Download - CKT elétricos
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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINADEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELTRICA
CTC - Centro TecnolgicoDisciplina de Circuitos Eltricos I
APOSTILA DE CIRCUITOS I
Professor: Patrick Kuo Peng
Colaboradores: Jlio TrevisanMaurcio RigoniWillian Hamada
Florianpolis2003
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SumrioSumrio ______________________________________________________________ 2
Plano de Ensino ________________________________________________________ 3
Anlise de circuitos: Uma viso geral. ______________________________________ 4
CAPTULO I VARIVEIS ELTRICAS __________________________________ 5
CAPTULO 2 ELEMENTOS DOS CIRCUITOS ___________________________ 10
CAPTULO III CIRCUITOS RESISTIVOS _______________________________ 17
CAPTULO 4 TCNICAS DE ANLISE DE CIRCUITOS __________________ 26
CAPTULO V O AMPLIFICADOR OPERACIONAL_______________________ 53
CAPTULO 6 INDUTORES E CAPACITORES ___________________________ 64CAPTULO VII ANLISE DE CIRCUITOS SENOIDAIS___________________ 78
CAPTULO VIII POTNCIA EM CIRCUITOS SENOIDAIS ________________ 93
CAPTULO IX CIRCUITOS TRIFSICOS ______________________________ 107
CAPTULO X INTRODUO AOS CIRCUITOS DE SELEO DEFREQNCIAS _____________________________________________________ 122
Bibliografia__________________________________________________________ 130
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Plano de Ensino
Circuitos Eltricos I
Captulo I: Variveis Eltricas
Captulo II: Elementos dos circuitos
Captulo III: Circuitos resistivos simples
Captulo IV: Tcnicas de anlise de circuitos
Captulo V: O amplificador operacional
Captulo VI: Indutores e Capacitores
Captulo VII: Anlise de circuitos senoidais
Captulo VIII: Potncia em circuitos senoidais
Captulo IX: Circuitos trifsicos
Captulo X: Respostas em freqncia
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Anlise de circuitos: Uma visogeral.
Circuito eltrico = modelo matemtico de um sistema eltrico real.
Anlise de circuito: permite prever o comportamento do circuito ede seus componentes
Roteiro para anlise de circuito:
Identificar claramente os dados e o que pedido.
Simplificar ou redesenhar o circuito.
Escolher o mtodo de anlise mais simples.
Verificar se a soluo encontrada fisicamente possvel.
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CAPTULO I VARIVEISELTRICAS
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VARIVEIS ELTRICAS
1. O Sistema Internacional de Unidades
Unidades de base
Grandeza Unidade SmboloComprimento metro mMassa quilograma kgTempo segundo sCorrente eltrica Ampre ATemperatura Kelvin KIntensidade luminosa Candela cd
Unidades derivadas teis na teoria de circuitos
Grandeza Nome / Smbolo Frmula dimensionalFreqncia Hertz (Hz) s-1
Fora Newton (N) kg.m/s2
Energia ou trabalho Joule (J) N.mPotncia Watt (W) J/sCarga eltrica Coulomb (C) A.sPotencial eltrico Volt (V) W/AResistncia eltrica Ohm () V/A
Condutncia eltrica Siemens (S) A/VCapacitncia Farad (F) C/VFluxo magntico Weber (Wb) V.sIndutncia Henry (H) Wb/A
Principais mltiplos e submltiplos das unidades
10-12 10-9 10-6 10-3 0 103 106 109 1012
pico(p) nano(n) micro() mili(m) quilo(K) Mega(M) Giga(G)Tera(T)
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2. Conceitos bsicos de eletricidade
a) Cargas eltricas
Qualquer matria formada por tomos. O do Hidrognio o tomo maissimples, o qual constitudo por duas partculas (prtons carga positiva eeltrons carga negativa).
Unidade da carga eltrica = coulomb (C)
tomos normalmente neutros N de eltrons = N de prtons.
Retirando eltrons tomo ter carga positiva.
Adicionando eltrons tomo ter carga negativa. Matrias onde fcil retirar ou adicionar eltrons so chamadas de
condutores (cobre, alumnio, etc...). Matrias onde difcil retirar ou adicionar eltrons so chamadas
de isolantes (borracha, porcelana, papelo, etc...).
b) Corrente eltrica: movimento dos eltrons.
dtdqi =
corrente eltrica em Ampre [A]
Relao de integral:
carga em Coulo
tempo em segundos [s]
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c) Tenso eltrica ou diferena de potencial : Energia usada para
mover uma unidade de carga atravs do elemento.
d) Potencia e energia:
Potncia = trabalho ou energia por unidade de tempo.
Energia
dttitqtqt
t.)()()(
00 =
dq
dWv =
Energia em Joule [J]
Carga em Coulomb [C]
Tenso em Volt [V]
dt
dWp =
Potncia em Watt [W]
Energia em Joule [J]
Tempo em segundos [s]
vidt
dqv
dt
dWvdqdW === vip =
dttitvtwtwdttptwt
t
).(.)()()().()(0
0
==
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Conveno de sinais
Potncia ou energia > 0 o elemento absorve potncia
Potncia ou energia < 0 o elemento fornece potncia
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CAPTULO 2 ELEMENTOSDOS CIRCUITOS
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Elementos dos circuitos
I. Introduo
Os circuitos podem ter 5 elementos bsicos:
Fontes de tenso; Fontes de corrente; Resistores; Indutores; Capacitores.
II.Fontes ideais de tenso e de corrente
Fontes = dispositivos capazes de gerar energia eltrica
Existem 2 categorias de fontes:
Fontes independentes e Fontes dependentes (fontes controladas).
1. Fontes independentes
Fonte ideal independente de tenso: estabelece uma tenso que no
depende das ligaes externas, ou seja, v fixa, independente de i.
Fonte ideal independente de corrente: estabelece uma corrente queno depende das ligaes externas, ou seja, i fixa, independente de v.
A
B
12V
A
B
12V
i [A]
v [V]
12
Caracterstica tenso/correnteSmbolos
ou
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2. Fontes dependentes ou controladas
Fonte controlada aquela que estabelece uma tenso ou uma corrente quedepende do valor da tenso ou corrente em outro ponto do circuito.
Fonte de tenso controlada por tenso
Fonte de tenso controlada por corrente
Fonte de corrente controlada por corrente
v [V]
i [A]
5
Caracterstica tenso/corrente
A
B
5A
Smbolo
1v1v - tenso de controle
2v - tenso controlada - ganho de tenso (adimensional)
12 vv =
1i
ganho de corrente (adimensional)12 ii =
1i
1i - corrente de controler transresistncia ()
12 irv =
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Fonte de corrente controlada por tenso
III. Resistncia eltrica (Lei de Ohm)
1.Resistncia eltrica
Capacidade do material para impedir a circulao da corrente ou
especificamente a circulao das cargas.
Resistor: elemento do circuito que possui resistncia eltrica.
Exemplos (resistor no linear): varistor ( )(vfR = ), termistor ( )(TfR = ).
2. Lei de Ohm
Estabelece uma relao algbrica entre tenso e corrente em um resistor. Numresistor linear utilizando a conveno passiva, esta lei pode ser escrita daseguinte forma:
1v g transcondutncia (S)12 vgi =
S lS
Rl
=
R resistncia ( ) - resistividade do material ( m )l - comprimento (m)
S seo transversal ( 2m )
Smbolo
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Condutncia
GvvRR
vi ===
1;
RG
1= (condutncia em mhoou S(siemens) )
Potncia num resistor
Outras expresses usuais: GvG
i
R
vP 2
22
=== .
Observaes
Curto-circuito resistncia nula tenso nula independente dacorrente.
Riv +=
v
iou
Riv =
v
i
ivP =
v
i
ivP =
v
i
Ora, Riv = .
Ento,2
RiiRiP ==
Ora, Riv = .
Ento,2
)( RiiRiP ==
0== Riv ; i v 0=R
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Circuito aberto resistncia infinita corrente nula, independente datenso.
IV. Leis de Kirchhoff
1. Definies
N: ponto de interconexo entre 2 ou mais elementos do circuito.
Lao: caminho fechado passando apenas uma vez em cada n e terminando
no n de partida.
Malha: lao que no contm nenhum outro por dentro.
Exemplo:
2. Lei de Kirchhoff para correntes (LCK)
A soma algbrica das correntes em qualquer n de um circuito semprenula
=
=N
nni
1
0
correntes entrando no n = correntes saindo do n.
0==R
vi ; v v =R
R1 I
E R2 R3
2
1
3 4
4 ns
3 laos 2 malhas
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Conveno
Corrente entrando no n, atribuir sinal +Corrente saindo do n, atribuir sinal -
3. Lei de Kirchhoff para tenses
A soma algbrica das tenses em qualquer lao de um circuito semprenula.
=
=N
nnv
1
0
Conveno
Percorrer o caminho fechado no sentido horrio, escrevendo a tensocom o primeiro sinal encontrado.
Exemplo:
E1
R1
R2
R 3
1RV
2RV
3RV
01 321 =++ RRR VVVE
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CAPTULO III CIRCUITOSRESISTIVOS
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1. Resistores em srie
Associao srie mesma corrente em todos os elementos.
2. Resistores em paralelo
Associao paralelo todos os elementos sujeitos mesma tenso.
IRRR
IRIRIRVVVV
n
n
n
)....(
.........
21
21
21
+++=
+++=+++= IRV eq .=
neq RRRR +++= ...21
1V
2V
nV
V
1R
2R
nR
Veq
R
I I
-
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Observao:
IRV eq.=
eq
n
n
n
R
VRRR
R
V
R
V
R
V
IIII
1
.1
...11
...
...
21
21
21
=
+++=
+++=
+++=
neq
neq
GGGG
ou
RRRR
+++=
+++=
...
1...
111
21
21
1R
2R
3R
21//RR 31//RRou
)//( 321 RRR + Ok!
V1
R2
R nR V eqR
I I
1I
2I
nI
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3. Associao de fontes
3.1. Fontes de tenso em srie
3.2. Fontes de Tenso em paralelo
Fontes de tenso em paralelo s podem ser associadas se apresentaremo mesmo valor.
