Comportamento Dinâmico de Sistemas de PrimeiraOrdem
Sistemas de Primeira Ordem (CP1) www.professores.deq.ufscar.br/ronaldo/cp1 DEQ/UFSCar 1 / 46
Roteiro
1 Sistemas de Primeira OrdemFunção de Transferência de Sistemas de Primeira OrdemPuramente Capacitivo ou Integrador Puro
2 Resposta Transiente de Sistemas de Primeira OrdemResposta ao DegrauResposta ao ImpulsoResposta Senoidal
3 ExemplosDois Tanques de NívelResposta ao PulsoResposta Senoidal
4 Atividades Complementares
Sistemas de Primeira Ordem (CP1) www.professores.deq.ufscar.br/ronaldo/cp1 DEQ/UFSCar 2 / 46
Sistemas de Primeira Ordem
Sistema de Primeira Ordem (ou retardo de primeira ordem ou estágioexponencial simples) é aquele cuja resposta y(t) é descrita por umaequação diferencial de primeira ordem:
a1dydt
+ a0y = b0u, y(0) = 0
Se a0 6= 0, entãoa1
a0
dydt
+ y =b0
a0u, y(0) = 0
Fazendoa1
a0= τp e
b0
a0= Kp
tem-seτp
dydt
+ y = Kp u, y(0) = 0
que é a forma padrão de representar um sistema de primeira ordem,
Sistemas de Primeira Ordem (CP1) www.professores.deq.ufscar.br/ronaldo/cp1 DEQ/UFSCar 3 / 46
Sistemas de Primeira Ordemcontinuação
ondeτp – constante de tempo do sistema: indica a rapidez com que aresposta do sistema reage a uma perturbação em uma certaentradaKp – ganho estacionário ou ganho estático ou ganho do processo:é a razão entre os valores finais da resposta e de umadeterminada entrada considerada
Kp =∆y∆u
(degrau em u), ou
Kp = lims→0
[Gp(s)]
Sistemas de Primeira Ordem (CP1) www.professores.deq.ufscar.br/ronaldo/cp1 DEQ/UFSCar 4 / 46
Função de Transferência de Sistemas de 1a OrdemAplica-se a Transformada de Laplace em ambos os lados da equaçãodiferencial de um sistema de primeira ordem, obtendo
τpsY (s) + Y (s) = KpU(s)
(τps + 1)Y (s) = KpU(s)
Gp(s) =Y (s)
U(s)=
Kp
τps + 1
t p s + 1K pU ( s ) Y ( s )
D i a g r a m a d e B l o c o s
Sistemas de Primeira Ordem (CP1) www.professores.deq.ufscar.br/ronaldo/cp1 DEQ/UFSCar 5 / 46
Puramente Capacitivo ou Integrador Puro
Caso Particular: Se a0 = 0
dydt
=b0
a1u = K ′
pu
Gp(s) =Y (s)
U(s)=
K ′p
s
diz-se que o sistema é puramente capacitivo ou integrador puro.
Sistemas de Primeira Ordem (CP1) www.professores.deq.ufscar.br/ronaldo/cp1 DEQ/UFSCar 6 / 46
Resposta ao DegrauAs respostas transientes de sistemas de 1a ordem são apresentadaspara três tipos de perturbações diferentes, bastante comuns no estudoexperimental e teórico do controle de processos.
