ckt elétricos

7/29/2019 CKT eltricos

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINADEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELTRICA

CTC - Centro TecnolgicoDisciplina de Circuitos Eltricos I

APOSTILA DE CIRCUITOS I

Professor: Patrick Kuo Peng

Colaboradores: Jlio TrevisanMaurcio RigoniWillian Hamada

Florianpolis2003


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2

SumrioSumrio ______________________________________________________________ 2

Plano de Ensino ________________________________________________________ 3

Anlise de circuitos: Uma viso geral. ______________________________________ 4

CAPTULO I VARIVEIS ELTRICAS __________________________________ 5

CAPTULO 2 ELEMENTOS DOS CIRCUITOS ___________________________ 10

CAPTULO III CIRCUITOS RESISTIVOS _______________________________ 17

CAPTULO 4 TCNICAS DE ANLISE DE CIRCUITOS __________________ 26

CAPTULO V O AMPLIFICADOR OPERACIONAL_______________________ 53

CAPTULO 6 INDUTORES E CAPACITORES ___________________________ 64CAPTULO VII ANLISE DE CIRCUITOS SENOIDAIS___________________ 78

CAPTULO VIII POTNCIA EM CIRCUITOS SENOIDAIS ________________ 93

CAPTULO IX CIRCUITOS TRIFSICOS ______________________________ 107

CAPTULO X INTRODUO AOS CIRCUITOS DE SELEO DEFREQNCIAS _____________________________________________________ 122

Bibliografia__________________________________________________________ 130


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3

Plano de Ensino

Circuitos Eltricos I

Captulo I: Variveis Eltricas

Captulo II: Elementos dos circuitos

Captulo III: Circuitos resistivos simples

Captulo IV: Tcnicas de anlise de circuitos

Captulo V: O amplificador operacional

Captulo VI: Indutores e Capacitores

Captulo VII: Anlise de circuitos senoidais

Captulo VIII: Potncia em circuitos senoidais

Captulo IX: Circuitos trifsicos

Captulo X: Respostas em freqncia


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4

Anlise de circuitos: Uma visogeral.

Circuito eltrico = modelo matemtico de um sistema eltrico real.

Anlise de circuito: permite prever o comportamento do circuito ede seus componentes

Roteiro para anlise de circuito:

Identificar claramente os dados e o que pedido.

Simplificar ou redesenhar o circuito.

Escolher o mtodo de anlise mais simples.

Verificar se a soluo encontrada fisicamente possvel.


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5

CAPTULO I VARIVEISELTRICAS


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6

VARIVEIS ELTRICAS

1. O Sistema Internacional de Unidades

Unidades de base

Grandeza Unidade SmboloComprimento metro mMassa quilograma kgTempo segundo sCorrente eltrica Ampre ATemperatura Kelvin KIntensidade luminosa Candela cd

Unidades derivadas teis na teoria de circuitos

Grandeza Nome / Smbolo Frmula dimensionalFreqncia Hertz (Hz) s-1

Fora Newton (N) kg.m/s2

Energia ou trabalho Joule (J) N.mPotncia Watt (W) J/sCarga eltrica Coulomb (C) A.sPotencial eltrico Volt (V) W/AResistncia eltrica Ohm () V/A

Condutncia eltrica Siemens (S) A/VCapacitncia Farad (F) C/VFluxo magntico Weber (Wb) V.sIndutncia Henry (H) Wb/A

Principais mltiplos e submltiplos das unidades

10-12 10-9 10-6 10-3 0 103 106 109 1012

pico(p) nano(n) micro() mili(m) quilo(K) Mega(M) Giga(G)Tera(T)


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7

2. Conceitos bsicos de eletricidade

a) Cargas eltricas

Qualquer matria formada por tomos. O do Hidrognio o tomo maissimples, o qual constitudo por duas partculas (prtons carga positiva eeltrons carga negativa).

Unidade da carga eltrica = coulomb (C)

tomos normalmente neutros N de eltrons = N de prtons.

Retirando eltrons tomo ter carga positiva.

Adicionando eltrons tomo ter carga negativa. Matrias onde fcil retirar ou adicionar eltrons so chamadas de

condutores (cobre, alumnio, etc...). Matrias onde difcil retirar ou adicionar eltrons so chamadas

de isolantes (borracha, porcelana, papelo, etc...).

b) Corrente eltrica: movimento dos eltrons.

dtdqi =

corrente eltrica em Ampre [A]

Relao de integral:

carga em Coulo

tempo em segundos [s]


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8

c) Tenso eltrica ou diferena de potencial : Energia usada para

mover uma unidade de carga atravs do elemento.

d) Potencia e energia:

Potncia = trabalho ou energia por unidade de tempo.

Energia

dttitqtqt

t.)()()(

00 =

dq

dWv =

Energia em Joule [J]

Carga em Coulomb [C]

Tenso em Volt [V]

dt

dWp =

Potncia em Watt [W]

Energia em Joule [J]

Tempo em segundos [s]

vidt

dqv

dt

dWvdqdW === vip =

dttitvtwtwdttptwt

t

).(.)()()().()(0

0

==


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9

Conveno de sinais

Potncia ou energia > 0 o elemento absorve potncia

Potncia ou energia < 0 o elemento fornece potncia


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10

CAPTULO 2 ELEMENTOSDOS CIRCUITOS


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11

Elementos dos circuitos

I. Introduo

Os circuitos podem ter 5 elementos bsicos:

Fontes de tenso; Fontes de corrente; Resistores; Indutores; Capacitores.

II.Fontes ideais de tenso e de corrente

Fontes = dispositivos capazes de gerar energia eltrica

Existem 2 categorias de fontes:

Fontes independentes e Fontes dependentes (fontes controladas).

1. Fontes independentes

Fonte ideal independente de tenso: estabelece uma tenso que no

depende das ligaes externas, ou seja, v fixa, independente de i.

Fonte ideal independente de corrente: estabelece uma corrente queno depende das ligaes externas, ou seja, i fixa, independente de v.

A

B

12V

A

B

12V

i [A]

v [V]

12

Caracterstica tenso/correnteSmbolos

ou


12/130

12

2. Fontes dependentes ou controladas

Fonte controlada aquela que estabelece uma tenso ou uma corrente quedepende do valor da tenso ou corrente em outro ponto do circuito.

Fonte de tenso controlada por tenso

Fonte de tenso controlada por corrente

Fonte de corrente controlada por corrente

v [V]

i [A]

5

Caracterstica tenso/corrente

A

B

5A

Smbolo

1v1v - tenso de controle

2v - tenso controlada - ganho de tenso (adimensional)

12 vv =

1i

ganho de corrente (adimensional)12 ii =

1i

1i - corrente de controler transresistncia ()

12 irv =


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13

Fonte de corrente controlada por tenso

III. Resistncia eltrica (Lei de Ohm)

1.Resistncia eltrica

Capacidade do material para impedir a circulao da corrente ou

especificamente a circulao das cargas.

Resistor: elemento do circuito que possui resistncia eltrica.

Exemplos (resistor no linear): varistor ( )(vfR = ), termistor ( )(TfR = ).

2. Lei de Ohm

Estabelece uma relao algbrica entre tenso e corrente em um resistor. Numresistor linear utilizando a conveno passiva, esta lei pode ser escrita daseguinte forma:

1v g transcondutncia (S)12 vgi =

S lS

Rl

=

R resistncia ( ) - resistividade do material ( m )l - comprimento (m)

S seo transversal ( 2m )

Smbolo


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14

Condutncia

GvvRR

vi ===

1;

RG

1= (condutncia em mhoou S(siemens) )

Potncia num resistor

Outras expresses usuais: GvG

i

R

vP 2

22

=== .

Observaes

Curto-circuito resistncia nula tenso nula independente dacorrente.

Riv +=

v

iou

Riv =

v

i

ivP =

v

i

ivP =

v

i

Ora, Riv = .

Ento,2

RiiRiP ==

Ora, Riv = .

Ento,2

)( RiiRiP ==

0== Riv ; i v 0=R


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15

Circuito aberto resistncia infinita corrente nula, independente datenso.

IV. Leis de Kirchhoff

1. Definies

N: ponto de interconexo entre 2 ou mais elementos do circuito.

Lao: caminho fechado passando apenas uma vez em cada n e terminando

no n de partida.

Malha: lao que no contm nenhum outro por dentro.

Exemplo:

2. Lei de Kirchhoff para correntes (LCK)

A soma algbrica das correntes em qualquer n de um circuito semprenula

=

=N

nni

1

0

correntes entrando no n = correntes saindo do n.

0==R

vi ; v v =R

R1 I

E R2 R3

2

1

3 4

4 ns

3 laos 2 malhas


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16

Conveno

Corrente entrando no n, atribuir sinal +Corrente saindo do n, atribuir sinal -

3. Lei de Kirchhoff para tenses

A soma algbrica das tenses em qualquer lao de um circuito semprenula.

=

=N

nnv

1

0

Conveno

Percorrer o caminho fechado no sentido horrio, escrevendo a tensocom o primeiro sinal encontrado.

Exemplo:

E1

R1

R2

R 3

1RV

2RV

3RV

01 321 =++ RRR VVVE


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17

CAPTULO III CIRCUITOSRESISTIVOS


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18

1. Resistores em srie

Associao srie mesma corrente em todos os elementos.

2. Resistores em paralelo

Associao paralelo todos os elementos sujeitos mesma tenso.

IRRR

IRIRIRVVVV

n

n

n

)....(

.........

21

21

21

+++=

+++=+++= IRV eq .=

neq RRRR +++= ...21

1V

2V

nV

V

1R

2R

nR

Veq

R

I I


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19

Observao:

IRV eq.=

eq

n

n

n

R

VRRR

R

V

R

V

R

V

IIII

1

.1

...11

...

...

21

21

21

=

+++=

+++=

+++=

neq

neq

GGGG

ou

RRRR

+++=

+++=

...

1...

111

21

21

1R

2R

3R

21//RR 31//RRou

)//( 321 RRR + Ok!

