra, na seção 4.1.1, página 85.
71
Concordamos com Tall (2002), que o uso adequado de um software nos permite
organizar várias atividades que podem levar o aluno a realizar experiências de pensamento,
favorecendo a corporificação de conceitos de Cálculo.
Observemos que o uso do computador não é o único meio para corporificação em
Matemática. Para Lima (2007), a corporificação também acontece por meio de
experiências mentais em que o indivíduo pode manipular um objeto “em seu pensamento,
de forma a analisa-lo e levantar conjecturas sobre propriedades do objeto ou de uma
situação” (p. 74).
Ao falar sobre a construção de abordagens corporificadas para conceitos
matemáticos, Tall (2002) destaca dois conceitos básicos a serem considerados, o de
organizador genérico e o de raiz cognitiva:
um organizador genérico é um ambiente (ou micromundo), que permite ao aluno manipular exemplos e (se possível) não-exemplos de um conceito matemático específico ou um sistema de conceitos relacionados. uma raiz cognitiva é um conceito que é (potencialmente) significativo para o aluno no momento, embora contenha as sementes da expansão cognitiva para definições formais e posterior desenvolvimento teórico. (TALL, 2002, p. 12)39
Comumente, uma raiz cognitiva é um conceito corporificado. Por exemplo, a
noção de retidão local é uma raiz cognitiva para a diferenciação e o software Visual
Cálculo pode ser o seu organizador genérico.
Tall (2012) se refere aos organizadores genéricos como ambientes (ou
micromundos) que permitem a manipulação e usa o termo “genérico” para indicar que a
atenção do aluno é dirigida a certos aspectos que possibilitam a corporificação do conceito,
mesmo o mais abstrato.
Os softwares de geometria dinâmica, mais especificamente o GeoGebra, embora
não tenham sido projetados para trabalhar um conceito matemático específico, ou uma
determinada raiz cognitiva, possuem recursos que possibilitam manipular exemplos e não
exemplos (exemplos em que a intuição é falha, sendo necessário a utilização da
Matemática formal) de conceitos matemáticos, fundamentados em raízes cognitivas, com
vistas a um posterior desenvolvimento teórico.
39 Tradução nossa para: “• a generic organiser is an environment (or microworld) which enables the learner to manipulate examples and (if possible) non-examples of a specific mathematical concept or a related system of concepts (Tall, 1989.). • a cognitive root (Tall,1989) is a concept which is (potentially) meaningful to the student at the time, yet contain the seeds of cognitive expansion to formal definitions and later theoretical development.”
72
Com o uso de diferentes recursos do GeoGebra, como por exemplo as
possibilidades de representação algébrica, gráfica, numérica, o uso do Zoom e do controle
deslizante, é possível organizar ambientes nos quais as propostas de atividades dirijam a
atenção do aluno para um determinado aspecto, possibilitando a corporificação,
trabalhando raízes cognitivas e, consequentemente, lançando bases para futuras definições
formais. Nesse sentido interpretamos que o ambiente construído pode ser um organizador
genérico.
No próximo capítulo apresentamos o processo de construção de nossa
investigação, levando em conta os fundamentos teóricos aqui discutidos.
73
CAPÍTULO 3
METODOLOGIA
Apresentamos neste capítulo o caminho que construímos para a nossa
investigação sobre a formação do conceito de convergência de sequências e séries
numéricas, em um grupo de alunos cursando a disciplina de Cálculo II.
A metodologia qualitativa foi a escolhida para a pesquisa e as razões decorrem
das características de todo o trabalho realizado. Procuramos apresentar e justificar as
escolhas feitas na trajetória.
Como dito anteriormente, nosso interesse inicial pela aprendizagem de séries
infinitas decorre de nossas experiências como discente e docente. Definir o interesse de
pesquisa a partir de sua vivência é, segundo Bogdan e Biklen (1994, p. 84) uma
característica de um investigador qualitativo. Os autores indicam que esse investigador
parte para a pesquisa com algumas hipóteses formuladas, que funcionam como estímulo
inicial, mas que podem ser modificadas e reformuladas à medida que os estudos avançam.
De fato, nosso foco de pesquisa construiu-se e se delimitou à medida que os
estudos teóricos foram sendo realizados. Inicialmente, procuramos entender o que poderia
contribuir para a aprendizagem de séries e buscamos construir atividades com esse fim.
Tínhamos a ideia de que a dificuldade dos alunos na aprendizagem estava na passagem do
pensamento matemático elementar para o pensamento matemático avançado e
pretendíamos desenvolver um ambiente no qual essa passagem ocorresse de maneira
tranquila. Para isso, estudamos os referenciais relacionados ao Pensamento Matemático
Avançado.
Um dos principais aspectos identificados nos estudos realizados foi a transição do
pensamento matemático elementar para o avançado que, de acordo com Dreyfus (1991),
ocorre ao se gerenciar a complexidade da Matemática, principalmente por meio dos
processos de representação e abstração, e que a transição também está relacionada com os
processos de intuir, descobrir, verificar, definir, provar, entre outros. Costa (2002, p. 259)
indica a importância de construir atividades que propiciem a formulação de conjecturas
para, posteriormente, buscar refinamento e prova. Nossa proposta é que ambientes
informatizados podem ser construídos de modo a estimular a formulação criativa de
conjecturas pelo estudante. Determinados softwares, em especial os de geometria
74
dinâmica, dão ao aluno a possibilidade de manipular a Matemática de uma maneira que
não seria possível apenas com lápis e papel como, por exemplo, utilizar o zoom em locais
determinados de gráficos ou figuras, visualizar a variação dos gráficos das funções quando
são variados os valores dos parâmetros, plotar uma quantidade grande de pontos em um
tempo curto, realizar vários cálculos de difícil manipulação ao mesmo tempo, entre outros.
Há ainda a possibilidade de manipular interfaces gráficas, algébricas e numéricas.
Consideramos que esses recursos podem ser usados em atividades exploratórias relativas
aos conceitos matemáticos estudados, que estimulem os alunos a observar determinadas
características e propriedades e, principalmente, a levantar questionamentos e usar os
recursos do software para testar suas hipóteses e caminhar em busca das soluções.
Com relação aos conceitos matemáticos, identificamos a convergência como
conceito fundamental para os estudos das séries infinitas. Identificamos também a
importância do conceito de convergência de sequências nos estudos de convergência de
séries. A partir daí, direcionamos nossa atenção para a construção de atividades que
explorassem aspectos da convergência, estimulando a formação de conjecturas; porém,
visando às provas formais. Não estava claro para nós como trabalhar essa formalização, se
realmente deveríamos chegar às demonstrações dos teoremas ou se nesse nível seria
aceitável algum outro tipo de prova ou verificação. Também tínhamos dúvidas sobre como
os conceitos identificados como importantes poderiam ser construídos pelos estudantes.
Um aprofundamento nos estudos permitiu-nos conhecer um quadro teórico
elaborado por Tall (2002) para explicar o desenvolvimento cognitivo da Matemática dos
indivíduos, enfocando três maneiras distintas de pensar sobre a Matemática e
caracterizando os Três Mundos da Matemática: o corporificado, o simbólico e o formal.
Interpretamos que a corporificação poderia ser a base, o fundamento para o caminho
cognitivo a ser percorrido pelos estudantes rumo ao formalismo, no momento adequado.
Delimitado nosso foco de pesquisa, elaboramos a seguinte questão norteadora
para a pesquisa:
Que contribuições uma proposta pedagógica baseado na corporificação
de conceitos pode trazer para a compreensão do conceito de
convergência de sequências e séries em uma turma de Cálculo?
Tendo essa questão como referência, nos propusemos as seguintes tarefas: (1)
aprofundar os estudos teóricos sobre o Pensamento Matemático Avançado e sobre os Três
75
Mundos da Matemática; (2) explorar os recursos do software de geometria dinâmica
GeoGebra, com vistas à sua utilização como ambiente para realização de atividades
relativas à pesquisa; (3) elaborar atividades para exploração do conceito de convergência
de sequências e séries infinitas; (4) implementar as atividades em sala de aula e registrar o
processo de desenvolvimento; (5) analisar a implementação tendo como referencial para tal
análise os quadros teóricos: Pensamento Matemático Avançado e Três Mundos da
Matemática.
Nosso objetivo principal era verificar em que medida o desenvolvimento de
atividades baseadas na corporificação dos conceitos, buscando a transição entre os mundos
corporificado e simbólico, com utilização do GeoGebra, favorece a compreensão da
convergência de sequências e séries. Nesse sentido, a metodologia qualitativa se mostrou
adequada, pois, segundo Fernandes (1991), ela busca a compreensão mais profunda dos
problemas, a fim de “investigar o que está ‘por trás’ de certos comportamentos, atitudes ou
convicções” (p.3).
Decidimos aplicar as atividades elaboradas em um contexto natural de sala de
aula. Para tanto, escolhemos classes de Cálculo Diferencial e Integral II, sob
responsabilidade da pesquisadora.
Bogdan e Biklen (1994) afirmam que a investigação qualitativa possui cinco
características principais:
1. Na investigação qualitativa a fonte direta de dados é o ambiente natural, consistindo o investigador o instrumento principal. [...] 2. A investigação qualitativa é descritiva. [...] 3. Os investigadores qualitativos interessam-se mais pelo processo do que simplesmente pelos resultados ou produtos. [...] 4. Os investigadores qualitativos tendem a analisar os seus dados de forma indutiva. [...] 5. O significado é de importância vital na abordagem qualitativa. [...]
(BOGDAN e BIKLEN, 1994, p.s 47 – 51)
Entendemos que nossas escolhas estão de acordo com as características acima. A
primeira característica coloca o ambiente natural como fonte direta de coleta de dados e
trata da importância do investigador que deve se introduzir no ambiente a ser pesquisado e
recolher dados, por meio de um bloco de anotações ou com o auxílio de equipamentos de
vídeo e áudio, que terão importante papel na análise. É o pesquisador quem revê os
materiais registrados, sendo o seu entendimento o principal instrumento de análise. No
caso da nossa pesquisa, o ambiente foi o da sala de aula da pesquisadora. Desse modo a
76
pesquisadora, atuando como docente na condução das atividades da pesquisa, estava
naturalmente inserida no ambiente a ser pesquisado e pôde coletar os dados, usando
diferentes modos de registro das atividades que conduziu.
A investigação qualitativa é descritiva, pois seus dados são expressos por palavras
e figuras, ao invés de números. Os resultados obtidos são baseados nos dados registrados e
são enunciados para ilustrar e substanciar a apresentação. Eles são analisados usando toda
a sua riqueza e respeitando a forma em que foram transcritos ou registrados. No caso da
nossa pesquisa, os instrumentos utilizados permitiram uma detalhada descrição da forma
como as atividades se desenvolveram em sala de aula, constituindo importante material
para a análise.
O processo é mais atraente que o resultado para o pesquisador qualitativo, pois ele
está mais interessado em saber como as pessoas negociam os significados, como começam
a utilizar determinados termos, ou ainda, como determinadas noções passam a fazer parte
do senso comum. De fato, embora nos interessássemos pelos resultados finais em termos
da aprendizagem de convergência de sequências e séries, nos preocupamos em
acompanhar o processo de formação desses conceitos em cada etapa das atividades
propostas.
A quarta característica nos diz que o pesquisador não recolhe os dados com o
objetivo de confirmar as hipóteses previamente definidas, mas que as abstrações são
construídas à medida que os dados recolhidos vão sendo agrupados. A forma de analisar os
dados começa de uma maneira mais geral e se torna mais fechada, vai afunilando, com o
passar do tempo. O investigador utilizará parte do estudo para perceber quais são as
questões mais importantes. No caso da nossa pesquisa, não tínhamos uma hipótese
previamente estabelecida a ser provada. Buscamos identificar as possíveis contribuições
das atividades para a formação do conceito de convergência.
Por fim, é dito que o significado é de vital importância na abordagem qualitativa.
Os investigadores estão interessados no modo como os participantes da pesquisa
interpretam os dados coletados e fazem questão de se certificarem de que estão a aprender
as diferentes perspectivas adequadamente. Ainda estabelecem estratégias e procedimentos
que os permitem dar considerações do ponto de vista do investigado. Das cinco
características citadas anteriormente, esta quinta não nos parece estar presente em nossa
pesquisa.
Apresentamos a seguir o contexto e as características gerais da pesquisa de campo
realizada.
77
3.1 Onde?
Para Bogdan e Biklen (1994), o pesquisador qualitativo deve, sempre que
possível, ir a campo e preocupar-se com o contexto no qual os sujeitos da pesquisa
pertencem. Com isso em mente, entendemos que o melhor local para o desenvolvimento da
pesquisa seria a Instituição na qual a pesquisadora já estava trabalhando. Assim, a pesquisa
foi realizada em uma Instituição de ensino técnico federal.
Esse Instituto se tornou um campus no ano de 2009, tendo iniciado suas atividades
em 2006 como uma unidade de ensino de outro campus. Está situado em uma região
composta por 23 municípios e a sua cidade de instalação tem a economia voltada
principalmente para a indústria, em grande parte, a mineração. Com isso, o Instituto criou
os seguintes cursos para atender às necessidades locais:
• Nível Técnico Integrado
- Edificações
- Mecânica
- Mineração
• Nível Técnico Subsequente
- Edificações
- Mecânica
• Nível Técnico – Modalidade PROEJA
- Manutenção e Suporte à Informática
• Nível Superior
- Engenharia de Produção
- Licenciatura em Física
3.2 Com quem?
Decidimos trabalhar com a turma de Engenharia de Produção cujos alunos
entraram no Instituto no primeiro semestre de 2011. Essa escolha se deu por dois motivos:
a disciplina de Cálculo II dessa turma seria lecionada no segundo semestre de 2011 e seria
a segunda disciplina que a pesquisadora lecionaria para a turma (a primeira havia sido
78
Geometria Analítica). O semestre mostrava-se adequado à etapa de desenvolvimento da
pesquisa e o fato de a pesquisadora já conhecer os participantes poderia facilitar a
observação durante a implementação das atividades.
Inicialmente, a turma era composta por quarenta e um alunos. Na época da
pesquisa havia trinta e cinco alunos matriculados, sendo trinta e dois frequentes.
Praticamente a metade dos alunos trabalhava no regime de turno. Acreditamos
que isso possa ter comprometido a aprendizagem desses alunos, pois eles não têm uma
rotina a ser seguida, inclusive no que se refere aos estudos. Também não frequentavam
todas as aulas, pois alguns horários de trabalho coincidiam com os horários de aula.
3.3 Que tipo de atividade?
Resolvemos que os conteúdos seriam trabalhados de duas maneiras: aulas práticas
e aulas teóricas. As práticas seriam aulas nas quais o aluno teria o contato inicial com os
conceitos. Seriam propostas atividades visando à exploração de conceitos e estimulando a
formulação de conjecturas que seriam discutidas nas aulas teóricas seguintes. Decidimos
que as aulas práticas seriam realizadas em um ambiente computacional, utilizando o
software GeoGebra, enquanto as aulas teóricas seriam usadas para a formalização do
conteúdo e discussão sobre as conjecturas formuladas.
As atividades desenvolvidas para as aulas práticas foram elaboradas para explorar
os conceitos no contexto dos Três Mundos da Matemática: iniciando pelo mundo
corporificado, passando pelo simbólico e alcançando a interseção dos três mundos da
Matemática. Nosso objetivo foi fazer com que os alunos desenvolvessem o conhecimento
matemático, inicialmente por meio das percepções e sentimentos vindos da visualização e
manipulação com o auxílio do software GeoGebra. Buscamos também estimular a
formulação de conjecturas e, posteriormente, a busca da validação auxiliada por testes e
visualizações com o GeoGebra. Ao solicitar aos alunos que escrevessem as conjecturas por
eles elaboradas, justificando-as, buscamos fazer com que a passagem do mundo
corporificado para o proceitual ocorresse de forma natural. As definições formais e as
provas das conjecturas seriam feitas nas aulas teóricas.
As aulas teóricas foram conduzidas de maneira a fazer com que os conceitos
adquiridos nos mundos corporificado e proceitual fossem evocados para serem uma
introdução ao mundo axiomático.
79
Visamos a todo o momento passar pelos Três Mundos da Matemática, conforme
exposto anteriormente, mas também nos preocupamos em desenvolver o pensamento
matemático avançado na medida em que as provas características de cada mundo
ocorressem.
3.4 O que utilizar na coleta de dados?
Os dados referem-se aos “materiais em bruto que os investigadores recolhem do
mundo que se encontram a estudar; são elementos que formam a base da análise”
(BOGDAN e BIKLEN, 1994, p. 149). Com eles, é possível aprofundar nos aspectos a
serem explorados. Esses dados podem ser recolhidos por meio de entrevista, notas de
campo, fotografias, documentos oficiais, entre outros. Mas quais utilizar em nossa
pesquisa?
Optamos pelos seguintes instrumentos:
• Uma atividade introdutória que teve por objetivo evocar os conhecimentos
prévios dos alunos sobre sequências numéricas, bem como suas percepções
iniciais sobre características, termo geral e convergência, para posterior
introdução dos conceitos teóricos correspondentes.
• Gravação de áudio com o objetivo de registrar as explicações dadas pela
professora durante as aulas teóricas e práticas. Gravação de áudio dos alunos
para análise dos diálogos e interações entre os mesmos.
• Gravações das telas dos computadores, utilizando o software TipCam, com o
objetivo de registrar as construções realizadas e recolher informações sobre
possíveis corporificações dos alunos quanto aos conceitos discutidos durante as
atividades.
• Registros feitos pelos alunos nas folhas de atividades. Por meio desses registros
foi possível analisar as conjecturas formuladas pelos estudantes, a compreensão
de determinados conceitos, bem como as formas utilizadas por eles para
comunicar as suas ideias.
80
• Resoluções de questões de provas que serviram para a análise dos
conhecimentos adquiridos pelos alunos, bem como dados para indícios de
passagem pelos três mundos da matemática.
• Notas de campo da pesquisadora, que serviram para registro do
desenvolvimento das atividades, de impressões iniciais sobre dúvidas e formas
de expressão dos alunos e igualmente para registro de possíveis problemas
ocorridos durante as aulas.
As descrições das atividades, das provas e das aplicações das mesmas estão no
Capítulo 4 – Apresentação da Pesquisa.
3.5 Análise dos dados
Inicialmente fizemos um exame cuidadoso dos dados, com o intuito de termos
uma visão geral do desenvolvimento da pesquisa e de todas as informações que puderam
ser obtidas.
Em seguida buscamos estabelecer relações entre os dados, identificar erros e
acertos dos alunos, identificar o raciocínio utilizado por eles, as conjecturas elaboradas,
bem como as diferentes formas de manifestação de compreensão dos conceitos
trabalhados. Buscamos também inserir nossas impressões iniciais sobre a contribuição das
atividades para o conceito de convergência. Essa primeira análise foi feita por atividade, e
está apresentada, juntamente com a descrição do desenvolvimento da pesquisa, no
capítulo 4.
Fizemos também, no capítulo 5, uma análise dos dados segundo dois eixos
derivados dos principais quadros teóricos utilizados: os Três Mundos da Matemática e o
Pensamento Matemático Avançado. Intitulamos os dois eixos de análise por: a
corporificação dos conceitos de convergência e a relação com a proceitualização e a
axiomatização; e a transição do pensamento matemático elementar para o avançado.
Esses dois eixos, que foram considerados na concepção das atividades, estão
indicados como possibilidades de organização das evidências encontradas nos dados.
Dessa forma apontam caminhos para a análise, auxiliando no entendimento do fenômeno
que buscamos compreender. Não os entendemos como categorias excludentes, uma vez
81
que muitos dos dados evidenciaram simultaneamente aspectos considerados pertinentes a
ambos os eixos.
Nas considerações finais, iniciamos recapitulando brevemente o que foi feito em
toda dissertação. Trazemos uma análise da contribuição do software GeoGebra no
desenvolvimento das atividades e da forma como, juntamente com as atividades,
possibilitou a criação de um micromundo tornando-se um organizador genérico.
Discutimos a corporificação do conceito de convergência e a possível ocorrência das
transições entre os Três Mundos da Matemática e do pensamento matemático elementar
para o avançado. Ainda fazemos considerações sobre as potencialidades das atividades
para a formação de raízes cognitivas no que se refere ao conceito de convergência. Além
disso, discutimos uma forma desejável para o ensino de Cálculo, dando importância à
participação ativa dos alunos na construção do conhecimento. Finalizamos com algumas
considerações sobre o produto educacional desenvolvido como resultado desta pesquisa.
83
CAPÍTULO 4
APRESENTAÇÃO DA PESQUISA
Neste capítulo apresentamos a concepção das atividades com base nos Três
Mundos da Matemática, os objetivos de cada uma delas e relatamos seu desenvolvimento.
Trazemos também nossa reflexão sobre os erros e os acertos dos alunos, o raciocínio
utilizado durante a realização das atividades, as conjecturas formuladas pelos alunos, bem
como nossa interpretação sobre a importância das atividades para o conceito de
convergência tanto de sequências como de séries, por meio das somas parciais.
4.1 A concepção da proposta pedagógica
A proposta foi concebida com base no referencial teórico anteriormente
apresentado, a fim de se alcançar os objetivos da pesquisa, mas, principalmente, de forma a
poder ser implementada no contexto do curso regular de Cálculo sob responsabilidade da
pesquisadora. Foi considerado o cronograma previsto para o desenvolvimento de todo o
programa da disciplina, não apenas o relativo aos conteúdos de sequências e séries.
Compõem a proposta: uma atividade introdutória, atividades exploratórias com
utilização do software GeoGebra, aulas teóricas, uma prova com questões sobre sequências
e uma prova sobre séries. Todas as atividades estão no Apêndice na sua forma integral e o
desenvolvimento das aulas aparece no item 4.2.2.
Essas atividades e as aulas foram sendo desenvolvidas de acordo com a evolução
da turma. Inicialmente foram selecionadas: uma aula de 50 minutos para a aplicação da
atividade introdutória; duas aulas práticas (cada uma com duração de 1h30min) para a
aplicação das atividades de sequência; duas aulas práticas, de uma hora e trinta minutos
cada, para a aplicação da atividade de séries em laboratório; duas aulas (cada uma com
duração de 1h30min) para a aplicação das duas atividades de avaliação, desenvolvidas
como provas; e nove aulas, tendo cada uma duração de uma hora e meia, para as aulas
teóricas, incluindo aulas de dúvidas. Sendo assim, o cronograma inicial contava com um
total de 16 aulas para as aplicações das atividades e aulas teóricas sobre sequências e
séries.
84
Na Tabela 01 veremos o cronograma inicial das atividades:
Aulas Conteúdo Desenvolvimento
1ª aula - Sequências finitas; - Sequências infinitas e - Convergência
Aplicação da Atividade Introdutória para evocar o conhecimento prévio dos alunos quanto aos conteúdos listados e posterior introdução dos conceitos teóricos.
2ª aula - Definição de sequências e - Convergência de sequências
Introdução à definição de sequências, bem como ao termo geral, por meio das Atividades 01 a 03. Manipulação de software para conjecturar a convergência de sequência através da Atividade 04.
3ª aula
- Divergência de sequências; - Convergência de sequências alternadas e - Convergência de sequências por meio de definição formal de limite.
Manipulação de software para conjecturar a divergência de sequência, através da Atividade 05; a convergência de sequências para valores diferentes de zero, com a Atividade 06; a convergência de sequências alternadas, por meio da Atividade 07; a convergência de uma sequência considerando a distância entre termos consecutivos da sequência e a distância entre os termos de uma sequência ao ponto de aderência, para sequências convergentes, com o auxílio da Atividade 08.
4ª aula - Formalização da convergência de sequências.
Aula teórica para discussão das conjecturas formuladas nas atividades e formalização da convergência e da divergência de sequências.
5ª aula - Propriedades de uma sequência. Aula teórica para a discussão das propriedades de uma sequência, dentre elas ser limitada e/ou ser monótona.
6ª aula - Todo o conteúdo de sequências Aula de dúvidas sobre a matéria e os exercícios selecionados.
7ª aula - Prova de sequências Prova aplicada à turma com conteúdo relativo a sequências.
8ª aula - Definição de séries
Aula expositiva para definição de séries. Aplicação da Atividade de séries, com o auxílio do software, para possível conjectura de quando uma série deve ou não ser convergente.
9ª aula
- Série geométrica; - Série harmônica; - Teste da divergência e - Propriedades.
Aula teórica para discussão das conjecturas formuladas, definições e propriedades com o auxílio visual do software.
10ª aula - Teste da integral e - Teste da comparação
Aula teórica sobre o teste da integral e teste da comparação, com o auxílio visual do software.
11ª aula - Série alternada Aula teórica sobre séries alternadas e a utilização do software para a visualização da convergência.
12ª aula - Teste da Razão e da Raiz Aula teórica sobre os testes da razão e da raiz. 13ª aula - Séries de Potência Aula teórica sobre séries de potência
14ª aula - Séries de Taylor de Maclaurin Aplicação da Atividade de séries de potência para visualização do intervalo de convergência, com o auxílio do software.
85
Sistematização do conteúdo.
15ª aula - Todo o conteúdo de séries. Aula de dúvidas sobre a matéria e dos exercícios selecionados.
16ª aula - Prova de séries Prova aplicada à turma com conteúdo relativo a séries.
Tabela 01: Descrição do cronograma das aulas Sequências e Séries.
O desenvolvimento das atividades, respeitando o ritmo dos alunos, implicou o não
cumprimento do cronograma inicial. Os conteúdos de séries de potência não puderam ser
trabalhos em sala de aula, sendo estudados por meio de um estudo dirigido que os alunos
fizeram em grupo. Esse estudo encontra-se no Apêndice F.
Veremos nas próximas subseções como cada uma das atividades citadas
anteriormente foi elaborada. Algumas atividades foram elaboradas para serem realizadas
com a ajuda do software de geometria dinâmica GeoGebra; portanto, antes de iniciarmos
as descrições das atividades, tecemos algumas considerações a respeito das potencialidades
do GeoGebra e das razões para a escolha deste software na presente pesquisa.
4.1.1 O software GeoGebra
Escolhemos trabalhar com o GeoGebra40 por ser um software livre de matemática
dinâmica e de fácil interação. Devido ao seu dinamismo, torna-se uma estratégia de ensino,
da qual professores e alunos podem fazer uso para explorar, conjecturar, testar hipóteses e
investigar conteúdos diversos na Matemática. Está disponível em 55 línguas diferentes e é
multiplataforma, o que torna possível instalá-lo em computadores com Windows, Linux,
Mac OS, ou XO.
O GeoGebra foi criado em 2001 como resultado da tese de Markus Hohenwarter,
como um recurso de ensino e aprendizagem de Matemática em vários níveis (do básico ao
universitário). Ele reúne Geometria, Álgebra, Cálculo e Estatística. Em sua interface temos
disponíveis para utilização a janela algébrica, janela geométrica, planilha e janela CAS
(Computer Algebric System). O que nos deixou imensamente interessadas nesse software é
o fato das partes gráfica, algébrica e de planilha estarem interconectadas, o que permite
apresentar, ao mesmo tempo, representações diferentes de um mesmo objeto e, ao
fazermos à modificação em uma delas, as demais acompanham à modificação realizada.
40 Disponível para download na versão 4.0 em http://www.geogebra.org/cms/en/installers. Para a utilização do software é necessário que esteja instalado o plugin Java, disponível em http://www.java.com.
86
Figura 11: Tela inicial do GeoGebra contendo as janelas de álgebra, visualização gráfica e planilha
No Campo de Entrada podemos inserir comandos com expressões algébricas ou
pontos que, após se pressionar a tecla Enter, seus respectivos são criados na Janela de
Álgebra e na Janela de Visualização. No botão do canto inferior direito é possível
encontrar uma lista de comandos que podem ser inseridos no Campo de Entrada.
O GeoGebra possui várias ferramentas, dentre elas a de Controle Deslizante. Essa
ferramenta cria um intervalo de números livres (ou ângulos livres) de forma que quem a
estiver executando pode definir seu nome, valor mínimo e máximo do intervalo e o
tamanho de seu passo. Com essa ferramenta é possível verificar o que ocorre com alguma
função ou expressão algébrica, desde que relacionada ao Controle Deslizante, quando
fazemos o seu valor variar.