1
R2
R21
21.
RR
RR
+
1V
2
V
3V
A
B
321
VVV ++
B
A
V5 V5 V5V10
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3.3. Fontes de corrente em srie
Fontes de corrente em srie s podem ser associadas se apresentarem omesmo valor.
A2 A2 A2A4
3.4. Fontes de corrente em paralelo
1I
2I
3I
231III +
4. Diviso de tenso
De maneira geral
iRV .11 =
iRRV ).( 21 +=
21
11
.
RR
VRV
+=
21
21
.
GG
VGV
+= ou
1R
2R
1V
2V
V
i
21
12
.
GG
VGV
+=
iRV .22 =
1
R
2R
1
V
2V
V
i
nR
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5. O circuito divisor de corrente
Mais geral
ou
nRRR
VRV
+++=
...
.
21
11
1R
2RI
1I
2I
V1
1 R
VI =
2
2 R
VI =
e IRR
RRV .
.
21
21
+=
IRRR
RRI .
)(
.
211
211 +
= e IRR
RI .
)( 21
12 +
=
IGG
GI .
)( 21
22 +
=IGG
GI .
)( 21
11 +
=
1R 2RI1I 2I
V nR
IRR
RRRI
eq
n .//...////
1
321 +
=
IGGG
GI
n
.
...21
11
+++=
-
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6. Transformao ou
ABR
ACR BCR
ABR
BCRACR
A B
C
A
C C
B
BRAR
A B
CR
C
AR BR
A
C
B
CR
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Resistncia equivalente entre A e B
BABCACAB
BCACAB RRRRR
RRR+=
++
+ )((1)
Resistncia equivalente entre B e C
CBBCACAB
ACABBC RRRRR
RRR+=
++
+ )((2)
Resistncia equivalente entre A e C
CABCACAB
BCABAC RRRRR
RRR+=
++
+ )((3)
Transformao
ACBCAB
ACABA
RRR
RRR
++
=.
ACBCAB
BCABB
RRR
RRR
++
=.
ACBCAB
BCACC
RRR
RRR
++
=.
Transformao
ABR
ACR
BCR
B
A
BR AR
A
CRC
B
C
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C
CBCABAAB R
RRRRRRR
... ++=
B
CBCABAAC
R
RRRRRRR
... ++=
A
CBCABABC R
RRRRRRR
... ++=
ABR
ACRBCR
ARBR
CR
AB
C
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CAPTULO 4 TCNICASDE ANLISE DE
CIRCUITOS
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Tcnicas de Anlise de Circuitos
I. Definies
Ramo: caminho que liga 2 ns.
Circuito planar: circuito que pode ser desenhado no plano sem que dois ramos decruzem.
Exemplo:
Circuitos planares
1R
3R5R
2R
4R
1R
3R5R
2R
4R
Circuito no planar
II.Mtodo das tenses de n (anlise nodal)
baseada na Lei de Kirchhoff para correntes (LCK).Incgnitas sotenses.
No de tenses incgnitas =No de ns 1 .
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Roteiro:a. Converter as resistncias em condutncias;b. Escolher o n de referncia, atribuindo-lhe tenso nula;c. Associar a cada n (exceto o n de referncia, que tem tenso nula) uma tenso
incgnita (tenso de n);d. Aplicar a LCK em cada n (exceto no n de referncia) considerando todas as
correntes saindo do n (por conveno);e. Resolver o sistema de equaes.
1. Fontes do circuito: s fontes de corrente
a. S fontes de corrente independentes
=
3
6
72
24
2
1
V
V
...
VV
VV
1
2
2
1
=
=
N 10)(226 211 =++ VVV
N 2 035)(2 212 =+ VVV ...
1
V2
V
5,0 2,0
5,0
A6 A3
0S2
S2S5
ABV
A BG
ABVA BG
i
i
( )AB A Bi GV G V V = =
( ) ( )AB A B B Ai GV G V V G V V = = =
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b. Incluindo tambm fonte de corrente controlada
2. Fontes do circuito incluem fontes de tenso (dependentes ou independentes)
a. Todas as fontes de tenso esto ligadas ao n de referncia
N 1
1 1 26 2 2 2 ( ) 0i V V V + + =
N 22 1 22( ) 5 2 3 0V V V i + + =
i
25i V=
0,5
5,0
0,26A 3A
2
V1
V
i2
5S
2S 2S
1 2 1
21 2
4 8 6 4 8 6
2 3 3 2 3 3
V V V
VV V
+ = =
+ = ...
2
1
6
21
2
V V
V V
=
=
-
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b. Nem todas as fontes de tenso esto ligadas ao n de referncia
Soluo: considerar a fonte de tenso e os seus 2 ns como um nico grande n(supern) curtocircuitar ns 2 e 3.
VV 101 = N 2
2 1 22( ) 4 1 0aV V V I + + =
N 3
32 2 0aI V + + =
Problema: no seconhece a corrente aI nafonte de tenso
N 2
2 1 2 31( ) 6 1( ) 0V V V V + =
N 3
3 2 3 41( ) 4 2( ) 0V V V V + =
2
3
6
2
V V
V V
=
=
1V
2V 3V S2S1S1
V2A4A6V4
4V
1
4
4
2
V V
V V
=
=
Cada fonte de tensoligada ao n dereferncia diminui onmero de tensesincgnitas em 1unidade
1V 2V aI2
xi
S2 A2S1A4V10
xi
S2 3V
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II.Mtodo das correntes de malha (anlise de malha)
baseada na Lei de Kirchhoff para Tenses (LTK).Incgnitas socorrentes.
No
de incgnitas = No
decorrentes de malha .
2
3
2
6
2
824
x
x
i
V V
V V
i AP W
= =
= =
2 1 2 32( ) 4 1 2 2 0V V V V + + + =
No supern,2
32xiVV =
)(2 21 VVix =
=
10
22
12
23
3
2
VV
-
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Roteiro:a. Converter as condutncias em resistncias;b. Associar em cada malha uma corrente de malha no sentido horrio;
c. Aplicar a LTK em cada malha;d. Resolver o sistema de equaes, obtendo o valor das correntes de malha.
1. Fontes do circuito: s fontes de tenso
a. S fontes de tenso independentes
Correntes de ramo, em funo dascorrentes de malha:
1 1
2 2
3 3
4 1 2
5 3 2
i I
i Ii I
i I I
i I I
=
= =
=
=
Correntes de malha:1 2 3, ,I I I .
1I 2I 3I
1i 2i 3i
4i
5i
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b. Incluindo tambm fontes de tenso controladas
Malha 1
1 31 1 1 1 2 30 0R RV V V V R i R i + + = + + =
Malha 2
3 32 3 2 2 2 30 0R RV V V R i V R i+ = + =
Mas
1 1
1 1 1 2 1 2
2 2
2 3 2 2 2 2
3 1 2
( ) 0
( ) 0
i I V R I R I I i I
V R I R I I i I I
= + + ==
+ + ==
1 2 2 1 1
2 2 3) 2 2
( )
(
R R R I V
R R R I V
+ = +
...
Usando correntes de ramos,temos 3 incgnitas e 2
equaes.
2 equaes,
2 incgnitas
3 malhas 3 correntes incgnitas
1
2
3
25 5 20 50
5 10 4 0
5 4 9 0
I
I
I
=
...
1
2
3
29,6
26
28
I A
I A
I A
=
= =
1I 2I
3i
1V
1i
2V
2i 3R1R
2R2RV
2RV
1RV
2 malhas 2 correntes incgnitas
V50 20
i45
1
i151I 3I
2I
Malha 1:1 2 1 3
50 5( ) 20( ) 0I I I I + + = Malha 2:
2 2 3 2 11 4( ) 5( ) 0I I I I I+ + =
Malha 3:3 2 3 1
4( ) 15 20( ) 0I I i I I + + =
1 3i I I =
-
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2. Fontes no circuito: incluindo tambm fontes de corrente
a. Cada uma das fontes de corrente pertence a uma nica malha
Calcular a potncia na fonte de tenso:
Malha 2:
2 2 1 1 2 3 22 2( ) 26 1 2( ) 0 4I I I I I I I A+ + + = =
Potncia na fonte de tenso:
1 226( )
26(5 4) 26
P V I I I
W
= + = =
= =
Cada fonte de corrente que pertence a uma nica malha diminui onmero de incgnitas em 1 unidade.
3 malhas 3 incgnitas
Do circuito, obtm-se
imediatamente1
5I A= e
32I A= .
1I
i
V26
2
3
2I3I
1
2
-
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b. Nem todas as fontes de corrente pertencem a uma nica malha
Calcular1
V:
Existe uma fonte de corrente que pertence a uma nica malha 2 incgnitasapenas.
14I A=
Malha 2: 2 1 2 31 4( ) 0I v I I+ + = Malha 3:
3 1 3 2 1 32( ) 4( ) 9 0I I I I v I + + =
Problema: no se conhece a tenso na fonte de corrente (1
v no incgnita
principal do sistema).
Soluo: considerar a fonte de corrente como um circuito aberto e escrever a LKTna supermalha.
3 1 2 32( ) 1 9 0I I I I + + =
No interior da supermalha temos:
1 2 35V I I=
ora1 1 3
2( )V I I=
Assim2
184I A= e 3 16I A=
3 malhas 3 incgnitas
supermalha
2I
1v
4
1
21
V
1I
A4 93
I
15V
-
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IV.Anlise nodal ou anlise de malhas?
a) Simplificar o circuito,
b) determinar o nmero de equaes necessrias utilizando a tabela abaixo.
Anlise Nodal Anlise de Malha
Incgnitas Tenses de n Correntes de malha
Nmero de incgnitas Nmero de ns 1 Nmero de malhas
Critrio para reduzir o
nmero de incgnitas
Fonte de tenso ligada ao n
de referncia
Fonte de corrente que
pertence a uma nica
corrente de malha
Caso especial Fonte de tenso no ligada
ao n de referncia aplicar conceito de supern
Fonte de corrente que
pertence a duas correntes e
malha aplicarconceito de supermalha
Obs.: o n de referncia tem que ser colocado de preferncia no n que tem o maior
nmero de fontes de tenso (dependente ou independente) ligado nele.