Resposta ao Degrau
A função degrau de amplitude A é expressa por
u(t) = Au∗(t), t ≥ 0
onde u∗(t) é a função degrau unitário
0
u
t
AU ( s ) = A
s
Figura: Perturbação degrauSistemas de Primeira Ordem (CP1) www.professores.deq.ufscar.br/ronaldo/cp1 DEQ/UFSCar 7 / 46
Resposta ao Degraucontinuação
Combinando a função de transferência de um sistema de 1a ordem e aTransformada de Laplace da função degrau com amplitude A,
Y (s) =Kp
τps + 1As
cuja transformada inversa de Y (s), y(t), será igual a
y(t) = KpA(1− e−t/τp)
Sistemas de Primeira Ordem (CP1) www.professores.deq.ufscar.br/ronaldo/cp1 DEQ/UFSCar 8 / 46
Resposta ao Degraucontinuação
A figura abaixo apresenta o comportamento da saída adimensionaly(t)/KpA contra o tempo adimensional t/τp:
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1Sistema de Primeira Ordem: resposta ao degrau
t/τp
y/K
pA
Sistemas de Primeira Ordem (CP1) www.professores.deq.ufscar.br/ronaldo/cp1 DEQ/UFSCar 9 / 46
Resposta ao Degraucontinuação
Destacam-se nessa resposta:1 o valor de y(t) alcança 63,2% do seu valor final após decorrido
um intervalo de tempo igual a uma constante de tempo, τp.Quanto menor for a constante de tempo, mais rápida será aresposta do sistema. A resposta é essencialmente completaapós 3 a 5 constantes de tempo
tempo decorrido τp 2τp 3τp 4τp 5τp[y(t)/y(∞)]× 100 63,2 86,5 95 98,2 99,3
Sistemas de Primeira Ordem (CP1) www.professores.deq.ufscar.br/ronaldo/cp1 DEQ/UFSCar 10 / 46
Resposta ao Degraucontinuação
2 a inclinação da curva resposta em t = 0 é igual a 1
d [y(t)/KpA]
d [t/τp]
∣∣∣∣t=0
=(
e−t/τp)
t=0= 1
se a velocidade inicial de variação de y(t) fosse mantida, aresposta seria completa após uma constante de tempo
3 o valor final da resposta é igual a KpA
∆y∆u
= Kp ⇒ y(t →∞)→ KpA
Sistemas de Primeira Ordem (CP1) www.professores.deq.ufscar.br/ronaldo/cp1 DEQ/UFSCar 11 / 46
Resposta ao Impulso
Resposta ao Impulso
Matematicamente, a função impulso de intensidade A é definida por
u(t) = Aδ(t), t = 0
onde δ(t) é a função impulso unitário
0
u
t
AU ( s ) = A
b
b
0
u
t
Ab ® 0
Sistemas de Primeira Ordem (CP1) www.professores.deq.ufscar.br/ronaldo/cp1 DEQ/UFSCar 12 / 46
Resposta ao Impulsocontinuação
A resposta impulsional de um sistema de primeira ordem, perturbadopor um impulso de intensidade A, pode ser expressa por:
Y (s) =Kp
τps + 1A
A transformada inversa de Y (s), y(t), será igual a
y(t) =KpAτp
e−t/τp
Sistemas de Primeira Ordem (CP1) www.professores.deq.ufscar.br/ronaldo/cp1 DEQ/UFSCar 13 / 46
Resposta ao Impulsocontinuação
A figura abaixo apresenta o comportamento da saída adimensionaly(t)τp/KpA contra o tempo adimensional t/τp:
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1Sistema de Primeira Ordem: resposta ao impulso
t/τp
yτp/K
pA
Note que a respostacresce imediata-mente para 1, 0 e,após decai exponen-cialmente.
Sistemas de Primeira Ordem (CP1) www.professores.deq.ufscar.br/ronaldo/cp1 DEQ/UFSCar 14 / 46
Resposta Senoidal
Resposta Senoidal
Matematicamente, a função perturbação senoidal é representada pelaequação
u(t) = A sen(wt), t ≥ 0
onde A é a amplitude e w é a frequência angular (igual a 2πf ,f=frequência em ciclos por tempo).