V1

R2

R nR V eqR

I I

1I

2I

nI


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20

3. Associao de fontes

3.1. Fontes de tenso em srie

3.2. Fontes de Tenso em paralelo

Fontes de tenso em paralelo s podem ser associadas se apresentaremo mesmo valor.

1

R2

R21

21.

RR

RR

+

1V

2

V

3V

A

B

321

VVV ++

B

A

V5 V5 V5V10


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21

3.3. Fontes de corrente em srie

Fontes de corrente em srie s podem ser associadas se apresentarem omesmo valor.

A2 A2 A2A4

3.4. Fontes de corrente em paralelo

1I

2I

3I

231III +

4. Diviso de tenso

De maneira geral

iRV .11 =

iRRV ).( 21 +=

21

11

.

RR

VRV

+=

21

21

.

GG

VGV

+= ou

1R

2R

1V

2V

V

i

21

12

.

GG

VGV

+=

iRV .22 =

1

R

2R

1

V

2V

V

i

nR


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22

5. O circuito divisor de corrente

Mais geral

ou

nRRR

VRV

+++=

...

.

21

11

1R

2RI

1I

2I

V1

1 R

VI =

2

2 R

VI =

e IRR

RRV .

.

21

21

+=

IRRR

RRI .

)(

.

211

211 +

= e IRR

RI .

)( 21

12 +

=

IGG

GI .

)( 21

22 +

=IGG

GI .

)( 21

11 +

=

1R 2RI1I 2I

V nR

IRR

RRRI

eq

n .//...////

1

321 +

=

IGGG

GI

n

.

...21

11

+++=


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23

6. Transformao ou

ABR

ACR BCR

ABR

BCRACR

A B

C

A

C C

B

BRAR

A B

CR

C

AR BR

A

C

B

CR


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24

Resistncia equivalente entre A e B

BABCACAB

BCACAB RRRRR

RRR+=

++

+ )((1)

Resistncia equivalente entre B e C

CBBCACAB

ACABBC RRRRR

RRR+=

++

+ )((2)

Resistncia equivalente entre A e C

CABCACAB

BCABAC RRRRR

RRR+=

++

+ )((3)

Transformao

ACBCAB

ACABA

RRR

RRR

++

=.

ACBCAB

BCABB

RRR

RRR

++

=.

ACBCAB

BCACC

RRR

RRR

++

=.

Transformao

ABR

ACR

BCR

B

A

BR AR

A

CRC

B

C


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25

C

CBCABAAB R

RRRRRRR

... ++=

B

CBCABAAC

R

RRRRRRR

... ++=

A

CBCABABC R

RRRRRRR

... ++=

ABR

ACRBCR

ARBR

CR

AB

C


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26

CAPTULO 4 TCNICASDE ANLISE DE

CIRCUITOS


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27

Tcnicas de Anlise de Circuitos

I. Definies

Ramo: caminho que liga 2 ns.

Circuito planar: circuito que pode ser desenhado no plano sem que dois ramos decruzem.

Exemplo:

Circuitos planares

1R

3R5R

2R

4R

1R

3R5R

2R

4R

Circuito no planar

II.Mtodo das tenses de n (anlise nodal)

baseada na Lei de Kirchhoff para correntes (LCK).Incgnitas sotenses.

No de tenses incgnitas =No de ns 1 .


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28

Roteiro:a. Converter as resistncias em condutncias;b. Escolher o n de referncia, atribuindo-lhe tenso nula;c. Associar a cada n (exceto o n de referncia, que tem tenso nula) uma tenso

incgnita (tenso de n);d. Aplicar a LCK em cada n (exceto no n de referncia) considerando todas as

correntes saindo do n (por conveno);e. Resolver o sistema de equaes.

1. Fontes do circuito: s fontes de corrente

a. S fontes de corrente independentes

=

3

6

72

24

2

1

V

V

...

VV

VV

1

2

2

1

=

=

N 10)(226 211 =++ VVV

N 2 035)(2 212 =+ VVV ...

1

V2

V

5,0 2,0

5,0

A6 A3

0S2

S2S5

ABV

A BG

ABVA BG

i

i

( )AB A Bi GV G V V = =

( ) ( )AB A B B Ai GV G V V G V V = = =


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29

b. Incluindo tambm fonte de corrente controlada

2. Fontes do circuito incluem fontes de tenso (dependentes ou independentes)

a. Todas as fontes de tenso esto ligadas ao n de referncia

N 1

1 1 26 2 2 2 ( ) 0i V V V + + =

N 22 1 22( ) 5 2 3 0V V V i + + =

i

25i V=

0,5

5,0

0,26A 3A

2

V1

V

i2

5S

2S 2S

1 2 1

21 2

4 8 6 4 8 6

2 3 3 2 3 3

V V V

VV V

+ = =

+ = ...

2

1

6

21

2

V V

V V

=

=


30/130

30

b. Nem todas as fontes de tenso esto ligadas ao n de referncia

Soluo: considerar a fonte de tenso e os seus 2 ns como um nico grande n(supern) curtocircuitar ns 2 e 3.

VV 101 = N 2

2 1 22( ) 4 1 0aV V V I + + =

N 3

32 2 0aI V + + =

Problema: no seconhece a corrente aI nafonte de tenso

N 2

2 1 2 31( ) 6 1( ) 0V V V V + =

N 3

3 2 3 41( ) 4 2( ) 0V V V V + =

2

3

6

2

V V

V V

=

=

1V

2V 3V S2S1S1

V2A4A6V4

4V

1

4

4

2

V V

V V

=

=

Cada fonte de tensoligada ao n dereferncia diminui onmero de tensesincgnitas em 1unidade

1V 2V aI2

xi

S2 A2S1A4V10

xi

S2 3V


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31

II.Mtodo das correntes de malha (anlise de malha)

baseada na Lei de Kirchhoff para Tenses (LTK).Incgnitas socorrentes.

No

de incgnitas = No

decorrentes de malha .

2

3

2

6

2

824

x

x

i

V V

V V

i AP W

= =

= =

2 1 2 32( ) 4 1 2 2 0V V V V + + + =

No supern,2

32xiVV =

)(2 21 VVix =

=

10

22

12

23

3

2

VV


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32

Roteiro:a. Converter as condutncias em resistncias;b. Associar em cada malha uma corrente de malha no sentido horrio;

c. Aplicar a LTK em cada malha;d. Resolver o sistema de equaes, obtendo o valor das correntes de malha.

1. Fontes do circuito: s fontes de tenso

a. S fontes de tenso independentes

Correntes de ramo, em funo dascorrentes de malha:

1 1

2 2

3 3

4 1 2

5 3 2

i I

i Ii I

i I I

i I I

=

= =

=

=

Correntes de malha:1 2 3, ,I I I .

1I 2I 3I

1i 2i 3i

4i

5i


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33

b. Incluindo tambm fontes de tenso controladas

Malha 1

1 31 1 1 1 2 30 0R RV V V V R i R i + + = + + =

Malha 2

3 32 3 2 2 2 30 0R RV V V R i V R i+ = + =

Mas

1 1

1 1 1 2 1 2

2 2

2 3 2 2 2 2

3 1 2

( ) 0

( ) 0

i I V R I R I I i I

V R I R I I i I I

= + + ==

+ + ==

1 2 2 1 1

2 2 3) 2 2

( )

(

R R R I V

R R R I V

+ = +

...

Usando correntes de ramos,temos 3 incgnitas e 2

equaes.

2 equaes,

2 incgnitas

3 malhas 3 correntes incgnitas

1

2

3

25 5 20 50

5 10 4 0

5 4 9 0

I

I

I

=

...

1

2

3

29,6

26

28

I A

I A

I A

=

= =

1I 2I

3i

1V

1i

2V

2i 3R1R

2R2RV

2RV

1RV

2 malhas 2 correntes incgnitas

V50 20

i45

1

i151I 3I

2I

Malha 1:1 2 1 3

50 5( ) 20( ) 0I I I I + + = Malha 2:

2 2 3 2 11 4( ) 5( ) 0I I I I I+ + =

Malha 3:3 2 3 1

4( ) 15 20( ) 0I I i I I + + =

1 3i I I =


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34

2. Fontes no circuito: incluindo tambm fontes de corrente

a. Cada uma das fontes de corrente pertence a uma nica malha

Calcular a potncia na fonte de tenso:

Malha 2:

2 2 1 1 2 3 22 2( ) 26 1 2( ) 0 4I I I I I I I A+ + + = =

Potncia na fonte de tenso:

1 226( )

26(5 4) 26

P V I I I

W

= + = =

= =

Cada fonte de corrente que pertence a uma nica malha diminui onmero de incgnitas em 1 unidade.

3 malhas 3 incgnitas

Do circuito, obtm-se

imediatamente1

5I A= e

32I A= .

1I

i

V26

2

3

2I3I

1

2


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35

b. Nem todas as fontes de corrente pertencem a uma nica malha

Calcular1

V:

Existe uma fonte de corrente que pertence a uma nica malha 2 incgnitasapenas.

14I A=

Malha 2: 2 1 2 31 4( ) 0I v I I+ + = Malha 3:

3 1 3 2 1 32( ) 4( ) 9 0I I I I v I + + =

Problema: no se conhece a tenso na fonte de corrente (1

v no incgnita

principal do sistema).

Soluo: considerar a fonte de corrente como um circuito aberto e escrever a LKTna supermalha.

3 1 2 32( ) 1 9 0I I I I + + =

No interior da supermalha temos:

1 2 35V I I=

ora1 1 3

2( )V I I=

Assim2

184I A= e 3 16I A=

3 malhas 3 incgnitas

supermalha

2I

1v

4

1

21

V

1I

A4 93

I

15V


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36

IV.Anlise nodal ou anlise de malhas?

a) Simplificar o circuito,

b) determinar o nmero de equaes necessrias utilizando a tabela abaixo.