O mtodo de anlise mais adequado ser aquele que leva a escrever o menor
nmero de equaes.
-
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37
Exemplo 1
Determinar a potncia na fonte de tenso controlada
300
100 250 500
400V128V256
200 i50
150
i
-
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38
Exemplo 2
Determinar 1V e 2V .
4
6
5,2
141,0 V A5,0
2V
5,7 8
28,0 V
2
V193
1V
-
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39
V.Transformaes de fontes
1. Fonte real de tenso
L s V LV V R I =
2. Fonte real de corrente
1L s L
I
I I VR
=
Modelo Caracterstica tenso-corrente
sI
LV
b
a
LR
LI
IR
fonte real
fonte ideal de correnteL
I
LV
VR
sV
LV
b
a
LR
LI
fonte real
fonte ideal de tenso
LI
LV
Caracterstica tenso-correnteModelo
-
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40
3. Equivalncia de fontes
Objetivo: transformar uma fonte real de tenso numa fonte real de correnteou vice-versa.
Fonte de tenso fonte de corrente
VR
sV
LV
b
a
LR V
ss
R
VI =
b
a
LR
VIRR =
Fonte de corrente fonte de tenso
VR
sIsIRV =
LV
b
a
LRsI
b
a
LR
IR
Observaes: A equivalncia deve valer para qualquer valor de IR .
A seta da fonte de corrente sempre aponta do - para + da fonte de tensoequivalente.
b
a1R
2R
b
a
2R
b
a1R
2R
b
a1R
-
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41
VI.Circuitos equivalentes de Thvenin e Norton
1. Circuito equivalente de Thvenin
A. Objetivo
Obteno de circuito equivalente simples (fonte de tenso em srie comum resistor) a partir de redes lineares quaisquer.
LV
LIa
b
a
b
LV
LI
THV
THR
Onde
THV a tenso que aparece entra (a) e (b) com a carga desconectada.
THR a resistncia equivalente vista dos terminais (a) e (b).
B. Determinao de THV e THR : 1o mtodo
THV : desconectar a carga e determinar a tenso entre os terminais (a) e (b)
CCi : curtocircuitar os terminais (a) e (b) e determinar a corrente de curto-circuitono sentido (a) (b)
CC
THTH i
VR =
-
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42
Exemplo: determinar o circuito equivalente de Thvenin
V2
a
b
4
1I12I
3
cargaR
-
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43
C. Determinao de THR e THV : 2o mtodo
Objetivo: determinar os valores de THR e THV de tal forma que visto dosterminais (a) e (b) os dois circuitos abaixo so equivalentes.
a
b
a
b
THV
THR
Rede
linear
Ento se colocamos nos terminais (a) e (b) uma fonte de corrente de teste comvalor TI nos dois circuitos, as tenses abV nos dois circuitos devem serequivalentes.
Comparando as equaes (1) e (2) podemos deduzir que
XRTH = YVTH =
Observao: se a escolha da direo da corrente na fonte de teste invertida,
a
b
a
b
THV
THR
Rede
linearAB
VT
I ABV TI
ab TV XI Y = + (1) ab TH T TH V R I V = + (2)
-
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44
a
b
THV
THR
ABV
TI
a
b
ABV
TIRede
linear
ab TH T TH V R I V = + TH
TH
R X
V Y
=
=
-
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45
Exemplo: determinar o circuito equivalente de Thvenin.
V2
a
b
4
1I12I
3
cargaR
-
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46
D. Caso particular: circuito contendo apenas fontes independentes
a
b
cargaR
Rede
linear
Determinao de THV : desconectar a carga e determinar a tensovista dos terminais (a) e (b).
Determinao de THR : desconectar a carga e determinar a resistnciaequivalente vista dos terminais (a) e (b) com todas as fontes
independentes em repouso. Fonte de tenso em repouso 0=V (curto-circuito) Fonte de corrente em repouso 0=I (circuito aberto).
Exemplo: determinar o equivalente de Thvenin que alimenta a carga LR .
a
b
LR6
3 7
V12
-
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47
2. Circuito equivalente de Norton
A. ObjetivoObteno de circuito equivalente simples (fonte de corrente em paralelocom um resistor) a partir de redes lineares quaisquer.
a
b
Rede
linear
LI
LV
a
b
LV
LI
NI
NR
Onde: NI a corrente que vai de (a) para (b) atravs de um curto-circuito;
NR a resistncia equivalente vista dos terminais (a) e (b).
B. Determinao de NR e NI : 1o mtodo
Idem primeiro do Thvenin:
CCN iI =
CC
THN i
VR =
C. Determinao de NR e NI : 2o mtodo
De (1) e (2) X
RN1
= e YIN =
a
b
Rede
linear
abI
TV
a
b
NI
NR
abI
TV
ab TI XV Y= + (1)1
ab T N
NI V IR= +
(2)
-
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48
D. Caso particular: circuito contendo apenas fontes independentes
Determinao de NR : idem a THR
Determinao de NI : desconectar a carga, curto-circuitar (a) e (b) e determinar acorrente de curto-circuito que vai do terminal (a) ao terminal (b).
Exemplo:
a
b
LR6
3 7
V12
-
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49
E. Determinao de NR e NI : 3o mtodo
A partir do circuito equivalente de Thvenin, fazer transformao de fontes.
a
b
TH
TH
N
R
VI =
NR
LR
a
b
LR
THV
THR
VII. Transferncia mxima de potncia
Objetivo: obter a mxima potncia possvel de uma rede qualquer.
LR
Rede
linear LR
LI
THV
THR
Determinar LR de tal maneira que a potncia dissipada nela seja mxima:
2
2
+==
LTH
THLLLR RR
VRIRP
L
MaximizarLR
P 0=L
R
dR
dPL
THL RR =
Ento
TH
TH
THTH
THTHmxR
R
V
RR
VRP
L 4
22
, =
+=
-
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50
Rendimento
LTH
L
THL
THTH
LTH
THL
V
R
RR
R
RR
VV
RRVR
P
P
TH
L
+=
+
+==
2
Mxima transferncia de potncia no necessariamente vantajosa. Ex: sistemas de
potncia
0,5
THR
THR
2
4
TH
TH
V
R
LR
LP
LR
-
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51
VIII. O princpio da superposio
Circuito linear: se o circuito alimentado por mais de uma fonte de energia, a respostatotal igual ao das respostas a cada uma das fontes independentes em repouso.
Observaes: Fonte de tenso em repouso 0=V (curto-circuito) Fonte de corrente em repouso 0=I (circuito aberto). Fontes controladas no devem ser colocadas em repouso.
Rede
linearV
I
i
Rede
linearV
i
Rede
linear
I
i
-
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52
Exemplo: obter XV por superposio.
V2 4
1I
12I
3
XVA3
-
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CAPTULO V OAMPLIFICADOROPERACIONAL
-
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1. Introduo
Amplificador operacional: circuito integrado composto por uma associao detransistores, capacitores, resistores etc...
Funes: Associado aos resistores pode desempenhar operao tais
como adio, subtrao, troca de sinal e multiplicao porum fator constante;
Associado aos capacitores e/ou indutores, realizaoperaes como integrao e diferenciao;
Comparadores; Osciladores.
2. Terminais do Amplificador Operacional
Considerar o Amp. Op. como uma caixa preta cujos terminais so mostrados aseguir:
1
2
3
4
8
7
6
5
Entrada inversora
Entrada no inversora +
VCC
VCC+
Sada
ua 741
Smbolo
+
_
Entrada NoInversora
EntradaInversora
Sada
Alimentao+
_Alimentao
-
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55
3. Tenses e correntes nos terminais do Amp. Op.
Sentidos das correntes e polaridade das tenses no Amp. Op.
+
_
+
_ _
+
V+
V-
+
+
__
Vcc
Vcc
pioi
ini
c
i
+ci
oVpV
nV
Regies de operao do Amp. Op.:
Vo = -Vcc se A(Vp - Vn) < -VccVo =A(Vp - Vn) se -Vcc A(Vp - Vn) Vcc
Vo =Vcc se A(Vp - Vn) > Vcc
Curva de transferncia de tensodo Amp. OP.
O Amplificador operacional opera na regio linear quando |Vp - Vn| < Vcc/A.Como A um valor geralmente grande, ento |Vp - Vn| deve ser pequeno.
Saturao positiva
Saturao negativa
Regi
olin
ear
ccV
ccV
oV
A
VccA
Vcc )( np VV
-
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56
No caso ideal: Vp = Vn A = resistncia de entrada elevada ip = in = 0
De acordo com as leis de Kirschhoff para corrente:
ip + in + io + ic- + ic+ = 0i0 = - (ic+ + ic-)ora, ip = in = 0
Observaes:o ip = In = 0 no significa que i0 = 0;o As tenses de alimentao no precisam ser simtricas.
Ex.: V+ = 12V e V- = -8VNa regio linear 8V Vo 12V
Exemplo 1:
12V
-12V
22k
220k
40k4,7k
12
Va
Vb
Vo
o Supondo o Amplificador ideal.Calcule Vo para:a) Va =3V e Vb = 2V;b) V
a= 1,5V e V
b= 2,5V.
c) para Vb = 4V, especifique o intervalo no qual deve ser mantida a tensoVa para que o amplificador no entre na regio de saturao.
4. Modo de operao do amplificador operacional
-
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57
4.1. Sem realimentao
Este modo denominado operao em malha aberta.Funciona sempre em modo saturao.Utilizado como circuito comparador.
Ex. circuito de controle
ccV
ccV
oVinV
pV
4.2. Com realimentao positiva
Realimentao significa que uma frao da tenso de sada reinjetada
numa das entradas. Na realimentao positiva o sinal de sada reinjetado naentrada no inversora.
Muito instvel, utilizado em osciladores.
