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Condução de calor
2º. semestre, 2016
Transferência de calor
Parede plana
Cilindro longo
Esfera
Geometrias mais usuais
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2
3
q
=
+
+−
elemento no
contida energia da
variaçãode Taxa
elemento do dentrocalor
de geração de Taxa
x xemcalor de
condução de Taxa
xemcalor de
condução de Taxa
∆
( ) ( ) ( )ttttttttttttelem TTxcATTVcTTmcEEE −=−=−=−= ++++ ∆∆∆∆ ∆ρρ&
Balanço de energia
t
EEqq elem
elem,gerxxx ∆∆
∆ =+− +&
Taxas, em W
Energia/tempo, em W
xgerelemgerelem,ger AeVeE ∆&&& ==
Condução de calor em paredes planas: distribuição de temperatura
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Substituindo na equação do balanço:
( )t
TTcAAeqq txt
xxgerxxx ∆∆ρ∆ ∆
∆−=+− +
+ &
Dividindo tudo por A∆x:
( )t
TTce
Atxt
gerx
xxx
∆ρ
∆∆∆ −=+−− ++ &
1
No limite, quando ∆x → 0 e ∆t → 0 temos que (conceito da derivada):
t
Tce
TkA
A gerxx ∂
∂=+
∂∂
∂∂ ρ&
1
Para uma superfície plana a área A é constante e assim, a eq. de condução de calor transiente e unidimensional fica:
t
Tce
Tk ger
xx ∂∂=+
∂∂
∂∂ ρ&
Condução de calor em paredes planas: distribuição de temperatura
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A condutividade térmica do material, k, depende da temperatura T(portanto de x). Na maior parte das aplicações, pode ser considerada constante (ou no valor médio). Assim, a eq. anterior fica:
t
T
t
T
k
c
k
eT ger
x ∂∂=
∂∂=+
∂∂
αρ 1
2
2 &
onde α é a difusividade térmica do material, que representa o quão rápido o calor se propaga através dele, isso é:
c
k
ρα =
Condução
Armazenamento
Em regime permanente (não há variação da energia interna no elemento) e sem geração de calor, a eq. fica simplificada como:
02
2
2
2
==∂∂
xx d
TdT
Condução de calor em paredes planas: distribuição de temperatura
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Para a solução dessa equação (diferencial ordinária de 2ª. ordem) é necessários duas integrações e a aplicação de duas condições de contorno:
02
2
=xd
Td 1Cd
dT
x
=1ª. Integração:
2ª. Integração: ( ) 21 CxCxT +=
Condições de contorno. Por exemplo, em x =0 T=T1:
( ) 121 00 TCCT =+⋅=
E em x =L T=T2:
( ) 211 TTLCLT =+⋅= ( )L
TTC 12
1
−=
Substituindo essas duas constante na expressão:
( ) 112 Tx
L
TTxT +
−=
Condução de calor em paredes planas: distribuição de temperatura
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Essa equação fornece a distribuição da temperatura ao longo da espessura L do material.
( ) 112 Tx
L
TTxT +
−=
No caso de T1 e T2 serem constante, a distribuição da temperatura ao longo de x é linear.
Condução de calor em paredes planas: distribuição de temperatura
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Resistência térmica: analogia com circuitos elétricos
( )L
TTkAq 21 −=
eR
)VV(I 21 −=
onde V é a tensão, I é a corrente elétrica e Re a resistência elétrica.
Fluxo de calor
Fluxo da corrente elétrica
( )paredeR
TTq 21 −=
onde Rparede é a resistência térmica de condução pela parede (ou simplesmente resistência de condução.
kA
LRparede =
(W)
(K/W) ou (°C/W)
Re depende da geometria e das propriedades térmicas.
A taxa de transferência de calor unidimensional, em regime permanente, através de uma parede plana é dada por:
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Analogia com circuitos elétricos
eR
)VV(I 21 −= A
LR
ee σ
=
onde Re é a resistência elétrica e σe a condutividade elétrica.
Para o caso da transferência de calor por convecção, analogia similar pode ser feita. Pela Lei de Resfriamento de Newton:
( )∞−= TThAq ss
( )conv
sconv R
TTq ∞−= (W)
sconv hA
R1= (K/W) ou (°C/W)
onde Rconv é a resistência térmica de convecção ou simplesmente resistência de convecção.
