Capıtulo 3
D in am ica
E x e rc ıc io 3.1 : Um homem de massa 90 kg esta dentro de um elevador. Deter-mine a forca q ue o p iso ex erce sob re o homem em cada um dos seguintes casos:
a) O elevador sob e com veloc idade constante.
b ) O elevador desce com veloc idade constante.
c ) O elevador desce com movimento uniformemente retardado de acelerac aoigual a 3 m/ s2.
d) O cab o do elevador p arte.
E x e rc ıc io 3.2 : Uma sonda meteorologica com a massa de 2 0 kg encontra-sesusp ensa de um b alao de helio, p or meio de uma corda.
a) S e, na sua viagem estratosferica, o b alao sub ir com uma acelerac ao max imade grandeza 3 .5 m/ s2, q ual e a tensao mınima q ue a corda devera sup ortar?
b ) E m q ue condic oes seria a tensao na corda igual ao p eso da sonda?
c ) S e a sonda e o b alao c aırem verticalmente com acelerac ao de grandeza4 .9 m/ s2, q ual e a forca q ue a corda ex erce sob re a sonda?
R ep resentar, num diagrama, as forcas q ue actuam na sonda p ara cada uma das 3
situac oes.
27
Dinamica
Exercıcio 3.3: Dois blocos A e B, de massas mA = 2 kg e mB = 1 kg re-spectivamente, estao em contacto e sobre uma mesa plana sem atrito. Uma forcahorizontal e aplicada a um dos blocos:
A
B
F
F ig u ra 3 .1 : E x e rcıcio 3 .3 .
a) Se a forca, com intensidade 3 N , for aplicada com o sentido indicado nafi gura 3.1 , determinar a forca de contacto entre os dois blocos.
b) M ostrar que, se uma forca com igual grandeza mas sentido oposto for apli-cada nao no bloco A mas no bloco B, a forca de contacto entre os dois blocossera 2 N (de valor diferente do encontrado na alınea anterior).
Exercıcio 3.4 : Um bloco A com 3 kg de massa e colocado sobre um bloco B demassa igual a 5 kg, como mostra a fi gura 3.2. Admita que nao ha atrito entre obloco B e a superfıcie sobre a qual esta colocado. Os coefi cientes de atrito estaticoe cinetico entre os dois blocos sao 0.2 e 0.1 , respectivamente, e todas as superfıciesem contacto sao horizontais.
B
A
F
F ig u ra 3 .2: E x e rcıcio 3 .4 .
a) Q ual a forca maxima que, aplicada paralelamente a superfıcie, sobre o blocoB, movimenta o sistema sem que os blocos se desloquem um em relacao aooutro?
b) Q ual a aceleracao dos blocos na situacao da alınea anterior?
c) Q ual a aceleracao do bloco A, se a forca aplicada no bloco B exceder o valorcalculado na primeira alınea?
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Dinamica
Exercıcio 3.5: Dois blocos A e B, de massas m e 10 m, respectivamente, estaocolocados ao lado um do outro, sobre uma mesa plana e horizontal. Os coeficientesde atrito estatico e cinetico entre os blocos e a mesa sao µe e µc. Estando o conjuntodos blocos inicialmente em repouso, aplica-se-lhes uma forca horizontal como seindica na figura 3.3.
FF
A
B B
A
Figura 3.3: Exercıcio 3.5 .
a) Determinar a funcao F1(m,µe) que representa a intensidade maxima daforca ~F1, aplicada sobre o corpo A, de modo a que o sistema se mantenhaem repouso.
b) Obter a funcao F2(m,µe), intensidade maxima da forca horizontal ~F2, apli-cada sobre o corpo B, para a qual o sistema ainda se mantem em repouso.
c) C omparar os valores das intensidades das forcas exercidas por um blocosobre o outro, em cada um dos casos anteriores.
d) Determinar a funcao a(F ′
1,m,µc), aceleracao do movimento dos blocos, se
a intensidade da forca ~F ′
1aplicada em A for maior que a de ~F1 referida na
primeira alınea.
e) Retire-se a forca ~F ′
1e aplique-se ~F ′
2= −
~F ′
1em B; qual sera a aceleracao do
movimento de cada um dos blocos?
f) P ara as situacoes descritas nas duas alıneas anteriores, quais serao as inten-sidades das forcas que cada um dos blocos exerce sobre o outro?