Ex. geradores de sinais.
gVoV
ccV
ccV
4.3. Realimentao negativa
Este tipo o mais importante meio de realimentao, pois estabiliza osinal e tende a aproximar as caractersticas do amplificador ideal.
5. O circuito amplificador-inversor
Hiptese: Amp. op. idealAmp. op. operando na regio linear
-
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58
Objetivo: Vo = f(Vs)
No n 1 temos terra virtual, pois Vn = Vp. Ora, Vp = terra Vn = terra.
No n 1: is + if = 0 0=
+
f
no
s
ns
R
VV
R
VV
Como o Amp. op. ideal Vn = Vp, ip = in = 0
Ora, Vp = 0 Vn =0
Logo ss
fo VR
RV = ; a tenso de sada uma reproduo invertida do sinal
de entrada, multiplicada por uma constante amp. inversor.
6. O circuito amplificador-somadorHiptese: Amp. op. ideal Vn = Vp; ip = in = 0
Amp. op. operando na regio linear
ccV
cc
V
oV
aV
bVcV
aR
bR
cR
1
fR
ai
bi
ci
fi
ni
ia + ib + ic + if = in = 0
0=
+
+
+
f
no
c
nc
b
nb
a
na
R
VV
R
VV
R
VV
R
VV
1ccV
ccV
sR
sV nVpV o
V
fR
si
fi
-
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59
++= c
c
fb
b
fa
a
fo VR
RV
R
RV
R
RV
tenso de sada = - (soma das tenses de entrada multiplicada por um
fator de escala).
Se Ra = Rb = Rc = Rf Vo = - (Va + Vb + Vc).
Ex. misturador de udio.
7. O circuito amplificador no inversor
Vn = Vpip = in 0
fs
osn RR
VRV
+= ora, Vn = Vp
= Vg
fs
osg
RR
VRV
+=
gs
fso VR
RRV
+=
A tenso de sada uma reproduo do sinal de entrada, multiplicada por umaconstante.
8. O circuito amplificador diferena
gV
sR
gR
fR
oV
ccV
ccV
-
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60
aR
cR
bR
oV
ccV
ccV
dRaV
bV nV pV
1
2
No n 1:
0=+
+
nb
on
a
an iR
VV
R
VV
No amplificador operacional ideal in=0 =ip e Vn=Vp
dc
bdpn
RR
VRVV
+==
( )( ) aa
bb
dca
bado V
R
RV
RRR
RRRV
+
+=
sed
c
b
a
R
R
R
R= ( )ab
a
bo VV
R
RV =
a tenso de sada proporcional diferena entre as tenses deentrada.
Uma caracterstica importante de uma conexo de circuito diferencial sua capacidade de amplificar consideravelmente sinais opostos nas duasentradas, enquanto amplifica suavemente sinais comuns a ambas asentradas.
Vamos escrever as tenses de entrada em funo de duas outrastenses chamadas de tenso do modo diferencial e de tenso do
modo comum:
Vdm = Vb Va (tenso de modo diferencial)Vcm = (Va + Vb) (tenso de modo comum)Ento
Va = Vmc VmdVb = Vmc + Vmd
-
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61
aR
cR
bR
oV
ccV
ccV
dR
mcV 2md
V
2
mdV
( )( ) ( )
( ) mddcadcbbad
mcdca
cbado V
RRR
RRRRRRV
RRR
RRRRV
+
++++
+
=
2
Vo = Amc Vmc + Amd Vmd
ganho de ganho de modomodo comum diferencial
Fator de rejeio de modo comum um parmetro usado para indicar atque ponto um amplificador diferena se aproxima de um amplificador ideal.
CMRR =mc
md
A
A quanto maior CMRR, melhor o Amp. op.
No Amp. op. ideal Amc = 0 e Amd elevado.
9. Modelo mais realista para o amplificador operacional
No Amp. Op no ideal, a resistncia de entrada Ri de valor finito, o ganho A de valor finito e a resistncia de sada R0 0. Assim o circuito equivalente doAmp. Op. mais realista apresentado abaixo.
-
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62
iR
oR
nioV
pi
oi
)np VVA pV
nV
Exemplo: Determinar Vo = f(parmetros do circuito)Amplificador no ideal
sV
sR
fR
oV
ccV
ccV
n 1:
i
n
f
no
s
ns
R
V
R
VV
R
VV=
+
)0=
+
f
no
o
npo
R
VV
R
VVAV
ora Vp = 0ento
s
f
o
i
s
i
o
f
s
foV
R
R
R
R
R
RA
R
R
RRAV
+
++
++
+=
11
0
-
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63
Obs.: Ro = 0
Ri Amp. op. idealA
ss
fo VR
RV
=
-
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64
CAPTULO 6 INDUTORESE CAPACITORES
-
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65
Indutores e CapacitoresEstudo de 2 novos elementos: indutor e capacitor (elementos capazes de
armazenar energia).
I. O Indutor
1. Caractersticas do indutor
Basicamente o Indutor um dispositivo de 2 terminais composto de um fiocondutor, enrolado em espiral.
O comportamento dos indutores se baseia emfenmenos associados a campos magnticos.
A aplicao de uma corrente varivel no indutorproduz um campo magntico varivel no seu redor.
Um campo magntico varivel induz uma tenso nosterminais do indutor e essa tenso proporcional taxa de variao de corrente que o atravessa.
Matematicamente:
div L
dt=
Tenso em Volts Indutncia em Henry [H]
Corrente [A]
Tempo [s]
Li
dv
dt
=
=
Fluxo magntico concatenado
Lei de Faraday {
)(tv
)(ti
-
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66
)(tv
)(ti L
dt
tdiLtv
)()( =
)(tv
)(ti L
dt
tdiLtv
)()( =
-
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Observaes:
Quando a corrente constante, a tenso entre os terminais de umindutor ideal nula . Assim, oindutor se comporta como um curto-circuito para corrente contnua.
A corrente que atravessa um indutor no pode variar instantaneamente,ou seja, existe inrcia de corrente no indutor.
Se a corrente variar bruscamente porque h tenso infinita(imposta por um circuito externo) entre os terminais do indutor. Oconceito de impulso utilizado para modelar matematicamente estefenmeno. Neste caso temos um impulso de tenso nos terminais doindutor.
2. Corrente em um indutor em funo da tenso entre os terminais do indutor:
0 0) 0
0
0
( )
(
0 0
( ) 1( ) ( ) ( )
1 1( ) ( )
1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
i tt t
t i t t
tt
tt
di tv t L di t v t dt
dt L
di t di v t dt L L
i t i t v t dt i t i t v t dt L L
= =
= =
= = +
3. Potncia e energia nos indutores:
0 0
0
0 0
( ) ( )( )
20
( )( ) ( )
2 20 0
( )( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
1( ) ( )
2
1( ) ( ) ( ) ( )
2
t t
t t
W t i t i t
i tW t i t
di tp t v t i t Li t
dtdW t
p t dW t p t dtdt
di t di t dW t Li t dt dW t L i t dt
dt dt
dW L idi W t W t L i
W t W t L i t i t
= = = =
= =
= =
=
-
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Se 0( ) 0i t = , e 0( ) 0W t = , ento21( )
2W t Li= .
-
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II.O Capacitor
O capacitor um dispositivo de 2 terminais composto por 2 placas condutorasseparadas por um isolante.
O comportamento do capacitor se baseia emfenmenos associados ao campo eltrico.
Os campos eltricos so produzidos por umaseparao de cargas eltricas, ou seja, por tenso.Ento a carga proporcional diferena depotencial e podemos escrever que q = C v. Orasabemos que i = dq/dt. Assim a relao tenso-
corrente no capacitor pode ser escrita da seguinte forma:
Observaes:
Quando a tenso constante, a corrente em um capacitor ideal nula,ou seja, o capacitor se comporta como um circuito aberto para corrente
contnua. A tenso nos terminais de um capacitor no pode variar
instantaneamente: Existe inrcia de tenso no capacitor.
Se a tenso variar bruscamente, porque h corrente infinita (impostapor um circuito externo) passando pelo capacitor. O conceito de impulso utilizado para modelar matematicamente este fenmeno. Neste casotemos um impulso de corrente passando pelo capacitor.
2. Relaes integrais para o capacitor
dvi Cdt
=
Corrente [A] Tenso [V]
Capacitncia, em Farads [F]
v
-
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70
0 0
0 0 0
( )
0( )
( ) 1( ) ( ) ( )
1 1
( ) ( ) ( ) ( )
t t
t t
v t t t
v t t t
dv ti t C dv t i t dt
dt C
dv i t dt v t v t i t dt C C
= =
= = +
-
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71
1 2
1 2
1 2
( ) ( ) ( ) ... ( )
( ) ( ) ( )...
( )
...
n
n
eq
eq n
v t v t v t v t
di t di t di t L L L
dt dt dt di t
L
dtL L L L
= + + +
= + + +
=
= + + +
Os indutores em srie se associamcomo resistores em srie.
3. Potncia e energia nos capacitores
0 0 0 0
( ) ( )
( ) ( )
2 20 0
( )( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
1( ) ( ) ( ) ( )
2
W t v t t t
t t W t v t
dv tp t v t i t v t C
dtdW t
p t dW t p t dtdt
dv tdW t C v t dW C vdv
dt
W t W t C v t v t
= = = =
= =
= +
Se 0( ) 0W t = e 0( ) 0v t = ,21( ) ( )
2W t Cv t =
III. Associaes de indutores e capacitores em srie e em paralelo
1.Associaes de indutores
A. Indutores em srie
)(1
tv )(2
tv )(tvn)(tv
c
)(ti
)(tv
)(ti
1L
2L nL
eqL
-
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72
B. Indutores em paralelo
nL2L1L
)(1 ti )(2 ti )(tin
)(ti
)(tv eqL
)(ti
)(tv
0 0 0
00
1 2
1 0 2 0 01 2
1 0 2 0 01 2
( )
1
( ) ( ) ( ) ... ( )
1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ... ( ) ( )
1 1 1( ) ... ( ) ( ) ( ) ... ( )
eq
n
t t t
nnt t t
t
nn t i t
L
i t i t i t i t
v t dt i t v t dt i t v t dt i t L L L
i t v t dt i t i t i t L L L
= + + +
= + + + + + +
= + + + + + + +
14444244443144424443
neq LLLL
1...