Anlise Nodal Anlise de Malha

Incgnitas Tenses de n Correntes de malha

Nmero de incgnitas Nmero de ns 1 Nmero de malhas

Critrio para reduzir o

nmero de incgnitas

Fonte de tenso ligada ao n

de referncia

Fonte de corrente que

pertence a uma nica

corrente de malha

Caso especial Fonte de tenso no ligada

ao n de referncia aplicar conceito de supern

Fonte de corrente que

pertence a duas correntes e

malha aplicarconceito de supermalha

Obs.: o n de referncia tem que ser colocado de preferncia no n que tem o maior

nmero de fontes de tenso (dependente ou independente) ligado nele.

O mtodo de anlise mais adequado ser aquele que leva a escrever o menor

nmero de equaes.


37/130

37

Exemplo 1

Determinar a potncia na fonte de tenso controlada

300

100 250 500

400V128V256

200 i50

150

i


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38

Exemplo 2

Determinar 1V e 2V .

4

6

5,2

141,0 V A5,0

2V

5,7 8

28,0 V

2

V193

1V


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39

V.Transformaes de fontes

1. Fonte real de tenso

L s V LV V R I =

2. Fonte real de corrente

1L s L

I

I I VR

=

Modelo Caracterstica tenso-corrente

sI

LV

b

a

LR

LI

IR

fonte real

fonte ideal de correnteL

I

LV

VR

sV

LV

b

a

LR

LI

fonte real

fonte ideal de tenso

LI

LV

Caracterstica tenso-correnteModelo


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40

3. Equivalncia de fontes

Objetivo: transformar uma fonte real de tenso numa fonte real de correnteou vice-versa.

Fonte de tenso fonte de corrente

VR

sV

LV

b

a

LR V

ss

R

VI =

b

a

LR

VIRR =

Fonte de corrente fonte de tenso

VR

sIsIRV =

LV

b

a

LRsI

b

a

LR

IR

Observaes: A equivalncia deve valer para qualquer valor de IR .

A seta da fonte de corrente sempre aponta do - para + da fonte de tensoequivalente.

b

a1R

2R

b

a

2R

b

a1R

2R

b

a1R


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41

VI.Circuitos equivalentes de Thvenin e Norton

1. Circuito equivalente de Thvenin

A. Objetivo

Obteno de circuito equivalente simples (fonte de tenso em srie comum resistor) a partir de redes lineares quaisquer.

LV

LIa

b

a

b

LV

LI

THV

THR

Onde

THV a tenso que aparece entra (a) e (b) com a carga desconectada.

THR a resistncia equivalente vista dos terminais (a) e (b).

B. Determinao de THV e THR : 1o mtodo

THV : desconectar a carga e determinar a tenso entre os terminais (a) e (b)

CCi : curtocircuitar os terminais (a) e (b) e determinar a corrente de curto-circuitono sentido (a) (b)

CC

THTH i

VR =


42/130

42

Exemplo: determinar o circuito equivalente de Thvenin

V2

a

b

4

1I12I

3

cargaR


43/130

43

C. Determinao de THR e THV : 2o mtodo

Objetivo: determinar os valores de THR e THV de tal forma que visto dosterminais (a) e (b) os dois circuitos abaixo so equivalentes.

a

b

a

b

THV

THR

Rede

linear

Ento se colocamos nos terminais (a) e (b) uma fonte de corrente de teste comvalor TI nos dois circuitos, as tenses abV nos dois circuitos devem serequivalentes.

Comparando as equaes (1) e (2) podemos deduzir que

XRTH = YVTH =

Observao: se a escolha da direo da corrente na fonte de teste invertida,

a

b

a

b

THV

THR

Rede

linearAB

VT

I ABV TI

ab TV XI Y = + (1) ab TH T TH V R I V = + (2)


44/130

44

a

b

THV

THR

ABV

TI

a

b

ABV

TIRede

linear

ab TH T TH V R I V = + TH

TH

R X

V Y

=

=


45/130

45

Exemplo: determinar o circuito equivalente de Thvenin.

V2

a

b

4

1I12I

3

cargaR


46/130

46

D. Caso particular: circuito contendo apenas fontes independentes

a

b

cargaR

Rede

linear

Determinao de THV : desconectar a carga e determinar a tensovista dos terminais (a) e (b).

Determinao de THR : desconectar a carga e determinar a resistnciaequivalente vista dos terminais (a) e (b) com todas as fontes

independentes em repouso. Fonte de tenso em repouso 0=V (curto-circuito) Fonte de corrente em repouso 0=I (circuito aberto).

Exemplo: determinar o equivalente de Thvenin que alimenta a carga LR .

a

b

LR6

3 7

V12


47/130

47

2. Circuito equivalente de Norton

A. ObjetivoObteno de circuito equivalente simples (fonte de corrente em paralelocom um resistor) a partir de redes lineares quaisquer.

a

b

Rede

linear

LI

LV

a

b

LV

LI

NI

NR

Onde: NI a corrente que vai de (a) para (b) atravs de um curto-circuito;

NR a resistncia equivalente vista dos terminais (a) e (b).

B. Determinao de NR e NI : 1o mtodo

Idem primeiro do Thvenin:

CCN iI =

CC

THN i

VR =

C. Determinao de NR e NI : 2o mtodo

De (1) e (2) X

RN1

= e YIN =

a

b

Rede

linear

abI

TV

a

b

NI

NR

abI

TV

ab TI XV Y= + (1)1

ab T N

NI V IR= +

(2)


48/130

48

D. Caso particular: circuito contendo apenas fontes independentes

Determinao de NR : idem a THR

Determinao de NI : desconectar a carga, curto-circuitar (a) e (b) e determinar acorrente de curto-circuito que vai do terminal (a) ao terminal (b).

Exemplo:

a

b

LR6

3 7

V12


49/130

49

E. Determinao de NR e NI : 3o mtodo

A partir do circuito equivalente de Thvenin, fazer transformao de fontes.

a

b

TH

TH

N

R

VI =

NR

LR

a

b

LR

THV

THR

VII. Transferncia mxima de potncia

Objetivo: obter a mxima potncia possvel de uma rede qualquer.

LR

Rede

linear LR

LI

THV

THR

Determinar LR de tal maneira que a potncia dissipada nela seja mxima:

2

2

+==

LTH

THLLLR RR

VRIRP

L

MaximizarLR

P 0=L

R

dR

dPL

THL RR =

Ento

TH

TH

THTH

THTHmxR

R

V

RR

VRP

L 4

22

, =

+=


50/130

50

Rendimento

LTH

L

THL

THTH

LTH

THL

V

R

RR

R

RR

VV

RRVR

P

P

TH

L

+=

+

+==

2

Mxima transferncia de potncia no necessariamente vantajosa. Ex: sistemas de

potncia

0,5

THR

THR

2

4

TH

TH

V

R

LR

LP

LR


51/130

51

VIII. O princpio da superposio

Circuito linear: se o circuito alimentado por mais de uma fonte de energia, a respostatotal igual ao das respostas a cada uma das fontes independentes em repouso.

Observaes: Fonte de tenso em repouso 0=V (curto-circuito) Fonte de corrente em repouso 0=I (circuito aberto). Fontes controladas no devem ser colocadas em repouso.

Rede

linearV

I

i

Rede

linearV

i

Rede

linear

I

i


52/130

52

Exemplo: obter XV por superposio.

V2 4

1I

12I

3

XVA3


53/130

53

CAPTULO V OAMPLIFICADOROPERACIONAL


54/130

54

1. Introduo

Amplificador operacional: circuito integrado composto por uma associao detransistores, capacitores, resistores etc...

Funes: Associado aos resistores pode desempenhar operao tais

como adio, subtrao, troca de sinal e multiplicao porum fator constante;

Associado aos capacitores e/ou indutores, realizaoperaes como integrao e diferenciao;

Comparadores; Osciladores.

2. Terminais do Amplificador Operacional

Considerar o Amp. Op. como uma caixa preta cujos terminais so mostrados aseguir:

1

2

3

4

8

7

6

5

Entrada inversora

Entrada no inversora +

VCC

VCC+

Sada

ua 741

Smbolo

+

_

Entrada NoInversora

EntradaInversora

Sada

Alimentao+

_Alimentao


55/130

55

3. Tenses e correntes nos terminais do Amp. Op.

Sentidos das correntes e polaridade das tenses no Amp. Op.

+

_

+

_ _

+

V+

V-

+

+

__

Vcc

Vcc

pioi

ini

c

i

+ci

oVpV

nV

Regies de operao do Amp. Op.:

Vo = -Vcc se A(Vp - Vn) < -VccVo =A(Vp - Vn) se -Vcc A(Vp - Vn) Vcc

Vo =Vcc se A(Vp - Vn) > Vcc

Curva de transferncia de tensodo Amp. OP.

O Amplificador operacional opera na regio linear quando |Vp - Vn| < Vcc/A.Como A um valor geralmente grande, ento |Vp - Vn| deve ser pequeno.

Saturao positiva

Saturao negativa

Regi

olin

ear

ccV

ccV

oV

A

VccA

Vcc )( np VV


56/130

56

No caso ideal: Vp = Vn A = resistncia de entrada elevada ip = in = 0

De acordo com as leis de Kirschhoff para corrente:

ip + in + io + ic- + ic+ = 0i0 = - (ic+ + ic-)ora, ip = in = 0

Observaes:o ip = In = 0 no significa que i0 = 0;o As tenses de alimentao no precisam ser simtricas.

Ex.: V+ = 12V e V- = -8VNa regio linear 8V Vo 12V

Exemplo 1:

12V

-12V

22k

220k

40k4,7k

12

Va

Vb

Vo

o Supondo o Amplificador ideal.Calcule Vo para:a) Va =3V e Vb = 2V;b) V

a= 1,5V e V

b= 2,5V.

c) para Vb = 4V, especifique o intervalo no qual deve ser mantida a tensoVa para que o amplificador no entre na regio de saturao.

4. Modo de operao do amplificador operacional


57/130

57

4.1. Sem realimentao

Este modo denominado operao em malha aberta.Funciona sempre em modo saturao.Utilizado como circuito comparador.

Ex. circuito de controle

ccV

ccV

oVinV

pV

4.2. Com realimentao positiva

Realimentao significa que uma frao da tenso de sada reinjetada

numa das entradas. Na realimentao positiva o sinal de sada reinjetado naentrada no inversora.