A Transformada de Laplace de u(t) é
U(s) =Aw
s2 + w2
Sistemas de Primeira Ordem (CP1) www.professores.deq.ufscar.br/ronaldo/cp1 DEQ/UFSCar 15 / 46
Resposta Senoidalcontinuação
Combinando-a com a função de transferência de um sistema de 1a
ordem, encontra-se
Y (s) =Kp
τps + 1Aw
s2 + w2
Calculando a transformada inversa de Y (s), obtém-se
y(t) =KpAwτp
τ2p w2 + 1
e−t/τp +KpA√
τ2p w2 + 1
sen(wt + φ)
φ = arctg(−wτp)
Sistemas de Primeira Ordem (CP1) www.professores.deq.ufscar.br/ronaldo/cp1 DEQ/UFSCar 16 / 46
Resposta Senoidalcontinuação
Observe o comportamento da entrada senoidal e a resposta do sistemade 1a ordem a ela
0 1 2 3 4 5 6 7−1
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1Sistema de Primeira Ordem: resposta senoidal
t
y
uy
Sistemas de Primeira Ordem (CP1) www.professores.deq.ufscar.br/ronaldo/cp1 DEQ/UFSCar 17 / 46
Resposta Senoidalcontinuação
Pode-se verificar as seguintes características da resposta senoidal:
1 a resposta é também uma onda senoidal com frequência w igualà onda senoidal do sinal de entrada
2 quando t →∞, resta apenas a solução periódica final, algumasvezes chamada de solução estacionária
y(t)|s =KpA√
τ2p w2 + 1
sen(wt + φ)
φ = arctg(−wτp)
(o primeiro termo tende a zero, sendo responsável pelocomportamento transiente da resposta de y(t))
Sistemas de Primeira Ordem (CP1) www.professores.deq.ufscar.br/ronaldo/cp1 DEQ/UFSCar 18 / 46
Resposta Senoidalcontinuação
3 a razão entre as amplitudes da resposta (solução estacionária) eda entrada é a chamada razão de amplitude, AR
AR =
KpAqτ2
p w2+1
A=
Kp√τ2
p w2 + 1
Se AR < 1, diz-se que o sinal é atenuado.O mesmo é válido para a razão de amplitude normalizada, ARN ,obtida quando divide-se AR pelo ganho do processo, Kp
ARN =ARKp
=1√
τ2p w2 + 1
< 1, portanto atenuado
ARN apresenta apenas o efeito da dinâmica do processo, τp,sobre a resposta senoidal
Sistemas de Primeira Ordem (CP1) www.professores.deq.ufscar.br/ronaldo/cp1 DEQ/UFSCar 19 / 46
Resposta Senoidalcontinuação
4 a resposta atrasa em relação à entrada por um ângulo |φ|. Oatraso sempre ocorrerá, pois o sinal de φ é sempre negativo(φ < 0, atraso de fase; φ > 0, avanço de fase)
Sistemas de Primeira Ordem (CP1) www.professores.deq.ufscar.br/ronaldo/cp1 DEQ/UFSCar 20 / 46
Dois Tanques de Nível
ExemploDois tanques de armazenamento de líquido são mostrados a seguir
F o
h( A ) F
T a n q u e 1 T a n q u e 2
F o
h( A ) hkF =
Figura: Dois tanques de nível
Sistemas de Primeira Ordem (CP1) www.professores.deq.ufscar.br/ronaldo/cp1 DEQ/UFSCar 21 / 46
Dois Tanques de Nível
Exemplo (continuação)
Para o Tanque 1, a vazão de saída é calculada como F = 8√
h. Para oTanque 2, a variação do nível h não afeta a vazão de saída, F . Ambosos tanques de armazenamento possuem seção reta uniforme comárea A = 0, 3 m2 e encontram-se em estado estacionário, com nívelde líquido igual hs = 1 m. No tempo t = 0, a vazão de entrada, Fo, éaumentada para 10 m3/min. Para cada tanque, determine:(a) a função de transferência H(s)/Fo(s)
(b) a resposta transiente h(t)(c) os níveis no novo estado estacionário(d) se cada tanque tem altura nominal hn = 2 m, qual dos tanques
transbordará? E quando?