111
21
+++=
Os indutores em paralelo se associam como resistores em paralelo.
Para 2 indutores,21
21
LL
LLLeq +
= .
-
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73
2. Associaes de capacitores
A. Capacitores em paralelo
B. Capacitores em srie
)(1
tv )(2 tv )(tvn)(tv
)(ti
)(tv
)(ti1C 2C eqC
nC
nC2C1C
)(1
ti )(2 ti )(tin
)(ti
)(tv
eqC
)(ti
)(tv
c
dttdvC
dt
tdvCCC
dt
tdvC
dt
tdvC
dt
tdvC
titititi
eq
n
n
n
)(
)()...(
)(...
)()(
)(...)()()(
21
21
21
=
=+++=
=+++
=+++=
neq CCCC +++= ...21
Os capacitores em paralelo se associam comocondutncias em paralelo.
-
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74
4444 34444 21444 3444 21 )(
00201
1
21
002
2
01
1
21
00
0 00
)(...)()()(1
...11
)()(1
...)()(1
)()(1
)(...)()()(
tv
n
t
t
C
n
t
t
t
tn
n
t
t
n
tvtvtvdttiCCC
tvdttiC
tvdttiC
tvdttiC
tvtvtvtv
eq
++++
+++=
=++++++=
=+++=
neq CCCC
1...
111
21
+++= . Os capacitores em srie se associam como
condutncias em srie.
IV. Dualidade
Definio: dois circuitos so duais se a equao de malhas que caracteriza umdeles tem a mesma forma matemtica que a equao nodal quecaracteriza o outro.
Grandeza Dual
Tenso CorrenteCarga Fluxo
Resistncia CondutnciaIndutncia Capacitncia
Curto-circuito Circuito abertoImpedncia admitncia
N (no-referncia) MalhaN de referncia Malha externa (lao)Ramo de rvore Ramo de ligao
Srie ParaleloLKT LKC
Exemplo: Determinao de um circuito dual utilizando a tabela acima
Capacitor
dt
dvCi =
Indutor
dt
diLv =
LC
viGrandezas duais
-
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75
V. Resposta natural de um circuito RL
O circuito estava operando em regime permanente quando em 0=t a chavepassa da posio A para a posio B. Determine )(til para t 0.
HL
R
R
RVE
5
4
20
30
100
3
2
1
=
=
=
==
c
1R C
2RLV
I 1G 2G
C
L
1. Colocar um n em cada malha +um n de referncia
2. Aplicar as regras de dualidade
E
1R
0t=
A B2R 3R
L
1R
2R 3R
Li
1R 2R 3R
Li
1
E
R
eqR
t
-
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76
3
3
3
3
3 3
3
( ) ( ) 0
( )( ) 0
( ) ( )
( ) ( )
ln( ( )) ( )
( )
L R
LL
L L
L LR
t kLL
Rtk L
L
V t V t
di tL R i t
dtR Rdi t di t
dt dt
i t L i t LR
i t t k i t e eL
K e i t Ke
+ =
+ =
= =
= + =
=
Kdepende das condies iniciais:0(0 )Li Ke K
+ = =
Como h inrcia de corrente no indutor, (0 ) (0 ) 2,5L Li i A K += = =
4
5( ) 2,5t
Li t e
=
1
3
2,5
(0 ) 2,5
eq
Leq
L
ER
Ri A
R R
i A
= =
+
=
t= 0+( logo depois do chaveamento)
E
1R
2R 3R
L
3R
L
( )L
V t
( )Li t
3( )
RV t
-
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Calcular Ldi
dtem 0t += e 0t = :
a) utilizando as expresses da corrente em t = 0- e em t = 0+
0,8 0,8
0 0(0 ) 2,5 0,8 2,5 2 /
(0 )0
t tL
t t
L
ddi e e A s
dt
di
dt
+
= =
= = =
=
b) Utilizando o circuito logo depois do chaveamento
(0 ) (0 ) 4 2,5
(0 ) (0 ) 2 / 5
L L
L L
di di
v L v A sdt dt
+ ++ +
= = = =
Calcular 3
0
( )R
t
dV t
dt +=:
3
3
3
0,83
0
( )
(0 ) (0 )4 ( 0,8) 2,5 8 /
R L
R tL
t
V R i t
dV diR e V s
dt dt
+ +
=
=
= = =
( )t s
( )( )L
i t Ampres
2,5
0
-
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CAPTULO VII ANLISEDE CIRCUITOS SENOIDAIS
-
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1. Fontes senoidais.
Fontes de tenso (corrente) senoidal produzem uma tenso (corrente) quevaria com o tempo.
wtIti p sen)( = wtVtv p cos)( =
obs.:
A funo senoidal uma funo peridica isto ela se repete emintervalos regulares.
Um ciclo da funo um trecho que comea em uma certa amplitudee termina na mesma amplitude.
O tempo necessrio para percorrer um ciclo chamado perodo.
A freqncia o nmero de ciclo por segundo ][1
HzT
f = ou ciclo/s.
Freqncia angular ]/[2
2 sradT
wwt
==
Funo cosseno defasado )cos()( += wtAtf
Onde o ngulo de fase da funo cosenoidal e geralmenteapresentado em graus.
Ex.: )302cos(20)( o+= ttv
rad/s
Transformao para radianos
0 1.5708 3.1416 4.7124 6.2 832 7.854 9.4248
-1
-0.8
-0.6-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
wt
v(t)
Vp x
rad0 1.5708 3.1459 6.28324 .7124 6 .2832 7 .854 9 .4248
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
wt
i(t)1 ciclo
Ip x
rad
-
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80
)180
.301.2cos(20)1(
+=v
Para determinar a defasagem entre 2 funes senoidais.Seja
)cos()( 11 += wtVtv p e )cos()( 22 += wtVtv p ento,
)(1 tv est adiantado de em relao )(2 tv
Ex.:1( ) 100 (7 30 )v t sen t =
o
)107cos(40)(2o+= ttv
)1207cos(100)90307cos(100)(1ooo == tttv
)1007sen(40)10907cos(40)(2ooo +=++= tttv
)(1 tv est adiantada deooo
13010030 = em relao )(2 tv .ou
)(1 tv est atrasada deo
130+ em relao )(2 tv .
2. Respostas senoidais
)()(cos tvtVwtV LRp +=
Obter uma resposta em Regime Permanente senoidal corresponde a obter asoluo particular da equao diferencial (1).
RV
wtVp cos
LV )(ti
LR Hiptese: circuito est emregime permanente
dt
tdiLtiRwtVp
()(.cos += (1)
-
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81
A soluo particular da equao diferencial tem a mesma forma que a fontede excitao, ento vamos supor que ( ) cos( )pi t I wt = + .
Objetivo: determinar pI e .
o ABBABA cos.sencos.sen)sen( = o BABABA sen.sencos.cos)cos( =
)sen()()cos(.cos +++= wtIwLwtIRwtV ppp
]cos.sencos.[sen]sen.sencos.[cos.cos wtwtLwIwtwtIRwtV ppp +=
wtwLIRIwtLwIRI pppp sen].cos.sen.[cos].sen.cos.[ +=
Por identificao de varivel
ppp VwLIRI = sencos (2)0cossen = pp wLIRI (3)
fazendo as eqs. (2)2 + (3)2, temos:
22222 )( ppp VIwLIR =+ 22 )(LwR
VI pp
+=
e da eq. 3 temos,
cossen pp wLIRI =
R
wLarctg=
portanto,
)cos(.)(
)(22 R
wLarctgwt
LwR
Vti p
+=
podemos constatar que a corrente est atrasada de em relao tenso.
3. Fasores.
Definio: Fasor um nmero complexo que representa uma tenso ouuma corrente alternada, cuja parte real representa uma grandeza co-senoidalem t=0.
-
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82
O conceito fasor baseado na identidade de Euler:
sencos je j =
A transformada fasorial de uma tenso senoidal feita da seguinte forma:
{ }{ }
{ }jwtjp
jwtjwtp
wtjp
p
eeVe
eeeV
eeV
wtVv
=
=
=
+=+ )(
)cos(
Transformada fasorial transfere a funo senoidal do domnio do tempo parao domnio da freqncia.
Ex.: )502cos(100)(1 += ttv [V]o& 63202 =V [V]
501001 =V& [V] )63cos(20)(2o= wttv [V]
4. Excitao Complexa
v(t)
rede
lineari(t)
Fasor tenso
== pj
p VeVV&
Forma retangu
Forma polar
-
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83
)cos()(1 vp wtVtv += )cos()(1 ip wtIti +=
)sen()(2 vp wtjVtv += )sen()(2 ip wtjIti += Utilizando o conceito de superposio
[ ] )(21 )sen()cos()()()( vwtjpvvp eVwtjwtVtvtvtv +=+++=+=
[ ] )(21 )sen()cos()()()( iwtj
piip eIwtjwtItititi
+=+++=+=
rede
linear
)( vwtjpeV
+ )( iwtjpeI
+
Fator jwte aparece em todos os termos, o mesmo pode ento sersuprimido ficando subentendido.
Assim o circuito no domnio da freqncia :
rede
linear
vjpeV
ijpeI
5. Elementos passivos no domnio da freqncia
5.1) Para o resistor.
-
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84
)(tv
)(ti
R
Aplicando a Lei de Ohm
)(.)( tiRtv = )()( . iv wtjpwtj
p eIReV ++ =
iv jp
jp eIReV
.= no domnio da
freqncia:
IRV && .= O circuito no domnio da freqncia
V&
I&
R
5.2) Para o indutor
)(tv
)(ti
L
Utilizando uma excitao complexa do tipo)(
)( vwtj
peVtv+=
teremos uma corrente do tipo)(
)(
iwtj
peIti
+
=
Tenso e corrente em fase
dt
tdiLtv
)()( =
)()( iv wtjp
wtjp eI
dt
dLeV ++ =
)( iwtjpejLwI
+=
iv jp
jp eIjLweV
.=
V&
I&
jLw
-
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No indutor, a corrente esta atrasada de 90 em relao tenso.