Muito instvel, utilizado em osciladores.

Ex. geradores de sinais.

gVoV

ccV

ccV

4.3. Realimentao negativa

Este tipo o mais importante meio de realimentao, pois estabiliza osinal e tende a aproximar as caractersticas do amplificador ideal.

5. O circuito amplificador-inversor

Hiptese: Amp. op. idealAmp. op. operando na regio linear


58/130

58

Objetivo: Vo = f(Vs)

No n 1 temos terra virtual, pois Vn = Vp. Ora, Vp = terra Vn = terra.

No n 1: is + if = 0 0=

+

f

no

s

ns

R

VV

R

VV

Como o Amp. op. ideal Vn = Vp, ip = in = 0

Ora, Vp = 0 Vn =0

Logo ss

fo VR

RV = ; a tenso de sada uma reproduo invertida do sinal

de entrada, multiplicada por uma constante amp. inversor.

6. O circuito amplificador-somadorHiptese: Amp. op. ideal Vn = Vp; ip = in = 0

Amp. op. operando na regio linear

ccV

cc

V

oV

aV

bVcV

aR

bR

cR

1

fR

ai

bi

ci

fi

ni

ia + ib + ic + if = in = 0

0=

+

+

+

f

no

c

nc

b

nb

a

na

R

VV

R

VV

R

VV

R

VV

1ccV

ccV

sR

sV nVpV o

V

fR

si

fi


59/130

59

++= c

c

fb

b

fa

a

fo VR

RV

R

RV

R

RV

tenso de sada = - (soma das tenses de entrada multiplicada por um

fator de escala).

Se Ra = Rb = Rc = Rf Vo = - (Va + Vb + Vc).

Ex. misturador de udio.

7. O circuito amplificador no inversor

Vn = Vpip = in 0

fs

osn RR

VRV

+= ora, Vn = Vp

= Vg

fs

osg

RR

VRV

+=

gs

fso VR

RRV

+=

A tenso de sada uma reproduo do sinal de entrada, multiplicada por umaconstante.

8. O circuito amplificador diferena

gV

sR

gR

fR

oV

ccV

ccV


60/130

60

aR

cR

bR

oV

ccV

ccV

dRaV

bV nV pV

1

2

No n 1:

0=+

+

nb

on

a

an iR

VV

R

VV

No amplificador operacional ideal in=0 =ip e Vn=Vp

dc

bdpn

RR

VRVV

+==

( )( ) aa

bb

dca

bado V

R

RV

RRR

RRRV

+

+=

sed

c

b

a

R

R

R

R= ( )ab

a

bo VV

R

RV =

a tenso de sada proporcional diferena entre as tenses deentrada.

Uma caracterstica importante de uma conexo de circuito diferencial sua capacidade de amplificar consideravelmente sinais opostos nas duasentradas, enquanto amplifica suavemente sinais comuns a ambas asentradas.

Vamos escrever as tenses de entrada em funo de duas outrastenses chamadas de tenso do modo diferencial e de tenso do

modo comum:

Vdm = Vb Va (tenso de modo diferencial)Vcm = (Va + Vb) (tenso de modo comum)Ento

Va = Vmc VmdVb = Vmc + Vmd


61/130

61

aR

cR

bR

oV

ccV

ccV

dR

mcV 2md

V

2

mdV

( )( ) ( )

( ) mddcadcbbad

mcdca

cbado V

RRR

RRRRRRV

RRR

RRRRV

+

++++

+

=

2

Vo = Amc Vmc + Amd Vmd

ganho de ganho de modomodo comum diferencial

Fator de rejeio de modo comum um parmetro usado para indicar atque ponto um amplificador diferena se aproxima de um amplificador ideal.

CMRR =mc

md

A

A quanto maior CMRR, melhor o Amp. op.

No Amp. op. ideal Amc = 0 e Amd elevado.

9. Modelo mais realista para o amplificador operacional

No Amp. Op no ideal, a resistncia de entrada Ri de valor finito, o ganho A de valor finito e a resistncia de sada R0 0. Assim o circuito equivalente doAmp. Op. mais realista apresentado abaixo.


62/130

62

iR

oR

nioV

pi

oi

)np VVA pV

nV

Exemplo: Determinar Vo = f(parmetros do circuito)Amplificador no ideal

sV

sR

fR

oV

ccV

ccV

n 1:

i

n

f

no

s

ns

R

V

R

VV

R

VV=

+

)0=

+

f

no

o

npo

R

VV

R

VVAV

ora Vp = 0ento

s

f

o

i

s

i

o

f

s

foV

R

R

R

R

R

RA

R

R

RRAV

+

++

++

+=

11

0


63/130

63

Obs.: Ro = 0

Ri Amp. op. idealA

ss

fo VR

RV

=


64/130

64

CAPTULO 6 INDUTORESE CAPACITORES


65/130

65

Indutores e CapacitoresEstudo de 2 novos elementos: indutor e capacitor (elementos capazes de

armazenar energia).

I. O Indutor

1. Caractersticas do indutor

Basicamente o Indutor um dispositivo de 2 terminais composto de um fiocondutor, enrolado em espiral.

O comportamento dos indutores se baseia emfenmenos associados a campos magnticos.

A aplicao de uma corrente varivel no indutorproduz um campo magntico varivel no seu redor.

Um campo magntico varivel induz uma tenso nosterminais do indutor e essa tenso proporcional taxa de variao de corrente que o atravessa.

Matematicamente:

div L

dt=

Tenso em Volts Indutncia em Henry [H]

Corrente [A]

Tempo [s]

Li

dv

dt

=

=

Fluxo magntico concatenado

Lei de Faraday {

)(tv

)(ti


66/130

66

)(tv

)(ti L

dt

tdiLtv

)()( =

)(tv

)(ti L

dt

tdiLtv

)()( =


67/130

67

Observaes:

Quando a corrente constante, a tenso entre os terminais de umindutor ideal nula . Assim, oindutor se comporta como um curto-circuito para corrente contnua.

A corrente que atravessa um indutor no pode variar instantaneamente,ou seja, existe inrcia de corrente no indutor.

Se a corrente variar bruscamente porque h tenso infinita(imposta por um circuito externo) entre os terminais do indutor. Oconceito de impulso utilizado para modelar matematicamente estefenmeno. Neste caso temos um impulso de tenso nos terminais doindutor.

2. Corrente em um indutor em funo da tenso entre os terminais do indutor:

0 0) 0

0

0

( )

(

0 0

( ) 1( ) ( ) ( )

1 1( ) ( )

1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

i tt t

t i t t

tt

tt

di tv t L di t v t dt

dt L

di t di v t dt L L

i t i t v t dt i t i t v t dt L L

= =

= =

= = +

3. Potncia e energia nos indutores:

0 0

0

0 0

( ) ( )( )

20

( )( ) ( )

2 20 0

( )( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

1( ) ( )

2

1( ) ( ) ( ) ( )

2

t t

t t

W t i t i t

i tW t i t

di tp t v t i t Li t

dtdW t

p t dW t p t dtdt

di t di t dW t Li t dt dW t L i t dt

dt dt

dW L idi W t W t L i

W t W t L i t i t

= = = =

= =

= =

=


68/130

68

Se 0( ) 0i t = , e 0( ) 0W t = , ento21( )

2W t Li= .


69/130

69

II.O Capacitor

O capacitor um dispositivo de 2 terminais composto por 2 placas condutorasseparadas por um isolante.

O comportamento do capacitor se baseia emfenmenos associados ao campo eltrico.

Os campos eltricos so produzidos por umaseparao de cargas eltricas, ou seja, por tenso.Ento a carga proporcional diferena depotencial e podemos escrever que q = C v. Orasabemos que i = dq/dt. Assim a relao tenso-

corrente no capacitor pode ser escrita da seguinte forma:

Observaes:

Quando a tenso constante, a corrente em um capacitor ideal nula,ou seja, o capacitor se comporta como um circuito aberto para corrente

contnua. A tenso nos terminais de um capacitor no pode variar

instantaneamente: Existe inrcia de tenso no capacitor.

Se a tenso variar bruscamente, porque h corrente infinita (impostapor um circuito externo) passando pelo capacitor. O conceito de impulso utilizado para modelar matematicamente este fenmeno. Neste casotemos um impulso de corrente passando pelo capacitor.

2. Relaes integrais para o capacitor

dvi Cdt

=

Corrente [A] Tenso [V]

Capacitncia, em Farads [F]

v


70/130

70

0 0

0 0 0

( )

0( )

( ) 1( ) ( ) ( )

1 1

( ) ( ) ( ) ( )

t t

t t

v t t t

v t t t

dv ti t C dv t i t dt

dt C

dv i t dt v t v t i t dt C C

= =

= = +


71/130

71

1 2

1 2

1 2

( ) ( ) ( ) ... ( )

( ) ( ) ( )...

( )

...

n

n

eq

eq n

v t v t v t v t

di t di t di t L L L

dt dt dt di t

L

dtL L L L

= + + +

= + + +

=

= + + +

Os indutores em srie se associamcomo resistores em srie.

3. Potncia e energia nos capacitores

0 0 0 0

( ) ( )

( ) ( )

2 20 0

( )( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

1( ) ( ) ( ) ( )

2

W t v t t t

t t W t v t

dv tp t v t i t v t C

dtdW t

p t dW t p t dtdt

dv tdW t C v t dW C vdv

dt

W t W t C v t v t

= = = =

= =

= +

Se 0( ) 0W t = e 0( ) 0v t = ,21( ) ( )

2W t Cv t =

III. Associaes de indutores e capacitores em srie e em paralelo

1.Associaes de indutores

A. Indutores em srie

)(1

tv )(2

tv )(tvn)(tv

c

)(ti

)(tv

)(ti

1L

2L nL

eqL


72/130

72

B. Indutores em paralelo

nL2L1L

)(1 ti )(2 ti )(tin

)(ti

)(tv eqL

)(ti

)(tv

0 0 0

00

1 2

1 0 2 0 01 2

1 0 2 0 01 2

( )

1

( ) ( ) ( ) ... ( )

1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ... ( ) ( )

1 1 1( ) ... ( ) ( ) ( ) ... ( )

eq

n

t t t

nnt t t

t

nn t i t

L

i t i t i t i t

v t dt i t v t dt i t v t dt i t L L L

i t v t dt i t i t i t L L L

= + + +

= + + + + + +

= + + + + + + +

14444244443144424443

neq LLLL

1...