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Analogia com circuitos elétricos
Notar pela equação abaixo que quando h → ∞ (coef. de transferência de calor muito grande), a resistência à convecção torna-se nula e Ts ≈ T∞.
sconv hA
R1= Notar que para o caso da convecção a superfície não tem que ser
necessariamente plana.
Para o caso da radiação, a taxa de transferência de calor entre a superfície com emissividade ε e área As, na temperatura Ts e as superfícies vizinhas, na temperatura Tviz pode ser expressa como:
( )vizssradss TTAh)TT(Aq _ −== 4viz
4εσ
ou pelo conceito de resistência:
( )rad
vizsrad R
TTq
−=srad
rad AhR
1= (K/W) ou (°C/W)
)TT)(TT(Ah svizsr2
viz2 ++= σε (W/m2K)
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Analogia com circuitos elétricos
A transferência de calor em uma parede plana submetida à convecção em ambos os lados pode então ser facilmente resolvida pelo conceito de resistência térmica.
parede
Se T∞,1 for maior que T∞,2 (taxa de calor da esquerda para a direita da figura):
Note que a temperatura varia linearmente na parede e se aproxima de forma assintótica de T∞,1 e T∞,2 nos fluidos à medida que se aproxima das paredes.
=
=
parede dapartir a
calor de convecção de Taxa
parede
da atravéscalor de
condução de Taxa
parede da dentro para
calor de convecção de Taxa
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Analogia com circuitos elétricos
ou:
2
2221
1
11
,conv
,
parede,conv
,
R
)TT(
R
)TT(
R
)TT(q ∞∞ −
=−=−
=
)TT(AhL
)TT(kA)TT(Ahq ,, 222
21111 ∞∞ −=−=−=
Que pode ser reorganizada como:
Ah
)TT(
kAL
)TT(
Ah
)TT(q ,,
2
2221
1
11
11∞∞ −
=−=−
=
21
2121
,convparede,conv
,,
total
,,
RRR
)TT(
R
)TT(q
++−
=−
= ∞∞∞∞
∑
Com a taxa de calor calculada, essa equação pode ser utilizada para determinar as temperaturas intermediárias.
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Analogia com circuitos elétricos
Resistência em paralelo. Caso convecção e radiação acontecendo simultaneamente:
Tviz
parede
radconveq RRR
111 +=
Note que as resistência são paralelas entre si. Quando Tviz ≈ T∞ pode ser utilizado o conceito de coeficiente de transferência de calor combinado, como visto antes:
radconvcomb hhh +=
No caso de duas resistências em paralelo a resistência equivalente pode ser escrita como:
21
21
RR
RRReq +
=
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Analogia com circuitos elétricos
Paredes planas multicamadas:
Em muitas aplicações, a utilização de paredes com camadas de diferentes materiais é utilizada.
totalR
)TT(q ∞
_1=
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Coeficiente global de transferência de calor
As vezes é conveniente expressar a transferência de calor através do meio de maneira análoga à lei de resfriamento de Newton como:
onde U é o coeficiente global de transferência de calor, cuja unidade é W/m2K.É muito utilizado em cálculos de trocadores de calor e para cálculos de carga térmica em edificações que utilizam materiais compostos (reboco, tijolo, reboco, por exemplo).Da análise das expressões anteriores, o produto UA pode ser expresso como:
TUAq ∆= (W)
totalRUA
1=
)]h/()k/L()k/L()h/)[(A/(U
222111 111
1
+++=
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Resistência térmica de contato
Em casos de condução de calor em múltiplas camadas de sólido, geralmente é adotada a hipótese de contato perfeito entre elas, sem queda de temperatura na interface.Devido à rugosidade das superfícies, criam-se vazios entre elas, preenchidos com lacunas de ar de tamanhos variados, funcionando como isolamento térmico (kar é muito baixo). Essa resistência formada na interface é chamada de resistência térmica de contato, Rc, determinado experimentalmente.