5.3) Para o capacitor
VjCwI && =
IjwC
V &&1
=
o&
& 90=Cw
IV
No capacitor, a corrente est adiantada de 90 em relao tenso.
Exemplo: Determinar i(t) em regime permanente.
wtVp cos)(ti
LR
o&&& 90.. == ILwIjLwV
dt
tdvCti
)()( =
)()()(
][vvi wtj
pwtj
pwtj
p ejCwVeVdt
dCeI
+++
==)(tv
)(ti
C
vjp
jp ejCwVeI
i =
V&
I&
jCw
1
-
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No domnio da freqncia:
6. Impedncia (Z) e admitncia (Y)
a) Impedncia(Z)
a razo entre o fasor tenso e o fasor corrente.
()
{ }{ } reatnciaBZm
aresistnciAZe
==
==
As impedncias se associam da mesma forma que as resistncias.
Srie neq ZZZZ +++= ...21
Paraleloneq ZZZZ
1...
111
21
+++=
b) Admitncia (Y) a razo entre o fasor corrente e o fasor tenso em um elemento.
( S ou )
o0pV
I&
jLwR
R
LwarctgwLR
V
jwLR
VI pp
+
=
+
=
22 )(
00 oo&
22)(
0
wLR
R
LwarctgV
Ip
+
=
o
&
cos()(
)(22
arctgwtLwR
Vti p
+=
I
VZ
&
&=
V&
I&
ZZ um nmero complexo mas no um fasor
jBAZZ +==
V
IY
&
&=
V&
I&
Y
-
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Admitncias seassociam da mesma forma que as capacitncias.
Srieneq YYYY
1...
111
21
+++=
Paralelo neq YYYY +++= ...21
Observao: jbaZ +=
22
11
ba
jbaBjG
jbaZY
+
=+=+
==
aG 22 ba
aG
+=
bB 22 ba
bB+
=
7. Anlise de circuitos alimentados por fontes senoidais.
Determinar o circuito equivalente no domnio da freqncia docircuito estudado.
7.1) Anlise nodalMesmo procedimento que no captulo 4.
7.2) Anlise de malhaIdem capitulo 4.
7.3) Transformao de fontesVer captulo 4.
7.4) Teorema de Thvenin ou Norton
VYI && = ZY
1=
jBGYY y +==
Condutncia Susceptncia
-
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obs.: fonte teste = fonte de amplitude TI e fase 0.o& 0= TT II
7.5) Superposio
)30
10cos(10
o+
t
)(tvR 20
5H2
V15)60
20sen(20
o+
t
sradw /10=
sradw /0=
o& 3010)20//20(5
51 +
=j
V
VV o& 69,377,21 =
1V& 20
5
V15
o3010
1V&
20
520j
VV 151 =&
-
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sradw /20=
++ 111 VVVVR &&&& pois no esto na mesma freqncia.
VtttvR )7,6520sen(98,315)69,310cos(77,2)(oo =
8. Diagramas fasoriais
So representaes no plano complexo de todos os fasores de tenso ede corrente que aparecem num circuito. Elas permitem visualizar a defasagementre os fasores tenses e correntes.
Regra para construo dos diagramas:
No resistor a corrente est em fase com a tenso.
No indutor a corrente est atrasada de 90 em relao a V. No capacitor a corrente est adiantada de 90 em relao a V.
1V& 20
40jo6020
o& 6020)40//5(20
40//51 +
=
j
jV
VV o& 7,6598,31 =
-
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Exemplo 1:
LI CI RI
mH2,0 RF8000I V&
sradw /5000=
o L C RI I I I= + +& & & &
CI&SI&
LI&
LC II && +
R
VI
PR =&
V&
pV3
45
o45
P
P
VR
V
tg3
45 =o R
VV PP =3 = 333.0R
Use um ou mais diagramasfasoriais para determinar R para
que a corrente no resistor RIfique atrasada de 45 em relao corrente da fonte
0I .
o
o
&& 90102,05000
03 =
== pp
LL V
jV
ZVI
o&
& 904 == pC
C VZ
VI
R
VI pR
o
&0
=
-
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)2(1 AI&)20( VV&
)5(2 AI& I&
SV&
XV&
93,26=XV&
fRe65 65
38
i
Vi
i
50
Exemplo 2:
No circuito abaixo, o ampermetro indica 5 A. Adotando o fasor V& comoreferncia, desenhar o diagrama fasorial e determinar SV& .
A
5
104j
SV&
I&
1I&
2I&
XV&
V&
VIjV 20544 2 === &&
AV
I 210
20
101 ===
&& AI 52 =&
21 III &&& +=
39,525 222
2
2
1 =+=+= III &&&
o
&
&2.68
2
5
1
2=
== arctg
I
Iarctgi
93,2639,555 === IVX &&
VVV XS &&& +=
Componente horizontal de
VVVV iXS 30)2,68cos(93,2620cos =+=+=o&&&
Componente vertical de VVV iXS 25)2,68sen(93,26sen ===o&&
VVS 05,39)25(3022 =+=&
][8,3905,39 VVSo& =
-
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o8,3930
25=
= arctg
SV
-
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CAPTULO VIII POTNCIA EM CIRCUITOS
SENOIDAIS
-
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1. Potncia instantnea
( ) ( ) ( )p t v t i t=
2. Potncia mdia
0
0
1
( )
t T
tP p t dt T
+
=
3. Valores eficazes de corrente e tenso
Mtodo para comparar a potncia mdia dissipada num resistoralimentada por forma de onda diferente.
0I
R
( ) cos( )pI t I t = + R
2
1 0P R I= P2 = P1 se ( ) cos( )pi t I t = +
02
pI I=
Verificao:
Potncia no resistor alimentado por CC
redelinear
( )i t
( )v t
( )p t
T ( )t s0t
-
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95
2
1 0P R I=
Potncia no resistor alimentado por CA
[ ]
2 2 2 2
2
1( ) ( ) cos ( ) cos (1 cos 2 )
2
1 cos2( )2
p
p
p t Ri t R I t ora A A
R It
= = + = +
= + +
1 2P P=
2
2
02
pR IR I =
0 0 22
p
p
I
I I I= =
Concluso: Uma senoide com amplitude de pico igual apI dissipa a mesma
potncia que uma corrente constante de valor2
pI sobre um resistor.
Mtodo genrico para determinar o valor eficaz de uma grandeza
0
0
0
0
2
2 2
2
1( )
2
1( )
t Tp
rms t
t T
rms t
IP R R I R i t dt
T
I i t dtT
+
+
= = =
=
Obs.: para senoide2
prms II = ,
2
prms VV =
4. Potncia em elementos passivos
-
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96
4.1. Caso geral (impedncia qualquer)
v i =
( ) cospv t V t =
0p pp
V VVI I
Z ZZ
= = = =
( ) cos( )pi t I t =
( ) ( ) ( ) cos( ) cos( )p pp t v t i t V t I t = =
1 1( ) cos( ) cos(2 )2 2
p pp t V I t t t = + + ,ora
[ ]1
cos cos cos( ) cos( )2
A B A B A B= + +
1 1( ) cos( ) cos(2 )
2 2p p p pp t V I V I t = +
( ) cos( ) cos(2 )rms rms rms rmsp t V I V I t = + ,ora
cos( ) cos cos sin sinA B A B A B = +
[ ]( ) cos( ) cos(2 )cos( ) sin(2 )sin( )rms rms rms rmsp t V I V I t t = + +
[ ]( ) cos( ) 1 cos(2 ) sin( )sin(2 )rms rms rms rmsp t V I t V I t = + +
potncia instantnea na potncia instantnea na
parte resistiva de Z parte reativa de Z
Potncia mdia:
0
1( ) cos( )
T
rms rmsP p t dt V I
T= = , [ W ]
Potncia reativa:
V
I
Z Z =
-
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97
Valor de pico da potncia instantnea da parte reativa.sin( )rms rmsQ V I =
4.2. Circuito resistivo
Tenso e corrente em fase.
0v i = = .
[ ]( ) 1 cos(2 )rms rmsp t V I t= +
[ ]0
11 cos(2 )
T
R rms rmsP V I t dt
T= +
2
2 rms
R rms rms rms
VP V I R I
R= = =
0RQ =
4.3. Circuito exclusivamente indutivo
0 90 90v i = = = ( ) sin(2 )rms rmsp t V I t=
0LP = 2
2 rms
L rms rms L rms
L
VQ V I X I
X= = =
4.4 Circuito exclusivamente capacitivo
0 90 90v i = = = ( ) sin(2 )
rms rmsp t V I t=
0CP = 2
2 rms
C rms rms C rmsC
V
Q V I X I X= = =
-
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98
5. Potncia aparente e fator de potncia
a) Potncia aparente:
rms rmsS V I= , [VA] potncia desenvolvida pela fonte.
b) Fator de potncia:
Fator de potncia: coseno do ngulo da carga, ou coseno da defasagementre a tenso e a corrente.
cos( ) cos( )p v iF = = [adimensional]
Como a funo coseno uma funo par, cos( ) cos( )v i i v = .Acrescenta-se atrasado ou indutivo se a corrente da carga atrasadaem relao tenso nos seus terminais, e adiantado ou capacitivo sea corrente da carga adiantada em relao tenso.