111

21

+++=

Os indutores em paralelo se associam como resistores em paralelo.

Para 2 indutores,21

21

LL

LLLeq +

= .


73/130

73

2. Associaes de capacitores

A. Capacitores em paralelo

B. Capacitores em srie

)(1

tv )(2 tv )(tvn)(tv

)(ti

)(tv

)(ti1C 2C eqC

nC

nC2C1C

)(1

ti )(2 ti )(tin

)(ti

)(tv

eqC

)(ti

)(tv

c

dttdvC

dt

tdvCCC

dt

tdvC

dt

tdvC

dt

tdvC

titititi

eq

n

n

n

)(

)()...(

)(...

)()(

)(...)()()(

21

21

21

=

=+++=

=+++

=+++=

neq CCCC +++= ...21

Os capacitores em paralelo se associam comocondutncias em paralelo.


74/130

74

4444 34444 21444 3444 21 )(

00201

1

21

002

2

01

1

21

00

0 00

)(...)()()(1

...11

)()(1

...)()(1

)()(1

)(...)()()(

tv

n

t

t

C

n

t

t

t

tn

n

t

t

n

tvtvtvdttiCCC

tvdttiC

tvdttiC

tvdttiC

tvtvtvtv

eq

++++

+++=

=++++++=

=+++=

neq CCCC

1...

111

21

+++= . Os capacitores em srie se associam como

condutncias em srie.

IV. Dualidade

Definio: dois circuitos so duais se a equao de malhas que caracteriza umdeles tem a mesma forma matemtica que a equao nodal quecaracteriza o outro.

Grandeza Dual

Tenso CorrenteCarga Fluxo

Resistncia CondutnciaIndutncia Capacitncia

Curto-circuito Circuito abertoImpedncia admitncia

N (no-referncia) MalhaN de referncia Malha externa (lao)Ramo de rvore Ramo de ligao

Srie ParaleloLKT LKC

Exemplo: Determinao de um circuito dual utilizando a tabela acima

Capacitor

dt

dvCi =

Indutor

dt

diLv =

LC

viGrandezas duais


75/130

75

V. Resposta natural de um circuito RL

O circuito estava operando em regime permanente quando em 0=t a chavepassa da posio A para a posio B. Determine )(til para t 0.

HL

R

R

RVE

5

4

20

30

100

3

2

1

=

=

=

==

c

1R C

2RLV

I 1G 2G

C

L

1. Colocar um n em cada malha +um n de referncia

2. Aplicar as regras de dualidade

E

1R

0t=

A B2R 3R

L

1R

2R 3R

Li

1R 2R 3R

Li

1

E

R

eqR

t


76/130

76

3

3

3

3

3 3

3

( ) ( ) 0

( )( ) 0

( ) ( )

( ) ( )

ln( ( )) ( )

( )

L R

LL

L L

L LR

t kLL

Rtk L

L

V t V t

di tL R i t

dtR Rdi t di t

dt dt

i t L i t LR

i t t k i t e eL

K e i t Ke

+ =

+ =

= =

= + =

=

Kdepende das condies iniciais:0(0 )Li Ke K

+ = =

Como h inrcia de corrente no indutor, (0 ) (0 ) 2,5L Li i A K += = =

4

5( ) 2,5t

Li t e

=

1

3

2,5

(0 ) 2,5

eq

Leq

L

ER

Ri A

R R

i A

= =

+

=

t= 0+( logo depois do chaveamento)

E

1R

2R 3R

L

3R

L

( )L

V t

( )Li t

3( )

RV t


77/130

77

Calcular Ldi

dtem 0t += e 0t = :

a) utilizando as expresses da corrente em t = 0- e em t = 0+

0,8 0,8

0 0(0 ) 2,5 0,8 2,5 2 /

(0 )0

t tL

t t

L

ddi e e A s

dt

di

dt

+

= =

= = =

=

b) Utilizando o circuito logo depois do chaveamento

(0 ) (0 ) 4 2,5

(0 ) (0 ) 2 / 5

L L

L L

di di

v L v A sdt dt

+ ++ +

= = = =

Calcular 3

0

( )R

t

dV t

dt +=:

3

3

3

0,83

0

( )

(0 ) (0 )4 ( 0,8) 2,5 8 /

R L

R tL

t

V R i t

dV diR e V s

dt dt

+ +

=

=

= = =

( )t s

( )( )L

i t Ampres

2,5

0


78/130

78

CAPTULO VII ANLISEDE CIRCUITOS SENOIDAIS


79/130

79

1. Fontes senoidais.

Fontes de tenso (corrente) senoidal produzem uma tenso (corrente) quevaria com o tempo.

wtIti p sen)( = wtVtv p cos)( =

obs.:

A funo senoidal uma funo peridica isto ela se repete emintervalos regulares.

Um ciclo da funo um trecho que comea em uma certa amplitudee termina na mesma amplitude.

O tempo necessrio para percorrer um ciclo chamado perodo.

A freqncia o nmero de ciclo por segundo ][1

HzT

f = ou ciclo/s.

Freqncia angular ]/[2

2 sradT

wwt

==

Funo cosseno defasado )cos()( += wtAtf

Onde o ngulo de fase da funo cosenoidal e geralmenteapresentado em graus.

Ex.: )302cos(20)( o+= ttv

rad/s

Transformao para radianos

0 1.5708 3.1416 4.7124 6.2 832 7.854 9.4248

-1

-0.8

-0.6-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

wt

v(t)

Vp x

rad0 1.5708 3.1459 6.28324 .7124 6 .2832 7 .854 9 .4248

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

wt

i(t)1 ciclo

Ip x

rad


80/130

80

)180

.301.2cos(20)1(

+=v

Para determinar a defasagem entre 2 funes senoidais.Seja

)cos()( 11 += wtVtv p e )cos()( 22 += wtVtv p ento,

)(1 tv est adiantado de em relao )(2 tv

Ex.:1( ) 100 (7 30 )v t sen t =

o

)107cos(40)(2o+= ttv

)1207cos(100)90307cos(100)(1ooo == tttv

)1007sen(40)10907cos(40)(2ooo +=++= tttv

)(1 tv est adiantada deooo

13010030 = em relao )(2 tv .ou

)(1 tv est atrasada deo

130+ em relao )(2 tv .

2. Respostas senoidais

)()(cos tvtVwtV LRp +=

Obter uma resposta em Regime Permanente senoidal corresponde a obter asoluo particular da equao diferencial (1).

RV

wtVp cos

LV )(ti

LR Hiptese: circuito est emregime permanente

dt

tdiLtiRwtVp

()(.cos += (1)


81/130

81

A soluo particular da equao diferencial tem a mesma forma que a fontede excitao, ento vamos supor que ( ) cos( )pi t I wt = + .

Objetivo: determinar pI e .

o ABBABA cos.sencos.sen)sen( = o BABABA sen.sencos.cos)cos( =

)sen()()cos(.cos +++= wtIwLwtIRwtV ppp

]cos.sencos.[sen]sen.sencos.[cos.cos wtwtLwIwtwtIRwtV ppp +=

wtwLIRIwtLwIRI pppp sen].cos.sen.[cos].sen.cos.[ +=

Por identificao de varivel

ppp VwLIRI = sencos (2)0cossen = pp wLIRI (3)

fazendo as eqs. (2)2 + (3)2, temos:

22222 )( ppp VIwLIR =+ 22 )(LwR

VI pp

+=

e da eq. 3 temos,

cossen pp wLIRI =

R

wLarctg=

portanto,

)cos(.)(

)(22 R

wLarctgwt

LwR

Vti p

+=

podemos constatar que a corrente est atrasada de em relao tenso.

3. Fasores.

Definio: Fasor um nmero complexo que representa uma tenso ouuma corrente alternada, cuja parte real representa uma grandeza co-senoidalem t=0.


82/130

82

O conceito fasor baseado na identidade de Euler:

sencos je j =

A transformada fasorial de uma tenso senoidal feita da seguinte forma:

{ }{ }

{ }jwtjp

jwtjwtp

wtjp

p

eeVe

eeeV

eeV

wtVv

=

=

=

+=+ )(

)cos(

Transformada fasorial transfere a funo senoidal do domnio do tempo parao domnio da freqncia.

Ex.: )502cos(100)(1 += ttv [V]o& 63202 =V [V]

501001 =V& [V] )63cos(20)(2o= wttv [V]

4. Excitao Complexa

v(t)

rede

lineari(t)

Fasor tenso

== pj

p VeVV&

Forma retangu

Forma polar


83/130

83

)cos()(1 vp wtVtv += )cos()(1 ip wtIti +=

)sen()(2 vp wtjVtv += )sen()(2 ip wtjIti += Utilizando o conceito de superposio

[ ] )(21 )sen()cos()()()( vwtjpvvp eVwtjwtVtvtvtv +=+++=+=

[ ] )(21 )sen()cos()()()( iwtj

piip eIwtjwtItititi

+=+++=+=

rede

linear

)( vwtjpeV

+ )( iwtjpeI

+

Fator jwte aparece em todos os termos, o mesmo pode ento sersuprimido ficando subentendido.

Assim o circuito no domnio da freqncia :

rede

linear

vjpeV

ijpeI

5. Elementos passivos no domnio da freqncia

5.1) Para o resistor.


84/130

84

)(tv

)(ti

R

Aplicando a Lei de Ohm

)(.)( tiRtv = )()( . iv wtjpwtj

p eIReV ++ =

iv jp

jp eIReV

.= no domnio da

freqncia:

IRV && .= O circuito no domnio da freqncia

V&

I&

R

5.2) Para o indutor

)(tv

)(ti

L

Utilizando uma excitao complexa do tipo)(

)( vwtj

peVtv+=

teremos uma corrente do tipo)(

)(

iwtj

peIti

+

=

Tenso e corrente em fase

dt

tdiLtv

)()( =

)()( iv wtjp

wtjp eI

dt

dLeV ++ =

)( iwtjpejLwI

+=

iv jp

jp eIjLweV

.=

V&

I&

jLw


85/130

85

No indutor, a corrente esta atrasada de 90 em relao tenso.