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Resistência térmica de contato
A taxa de transferência de calor na interface entre dois sólidos em contato pode ser dada por uma expressão análoga à da lei de resfriamento de Newton:
erfaceintc T
Aq
h∆
=
erfaceintc TAhq ∆=
onde A é a área aparente da interface (a mesma que a área transversal dos sólidos em contato) e ∆Tinterface é a diferença efetiva de temperatura na interface. O termo hc que corresponde ao coeficiente de transferência de calor por convecção é chamado de condutância térmica de contato, dada por:
(W/m2K)
Aq
T
hR erfaceint
cc
∆== 1 (m2K/W)
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Resistência térmica de contato
O valor da resistência térmica de contato depende da rugosidade superficial e das propriedades do material, assim como da temperatura, da pressão na interface e do tipo de fluido aprisionado na interface.
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Resistência térmica de contato
Em geral, os valores de resistência de contato encontram-se entre 0,000005 e 0,0005 m2K/W, correspondendo a uma faixa de condutâncias térmicas de contato de 2.000 a 2000.000 W/m2K.
→→→→ Essa resistência é então significativa???
W/K,,
,
k
LRcond
2m 250 W/mK040
m 010 === Isolante
W/K,,
k
LRcond
2m 0000260 W/mK863
m 010 === Condutor (cobre)
Comparando esses dois valores (condução de calor em um dado material), verifica-se que a resistência de contato pode ser significativa, e até dominar a transferência de calor em sólidos condutores (metais), mas pode ser desprezada em materiais isolantes.
20
Resistência térmica de contato
cc h
R1=
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Um chip de silício é fixado a uma placa de alumínio de 8 mm de espessura. O contato entre o chip e a placa é feito por uma junta de epóxi de 0,02 mm de espessura. O chip e a placa tem cada um 10 mm de lado e suas superfícies são resfriadas pelo ar que se encontra a 25 ºC e com um h=100 W/m²K.
a) O chip dissipa 104 W/m² em condições normais. Nesta condição ele irá operar abaixo da temperatura máxima permitida de 85ºC?b) Explore o efeito da variação do h de 100 a 2000 W/m²K sobre o fluxo de calor com Tchip=85 ºC e represente em um gráfico q” x h.c) Se na superfície do chip for bloqueado o escoamento do ar e o resfriamento for somente na parte inferior do alumínio, qual a temperatura do chip para q”=10.000 W/m².
Exemplo:
22
Transferência de calor em cilindros
Suponha uma tubulação onde água quente circula pelo seu interior. Externamente ao tubo, circula ar. É fácil imaginar que a condução de calor através da parede do tubo se dê, prioritariamente, na direção radial, isso é, normal à direção da superfície do tubo, e que não seja significativa nas outras direções.Se as temperaturas se mantiverem constantes, então esse processo, além de unidimensional, é também permanente.
A temperatura do tubo depende então de uma única direção (r) e pode ser expressa como:
Nesse caso, a temperatura é independente do ângulo ou da distância axial. Essa situação é aproximada na prática para tubos longos ou para esferas.Como as temperaturas permanecem constantes (regime permanente) a taxa de transferência de calor deve ser constante, isso é, o que entra na parede interna do tubo deve ser igual a taxa que sai da parede externa, isso é:
)r(TT =
constante=cilindro,condq
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Transferência de calor em cilindros
Considere o cilindro abaixo, com temperaturas conhecidas em r=ri e r=re:
A distribuição de temperatura ao longo da parede do tubo, considerando T=T1 em r=ri e T=T2 em r=re, é dada pela expressão abaixo:
2221
21 T)r/rln()r/rln(
TT)r(T +−=
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Transferência de calor em cilindros
Considerando um tubo circular de raio interno r1, raio externo r2, comprimento L e condutividade térmica média constante k, onde as duas paredes são mantidas nas temperaturas T1 e T2, constantes, e sem geração interna de calor, a taxa de transferência de calor (lei de Fourier) através dessa parede é dada por:
Nessa equação, A é a área de transferência de calor, transversal ao fluxo, na posição r, é dada por:
Obs.: notar que a área varia na direção de r, ou seja, na direção da transferência de calor.