Fluxo da potncia num circuito:
Fonte
R
L
C
Carga
Relaes adicionais:
cos( )P S = sin( )Q S =
2 2S P Q= +
tan( )Q
P =
-
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99
6. Potncia complexa
vi =
cos( ) cos( )rms rms rms rms v iP V I V I = =
{ }cos( ) sin( )rms rms v i rms rms v iP V I jV I = +
{ }( )v ijrms rmsP V I e =
{ }v ij jrms rmsP V e I e =
{ }
*
P V I
=
{ }P S=
Definindo a potncia complexa*
S V I S
= =
Portanto { }P S=
{ }ImQ S S P jQ= = +
S S= cos( )
pF =
rms iI I
=
rmsV V v
= Z Z =
-
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100
Conservao da potncia complexa:
*
S V I
=
( )* *
1 2S V I I
= +
* *
1 2S V I V I
= +
1 2S S S= +
No importa como os elementos esto conectados entre eles, paradeterminar a potncia complexa desenvolvida pela fonte, basta somartodas as potncias complexas de cada elemento.
Tringulos de potncia (interpretao geomtrica da potnciacomplexa):
0 > carga indutiva
Relaes adicionais:
V Z I
= 2
* *2 rms
rms
IS V I Z I I S Z I
Y
= = = =
* 2*
2
* *
rms
rms
VVV S Y V
Z Z
= = =
I
V
1I
2I
S
P
Q
-
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101
7. Correo do fator de potncia
Objetivo: Minimizar a troca de energia reativa entre a fonte e a carga, sem
alterar a energia til absorvida pela carga.
S
P
Q
'
Q'S'
Exemplo: Uma carga de 500 kVA com fator de potncia igual a 0,6atrasado, alimentado sob uma tenso de 13,8 kVrms. f = 60 Hza) Determinar a corrente da cargab) Deseja-se corrigir o fator de potncia para 0,9 atrasado, atravs da
ligao de capacitores em paralelo com a carga. Determine o valor dacapacitncia requerida.
c) Calcular a nova corrente da carga.
Soluo:
a)
3
3
500 10
36,213,8 10rms
S
I AV
= = =
b) 31 500 10 53,13 cos( ) 0,6 53,13S VA
= = = 300 400k j k= + 300P kW= ' cos(0,9) 25,84Q arc= =
400Q kVAR= ' 333,33cos( ')
PS kVA
= =
' 'sin( ') 145,3Q S kVAR= =
S
P
Q
'
Q'S'
-
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102
Potncia reativa do capacitor:
' 254,7CQ Q Q kVAR= =
Potncia complexa no capacitor:*
CC CS V I P
= =0
C CjQ+
V
C
*
CC CV I jQ
= * 2
* *
C CC C C
CC
VVV jQ jQ
ZZ
= =
*1 1C C
Z Zjc jc
= =
2
2
C
C
QC
f V=
3
3
254, 7 103,55
2 60 13,8 10C F
= =
c)3
3
' 333,33 10' 24,15
13,8 10
SI A
V
= = =
-
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103
8. Transferncia mxima de potncia
Objetivo: obterL
Z de modo que a potncia ativa na carga seja mxima.
SV
L L LZ R jX= +
SS S
Z R jX= +A
B
8.1 Carga puramente resistiva L L
Z R=
SV
LR
SZ
LI
S S
L
S S LS L
V VI
R jX RZ R
= =+ ++
2 2( )
S
L
S L S
VI
R R X=
+ +
Potncia na carga:
2
2
2 2( )
L S
L L L
S L S
R VP R I
R R X= =
+ + max 0LL
L
dPP se
dR=
-
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2 2
L S S SR R X Z= + =
8.2 Carga com RL fixo e XL varivel
SV
LR
SZ
LI
A
B
LjX
( ) ( )
S
L
S L S L
VI
R R j X X
=+ + +
2 2( ) ( )
S
L
S L S L
VI
R R X X
=+ + +
-
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Potncia na carga:
2
2
2 2max
( ) ( )
L S
L L L L S L
S L S L
R VP R I P se X X
R R X X= = =
+ + +
2
max 2( )
L S
L
S L
R VP
R R=
+
8.3 Carga com RL varivel e XL fixo
( ) ( )2 2
S
L
S L S L
VI
R R X X=
+ + +
( ) ( )
2
2 2
L S
L
S L S L
R VP
R R X X=
+ + +;
max0LL
L
dPP se
dR=
ento ( )22
L S S LR R X X= + +
SVLR
SZA
B
LjX
-
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106
8.4 Carga com RL varivel e XL varivel
( ) ( )
2
2 2
L S
L
S L L S
R VP
R R X X=
+ + +
FazendoL
X variar:maxL
P para L SX X= .
Ento:
( )
2
2'
L S
L
S L
R VP
R R=
+.
Em seguida, fazendoL
R variar:max
'0L
L L S
L
dPP se R R
dR= = .
Ento:*
L S S SZ R jX Z= = .
SV
LR
SZ
LjX
-
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107
CAPTULO IX CIRCUITOSTRIFSICOS
-
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108
1. Tenses trifsicas equilibradas Um sistema de tenses trifsicas equilibradas um conjunto de 3
tenses senoidais com mesma a mesma amplitude, a mesmafreqncia mas defasadas entre si de 120.
As tenses so chamadas tenses de fase a, b, c.
Seqncia de fases (defasagem entre as tenses de fase):
Seqncia abc, positiva ou direta
0an PV V
=
120bn PV V
=
120cn PV V
= +
bnV
cnV
anV
Seqncia acb, negativa ou indireta
0an PV V
=
120bn PV V
=
120cn PV V
=
bnV
cnV
anV
-
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109
0an bn cnV V V
+ + = Tipos de ligaes possveis de um gerador 3 ideal:
caV
bcV
abV
a
c
b
tipo Y tipo 2. Anlise do circuito Y-Y (equilibrado)
anV
cnV
bnV
a
c b
A
CB
n NNnI
aAI
bBI
cCI
Z
Z Z
Tenses nas fases:
Tenses entre o neutro e cada uma das linhas, ou tenses nos
terminais de cada elemento.Na fonte: anV
, bnV
, cnV
Na carga: ANV
, BNV
, CNV
Tenses de linhas:
Tenses entre as linhas
anV
cnV
bnV
a
c
b
-
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110
Na fonte = na carga : abV
, bcV
, caV
.
Corrente no neutro:
Nn aA bB cCI I I I
= + + 1
0an bn cnNn an bn cnV V V
I V V VZ Z Z Z
= + + = + + =
Portanto, no existe corrente circulando no neutro num sistemaequilibrado. Ento:
Quando existe impedncia de linha no neutro, o mesmo podeser considerado como um curto circuito.
Quando o neutro no est disponvel, o mesmo pode sercolocado no circuito para efeito de clculo.
Relao entre as tenses de fase e de linha:
Supondo seqncia ento:
0an PV V
=
120bn PV V
=
120cn PV V
=
Sabendo que ab an nbV V V
= +
0 120an bn P PV V V V
= =
3 3(cos( 120 ) sin( 120 ))
2 2P P PV V j V j
= + = +
Logo
3 30ab PV V
=
3 90bc PV V
= da forma mais geral fase PV V
=
3 150ca PV V
= 3 30linha PV V
= +
-
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111
bnV
cnV
anV30
abV
Circuito monofsico equivalente (vlido somente para sistemaequilibrado):
anV
ZbnV
cnV
a,b,c A,B,C
n N 3. Anlise do circuito Y- (equilibrado)
-
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anV
cnV
bnV
a
c
b
A
CB
n
aAI
bBI
cCI
Z
ABI
BCI
CAI
Z
Z
Correntes de fase:
Na carga: , ,AB BC CAI I I
Na fonte: , ,aA bB cC I I I
Correntes de linhas:
Na carga = na fonte: , ,aA bB cC I I I
Determinao das correntes de linhas:
Ex.: anaAY
VI
Z
= cncCY
VI
Z
=
bnbBY
VI Z
=
Circuito monofsico equivalente
aAI
3Y
ZZ =
a,b,c A,B,C
n N
cCI
bBI
-
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113
Determinao das correntes de fases nas cargas pela relao entrecorrentes de linhas e correntes de fase:
aA AB CAI I I
=
Supondo seqncia : 0AB pI I
= 120BC pI I
=
120CA pI I
=
0 120aA p pI I I
=
(cos(120 ) sin(120 ))aA p pI I I j
= +
3 3
2 2aA pI I j
=
3 30aA pI I
=
3 150bB pI I
=
3 90cC pI I
=
da forma mais geral,
0fase pI I
=
3 30linha p
I I
=
Observao: se o gerador estiver ligado em , substitui-se o mesmo porum gerador equivalente ligado em Y tal que a tenso de linha senha a mesma.
a
c
b
220
903
22030
3
220150
3
seqncia
3 30 303
linhalinha fase fase
VV V V= =
220120
a
c
b
220 0
220 120
-
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114
4. Circuitos 3 desequilibrados
4.1. Carga desequilibrada em Y com neutro
A
C
B
N
NI
AI
BI
CI
AZ
BZ
CZ
3 circuitos independentes.
0N A B CI I I I
= + +
Neste caso ANAA
VI
Z
=
BN
BB
V
I Z
=
CNC
C
VI
Z
=
4.2. Carga desequilibrada em Y sem neutro
-
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115
anV
cnV
bnV
AI
BI
CI
BZ
AZ
CZ
1I
2I
Utiliza-se o mtodo das malhas.
1AI I
= 2 1BI I I
= 2CI I
= 4.3. Carga desequilibrada em
Caso no se conhece as tenses de linha na carga, substitui-se ocircuito por seu equivalente em Y, e utiliza-se o mtodo das malhas.