5.3) Para o capacitor

VjCwI && =

IjwC

V &&1

=

o&

& 90=Cw

IV

No capacitor, a corrente est adiantada de 90 em relao tenso.

Exemplo: Determinar i(t) em regime permanente.

wtVp cos)(ti

LR

o&&& 90.. == ILwIjLwV

dt

tdvCti

)()( =

)()()(

][vvi wtj

pwtj

pwtj

p ejCwVeVdt

dCeI

+++

==)(tv

)(ti

C

vjp

jp ejCwVeI

i =

V&

I&

jCw

1


86/130

86

No domnio da freqncia:

6. Impedncia (Z) e admitncia (Y)

a) Impedncia(Z)

a razo entre o fasor tenso e o fasor corrente.

()

{ }{ } reatnciaBZm

aresistnciAZe

==

==

As impedncias se associam da mesma forma que as resistncias.

Srie neq ZZZZ +++= ...21

Paraleloneq ZZZZ

1...

111

21

+++=

b) Admitncia (Y) a razo entre o fasor corrente e o fasor tenso em um elemento.

( S ou )

o0pV

I&

jLwR

R

LwarctgwLR

V

jwLR

VI pp

+

=

+

=

22 )(

00 oo&

22)(

0

wLR

R

LwarctgV

Ip

+

=

o

&

cos()(

)(22

arctgwtLwR

Vti p

+=

I

VZ

&

&=

V&

I&

ZZ um nmero complexo mas no um fasor

jBAZZ +==

V

IY

&

&=

V&

I&

Y


87/130

87

Admitncias seassociam da mesma forma que as capacitncias.

Srieneq YYYY

1...

111

21

+++=

Paralelo neq YYYY +++= ...21

Observao: jbaZ +=

22

11

ba

jbaBjG

jbaZY

+

=+=+

==

aG 22 ba

aG

+=

bB 22 ba

bB+

=

7. Anlise de circuitos alimentados por fontes senoidais.

Determinar o circuito equivalente no domnio da freqncia docircuito estudado.

7.1) Anlise nodalMesmo procedimento que no captulo 4.

7.2) Anlise de malhaIdem capitulo 4.

7.3) Transformao de fontesVer captulo 4.

7.4) Teorema de Thvenin ou Norton

VYI && = ZY

1=

jBGYY y +==

Condutncia Susceptncia


88/130

88

obs.: fonte teste = fonte de amplitude TI e fase 0.o& 0= TT II

7.5) Superposio

)30

10cos(10

o+

t

)(tvR 20

5H2

V15)60

20sen(20

o+

t

sradw /10=

sradw /0=

o& 3010)20//20(5

51 +

=j

V

VV o& 69,377,21 =

1V& 20

5

V15

o3010

1V&

20

520j

VV 151 =&


89/130

89

sradw /20=

++ 111 VVVVR &&&& pois no esto na mesma freqncia.

VtttvR )7,6520sen(98,315)69,310cos(77,2)(oo =

8. Diagramas fasoriais

So representaes no plano complexo de todos os fasores de tenso ede corrente que aparecem num circuito. Elas permitem visualizar a defasagementre os fasores tenses e correntes.

Regra para construo dos diagramas:

No resistor a corrente est em fase com a tenso.

No indutor a corrente est atrasada de 90 em relao a V. No capacitor a corrente est adiantada de 90 em relao a V.

1V& 20

40jo6020

o& 6020)40//5(20

40//51 +

=

j

jV

VV o& 7,6598,31 =


90/130

90

Exemplo 1:

LI CI RI

mH2,0 RF8000I V&

sradw /5000=

o L C RI I I I= + +& & & &

CI&SI&

LI&

LC II && +

R

VI

PR =&

V&

pV3

45

o45

P

P

VR

V

tg3

45 =o R

VV PP =3 = 333.0R

Use um ou mais diagramasfasoriais para determinar R para

que a corrente no resistor RIfique atrasada de 45 em relao corrente da fonte

0I .

o

o

&& 90102,05000

03 =

== pp

LL V

jV

ZVI

o&

& 904 == pC

C VZ

VI

R

VI pR

o

&0

=


91/130

91

)2(1 AI&)20( VV&

)5(2 AI& I&

SV&

XV&

93,26=XV&

fRe65 65

38

i

Vi

i

50

Exemplo 2:

No circuito abaixo, o ampermetro indica 5 A. Adotando o fasor V& comoreferncia, desenhar o diagrama fasorial e determinar SV& .

A

5

104j

SV&

I&

1I&

2I&

XV&

V&

VIjV 20544 2 === &&

AV

I 210

20

101 ===

&& AI 52 =&

21 III &&& +=

39,525 222

2

2

1 =+=+= III &&&

o

&

&2.68

2

5

1

2=

== arctg

I

Iarctgi

93,2639,555 === IVX &&

VVV XS &&& +=

Componente horizontal de

VVVV iXS 30)2,68cos(93,2620cos =+=+=o&&&

Componente vertical de VVV iXS 25)2,68sen(93,26sen ===o&&

VVS 05,39)25(3022 =+=&

][8,3905,39 VVSo& =


92/130

92

o8,3930

25=

= arctg

SV


93/130

93

CAPTULO VIII POTNCIA EM CIRCUITOS

SENOIDAIS


94/130

94

1. Potncia instantnea

( ) ( ) ( )p t v t i t=

2. Potncia mdia

0

0

1

( )

t T

tP p t dt T

+

=

3. Valores eficazes de corrente e tenso

Mtodo para comparar a potncia mdia dissipada num resistoralimentada por forma de onda diferente.

0I

R

( ) cos( )pI t I t = + R

2

1 0P R I= P2 = P1 se ( ) cos( )pi t I t = +

02

pI I=

Verificao:

Potncia no resistor alimentado por CC

redelinear

( )i t

( )v t

( )p t

T ( )t s0t


95/130

95

2

1 0P R I=

Potncia no resistor alimentado por CA

[ ]

2 2 2 2

2

1( ) ( ) cos ( ) cos (1 cos 2 )

2

1 cos2( )2

p

p

p t Ri t R I t ora A A

R It

= = + = +

= + +

1 2P P=

2

2

02

pR IR I =

0 0 22

p

p

I

I I I= =

Concluso: Uma senoide com amplitude de pico igual apI dissipa a mesma

potncia que uma corrente constante de valor2

pI sobre um resistor.

Mtodo genrico para determinar o valor eficaz de uma grandeza

0

0

0

0

2

2 2

2

1( )

2

1( )

t Tp

rms t

t T

rms t

IP R R I R i t dt

T

I i t dtT

+

+

= = =

=

Obs.: para senoide2

prms II = ,

2

prms VV =

4. Potncia em elementos passivos


96/130

96

4.1. Caso geral (impedncia qualquer)

v i =

( ) cospv t V t =

0p pp

V VVI I

Z ZZ

= = = =

( ) cos( )pi t I t =

( ) ( ) ( ) cos( ) cos( )p pp t v t i t V t I t = =

1 1( ) cos( ) cos(2 )2 2

p pp t V I t t t = + + ,ora

[ ]1

cos cos cos( ) cos( )2

A B A B A B= + +

1 1( ) cos( ) cos(2 )

2 2p p p pp t V I V I t = +

( ) cos( ) cos(2 )rms rms rms rmsp t V I V I t = + ,ora

cos( ) cos cos sin sinA B A B A B = +

[ ]( ) cos( ) cos(2 )cos( ) sin(2 )sin( )rms rms rms rmsp t V I V I t t = + +

[ ]( ) cos( ) 1 cos(2 ) sin( )sin(2 )rms rms rms rmsp t V I t V I t = + +

potncia instantnea na potncia instantnea na

parte resistiva de Z parte reativa de Z

Potncia mdia:

0

1( ) cos( )

T

rms rmsP p t dt V I

T= = , [ W ]

Potncia reativa:

V

I

Z Z =


97/130

97

Valor de pico da potncia instantnea da parte reativa.sin( )rms rmsQ V I =

4.2. Circuito resistivo

Tenso e corrente em fase.

0v i = = .

[ ]( ) 1 cos(2 )rms rmsp t V I t= +

[ ]0

11 cos(2 )

T

R rms rmsP V I t dt

T= +

2

2 rms

R rms rms rms

VP V I R I

R= = =

0RQ =

4.3. Circuito exclusivamente indutivo

0 90 90v i = = = ( ) sin(2 )rms rmsp t V I t=

0LP = 2

2 rms

L rms rms L rms

L

VQ V I X I

X= = =

4.4 Circuito exclusivamente capacitivo

0 90 90v i = = = ( ) sin(2 )

rms rmsp t V I t=

0CP = 2

2 rms

C rms rms C rmsC

V

Q V I X I X= = =


98/130

98

5. Potncia aparente e fator de potncia

a) Potncia aparente:

rms rmsS V I= , [VA] potncia desenvolvida pela fonte.

b) Fator de potncia:

Fator de potncia: coseno do ngulo da carga, ou coseno da defasagementre a tenso e a corrente.

cos( ) cos( )p v iF = = [adimensional]

Como a funo coseno uma funo par, cos( ) cos( )v i i v = .Acrescenta-se atrasado ou indutivo se a corrente da carga atrasadaem relao tenso nos seus terminais, e adiantado ou capacitivo sea corrente da carga adiantada em relao tenso.