dr
dTkAq cilindro,cond -=
rL2π=A
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Transferência de calor em cilindros
Separando as variáveis na equação de Fourier e integrando de r=r1, onde T(r1)=T1, até r=r2 onde T(r2)=T2 :
Substituindo e realizando as integrações:
∫∫ === 2
1
2
1
T
TT- kdTrd
A
qr
rr
cilindro,cond
rL2π=A
∫∫ === 2
1
2
1
T
TT-k
2dT
r
dr
L
q r
rr
cilindro,cond
π2
1
2
1T-k
2
T
T
r
r
cilindro,cond rlnL
q=
π
2
1
2
1T-k
2
T
T
r
r
cilindro,cond rlnL
q=
π( ) ( )1212 T-k
2
1
2
TrlnrlnL
q
r
rln
cilindro,cond −=−
43421π
26
( ) ( )1212 T-k2
1
2
TrlnrlnL
q
r
rln
cilindro,cond −=−
43421π
Transferência de calor em cilindros
( )
−=
1
2
21Tk2
r
rln
TLq cilindro,cond π
Utilizando o conceito de resistência térmica, essa equação pode ser escrita como:
onde
( )cilindro
cilindro,cond R
Tq 21T −=
kL
r
rln
Rcilindro π21
2
= (K/W)
(W)
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Transferência de calor cascas esféricas
Para uma casca esférica, a distribuição de temperatura na parede é dada pela expressão:
)TT()r/r(
)r/r(T)r(T 21
21
11 1
1 −
−−−=
28
Transferência de calor cascas esféricas
2r4π=A
∫∫ === 2
1
2
1
T
TT2-k
4dT
r
drq r
rr
esf,cond
π ∫∫ ==
− = 2
1
2
1
T
TT
2 -k4
dTdrrq r
rr
esf,cond
π
2
1
2
1
T-k14
1T
T
r
r
esf,cond rq=
−
−
π2
1
2
1
T-k1
4
T
T
r
r
esf,cond
r
q=−
π
( )( )12
2121
Tkr4
rr
Trq esf,cond −
−= π( )2121
12 Tk4
Trr
rrq esf,cond −=
−π
Com o mesmo procedimento utilizado para o caso do cilindro, a análise pode ser repetida para uma casca esférica, com temperaturas conhecidas em T1 e T2, unidimensional, permanente e sem geração de calor. Lembrar que a área da superfície de uma esfera é dada por:
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Transferência de calor cascas esféricas
Utilizando o conceito de resistência térmica, a equação anterior pode ser escrita como:
onde
( )esf
esf,cond R
Tq 21T −=
( )21
12
4 rkr
rrResf π
−=
(W)
(K/W)
30
Transferência de calor em cilindros e cascas esféricas
Para as mesmas hipóteses utilizadas (regime permanente, unidimensional, sem geração de calor), a transferência de calor através de uma parede cilíndrica ou esférica exposta à convecção em ambos os lados, para fluidos com temperaturas T∞1
e T∞2 e com coeficientes de transferência de calor h1 e h2, a rede de resistência térmica é mostrada na figura abaixo:
( )totalR
Tq 21T ∞∞ −=
21 ,convcil,convtotal RRRR ++=
( ) ( ) 22
1
2
11 2
1
22
1
hLrkL
rrln
hLrRtotal πππ
+
+=
Para uma casca cilíndrica
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Transferência de calor em cilindros e cascas esféricas
( ) ( ) 22
221
12
12
1 4
1
44
1
hrkrr
rr
hrRtotal πππ
+−+=
21 ,convesf,convtotal RRRR ++=
Para uma casca esférica
Obs.: notar que o termo A na equação da resistência à convecção é a área da superfície onde ocorre a convecção, igual a A=2πrL para superfície cilíndrica e A=4πr2, para uma superfície esférica de raio r.
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Transferência de calor em cilindros e esferas com múltiplas camadas
A transferência de calor em regime permanente através de múltiplas camadas cilíndricas ou esféricas pode ser trata de forma similar ao caso de múltiplas camadas em paredes planas, somando-se resistências adicionais em série. Por exemplo:
( )totalR
Tq 21T ∞∞ −=
23211 ,conv,cil,cil,cil,convtotal RRRRRR ++++=
243
3
4
2
2
3
1
1
2
11
1
222
1
hALk
rrln
Lk
rrln
Lk
rrln
hARtotal +
+
+
+=πππ
LπrALπrA 4411 2 e 2 ==
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