Sistemas de Primeira Ordem (CP1) www.professores.deq.ufscar.br/ronaldo/cp1 DEQ/UFSCar 22 / 46
Dois Tanques de Nível
SoluçãoTanque 1
Modelo Linearizado
1︸︷︷︸a1
dhdt
+k
2A√
hs︸ ︷︷ ︸a0
h =1A︸︷︷︸b0
Fo, h(0) = 0
Função de TransferênciaA função de transferência entre a variável de saída, H(s) e avariável de entrada, Fo(s) é:
Gp(s) =H(s)
Fo(s)=
Kp
τps + 1, onde
Kp =b0
a0=
2√
hs
k=
(2)(1)
(8)= 0, 25 m/(m3/min)
τp =a1
a0=
2A√
hs
k=
(2)(0, 3)(1)
(8)= 0, 075 min
Sistemas de Primeira Ordem (CP1) www.professores.deq.ufscar.br/ronaldo/cp1 DEQ/UFSCar 23 / 46
Dois Tanques de Nívelcontinuação
Função de TransferênciaSubstituindo os valores numéricos de Kp e τp tem-se:
Gp(s) =H(s)
Fo(s)=
0, 250, 075s + 1
Resposta ao DegrauA entrada Fo sofre um perturbação degrau de amplitude∆Fo = 10− (8)(1)︸ ︷︷ ︸
Fs=8√
hs
= 2 m3/min. A transformada inversa de
H(s) =Kp
τps + 1∆Fo
s
será igual a
h(t) = Kp∆Fo
(1− e−t/τp
)= (0, 25)(2)
(1− e−t/0,075
)= 0, 50
(1− e−t/0,075
)Sistemas de Primeira Ordem (CP1) www.professores.deq.ufscar.br/ronaldo/cp1 DEQ/UFSCar 24 / 46
Dois Tanques de Nívelcontinuação
Resposta ao DegrauEm variável absoluta
h(t) = 1 + 0, 50(
1− e−t/0,075)
Após a perturbação, a altura do tanque irá para
h(t →∞) = 1 + 0, 50 = 1, 50 m < 2 mnão transbordará
Sistemas de Primeira Ordem (CP1) www.professores.deq.ufscar.br/ronaldo/cp1 DEQ/UFSCar 25 / 46
Dois Tanques de Nívelcontinuação
Resposta ao Degrau
A resposta estacionária final também pode ser obtida do modelo não-linear, calculando-se o seu valor após a variação (degrau) em Fo:
no EE: Fos − k√
hs = 0
hs =
(Fos
k
)2
hs =
(108
)2
= 1, 56 m < 2 m → não transbordará
Sistemas de Primeira Ordem (CP1) www.professores.deq.ufscar.br/ronaldo/cp1 DEQ/UFSCar 26 / 46
Dois Tanques de NívelTanque 2
Modelo Linear(izado)
1︸︷︷︸a1
dhdt
h =1A︸︷︷︸b0
Fo −1A︸︷︷︸
b1
F , h(0) = 0
Função de TransferênciaA função de transferência entre a variável de saída, H(s) e avariável de entrada, Fo(s) é:
Gp(s) =H(s)
Fo(s)=
K ′p
s, onde
K ′p =
b0
a1=
1/As
Substituindo o valor numérico de A tem-se
Gp(s) =H(s)
Fo(s)=
3, 33s
Sistemas de Primeira Ordem (CP1) www.professores.deq.ufscar.br/ronaldo/cp1 DEQ/UFSCar 27 / 46
Dois Tanques de Nívelcontinuação
Resposta ao DegrauA entrada Fo sofre um perturbação degrau de amplitude∆Fo = 10− (8)(1)︸ ︷︷ ︸
Fs=8√
hs
= 2 m3/min. A transformada inversa de
H(s) =1/A
s∆Fo
s
será igual a
h(t) =∆Fo
At =
(2)
(0, 3)t = 6, 67t
Em variável absolutah(t) = 1 + 6, 67t
Após a perturbação, a altura do tanque irá variar linearmente como tempo, sem atingir novo valor final.