Pensando em nossas atividades, vimos que o Controle Deslizante seria uma
possível ferramenta para o auxílio da corporificação da convergência de uma sequência,
pois poderíamos associar o valor de n de uma sequência ao Controle Deslizante e fazer o
seu valor máximo aumentar o tanto quanto fosse desejado. Com isso, o aluno passaria a ter
autonomia para conjecturar e testar sua conjectura com relação aos valores dos termos da
sequência ou série, à medida que o valor de n aumenta.
Outra importante ligação que o GeoGebra permite é a dos Rastros deixados pelos
pontos e funções (caso assim se deseje) com a planilha. Os rastros nada mais são do que os
valores assumidos pelos pontos ou funções para cada valor dos números livres do Controle
Deslizante. Funcionam como uma memória dos cálculos e assim se pode analisar não
apenas o resultado final, como também o processo para se chegar àquele resultado. Vimos
87
que seria possível representar graficamente os termos de uma sequência (ou série) e
colocar todas as coordenadas dos pontos na planilha para uma visualização numérica da
convergência.
Havendo a interação entre as três janelas – algébrica, gráfica e planilha – é
possível fazer uma relação entre o que foi visualizado no gráfico e a parte numérica que
está na planilha e na janela algébrica.
Ao elaborarmos as atividades exploratórias no software GeoGebra, focamos
principalmente nos mundos corporificado e proceitual, tentando uma possível abertura para
a exploração do mundo formal.
Na descrição das atividades exploratórias poderemos ver a importante
participação do GeoGebra no trabalho de busca da corporificação da noção de
convergência de sequências e séries.
4.1.2 Atividade introdutória
A atividade introdutória41 teve por objetivo verificar o que os alunos possuíam de
conhecimento prévio sobre sequências e suas concepções sobre as palavras convergência e
divergência, bem como constituir uma base para a futura formalização dos conceitos e
introdução das definições.
Tal atividade possuía sete questões, sendo que cada uma delas ocupava meia
página e foi desenvolvida de forma que os alunos teriam acesso a uma pergunta de cada
vez. Essa maneira de aplicação foi definida após a leitura de Lima (2007), que a utilizou
em seu trabalho. Optamos por essa forma de aplicação para tentar captar as primeiras
ideias de cada aluno sobre os assuntos perguntados sem correr o risco de que perguntas
posteriores pudessem influenciar essas ideias e provocar alterações, por parte dos alunos,
em respostas anteriores.
A seguir, iremos expor as sete questões que compunham o questionário e nossos
objetivos para cada uma delas.
A primeira questão teve por objetivo verificar quais os conceitos iniciais que os
alunos já possuíam sobre os termos sequência, converge e diverge. Esses conceitos
poderiam ser do cotidiano do aluno, não necessariamente relacionados à Matemática.
41
Pode ser vista em seu formato original no Apêndice A.
88
1. Explique o seu entendimento sobre os termos:
a) Sequência
b) Converge
c) Diverge
Quadro 01: Enunciado da primeira questão da atividade introdutória
Com a segunda questão buscamos fazer o aluno avançar em direção ao conceito
de sequências. Caso o aluno não conseguisse explicar o que é uma sequência numérica,
poderíamos analisar o seu conceito por meio dos exemplos dados.
2. O que você entende por sequências numéricas? Dê no mínimo 5 (cinco) exemplos de
sequências numéricas.
Quadro 02: Enunciado da segunda questão da atividade introdutória
A terceira questão serviu para verificar se os alunos conseguiam identificar as
características das sequências numéricas e se, de alguma forma, conseguiam defini-las
como um conjunto de valores numéricos que possuem uma ordem e obedecem a uma
determinada relação.
3. O que caracteriza uma sequência numérica?
Quadro 03: Enunciado da terceira questão da atividade introdutória
A quarta questão tinha o objetivo de fazer com que os alunos observassem os
termos das sequências e identificassem algumas características e propriedades.
Esperávamos que os alunos montassem grupos de sequências com algumas características
comuns, como, por exemplo: finita, infinita, inteiros, fracionários, sinais alternados entre
outros.
4. Observe as seguintes sequências numéricas:
{1, 3, 5, 7, 9, 11} {2, 4, 6, 8, 10, 12, ... }
L,5
1,
4
1,
3
1,
2
1,1 { }L,0,1,0,1,0 −−
{ }L,5,4,3,2,1 −−−
−− L,32
5,
16
4,
8
3,
4
2,
2
1
89
L,5
6,
4
5,
3
4,
2
3,2 {1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21}
Agrupe essas sequências segundo características comuns que você encontre nelas.
Explique como foi feito o agrupamento. (Se necessário, utilize o verso da folha).
Quadro 04: Enunciado da quarta questão da atividade introdutória
A questão número cinco tinha por objetivo verificar o tipo de raciocínio utilizado
pelo aluno para encontrar a regra de formação da sequência e também como um possível
passo para a obtenção do termo geral de uma sequência.
5. Para cada uma das sequências a seguir, tente escrever quais são os dois termos
seguintes. Explique como você obteve esses números.
{1, 3, 5, 7, 9, 11, , , ...}
L,,,15
1,
12
1,
9
1,
6
1,
3
1
−− L,,,32
5,
16
4,
8
3,
4
2,
2
1
L,,,5
6,
4
5,
3
4,
2
3,2
{1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, , , ...}
Quadro 05: Enunciado da quinta questão da atividade introdutória
Nosso objetivo na questão seis foi fazer com que os alunos encontrassem uma
expressão para o termo geral da sequência, explicando o raciocínio empregado para chegar
a esse termo geral.
6. Dadas as sequências a seguir, encontre o 50º termo de cada uma. Como você o obteve?
{1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}
−− L,10
1,
8
1,
6
1,
4
1,
2
1
L,5
6,
4
5,
3
4,
2
3,2
Quadro 06: Enunciado da sexta questão da atividade introdutória
90
A sétima questão foi desenvolvida com a intenção de buscar relacionar a ideia
intuitiva de convergência (ou divergência) ao conceito de limite, estudado anteriormente
pelos participantes.
7. Observe as seguintes sequências com infinitos termos. O que acontece com o valor do
termo de posição n, quando n tende ao infinito? Explique.
{1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}
L,5
1,
4
1,
3
1,
2
1,1
{1, 1, 1, 1, 1, 1, ...}
L,6
5,
5
4,
4
3,
3
2,
2
1
{1, –1, 1, –1, 1, –1, ...}
L,32
5,
16
4,
8
3,
4
2,
2
1
Quadro 07: Enunciado da sétima questão da atividade introdutória
Depois da aplicação dessa atividade introdutória, demos continuidade ao trabalho
com as aulas teóricas e com as atividades exploratórias usando o GeoGebra, conforme
cronograma descrito na Tabela 01.
4.1.3 Atividades exploratórias
Elaboramos dois grupos de atividades as quais denominamos Atividades
Exploratórias para serem desenvolvidas em laboratório, com utilização do software
GeoGebra. Fundamentadas nas ideias de Tall para construção de uma abordagem
corporificada com utilização de tecnologia, escolhemos o software GeoGebra para
constituir ambientes nos quais aspectos relativos à convergência pudessem ser
manipulados e percebidos pelos participantes, buscando a corporificação da ideia de
convergência. Além disso, buscamos usar o conceito corporificado para trabalhar o que
identificamos, a priori, como raiz cognitiva para convergência, a saber: as distâncias entre
91
os pontos das sequências. Entendemos que assim estaríamos lançando as sementes da
expansão cognitiva para definições formais e posterior desenvolvimento teórico.
Consideramos que seria importante que os participantes tivessem um contato
inicial com o software GeoGebra antes do desenvolvimento das atividades exploratórias a
serem consideradas para a pesquisa. Isso porque entendemos naquele momento que
possíveis dificuldades com o software poderiam prejudicar a interpretação de resultados
relativos ao desenvolvimento das atividades exploratórias. Desenvolvemos atividades
usando o GeoGebra para trabalhar o conteúdo de Coordenadas Polares, constante do
programa da disciplina, previsto para ser trabalhado antes do conteúdo de sequências.
Dessa forma o GeoGebra foi apresentado aos participantes e eles tiveram a oportunidade
de desenvolver atividades em que tiveram que explorar conceitos matemáticos, antes que
os mesmos fossem apresentados de modo teórico, na sua forma final.
O primeiro grupo de atividades considerado na pesquisa refere-se ao conteúdo de
sequências e é composto de oito atividades. O objetivo principal das atividades foi a
corporificação das ideias básicas de convergência de sequências, com vistas a criar
condições para uma passagem sutil para o mundo proceitual e posterior formalização.
Antes de aplicarmos as atividades em sala de aula, fizemos um teste inicial com
os mestrandos, alunos da disciplina Seminários Temáticos IV do programa do Mestrado
Profissional em Educação Matemática da Ufop, sob responsabilidade da orientadora. Esse
teste foi importante, pois tivemos a oportunidade de identificar possíveis dificuldades dos
participantes relativas às instruções dadas e, principalmente, nos fez enxergar que a forma
como estavam descritas, com passos para todos os caminhos que deveriam ser seguidos
pelos alunos, estavam direcionando demais as ações dos participantes, não dando liberdade
a eles para conjecturarem ou testarem suas hipóteses. Isso foi considerado para
reformulação e elaboração da versão final aplicada (apresentadas na íntegra no Apêndice
B – Atividades Exploratórias).
Nas três primeiras atividades (de números 1, 2 e 3) buscamos resgatar as ideias
intuitivas dos alunos sobre a formação das sequências e, ao mesmo tempo, dar as
definições formais correspondentes, sempre partindo das respostas e colocações dos
participantes a respeito do que estava sendo perguntado nas atividades. Trabalhamos a
definição de sequência numérica, a expressão do termo geral e a obtenção dos termos de
uma sequência a partir do termo geral.
A partir da atividade de número 4, buscamos desenvolver uma abordagem
corporificada para a convergência de sequências. Elaboramos as atividades de modo que os
92
alunos pudessem construir sequências numéricas, termo a termo, e representá-las de
diferentes formas, com os recursos do GeoGebra. Assim, para cada sequência trabalhada
pudemos comparar a expressão algébrica do termo geral, duas visualizações gráficas de
seus termos através de representações de pontos (descritas na Atividade 4 a seguir), bem
como os valores numéricos de cada um de seus termos. Valorizamos o processo de
obtenção de cada termo. Para isso, exploramos as características dinâmicas do software,
através do Controle Deslizante e da habilitação do Rastro. Dessa forma, as imagens
obtidas tinham um certo “dinamismo”, diferentes das imagens estáticas apresentadas nos
livros didáticos. Estimulamos a variação do número de termos da sequência para associar a
convergência à ideia de limite.
Descreveremos em detalhes a Atividade 04 para exemplificar os aspectos acima
mencionados. Com a atividade 04 buscamos explorar diferentes possibilidades de
representação dos termos de uma sequência e isso foi anunciado aos alunos. A partir da
expressão do termo geral, trabalhamos a visualização dos termos da sequência como
pontos do gráfico de uma função, como pontos sobre uma reta e como sequência de valores
numéricos em uma planilha.
Tivemos a preocupação de elaborá-la de forma que o conhecimento do aluno
fosse sendo construído aos poucos. Buscamos, a partir da visualização dos termos da
sequência, como pontos do gráfico de uma função representados no plano cartesiano, levá-
los a observar que ela pode ser representada como uma função discreta com domínio nos
inteiros positivos e imagem nos reais. Observar também o comportamento de seus termos
iniciais, para então, depois de conjecturar uma possível convergência, observar o que
acontece com a sequência quando a quantidade de termos aumenta. Só então inserimos
uma nova visualização, como pontos de uma reta, que teve por objetivo observar se os
valores da sequência estão se aproximando ou se afastando uns dos outros. Acreditamos
que, baseados nas visualizações gráficas e nos valores numéricos obtidos na planilha, os
participantes poderiam elaborar conjecturas e testar hipóteses para obter respostas às
perguntas a eles apresentadas no roteiro da atividade.
Para subsidiar o desenvolvimento da atividade no que diz respeito aos recursos do
GeoGebra, foi elaborado um Minimanual de utilização com orientações a respeito da
forma de realizar as construções sugeridas. O Minimanual está disponível no Apêndice C.
A sequência explorada na Atividade 04 foi a de termo geral n
an
5= . Ela foi
escolhida, pois, ao utilizarmos os doze primeiros termos, a sua convergência para zero não
93
é tão intuitiva ou imediata. Inicialmente, havíamos pensado em 1/n, mas essa sequência
converge muito rapidamente. A mudança para 5/n foi uma das sugestões apresentadas
pelos nossos colegas de mestrado na aplicação-teste, para que a convergência fosse mais
lenta nos primeiros termos.
A primeira visualização gráfica explorada foi a dos termos da sequência como
pontos do gráfico de uma função com domínio nos inteiros positivos. Para isso, pedimos
aos alunos que representassem no plano os pontos P = (n, 5/n), enfatizando que da forma
como definimos P, o valor da primeira coordenada representa a posição n do termo da
sequência e o valor da segunda coordenada representa o valor numérico do termo de
posição n da sequência. O domínio da função nos inteiros positivos foi garantido pelo
intervalo e passo sugeridos para o Controle Deslizante. A ideia de convergência foi
explorada ao sugerirmos mudanças no intervalo do Controle Deslizante, deixando ao aluno
a escolha do valor máximo a ser colocado e a manipulação desse controle (garantindo a
visualização dinâmica do processo). Vejamos uma possível resolução dessa parte da
Atividade 04, nas figuras 12 e 13.
Figura 12: Representação da sequência
nan
5= , com n variando de 1 até 12, como uma função discreta
Fonte: Elaborada pela autora.
94
Figura 13: Representação da sequência
nan
5= , com n variando de 1 até 40, como uma função discreta
Fonte: Elaborada pela autora.
Interessante observar a possibilidade de comparação entre a expressão algébrica
do termo geral, a representação gráfica e os valores numéricos na planilha, todos na mesma
tela do GeoGebra.
A outra forma de visualização, como pontos de uma reta, foi explorada quando
pedimos aos alunos que criassem o ponto Q = (0, 5/n). Entendemos que essa forma seria
interessante, pois, através dela, poderíamos explorar a ideia de convergência pela
aproximação dos pontos da sequência de um ponto fixo, ideia essa que poderia remeter ao
conceito formal de limite. Também a achamos interessante para explorar a diferença entre
dois valores consecutivos da sequência, visualizada pela distância entre dois pontos
consecutivos na reta. Os mesmos recursos do Controle Deslizante foram sugeridos nesse
caso. Vejamos uma possível resolução dessa parte da Atividade 04, sendo o ponto P
representado em azul, o ponto Q representado em vermelho e as coordenadas dos dois
pontos dispostas na planilha (figura 14).
95
Figura 14: Representação da sequência
nan
5= , com n variando de 1 até 15, como uma função discreta e
como pontos sobre uma reta Fonte: Elaborada pela autora.
As Atividades 05, 06 e 07 foram desenvolvidas com os mesmos objetivos da
Atividade 04; porém, cada sequência escolhida possui uma justificativa que será explicada
a seguir. Vale ressaltar que o enunciado é simples e direto para a visualização tanto como
uma função discreta quanto como um conjunto de pontos sobre uma reta.
Na Atividade 05 utilizamos a sequência de termo geral 2nan = que diverge muito
rapidamente. Com essa sequência buscamos a fácil visualização de que os valores não se
aproximam de um valor fixo e, por isso, a sequência não converge.
Já para a Atividade 06 escolhemos a sequência 1+
=n
nan para que os alunos
vissem que as sequências podem convergir para outros valores reais, não deixando margem
para um entendimento errôneo de que, para uma sequência se aproximar de um valor, tem
que ser para zero.
Para a Atividade 07 a sequência escolhida foi a de termo geral n
nn
na
2)1(
2
−= .
Essa nos ajuda a explorar o fato de que uma sequência alternada também pode convergir.
Também tínhamos o objetivo futuro de, ao discutirmos sequências alternadas, mostrar que
ela só pode ser convergente se for para zero.
A Atividade 08 teve por objetivo explorar a convergência de uma sequência por
meio da distância entre dois termos consecutivos, observando que essa distância pode ser
vista por meio da distribuição dos pontos sobre o eixo das ordenadas e medida pelo valor
96
absoluto da diferença entre dois valores consecutivos das ordenadas explorados na
planilha. Esse modo de trabalhar a convergência poderia servir de base para os estudos do
critério de Cauchy.
Para a exploração da Atividade 08 foram escolhidas três sequências. A primeira:
1+=
n
nan foi escolhida porque converge para um e, com isso, os alunos poderiam
visualizar, tanto pela disposição dos pontos no gráfico quanto pelos valores da planilha,
que, apesar de a sequência convergir para um, o valor absoluto da diferença, ou seja, a
distância entre dois pontos consecutivos da sequência converge para zero (figura 15).
Figura 15: Distância entre termos consecutivos da sequência
1+=
n
nan
Fonte: Elaborada pela autora.
A sequência de termo geral n
an
n 3
2= foi a segunda a ser selecionada com o
objetivo de tentar uma visualização de uma sequência que diverge. Também buscamos
uma comparação entre o limite do termo geral (nesse caso infinito) e o valor absoluto das
diferenças entre dois termos consecutivos (que nesse caso aumenta quando n aumenta).
Por fim, optamos pela sequência de termo geral 1
)1( 1
+−=
+
n
na n
n , por ser uma
sequência alternada que diverge. Nesse caso, o limite do termo geral não existe e a
97
distância entre os dois termos consecutivos da sequência tende para um valor diferente de
zero.
O segundo grupo de atividades considerado na pesquisa refere-se ao conteúdo de
séries. O objetivo principal foi a corporificação das ideias básicas de convergência de
séries com vistas a facilitar a exploração teórica da condição de convergência e dos
critérios de convergência de séries. A possível convergência de uma série seria explorada
com base na possível convergência da sequência das somas parciais dos termos da série.
Para tanto, o software GeoGebra seria usado para representar as duas sequências como
gráficos de funções de domínio discreto, em um mesmo sistema de eixos, possibilitando a
comparação entre as duas sequências. Também seriam calculados os valores numéricos dos
termos das duas sequências, representados em uma planilha.
Foram utilizadas séries que podem levar a uma conclusão de possível
convergência e outras com o intuito de a convergência não ser conclusiva, sendo necessária
a utilização da teoria para a comprovação. O principal objetivo foi verificar que uma série
só será convergente se a sequência do termo geral convergir para zero, mas que isso não é
suficiente e não garante a convergência da série. A seguir, apresentamos as séries
escolhidas, suas características e uma forma possível de trabalho teórico a partir delas:
- ∑ −12
1n
: é possível visualizar por meio de gráfico ou de tabela que a sequência
do termo geral aparenta convergir para zero e que a série pode convergir para um. A
convergência da sequência pode ser verificada pelo cálculo do limite e a convergência da
série pelo uso do teste de série geométrica ou do teste da razão;
- ∑+2
2 1
n
n: é possível visualizar por meio de gráfico ou de tabela que a sequência
do termo geral aparenta convergir para um, no entanto, a série é divergente. A divergência
da série pode ser verificada com o uso do teste da divergência;
- ∑+ )1(
1
nn: a visualização gráfica e da tabela pode levar à conclusão de que a
sequência do termo geral parece convergir para zero, enquanto que a série aparenta
convergir para um. A comprovação da convergência da sequência pode ser verificada com
o cálculo do limite e a convergência da série é comprovada utilizando série telescópica e o
valor de convergência pelo cálculo do limite do termo geral das somas parciais;
98
- ∑
+
n
n 1
1: por meio da visualização gráfica ou da tabela é possível perceber
que a sequência do termo geral converge para zero e que a série é convergente; entretanto,
não é possível saber o valor para o qual a série converge. O software é limitado a quinze
casas decimais, por isso, a partir de um certo termo o valor do termo geral na planilha
aparece como sendo zero e, consequentemente, não ocorre alteração no valor da soma
parcial. No entanto, é possível, a partir da expressão do termo geral, saber que ele não pode
assumir o valor zero; logo, não é possível saber o valor para o qual a série converge. A
convergência da sequência pode ser calculada pelo limite e a convergência da série pode
ser comprovada com o uso do teste da raiz;
- ∑ +−
21 1
)1(n
n : é possível visualizar por meio de gráfico ou de tabela que a
sequência do termo geral aparenta convergir para zero e que a série pode ser convergente.
A convergência da sequência pode ser calculada pelo limite do valor absoluto do termo
geral e a convergência da série pode ser comprovada com o uso do teste da série alternada;
- ∑n
1: utilizando apenas os primeiros trinta termos da série harmônica para
construção do gráfico e da tabela, o aluno poderia concluir que a série é divergente ou que
a série converge para quatro. Essa série foi colocada para servir de contra exemplo, pois
não basta a sequência do termo geral convergir para zero para que a série seja convergente.
O que acontece com essa série é contrário à ideia intuitiva que se tem dela. É possível
provar a divergência utilizado o teste da integral ou p-série. Vale ressaltar a possibilidade
de uma prova que explica, como a feita pelo matemático Oresme, nos moldes sugeridos
por Hanna.
A figura 16 nos mostra como seria a visualização das sequências formadas pela
série ∑ −12
1n
. Os pontos representados em azul são os termos da série e os pontos em
vermelho são os termos da sequência de somas parciais. Tanto os gráficos como os valores
numéricos apresentados na planilha permitem uma visualização de que a sequência de
valores do termo geral aparenta tender a zero e a sequência de valores das somas parciais
parece tender a dois.
99
Figura 16: Sequências do termo geral e das somas parciais da série ∑ −12
1n
Fonte: Elaborada pela autora.
Concluímos aqui as atividades a serem realizadas no laboratório de informática42.
A seguinte seção tratará sobre a concepção das atividades avaliativas.
4.1.4 Atividades de avaliação sobre sequências e séries
Como não seria aplicado um questionário final (ou atividade final de avaliação
geral), resolvemos utilizar, como instrumento de coleta de dados, as avaliações individuais
previstas no plano da disciplina, que incluíram os conteúdos de sequências e séries. Com
essas provas não tivemos o intuito de fazer uma comparação do conhecimento inicial
(utilizando a atividade introdutória) com o conhecimento final, mas o de um instrumento
buscando interpretar a possível transição entre os Três Mundos da Matemática sobre o
conceito de convergência de sequências e séries numéricas.
A prova sobre sequências também continha questões sobre coordenadas polares,
já que fazia parte do plano de curso. As questões sobre sequências foram formuladas com o
intuito de verificar o que foi apreendido pelos alunos sobre a definição de sequência como
um conjunto numérico que possui uma ordem, e/ou uma função discreta com domínio nos
42 Não colocamos a atividade sobre séries de potência, pois como enunciando no início deste capítulo, não foi possível estudar esse conteúdo em sala de aula e, portanto, não foi utilizado como dado de pesquisa.
100
inteiros positivos. Também tiveram o objetivo de verificar o que os alunos entendem pela
convergência de sequência, por definição formal de limite ou não e, no caso da
convergência de sequências, o valor para o qual a sequência converge. Havia uma questão
que buscava verificar o que foi aprendido sobre sequência monótona e/ou limitada. Como
esses conteúdos não são de interesse da nossa pesquisa não iremos analisá-los.
A prova sobre séries foi elaborada vinte dias após o fim das aulas sobre o assunto.
Esse fato ocorreu devido ao recesso de fim de ano do Instituto no qual a pesquisa foi
aplicada. É importante ressaltar que não foi possível lecionar todo o conteúdo de séries
dentro do tempo inicialmente previsto, sendo estudados apenas os seguintes tópicos:
definição de séries, somas parciais, série geométrica, série telescópica, série harmônica, p-
série, teste da divergência, teste da integral, teste da série alternada, convergência absoluta,
teste da razão e teste da raiz. Todos os testes de convergência foram estudados de forma
diferente do previsto inicialmente, sem que os alunos fossem agentes do processo, isto é,
os testes de convergência foram trabalhados de forma mais expositiva. Entretanto,
construções feitas no software GeoGebra foram utilizadas para a visualização durante a
explicação de exemplos. A prova de séries abordou, portanto, os assuntos listados
anteriormente, por meio de definições de séries, convergência e divergência e por questões
para verificar a capacidade de os alunos identificarem uma série para aplicação de um
teste.
As provas sobre o conteúdo de sequências e a prova sobre o conteúdo de séries se
encontram nos Apêndices D e E, respectivamente.
4.2 O desenvolvimento das atividades: resultados parciais e interpretações
Tendo explicado na seção anterior como as atividades foram concebidas, bem
como os objetivos de cada uma delas, apresentamos nesta seção o seu desenvolvimento
durante as aulas. Apresentamos também nossa interpretação para algumas respostas
apresentadas pelos alunos e para os diálogos estabelecidos e as argumentações utilizadas.
Procuramos ainda identificar dificuldades e indicativos de atendimento (ou não) aos
objetivos propostos. No capítulo cinco as atividades serão retomadas para a análise a partir
de eixos identificados com base nos referenciais teóricos escolhidos. Temos, portanto, dois
momentos de apresentação dos dados da pesquisa: neste capítulo onde são apresentados
dados que possibilitam a análise das atividades com relação principalmente aos objetivos
101
de cada uma delas no que diz respeito às questões de convergência e no próximo capítulo
onde são apresentados dados que permitem a análise no que diz respeito à corporificação
dos conceitos e à transição entre o pensamento matemático elementar e o avançado.
Algumas respostas ou diálogos de alunos são emblemáticos em mais de um aspecto
analisado e, portanto, são discutidos nos dois capítulos.
No dia 24 de outubro de 2011, foram entregues aos alunos os termos de ciência e
a autorização para utilização de dados na pesquisa. Dos 32 alunos frequentes, 28 aceitaram
participar da pesquisa. Os alunos serão identificados como A01 (aluno 1), A02 (aluno 2) e
assim por diante.
4.2.1 Atividade Introdutória
A atividade introdutória foi aplicada no dia 27 de outubro de 2011, com duração
aproximada de uma hora, contando com a participação de vinte alunos. Embora tivesse o
objetivo principal de se constituir numa sondagem sobre os conhecimentos prévios dos
alunos relativos aos conceitos de sequência, sequência numérica, convergência e
divergência, também foi usada para levar os alunos a observarem características de
sequências numéricas, preparando-os para definições e formalizações posteriores.
Na primeira questão pedia-se que os alunos explicassem seu entendimento sobre
os termos sequência, converge e diverge. Os alunos manifestaram dificuldade em
expressar, com palavras, esse entendimento. Alguns optaram por responder por meio de
exemplos ou com formas de explicação nem sempre relacionadas à Matemática.
As respostas do aluno A12 (figura 17) e do aluno A08 (figura 18) ilustram essa
compreensão inicial não necessariamente ligada à Matemática:
Figura 17: Resposta do aluno A12 às questões 1.b e 1.c da atividade introdutória
102
Figura 18: Resposta do aluno A08 às questões 1.b e 1.c da atividade introdutória
No entanto, é possível identificar a presença de algumas ideias matemáticas, como
exemplificam as respostas dos alunos A12 (figura 19) e A13 (figura 20), caracterizando as
sequências como conjuntos com certas propriedades:
Figura 19: Resposta do aluno A12 à questão 1.a da atividade introdutória
Figura 20: Resposta do aluno A13 à questão 1.a da atividade introdutória
Na segunda questão, em que se pediam a definição e exemplos de sequências
numéricas, a maioria dos alunos apresentou a definição relacionando a sequência numérica
às propriedades matemáticas, como leis de formação e ordem. Foram colocados por eles
exemplos de sequências numéricas finitas e infinitas, sendo que alguns descreveram as
características dos termos (por exemplo: sequência de números pares).
As questões três e quatro referiam-se às características das sequências numéricas.
Os alunos conseguiram agrupar as sequências de acordo com o número de termos (finita ou
infinita), o tipo de número (inteiro, fracionário), a alternância de sinal dos termos ou,
ainda, indicando aquelas cujos termos tendem a zero.
Na quinta questão pedia-se para escrever os três termos seguintes das sequências,
explicando como os termos foram obtidos. Pretendíamos com essa questão levar os alunos
103
a observarem a lei de formação da sequência e alguns deles conseguiram explicar como os
valores foram encontrados, como podemos ver na resposta do aluno A13 (figura 21).