Conhece-se as tenses de linha na carga:
gZ
gZ
gZ
1Z 2Z
3Z
-
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116
anV
cnV
bnV
A
CB
aI
1Z
ABI
2Z
3Z
1
ABAB
VI
Z
=
2
CACA
VI
Z
= => a CA ABI I I
=
5. Potncia em sistema 3
A A AZ Z =
B B BZ Z =
C C CZ Z =
, , , ,, , A B C A B CA B C v i =
Tenses de faseinstantneas:
Correntes de faseinstantneas:
( ) cos( )AN Ap vA
v t V t = + ( ) cos( )AN Ap iAi t I t = +
( ) cos( )BN Bp vB
v t V t = + ( ) cos( )BN Bp iBi t I t = +
( ) cos( )CN Cp vC
v t V t = + ( ) cos( )CN Cp iC
i t I t = +
Sabendo que [ ]1
cos cos cos( ) cos( )2
A B A B A B= + +
Potncias instantneas em cada fase:
A
C
B
( )AI t
( )BI t
( )CI t
AZ
BZ
CZ
-
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117
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) cos ( ) ( ) cos 2ABC
A AN A A rms A rms A A rms A rms v AB B B B B B B B BC C C C C C C C C
P t v t i t V t I t V t I t t
= = + +
Potncia instantnea total: ( ) ( ) ( ) ( )A B Cp t p t p t p t= + +
Potncia ativa total:cos cos cos
rms rms rms rms rms rmsA B C A A A B B B C C CP P P P V I V I V I = + + = + +
5.1. Para um sistema equilibrado
rms rms rmsA B C rmsV V V V = = =
A B C A B CZ Z Z Z = = = = = =
rms rms rmsA B C rmsI I I I= = =
Potncia instantnea: ( ) 3 cosrms rmsp t V I =
Potncia mdia: 3 cosrms rmsP V I =
Para carga ligada em Yase linhaI I=
3 ase linhaV V=
3 cos 3 cos
3
linhaY linha Y linha linha
VP I P V I = =
Para carga ligada em ase linhaV V=
3 ase linhaI I=
3 cos 3 cos3
linhalinha linha linha
IP V P I V = =
YP P=
-
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118
Resumo: V e I em valores eficazes.
Por fase TotalPotncia ativa cosf f fP V I = 3 cos 3 cosT f f L LP V I V I = =
Potncia reativa sinf f fQ V I = 3 sin 3 sinT f f L LQ V I V I = =
Potncia aparente f f fS V I= 3 3T f f L LS V I V I = =
Potncia complexa *ff fS V I
=
*
3T f fS V I
=
Fator de potncia cospF = cospF =
5.2. Para um sistema desequilibradoPotncia ativa total: T A B C P P P P= + + Potncia reativa total: T A B C Q Q Q Q= + +
Potncia aparente total: 2 2T T TS P Q= +
Fator de potncia: cos TTT
P
S =
Potncia complexa total: T A B C S S S S
= + +
6. Medida da potncia mdia em um circuito 3
6.1. O Wattmetro
-
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119
I
V
CARGA
bobina da tenso(resistncia alta)
bobina da corrente(resistncia baixa)
Observao: Bobina da corrente em srie com a cargaBobina da tenso em paralelo com a carga.
cos( )v iW V I =
6.2. O mtodo dos dois Wattmetros
1 cos( )ac aac a v I W V I =
2 cos( )bc bbc b v I W V I =
1 2P W W= +
Exemplo: Se a carga estiver ligada em Y, e o gerador ligado em Y:
Seqncia
0anV V=
ou
Y
a
c
b
1W
2W
-
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120
120bnV V= 120cnV V=
Z Z=
3 30linha faseV V=
3 30bc bnV V
=
3 120 30bcV V
=
3 90bcV V
=
ac caV V
=
3 30ca cnV V
=
3 30 120caV V
= 3 150caV V
=
3 150 3 330 3 30V V V V
= = =
0ana
V VI I
ZZ
= = =
120120bnb
V VI I
ZZ
= = =
1 3 cos( 30 ( ))W V I = 2 3 cos( 90 ( 120 ))W V I =
1 cos( 30 )L LW V I = 2 cos( 30 )L LW V I = +
Obs.: Para o sistema equilibrado possvel determinar o fator de potnciada carga.
[ ]1 cos( ) cos(30 ) sin( ) s in(30 )L LW V I = +
[ ]2 cos( ) cos(30 ) sin( ) sin(30 )L LW V I =
2 1( ) 2 cos( ) cos(30 )L LW W V I + = 2 12 1
cos(30 )cos( )
sin( )cos(30 )
W W
W W
+ =
2 1( ) 2 sin( ) sin(30 )L LW W V I =
-
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121
2 1
2 1
3cos( )
321 tan( )
sin( )2
W W
W W
+ = =
1 2
1 2tan( ) 3
W W
W W
= +
1 2 tan( ) 0 0 cos( ) 1W W = = = = carga resistiva
1 2W W= com sinais apostos carga reativa pura
1 2 0W W > > carga indutiva
1 2 0W W < < carga capacitiva
-
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122
CAPTULO X INTRODUO AOS
CIRCUITOS DE SELEODE FREQNCIAS
-
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123
1. Introduo
At agora, em nossas anlises de circuitos com fontes senoidais, supomos
que a freqncia da fonte era constante. Neste capitulo, vamos estudar oefeito da variao da freqncia sobre as tenses e correntes do circuito resposta em freqncia do circuito.
jL
se =
0se =
1
jC
se =
0se =
Escolhendo adequadamente os valores das componentes e a forma deligao entre eles, podemos montar circuitos que deixam passar apenassinais cujas freqncias estejam dentro de uma certa faixa circuitos de
seleo de freqncia ou Filtros.Exemplos de aplicao: telefone, televiso, satlites, rdios, equalizadores,etc.
Principais tipos de filtro: filtro passa-baixas, filtro passa-altas, filtro de bandade passagem, filtro de banda de rejeio.
Estes filtros so chamados filtros passivos, pois so construdos a partir decomponentes passivos.
2. Filtros passa-baixas
-
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124
i
V oV
R
C
Para identificar o tipo de filtro, examina-se o grfico da resposta de
freqncia no domnio da freqncia.
iV
oV
R
jL
( )i oo
i
RV V RV H j
R jL R jLV
= = =
+ +
2
2
( ) ( )
R R
L LH j H jR
Rj L L
= =
+ +
( ) arctanL
jR
=
Grfico de amplitude:
Para freqnciasaltas o circuito deixa passar
pouco sinal.
iV oVR
L
0
1
1
2
( )H j
c
Bandarejeitada
Banda
passante
-
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125
Grfico de fase:
Tenso de sadaatrasada de 90 emrelao tenso deentrada.
A freqncia limiteentre a banda rejeitada e
a banda passante
chamada freqncia decorte c . Ela corresponde freqncia pela qual
max
1( )
2cH j H = .
Amplitude da funo de sada igual a pelo menos 70,7% do valor mximopossvel.
Razo da escolha de max2
H para definir c :
Potncia mxima na sada:2
max1
2
RR
VP
R=
Potncia na sada quando c = :
max max
1 1( ) ( )
2 2c o R c RH j H V V j V = =
2
2 2maxmax
1( )1 1 12
2 2 2 2c
R
RRR c
P
V VV jP
R R R = = =
123
1
2cRP P =
0( )j
90
-
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126
No limite entre a banda rejeitada e a banda passante a potncia mdiafornecida carga = 50% da potncia mdia mxima.
c = freqncia de meia potncia.
Dentro da banda passante, a potncia fornecida a uma carga pelomenos 50% da potncia mdia mxima.
3. Filtros de banda de passagem
Circuitos que deixam passar sinais cujas freqncias estejam dentro deuma certa faixa e rejeitam sinais cujas freqncias estejam fora desta faixa.
Exemplo:
No domnio da freqncia:
iV
R
1
jCjLi
1
VI
R j LC
= +
iV oVR
CLi
iV oV
R
C L
-
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127
2
2
1
1 1( ) tan
11
LI CH j arc
RV R j L R LC C
= = =
+ +
( )2
2
1
1
H j
R LC
= +
1
( ) arctanL Cj
R
=
Freqncia de ressonncia 0 :
-
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128
Freqncia pela qual ( )H j mxima. max1 I
HR V
= = .
Na freqncia de ressonncia a impedncia equivalente do circuito um resistor puro. As impedncias do capacitor e do indutor tm
mdulos iguais e de sinais opostos. a tenso de entrada e acorrente esto em fase.1
eqZ R j LC
= +
, como na ressonncia 0( )eqZ R =
0 00
1 10L
C LC
= =
Freqncias de cortes 1 e 2
Potncia mxima = Potncia na freqncia de ressonncia2
0 max
1
2 pP R I= .
Freqncias de cortes = Freqncia para max2
pII= =freqncia
potncia.
1 2
2 2max max
0
1 1 1
2 2 2 22
p pI IP P R R P
= = = =
max
1 22 2 2
( ) ( )2 2 2
p p p pI V V VI I
R R R R = = = = =
+
22 1
pVI
R LC
= +
22 1 1R L R L
C C
= =
a) 22 2 22
1 10R L L R
C C
= =
2
2
4
2
LR R
CL
+=
2
2
4
2
LR RC
L
+ +=
b) 21 1 11
1 10R L L R
C C
= + =
-
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129
2
1
4
2
LR R
CL
+=
2
1
4
2
LR R
C
L
+ +=
Banda passante
Largura de banda da passagem:
2 1
R
L = =
0 1 2 =
Fator de qualidade Q
0 0LQR
= =
Q maior, circuito mais seletivo.
-
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130
Bibliografia
1) Electric Circuits, James W. Nilsson, Susan A. Riedel. Ed. PrenticeHall, Sixth Edition, 1999. ISBN 0-201-43653-1.
2) Fundamentos de anlise de Circuitos Eltricos, David E. Johnson,John L. Hilburn, Johnny R. Johnson. Ed. Prentice Hall do Brasil,Quarta Edio, 1994. ISBN 85-7054-047-7.
3) Linear Circuit analysis, Artice M. Davis. Ed. PWS PublischingCompany, 1998. ISBN 0-534-95095-7.
4) Introduo Analise de Circuitos, Robert L. Boylestad. Ed.Prentice Hall do Brasil, 8a Edio, 1998. ISBN 85-7054-078-7.
5) Anlise de Circuitos em Engenharia, J. David Irwin. Ed. PearsonEducation, 4a Edio, 2000. ISBN 85-346-0693-5.
6) Anlise de Circuitos em Engenharia, William H. Hayt Jr., Jack E.Kemmerly. Ed. McGraw-Hill, 1973.
7) Circuitos Eltricos, Joseph A. Edminster. Ed. McGraw-Hill, 1980.