Fluxo da potncia num circuito:

Fonte

R

L

C

Carga

Relaes adicionais:

cos( )P S = sin( )Q S =

2 2S P Q= +

tan( )Q

P =


99/130

99

6. Potncia complexa

vi =

cos( ) cos( )rms rms rms rms v iP V I V I = =

{ }cos( ) sin( )rms rms v i rms rms v iP V I jV I = +

{ }( )v ijrms rmsP V I e =

{ }v ij jrms rmsP V e I e =

{ }

*

P V I

=

{ }P S=

Definindo a potncia complexa*

S V I S

= =

Portanto { }P S=

{ }ImQ S S P jQ= = +

S S= cos( )

pF =

rms iI I

=

rmsV V v

= Z Z =


100/130

100

Conservao da potncia complexa:

*

S V I

=

( )* *

1 2S V I I

= +

* *

1 2S V I V I

= +

1 2S S S= +

No importa como os elementos esto conectados entre eles, paradeterminar a potncia complexa desenvolvida pela fonte, basta somartodas as potncias complexas de cada elemento.

Tringulos de potncia (interpretao geomtrica da potnciacomplexa):

0 > carga indutiva

Relaes adicionais:

V Z I

= 2

* *2 rms

rms

IS V I Z I I S Z I

Y

= = = =

* 2*

2

* *

rms

rms

VVV S Y V

Z Z

= = =

I

V

1I

2I

S

P

Q


101/130

101

7. Correo do fator de potncia

Objetivo: Minimizar a troca de energia reativa entre a fonte e a carga, sem

alterar a energia til absorvida pela carga.

S

P

Q

'

Q'S'

Exemplo: Uma carga de 500 kVA com fator de potncia igual a 0,6atrasado, alimentado sob uma tenso de 13,8 kVrms. f = 60 Hza) Determinar a corrente da cargab) Deseja-se corrigir o fator de potncia para 0,9 atrasado, atravs da

ligao de capacitores em paralelo com a carga. Determine o valor dacapacitncia requerida.

c) Calcular a nova corrente da carga.

Soluo:

a)

3

3

500 10

36,213,8 10rms

S

I AV

= = =

b) 31 500 10 53,13 cos( ) 0,6 53,13S VA

= = = 300 400k j k= + 300P kW= ' cos(0,9) 25,84Q arc= =

400Q kVAR= ' 333,33cos( ')

PS kVA

= =

' 'sin( ') 145,3Q S kVAR= =

S

P

Q

'

Q'S'


102/130

102

Potncia reativa do capacitor:

' 254,7CQ Q Q kVAR= =

Potncia complexa no capacitor:*

CC CS V I P

= =0

C CjQ+

V

C

*

CC CV I jQ

= * 2

* *

C CC C C

CC

VVV jQ jQ

ZZ

= =

*1 1C C

Z Zjc jc

= =

2

2

C

C

QC

f V=

3

3

254, 7 103,55

2 60 13,8 10C F

= =

c)3

3

' 333,33 10' 24,15

13,8 10

SI A

V

= = =


103/130

103

8. Transferncia mxima de potncia

Objetivo: obterL

Z de modo que a potncia ativa na carga seja mxima.

SV

L L LZ R jX= +

SS S

Z R jX= +A

B

8.1 Carga puramente resistiva L L

Z R=

SV

LR

SZ

LI

S S

L

S S LS L

V VI

R jX RZ R

= =+ ++

2 2( )

S

L

S L S

VI

R R X=

+ +

Potncia na carga:

2

2

2 2( )

L S

L L L

S L S

R VP R I

R R X= =

+ + max 0LL

L

dPP se

dR=


104/130

104

2 2

L S S SR R X Z= + =

8.2 Carga com RL fixo e XL varivel

SV

LR

SZ

LI

A

B

LjX

( ) ( )

S

L

S L S L

VI

R R j X X

=+ + +

2 2( ) ( )

S

L

S L S L

VI

R R X X

=+ + +


105/130

105

Potncia na carga:

2

2

2 2max

( ) ( )

L S

L L L L S L

S L S L

R VP R I P se X X

R R X X= = =

+ + +

2

max 2( )

L S

L

S L

R VP

R R=

+

8.3 Carga com RL varivel e XL fixo

( ) ( )2 2

S

L

S L S L

VI

R R X X=

+ + +

( ) ( )

2

2 2

L S

L

S L S L

R VP

R R X X=

+ + +;

max0LL

L

dPP se

dR=

ento ( )22

L S S LR R X X= + +

SVLR

SZA

B

LjX


106/130

106

8.4 Carga com RL varivel e XL varivel

( ) ( )

2

2 2

L S

L

S L L S

R VP

R R X X=

+ + +

FazendoL

X variar:maxL

P para L SX X= .

Ento:

( )

2

2'

L S

L

S L

R VP

R R=

+.

Em seguida, fazendoL

R variar:max

'0L

L L S

L

dPP se R R

dR= = .

Ento:*

L S S SZ R jX Z= = .

SV

LR

SZ

LjX


107/130

107

CAPTULO IX CIRCUITOSTRIFSICOS


108/130

108

1. Tenses trifsicas equilibradas Um sistema de tenses trifsicas equilibradas um conjunto de 3

tenses senoidais com mesma a mesma amplitude, a mesmafreqncia mas defasadas entre si de 120.

As tenses so chamadas tenses de fase a, b, c.

Seqncia de fases (defasagem entre as tenses de fase):

Seqncia abc, positiva ou direta

0an PV V

=

120bn PV V

=

120cn PV V

= +

bnV

cnV

anV

Seqncia acb, negativa ou indireta

0an PV V

=

120bn PV V

=

120cn PV V

=

bnV

cnV

anV


109/130

109

0an bn cnV V V

+ + = Tipos de ligaes possveis de um gerador 3 ideal:

caV

bcV

abV

a

c

b

tipo Y tipo 2. Anlise do circuito Y-Y (equilibrado)

anV

cnV

bnV

a

c b

A

CB

n NNnI

aAI

bBI

cCI

Z

Z Z

Tenses nas fases:

Tenses entre o neutro e cada uma das linhas, ou tenses nos

terminais de cada elemento.Na fonte: anV

, bnV

, cnV

Na carga: ANV

, BNV

, CNV

Tenses de linhas:

Tenses entre as linhas

anV

cnV

bnV

a

c

b


110/130

110

Na fonte = na carga : abV

, bcV

, caV

.

Corrente no neutro:

Nn aA bB cCI I I I

= + + 1

0an bn cnNn an bn cnV V V

I V V VZ Z Z Z

= + + = + + =

Portanto, no existe corrente circulando no neutro num sistemaequilibrado. Ento:

Quando existe impedncia de linha no neutro, o mesmo podeser considerado como um curto circuito.

Quando o neutro no est disponvel, o mesmo pode sercolocado no circuito para efeito de clculo.

Relao entre as tenses de fase e de linha:

Supondo seqncia ento:

0an PV V

=

120bn PV V

=

120cn PV V

=

Sabendo que ab an nbV V V

= +

0 120an bn P PV V V V

= =

3 3(cos( 120 ) sin( 120 ))

2 2P P PV V j V j

= + = +

Logo

3 30ab PV V

=

3 90bc PV V

= da forma mais geral fase PV V

=

3 150ca PV V

= 3 30linha PV V

= +


111/130

111

bnV

cnV

anV30

abV

Circuito monofsico equivalente (vlido somente para sistemaequilibrado):

anV

ZbnV

cnV

a,b,c A,B,C

n N 3. Anlise do circuito Y- (equilibrado)


112/130

112

anV

cnV

bnV

a

c

b

A

CB

n

aAI

bBI

cCI

Z

ABI

BCI

CAI

Z

Z

Correntes de fase:

Na carga: , ,AB BC CAI I I

Na fonte: , ,aA bB cC I I I

Correntes de linhas:

Na carga = na fonte: , ,aA bB cC I I I

Determinao das correntes de linhas:

Ex.: anaAY

VI

Z

= cncCY

VI

Z

=

bnbBY

VI Z

=

Circuito monofsico equivalente

aAI

3Y

ZZ =

a,b,c A,B,C

n N

cCI

bBI


113/130

113

Determinao das correntes de fases nas cargas pela relao entrecorrentes de linhas e correntes de fase:

aA AB CAI I I

=

Supondo seqncia : 0AB pI I

= 120BC pI I

=

120CA pI I

=

0 120aA p pI I I

=

(cos(120 ) sin(120 ))aA p pI I I j

= +

3 3

2 2aA pI I j

=

3 30aA pI I

=

3 150bB pI I

=

3 90cC pI I

=

da forma mais geral,

0fase pI I

=

3 30linha p

I I

=

Observao: se o gerador estiver ligado em , substitui-se o mesmo porum gerador equivalente ligado em Y tal que a tenso de linha senha a mesma.

a

c

b

220

903

22030

3

220150

3

seqncia

3 30 303

linhalinha fase fase

VV V V= =

220120

a

c

b

220 0

220 120


114/130

114

4. Circuitos 3 desequilibrados

4.1. Carga desequilibrada em Y com neutro

A

C

B

N

NI

AI

BI

CI

AZ

BZ

CZ

3 circuitos independentes.

0N A B CI I I I

= + +

Neste caso ANAA

VI

Z

=

BN

BB

V

I Z

=

CNC

C

VI

Z

=

4.2. Carga desequilibrada em Y sem neutro


115/130

115

anV

cnV

bnV

AI

BI

CI

BZ

AZ

CZ

1I

2I

Utiliza-se o mtodo das malhas.

1AI I

= 2 1BI I I

= 2CI I

= 4.3. Carga desequilibrada em

Caso no se conhece as tenses de linha na carga, substitui-se ocircuito por seu equivalente em Y, e utiliza-se o mtodo das malhas.