Sistemas de Primeira Ordem (CP1) www.professores.deq.ufscar.br/ronaldo/cp1 DEQ/UFSCar 28 / 46
Dois Tanques de Nívelcontinuação
Resposta ao DegrauO tanque irá transbordar quando h(tb) > hn
2 = 1 + 6, 67tb ⇒ tb =2− 16, 67
= 0, 15 min
transbordará
Sistemas de Primeira Ordem (CP1) www.professores.deq.ufscar.br/ronaldo/cp1 DEQ/UFSCar 29 / 46
Dois Tanques de Nívelcontinuação
Resposta ao Degrau
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.351
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2Altura de Líquido no Tanque
t (min)
h (
m)
hlinear
hcapacitivo
hnominal
Figura: Resposta ao degrau de dois tanques de nível
Sistemas de Primeira Ordem (CP1) www.professores.deq.ufscar.br/ronaldo/cp1 DEQ/UFSCar 30 / 46
Resposta ao Pulso
Exemplo
Um tanque de nível de seção reta uniforme de área A = 0, 3 m2 e vazãode saída calculada como F = 8
√h, encontra-se em estado estacioná-
rio, com nível de líquido igual hs = 1 m. No tempo t = 0, a vazãode entrada é aumentada bruscamente para 9 m3/min, durante 0,1 min,pela adição uniforme de 0,10 m3 de líquido no tanque. Mostre a res-posta do sistema no tempo e compare-a com a resposta impulsional.
Sistemas de Primeira Ordem (CP1) www.professores.deq.ufscar.br/ronaldo/cp1 DEQ/UFSCar 31 / 46
Resposta ao Pulso
Exemplo (continuação)
F o
h( A ) hkF =
Figura: Tanque de nível
Sistemas de Primeira Ordem (CP1) www.professores.deq.ufscar.br/ronaldo/cp1 DEQ/UFSCar 32 / 46
Resposta ao Pulso
Solução
Função de TransferênciaA função de transferência entre a variável de saída, H(s) e avariável de entrada, Fo(s) é:
Gp(s) =H(s)
Fo(s)=
Kp
τps + 1, onde
Kp =2√
hs
k=
(2)(1)
(8)= 0, 25 m/(m3/min)
τp =2A√
hs
k=
(2)(0, 3)(1)
(8)= 0, 075 min
Substituindo os valores numéricos de Kp e τp tem-se:
Gp(s) =H(s)
Fo(s)=
0, 250, 075s + 1
Sistemas de Primeira Ordem (CP1) www.professores.deq.ufscar.br/ronaldo/cp1 DEQ/UFSCar 33 / 46
Resposta ao Pulsocontinuação
Perturbação Pulso
A entrada Fo sofre um perturba-ção pulso de amplitude ∆Fo = 9 −(8)(1)︸ ︷︷ ︸
Fs=8√
hs
= 1 m3/min e duração de
0,1 min.Esta perturbação pode ser repre-sentada como dois degraus iguaise consecutivos, mas de sinaisopostos
8
9
70
0 , 10 , 2
t , m i n
F o , m 3 / m i n
0
1
- 10 0 , 1 0 , 2
t , m i n
F o , m 3 / m i n0 , 1 0 m 3
d e s v i o
Sistemas de Primeira Ordem (CP1) www.professores.deq.ufscar.br/ronaldo/cp1 DEQ/UFSCar 34 / 46
Resposta ao Pulsocontinuação
Perturbação Pulso
Fo(t) = ∆Fo [u∗(t)− u∗(t − to)]
com to = 0, 1 min e cuja Transformada de Laplace é
Fo(s) = ∆Fo
(1s− e−tos
s
)