Figura 21: Resposta do aluno A13 à questão 5 da atividade introdutória
Outros alunos tentaram explicar a relação existente entre os termos. Isso está
exemplificado nas respostas dadas pelo aluno A12 (figura 22) e pela aluna A14 (figura 23)
à sequência de Fibonacci.
Figura 22: Resposta do aluno A12 à questão 5 da atividade introdutória
Figura 23: Resposta da aluna A14 à questão 5 da atividade introdutória
Os erros mais comuns na escrita dos três termos pedidos referem-se à alternância
do sinal da sequência
−− L,32
5,
16
4,
8
3,
4
2,
2
1 e à determinação dos termos da sequência de
Fibonacci.
Na sexta questão, pedindo o quinquagésimo termo das sequências, pretendíamos
estimular os alunos a pensarem na expressão do termo geral de cada uma delas. Os alunos
mostraram ter percebido a lei de formação de cada sequência, uma vez que encontraram o
termo pedido. No entanto, não conseguiram explicar como o haviam encontrado,
ressaltando a dificuldade com a escrita ou simbologia.
104
Por fim, na sétima questão, perguntando sobre o que aconteceria com o valor do
termo de posição n quando n tende ao infinito, buscamos trabalhar as noções intuitivas de
convergência e divergência. Os alunos tiveram dificuldade na interpretação do enunciado.
Para as respostas alguns utilizaram linguagem não matemática e outros tentaram escrever
regras de formação das sequências. Apareceram muitos erros nas respostas como, por
exemplo, os que responderam que todas as sequências apresentadas tendem ao infinito.
Embora sem fazer nenhuma referência à convergência ou divergência, um pequeno grupo
de alunos conseguiu perceber o comportamento das sequências, como exemplificado pelas
respostas do aluno A12 mostradas na figura 24.
Figura 24: Resposta do aluno A12 à questão 7 da atividade introdutória
As respostas dos alunos ao conjunto de questões dessa atividade levam-nos a crer
que as questões fizeram os alunos evocarem noções de sequências numéricas, advindas,
provavelmente, dos estudos anteriores de Progressões Aritméticas e Geométricas. Também
foi possível identificar que eles conseguiram perceber as leis de formação de sequências
mais simples, embora poucos tivessem conseguido explicar suas ideias com palavras ou
linguagem matemática adequada. Entretanto, os alunos não manifestaram boa
compreensão nas questões relativas à convergência e divergência de sequências.
105
4.2.2 Atividades Exploratórias
Esse conjunto de atividades foi desenvolvido no período de 7 a 18 de novembro
de 2011 e no dia 12 de dezembro de 2011, sendo utilizadas quatro aulas de uma hora e
meia cada. Os alunos trabalharam em duplas, mantidas fixas na maior parte das atividades.
Isso foi pensado para que as duplas criassem intimidade, melhorando as discussões e o
trabalho. Apesar de o trabalho ter sido realizado em pares, cada aluno utilizava um
computador.
Para documentação das atividades realizadas no computador foi utilizado o
software TipCam, que possibilita a gravação das telas dos computadores e do áudio dos
alunos. Por problemas técnicos, não foi possível a gravação de algumas telas e dos áudios
pelo TipCam. Alguns áudios foram gravados com aparelhos de telefone celular.
Atividades de 01 a 03
Como apresentado na subseção 4.1.3, esse conjunto de atividades teve o objetivo
de resgatar as ideias intuitivas dos alunos sobre sequências numéricas para, posteriormente,
serem feitas as definições. Descreveremos, portanto, paralelamente ao desenvolvimento
das atividades, a forma como os conceitos foram sistematizados com base nos exemplos e
nas respostas dos alunos. Observamos que não tivemos por objetivo a corporificação do
conceito de sequências, já que pela atividade introdutória foi possível perceber que os
alunos possuíam ideias intuitivas relativas a esse conceito. Com isso as atividades de 01 a
03 resgataram essas ideias direcionando-as para as sequências numéricas e, ao mesmo
tempo, buscando levar os estudantes a perceberem a lei de formação das sequências e seu
termo geral. Essa seria a base para posterior trabalho com a corporificação, abrindo
possibilidades para a proceitualização do conceito de convergência.
Na atividade 01 os alunos deveriam encontrar os quatro termos seguintes de cada
uma das sequências apresentadas. Apenas para a sequência do item b, formada por
quadrados perfeitos, os alunos apresentaram dificuldade para encontrar os termos
seguintes. Embora não tivesse sido pedido, alguns tentaram explicar o raciocínio utilizado
para obtenção dos termos. Na figura 25, apresentamos a tentativa de escrita das alunas A11
e A14 para a regra de formação das sequências.
106
Figura 25: Resposta das alunas A11 e A14 à atividade 01
Foi dito aos alunos que os conjuntos apresentados na atividade 01 são exemplos
de sequências numéricas. Perguntamos novamente o que eles entendiam por sequência e
eles responderam com base no que haviam dito na atividade introdutória, ou seja, fazendo
referência a um conjunto de números ordenados que possui uma relação. Aproveitando a
resposta dos alunos, definimos sequências numéricas de duas formas: como um conjunto
de números ordenados que possui uma lei de formação e também como uma função com
domínio nos inteiros positivos. Como exemplo foi utilizada a sequência formada pelas
potências de 2, que também foi descrita como a função f (n) = 2n, com n ϵ *+
Z , cujo gráfico
é (figura 26):
Figura 26: Gráfico da função f (n) = 2n, com n ϵ *
+Z Fonte: Elaborada pela autora.
Observamos que os pontos do gráfico que representam os termos da sequência
não podem ser ligados por se tratar de uma função discreta.
Em seguida, foram trabalhados outros exemplos de sequências numéricas. Em
discussões conjuntas com os alunos, tendo como base as argumentações apresentadas por
eles, foram determinadas as expressões do termo geral da sequência de números pares {2,
4, 6, 8, ...} e do termo geral da sequência de números ímpares {1, 3, 5, 7, ...}. Utilizamos
uma tabela para conferir se o termo geral encontrado era válido.
107
Na atividade 02, os alunos deveriam encontrar a expressão do termo geral para
cada uma das sequências apresentadas. Descreveremos alguns dos diálogos entre os
participantes para caracterizar diferentes formas de raciocínio utilizadas por eles, no
caminho percorrido entre a percepção da lei de formação e a escrita de forma simbólica.
A discussão entre as alunas A11 e A14 exemplifica a dificuldade de alguns alunos
para encontrar o termo geral n
an
5= de modo que a expressão contemplasse todos os
termos da sequência. Elas começaram com o termo geral sendo 1
5
+=
nan . Acreditamos
que elas dividiram por n + 1 para seguir algum tipo de padrão que precise somar ou
subtrair algum valor no termo geral, como foi o caso da sequência de números ímpares,
que havíamos discutido em sala anteriormente. Ao fazerem a verificação, perceberam que
o primeiro termo, a1 = 5, não estava sendo contemplado pelo termo geral desenvolvido por
elas, por isso perguntaram à pesquisadora se o primeiro termo deveria mesmo aparecer ou
não e também se o n poderia começar de zero ao invés de começar de 1. Discutimos essas
possibilidades, mas sugerimos que elas tentassem encontrar o termo geral com n
começando de 1. A aluna A14 disse que ficaria 12
5
−=
nan . Novamente, testaram o novo
termo geral e viram que ele não contemplava os termos da sequência. A aluna A14 teve um
insight dizendo que no denominador poderia ficar apenas o n, mas sua companheira, A11,
não concordou por achar que no denominador o número ficaria constante na forma 1
5. A
aluna A14 a fez perceber que o valor de n era variável; logo, os termos iriam se modificar,
constituindo, assim, a sequência.
Outra dificuldade percebida foi para encontrar o termo geral da sequência na
expectativa de elas serem progressões aritméticas ou geométricas. Alguns alunos tentaram
encontrar uma razão para as sequências.
Alguns alunos tentaram escrever a sequência dos quadrados perfeitos por meio de
recorrência. Percebemos isso ao participar da discussão entre os alunos A03 e A04. Eles
disseram que, para encontrar os termos seguintes, perceberam que o termo desejado era a
soma do anterior com algum número ímpar, ou seja, a1 = 1, a2 = 1 + 3 = 4, a3 = 4 + 5 = 9,
a4 = 9 + 7 e assim por diante. Como não havíamos pensado/visto esse exemplo como uma
sequência recursiva, os instigamos a observar outra relação entre os números. O aluno A03
disse que os números possuíam raiz quadrada inteira e completou dizendo que os números
108
eram da forma “ele vezes ele mesmo”. Ao serem perguntados sobre a expressão geral
desses números, disseram que deveria ser escrita com nn. Solicitamos que testassem para
verificar o resultado. Para eles, estava claro que a expressão era válida, pois era verdadeiro
quando n valia 1 e 2. Pedimos, então, que testassem para n = 3. Como o resultado foi
diferente, o aluno A04 pensou um pouco mais e chegou ao resultado n2. Os dois alunos
sentiam a necessidade de validação do seu novo resultado, mas deixamos que eles
conferissem com a sequência original.
Outras duplas também tentaram encontrar o termo geral por meio de
recursividade. Uma delas foi a dos alunos A05 e A12, que desenvolveu o termo mostrado
na figura 27:
Figura 27: Resposta dos alunos A05 e A12 à atividade 02
Observamos que o aluno A12, desde a aplicação da atividade introdutória, tentava
escrever o termo geral da sequência como sendo algum tipo de progressão aritmética ou
geométrica. Já outros alunos escreveram o termo geral como sendo n2, como a resposta
dada pelas alunas A11 e A14 e mostrada na figura 28, ou nn, ou n.n, como a resposta dada
pelos alunos A10 e A13 e mostrada na figura 29.
Figura 28: Resposta das alunas A11 e A14 à atividade 02
Figura 29: Resposta dos alunos A10 e A13 à atividade 02
Nenhum aluno apresentou dificuldade para encontrar os termos da sequência a
partir do termo geral, na atividade 03. Todos apresentaram resultados corretos, sendo que
alguns deixaram os cálculos explicitados e outros não.
Nessas atividades não foram utilizados os recursos do software. Ainda assim, os
alunos trabalharam manipulando as informações apresentadas para tentar encontrar
respostas às questões colocadas.
109
Em aula teórica posterior, discutimos novamente a definição de sequência
numérica, bem como as respostas apresentadas pelos alunos para as atividades 01 e 02.
Com relação à sequência formada pelos quadrados perfeitos, discutimos tanto a resolução
do termo geral por meio de recorrência, )12(1 −+=−
naa nn , com 11 =a , como na forma do
quadrado de n, 2n . Ainda discutimos como seria o termo geral da sequência
−− L,5
1,
4
1,
3
1,
2
1. Algumas das respostas não contemplavam a mudança de sinal, o que
foi discutido para obtenção da expressão 1
1)1(
+−=
na n
n . Na sequência { }L,2,2,2,2 −− a
discussão também ocorreu em torno do expoente de –1, sendo dito inicialmente que seria
n, depois trocado por 2n, já que o primeiro valor da sequência é positivo e, por fim,
concluíram que seria n + 1.
Com o intuito de verificar a compreensão dos alunos sobre a definição de
sequências, incluímos na prova bimestral uma questão perguntando o que eles entendiam
por sequência. Não percebemos uma mudança significativa no conjunto dos alunos.
Grande parte continuou expressando de maneira não formalizada, como na atividade
introdutória. No entanto, alguns passaram a usar a simbologia trabalhada em sala para
expressão do termo geral an. É o caso da resposta da aluna A11 na figura 30.
Figura 30: Resposta da aluna A11 à prova de sequências
Outros alunos fizeram a relação entre sequência e função discreta43. O aluno A22,
na figura 31, fez uma relação mais simples, enquanto o aluno A12 apresentou essa relação
de maneira elaborada (figura 32).
43 Lembremos que a avaliação ocorreu após a aplicação das oito atividades de sequência e que por isso a utilização do software GeoGebra pode ter influenciado na respostas dos alunos que apresentaram a resposta da sequência como sendo uma função discreta.
110
Figura 31: Resposta do aluno A22 à prova de sequências
Figura 32: Resposta do aluno A12 à prova de sequências
A seguir, apresentamos o desenvolvimento das atividades de 04 a 07, nas quais
utilizamos os recursos do software para trabalhar diferentes representações das sequências,
de maneira integrada.
Atividade 04
Da atividade 04, que teve por objetivo introduzir e relacionar as diferentes
representações de uma sequência convergente, participaram 28 alunos. Essa foi a primeira
atividade da pesquisa com uso do software GeoGebra. Alguns alunos tiveram dúvidas
relativas ao uso dos recursos do software. A intervenção da pesquisadora e o Mini Manual
do GeoGebra (apêndice C) deram suporte para a realização das atividades.
No item 4.1.a, pedimos que os alunos representassem os doze primeiros termos da
sequência n
an
5= por meio do ponto P = (n, 5/n) e por meio dos valores numéricos na
planilha. A representação por meio do ponto P relacionava-se à ideia da sequência como
função de domínio discreto. Pensamos que os alunos poderiam conjecturar que a sequência
tenderia a outro valor diferente de zero (pela quantidade de pontos representados); porém,
nenhum aluno chegou a essa conclusão. A maior parte deles disse que os termos da
sequência tenderiam (figura 33) ou se aproximariam (figura 34) de zero à medida que o
valor de n fosse aumentado. Entendemos que a utilização das palavras “tende” e
“aproxima” está ligada a uma noção prévia que os alunos possuem sobre limite de função.
111
Figura 33: Resposta dos alunos A03 e A04 ao item 4.1.a da atividade 04
Figura 34: Resposta dos alunos A22 e A29 ao item 4.1.a da atividade 04
Os demais alunos concluíram que os valores estavam variando ou estavam
diminuindo, sem fazer referência à aproximação de zero. A título de exemplo,
apresentamos na figura 35 a resposta dada pelas alunas A27 e A30.
Figura 35: Resposta das alunas A27 e A30 ao item 4.1.a da atividade 04
O item 4.1.b pedia a alteração do valor máximo do controle deslizante e, a partir
de sua variação, a observação do comportamento do ponto P e dos valores da abscissa
representados na coluna B da planilha. Alguns alunos, que haviam dito no item anterior
que os valores estavam diminuindo, continuaram com esse pensamento. Entretanto, grande
parte dos alunos conseguiu perceber o comportamento da sequência de modo particular,
sendo que alguns observaram que o ponto P estava se aproximando do eixo dos x’s (figura
36) e os outros, que os valores na coluna B tendiam ou se aproximavam de zero (figura
37).
Figura 36: Resposta dos alunos A10 e A13 ao item 4.1.b da atividade 04
Figura 37: Resposta das alunas A07 e A20 ao item 4.1.b da atividade 04
112
Com o item 4.1.c buscou-se verificar o que acontece com o valor de an quando n
se torna muito grande. Acompanhamos a discussão entre os alunos A02, A08 e A17. O
aluno A08 não concordava com a explicação da aluna A02 de que os valores dos termos da
sequência n
an
5= estavam diminuindo e que nunca seriam iguais a zero. Para justificar,
A02 modificou o valor máximo do controle deslizante para 100. A08, ainda insatisfeito,
mudou o valor máximo para um milhão; dessa forma; ele se convenceu de que a sequência
se aproximava de zero sem se tornar zero. Vemos nessa situação dois níveis do processo de
verificação matemática descritos por Tall (1991), sendo eles o convencer a si mesmo, que
envolve compreender que algumas afirmações são verdadeiras, e o convencer a um amigo,
que requer a organização dos argumentos de uma maneira coerente. Apresentamos a
resposta dada pelo trio ao item em questão na figura 38.
Figura 38: Resposta dos alunos A02, A08 e A17 ao item 4.1.c da atividade 04
De forma parecida ao exemplificado, outros alunos também aumentaram
consideravelmente o valor do controle deslizante para chegar a uma conclusão sobre o
comportamento da sequência, afirmando que o valor se aproximaria de zero, mas que
nunca seria igual a zero.
No item 4.2.a exploramos outra representação dos pontos da sequência: a
representação como pontos de uma reta. Na discussão sobre o ponto Q(0, 5/n), que é a
projeção do ponto P sobre o eixo das ordenadas, há respostas em que foi observado
somente que no ponto Q o valor da abscissa era constante e igual a zero. Também
observamos respostas que apresentavam alguma relação entre os pontos P e Q, sendo: os
dois pontos tenderem a zero e/ou os dois pontos terem o mesmo valor da ordenada.
Consideramos que nesta última relação os alunos perceberam que o ponto Q era a projeção
do ponto P sobre o eixo das ordenadas, como a conclusão dos alunos A03 e A04,
apresentada na figura 39.
113
Figura 39: Resposta dos alunos A03e A04 ao item 4.2.a da atividade 04
Ao serem perguntados no item 4.2.b sobre o que estava acontecendo com a
posição do ponto Q no eixo vertical à medida que era aumentada a quantidade de termos,
os alunos conseguiram observar a possível convergência da sequência para zero, pois
disseram que os termos estavam tendendo a zero (figura 40), ou que estavam se
aproximando do eixo das abscissas, ou ainda que estavam se aproximando da origem do
sistema de eixos cartesianos. Poucos foram os alunos que chegaram a outra conclusão mais
vaga, como o ponto Q estar decrescendo.
Figura 40: Resposta da aluna A11 ao item 4.2.b da atividade 04
Uma conclusão final sobre o comportamento da sequência quando n assume
valores cada vez maiores foi pedida no item 4.2.c. Grande parte dos alunos concluiu que os
valores tendiam a zero (ou se aproximavam de zero). Essa conclusão partiu tanto da
observação das representações visuais da sequência quanto da observação dos valores
numéricos da tabela. Na resposta dada pelos alunos A15 e A25, na figura 41, podemos
perceber que os dados da tabela foram analisados ao dizerem que “Os valores numéricos
vão diminuindo” e que os dados também foram analisados pela observação do gráfico ao
dizerem que “[...] a diferença entre os pontos formados é cada vez menor [...]”.
Figura 41: Resposta dos alunos A15 e A25 ao item 4.2.c da atividade 04
114
A resposta da aluna A11 (figura 42) exemplifica a percepção de alunos que
concluíram que os termos da sequência diminuíam conforme o valor de n aumentava, sem
fazer referência à aproximação de zero.
Figura 42: Resposta da aluna A11 ao item 4.2.c da atividade 04
Houve alunos que conjecturaram sobre a distância entre os pontos que
representavam os termos da sequência. Na figura 43, temos um exemplo desse tipo de
resposta, dada pelos alunos A02, A08 e A17. Ao planejarmos a representação do ponto Q,
entendemos que ela poderia favorecer a observação da distância entre os pontos que
representam os termos da sequência e que isso poderia ser considerado nas conjecturas
sobre a possível convergência ou divergência da sequência. No entanto, isso não foi pedido
nesta etapa (apenas posteriormente na atividade 08). Entendemos que a percepção dos
alunos, de certa forma, comprovou a eficácia da representação como fundamentação para
trabalhos posteriores de formalização.
Figura 43: Resposta dos alunos A02, A08 e A17 ao item 4.2.c da atividade 04
Entendemos que a convergência da sequência para zero foi percebida pelos alunos
que utilizaram, ao longo da atividade, os termos “tende”, “aproxima de zero” e “é igual a
zero”. Para os demais alunos acreditamos que a noção de convergência ainda não estava
clara.
Atividade 05
Considerando que havíamos explorado a relação entre as diferentes representações
de uma sequência na atividade 04, a atividade 05 teve por objetivo tratar essas diferentes
representações em sequências divergentes.
115
A maioria dos alunos fez as atividade 04 e 05 em uma mesma aula, tendo
facilidade na execução da atividade 05 que, basicamente, utilizava os mesmos
procedimentos da atividade 04. Apenas algumas dificuldades foram observadas, como a
de escrever as coordenadas dos pontos P e Q na linguagem necessária para a construção
(n2 deveria ser escrito como n^2) e a de fazer com que os novos dados da planilha
aparecessem na primeira linha (o que exigia apagar os anteriores e pedir a reinicialização
da coluna). Vinte e cinco alunos realizaram a atividade 05. Praticamente metade deles
observou que os valores da sequência estavam aumentando e tendendo ao infinito, como
respondido pelos alunos A25 e A32 (figura 44).
Figura 44: Resposta dos alunos A25 e A32 à atividade 05
A outra metade dos alunos observou que a imagem dos pontos P e Q aumentava
ou crescia sem fazer referência ao infinito, como podemos observar na resposta dada pelos
alunos A06 e A23, apresentada na figura 45.
Figura 45: Resposta dos alunos A06 e A23 à atividade 05
Mesmo esses alunos não tendo feito referência ao infinito, os dados nos levam a
crer que visualizaram que os pontos não se aproximavam de um valor fixo e que, por isso,
a sequência seria divergente.
Atividade 06
A atividade 06, que contou com a participação de vinte e quatro alunos, teve por
objetivo verificar, por meio das diferentes representações, que uma sequência pode ser
convergente para um valor diferente de zero. No caso dessa atividade, a convergência era
para um.
116
A maior parte dos alunos concluiu que a sequência, de termo geral 1+
=n
nan , se
aproximava de um, sem que seus termos assumissem este valor. Os alunos A10 e A13, na
sua conclusão (na figura 46), chegaram a se referir ao limite sem, no entanto, terem feito os
cálculos.
Figura 46: Resposta dos alunos A10 e A13 à atividade 06
Os demais alunos concluíram que os valores das ordenadas dos pontos P e Q
aumentavam, sem se referirem ao valor 1, e que a abscissa do ponto Q era constante. Como
exemplo, utilizamos, na figura 47, a resposta dada pelas alunas A27 e A30.
Figura 47: Resposta das alunas A27 e A30 à atividade 06
Durante a realização da atividade, a aluna A11 solicitou a presença da
pesquisadora para discutir algumas de suas dúvidas. Ela estava confundindo o que
representavam os valores de x e y dos pontos e também se mostrava preocupada com a
constatação de que, à medida que ela variava o valor de n, os valores da sequência
aumentavam, mas não se tornavam iguais a 1. O máximo que era possível verificar no
GeoGebra era o valor 0,99999. Para verificar se o software não estava com problema, a
aluna calculou os três primeiros termos no papel e depois fez a comparação. A11 percebeu
que os valores eram os mesmos, mas não conseguia compreender o motivo da sequência
não ser igual a 1, apesar de ter utilizado o controle deslizante com o valor máximo de 100.
Foi perguntado a ela o motivo dos termos da sequência não se tornarem iguais a 1 em
algum momento. A resposta foi que não seriam iguais a 1, pois o numerador nunca seria
igual ao denominador, concluindo, assim, que a sequência tendia a 1. No excerto 1,
apresentamos a discussão mencionada.
117
Aluna A11: Quando começa com zero o an fica zero. Aí, quando o n passa pra um ele passa pra meio. Ele vai mudando aqui ((valores da coluna A)), mas aqui ((valores da coluna B)) ele nunca chega a... o máximo que ele vai é 0,99.. 0,9999. Quer ver?
Pesquisadora: E o que você acha que está acontecendo com ele?
Aluna A11: Mas o que eu não entendi, esse eixo aqui está falando de eixo x e eixo y quando olho na tabela aqui.
Pesquisadora: Olha para os valores de y.
Aluna A11: É aqui... isso aqui está aumentando de acordo com esse daqui ((referindo-se aos
valores das colunas A e B)). Esse aqui...
Pesquisadora: É porque o valor do x de P é n. O y do P é o an.
Aluna A11: Pois é, o an é o valor do y aqui ((referindo-se a coluna B da planilha)).
Pesquisadora: Isso! Eu quero saber o que acontece com o valor de an. O que acontece com o y quando o x fica cada vez maior?
((Afastamo-nos da aluna para discutir algumas dúvidas com outros alunos sobre o uso do
software.))
Aluna A11: ((Pensando sozinha e falando em voz alta)) Quanto maior o valor de n aqui, o valor do an...
Pesquisadora: Você percebeu o que tá acontecendo?
Aluna A11: Ah... eu tô escrevendo mais ou menos aqui. Mas a conta que o programa faz aqui tá errada.
Pesquisadora: Como assim?
Aluna A11: Porque ele faz assim, quando o n valer zero, vai ser zero dividido por zero mais um. Aí vai ser zero dividido por um, vai ser meio.
Pesquisadora: Não. Zero dividido por qualquer coisa é sempre zero.
A11: Então, aí quando o n valer um, vai ficar um sobre um mais um, vai ficar um sobre dois que é meio, que é o que eu vi ali ((referindo-se a coluna B da planilha)).
Pesquisadora: Isso.
Aluna A11: Aí aqui quando eu aumentar o n para dois, aqui vai virar três. Aí o valor vai diminuir.
Pesquisadora: Que é 0,666.. Não, o valor aumenta.
Aluna A11: Ah é! Vai ficar 0,6 nã nã nã... Só que eu fiz até chegar em cem e ele nunca chegou a um. Eu até tentei aqui ((referindo-se aos valores da coluna B)), mas o máximo que ele chegou foi 0,99999.
Pesquisadora: E por que você acha que isso está acontecendo? Por que ele não chegou a um?
Aluna A11: Porque o número aqui, nunca vai ser um igual ao outro. Só vai dar um quando for divisão, tipo assim, o número de cima for igual ao número de baixo. Por isso nunca vai dar um.
Pesquisadora: Nunca vai chegar a um, mas o que está acontecendo com ele? Ele nunca chega a um, mas ele está...
Aluna A11: Tendendo a um.
118
Pesquisadora: Isso mesmo, tendendo a um.
Aluna A11: É isso que eu vou escrever aqui. Eu tenho que falar do ponto Q também?
Pesquisadora: Não, é a mesma coisa, é porque aqui você tem a sequência como uma função ((referindo-se aos rastros do ponto P)) e aqui você tem a sequência como os termos em cima de uma reta ((referindo-se aos rastros do ponto Q)).
Excerto 1 – Transcrição da atividade 05
Trazemos na figura 48, a resposta dada pela aluna A11 à atividade 06.
Figura 48: Resposta da aluna A11 à atividade 06
Concluímos que a maioria dos alunos observou a convergência da sequência
para 1. Outros apenas observaram que a sequência era crescente sem observarem a
convergência.
Atividades 07 e 08
As atividades 07 e 08 foram aplicadas no terceiro dia de aula de laboratório. O
ritmo de trabalho e envolvimento na atividade não foi o mesmo para todos os alunos.
Alguns mostraram certo desinteresse e percebemos que estava chegando o momento de
retomar a condução para sistematizar os conceitos de modo teórico. Decidimos que isso
seria feito após essa aula, mesmo que a totalidade dos alunos não chegasse ao final das
119
atividades propostas. Aquelas atividades que não fossem concluídas no laboratório seriam
retomadas e trabalhadas em sala de aula por meio de uma discussão com os alunos,
conduzida pela professora, com o auxílio do software.
Apresentaremos a seguir os objetivos das atividades e algumas das respostas
dadas por alunos que as concluíram.
A atividade 07 teve por objetivo explorar a convergência de uma sequência
alternada com termo geral n
nn
na
2)1(
2
−= .
Ao todo, quinze alunos concluíram a atividade 07. Quase todos disseram que os
termos da sequência alternavam entre números positivos e negativos até serem iguais a
zero, como pode ser visto na resposta dada pelas alunas A27 e A30, na figura 49.
Figura 49: Resposta das alunas A27 e A30 à atividade 07
Outros alunos chegaram à mesma conclusão, observando a rápida convergência
da sequência, a partir do vigésimo oitavo termo. Quando exibidas apenas cinco casas
decimais, os valores dos termos da sequência apresentados na tela se tornavam iguais a
zero. Uma das alunas colocou em dúvida aquilo que via na tela, fazendo reflexões e
conjecturando sobre a convergência. Acompanharemos a discussão dessa aluna (A11) com
a pesquisadora.
A aluna A11 estava pensando em voz alta sobre o sinal dos termos da sequência:
“se for par, o sinal é positivo, se for ímpar o sinal é negativo”. Não conformada com o
resultado informado pelo GeoGebra, quando n = 28, A11 resolveu fazer as contas no papel
e também utilizando o software Microsoft Excel.
Aluna A11: Como que eu faço essa conta aqui ((228)) no Excel? Tem jeito no Excel?
Pesquisadora: Tem, você vai colocar igual, dois elevado, usando o circunflexo, e o vinte e oito.