Exercıcio 3.6 : Os blocos A e B representados na figura 3.4 tem massas de 1 kge 2 kg, respectivamente. O bloco A esta preso a parede por uma corda horizontal esobre B esta a ser exercida uma forca ~F horizontal de intensidade 12.5 N. Sabendoque o coeficiente de atrito estatico entre A e B vale 0.25 e que o corpo B esta naeminencia de se mover, determine:
a) O coeficiente de atrito estatico entre B e a superfıcie em que esta apoiado.
b) A tensao na corda.
29
Dinamica
B
A
F
Figura 3.4: Exercıcio 3.6 .
c) Sabe-se que o coeficiente de atrito cinetico entre A e B e 10% inferior aocoeficiente de atrito estatico. Se o corpo B entrar em movimento, quantopassara a valer a tensao no fio?
Exercıcio 3.7: O bloco representado na figura 3.5 esta prestes a cair! Sabendoque as massas da esfera e do bloco sao iguais, e que o coeficiente de atrito estaticoentre todas as superfıcies em contacto e µ, determine:
mm
Figura 3.5: Exercıcio 3.7.
a) o angulo θ(µ);
b) a grandeza da tensao no fio T (m, µ).
Exercıcio 3.8 : Um corpo de massa 50 g desce um plano inclinado, de altura1 m e inclinacao 30◦, partindo do repouso da posicao mais elevada do plano. Ocoeficiente de atrito cinetico entre o corpo e a superfıcie do plano e 0.4.
a) Representar num esquema todas as forcas aplicadas no corpo e calcular avelocidade com que o corpo atinge a base do plano.
b) Calcular a velocidade com que o corpo atingiria a base do plano se naohouvesse atrito.
30
Dinamica
Exercıcio 3.9: Um bloco de 60 N de peso esta apoiado num plano inclinado sem
atrito, que forma um angulo de 20◦ com a horizontal. O bloco e empurrado para
cima por uma forca de 30 N paralela ao plano. Qual e a aceleracao do bloco?
Exercıcio 3.10 : Supondo que os dois blocos, de massas m1 = 200 g e m2 = 130 g,
representados na figura 3.6 podem deslizar sobre as superfıcies em que assentam
sem atrito, determine a aceleracao de cada um e a tensao no fio.
mm
3 0 º6 0 º
Figura 3.6: Exercıcio 3.10.
Exercıcio 3.11: Dois blocos, de iguais dimensoes, mas feitos de materiais dis-tintos, encontram-se sobre um plano inclinado. F azendo variar a inclinacao θ doplano, verifica-se que o bloco B comeca a deslizar para uma inclinacao θ1, enquantoque o bloco A so comeca a deslizar para um angulo θ2 = 2θ1.
Determinar, em cada um dos casos representados na 3.7 , o valor do angulo
θ para o qual o conjunto comeca a deslizar, considerando que, em qualquer dos
casos, os blocos sao apenas justapostos e que nao ha movimento relativo entre eles.
A
B
AB
A
B
III III
Figura 3.7: Exercıcio 3.11.
Exercıcio 3.12:
a) Qual a forca paralela ao plano que devera ser aplicada a uma partıcula demassa m = 50 g, para que se encontre em repouso sobre um plano inclinadoque faz um angulo de 20◦ com a horizontal? Suponha que o atrito entre oplano e a partıcula e desprezavel.