Sistemas de Primeira Ordem (CP1) www.professores.deq.ufscar.br/ronaldo/cp1 DEQ/UFSCar 35 / 46
Resposta ao Pulsocontinuação
Solução no TempoResolvendo a equação no domínio da Transformada
H(s) =Kp
τps + 1∆Fo
(1s− e−tos
s
)H(s) = Kp∆Fo
[1
s(τps + 1)− e−tos
s(τps + 1)
]cuja transformada inversa será igual a
h(t) = Kp∆Fo
{(1− e−t/τp
)u∗(t)−
[1− e−(t−to)/τp
]u∗(t − to)
}
Sistemas de Primeira Ordem (CP1) www.professores.deq.ufscar.br/ronaldo/cp1 DEQ/UFSCar 36 / 46
Resposta ao Pulsocontinuação
Solução no TempoOu
h(t) =
{Kp∆Fo
(1− e−t/τp
)t < to
Kp∆Fo{(
1− e−t/τp)−
[1− e−(t−to)/τp
]}t > to
h(t) =
{Kp∆Fo
(1− e−t/τp
)t < to
Kp∆Fo[(
eto/τp − 1)
e−t/τp]
t > to
Substituindo pelos valores numéricos
h(t) =
{(0, 25)(1)
(1− e−t/0,075
)= 0, 25
(1− e−t/0,075
)t < 0, 1 min
(0, 25)(1)[(
e0,1/0,075 − 1)
e−t/0,075]
= 0, 698e−t/0,075 t > 0, 1 min
Sistemas de Primeira Ordem (CP1) www.professores.deq.ufscar.br/ronaldo/cp1 DEQ/UFSCar 37 / 46
Resposta ao Pulsocontinuação
Solução no TempoComparando com a resposta impulsional de intensidade ∆Fo × to
h(t) =Kp∆Foto
τpe−t/τp =
(0, 25)(1)(0, 1)
(0, 075)e−t/0,075 = 0, 33e−t/0,075
Em variável absoluta
h(t) =
{1 + 0, 25
(1− e−t/0,075) t < 0, 1 min
1 + 0, 698e−t/0,075 t > 0, 1 min
h(t) = 1 + 0, 33e−t/0,075
Sistemas de Primeira Ordem (CP1) www.professores.deq.ufscar.br/ronaldo/cp1 DEQ/UFSCar 38 / 46
Resposta ao Pulsocontinuação
Solução no Tempo
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.51
1.05
1.1
1.15
1.2
1.25
1.3
1.35
1.4
Pulso e Impulso em F0
t (min)
h (
m)
resposta ao pulso
resposta ao impulso
Figura: Resposta impulsional e ao pulso
Sistemas de Primeira Ordem (CP1) www.professores.deq.ufscar.br/ronaldo/cp1 DEQ/UFSCar 39 / 46
Resposta Senoidal
ExemploA composição de alimentação de um reator varia com uma amplitudemaior que o aceitável. Deseja-se instalar um tanque pulmão para re-duzir a variação na composição de alimentação, como mostrado nafigura:
CAC*A0CA0
V C*A0
FF F
TanquePulmão Reator
Figura: Reator com tanque pulmão
Sistemas de Primeira Ordem (CP1) www.professores.deq.ufscar.br/ronaldo/cp1 DEQ/UFSCar 40 / 46
Resposta Senoidal
Exemplo (continuação)Deseja-se, então, saber qual o volume mínimo requerido do tanquepulmão para que a variação da composição na corrente de entrada doreator seja menor ou igual a ±20 g/m3? Analise e discuta a solução.Considere uma vazão de alimentação F = 1 m3/min e uma concentra-ção de alimentação CA0 variando segundo uma senóide com amplitudede 200 g/m3 e período de 5 min, na vizinhança de um valor médio de200 g/m3.