Aluna A11: Fica esse número aqui? Eu tinha feito aqui pela tabela, fui vendo aqui que o valor foi diminuindo, quando chegou no vinte e oito ele zerou. Aí dali pra frente tudo foi zero. Aí eu fiz a continha aqui oh ((no Excel)), e vai dar aquele valor grandão lá.
Pesquisadora: Qualquer coisa, vem aqui de novo ((referindo-se a aba Opções)) manda
120
aumentar as casas decimais. Passa pra dez casas.
Aluna A11: Pois é, ele zerou.
Pesquisadora: Não, agora aumenta a largura da coluna.
Aluna A11: Oh véi, não zerou não. Oh professora, mas na conta aqui deu que zerou! ((falando
novamente dos valores apresentados na coluna B da planilha))
((A aluna então resolveu aumentar ainda mais a largura da coluna B.))
Aluna A11: Caraca véi, o trem não zerou não! Me enganou!
((Depois de algum tempo.))
Aluna A11: Professora, mas teve um aqui que zerou. Vou colocar quinze casas, não é possível! Oh, o trem não zera não! Aqui parece que zera ((mostrando que na coluna parecia o
número 0, 00000000...)), tá vendo?
Pesquisadora: Sim.
Aluna A11: Aí eu achei que zerava, mas não zera não. Não apareceu o rastro não! Ah... é porque tá lá no cantinho e eu não tinha visto. Eu hein, minha teoria não deu certo não.
Pesquisadora: Qual que é a sua teoria?
Aluna A11: Não, é que eu estava jogando os valores aqui e olhando pela tabela, aí na hora que ela zerou aqui, na minha cabeça ela zerou no vinte e oito, eu joguei aqui e fiz a conta ((falando do Excel)) e também deu zero, mas na hora que você veio aqui e mandou trocar o decimal, o zero foi pro beleleu... ((Risos da professora e da aluna))
((Depois de olhar novamente para os dados.))
Aluna A11: Professora, é a mesma explicação que eu dei pra você aquela hora, não é não? É a mesma explicação!
((A aluna estava se referindo à análise dos valores possíveis de serem assumidos pela fração
que representa o termo geral, que ela havia feito em atividade anterior.))
Pesquisadora: Da atividade seis?
Aluna A11: É u é! Se um não for igual ao outro não vai zerar não! Vou colocar aqui.
((Pensando sozinha, depois de escrever que até incremento 100 não havia zerado.))
Aluna A11: Só vai ser zero quando o n for zero? É, só zera quando o n for zero. Professora?
Pesquisadora: Sim.
Aluna A11: Qual a condição pra uma divisão ser zero? Só quando o numerador for zero?
Pesquisadora: Sim.
Aluna A11: Somente assim?
Pesquisadora: Só.
Aluna A11: Então está respondido.
((Nesse momento a aluna tinha se convencido que embora os termos se aproximassem de
zero quando n assumia valores numéricos altos, nenhum termo da sequência assumiria o
valor zero, pois o numerador da expressão do termo geral não era zero. Depois de ter
respondido, a aluna A11 foi discutir com os colegas que estavam próximos, explicando o seu
raciocínio e tentando convencê-los da conclusão a que havia chegado.))
Excerto 2 – Transcrição da atividade 06
121
Colocamos na figura 50, a resposta escrita pela aluna A11:
Figura 50: Resposta da aluna A11 à atividade 07
Ressaltamos a importância de retomar as atividades e discutir com os alunos os
dados exibidos pelo software. Discussões como a apresentada anteriormente, que levaram
a aluna a concluir que nenhum termo da sequência poderia ser igual a zero porque o
numerador da fração não era zero, estimulam a reflexão sobre aspectos que vão além “das
aparências” das respostas, utilizando linguagens e simbologias adequadas, enfocando
aspectos teóricos e formais.
Poucas duplas chegaram a realizar a atividade 08, que tinha por objetivo explorar
a convergência e a divergência de sequências por meio do valor absoluto da diferença entre
termos consecutivos. Apenas três duplas fizeram a parte inicial do item 8.1, abordando a
sequência de termo geral 1+
=n
nan . Inicialmente era perguntado o que estava acontecendo
com os valores do termo geral à medida que se aumentava o valor de n. Também era
perguntado o que acontecia com a distância entre dois pontos consecutivos, considerando
para isso a representação gráfica do ponto
+1,0n
nQ . Duas duplas disseram que os termos
122
da sequência estavam tendendo a um, enquanto a outra dupla disse que os valores
aumentavam no eixo y (numa alusão ao fato de a sequência ser crescente). Todos os alunos
concluíram que a distância entre os pontos consecutivos estava diminuindo (figura 51).
Uma dupla disse que a distância nunca seria igual a zero.
Figura 51: Resposta dos alunos A10 e A13 aos itens 8.1a e 8.1b da atividade 08
Uma dupla calculou os valores absolutos das diferenças entre dois termos
consecutivos (figura 52), utilizando a planilha e chegaram à seguinte conclusão:
Figura 52: Resposta dos alunos A10 e A13 aos itens 8.1.c da atividade 08
Como informado anteriormente, não foi possível que todos os alunos
trabalhassem a atividade 08 na aula de laboratório. Por essa razão, a atividade foi
posteriormente explorada e discutida em conjunto com a classe, com a condução da
professora.
Ao final, todas as atividades foram retomadas para a sistematização dos conceitos.
Foram levantadas as conjecturas formuladas pelos alunos para cada uma das sequências,
que foram novamente construídas no GeoGebra, pela professora, para que pudesse ser
discutido o comportamento de cada uma delas. As sequências n
an
5= e
1+=
n
nan , foram
usadas como exemplos de sequências convergentes e a sequência 2nan = , como exemplo
de sequência divergente. Discutimos o motivo dos termos da sequência 1+
=n
nan não
assumirem o valor um e dos termos da sequência n
nn
na
2)1(
2
−= não assumirem o valor
zero. Aproveitamos a atividade 08 para discutirmos a distância entre os pontos que
123
representam os termos das sequências n
an
5= e
1+=
n
nan , e seus respectivos pontos de
acumulação. Ao expressar a distância entre os pontos pelo valor absoluto da diferença
entre os termos, os alunos se confundiram e tiveram dificuldades de entender o porquê de
se trabalhar com a diferença e não com a soma. Posteriormente perceberam que, como a
distância estava diminuindo e tendendo a zero, essas sequências seriam convergentes. Ao
trabalharmos com a definição formal de limite para a convergência de sequências, os
alunos apresentaram muita dificuldade, pois, segundo eles, era a primeira vez que estavam
estudando alguma definição com ε’s de δ’s. Também chamamos a atenção dos alunos para
a distância entre dois termos consecutivos da sequência, usada como exemplo de sequência
divergente. Apenas neste momento trabalhamos e definimos a convergência e a
divergência de sequência por meio do cálculo do limite do termo geral com n tendendo ao
infinito.
Também trabalhamos em sala o critério de convergência de sequências alternadas
e o teorema do confronto, sendo que este último não havia sido abordado nas atividades
anteriores. Utilizamos então o GeoGebra (figura 53) para discutir o teorema do confronto
para a sequência n
nsenbn
)(= (em azul na figura), sendo limitada inferiormente pela
sequência n
an
1−= (em vermelho na figura) e superiormente pela sequência
ncn
1= (em
verde na figura).
Figura 53: Teorema do confronto para sequências no GeoGebra
Fonte: Elaborada pela autora.
124
A partir dessas discussões embasadas nas explorações das sequências por meio do
GeoGebra, concluímos que as sequências alternadas só seriam convergentes se o valor
absoluto do termo geral tender a zero.
Todo conteúdo de sequência foi trabalhado também em aulas teóricas; sempre que
possível, com referência às atividades desenvolvidas no laboratório.
Atividade de séries
A atividade de séries foi aplicada no dia 12 de dezembro de 2011, tendo a
participação de 25 alunos. O tempo de mais de 30 dias decorridos entre o final da aplicação
das atividades de sequências e a aplicação da atividade de séries dificultou o
desenvolvimento, principalmente com relação aos recursos do software de que os alunos
não se lembravam mais.
A atividade foi aplicada depois das definições e dos conceitos iniciais terem sido
trabalhados de modo teórico, em uma discussão conjunta com a turma. Nessa aula teórica,
que aconteceu no dia 05 de dezembro de 2011, foram dadas a definição de série infinita
(como a soma dos termos da sequência de mesmo termo geral) e a de somas parciais. O
primeiro exemplo analisado foi a série de termo geral nna
2
1= . Antes de falar sobre a
convergência, discutimos, por meio do Paradoxo de Zenão, a possibilidade da soma de
infinitos termos ser um número real. Os alunos ficaram perturbados com essa ideia, que era
contrária à intuição de que uma soma de infinitos termos iria aumentar tendendo para o
infinito. Houve também alguma confusão entre série e sequência, como pode ser percebido
pelo comentário da aluna A05, que chegou a dizer que a soma da série de termo geral
nna2
1= , seria zero. Também discutimos a possibilidade de a soma de infinitos termos se
tornar cada vez maior, exemplificando com a soma dos números naturais.
Para falarmos de convergência e divergência de uma série trabalhamos com as
somas parciais. Dissemos que uma forma de verificar a convergência ou divergência de
uma série é verificar a convergência da sequência formada pelas somas parciais, por meio
do cálculo do limite do termo geral.
125
Para mostrar a convergência utilizando as somas parciais foram trabalhados
detalhadamente dois exemplos: ∑∞
=1 2
1
nn
e ∑∞
=
+−
1 1
22
n nn. Em cada um dos exemplos foi
determinada a expressão da n-ésima soma parcial. Buscamos, em conjunto com os alunos,
encontrar o termo geral da sequência das somas parciais. As sugestões apresentadas foram
testadas e discutidas.
No primeiro exemplo, obtivemos a expressão n
n
ns2
12 −= . Pelo cálculo do limite
os alunos concluíram que a soma da série era igual a 1. Vale destacar que houve neste
momento uma discussão sobre o valor tender a 1 ou ser igual a 1, questão, de certa forma,
recorrente nos cálculos de limites. Como uma das argumentações para a convergência
dessa série, apresentamos o exemplo dado por Bagni (2005) desenhando um quadrado de
lado um, repartindo-o ao meio e, repartindo novamente ao meio um dos quadriláteros
obtidos, construindo assim uma sequência de quadriláteros, cuja soma das áreas vale um
(área do quadrado original). Foi feita a ressalva de que nem sempre é possível mostrar a
convergência por meio de desenhos.
Também foram discutidos, a partir do questionamento de um dos alunos, casos de
séries alternadas.
Ao resolver o segundo exemplo, ∑∞
=
+−
1 1
22
n nn, introduzimos a definição de série
telescópica. Na terceira soma parcial alguns alunos já conseguiam dizer qual seria o termo
geral. Os alunos não apresentaram dificuldade para calcular o valor do limite da sequência
das somas parciais, chegando ao valor dois e dizendo que a série convergia para dois.
Em aula posterior, aplicamos a atividade de séries44, que teve por objetivo geral
buscar a corporificação das ideias básicas da convergência de séries, visando a facilitar a
exploração teórica da convergência e dos critérios de convergência de séries. Buscamos
também fazer com que os alunos conjecturassem a respeito da condição necessária para a
convergência de séries.
A questão 1 tinha como objetivo fazer uma análise do comportamento das
sequências do termo geral e das somas parciais da série ∑ −12
1n
a partir do cálculo de seus
valores representados na planilha. Quase todos os alunos concluíram que na tende a zero e
44 Nessa aula nenhum aluno colocou o áudio para gravar no celular; portanto, temos apenas o áudio das discussões de que a pesquisadora participou.
126
ns tende a dois. De forma geral, as respostas foram apresentadas de maneira sucinta, como
pode ser visto na figura 54 a resposta dada pela aluna A20.
Figura 54: Resposta da aluna A20 à questão 1 da atividade de séries
A questão 2 tinha o mesmo objetivo da primeira questão; porém, o foco estava na
interpretação gráfica da convergência. Também pedia para dizer se a resposta encontrada
era coerente com a dada na questão um. Apenas o aluno A09 disse que a resposta da
questão dois não estava coerente com a primeira, pois, para ele, as duas sequências eram
crescentes (figura 55). Buscamos entender a resposta dada pelo aluno assistindo ao vídeo
da tela do computador que ele havia manipulado. Descobrimos que, ao modificar as
propriedades das células D1 e E1, que criavam os pontos da sequência do termo geral e da
sequência das somas parciais, respectivamente, o referido aluno selecionou a célula D1 e
sobrepôs a célula E1, fazendo com que os pontos tivessem na abscissa os valores do termo
geral e na ordenada os valores das somas parciais. Percebendo que o gráfico das somas
parciais não estava aparecendo corretamente, ele reescreveu a coluna E1 encontrando o
gráfico real. Não conseguimos compreender a resposta dada pelo aluno, já que no final do
vídeo os gráficos das duas sequências estavam apresentados corretamente.
Figura 55: Resposta do aluno A09 à questão 2 da atividade de séries
Algumas dificuldades relativas ao uso do software foram observadas. Uma delas
foi a de escrever o termo geral das séries na linguagem computacional. Outra foi a de
entender que, ao modificarem a primeira célula da coluna B para trabalharem com uma
série diferente, deveriam arrastar a fórmula para o restante das linhas. Ainda, alguns alunos
não tinham clareza sobre o que cada coluna da planilha representava, embora isso estivesse
explicado no enunciado da atividade. Para esses alunos, a interpretação dos resultados
obtidos ficou comprometida.
Na questão três foram dadas várias séries e, para cada uma delas, era pedido que
os alunos analisassem a convergência ou divergência da sequência correspondente de
127
mesmo termo geral e da sequência de somas parciais. Nosso objetivo era fazer com que os
alunos estabelecessem uma relação entre o valor de convergência da sequência (igual ou
diferente de zero) e a convergência ou divergência da série. Percebemos durante a
aplicação da atividade que isso não estava acontecendo. Os alunos estavam respondendo
diretamente ao que se perguntava, como pode ser visto pela resposta da aluna A20
apresentada anteriormente na figura 54.
Buscando estimular a reflexão, acrescentamos duas questões à atividade:
4) Classifique cada uma das séries como convergente ou divergente.
5) Podemos chegar a alguma conclusão para a convergência da série?
Os resultados observados nas respostas dos alunos não permitiram concluir se
houve boa compreensão da convergência de séries ao final da atividade. Algumas
dificuldades com o software, anteriormente apontadas, e outras decorrentes do próprio
enunciado da atividade, ou dos passos indicados para construção da planilha e dos gráficos
podem ter prejudicado os resultados ou confundido os alunos. Foi o caso das alunas que
tiveram dúvidas sobre quais colunas analisar para verificar a convergência das séries (havia
valores alocados nas colunas de A até E). Explicamos que algumas colunas eram auxiliares
à construção dos gráficos relativos às sequências geradas nas colunas C e D. Observamos
também que, para fazerem a análise, elas poderiam usar o gráfico de pontos ou os valores
das colunas C e D. Ainda assim a aluna A11 não conseguia entender o que fazer com tanta
informação. Esclarecemos que ela poderia escolher só o gráfico ou só a planilha para fazer
a análise e que colocamos os dois jeitos, pois alguns alunos percebiam melhor a
convergência/divergência por meio da visualização gráfica, enquanto outros preferiam
analisar numericamente com o auxílio da planilha.
Apesar das dificuldades apontadas, muitos dos diálogos e das percepções dos
alunos propiciaram ricas discussões entre eles próprios, entre eles e a docente e também
discussões conjuntas com a turma nas sistematizações da teoria.
As descrições a seguir exemplificam alguns desses diálogos e interpretações dos
alunos em cada uma das séries apresentadas.
A convergência da série ∑+2
2 1
n
n foi discutida pelas alunas A21, A31 e a
docente. As alunas observaram que, ao aumentar o valor de n, os termos da coluna B (na
qual eram calculados os termos da sequência de mesmo termo geral) estavam se
aproximando de um e, com isso, concluíam que a convergência da série era para um. Foi
128
preciso lembrar que, para analisar a convergência da série, elas deveriam olhar a sequência
formada pelas somas parciais na coluna C. Elas contra-argumentaram que esse valor estava
aumentando cada vez mais e que essa sequência era crescente e limitada inferiormente,
portanto ela convergia. Retrucamos reforçando questões teóricas relativas às sequências
monótonas e limitadas. No caso em questão, a sequência das somas parciais sn parecia ser
monótona, mas não parecia possuir limite superior. A aluna A21 perguntou se quando ela
não tinha limite superior se seria divergente. Dissemos que o teorema só fala da
convergência para o caso das sequências que são monótonas e limitadas, para os outros
casos nada pode ser afirmado. As alunas chegaram à conclusão colocada na figura 56.
Figura 56: Resposta das alunas A21 e A31 à questão 3.a da atividade de séries
O item 3.b, que continha a série∑+ )1(
1
nn, apresentou respostas variadas.
Poucos alunos chegaram à conclusão de que an tende a zero e sn tende a um. Os demais
alunos concluíram ou que a série era convergente para outros valores, ou que ela era
divergente. Acreditamos que isso tenha ocorrido devido aos alunos não terem mudado
todos os valores referentes à sequência do termo geral na coluna B, pois a maioria dos
respondentes disse que a sequência do termo geral tendia a um, que era o valor da
sequência do item anterior.
No item 3.c, sobre a série ∑
+
n
n 1
1, apareceram respostas diferenciadas. Um
pouco mais da metade dos alunos concluiu que a série era convergente, indicando os
valores 0,62 ou 1 para a soma. O valor 1 provavelmente foi inferido a partir da imagem
gráfica. O valor aproximado de 0,62 pôde ser explicado, pois, a partir do décimo quarto
termo, o valor apresentado na planilha era zero devido à limitação de quinze casas
decimais do software GeoGebra e, portanto, os valores das somas parciais ficaram
constantes próximos a 0,62. Uma discussão interessante ocorreu com a aluna A02. Ela
estranhou o valor do décimo quarto termo da sequência n
n
+1
1ser igual a zero.
129
Argumentou que a sequência tenderia a zero mas que não poderia ser zero já que o
numerador era igual a um. Discutimos que de fato não poderia ocorrer o valor zero e que o
valor zero apresentado decorria das limitações de casas decimais do software GeoGebra.
Figura 57: Resposta da aluna A02 à questão 3.c da atividade de séries
Novamente chamamos a atenção para esses casos, que devem ser discutidos
devido às limitações do software e ressaltamos a necessidade de uma validação
matemática.
Para a série ∑ +−
21 1
)1(n
n , do item 3.d, a maioria dos alunos concluiu que a
sequência das somas parciais era convergente para aproximadamente 0,82, valor este que
fica visível na planilha, mesmo para uma quantidade muito grande de termos. Outros
concluíram que convergiria para um, valor possível de se observar ao olhar somente os
primeiros pontos do gráfico. Vejamos abaixo, na figura 58, a tela do computador da aluna
A30 e na figura 59 a resposta dada pela mesma.
Figura 58: Tela do computador da aluna A30 durante a resolução da questão 3.d da atividade de séries
130
Figura 59: Resposta da aluna A30 à questão 3.d da atividade de séries
Pela tela do computador da aluna A30 observamos que não é possível concluir o
valor da convergência da sequência formada pelas somas parciais (em verde) olhando
apenas para o gráfico, pois, devido à escala, vemos apenas que os valores estão próximas
de 1.
Na discussão da série harmônica no item 3.e, parte dos alunos observou que a
sequência do termo geral converge para zero e a série diverge, tendendo para o infinito
positivo. Outros alunos disseram que an tende a zero e sn tende a quatro, conclusão a que
prevíamos que alguns chegariam, uma vez que, ao serem considerados apenas trinta
termos, os três últimos termos modificam apenas da segunda casa decimal em diante, isto
é, os números apresentados do 28º termo ao 30º termos são, respectivamente, 3.92717;
3.96165 e 3.99499.
Interessante ressaltar o diálogo estabelecido entre o aluno A12 e a aluna A20
sobre a série harmônica. O aluno A12 não concordava muito com o resultado do
computador para a série ∑ n
1. Ele havia intuído que os valores de an tenderiam a zero e os
valores de sn tenderiam a um, mas observou que isso não estava acontecendo pois o gráfico
mostrava que a série parecia convergir para quatro. Nesse momento, a aluna A20 interferiu
dizendo que ela havia feito o valor de n chegar a cem e que, com isso, o valor da sequência
estava cada vez mais próximo de zero, mas que a série estava “toda vida crescendo”.
Indagamos o que poderia ser dito sobre essa série, sendo respondido pela A20 “Mas ela vai
divergir tão devagar assim?”. Dissemos que isso não era problema. Em tom de surpresa ela
disse “Nossa, ela diverge? Ah...”. Trazemos a solução dada pelo aluno A12 na figura 60 e
pela aluna A20 na figura 61.
131
Figura 60: Resolução do aluno A12 à série harmônica na atividade de séries
Figura 61: Resolução da aluna A20 à série harmônica na atividade de séries
O aluno A12 e a aluna A20 resolveram discutir sobre a convergência de séries de
modo geral. Indagamos a eles quais eram as séries que convergiam, quais eram as que
divergiam e o que elas possuíam em comum. Eles responderam que não viam nada, mas
depois observaram que, quando a sequência do termo geral converge para um número
diferente de zero ou diverge, a série diverge e quando a sequência converge para zero, a
série também converge, mas, no caso da série ∑ n
1, não estava dando certo. A12 chegou a
dizer que essa série tinha que ir para algum número. Pedimos que eles escrevessem a
conclusão a que haviam chegado. Voltaram então a discutir e resolveram que deveriam
apenas escrever que, se a sequência tendesse a um valor diferente de zero, então a série
seria divergente, caso contrário, eles não poderiam concluir nada, porque a última série
fugia à regra anteriormente definida por eles. A conclusão final, dita pela aluna A20, foi:
“Se a sequência é diferente de zero, então a série diverge, agora se a sequência for igual a
zero aí nós vamos olhar as somas parciais; se ela der um número, então a série converge, se
as somas parciais divergir então a série diverge”. A figura 62 mostra a resposta do aluno
A12 que, na verdade, não corresponde exatamente à discussão realizada. A figura 63
apresenta a conclusão da aluna A20 sobre a convergência de séries.
Figura 62: Conclusão do aluno A12 sobre a convergência de séries
132
Figura 63: Conclusão da aluna A20 sobre a convergência de séries
Outros alunos escreveram suas percepções sobre a convergência ou divergência
das séries, como as apresentadas nas figuras 64 e 65.
Figura 64: Conclusão da aluna A02 sobre a convergência de séries
Figura 65: Conclusão da aluna A21 sobre a convergência de séries
Posteriormente, as conjecturas sobre a convergência ou divergência das séries
foram discutidas na aula teórica. A conclusão da aluna A20 sobre a convergência foi
enunciada como o critério de divergência de séries. Devido ao tempo de que dispúnhamos
para concluir as atividades do semestre, optamos por apresentar os testes de convergência
de séries de modo tradicional. No entanto, utilizamos os testes para comprovar as
conjecturas sobre as séries trabalhadas nas atividades com o auxílio do GeoGebra.
No próximo capítulo retomaremos as atividades para uma análise dos dados
segundo eixos identificados nos quadros teóricos dos Três Mundos da Matemática e do
Pensamento Matemático Avançado.
133
CAPÍTULO 5
ANALISANDO OS TRÊS MUNDOS DA MATEMÁTICA E O PENSAMENTO
MATEMÁTICO AVANÇADO NO CONCEITO DE CONVERGÊNCIA
Neste capítulo analisaremos se os nossos objetivos foram alcançados, para tanto
os retomaremos. O nosso objetivo geral é verificar se o desenvolvimento das atividades
baseadas na corporificação dos conceitos e buscando a transição entre os mundos
corporificado e simbólico, com a utilização do GeoGebra, favoreceu a compreensão da
convergência de sequências e séries. Os nossos objetivos específicos são: investigar se, ou
de que maneira, as diferentes formas de representação favoreceram a compreensão do
conceito de convergência; e investigar se as atividades que visavam propiciar transições
entre os mundos corporificado e simbólico puderam contribuir para a construção de uma
base para o mundo formal, favorecendo a transição do pensamento matemático elementar
para o avançado.
Diante de nossos objetivos basearemos em dois quadros teóricos para verifica-los,
sendo o primeiro os Três Mundos da Matemática e o segundo o Pensamento Matemático
Avançado. Portanto temos dois eixos de análise:
- primeiro eixo: a corporificação dos conceitos de convergência e a relação com a
proceitualização e a axiomatização;
- segundo eixo: a transição do pensamento matemático elementar para o
avançado.
Nas próximas seções analisaremos os dados de acordo com os dois eixos de
análise. Como dissemos anteriormente, os eixos nos auxiliam no entendimento daquilo que
buscamos compreender e não os entendemos como categorias excludentes, uma vez que
muitos dos dados evidenciaram simultaneamente aspectos considerados pertinentes a
ambos os eixos.
5.1 A corporificação dos conceitos de convergência e a relação com a
proceitualização e a axiomatização
Este eixo de análise tem como referência o quadro teórico elaborado por Tall
(2002) para explicar o desenvolvimento cognitivo da Matemática dos indivíduos,
134
enfocando três maneiras distintas de pensar a Matemática e caracterizando os Três Mundos
da Matemática: o corporificado, o simbólico e o formal. Esse quadro foi amplamente
utilizado no desenvolvimento desta pesquisa. Ao elaborarmos as atividades, demos
especial atenção à corporificação dos conceitos por entendermos que ela poderia ser a base,
o fundamento para o caminho cognitivo a ser percorrido pelos estudantes em direção à
simbologia e/ou ao formalismo, no momento adequado. Dessa forma, buscamos analisar
qual a relação entre a corporificação dos conceitos (mundo corporificado) e a
proceitualização (mundo simbólico) e a axiomatização (mundo formal).
A literatura, apresentada e discutida no capítulo dois, apresenta a caracterização
feita por Tall (2002, 2004, 2007 e 2008) e Tall e Mejia-Ramos (2004) para os Três Mundos
da Matemática. Para efeito de análise, julgamos importante trazer também o nosso
entendimento sobre os Três Mundos da Matemática, de modo a podermos interpretar os
dados da pesquisa. Entendemos que:
O mundo corporificado é o mundo composto dos modos encenado e icônico de
Bruner. Dessa forma a corporificação ocorre a partir da visualização, da ação
sobre objetos matemáticos e experiências de pensamento.
O mundo simbólico é o mundo composto do modo simbólico de Bruner. O que
foi entendido nas ações é transformado em símbolos que permitem a manipulação
numérica, algébrica, entre outras. Um símbolo, neste mundo, pode ser utilizado
tanto para representar um processo quanto para representar um conceito, ou seja,
ele é um proceito.
O mundo formal é o mundo onde se constrói uma teoria com base em definições
formais e propriedades provadas formalmente.
Como vimos nos textos de Tall, cada mundo possui a sua maneira de prova. Para
contextualização na pesquisa apresentamos o nosso entendimento sobre as verdades nos
Três Mundos da Matemática, com relação à convergência de sequências. Exemplificamos
essas verdades por meio da convergência da sequência n
nan
34 −= . No mundo
corporificado a convergência pode ser provada por meio da visualização dos termos da
sequência, nas duas formas de representação: como pontos em uma reta e como gráfico de
uma função de domínio discreto. A figura 66 exemplifica essas representações, sendo que
135
os pontos no eixo vertical (pontos em uma reta) são as projeções ortogonais dos pontos do
gráfico da função sobre o referido eixo:
Figura 66: Corporificação da convergência da sequência
n
nan
34 −=
Fonte: Elaborada pela autora.
A figura anterior pode ser aceita como uma prova corporificada de que a
sequência n
nan
34 −= converge e que o valor de convergência parece ser quatro, pois, é
possível visualizar e perceber que à medida que aumentamos o valor de n, com o auxílio
do Controle Deslizante do software GeoGebra, o valor de an também aumenta e se torna
cada vez mais próximo de quatro, sem dar a entender que irá ultrapassá-lo.
Para verificarmos a mesma convergência no mundo simbólico, basta calcular o
limite de an quando n tende ao infinito e analisar o resultado final, ou seja,
( ).4
34lim
34lim
34lim =
−=
−=
−
∞→∞→∞→ nnnn
n
nnnn
Por fim, a verdade no mundo formal é verificada ao mostramos que para cada
ε > 0 existe um inteiro correspondente N tal que, se n > N então ε<−−
434
n
n.