Conhece-se as tenses de linha na carga:

gZ

gZ

gZ

1Z 2Z

3Z


116/130

116

anV

cnV

bnV

A

CB

aI

1Z

ABI

2Z

3Z

1

ABAB

VI

Z

=

2

CACA

VI

Z

= => a CA ABI I I

=

5. Potncia em sistema 3

A A AZ Z =

B B BZ Z =

C C CZ Z =

, , , ,, , A B C A B CA B C v i =

Tenses de faseinstantneas:

Correntes de faseinstantneas:

( ) cos( )AN Ap vA

v t V t = + ( ) cos( )AN Ap iAi t I t = +

( ) cos( )BN Bp vB

v t V t = + ( ) cos( )BN Bp iBi t I t = +

( ) cos( )CN Cp vC

v t V t = + ( ) cos( )CN Cp iC

i t I t = +

Sabendo que [ ]1

cos cos cos( ) cos( )2

A B A B A B= + +

Potncias instantneas em cada fase:

A

C

B

( )AI t

( )BI t

( )CI t

AZ

BZ

CZ


117/130

117

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) cos ( ) ( ) cos 2ABC

A AN A A rms A rms A A rms A rms v AB B B B B B B B BC C C C C C C C C

P t v t i t V t I t V t I t t

= = + +

Potncia instantnea total: ( ) ( ) ( ) ( )A B Cp t p t p t p t= + +

Potncia ativa total:cos cos cos

rms rms rms rms rms rmsA B C A A A B B B C C CP P P P V I V I V I = + + = + +

5.1. Para um sistema equilibrado

rms rms rmsA B C rmsV V V V = = =

A B C A B CZ Z Z Z = = = = = =

rms rms rmsA B C rmsI I I I= = =

Potncia instantnea: ( ) 3 cosrms rmsp t V I =

Potncia mdia: 3 cosrms rmsP V I =

Para carga ligada em Yase linhaI I=

3 ase linhaV V=

3 cos 3 cos

3

linhaY linha Y linha linha

VP I P V I = =

Para carga ligada em ase linhaV V=

3 ase linhaI I=

3 cos 3 cos3

linhalinha linha linha

IP V P I V = =

YP P=


118/130

118

Resumo: V e I em valores eficazes.

Por fase TotalPotncia ativa cosf f fP V I = 3 cos 3 cosT f f L LP V I V I = =

Potncia reativa sinf f fQ V I = 3 sin 3 sinT f f L LQ V I V I = =

Potncia aparente f f fS V I= 3 3T f f L LS V I V I = =

Potncia complexa *ff fS V I

=

*

3T f fS V I

=

Fator de potncia cospF = cospF =

5.2. Para um sistema desequilibradoPotncia ativa total: T A B C P P P P= + + Potncia reativa total: T A B C Q Q Q Q= + +

Potncia aparente total: 2 2T T TS P Q= +

Fator de potncia: cos TTT

P

S =

Potncia complexa total: T A B C S S S S

= + +

6. Medida da potncia mdia em um circuito 3

6.1. O Wattmetro


119/130

119

I

V

CARGA

bobina da tenso(resistncia alta)

bobina da corrente(resistncia baixa)

Observao: Bobina da corrente em srie com a cargaBobina da tenso em paralelo com a carga.

cos( )v iW V I =

6.2. O mtodo dos dois Wattmetros

1 cos( )ac aac a v I W V I =

2 cos( )bc bbc b v I W V I =

1 2P W W= +

Exemplo: Se a carga estiver ligada em Y, e o gerador ligado em Y:

Seqncia

0anV V=

ou

Y

a

c

b

1W

2W


120/130

120

120bnV V= 120cnV V=

Z Z=

3 30linha faseV V=

3 30bc bnV V

=

3 120 30bcV V

=

3 90bcV V

=

ac caV V

=

3 30ca cnV V

=

3 30 120caV V

= 3 150caV V

=

3 150 3 330 3 30V V V V

= = =

0ana

V VI I

ZZ

= = =

120120bnb

V VI I

ZZ

= = =

1 3 cos( 30 ( ))W V I = 2 3 cos( 90 ( 120 ))W V I =

1 cos( 30 )L LW V I = 2 cos( 30 )L LW V I = +

Obs.: Para o sistema equilibrado possvel determinar o fator de potnciada carga.

[ ]1 cos( ) cos(30 ) sin( ) s in(30 )L LW V I = +

[ ]2 cos( ) cos(30 ) sin( ) sin(30 )L LW V I =

2 1( ) 2 cos( ) cos(30 )L LW W V I + = 2 12 1

cos(30 )cos( )

sin( )cos(30 )

W W

W W

+ =

2 1( ) 2 sin( ) sin(30 )L LW W V I =


121/130

121

2 1

2 1

3cos( )

321 tan( )

sin( )2

W W

W W

+ = =

1 2

1 2tan( ) 3

W W

W W

= +

1 2 tan( ) 0 0 cos( ) 1W W = = = = carga resistiva

1 2W W= com sinais apostos carga reativa pura

1 2 0W W > > carga indutiva

1 2 0W W < < carga capacitiva


122/130

122

CAPTULO X INTRODUO AOS

CIRCUITOS DE SELEODE FREQNCIAS


123/130

123

1. Introduo

At agora, em nossas anlises de circuitos com fontes senoidais, supomos

que a freqncia da fonte era constante. Neste capitulo, vamos estudar oefeito da variao da freqncia sobre as tenses e correntes do circuito resposta em freqncia do circuito.

jL

se =

0se =

1

jC

se =

0se =

Escolhendo adequadamente os valores das componentes e a forma deligao entre eles, podemos montar circuitos que deixam passar apenassinais cujas freqncias estejam dentro de uma certa faixa circuitos de

seleo de freqncia ou Filtros.Exemplos de aplicao: telefone, televiso, satlites, rdios, equalizadores,etc.

Principais tipos de filtro: filtro passa-baixas, filtro passa-altas, filtro de bandade passagem, filtro de banda de rejeio.

Estes filtros so chamados filtros passivos, pois so construdos a partir decomponentes passivos.

2. Filtros passa-baixas


124/130

124

i

V oV

R

C

Para identificar o tipo de filtro, examina-se o grfico da resposta de

freqncia no domnio da freqncia.

iV

oV

R

jL

( )i oo

i

RV V RV H j

R jL R jLV

= = =

+ +

2

2

( ) ( )

R R

L LH j H jR

Rj L L

= =

+ +

( ) arctanL

jR

=

Grfico de amplitude:

Para freqnciasaltas o circuito deixa passar

pouco sinal.

iV oVR

L

0

1

1

2

( )H j

c

Bandarejeitada

Banda

passante


125/130

125

Grfico de fase:

Tenso de sadaatrasada de 90 emrelao tenso deentrada.

A freqncia limiteentre a banda rejeitada e

a banda passante

chamada freqncia decorte c . Ela corresponde freqncia pela qual

max

1( )

2cH j H = .

Amplitude da funo de sada igual a pelo menos 70,7% do valor mximopossvel.

Razo da escolha de max2

H para definir c :

Potncia mxima na sada:2

max1

2

RR

VP

R=

Potncia na sada quando c = :

max max

1 1( ) ( )

2 2c o R c RH j H V V j V = =

2

2 2maxmax

1( )1 1 12

2 2 2 2c

R

RRR c

P

V VV jP

R R R = = =

123

1

2cRP P =

0( )j

90


126/130

126

No limite entre a banda rejeitada e a banda passante a potncia mdiafornecida carga = 50% da potncia mdia mxima.

c = freqncia de meia potncia.

Dentro da banda passante, a potncia fornecida a uma carga pelomenos 50% da potncia mdia mxima.

3. Filtros de banda de passagem

Circuitos que deixam passar sinais cujas freqncias estejam dentro deuma certa faixa e rejeitam sinais cujas freqncias estejam fora desta faixa.

Exemplo:

No domnio da freqncia:

iV

R

1

jCjLi

1

VI

R j LC

= +

iV oVR

CLi

iV oV

R

C L


127/130

127

2

2

1

1 1( ) tan

11

LI CH j arc

RV R j L R LC C

= = =

+ +

( )2

2

1

1

H j

R LC

= +

1

( ) arctanL Cj

R

=

Freqncia de ressonncia 0 :


128/130

128

Freqncia pela qual ( )H j mxima. max1 I

HR V

= = .

Na freqncia de ressonncia a impedncia equivalente do circuito um resistor puro. As impedncias do capacitor e do indutor tm

mdulos iguais e de sinais opostos. a tenso de entrada e acorrente esto em fase.1

eqZ R j LC

= +

, como na ressonncia 0( )eqZ R =

0 00

1 10L

C LC

= =

Freqncias de cortes 1 e 2

Potncia mxima = Potncia na freqncia de ressonncia2

0 max

1

2 pP R I= .

Freqncias de cortes = Freqncia para max2

pII= =freqncia

potncia.

1 2

2 2max max

0

1 1 1

2 2 2 22

p pI IP P R R P

= = = =

max

1 22 2 2

( ) ( )2 2 2

p p p pI V V VI I

R R R R = = = = =

+

22 1

pVI

R LC

= +

22 1 1R L R L

C C

= =

a) 22 2 22

1 10R L L R

C C

= =

2

2

4

2

LR R

CL

+=

2

2

4

2

LR RC

L

+ +=

b) 21 1 11

1 10R L L R

C C

= + =


129/130

129

2

1

4

2

LR R

CL

+=

2

1

4

2

LR R

C

L

+ +=

Banda passante

Largura de banda da passagem:

2 1

R

L = =

0 1 2 =

Fator de qualidade Q

0 0LQR

= =

Q maior, circuito mais seletivo.


130/130

130

Bibliografia

1) Electric Circuits, James W. Nilsson, Susan A. Riedel. Ed. PrenticeHall, Sixth Edition, 1999. ISBN 0-201-43653-1.

2) Fundamentos de anlise de Circuitos Eltricos, David E. Johnson,John L. Hilburn, Johnny R. Johnson. Ed. Prentice Hall do Brasil,Quarta Edio, 1994. ISBN 85-7054-047-7.

3) Linear Circuit analysis, Artice M. Davis. Ed. PWS PublischingCompany, 1998. ISBN 0-534-95095-7.

4) Introduo Analise de Circuitos, Robert L. Boylestad. Ed.Prentice Hall do Brasil, 8a Edio, 1998. ISBN 85-7054-078-7.

5) Anlise de Circuitos em Engenharia, J. David Irwin. Ed. PearsonEducation, 4a Edio, 2000. ISBN 85-346-0693-5.

6) Anlise de Circuitos em Engenharia, William H. Hayt Jr., Jack E.Kemmerly. Ed. McGraw-Hill, 1973.

7) Circuitos Eltricos, Joseph A. Edminster. Ed. McGraw-Hill, 1980.

ckt elétricos

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