Sistemas de Primeira Ordem (CP1) www.professores.deq.ufscar.br/ronaldo/cp1 DEQ/UFSCar 41 / 46
Resposta Senoidal
SoluçãoModelo Linear
dC∗A0
dt=
FV
(CA0 − C∗A0), C∗
A0(0) = C∗A0s
Função de TransferênciaA função de transferência entre a variável de saída, C∗
A0(s) e avariável de entrada, CA0(s) é obtida a partir do modelo linearescrito na forma padrão de primeira ordem e em variável desvio:
1︸︷︷︸a1
dC∗A0
dt+
FV︸︷︷︸a0
C∗A0 =
FV︸︷︷︸b0
CA0
Gp(s) =C∗
A0(s)
CA0(s)=
Kp
τps + 1, onde
Kp =b0
a0=
F/VF/V
= 1 e τp =a1
a0=
1F/V
= V/F min
Sistemas de Primeira Ordem (CP1) www.professores.deq.ufscar.br/ronaldo/cp1 DEQ/UFSCar 42 / 46
Resposta Senoidalcontinuação
Resposta à SenóideA entrada CA0 comporta-se como uma perturbação senoidalA sen(wt) com amplitude A = 200 g/m3 e frequência angularw = 2πf = 2π/T = 2π/5 = 0, 4π min−1. A transformada inversade
C∗A0(s) =
Kp
τps + 1Aw
s2 + w2
será igual a
C∗A0(t) =
KpAwτp
τ2p w2 + 1
e−t/τp +KpA√
τ2p w2 + 1
sen(wt + φ)
φ = arctg(−wτp)
Sistemas de Primeira Ordem (CP1) www.professores.deq.ufscar.br/ronaldo/cp1 DEQ/UFSCar 43 / 46
Resposta Senoidalcontinuação
Solução EstacionáriaApós um transiente inicial, considera-se apenas a chamadasolução estacionária:
C∗A0(t) =
KpA√τ2
p w2 + 1sen(wt + φ)
φ = arctg(−wτp)
Sistemas de Primeira Ordem (CP1) www.professores.deq.ufscar.br/ronaldo/cp1 DEQ/UFSCar 44 / 46
Resposta Senoidalcontinuação
Solução EstacionáriaDeseja-se que a amplitude da senóide na entrada do reator sejareduzida de A = ±200 g/m3 para A∗ = ±20 g/m3; isto é, projetar umtanque pulmão com volume V suficiente para atenuar o sinal originalCA0(t) para C∗
A0(t). Desta forma, a amplitude do sinal C∗A0(t) será igual
a:
A∗ =KpA√
τ2p w2 + 1
A∗ =KpA√
(V/F )2w2 + 1
V =Fw
√(KpAA∗
)2
− 1 =1
0, 4π
√[(1)(200)
20
]2
− 1
V = 7, 9 m3
Sistemas de Primeira Ordem (CP1) www.professores.deq.ufscar.br/ronaldo/cp1 DEQ/UFSCar 45 / 46
Leitura I
Leitura Complementar
Próxima aula:
apostila do Prof. Wua, capítulos 11 (volume I) e 12 (volume II).
livro do Stephanopoulosb, capítulos 11 e 12.
livro do Seborg et al.c , capítulos 5 e 6.
aKwong, W. H., Introdução ao Controle de Processos Químicos com MATLAB.Volumes I e II, EdUFSCar, São Carlos, Brasil, 2002.
bStephanopoulos, G., Chemical Process Control. An Introduction to Theory andPractice. Prentice Hall, Englewood Cliffs, USA, 1984.
cSeborg, D. E., Edgar, T. F., Mellichamp, D. A., Process Dynamics and Control. 1st
Edition, John Wiley, New York, USA, 1989.
Sistemas de Primeira Ordem (CP1) www.professores.deq.ufscar.br/ronaldo/cp1 DEQ/UFSCar 46 / 46