Focalizaremos nossa análise no conceito de convergência, procurando identificar
como ele se forma a partir do desenvolvimento das atividades e também caracterizar os
processos relativos aos três mundos nos quais ele se mostra. Ao tratar da convergência não
faremos distinção entre a forma de tratar a convergência de sequências e a convergência de
séries, uma vez que, as atividades buscando a corporificação da convergência de séries
exploraram a convergência da sequência das somas parciais. Embora tenha sido previsto
136
inicialmente um trabalho buscando a corporificação da convergência de séries com base
nos critérios de convergência, isso não foi possível por conta das exigências do
cronograma do semestre. Apesar de ter sido feita uma discussão conjunta com os alunos
sobre cada um dos critérios de convergência, procurando, de alguma forma, apresentar
argumentos que os explicassem e utilizando-os para comprovar resultados sobre
convergência obtidos nas atividades que utilizaram as sequências das somas parciais, a
análise não abordará a convergência a partir dos critérios por considerar que não foram
desenvolvidas, pelos estudantes, atividades exploratórias com esse objetivo.
Apesar das dificuldades observadas no desenvolvimento das atividades de séries e
dos resultados não totalmente satisfatórios, entendemos que as atividades têm potencial
para desenvolver a corporificação da convergência de séries por meio das somas parciais.
Optamos por incluir a convergência de séries na análise, pois foi possível identificar casos
em que parece ter ocorrido a corporificação e também situações em que aspectos do mundo
simbólico e formal apareceram nas manifestações dos alunos sobre a convergência.
Para analisar a corporificação dos conceitos de convergência e a relação com a
proceitualização e a axiomatização, retomamos o quadro (figura 08) em que Tall (2007)
trata do desenvolvimento cognitivo da argumentação, caracterizando como se dá esse
desenvolvimento em cada um dos três mundos. Destacamos a importância das
caracterizações feitas por Tall para as intersecções entre os mundos que, a nosso ver,
podem auxiliar a identificação da transição entre eles.
Figura 08: Desenvolvimento cognitivo da argumentação
Fonte: Tall, 2007, p. 10 (tradução nossa)
137
Lembramos que não existe um único caminho para a transição entre os Três
Mundos da Matemática. Entretanto, nossas atividades foram desenvolvidas na expectativa
de possibilitar ao aluno transitar pelos três mundos e por suas interseções, iniciando pelo
mundo corporificado; em seguida, simbolizando o que foi corporificado; passando pelo
mundo simbólico e objetivando alcançar as intersecções entre o mundo formal e/ou os
mundos corporificado e/ou simbólico, que chamaremos de base do mundo formal. De
acordo com o quadro de Tall, na base do mundo formal as definições e deduções de
propriedades são feitas com base em experiências corporificadas e simbólicas.
Nossa expectativa para um curso de Cálculo é alcançar a base do mundo formal.
Entendemos que as experiências corporificadas e simbólicas podem estabelecer raízes
cognitivas que contém as sementes para expansão posterior. Definições e deduções de
propriedades feitas com base em experiências corporificadas e simbólicas podem indicar o
início de um processo de expansão cognitiva, construídos em bases fortes o suficiente para
possibilitar desenvolvimentos teóricos posteriores. No mundo formal devem ocorrer
definições formais dos sistemas axiomáticos e construção de propriedades por meio de
provas formais o que, em nosso entendimento, deve ser feito em um curso de Análise.
Explicitaremos, a partir do esquema do desenvolvimento cognitivo da
argumentação, o nosso entendimento a respeito do aluno estar em cada um dos Três
Mundos da Matemática e nas suas intersecções, em relação à convergência de sequências e
à convergência de séries. Não definiremos o que significa estar no mundo formal por meio
de conceitos isolados, pois entendemos que esse mundo pressupõe a construção de uma
teoria axiomática.
5.1.1 A convergência no mundo corporificado e na interseção entre os
mundos corporificado e simbólico
Analisaremos as manifestações dos alunos durante a realização das atividades,
procurando identificar indícios de corporificação do conceito de convergência e também de
possíveis simbolizações daquilo que foi corporificado. Consideraremos as manifestações
orais, escritas e as ações no ambiente do software. Assim estaremos abordando, de modo
conjunto, a convergência no mundo corporificado e na intersecção entre os mundos
corporificado e simbólico.
138
Consideraremos, para efeito de análise, que o aluno estará no mundo
corporificado, ou seja, que ele terá corporificado o conceito de convergência, a partir do
momento em que, por meio da manipulação no GeoGebra, ele conseguir ver e perceber
(em uma, ou nas diferentes representações) que os termos da sequência se aproximam de
um determinado valor. A manipulação no GeoGebra é possível pela alteração do valor
máximo do Controle Deslizante, o que corresponde a aumentar o número de termos da
sequência. De modo análogo, o aluno terá corporificado o conceito de divergência quando
visualizar que os termos da sequência não se aproximam de um valor fixo.
Consideraremos também que o aluno estará na interseção dos mundos
corporificado e simbólico, ou seja, que haverá a simbolização do que foi corporificado,
quando utilizar uma linguagem simbólica ou oral para comunicar sua compreensão sobre a
convergência da sequência. Essa comunicação pode ser feita pelo uso de palavras que
remetam ao conceito de limite, como “tende”, “aproxima” ou “vai para”.
Lembramos que os termos converge e diverge só foram trabalhados com os alunos
após a realização de todas as atividades exploratórias sobre sequência; portanto, não
esperávamos que os alunos os utilizassem nas atividades iniciais.
Para analisar a corporificação do conceito de convergência vamos resgatar os
diálogos dos alunos, procurando acompanhar o raciocínio empregado por eles, as
conjecturas formuladas e as argumentações utilizadas durante a realização das atividades.
Identificamos duas possibilidades de percepção da convergência a partir da ação sobre os
termos da sequência, decorrente da possibilidade de aumentar a quantidade de termos
através dos recursos do software. A percepção acontece por meio da visualização do
comportamento da sequência com o aumento do número de termos. Uma possibilidade é a
visualização gráfica dos termos da sequência na Janela de Visualização do GeoGebra.
Outra é a visualização numérica dos termos da sequência na planilha desse mesmo
software. Cada uma das formas de visualização pode ser utilizada pelo aluno de modo
isolado, como também podem ser relacionadas. Interpretamos que a visualização do
comportamento da sequência é a corporificação do conceito. Entendemos que visualizar o
comportamento é mais do que enxergar os termos que se apresentam, mas é realizar
experiências de pensamento tentando interpretar o que enxergam para além do número
finito de termos apresentados.
Para exemplificar a corporificação do conceito de convergência através da
visualização gráfica, trazemos nossa interpretação da discussão entre os alunos A15 e A25
139
durante a realização da segunda parte da atividade 0445. Em seguida, trazemos a figura 67,
para auxiliar o entendimento da discussão entre esses alunos, sendo o ponto P o ponto de
cor azul, o ponto Q o ponto de cor vermelha e os rastros são as marcações deixadas por
esses pontos ao variar o valor de n.
Figura 67: Duas representações gráficas da sequência da atividade 04
Fonte: Elaborada pela autora.
Logo após a construção do ponto Q, o aluno A15 expressou dúvidas sobre o que
representavam os pontos P e Q. O aluno A25 explicou que no ponto P o valor da abscissa é
n e o valor da ordenada é an e no ponto Q o valor da abscissa seria sempre zero, concluindo
que o ponto Q ficaria sempre sobre o eixo das ordenadas. Eles começaram, então, a variar
o valor de n para ver o que ocorreria com os pontos. O aluno A15 visualizou que os rastros
deixados pelo ponto Q estavam cada vez mais próximos. Vejamos essa discussão e
também a discussão sobre a relação entre os pontos P e Q, no excerto 3.
Aluno A15: Tá vendo? Aqui vai começar a variar pouquinho.
Aluno A25: Ah, ele começou igual aqui ((referindo-se ao fato de os dois pontos iniciarem na
mesma altura)) e está descendo.
45 A segunda parte da atividade 04 envolve a representação dos termos da sequência de termo geral
nan
5=
como uma função com domínio discreto (ponto P), como pontos sobre um eixo (ponto Q) e como valores numéricos na planilha. Nessa parte estavam incluídas as questões: 4.2 a) Você percebe alguma relação entre os pontos P e Q ? 4.2 b) O que está acontecendo com a posição do ponto Q no eixo vertical? 4.2 c) Com base em suas observações e respostas nos itens 4.1 e 4.2, o que você pode dizer sobre os valores numéricos dos termos dessa sequência? O que acontece com o valor de an quando n assume valores cada vez maiores?
140
Aluno A15: Isso. Está descendo, mas esse ((referindo-se ao ponto Q)) está descendo menos.
Aluno A25: Mas por quê? Tá no oito, né!? Vai pegar... cinco dividido por oito, aí vai ser o valor que vai te dar aqui na vertical.
Aluno A15: O Q vai ficando cada vez mais perto, né!?
((A25 ao ler a pergunta 4.2.a, sobre a relação entre os pontos P e Q, responde
instantaneamente.))
Aluno A25: Sim, ambos tendem a zero.
((A15 questiona algo sobre aumentar o valor de n e o ponto P se afastar do eixo y.))
Aluno A25: Sim, mas é a mesma proporção que anda aqui...
Aluno A15: Mas ele tá andando pouquinho ((falando do ponto Q)).
Aluno A25: Mas aqui, o ponto é n e 5/n, e esse aqui, é zero, 5/n. Aqui essa distância... veja bem...
Aluno A15: Ah... aqui o x é zero e você tá variando só o y.
Aluno A25: Mas olha aqui, se você pegar aqui tá na mesma altura, não tá!? Aí você pega esse ponto, tá na mesma altura, não tá!?
Aluno A15: Estão.
Aluno A25: Todos esses pontos aqui estão sempre na mesma altura ((dizendo que um ponto
de P sempre terá a mesma altura de um ponto de Q)). Só que aqui ((ponto P)), ele parece que tá...
Aluno A15: Aqui tá a mesma coisa.
Aluno A25: Pelo movimento em x também, ou em n. Aqui não, aqui é só na vertical. Aí parece que tá... é igual a...
Aluno A15: Então, olhar esse aqui é igual olhar esse daqui. ((Falando dos pontos P e Q))
((A25 concorda com a última afirmação de A15 e eles se voltam para a pergunta 4.2.a.))
Aluno A25: Sim, qual? Tem aqui na altura, eles estão na mesma altura em y, em an. Isso daqui... não é an que tá aqui? ((Faz a pergunta para que A15 possa refletir sobre uma
percepção a que ele chegou)) Ambos tendem a zero.. eh... como é que a gente vai falar aqui?
Aluno A15: A mesma altura.
Aluno A25: A mesma altura?
Aluno A15: O valor em y.
Aluno A25: É uh é! Eles já têm o mesmo valor, que é a imagem, né!?
Aluno A15: É! O ponto P tem a mesma imagem do ponto Q.
Aluno A25: Como é que a gente vai falar isso daqui, porque aqui oh... quando n é igual a um, an é igual a cinco, aqui o n sempre vai ser zero. ((Pensa um pouco)) Na verdade aqui não é n, aqui ela pegou uma constante,.. sempre vai ser zero. O valor... ((e ficam mais um tempo
pensando))
Aluno A15: de y ...
Aluno A25: na imagem...
Aluno A15: Coloca no ponto P, no ponto Q...
141
Aluno A25: Os valores obtidos no ponto Q...
Aluno A15: com imagem... obtidos da imagem do ponto P...
Aluno A25: os valores obtidos na coordenada y....eh... são iguais para... P igual ao Q...
Excerto 3 – Transcrição da atividade 04 dos alunos A15 e A25 (parte 1)
Depois dessa discussão, A15 terminou de escrever a reposta para a questão, como
podemos ver na figura 68.
Figura 68: Resposta dos alunos A15 e A25 para a questão 4.2.a da atividade 04
É possível perceber a dificuldade dos dois alunos expressarem em palavras as
conclusões a que chegaram, uma vez que gastam alguns minutos pensando e discutindo
como escrever a conclusão. Também percebemos a importância da interação entre eles para
a construção do conhecimento: discutem a percepção que cada um teve do gráfico e, assim,
desenvolvem conjuntamente a Matemática.
Continuaremos observando a discussão entre os dois alunos para a resolução do
restante da atividade 04. Na questão 4.2.b, sobre o comportamento do ponto Q no eixo
vertical, ocorre a discussão do excerto 4.
Aluno A25: Ele está tendendo... tendendo a zero... se aproximando do eixo x... o quê? ((Querendo saber mais conclusões sobre o ponto Q.))
Aluno A15: Vai isso tudo aí! Ele tá aproximando do zero... ele tá... eh... ele tá.. eh... a cada... eh... valor dele diminui pela metade.
Aluno A25: Pela metade? ((Interrogando para o outro pensar.))
Aluno A15: É ((sem muita convicção)).
Aluno A25: Não, aqui oh! 5/n. Diminui...
Aluno A15: Mas...
Aluno A25: Sim, mas com o incremento, né!? Para valores de n.
Aluno A15: Dividido por dois... três... Dããã... Caindo gradativamente!
Aluno A25: Vamos colocar.... pera aí! ((Lê novamente a pergunta.))
((Começa a responder a questão de maneira escrita.))
Aluno A25: Está se aproximando do eixo x. Ele não está aproximando do eixo x? Logo...
142
Aluno A15: Tende a zero.
Aluno A25: Está tendendo à zero. E.... a última que eu falei... Está diminuindo.
Aluno A15: O valor... a medida que a curva decai...
Aluno A25: Está diminuindo a medida que n cresce?
Aluno A15: Cresce.
Excerto 4 – Transcrição da atividade 04 dos alunos A15 e A25 (parte 2)
Na figura 69, temos a resposta escrita dos alunos A15 e A25 para o que foi
discutido anteriormente.
Figura 69: Resposta dos alunos A15 e A25 para a questão 4.2.b da atividade 04
Em seguida, os alunos trabalharam com o item 4.2.c. A25 leu toda a pergunta, não
compreendeu muito bem o que queria dizer “valores numéricos dos termos dessa
sequência” e releu a questão.
Aluno A25: ((Lendo a pergunta.)) O que você pode dizer sobre os valores numéricos dos
termos dessa sequência? Como assim??? Eles diminuem!? ((Volta a ler a pergunta.)) Eles
estão diminuindo... Então a primeira resposta... Os valores numéricos...
Aluno A15: Vão diminuindo. Cada vez menos, né!? Eles diminuem... um pouco menos...
Aluno A25: Entendi!!! Porque...
Aluno A15: Variam pouco, a cada... aqui variam menos ainda ((Provavelmente falando da
parte em que os rastros começam a ficar muito juntos na representação ponto Q, sem ser
possível distinguir os pontos.))
Aluno A25: Aqui vai aumentando as casas decimais depois da vírgula.
Aluno A15: É.
Aluno A25: Os valores numéricos vão diminuindo... Agora quer colocar isso daqui também?
Aluno A15: Não...
((A25 volta a ler a segunda parte da questão))
143
Aluno A25: Ahhh... Vai diminuindo...
Aluno A15: Diminui cada vez mais...
Aluno A25: Entendi! an diminui, porém, contudo, entretanto, para tanto... eh... a diferença
entre os pontos...
Aluno A15: é cada vez menor... a diferença.
Aluno A25: aí faz o quê? Tornando os pontos cada vez...
Alunos A15 e A25: mais próximos.
Aluno A25: um do outro. E tende a zero né!?
Aluno A15: zero.
Aluno A25: E também tende a zero. Você gostou de falar que tende a zero, né!?
Aluno A15: Bom de mais!
Excerto 5 – Transcrição da atividade 04 dos alunos A15 e A25 (parte 3)
A seguir, retomamos a figura 41 com a resposta dos alunos A15 e A25 sobre a
questão 4.2c, que refere-se ao diálogo acima transcrito.
Figura 41: Resposta dos alunos A15 e A25 ao item 4.2.c da atividade 04
Entendemos que a convergência foi percebida pelos alunos ao discutirem que os
pontos P e Q tendem a zero e também, durante a discussão, de que os rastros deixados pelo
ponto Q estariam cada vez mais próximos, o que poderia ser interpretado como outra
forma de corporificação da convergência da sequência. Interpretamos também que a
questão das distâncias pode ser uma raiz cognitiva na medida em que, nas palavras de Tall
(2002, p.12), sendo significativa para os alunos, contém as sementes da expansão cognitiva
para definições formais e posterior desenvolvimento teórico. A expansão teórica, de certa
forma natural no caso das distâncias, seria o Critério de Cauchy46 para convergência de
46 Diz-se que uma sequência de números reais (xn) é uma sequência de Cauchy quando dado qualquer ε > 0, existe um n0 ϵ N tal que n > n0 e m > n0 implica |xm – xn| < ε.
144
sequências, começando com o caso particular da distância entre dois termos consecutivos e
posteriormente expandindo para o caso geral.
Também vislumbramos a transição do mundo corporificado para a intersecção
entre os mundos corporificado e simbólico, no momento em que os alunos discutem como
deveriam escrever a conclusão. Podemos perceber nessa discussão que eles se preocupam
em escrever a conclusão com uma linguagem elaborada. As respostas dadas na forma
escrita (figuras 68, 69 e 41) estão na intersecção dos dois mundos, pois os alunos utilizam
o simbolismo (linguagem escrita) para dar sentido ao que foi corporificado.
A segunda possibilidade de corporificação do conceito de convergência é a
visualização numérica, ou seja, a visualização realizada a partir dos valores dos termos da
sequência expressos na planilha. Um exemplo para esse caso pode ser visto no vídeo da
dupla dos alunos A05 e A12, durante a realização da primeira parte da atividade 0447.
Esses alunos não se preocuparam em acompanhar as imagens gráficas do ponto P,
enquanto variavam os valores de n, como podemos ver na figura 70, na qual a planilha com
os valores numéricos da sequência está representada até a posição 10000, enquanto que na
janela de visualização gráfica aparecem apenas os primeiros pontos.
Figura 70: Tela da resolução da atividade 04 dos alunos A05 e A12
47 Na primeira parte é pedida apenas a construção do ponto P = (n, 5/n), começando com a variação de n até 12 e sendo depois pedido o aumento do valor de n sem que o valor máximo seja dado. Esta parte possuía as seguintes questões: 4.1.a) O que está acontecendo com os valores numéricos da sequência? (Considerando n no máximo 12.) 4.1.b) O que acontece com a posição do ponto P no plano cartesiano? E com os valores de an = 5/n representados na coluna B da planilha? 4.1.c) É possível prever o que acontecerá com o valor do termo an da sequência quando n (posição do termo) for muito grande? Explique.
145
Descreveremos o processo de resolução da primeira parte da atividade 04 dos
alunos A05 e A12, baseadas no vídeo da tela do computador e no áudio gravado pela
dupla. Ao serem considerados apenas os doze primeiros termos da sequência, para
resolução da questão 4.1.a, a dupla observou apenas que os valores estavam diminuindo
sem fazer referência ao valor zero para o qual tendiam os termos. Na resposta escrevem
apenas: “Diminuindo”.
Sobre o pedido para aumentar a quantidade de termos, eles estranharam que não
havia sido colocado qual deveria ser o valor, como podemos ver na fala da aluna A05:
“Mas o máximo é quanto? Vai ser o tanto que a gente quiser?”. Inicialmente eles decidiram
trocar o valor máximo para quinze e depois para 30, entendendo o que se pedia. O diálogo
que se segue entre eles é o apresentado no excerto 6.
Aluna A05: Ele sempre tende a zero?
Aluno A12: Tende a zero. Ah... por isso que ela pediu para aumentar um pouco mais... ((Novamente aumentou o valor máximo, porém agora para 10000.))
Aluna A05: Aí você apelou. Não vai dar zero!!! ((Conclui olhando apenas para a planilha,
como vimos na figura 72.))
Aluno A12: Noh... Eu vou aumentar mais. ((Passa o valor máximo para 90000)). Não deu zero, mas tende a zero.
((Aumentam o valor máximo para 10000000.))
Aluno A12: Tende a zero mesmo!!!
((A dupla começa a ler a questão 4.1.b e somente neste momento se preocupa com o gráfico
e procura pelo ponto P.))
Aluno A12: Tende a zero o ponto P. E com os valores? Ele aproxima do eixo x.
Aluna A05: É, ele aproxima do eixo x.
Aluno A12: Escreve aí.
Aluna A05: Ele aproxima do eixo x, tendendo a zero?
Aluno A12: Ele aproxima do eixo x e os valores da coluna B tendem a zero.
Excerto 6 – Transcrição da atividade 04 dos alunos A05 e A12 (parte 1)
Na figura 71, trazemos a resposta escrita da dupla A05 e A12 para a questão 4.1.b.
Figura 71: Resposta da dupla A05 e A12 à questão 4.1.b da atividade 04
146
Sobre a questão 4.1.c, ocorreu a seguinte discussão entre a dupla:
Aluna A05: A gente pode colocar aqui que depois dum certo ponto ele se torna zero constante?
Aluno A12: Eu acho que não, porque ele... é um número muito significativo.
Aluna A05: E o que vai acontecer com o P?
Aluno A12: Quando o n for muito grande, ele tende a zero.
Aluna A05: Ele aproxima o máximo de zero. Eu posso falar que ele chega a zero, porque ele fica 0,0000...
Aluno A12: É porque a casa decimal que a gente coloca aqui... se eu colocar aqui... ((muda
para 15 casas decimais)) nunca vai ser zero, tá vendo? ((Volta na planilha e mostra que onde
tinha zerado antes, não é mais zero. Para que apareça o número completo, a coluna é
alargada.)) Ele vai tender a zero, porque é cinco dividido por n. Quanto maior o valor de n, mais... mais ele aproxima do eixo x.
Aluna A05: É isso mesmo!
Aluno A12: Menor o número fica.
Aluna A05: Menor o número fica.
Aluno A12: Coloca aí, como n está no denominador...
Aluna A05: Quanto maior... não é!? Menor será o an?
Aluno A12: O número. Eh... an.
Excerto 7 – Transcrição da atividade 04 dos alunos A05 e A12 (parte 2)
Trazemos na figura 72 a resposta final dada pela dupla à questão 4.1.c da
atividade 04.
Figura 72: Resposta da dupla A05 e A12 à questão 4.1.c da atividade 04
Assim como no primeiro exemplo, acreditamos que ocorreu a corporificação do
conceito de convergência de sequência, quando os alunos observam que a sequência tende
a zero. A dupla formada pelos alunos A05 e A12, mostrou ter facilidade para a escrita, o
que evidencia uma passagem para a interseção entre os mundos corporificado e simbólico
mais tranquila do que a realizada pela dupla A15 e A25.
147
Percebemos que os alunos corporificaram o conceito de convergência nas
atividades 04, 0648 e 0749 mesmo quando a convergência era para um valor diferente do
zero. Chegamos a tal conclusão, pois, em todas as atividades, grande parte dos alunos
percebeu o comportamento da convergência da sequência, seja pelos pontos P e Q ou pelos
valores numéricos na planilha. No entanto, houve casos de alunos que apenas observaram
que a sequência era crescente, decrescente ou alternada.
Nas atividades 06 e 07 encontramos exemplos de alunos que apresentaram um
maior desenvolvimento cognitivo da argumentação dentro da intersecção dos mundos
corporificado e simbólico. Na atividade 06, temos a resposta da dupla formada pelos
alunos A10 e A13 que utilizaram o termo limite, sem calculá-lo, para comunicar sua
conclusão sobre a convergência da sequência para o valor um, como vimos na figura 46
retomada a seguir.
Figura 46: Resposta dos alunos A10 e A13 à atividade 06
A aluna A11 também demonstrou desenvolvimento cognitivo da argumentação ao
fazer, nas atividades 06 e 07, uma análise focada na interpretação dos valores que o termo
geral podia ou não assumir, aumentando consideravelmente o número de termos das
sequências. Vimos na seção 4.2.2 do capítulo anterior que essa aluna iniciou o raciocínio
observando o comportamento dos valores numéricos da sequência apresentados na planilha
do GeoGebra; porém, ela incorporou informações, além das fornecidas pelo software, para
chegar a uma conclusão. Ela analisou o termo geral e verificou se era possível algum termo
da sequência assumir o valor para o qual aparentava ser convergente. As respostas podem
ser vistas nas figuras 48 (página 118) e 50 (página 121) que exemplificam sua conclusão
final sobre a convergência das sequências das atividades 06 e 07, respectivamente.
48 A atividade 06 visava a avaliar a convergência da sequência de termo geral
1+=
n
nan
.
49 A atividade 07 visava a avaliar a convergência da sequência de termo geral n
nn
na
2)1(
2
−= .
148
Relacionado à divergência de sequências, observamos, pelos resultados da
atividade 0550, que os alunos tiveram mais dificuldade em expressar a compreensão da
divergência, pois várias respostas tinham algum tipo de erro conceitual como, por
exemplo, dizer que os termos crescem exponencialmente ou aumentam com o dobro do
valor anterior, ou ainda, que os valores de an crescem proporcionalmente aos valores de n.
Por mais que esses alunos tenha explicado erroneamente o crescimento da sequência, a
ideia de divergência ficou implícita. Ao analisarmos os vídeos, percebemos que os alunos
chegaram rapidamente à conclusão de que os termos da sequência aumentavam tendendo
ao infinito, geralmente com vinte termos ou menos, não havendo muita discussão para a
escrita da conclusão da divergência. Exemplificamos com a resposta dada pela dupla A27 e
A30 na figura 73.
Figura 73: Resposta das alunas A27 e A30 à atividade 05
Analisando de maneira geral, concluímos que as diferentes representações
colaboraram para a corporificação do conceito de convergência e divergência de
sequências e possibilitaram a passagem para a interseção dos mundos corporificado e
simbólico.
Com relação à convergência de séries, lembramos que a análise da convergência
da sequência das somas parciais foi previamente discutida com os alunos em aula teórica,
antes da aplicação da atividade exploratória de séries, como foi narrado na seção 4.2.2. Ao
resolverem a atividade exploratória de séries51 alguns alunos utilizaram a convergência
50 A atividade 05 visava a avaliar a divergência da sequência de termo geral 2nan = .
51 Nesta atividade inicialmente é pedida uma análise da convergência das sequências do termo geral e das
somas parciais da série ∑ −12
1n
, sendo feitas as perguntas:
1) Analisando a planilha, o que está acontecendo com o termo geral an? O que está acontecendo com os valores sn das somas parciais? 2) Observando os gráficos, o que acontece com o termo geral an e com os valores sn das somas parciais? Isso é coerente com o que você havia concluído na questão 1? Na terceira questão foi pedida a análise de outras cinco séries, como se segue: 3) Vamos fazer agora um estudo semelhante para outras séries. Em cada item responda o que acontece com o termo geral an e com os valores sn das somas parciais (para fazer esse estudo basta trocar a equação da coluna B).
a) ∑+2
2 1
n
n b) ∑+ )1(
1
nn c) ∑
+
n
n 1
1 d) ∑ +−
21 1
)1(n
n e) ∑ n
1
Durante a aplicação da atividade foram inseridas as questões: 4) Classifique cada uma das séries como convergente ou divergente.
149
para explicar o comportamento das sequências formadas pelo termo geral e pelas somas
parciais, assim como mostrado na figura 74 na resposta do aluno A29.
Figura 74: Resposta do aluno A29 à questão 2 da atividade de séries
Alguns alunos conseguiram observar o comportamento das duas sequências em
todas as séries da atividade; porém, ao responderem a quarta questão, classificando a série
como convergente ou divergente, grande parte deles analisou a convergência da sequência
do termo geral e não a da sequência das somas parciais, concluindo erroneamente sobre a
convergência da série. Ao realizarmos a análise dos dados dessa atividade percebemos que
deveríamos ter discutido com a turma as duas primeiras questões antes que eles iniciassem
a terceira, pois assim entenderiam melhor o objetivo da atividade e qual sequência deveria
ser considerada para analisar a convergência. Como já foi narrado na seção 4.2.2, cada uma
das séries foi discutida posteriormente nas aulas teóricas. Sendo assim, para analisar o
entendimento dos alunos sobre convergência e divergência de séries, analisaremos as
respostas dadas na primeira questão da atividade avaliativa de séries. Essa primeira questão
perguntava o que era uma série, o que era uma série convergente e o que era uma série
divergente. Nela é possível verificar que alguns alunos corporificaram o conceito de
convergência de séries por meio da convergência da sequência das somas parciais, como é
o caso da aluna A11, na figura 75.
Figura 75: Resposta da aluna A11 à questão 1.b da atividade avaliativa de séries
A aluna A11 expressou, por meio de linguagem oral, o que corporificou da
convergência de séries. Foi possível verificar a corporificação, pois a aluna utilizou
gráficos de pontos para exemplificar o seu entendimento. Entretanto, não foi possível
analisar a corporificação para todos os alunos, pois assim como o aluno A25 (figura 76),
5) Podemos chegar a alguma conclusão para a convergência da série?
150
que não participou da atividade exploratória, alguns outros explicaram a
convergência/divergência por meio da sistematização trabalhada posteriormente em sala.
Figura 76: Resposta do aluno A25 à questão 1.b da atividade avaliativa de séries
Consideramos que poucos alunos corporificaram o conceito de convergência da
série por meio da atividade exploratória. Porém, entendemos que a atividade tem potencial
para tratar do tema e que poucas alterações nos enunciados e na maneira de conduzi-la
podem levar a resultados positivos no que diz respeito à corporificação da convergência de
séries.
5.1.2 A convergência no mundo simbólico
Consideraremos que o aluno estará no mundo simbólico quando calcular o limite
do termo geral e conseguir interpretar o resultado final para dizer se a sequência converge
ou não. O valor L, resultado do cálculo do limite Lann
=∞→
lim (ou Lan → quando ∞→n )
pode ser entendido como um processo (o cálculo do limite) ou como um conceito (o valor
para o qual a sequência converge).
Não tínhamos a expectativa de que algum aluno chegasse ao mundo puramente
simbólico apenas com as atividades exploratórias de sequência. Portanto, para a análise,
consideraremos as repostas dadas pelos alunos nas atividades avaliativas.
Para a convergência de sequência buscamos verificar se os alunos souberam
calcular o limite do termo geral e se souberam interpretá-lo com base na corporificação
ocorrida durante as atividades e/ou na sistematização do conteúdo que ocorreu em aulas
posteriores às de laboratório. A título de exemplo utilizaremos a resposta dada pelo aluno
A25 (figura 77).
151
Figura 77: Resposta do aluno A25 sobre a convergência de três sequências na atividade avaliativa
Apesar de não ter demonstrado rigor na escrita do cálculo do limite, interpretamos
que o aluno A25 está no mundo simbólico, pois ele compreendeu que a convergência da
sequência está relacionada com o símbolo do limite e, além de calculá-lo, consegue
interpretar o resultado encontrado.
Contudo, a maior parte dos alunos não calculou corretamente o limite do termo
geral. Muitos aplicaram a regra de L’Hospital mesmo quando não havia indeterminação,
chegando a respostas incorretas, a exemplo do que escreveu o aluno A15, na figura 78.
Figura 78: Resposta do aluno A15 sobre a convergência de uma sequência na atividade avaliativa
Trazemos esse tipo de resposta por entendermos que alunos, assim como A15, que
interpretaram corretamente o resultado do limite possuem o conceito de convergência. No
entanto, o processo de cálculo do limite deve ser retomado para solucionar os problemas
tanto da escrita como da aplicação da regra de L’Hospital. Interpretamos que, apesar
desses problemas apontados, os alunos alcançaram em maior ou menor escala o mundo
simbólico, pois utilizaram o limite como um processo ao efetuarem o cálculo, e como um
conceito, ao analisarem o resultado final para inferir a convergência ou divergência.
152
Para avaliarmos se algum aluno alcançou o mundo simbólico para a convergência
da série, iremos analisar as questões 252, 3.a53 e 5.a54, da atividade avaliativa, pois estas
questões estão ligadas ao teste de divergência. Analisaremos somente este caso, pois foi o
único critério trabalhado de maneira corporificada nas atividades exploratórias.
Os dados nos levam a crer que alguns alunos chegaram ao mundo simbólico. Um
exemplo é o caso do aluno A01, que soube interpretar que a série é divergente quando o
limite do termo geral é diferente de zero. Consideramos que esse aluno primeiro passou
pelo mundo corporificado, uma vez que, ao resolver a questão 5.a, fez o cálculo do limite
do termo geral, mas também calculou alguns valores para o termo geral e construiu um
gráfico de pontos, mostrando que a sequência do termo geral não tende a zero (figura 79).
Figura 79: Resposta do aluno A01 à questão 5.a da atividade avaliativa de séries
Outro exemplo de aluno que se encontra no mundo simbólico é o A25. Como foi
dito anteriormente, ele não participou da atividade exploratória de séries. Apesar disso,
demonstrou ter entendido o critério da divergência e soube aplicá-lo para concluir sobre a
divergência da série. Ainda mostrou conhecer que esse critério não garante a convergência
da série. Na figura 80, temos a resolução do aluno A25 da questão 2.b e da questão 3.a.
52 Questão 02: Seja
13
2
+=
n
nan
.
a) Determine se {an} é convergente. b) Determine se ∑∞
=1nna é convergente.
53 Questão 03: Classifique as sentenças a seguir como verdadeira ou falsa. Justifique.
a) ( ) Dada a série ∑∞
=1nna , se 0lim =
∞→n
na então a série é convergente.
54 Questão 05: Determine se as séries convergem ou divergem: a) ∑∞
= +12
2
45n n
n
153
Figura 80: Resposta do aluno A25 às questões 2.b e 3.a da atividade avaliativa de séries
Observamos que cada um dos três mundos pode operar individualmente e, por
isso, casos como o do aluno A25 acontecem, principalmente nas aulas de Cálculo
ministradas de modo tradicional. Apesar de alguns alunos, como o caso de A25,
manifestarem compreensão de conceitos trabalhados apenas de modo simbólico, isso nem
sempre acontece para a maioria dos alunos. Os resultados obtidos nessa pesquisa nos
levam a crer que atividades visando à corporificação podem contribuir para atribuição de
significado aos conceitos trabalhados e podem facilitar a inserção no mundo formal.
5.1.3 A convergência de sequências na base do mundo formal
Pelo esquema de Tall, apresentado na figura 08, na intersecção entre os mundos,
que chamamos de base do mundo formal, as definições e deduções de propriedades são
feitas com base em experiências corporificadas e simbólicas. Assim, tomando como
referência as experiências de visualização gráfica e numérica, que entendemos como
corporificação da convergência, e também as simbologias utilizadas, procuramos
identificar quais propriedades foram possíveis de se deduzir. Identificamos como
possibilidade as propriedades relativas às distâncias entre os pontos e o possível ponto para
o qual a sequência converge e também as relativas às distâncias entre os pontos da
sequência (ou diferenças entre termos). Com base nessas propriedades temos duas
interpretações possíveis para a convergência de sequências na base do mundo formal. No
primeiro caso, consideraremos que o aluno estará na base do mundo formal quando
observar que as diferenças entre os termos da sequência e o possível valor de convergência
estão diminuindo para as sequências convergentes ou que não existe um valor para o qual a
sequência converge e concluir que ela é divergente. No segundo caso, consideraremos que
o aluno estará na base do mundo formal quando observar que as diferenças entre os
154
termos da sequência deverão diminuir para que ela seja convergente ou que as diferenças
deverão aumentar ou tenderem a um valor constante e diferente de zero, para que ela seja
divergente. Em ambos os casos o aluno também deverá ser capaz de expressar
simbolicamente o que foi deduzido.
Não aplicamos qualquer atividade que se relacionasse com a primeira
interpretação, pois, ao as elaborarmos, achamos que teríamos que indicar o valor para o
qual a sequência convergiria para poder observar as diferenças e, dessa forma, estaríamos
direcionando demais a atividade. Não vimos outra possibilidade naquele momento.
Entretanto, depois que as atividades já haviam sido aplicadas, percebemos que poderíamos
fazer o aluno conjecturar um possível valor para o qual a sequência poderia convergir,
inclusive colocando situações em que a conclusão sobre o valor de convergência não fosse
imediata, como por exemplo, a sequência de termo geral n
nan 5
20+= . Em seguida,
poderíamos pedir o cálculo das diferenças entre os termos da sequência e o valor por eles
conjecturado. Consideramos que esse caminho seria interessante para condução das
atividades exploratórias uma vez que, além de possibilitar a corporificação do conceito,
facilitaria a transição para o mundo simbólico e a definição da convergência pelo limite do
termo geral quando n tende a infinito. A percepção de que as diferenças entre os termos da
sequência e o possível ponto de convergência diminuem seria uma raiz cognitiva para a
expansão teórica posterior, nesse caso por meio limite do termo geral. Com base nessas
experiências corporificadas seria possível que alguns alunos chegassem à base do mundo
formal, conforme a primeira interpretação acima indicada.
Vamos discutir o segundo caso tendo como base a sequência de termo geral
nan
5=
trabalhada na atividade 04. Como descrito anteriormente, vários alunos
observaram que as diferenças entre os termos diminuíam à medida que n aumentava. Nas
palavras de uma dupla de alunos: “À medida que o valor de n aumenta, os pontos na vão
ficando mais próximos um do outro, (a diferença entre eles é cada vez menor!)”. No
entanto, até aquele momento, não havia sido dito o que eram sequências convergentes.
Dessa forma, não se pode dizer que essa seja uma propriedade deduzida para as sequências
convergentes, de modo geral. No entanto, foi uma propriedade deduzida para uma
sequência em particular (a sequência de termo geral n
an
5= ), com base na experiência
corporificada de representar os termos da sequência como pontos de uma reta (ponto
155
Q(0, na )). Ainda, a frase da dupla expressa, embora não de maneira totalmente simbólica,
aquilo que foi deduzido. Interessante observar que essa dupla, além de perceber a
propriedade, estabeleceu a relação entre distância de pontos (nas representações gráficas) e
diferença de valores (na representação numérica da planilha), o que evidencia a
compreensão das representações utilizadas. Vemos nessas percepções e expressões dos
alunos indícios de que é possível chegar à base do mundo formal a partir das experiências
corporificadas como as realizadas na atividade 04. Uma forma de fazer isso seria, após a
sistematização dos conceitos com base nas atividades exploratórias, apresentar outros
exemplos de sequências convergentes e divergentes, pedir as representações de seus termos
como pontos de uma reta e perguntar o que eles observam com relação aos termos das
sequências convergentes e o que observam com relação aos termos das sequências
divergentes.
Ressaltamos que na atividade 0855 tentamos trabalhar as distâncias entre pontos
consecutivos da sequência. A percepção de que nas sequências convergentes as diferenças
entre os termos da sequência diminuem seria uma raiz cognitiva para a expansão teórica
posterior, nesse caso por meio do Critério de Cauchy. Importante destacar que o fato dos
pontos das sequências convergentes se tornarem cada vez mais próximos, a medida que o
número de termos aumenta, foi percebido por alguns alunos nas primeiras atividades
exploratórias, mesmo antes de pedirmos para observarem as distâncias. Isso reforça a
possibilidade dessa experiência corporificada ser raiz cognitiva para expansões teóricas
futuras. No caso específico da atividade 08 ao viabilizar a atividade com o GeoGebra, de
certo modo caminhamos na direção da formalização, uma vez que essas distâncias entre os
pontos foram expressas como o valor absoluto das diferenças entre os termos. Embora
sendo um caso particular, uma vez que solicitou a observação das distâncias entre termos
consecutivos, entendemos que essa atividade poderia lançar bases para exploração futura
do critério de Cauchy. É claro que para o uso do critério deveriam ser consideradas as
diferenças entre termos quaisquer da sequência, a partir de um determinado termo e isso
seria difícil de trabalhar de maneira corporificada utilizando software.
Como já dissemos na seção 4.2.2, apenas três duplas começaram a atividade 08.
Essa atividade foi retomada nas aulas teóricas. Nesse desenvolvimento, feito de forma
teórica pela professora, a representação de distâncias entre pontos como valor absoluto das
55 Nesta atividade trabalharíamos a diferença entre os termos consecutivos de três sequências para tentar fazer o aluno inferir que nas sequências convergentes essas diferenças tenderiam a zero, e que nas sequências divergentes as diferenças tenderiam a um valor constante diferente de zero ou aumentariam.
156
diferenças dos valores numéricos correspondentes, explorada com uso do GeoGebra, foi
utilizada como base para trabalhar a convergência a partir do limite. Retomando aquilo que
era possível ver e calcular com os recursos do GeoGebra, primeiramente a professora
trabalhou a distância entre dois pontos, em seguida a distância entre vários pontos e o
possível valor de convergência e por fim a distância entre qualquer ponto da sequência e o
possível valor de convergência. Isso foi feito como uma tentativa de levar os alunos a
fazerem a passagem do mundo simbólico para a base do mundo formal e também para
ocorrer uma relação entre o que foi trabalhado nas atividades exploratórias com uso do
software e a definição formal apresentada nos livros de Cálculo, indicados para a
disciplina. Reconhecemos que isso de certa forma pode contrariar o que indicamos como
nossas expectativas para o Cálculo, de não ter que necessariamente atingir o mundo
formal. No entanto entendemos que é difícil conciliar atividades diferenciadas, como as
que realizamos, com a estrutura formal dos cursos, calcada em princípios da chamada aula
tradicional que tem como base de apoio o livro didático. Tendo essas atividades sido feitas
pela professora, quase que de forma expositiva, com poucas ações efetivas dos alunos, não
foram conseguidos bons resultados. Chegamos a tal conclusão ao observar que na questão
5 da atividade avaliativa de sequência nenhum aluno conseguiu perceber que dizer que
“para cada ε > 0, existe um inteiro correspondente N tal que se n > N então ε<−+
113
3
n
n ” é
o mesmo que dizer que a sequência de termo geral 13
3
+=
n
nan converge para um, ou
mesmo reescrever a expressão utilizando limite. Na resposta do aluno A29 (figura 81),
vemos que ele tem a noção de que se trata de limite, mas não sabe como reescrevê-la.
Vemos também que ele compreende que a sequência tende a um, mas não expressa
corretamente qual é a sequência que tende a um.
Figura 81: Resposta do aluno A29 sobre a definição formal da convergência de sequência na
atividade avaliativa
157
Alguns alunos conseguiram expressar seu entendimento sobre as abordagens
teóricas realizadas em aula. É o caso da aluna A02 (figura 82), que utilizou um exemplo
discutido em sala para tentar explicar o que ela entendeu sobre a definição formal
apresentada na avaliação.
Figura 82: Resposta da aluna A02 sobre a definição formal da convergência de sequência na
atividade avaliativa
Trazemos ainda a resposta do aluno A13 (figura 83) sobre a divergência de uma
sequência na atividade avaliativa. Esse aluno foi um dos seis que iniciou a atividade 08.
Figura 83: Resposta do aluno A13 sobre a divergência de uma sequência na atividade avaliativa
Por mais que o aluno A13 tenha feito o cálculo apenas para três valores
consecutivos e não tenha utilizado de rigor para a conclusão final, ele observou que, como
a diferença entre os termos consecutivos estava aumentando, a sequência era divergente.
Posteriormente poderíamos levar esse aluno a pensar se a utilização de apenas alguns
termos da sequência seria suficiente para garantir a conclusão a que ele chegou.
Poderíamos utilizar um contra exemplo em que a diferença entre os primeiros termos dá a
entender que a sequência é divergente, mas que ela na verdade é convergente. Entendemos
que a atividade 08, se trabalhada após as sistematizações das atividades anteriores, tem
grande potencial de fazer o aluno chegar à base do mundo formal.
158
5.1.4 Convergência de séries na base do mundo formal
Tomando como referência o esquema de Tall, apresentado na figura 08, as
experiências de visualização gráfica e numérica, que entendemos como corporificação da
convergência, e também as representações simultâneas das sequências do termo geral e das
somas parciais das séries, procuramos identificar quais propriedades foram possíveis de
deduzir. Identificamos que o critério de divergência de séries seria uma possibilidade de
dedução a partir das experiências corporificadas acima citadas. Consideraremos que o
aluno estará na base do mundo formal ao chegar à conclusão de que é necessário que a
sequência do termo geral tenda a zero para a série ser convergente. Consideraremos que ele
estará com o desenvolvimento cognitivo da argumentação mais avançado dentro da base
do mundo formal caso ainda diga que essa condição é necessária, mas que não é suficiente
para garantir a convergência. Também estará na base do mundo formal o aluno que
observar que, se o limite do termo geral for diferente de zero, então a série será divergente.
De acordo com a caracterização acima, os dados da atividade exploratória de
séries indicam que a aluna A20 chegou a base mundo formal. Na seção 4.2.2 trouxemos
trechos da discussão da aluna A20 com o aluno A12 sobre a divergência da série
harmônica. Essa aluna, durante a atividade exploratória, intuiu que a séria harmônica seria
convergente; porém, ao aumentar os valores de n, percebeu que a série era divergente, mas
não concordava com os dados gerados no GeoGebra, por isso refez toda a construção para
ver se não tinha feito algum passo errado. O aluno A12 chamou a pesquisadora, pois, para
ele, a série tenderia a um, mas não foi isso que aconteceu. Acompanhemos a discussão
entre os alunos A20, A12 e a pesquisadora no excerto 8.
Aluno A12: Aqui... pra mim essa daqui ((falando da série harmônica)) tenderia a um e o an a zero.
Pesquisadora: Isso daí é uma coisa que você acha que iria acontecer.
Aluno A12: Sim...((risos)) só que não aconteceu nada disso.
Pesquisadora: Escreve isso pra mim.
Aluno A12: Ela tendeu para três ((achando estranho)).
Aluna A20: Eu já fiz até o cento e vinte.
Aluno A12: E ela continua andando, né!?
Aluna A20: Aqui eu estou vendo que está indo para zero ((referindo a sequência do termo
159
geral)), quanto mais eu vou, mais ela pra zero ele vai.
Pesquisadora: Isso é qual série? A um sobre n?
Aluna A20: O somatório tá toda vida crescendo. Ele vai crescer tão pouco?
Pesquisadora: E aí!? O que acontece com essa série?
Aluna A20: Mas ela pode divergir tão devagar assim?
Pesquisadora: Uai, qual o problema?
Aluno A12: É... aqui... o tanto de zero que apareceu no seu lá, apareceu no meu.
Aluna A20: Isso mesmo. Tá certo então que ela vai divergir?
Pesquisadora: Amanhã a gente vai ver porque ela diverge.
Aluna A20: Devagarzinho?
((A20 dá um suspiro de espanto de ter sido confirmado que a série diverge.))
Pesquisadora: Ela vai devagarzinho, mas ela vai para o infinito.
Aluna A20: Eu não sei responder aquilo dali não ((falando da questão 5)).
Aluno A12: Eu... não entendi nada!
Pesquisadora: Olha, quais são as que convergem?
Aluno A12: Eu não vi relação entre elas.
Aluna A20: Todas que o somatório vai tender a um número.
Pesquisadora: Sim, mas além disso, tem uma outra coisa. Se vocês não virem não tem problema, amanhã eu falo.
Aluna A20: an está tendendo a um?
Pesquisadora: Não me pergunta... se você não viu, não viu...
Aluna A20: Eu não vi.
Pesquisadora: Não tem problema.
((A pesquisadora se afasta para atender a outros alunos, portanto não dá para saber o que foi
discutido somente entre os dois alunos.))
Aluna A20: Pensamos uma coisa. Olha só! Aqui an tende a dar um número e o sn dá infinito, aí ela diverge. Aí o sn aqui deu um valor e o an deu zero, então ela converge. Aí a gente pensou, se o limite do an for diferente de zero a série vai divergir, mas aqui não está dando certo, aqui o an tem que...
Aluno A12: O an tem que ir para algum número.
Aluna A20: E ele está indo para zero.
Pesquisadora: Então escreve isso. Está quase certo, vocês chegaram muito, muito, muito perto. Já alcançaram a minha expectativa.
((A pesquisadora espera eles escreverem e lê o que A12 escreveu.))
Pesquisadora: Se an tende a zero, o sn é divergente... não foi isso que vocês me disseram. Não foi isso que você me disse aqui, agora.
Aluno A12: Se an...
Aluna A20: Se for diferente de zero...
160
Aluno A12: se o an tende a zero...
Aluna A20: é convergente.
Aluno A12: o sn é divergente...
Aluna A20: Não. Você não pode falar que o sn é convergente. Você tem que falar... que o an... não... que o sn... é convergente
Aluno A12: É convergente.
Aluna A20: Não... tem que falar que ele é diferente de zero... você não pode falar que ele é zero e converge, você tem que falar que ele é diferente de zero.
Aluno A12: Não... se ele for zero... converge. ((depois de uma pequena pausa)). Não, não é isso. Porque aqui deu errado, então se o an for diferente de zero é que a gente pode falar que ele diverge, caso contrário a gente não pode falar nada. Aqui deu errado.
Aluna A20: Pois é, aqui deu errado. Se ele der zero, a gente não pode falar nada.... Se ele der zero, aí tem que olhar as somas parciais. Se a soma parcial der infinito, aí ela diverge, se a soma parcial der algum número... se o an for zero, aí você olha as somas parciais, se a soma parcial for infinita ele vai divergir, se a soma parcial der algum número aí ele vai convergir.
Pesquisadora: Escreve isso pra mim.
Aluno A12: Nossa, agora foi difícil.
((Depois que a pesquisadora saiu de perto, os alunos continuaram a discutir como seria o
critério. O aluno A12 ainda se mostra confuso sobre a conclusão final, por isso a aluna A20
continua explicando a conclusão discutida anteriormente.)) ((A gravação não está totalmente
clara, mas é possível escutar que A20 continua tentando convencer A12 de que só há
conclusão quando a sequência do termo geral tende a um valor diferente de zero.))
Aluna A20: Olha aqui a conclusão, só para ver se está coerente. Se meu an tende a um... ele está chegando em um, igual você falou dos tracinhos ali. Então ele sempre vai estar somando nem que seja um tiquitito de nada, e vai para o infinito mas bem devagarinho.
Pesquisadora: Isso.
Aluna A20: Quando o meu an ele vai tender a zero, ele vai para um número, mas vai dar um número muito pequeno, dependendo dessa série aqui, mas ele vai para alguma coisa, o somatório de tudo uma hora ele vai chegar a esse número daqui. Igual você falou do 0,99999.. é um. Eu vou te entregar a atividade e você me fala o que é?
((Depois que a aluna A20 entrega a atividade a pesquisadora lhe explica o teste da
divergência e que de fato o limite tender a zero é uma condição necessária para a série ser
convergente mas não suficiente. A aluna fica feliz em saber que chegou à conclusão
correta.))
Excerto 8 – Transcrição da atividade de séries
Novamente trazemos as figuras 62 e 63, com a resposta dos alunos A12 e A20,
respectivamente.
161
Figura 62: Conclusão do aluno A12 sobre a convergência de séries
Figura 63: Conclusão da aluna A20 sobre a convergência de séries
Para nós, a aluna A20 chegou à base do mundo formal, pois foi capaz de deduzir
uma propriedade com base no que foi corporificado. Esse aprendizado passa a ter raízes
profundas no conhecimento e leva a aluna a discutir a questão 3.a da atividade avaliativa
de séries (figura 84) que a condição é necessária, mas não suficiente. Já para o aluno A12
faltou apenas discutir mais tranquilamente as deduções que fez, para que conseguisse
simbolizá-las de maneira correta e chegasse à base do mundo formal.
Figura 84: Resposta da aluna A20 à questão 3.a da atividade avaliativa de séries
Inferimos que nos demais casos não aconteceu a passagem para a base do mundo
formal e que um dos motivos foram falhas na atividade exploratória de séries, por isso
sugerimos que, após a questão 4, sejam acrescentadas perguntas para selecionar as séries
que são convergentes e propostas ao aluno para que verifique uma possível relação entre
elas e da mesma forma sugerimos para as séries divergentes.
Por fim, concluímos que as atividades baseadas na corporificação podem
promover a transição para o mundo simbólico, chegando até a base do mundo formal.
Infelizmente nem todos os alunos passaram por alguma transição entre os mundos, mas, de
acordo com Tall (2004, p. 4), os indivíduos percorrem diferentes caminhos através dos
mundos em seus conhecimentos matemáticos individuais, com isso “ocorrem vários
162
obstáculos no caminho que exigem ideias anteriores para serem reconsideradas e
construídas, de modo que a viagem não é a mesma para cada viajante”56.
5.2 Passagem do pensamento matemático elementar para o avançado
Para este eixo de análise usaremos as caracterizações descritas por Dreyfus (1991)
para o pensamento matemático avançado. Esse autor considera o pensamento matemático
avançado como um processo que consiste em uma grande variedade de componentes que
podem ser vistos como processos de aprendizagem que interagem entre si, como
representar, visualizar, classificar, conjecturar, induzir, analisar, sintetizar, generalizar,
abstrair ou formalizar. Com relação à passagem do pensamento matemático elementar para
o avançado, Dreyfus (1991, p. 26) descreve que é possível passar de um nível para o outro
por meio de representação e abstração.
Nossas atividades foram desenvolvidas de forma a permitir ao aluno participar do
processo de desenvolvimento dos conceitos matemáticos de convergência de sequências e
de convergência de séries. A convergência seria o conceito a ser abstraído. Para tanto,
procuramos criar condições para que os alunos tivessem contato com variadas situações
matemáticas que possibilitassem diferentes representações mentais do conceito, de forma
que essas representações se complementassem e se integrassem, permitido a abstração do
conceito.
Para as sequências, trabalhamos as representações em três manifestações: como
conjunto ordenado de números com uma lei de formação; como imagem de uma função de
domínio discreto e como conjunto de pontos sobre uma reta. Utilizando os recursos do
GeoGebra, exploramos sequências convergentes empregando essas diferentes
representações. Em cada situação, procuramos levar os alunos a observarem as
características da sequência, aumentando o número de termos. Buscamos, também,
estimular os processos de aprendizagem anteriormente mencionados.
Para análise, usaremos os dados da atividade 4, na qual foi trabalhada a sequência
convergente de termo geral .
56 Tradução nossa para: “various obstacles occur on the way that require earlier ideas to be reconsidered and reconstructed, so that the journey is not the same for each traveller”.
nan
5=
163
A tela apresentada na figura 14 (página 95) exemplifica as representações
exploradas na atividade: ponto P(n, an) e ponto Q(0, an). A planilha apresenta os valores
numéricos dos termos da sequência, obtidos pelas ordenadas de P ou de Q. Trabalhando inicialmente com a representação do ponto P, solicitamos que os
alunos aumentassem o valor de n e observassem o que acontecia com os valores numéricos
dos termos da sequência e com a posição do ponto P no plano cartesiano. Nas figuras 85,
86 e 87 temos exemplos de algumas das respostas dos alunos a essas perguntas.
Figura 85: Resposta dos alunos A15 e A25 ao item 4.1.a da atividade 04
Figura 86: Resposta dos alunos A09 e A16 ao item 4.1.a da atividade 04
Figura 87: Resposta dos alunos A02, A08 e A17 ao item 4.1.b da atividade 04
Os dados indicam que os alunos conseguiram representar os termos da sequência
dada, visualizar as características da sequência a partir das representações e conjecturar
sobre o comportamento para um número muito grande de termos, provavelmente
construindo representações mentais de sequências convergentes. É o que nos leva a crer a
resposta dos alunos A03 e A04 (figura 88) para a pergunta: “É possível prever o que
acontecerá com o valor do termo da sequência quando o n (posição do termo) for muito
grande? Explique.”
Figura 88: Resposta dos alunos A03 e A04 ao item 4.1.c da atividade 04
A representação mental da convergência construída nesse caso seria a de que os
termos de uma sequência convergente vão se aproximando cada vez mais de um valor fixo
na
164
à medida que n aumenta, o que remete ao conceito de limite. No exemplo em questão, esse
valor seria zero. Outras sequências convergindo para valores diferentes também foram
trabalhadas.
De acordo com Dreyfus (1991), o processo de abstração é o mais importante para
se alcançar o pensamento matemático avançado e, para que a pessoa seja bem sucedida em
Matemática, é desejável que ela tenha ricas representações mentais. As representações são
consideradas ricas quando possuem muitos aspectos ligados ao conceito. Ao solicitarmos
aos alunos que trabalhassem com as diferentes representações de sequência, pretendíamos
que desenvolvessem essas ricas representações mentais e pudessem abstrair com base na
integração entre elas, tornando-se “donos” do conceito de convergência,
independentemente da maneira com que a sequência estivesse representada.
Dreyfus (1991) diz que os processos de representação e abstração são
complementares e estão diretamente envolvidos com os processos de aprendizagem.
Define quatro fases dos processos de aprendizagem, a saber:
• usar uma representação única;
• usar mais de uma representação em paralelo;
• fazer ligações entre as representações paralelas e
• representações integradas e troca flexível entre elas (DREYFUS, 1991, p. 39).
Para possibilitar a passagem pela primeira fase (usar uma representação única),
iniciamos com as atividades que representavam a sequência como um conjunto numérico
que possui uma ordem e uma lei de formação.
Para a segunda fase (usar mais de uma representação em paralelo) utilizamos o
GeoGebra, que nos permitiu apresentar a sequência em quatro diferentes tipos de
representação: na planilha, representação da sequência na forma numérica; na janela
algébrica, aparecia apenas um termo por vez, mas possibilitava ver cada termo da
sequência como um par ordenado no qual o valor da abscissa era o valor da posição do
termo e o valor da ordenada era o valor do termo da sequência; e na janela gráfica, que
permitiu a visualização gráfica da sequência de duas maneiras, sendo a primeira a
representação como pontos de uma função discreta e, em seguida, como pontos sobre uma
reta.
Para a terceira fase (fazer ligações entre as representações paralelas), tentamos,
por meio das perguntas sobre as representações dos dados no GeoGebra, estimular os
165
alunos a estabelecerem relações entre as diferentes representações. É o caso da pergunta:
“O que acontece com a posição do ponto P no plano cartesiano? E com os valores de
representados na coluna B da planilha?”. A resposta dos alunos A02, A08 e A17,
apresentada na figura 87, nos indica que a relação entre essas duas representações foi
estabelecida. Outro exemplo é a resposta das alunas A07 e A20 apresentada na figura 37,
na página 111.
A outra representação, como pontos sobre uma reta, foi explorada por meio das
representações do ponto Q(0, an). Escolhemos representar os pontos da sequência sobre o
eixo y pois entendemos que essa forma facilitaria o estabelecimento da relação entre essa
representação e a da função de domínio discreto, caracterizada pelo ponto P(n, an). Dreyfus
(1991, p. 32) nos alerta que diferentes representações mentais podem entrar em conflito.
Entendemos que a representação dos pontos no eixo x, que aparece em alguns livros
didáticos, como Stewart (2009), poderia gerar conflito. A imagem da figura 89, com a
representação dos pontos no eixo x, ilustra este parágrafo.
Figura 89: Representação da sequência
nan
5= , com n variando de 1 até 15, como uma função discreta e
como pontos sobre o eixo dos x’s Fonte: Elaborada pela autora.
Perceber que a sequência converge para zero pela representação do ponto P é
percorrer as representações do ponto no sentido crescente do eixo x. Já perceber a
convergência pela representação do ponto R é percorrer as representações no mesmo eixo x
em sentido contrário, uma vez que a sequência é decrescente. As imagens podem entrar em
nan5=
166
conflito, ficando difícil perceber a relação entre elas. Esse conflito é evitado fazendo a
representação dos pontos no eixo y, através do ponto Q. Pelas imagens nessa forma de
representação, é possível ver que, para cada n, os pontos P e Q estão na mesma altura. As
alturas são, na verdade, os valores dos termos da sequência, uma vez que tanto para o
ponto P como para Q a ordenada é an. As respostas à questão: “Você percebe alguma
relação entre os pontos P e Q? Explique.” nos indicam que essa relação foi percebida pelos
alunos. Para exemplificar, trazemos as respostas da aluna A14 (figura 90) e dos alunos A15
e A25 (figura 68).
Figura 90: Resposta da aluna A14 para a questão 4.2.a da atividade 04
Figura 68: Resposta dos alunos A15 e A25 para a questão 4.2.a da atividade 04
Essa última resposta é a expressão da compreensão possível a partir das
observações, reflexões e diálogo estabelecido entre os alunos A15 e A25 sobre a relação
entre os pontos P e Q, apresentada na íntegra na seção 5.1.1: “Então, olhar esse aqui é
igual olhar esse daqui”. Após essa conclusão, para responder perguntas sobre as
atividades, os alunos passaram sempre a analisar as duas representações gráficas.
Entendemos que esses alunos alcançaram a terceira fase dos processos de aprendizagem,
ou seja, eles representaram, visualizaram, analisaram, deduziram e passaram a ter uma
forte ligação entre as diferentes representações de uma sequência.
Outros alunos também mostraram ter conseguido estabelecer essa ligação entre
representações, característica da terceira fase do processo de aprendizagem. É o que nos
indica a resposta dos alunos A03 e A04 à pergunta: “O que está acontecendo com a
posição do ponto Q no eixo vertical?”, apresentada na figura 91.
Figura 91: Resposta dos alunos A03 e A04 para a questão 4.2.b da atividade 04
167
A resposta dessa dupla sobre o ponto Q, fazendo referência ao ponto P sem que
isso tenha sido pergundado, pode ser um indício de que esses alunos tenham chegado à
quarta fase do processo de aprendizagem (Dreyfus, 1991, p. 39), na qual as representações
são integradas, havendo troca flexível entre elas.
A representação da sequência como pontos de uma reta (ponto Q) favoreceu outra
possível representação mental de convergência, identificada na resposta dos alunos A15 e
A25 (figura 41, página 113): a de que os pontos de uma sequência convergente se
aproximam cada vez mais uns dos outros à medida que o número de termos aumenta.
Vemos em tal resposta a integração entre representações e a troca flexível entre elas,
característica da quarta fase do processo de aprendizagem. Estimulamos os alunos a
promoverem essa integração e a abstrair a convergência. Ao final da atividade, as seguintes
questões foram colocadas: “Com base em suas observações e respostas aos itens anteriores,
o que você pode dizer sobre os valores numéricos dos termos dessa sequência? O que
acontece com o valor de an quando n assume valores cada vez maiores?”. A figura 92
exemplifica as respostas obtidas:
Figura 92: Resposta dos alunos A03 e A04 para a questão 4.2.c da atividade 04
Por meio das atividades que se seguiram à atividade 04 e que apresentaram
outros exemplos de sequências convergentes e divergentes, estimulamos os alunos a
observarem as diferentes representações e conjecturarem a respeito das características de
cada uma das sequências apresentadas. Embora não tenha sido feita, acreditamos que
uma atividade que comparasse várias sequências convergentes e várias sequências
divergentes estimularia a criação de imagens mentais de sequências convergentes e
divergentes, favorecendo a generalização e a abstração do conceito de convergência.
Destacamos a atividade 08, que objetivava relacionar as representações gráfica e
numérica. Ela teve por expectativa fazer o aluno alcançar a ideia abstrata de que uma
sequência só será convergente se os seus termos se tornarem cada vez mais próximos uns
dos outros, ou que ela será divergente se a diferença entre os termos consecutivos aumentar
168
ou tender a se tornar constante para valores diferentes de zero (caso das sequências
alternadas).
Nas atividades de séries, os processos componentes do pensamento matemático
avançado, descritos por Dreyfus (1991) também se mostraram presentes. Inicialmente, foi
considerada a série de termo geral e construídas as sequências formadas pelo
termo geral e pelas somas parciais usando a planilha, sendo solicitada a observação do
comportamento dessas duas sequências. Em seguida, pedimos a construção dos gráficos
das duas sequências, a análise do comportamento dos termos delas e, por fim, uma
comparação entre os dois resultados. Nas figuras 93 e 74 (apresentada em 5.1.1 e que
trazemos novamente), podemos observar que a atividade permitiu ao aluno representar as
sequências de duas maneiras, visualizar o comportamento delas, comparar as
representações, classificar e analisar a convergência da série.
Figura 93: Resposta do aluno A01 à questão 2 da atividade de séries
Figura 74: Resposta do aluno A29 à questão 2 da atividade de séries
Percebemos que, ao perguntar na questão dois se a conclusão a que os alunos
chegaram observando o gráfico era coerente com a resposta dada considerando as
informações da planilha, eles alcançaram a terceira fase: fizeram a ligação entre diferentes
representações. Para ilustrar, chamamos a atenção à resposta dada pelo aluno A01 na
figura 93 e trazemos também a resposta da aluna A14 na figura 94.
12
1−
=nna
169
Figura 94: Resposta da aluna A14 à questão 2 da atividade de séries
Na resposta dada pelo aluno A24 (figura 95) sobre o comportamento da série
, também é possível perceber os processos da aprendizagem descritos
anteriormente; neste caso, para uma série divergente.
Figura 95: Resposta do aluno A24 à questão 3.a da atividade de séries
Entendemos que a maior parte dos alunos conseguiu fazer ligações entre as
diferentes representações, tanto no caso das séries convergentes quanto no das séries
divergentes.
Na discussão descrita no excerto 8, página 158 (na qual os alunos dialogam sobre
a divergência da série harmônica), temos indícios de que os alunos passaram pelos
processos de: analisar quais séries eram convergentes e quais eram divergentes;
generalizar, ao dizerem que se a sequência do termo geral tender a um valor diferente de
zero a série é divergente; e sintetizar, ao utilizar das representações mentais e verbal para
expressar o entendimento. Dessa forma, inferimos que as relações e as propriedades
comuns permaneceram para formar o conceito abstrato; neste caso, a divergência da série,
levando tais alunos à quarta fase.
Interpretamos que a aluna A20 ainda passou pelo processo de abstração ao
enunciar o que podemos considerar como o critério de divergência e, além disso, escrever
uma condição para a convergência da série, que é a sequência do termo geral tender a zero,
como vimos na figura 63.
∑+2
2 1
n
n
170
Figura 63: Conclusão da aluna A20 sobre a convergência de séries
Para nós, a aluna A20 passou do pensamento matemático elementar para o
avançado. Observamos que o aluno A12 também passou por quase todos os processos que
a aluna A20, porém, não conseguiu a abstração.
Percebemos que as atividades de sequências e de séries possibilitaram que muitos
alunos passassem por vários processos de aprendizagem que compõem o pensamento
matemático avançado, como representar, visualizar, conjecturar, classificar, entre outros.
Acreditamos que, se forem feitas alterações como algumas das sugeridas ao longo deste
capítulo para as atividades, mais alunos poderão alcançar os processos de generalização e
abstração.
Finalizamos esta análise retomando um dos nossos objetivos de pesquisa:
“investigar se as atividades que visavam propiciar transições entre os mundos
corporificado e simbólico puderam contribuir para a construção de uma base para o mundo
formal, favorecendo a transição do pensamento matemático elementar para o avançado”. A
forma como esse objetivo foi redigido deixa evidente nossa percepção de como os dois
eixos considerados nesta análise se mostram interligados. No primeiro deles, em que
analisamos a corporificação dos conceitos de convergência e a relação com a
proceitualização e a axiomatização, estamos olhando para um processo: o de construção de
uma base para o mundo formal por meio das transições entre os Três Mundos da
Matemática. No segundo deles, em que analisamos a transição do pensamento matemático
elementar para o avançado, também estamos olhando para um processo: o de construção
do pensamento matemático avançado. Mais do que compreender cada um desses processos
separadamente, buscamos também entender se o primeiro favorece o segundo, ou seja, se
as transições entre os Três Mundos da Matemática favorecem a transição do pensamento
matemático elementar para o avançado.
Como já discutido em outros momentos nessa dissertação, Dreyfus (1991)
considera o pensamento matemático avançado como um processo que consiste em uma
grande variedade de componentes que interagem entre si. Estes são, segundo Dreyfus
(1991), necessários para a transição do pensamento matemático elementar para o avançado
e, de certa forma, a caracterizam. Podemos considerá-los como indícios da transição.
171
É possível identificar a presença desses processos nos Três Mundos da
Matemática. Pode-se dizer que o primeiro deles, o de representar, aparece com diferentes
enfoques em todos os três mundos. No mundo corporificado buscamos “dar corpo” aos
objetos matemáticos e para tanto construímos representações desses objetos. Na
corporificação se fazem presentes os processos de representar, visualizar, classificar e
conjecturar. Com base em experiências corporificadas podemos buscar estabelecer relações
entre diferentes representações, construindo representações simbólicas e mentais dos
objetos matemáticos, que se mostram presentes no mundo simbólico. Encontramos aí
processos como os de sistematizar e analisar. As variadas representações e a troca flexível
entre elas podem favorecer a percepção de propriedades e relações entre os objetos
matemáticos levando à construção de estruturas mentais e decorrente abstração,
caracterizando assim o pensamento matemático avançado. Alcançar o pensamento
matemático avançado está, no nosso entendimento, próximo ao que Tall (2007) caracteriza
com alto desenvolvimento cognitivo da argumentação, chegando ao mundo formal.
Identificamos neste mundo e também na sua intersecção com o mundo corporificado e
simbólico (que chamamos de base do mundo formal) os processos de generalização e
sintetização, que Dreyfus (1991) aponta como pré-requisitos para a abstração.
Pelo exposto são visíveis as relações entre os dois quadros teóricos e,
consequentemente, as intersecções entre os dois eixos considerados na análise. Nos dados
apresentados, muitas vezes encontramos respostas de alunos que são representativas de
aspectos de ambos os eixos considerados. Percebemos também que os dados que dão
indícios da transição entre os mundos também dão indícios da transição entre o
pensamento matemático elementar e o avançado, o que nos leva a crer que a transição entre
os Três Mundos da Matemática favoreceu a transição do pensamento matemático
elementar para o avançado.
173
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Esta pesquisa está inserida no grande campo de pesquisas sobre as dificuldades de
ensino e aprendizagem do Cálculo. O interesse por esse assunto se deu por nossas
inquietações como discente e docente, mais especificamente, o interesse surgiu das nossas
dúvidas sobre o ensino e a aprendizagem de convergência de sequências e séries
numéricas.
Buscamos mostrar, no capítulo 1, a importância das sequências e das séries
numéricas no desenvolvimento do Cálculo e também a importância do Cálculo nos cursos
de graduação, as dificuldades encontradas no seu ensino e aprendizagem, bem como
algumas propostas de aprimoramento desses processos.
Interessadas em tornar os alunos agentes no processo de aprendizagem da
convergência de sequências e séries, buscamos referenciais que nos apoiassem na
construção de uma proposta pedagógica. Deparamo-nos com dois importantes quadros
teóricos: o Pensamento Matemático Avançado e os Três Mundos da Matemática. Nossos
estudos sobre esses dois quadros teóricos foram apresentados no capítulo 2.
Vimos que o Pensamento Matemático Avançado, segundo Dreyfus (1991),
consiste em vários processos de aprendizagem que interagem entre si, como os processos
de representar, visualizar, classificar, conjecturar, analisar, sintetizar, generalizar, abstrair,
entre outros. Também vimos que a distinção entre o pensamento matemático elementar e o
pensamento matemático avançado está na complexidade do conceito matemático e na
forma como ele é tratado.
No quadro teórico dos Três Mundos da Matemática de Tall (2002, 2004, 2007 e
2008), como o próprio nome antecipa, o desenvolvimento cognitivo da Matemática está
dividido em três mundos. O primeiro é o mundo corporificado, que está fundamentado na
percepção e na ação. O segundo mundo é o simbólico, em que as ações e os conceitos são
transformados em símbolos matemáticos sobre os quais podemos agir. O terceiro mundo é
o formal, no qual as teorias são construídas com base em axiomas e definições formais.
Apoiadas nos dois quadros teóricos, desenvolvemos atividades exploratórias com
o objetivo de propiciar ao aluno a corporificação do conceito de convergência e também
proporcionar a passagem pelo mundo simbólico visando a alcançar o que chamamos de
base do mundo formal. A transição entre os três mundos, para nós, também proporcionaria
174
a transição entre o pensamento matemático elementar e o avançado, caso o aluno atingisse
a base do mundo formal.
Retomamos pela última vez a questão de investigação – que contribuições uma
proposta pedagógica baseada na corporificação de conceitos pode trazer para a formação
do conceito de convergência de sequências e séries em uma turma de Cálculo? – que nos
orientou no desenvolvimento da pesquisa, para fazermos algumas considerações a respeito.
A resposta para essa questão de investigação constitui-se em um conjunto de
fatores e ferramentas, que pode contribuir para o ensino e a aprendizagem do conceito de
convergência tanto de sequências quanto de séries.
Uma ferramenta utilizada nesta pesquisa, que influenciou a construção das
atividades e contribuiu significativamente para a corporificação dos conceitos e para a
exploração dos mesmos a partir de diferentes representações, foi o software GeoGebra.
Entendemos que os recursos do software GeoGebra utilizados nas atividades
tiveram influência decisiva no processo de corporificação do conceito de convergência e
nos processos de visualização que contribuíram para a formação desse conceito. Esse
software possibilitou aos alunos a visualização da sequência como gráfico de uma função
de domínio discreto, como conjunto de pontos sobre uma reta e como sequência de valores
numéricos. Sabemos que os livros didáticos, que tratam dos conceitos de convergência de
sequências e séries numéricas, também mostram as diferentes representações de uma
sequência, mas não é clara a relação existente entre elas. Já o GeoGebra possibilitou
trabalhar com essas três representações de maneira integrada; ou seja, ao fazer a
modificação em uma das representações, essa mesma modificação ocorre simultaneamente
nas demais representações, bem como a visualização de que a sequência como pontos
sobre uma reta é a projeção das imagens dos pontos da sequência como uma função
discreta sobre um eixo.
Além da integração entre as diferentes representações, o GeoGebra também
possibilitou a exploração do conceito do ponto de vista dinâmico, da sequência em
construção. Os recursos do software possibilitaram aos alunos manipular, experimentar e
formular conjecturas sobre o comportamento das sequências e das somas parciais de uma
série. Essas conjecturas eram verificadas pelo aluno ao aumentar a quantidade de termos da
sequência, redefinindo o valor máximo do controle deslizante. Quando essa prova não
ficava clara para algum dos alunos ou quando havia dúvidas sobre as conjecturas, iniciava-
se uma discussão entre os alunos que formavam a dupla, de forma que cada um
desenvolvia melhor sua argumentação para convencer o outro a respeito do que havia
175
observado. No capítulo 5 temos alguns exemplos de fatos como esses, mas o que mais nos
chamou a atenção foi a discussão entre os alunos A05 e A12 sobre a convergência da
sequência de termo geral n
an
5= , em que o aluno A05 tentava convencer a aluna A12 de
que a sequência nunca poderia assumir o valor nulo. Para mostrar que sua argumentação
era verdadeira, primeiramente o aluno aumentou o número de termos da sequência; em
seguida, aumentou o número de casas decimais e alargou a coluna em que os valores
estavam apresentados para que a aluna A12 pudesse ver que os termos apresentados na
planilha do GeoGebra eram diferentes de zero. Por fim, para chegarem a uma resposta,
esses alunos observaram na forma algébrica que nenhum termo da sequência poderia ser
igual a zero, pois o numerador era sempre diferente de zero, chegando à conclusão de que a
sequência tendia a zero.
Os resultados apresentados pelo GeoGebra permitiram aos alunos analisar e
discutir os valores que os termos da sequência podem, ou não, assumir, como vimos
anteriormente. Outro exemplo que nos chamou a atenção foi o desenvolvimento do
raciocínio da aluna A11 sobre a convergência da sequência nn
n
na
2)1(
21+
−= . Nesse evento, a
aluna não concordava com o GeoGebra quando era mostrado que, a partir de um
determinado valor, a sequência se tornava constante e igual a zero. A aluna, então,
procurou outros meios de calcular os termos da sequência. Inicialmente, fez a conta no
papel e depois utilizou o software Excel. Depois que ela aumentou a quantidade de casas
decimais e alargou a coluna que apresentava os valores numéricos, percebeu que a
sequência nunca teria valor nulo e analisou se esse fato era verdadeiro ao discutir os
valores que a equação algébrica poderia assumir. Ao final da disciplina a aluna declarou
que, se não tivesse feito as atividades e visto os pontos da sequência e os valores
numéricos se aproximarem de um determinado valor, não entenderia o significado de
convergência. Para ela, esse entendimento não seria fácil caso fosse utilizado um gráfico
estático como exemplo em sala de aula.
Portanto, as ferramentas do GeoGebra, como o controle deslizante, o rastro, a
possiblidade de aumentar a quantidade de casas decimais e a integração entre a janela de
visualização gráfica e a planilha, tiveram destaque na corporificação dos conceitos de
convergência. Os valores do controle deslizante, que assumiam os valores das posições dos
termos da sequência, trouxeram o dinamismo para as atividades e permitiram que os alunos
criassem a sequência termo a termo, tanto na forma gráfica (pelos rastros deixados pelos
176
pontos cujo valor da ordenada era igual ao termo da sequência) quanto na forma numérica
(pelos valores assumidos pelo rastro e transportados para a planilha).
Acreditamos que, da forma como as atividades foram concebidas e posteriormente
desenvolvidas pelos alunos, explorando os conceitos matemáticos por meio dos recursos
do GeoGebra, foi possível a criação de um micromundo em que foram manipulados
exemplos e não-exemplos relacionados à convergência de sequências e de séries,
estabelecendo-se assim esse ambiente como um organizador genérico.
Os dados analisados apontam que as atividades, construídas buscando a
corporificação dos conceitos, exigiram uma postura mais ativa dos alunos, contribuindo
para que se tornassem agentes do processo de desenvolvimento cognitivo da Matemática,
estimulando a observação e ação sobre o observado, possibilitando a visualização e a
construção de imagens mentais dos conceitos, permitindo a formação do conceito de
convergência. Os dados nos levam a crer que, grande parte dos alunos, com suas
experiências de pensamento, formou a imagem mental de que a convergência de uma
sequência ocorre quando os termos da sequência se tornam cada vez mais próximos de um
valor, tendo assim corporificado o conceito de convergência e estabelecido uma raiz
cognitiva para definição formal da convergência pelo limite e posterior desenvolvimento
teórico.
Os dados nos levam a inferir que a proposta também contribuiu para uma
transição mais tranquila entre os mundos corporificado e simbólico, pois, ao serem
instigados a responder questões cada vez mais elaboradas, os alunos tiveram que expressar
sua compreensão dos aspectos trabalhados utilizando algum tipo de linguagem e também
desenvolveram a argumentação. Entendemos que a transição foi facilitada, pois a
corporificação possível por meio da ação sobre o observado facilitou a compreensão e fez
com que os alunos tivessem mais convicção de suas conclusões. Além disso, após a
realização das atividades, a professora pôde utilizar as respostas dos alunos para chegar à
sistematização do conteúdo, mostrando a ligação entre o que foi corporificado e, em sua
escrita formal, levando a uma melhor compreensão do significado do resultado do cálculo
do limite.
Na convergência de séries, acreditamos que a atividade tornou mais
compreensível o entendimento da convergência da série por meio da convergência da
sequência das somas parciais. No entanto, também acreditamos que mais alunos
alcançariam à base do mundo formal, como a aluna A20, se fossem feitas algumas
modificações nas atividades acrescentando mais exemplos e questões que levassem a
177
discussões sobre a convergência das séries tanto no que diz respeito à convergência da
sequência do termo geral, como da condição da sequência de termo geral tender a zero.
Como já discutimos no capítulo 5, os dados evidenciam que grande parte dos
alunos corporificou os conceitos de convergência de sequências e séries numéricas.
Também é apontado que a maioria dos alunos alcançou o mundo simbólico, uma vez que
foram capazes de analisar o resultado final do cálculo do limite do termo geral da
sequência e concluir se a mesma era convergente ou não, e inferir, no caso da série, se a
série era divergente ou se ela poderia ser convergente pelo resultado do cálculo do limite
do termo geral. Acreditamos que apenas a aluna A20 chegou à base do mundo formal e
que os demais poderiam ter chegado com mais discussões durante a realização tanto das
atividades de sequências quanto da atividade de séries. A título de exemplo lembramos o
caso dos alunos A15 e A25 que discutiram sobre a convergência da sequência n
an
5=
considerando que ao aumentar o valor de n os termos consecutivos da sequência tornavam-
se cada vez mais próximos. Entendemos que esses dois alunos perceberam uma
característica das sequencias convergentes embora tenham tomado como base apenas um
caso particular. No entanto se tivessem observado de maneira geral que nas sequências
convergentes a distância entre os termos consecutivos tende a zero, eles estariam na base
do mundo formal, pois teriam deduzido uma propriedade com base em experiências
corporificadas e simbólicas. É possível estimular isso com atividades semelhantes para
outras sequências convergentes e divergentes. Consideramos que o conceito corporificado
das distâncias entre termos, diminuindo à medida que se aumenta o número de termos das
sequencias convergentes, é uma raiz cognitiva para desenvolvimento teórico do critério de
Cauchy.
Observamos ainda que a dificuldade em um processo intermediário pode
atrapalhar o processo de aprendizagem como um todo. Esse foi o caso de analisar a
convergência de sequência por meio do cálculo do limite do termo geral. Como dissemos
anteriormente, os dados nos levam a crer que o conceito de convergência foi corporificado,
porém, quase todos os alunos apresentaram erros procedimentais ao efetuarem o cálculo do
limite. Isso pode resultar na dificuldade dos alunos para alcançarem o mundo simbólico.
Por outro lado, no caso da convergência de séries, é comum, em aulas ditas tradicionais, o
aluno aplicar um teste de convergência, mas não saber interpretar o resultado final e
concluir sobre a convergência da série. Isso pode ser interpretado como uma falta de
compreensão do aluno sobre o significado do critério em si. Ele não faz relação entre o
178
conceito de convergência da série e o procedimento utilizado para verificar a convergência.
Entendemos que nesses casos, o processo foi precipitado, não decorrendo de modo natural
de um conceito corporificado.
No caso de nossa pesquisa, por questões relativas ao cronograma da escola, não
tivemos tempo de trabalhar a corporificação de convergência da série fazendo a relação
com os critérios de convergência; ou seja, não exploramos o significado de cada critério
por meio de atividades visando à corporificação ou mesmo à associação de diferentes
visualizações, buscando a relação entre elas. No entanto, acreditamos que isso seja possível
de ser feito, o que contribuiria para a transição do pensamento matemático elementar para
o avançado e também para o alcance da base do mundo formal, no que diz respeito à
convergência de séries. Apontamos esse trabalho com os critérios de convergência de
séries, buscando a corporificação dos conceitos envolvidos ou mesmo o desenvolvimento
de provas que explicam e sua relação com as provas formais, como possibilidades de
futuras pesquisas utilizando os mesmos referenciais teóricos.
Vale ressaltar que as conclusões que apresentamos nesta dissertação estão
baseadas em observações feitas em um curto espaço de tempo. Só seria possível analisar
profundamente o efeito das atividades na aprendizagem dos alunos se fosse feito um
acompanhamento de todo o processo de aprendizagem durante os anos de formação no
curso de graduação.
Os estudos dos referenciais teóricos e a experiência do desenvolvimento das
atividades nos possibilitaram determinar o que de fato consideramos como o desejável para
ser desenvolvido nos cursos de Cálculo. Assim como Tall (1991, 2002) acreditamos que
um curso de Cálculo não precisa ter como objetivo o tratamento formal, característico da
última fase do desenvolvimento cognitivo, devendo esse tratamento ser feito na Análise.
Não se trata de simplesmente desconsiderar as definições formais e as provas de
resultados. Trata-se de proporcionar aos estudantes experiências corporificadas e
simbólicas em ambientes nos quais seja possível estabelecer raízes cognitivas e iniciar um
processo de expansão cognitiva fundamentado em bases sólidas, propícias para
desenvolvimentos teóricos posteriores. Ressaltamos o caráter processual dessa expansão.
Assim, não interessa apenas o final do processo. Mesmo o aluno que não chega ao final (no
mundo formal ou no pensamento matemático avançado) pode já estar nesse processo e
temos fortes indícios de que isso aconteceu com grande parte dos alunos participantes
desta pesquisa.
179
Com nossas atividades acreditamos ter propiciado aos alunos experiências
corporificadas e simbólicas relativas à convergência de sequências e de séries. Entendemos
que os conceitos corporificados dos pontos das sequências convergentes se tornarem mais
próximos à medida que aumentamos os números de termos, assim como a ideia dos pontos
se aproximarem de um valor fixo, contêm sementes da expansão cognitiva que se espera
ser realizada em um curso de Análise.
Acreditamos também ter propiciado aos alunos experiências, não só aquelas em
que a convergência era de fácil conclusão, como também situações nas quais a primeira
percepção que o aluno tem pode gerar dúvidas ou levar a resultados não corretos,
necessitando de outros meios e processos para chegar a uma conclusão final. Com isso
esperamos ter valorizado a necessidade da argumentação e da prova. Note que, se o mundo
corporificado é o mundo do significado sensorial, no qual o “fundamento de verdade é que
as coisas se comportam previsivelmente, de uma maneira esperada” (Tall, 2002, p10),
nesse mundo a intuição é fundamental. Porém para que as experiências corporificadas
possam fundamentar expansões cognitivas é preciso estabelecer raízes cognitivas, que
efetivamente se estabelecem quando vamos além das primeiras aparências, examinando
exemplos e contraexemplos, desestabilizando aparentes certezas. Temos que ir muitas
vezes além das primeiras impressões, além da intuição inicial, com vistas a estudos mais
rigorosos. Nessa linha vemos também possibilidades de pesquisas futuras relativas às
conexões entre o quadro teórico dos Três Mundos da Matemática e as pesquisas relativas à
intuição e ao rigor na Matemática Superior.
Esperamos que o nosso estudo possa contribuir, não só para a comunidade de
pesquisadores em Educação Matemática, mas, também, para professores de Matemática,
tanto pela leitura deste trabalho, quanto pela leitura do produto educacional intitulado
“Estudo da convergência de sequências e séries numéricas no Cálculo: uma proposta
utilizando o software GeoGebra”, disponível em http://www.ppgedmat.ufop.br. O produto
educacional trata-se de um livreto que compõe a coleção Cadernos de Ensino e Pesquisa
em Educação Matemática organizado pelo programa de Mestrado Profissional em
Educação Matemática da UFOP. No produto educacional, encontram-se: um recorte do
quadro teórico dos Três Mundos da Matemática, uma breve explicação da escolha e de
algumas ferramentas do software GeoGebra, e várias das atividades desenvolvidas nesta
pesquisa, considerando algumas alterações sugeridas ao longo deste trabalho. As atividades
colocadas têm por objetivo subsidiar o desenvolvimento dos conteúdos de convergência de
sequências e séries nas aulas de Cálculo. Não consideramos que as atividades constituam
180
uma “receita” para as aulas de sequências e séries, mas, sim, uma possibilidade
apresentada a professores que desejam trabalhar tais conteúdos de maneira diferente da
tradicional, caso assim decidam.
181
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187
APÊNDICE
APÊNDICE A – ATIVIDADE INTRODUTÓRIA
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191
APÊNDICE B – ATIVIDADES EXPLORATÓRIAS
INSTITUTO FEDERAL Cálculo II
Professora: Daila S. S. de M. Fonseca
Nome: ___________________________________________________________________
SEQUÊNCIAS
Atividade 01: Para cada uma das sequências abaixo, encontre os três termos seguintes aos
que estão indicados:
a)
,...,,,,5
5,
4
5,
3
5,
2
5,
1
5
b) {1, 4, 9, 16, 25, , , ,...}
c)
,...,,,,6
5,
5
4,
4
3,
3
2,
2
1
Atividade 02: Determine o termo geral an de cada uma das sequências anteriores.
Atividade 03: Liste os cinco primeiros termos de cada uma das sequências, cujos termos
gerais são dados a seguir:
a) ��� ��� !
b) �� = (−2)�%�
c) �� = ��&���%�
192
INSTITUTO FEDERAL Cálculo II
Professora: Daila S. S. de M. Fonseca
Nome: ___________________________________________________________________
Atividade 04: Considere a sequência de termo geral '( = )(
Vamos explorar diferentes formas de representação dos valores dos termos dessa
sequência, com os recursos do Geogebra.
4.1 Considerando que a sequencia pode ser definida como uma função de domínio natural,
vamos representar no plano os pontos P = (n, 5/n). Da forma como definimos P, o valor da
primeira coordenada do ponto P representa a posição n do termo da sequência e o valor da
segunda coordenada do ponto P representa o valor numérico do termo de posição n da
sequência.
• Mova o plano(1) da Janela de Visualização de forma que o eixo vertical dos y’s
fique próximo da divisória entre a Janela de Álgebra e a Janela de Visualização e o
eixo dos x’s fique o mais baixo possível.
• Mude o sistema para 5 Casas Decimais(2).
• Peça para exibir Malha(3) e Planilha(4). Ajuste a Planilha para que apareçam as
colunas A e B.
• Crie um Controle Deslizante(5) e ajuste suas configuração para que tenha o nome n,
e esteja definido no intervalo de 1 até 12 e incremento 1.
• Entre com o ponto P = (n, 5/n)(6) e peça para Habilitar Rastro(7) e Gravar(8) para a
Planilha de Cálculos.
Para observar os valores assumidos por na , vamos variar n.
• Na Janela Algébrica, clique no valor de n de forma que ele fique selecionado.
• Varie o valor de n utilizando a seta do teclado e observe a distribuição do rastro
do ponto P no plano. Observe na coluna B da planilha o que acontece com o valor
numérico do termo nan
5= quando variamos a posição n.
4.1 a) O que está acontecendo com os valores numéricos dos termos da sequência?
193
• Aumente a quantidade de rastro deixada pelo ponto P. Para isso troque o valor
máximo(9) do Controle Deslizante.
• Caso deseje, diminua a escala do eixo dos x’s(10).
• Continue a variar o valor de n utilizando a seta do teclado.
4.1 b) O que acontece com a posição do ponto P no plano cartesiano? E com os
valores de nan
5= representados na coluna B da planilha?
4.1 c) É possível prever o que acontecerá com o valor do termo na da sequência
quando o n (posição do termo) for muito grande? Explique.
4.2 Uma outra forma de visualização é a representação dos valores dos termos da
sequência em uma reta. Para isso vamos criar o ponto Q = (0, 5/n).
• Volte com o valor do Controle Deslizante para n = 1.
• Selecione todos os valores que estão na tabela e apague-os. Mande Reinicializar
Coluna(11).
• Ajuste a planilha para que seja possível visualizar da coluna A até a coluna D.
• Entre com o ponto Q = (0, 5/n). Habilite seu rastro e selecione a opção Gravar
para a Planilha de Cálculos.
• Para melhor visualização, diminua a espessura(12) e mude a cor(12) do ponto Q.
• Varie o valor de n utilizando a seta do teclado. Pare quando atingir o valor de n =
10.
4.2 a)Você percebe alguma relação entre os pontos P e Q? Explique.
• Continue a movimentar o Controle Deslizante.
4.2 b) O que está acontecendo com a posição do ponto Q no eixo vertical?
194
4.2 c) Com base em suas observações e respostas nos itens 4.1 e 4.2, o que você
pode dizer sobre os valores numéricos dos termos dessa sequência? O que
acontece com o valor de na quando n assume valores cada vez maiores?
• Grave o arquivo.
195
INSTITUTO FEDERAL Cálculo II
Professora: Daila S. S. de M. Fonseca
Nome: ___________________________________________________________________
Atividade 05: Considere a sequência de termo geral 2nan =
Explore o comportamento dessa sequência usando o GeoGebra. Sugestão: abra um novo
arquivo e utilize os recursos indicados na atividade 04, crie o ponto P(n, na ), Q(0, na ) e
uma planilha em que possam ser observados os valores numéricos de na .
O que você pode dizer sobre os valores numéricos dos termos dessa sequência? O que
acontece com o valor de na quando n assume valores cada vez maiores?
• Grave o arquivo.
196
INSTITUTO FEDERAL Cálculo II
Professora: Daila S. S. de M. Fonseca
Nome: ___________________________________________________________________
Atividade 06: Considere a sequência de termo geral 1+
=n
nan
Explore o comportamento dessa sequência usando o GeoGebra. Sugestão: Abra um novo
arquivo e utilize os recursos indicados na atividade 04, crie o ponto P(n, na ), Q(0, na ) e
uma planilha em que possam ser observados os valores numéricos de na .
O que você pode dizer sobre os valores numéricos dos termos dessa sequência? O que
acontece com o valor de na quando n assume valores cada vez maiores?
• Grave o arquivo.
197
INSTITUTO FEDERAL Cálculo II
Professora: Daila S. S. de M. Fonseca
Nome: ___________________________________________________________________
Atividade 07: Considere a sequência de termo geral nn
n
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−=
Explore o comportamento dessa sequência usando o GeoGebra. Sugestão: abra um novo
arquivo e utilize os recursos indicados na atividade 04, crie o ponto P(n, na ), Q(0, na ) e
uma planilha em que possam ser observados os valores numéricos de na .
O que você pode dizer sobre os valores numéricos dos termos dessa sequência? O que
acontece com o valor de na quando n assume valores cada vez maiores?
• Grave o arquivo.
198
INSTITUTO FEDERAL Cálculo II
Professora: Daila S. S. de M. Fonseca
Nome: ___________________________________________________________________
Atividade 08: Vamos explorar o que acontece com a distância entre dois pontos
consecutivos de uma determinada sequência, quando a posição do termo aumenta. A
distância entre dois pontos pode ser medida através do cálculo do módulo da diferença
entre os valores numéricos correspondentes. Por exemplo: a distância entre os pontos 1 e 4
é 3, pois 341 =− .
Para essa exploração vamos usar os recursos do Geogebra. Sugerimos a construção um
Controle Deslizante(5) e a construção de uma planilha.
8.1 Considere a sequência de termo geral 1+
=n
nan .
• Em um novo arquivo, construa o ponto(6) Q=(0, n/(n+1))
• Habilite o rastro(7) de Q, faça n variar , e grave para a planilha de cálculos(8).
8.1 a) O que está acontecendo com os valores dos temos da sequência quando n
aumenta?
8.1 b) O que está acontecendo com a distância entre dois pontos consecutivos da
sequência?
• Podemos saber a medida da distância entre dois pontos consecutivos da sequência,
através do valor absoluto da diferença entre os valores numéricos de posição n e
n+1 (|an+1 – an|). Isso pode ser feito através do comando abs na planilha. Por
exemplo, na célula que pertence a linha 3 e coluna C, digite =(abs(B3 – B2)). Faça
o mesmo em todas as linhas (instruções de como fazer mais rápido no fim da
atividade).
199
8.1 c) O que está acontecendo com o valor absoluto da diferença entre os valores
numéricos de dois termos consecutivos da sequência (indicados na coluna C)?
8.2 Considere a sequência de termo geral n
an
n 3
2=
• Em um novo arquivo, construa o ponto(6) Q=(0, (2^n)/(3*n))
• Habilite o rastro(7) de Q, faça n variar , e grave para a planilha de cálculos(8).
8.2 a) O que está acontecendo com os valores dos temos da sequência quando n
aumenta?
8.2 b) O que está acontecendo com a distância entre dois pontos consecutivos da
sequência?
• Indique na planilha a distância entre dois pontos consecutivos da sequência (valor
absoluto da diferença entre dois valores numéricos consecutivos)
8.2 c) O que está acontecendo com o valor absoluto da diferença entre os valores
numéricos de dois termos consecutivos da sequência?
8.3 Considere a sequência de termo geral 1
)1( 1
+−=
+
n
na n
n .
• Em um novo arquivo, construa o ponto(6) Q=(0, (–1)^(n+1)*n/(n+1)).
• Habilite o rastro(7) de Q, faça n variar , e grave para a planilha de cálculos(8).
8.3 a) O que está acontecendo com os valores dos temos da sequência quando n
aumenta?
200
8.3 b) O que está acontecendo com a distância entre dois pontos consecutivos da
sequência?
• Indique na planilha a distância entre dois pontos consecutivos da sequência (valor
absoluto da diferença entre dois valores numéricos consecutivos)
8.3 c) O que está acontecendo com o valor absoluto da diferença entre os valores
numéricos de dois termos consecutivos da sequência?
Observação: Como aplicar uma equação a várias células da planilha de maneira mais
rápida.
1) Clique na célula que você entrou com a equação para que ela fique selecionada.
2) Clique no canto direito inferior da célula, segure e arraste para as células restantes.
201
INSTITUTO FEDERAL Cálculo II
Professora: Daila S. S. de M. Fonseca
Nome: ___________________________________________________________________
SÉRIES Vamos explorar o que acontece com algumas séries. Para essa exploração vamos usar os recursos do Geogebra. Inicie habilitando a planilha, fechando a janela algébrica e passando o arredondamento para 15 casas decimais. Na célula A1 digite 1. Na célula A2 digite =A1+1. Selecione a célula A2 e arraste até a célula A30. Com isso criamos o valores de n de 1 até 30. Criaremos cada termo da série na coluna B.
Sendo assim, vamos iniciar analisando a série ∑ −12
1n
.
Na célula B1, digite =1/(2^(A1-1)). Selecione a célula B1e arraste até a célula B30. Na coluna C, criaremos as somas parciais. Na célula C1, temos a primeira soma parcial s1=a1, para isso digite C1=B1. Na célula C2, teremos a soma parcial dos dois primeiros termos, ou seja, s2 =s1+a2. Para isso digite C2=C1+B2. Para encontrar as demais somas parciais, selecione a célula C2 e arraste.
1) Analisando a planilha, o que está acontecendo com o termo geral an? O que está acontecendo com os valores sn das somas parciais?
Vamos criar dois gráficos de pontos. Sendo um definido pelo termo an da série na posição n e o outro definido pelo valor sn da soma parcial na posição n. Para isso digite na célula D1, (A1, B1) e na célula E1 digite (A1,C1). Troque as cores de cada célula (clique com o botão direto sobre cada uma, selecione propriedades e depois cores). Selecione as células D1 e E1 e arraste.
2) Observando os gráficos, o que acontece com o termo geral an e com os valores sn das somas parciais? Isso é coerente com o que você havia concluído na questão 1?
202
3) Vamos fazer agora um estudo semelhante para outras séries. Em cada item responda o que acontece com o termo geral an e com os valores sn das somas parciais (para fazer esse estudo basta trocar a equação da coluna B).
a) ∑+2
2 1
n
n
b) ∑+ )1(
1
nn
c) ∑
+
n
n 1
1
d) ∑ +−
21 1
)1(n
n
e) ∑n
1
203
APÊNDICE C – MINIMANUAL DE GEOGEBRA
INSTITUTO FEDERAL
Cálculo II Professora: Daila S. S. de M. Fonseca
MINI MANUAL DE GEOGEBRA
(1) Movendo o plano da Janela de Visualização
Clique no botão , depois, na tela branca, clique, segure e arraste.
(2) Mudando as Casas Decimais
Na barra de ferramentas clique em Opções, em seguida em Arredondamento e escolha
as Casas Decimais desejadas.
(3) Exibindo Malha
Na barra de ferramentas clique em Exibir e em seguida em Malha.
(4) Exibindo Planilha
Na barra de ferramentas clique em Exibir e em seguida em Planilha.
(5) Criando um Controle Deslizante
Clique no botão e depois clique na tela branca. Ajuste as informações conforme
o desejado. Feche a caixa.
Observação: sempre antes de clicar no seletor para movimentá-lo, clique no botão
.
(6) Entrando com um ponto
Na caixa de Entrada , na parte inferior da tela, digite as
coordenadas do ponto desejado. Por exemplo, A=(1,2), nos dará o ponto A(1,2).
(7) Habilitando Rastro
Clique com o botão direito no ponto desejado e selecione Habilitar Rastro.
204
(8) Gravando para a Planilha de Cálculos
Clique com o botão direito no ponto desejado e selecione Gravar para a Planilha de
Cálculos.
(9) Alterando as propriedades do Controle Deslizante
Clique com o botão direito no valor do Controle Deslizante na Janela Algébrica e
selecione Propriedades.
Dentro de Propriedades, na aba Controle Deslizante, modifique o que for desejado.
Em seguida mande fechar.
(10) Modificando a escala de um eixo
Clique no botão , depois vá até a marcação de um número, em um dos eixos que
deseja modificar, clique, segure e arraste.
Se desejar voltar a visualizar a tela como estava inicialmente, clique com o botão
direito em qualquer branca da Janela de Visualização e selecione Visualização
Padrão.
(11) Reinicializando Coluna
Sempre que desejar que os dados voltem a ser exibidos a partir da primeira linha da
planilha será necessário marcar, ou desmarcar, a opção Reinicializar Coluna.
Para isso clique em , na planilha. Na caixa que irá abrir, passe para a janela de
Opções e marque ou desmarque Reinicializar Coluna. Em seguida feixe a caixa.
Caso precise fazer isso com mais de um ponto, quando a caixa estiver aberta, selecione
um ponto de cada vez e marque ou desmarque Reinicializar Coluna. Só depois feixe a
caixa.
(12) Alterando as propriedades de um Ponto
Clique com o botão direito no Ponto desejado e selecione Propriedades.
Dentro de Propriedades, na aba Estilo, modifique a espessura do ponto. Na aba Cor,
troque a cor do ponto por uma cor mais vibrante.
Em seguida mande fechar.
205
APÊNDICE D – PROVA SOBRE SEQUÊNCIAS
1ª PROVA DE CÁLCULO II
Professora: Daila Silva Seabra de Moura Fonseca Valor: 30 pts.
Aluno (a): NOTA
Curso: Engenharia de Produção Turno: Noturno Data: 06/11/2011
QUESTÃO 01 (02 pontos): Considere o ponto P (r, θ) dado em coordenada polar. O que representam r e θ?
QUESTÃO 02 (03 pontos): Considere os pontos P (2, –2) e Q (–1, 3 ): a) Encontre as coordenadas polares, onde r > 0 e 0 ≤ θ ≤ 2π. b) Encontre as coordenadas polares, onde r < 0 e 0 ≤ θ ≤ 2π.
QUESTÃO 03 (08 pontos): Considere as curvas r1 = 3cos(θ) e r2 = 2 – cos(θ):
a) Construa o gráfico das curvas em um mesmo eixo polar. Marque a área contida entre elas. b) Determine a área contida entre as duas curvas. c) Escreva, mas não calcule, a equação para do comprimento de cada uma das curvas. d) Passe as duas equações de polar para cartesiano.
QUESTÃO 04 (03 pontos): O que é uma sequência? QUESTÃO 05 (02 pontos): O que significa dizer que para cada ε > 0, existe um inteiro
correspondente N tal que se n > N então ε<−+
113
3
n
n?
QUESTÃO 06 (12 pontos): Considere as sequências
2
253
nn
nan
+
+=
12 2
3
+=
n
nbn
1)1(
2+
−=n
nc n
n
Para cada sequência determine:
a) os cinco primeiro termos da sequência. b) se a sequência é crescente, decrescente ou não monótona. Justifique. c) se a sequência é limitada. Justifique. d) se a sequência converge ou diverge e justifique. Se ela convergir, encontre o valor para o
qual ela converge.
Instruções (exemplo): • Leia atentamente as questões. A interpretação das questões faz parte da prova. • É permitido o uso de calculadora. • Explicite TODAS as etapas de seu raciocínio para que seja possível avaliar tudo o que você sabe
sobre o assunto. • A prova deve ser feita a lápis, mas o resultado final deverá ser a caneta.
206
APÊNDICE E – PROVA SOBRE SÉRIES
2ª PROVA DE CÁLCULO II
Professora: Daila Silva Seabra de Moura Fonseca Valor: 30 pts.
Aluno (a): NOTA
Curso: Engenharia de Produção Turno: Noturno Data: 10/02/2012
QUESTÃO 01 (02 pontos): Responda: a) O que é uma série? b) O que é uma série convergente? O que é uma série divergente?
QUESTÃO 02 (04 pontos): Seja 13
2
+=
n
nan .
a) Determine se }{ na é convergente.
b) Determine se ∑∞
=1nna é convergente.
Questão 03 (04 pontos): Classifique as sentenças a seguir como verdadeira ou falsa. Justifique.
a) ( ) Dada a série ∑∞
=1nna , se 0lim =
∞→n
na então a série é convergente.
b) ( ) Considerando a série ∑∞
=1nna e )(nfan = , para que o teste da integral seja conclusivo é
necessário que f seja uma função contínua, positiva e decrescente em [1, ∞). Questão 04 (10 pontos): Calcule as somas das séries:
a) ∑∞
=
−
1 6
13
nn
n
b) ∑∞
= +−1 )12)(12(
6
n nn
Questão 05 (10 pontos): Determine se as séries convergem ou divergem:
a) ∑∞
= +12
2
45n n
n
b) ∑∞
=
+−
1
1
2)1(
nn
n n
c) ∑∞
=+
+1124)1(
10
nn
n
n
Instruções (exemplo): • Leia atentamente as questões. A interpretação das questões faz parte da prova. • É permitido o uso de calculadora. • Explicite TODAS as etapas de seu raciocínio para que seja possível avaliar tudo o que você sabe
sobre o assunto. • A prova deve ser feita a lápis, mas o resultado final deverá ser a caneta.
207
APÊNDICE F – TRABALHO SOBRE SÉRIES
INSTITUTO FEDERAL Cálculo II
Professora: Daila S. S. de M. Fonseca
TRABALHO EM GRUPO
Este é um trabalho sobre Séries que tem por objetivo estudar parte do assunto que não foi
possível de ser estudado em sala de aula.
- Trabalho para ser realizado em grupo de quatro ou cinco pessoas.
- O trabalho deverá ser entregue, impreterivelmente, no dia 23 de janeiro de 2012.
- Esse trabalho valerá 10 pontos extras.
- Os assuntos abordados estão no livro: STEWART, James. Cálculo. Vol 2, 6ª ed. São
Paulo: Cengage Learning, 2010.
PARA CADA UM DOS ITENS ABAIXO FAÇA:
• Estude o assunto abordado, faça um resumo da matéria estudada e escreva seu
entendimento.
• Resolva os exercícios selecionados.
1) (1 ponto) Estimando a soma de uma série (páginas 664 a 666). Exercícios 32 ao 37
(página 668).
2) (1 ponto) Teste da Comparação (páginas 668 a 672). Exercícios 1, 2, 3, 11 e 35
(página 672).
3) (1 ponto) Estimativa de soma (página 676). Exercícios 1, 21, 23, 25 e 27 (página
677).
4) (1 ponto) Estratégia para testar as séries (páginas 684 e 685). Exercícios 2, 4, 8, 13
e 21 (página 686).
5) (1 pontos) Séries de Potência (páginas 687 a 691). Exercícios 1, 2, 3, 5 e 7 (página
691).
6) (1 pontos) Representações de funções como séries de potências (páginas 692 a
696). Exercícios 3, 5, 11 e 13 (página 697).
208
7) (1 pontos) Série de Taylor e de MacLaurin (páginas 698 a 708). Exercícios 1, 3, 7,
13 e 15 (página 709).
8) (3 pontos) Parte prática de Séries de Taylor. Siga as instruções das páginas
seguintes.
TRABALHO PRÁTICO DE SÉRIE DE TAYLOR57
Neste trabalho prático iremos analisar em que condições é possível utilizar o polinômio de
Taylor para aproximar funções.
Antes de iniciar a análise siga os passos:
1) Instale o programa GeoGebra 4.0 em um computador. Disponível em:
http://www.geogebra.org/cms/pt_BR/installers
2) Crie um valor do centro (a). Inicialmente digite a = 0.
3) Crie um Controle Deslizante para ser o possível valor do grau do polinômio (n).
Para isso coloque as configurações com nome n e que esteja definido no intervalo
de 0 a 10 com incremento 1.
4) Troque o Arredondamento para 10 casas decimais.
Observação: Para cada passo escreva o resultado encontrado. Salve o arquivo do
GeoGebra e envie para o meu e-mail.
Atividade 01: Série de Taylor em torno do ponto zero.
1) Insira a função f(x) = cos(x). Troque a cor do gráfico.
2) Crie o polinômio de Taylor utilizando a função pré-definida PolinômioDeTaylor[
<Função>, <Centro>, <Ordem> ]. Troque por PolinômioDeTaylor[f(x), a, n].
Troque a cor do gráfico gerado.
3) Escreva a expansão em série de Taylor da função y=cos(x), em torno do ponto zero,
considerando os termos até ordem 4.
57 Este trabalho prático é uma adaptação de exercícios elaborados por Regina Helena de Oliveira Lino Franchi, discutidos em parte no trabalho intitulado “Caracterização de ambientes de aprendizagem de Matemática através da Informática”, que foi apresentado no 3º Colóquio sobre História e Tecnologia no Ensino de Matemática no ano de 2006.
209
4) Utilize a Planilha. Na célula A1 digite valores para x, na célula B1 digite f(x) e na
célula C1 digite g(x).
5) Calcule cos(π/10) usando a função cosseno pré-definida pelo software e também
usando o polinômio de Taylor definido no item 3 (na célula A2 digite pi/10, na
célula B2 digite f(A2) e na célula C2 digite g(A2)). Compare os resultados.
6) Calcule cos(2π/3) usando a função cosseno pré-definida pelo software e também
usando o polinômio de Taylor definido no item 3 (Faça o mesmo que o item
anterior utilizando a terceira linha da planilha). Compare os resultados.
7) Escreva a expansão em série de Taylor da função y=cos(x), em torno do ponto zero,
considerando os termos até ordem 20. Enquanto você varia a ordem para chegar em
20, escreva o que está acontecendo com o gráfico do polinômio de Taylor.
8) Verifique novamente cos(2π/3) usando a função cosseno pré-definida pelo software
e também usando o polinômio de Taylor (com termos até ordem 20) definido no
item anterior. Compare os resultados.
9) Visualize os gráficos da função cosseno e dos polinômios de Taylor obtidos para a
função cosseno com termos até ordem 4 e com termos até ordem 20. Use os
gráficos obtidos para interpretar os resultados numéricos anteriores.
10) Escreva o seu entendimento sobre a utilização de séries de Taylor, em torno do
ponto zero, para aproximação de funções transcendentes.
Atividade 2: Série de Taylor em torno do ponto a.
1) Troque o valor do centro para a = π. E a função f(x) para sem(x).
2) Escreva a expansão em série de Taylor da função y=sen(x), em torno do ponto π,
considerando os termos até ordem 3.
3) Na linha 2 da Planilha, calcule sen(π/10) usando a função seno pré-definida pelo
software e também usando o polinômio de Taylor definido no item anterior.
Compare os resultados.
4) Na linha 2 da Planilha, calcule sen(2π/3) usando a função seno pré-definida pelo
software e também usando o polinômio de Taylor definido no item anterior.
Compare os resultados.
5) Escreva a expansão em série de Taylor da função y=sen(x), em torno do ponto π,
considerando os termos até ordem 19. Enquanto você varia a ordem para chegar em
19, escreva o que está acontecendo com o gráfico do polinômio de Taylor.
210
6) Verifique novamente sen(π/10) usando a função cosseno pré-definida pelo software
e também usando o polinômio de Taylor (com termos até ordem 19) definido no
item anterior. Compare os resultados.
7) Visualize os gráficos da função seno e dos polinômios de Taylor obtidos para a
função seno com termos até ordem 3 e com termos até ordem 19. Use os gráficos
obtidos para interpretar os resultados numéricos anteriores.
Atividade 3: Série de Taylor em torno do ponto a.
1) Calcule a expansão em série de Taylor da função y=ln(x), em torno do ponto 1,
considerando os termos até ordem 3.
2) Calcule ln(0,9) usando a função logaritmo natural pré-definida pelo software e
também usando o polinômio de Taylor definido no item anterior. Compare os
resultados.
3) Calcule ln(30) usando a função logaritmo natural pré-definida pelo software e
também usando o polinômio de Taylor definido no item anterior. Compare os
resultados.
4) Calcule a expansão em série de Taylor da função y=ln(x), em torno do ponto 1,
considerando os termos até ordem 10.
5) Calcule novamente ln(30) usando a função logaritmo natural pré-definida pelo
software e também usando o polinômio de Taylor (com termos até ordem 10)
definido no item anterior. Compare os resultados
6) Visualize os gráficos da função logaritmo natural e dos polinômios de Taylor
obtidos para a função logaritmo natural com termos até ordem 3 e com termos
até ordem 10. Use os gráficos obtidos para interpretar os resultados numéricos
anteriores.
7) Escreva o seu entendimento sobre a utilização de séries de Taylor, em torno de
um ponto genérico a, para aproximação de funções transcendentes.