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Dinamica
b) Se a mesma partıcula for colocada sobre um outro plano com a mesmainclinacao, sendo o coeficiente de atrito estatico entre o plano e a partıculaµ = 0.5, calcule a forca maxima que se lhe pode aplicar, paralelamente aoplano, no sentido ascendente e no sentido descendente sem que ela se mova.Qual e o valor da forca de atrito se a forca aplicada paralelamente ao planofor nula?
Exercıcio 3.13: Um bloco de massa M = 500 g desliza sem atrito sobre uma
superfıcie horizontal, unido por um fio a um corpo de massa m = 200 g (ver figura
3.8 ). No instante t = 0 s o bloco movia-se para a esquerda e passados 5 s volta a
passar pela posicao inicial, movendo-se em sentido contrario. Calcule a velocidade
inicial e o espaco percorrido pelo bloco durante os primeiros 5 s do movimento.
M
A
Figura 3.8: Exercıcio 3.13.
Exercıcio 3.14: Nos extremos de uma corda, que passa por uma roldana com
eixo fixo, estao penduradas, a uma altura h = 2 m do chao, dois corpos cujas
massas sao m1 = 100 g e m2 = 200 g (ver figura 3.9). No momento inicial os
corpos estao em repouso. Determinar a tensao da corda, quando os corpos se
movem e o tempo ao fim do qual o corpo de massa m2 atinge o chao.
1m
h
2m
Figura 3.9: Exercıcio 3.14.
32
Dinamica
Exercıcio 3.15: Os corpos A e B representados na figura 3.10 tem massas iguaisa 3 kg e 2 kg, respectivamente. O corpo B esta ligado ao chao pelo fio 2 e ao corpoA pelo fio 1, que passa pela gola de uma roldana fixa presa ao tecto. Despreze oatrito e a massa da roldana e considere os fios inextensıveis e sem massa (roldanae fios ideais).
1
A B
2
Figura 3.10: Exercıcio 3.15.
a) Calcule a tensao no fio 2.
b) Se cortar o fio 2, ao fim de quanto tempo os corpos A e B estao afastadosentre si de 2 m, medidos na vertical?
Exercıcio 3.16: Nos extremos de um fio que passa por duas roldanas fixas,
foram suspensos dois pratos de balanca; em cada um dos pratos foram colocados
corpos de peso total P , tal como indica a figura 3.11.
Se de um dos pratos da balanca se retirarem alguns corpos, ficando o peso nesse
prato reduzido a 2
3P , qual devera ser o peso P ′ que se deve adicionar ao outro
prato, para que a tensao no fio continue a ter o mesmo valor?
Figura 3.11: Exercıcio 3.16.
33
Dinamica
Exercıcio 3.17: No eixo de uma roldana movel foi pendurado o corpo A de peso~P (como mostra a figura 3.12). Com que forca ~F e necessario puxar o extremo
da corda, passando por uma segunda roldana, para que o corpo A se mova com
aceleracao ~a no sentido ascendente? E para que o corpo fique em repouso? A
massa das roldanas e da corda sao desprezaveis e o fio considerado inextensıvel.
A
F
Figura 3.12: Exercıcio 3.17.
Exercıcio 3.18: O sistema representado na figura 3.13 esta inicialmente em re-pouso, sendo as massas dos corpos A, B e C, respectivamente, iguais a m, 2 m e1.6 m. As massas das roldanas e dos fios podem ser desprezados, e estes consider-ados inextensıveis. Se o sistema for libertado, calcular:
A B
C
Figura 3.13: Exercıcio 3.18.
a) A aceleracao de cada um dos corpos.
b) As intensidades das forcas que os fios exercem sobre cada um dos corpos.
34
Dinamica
Exercıcio 3.19: Qual e a forca com que e necessario empurrar o bloco de massa
M (figura 3.14) para que os corpos de massas m1 e m2 nao se movimentem em
relacao ao bloco de massa M? Despreze todos os atritos, bem como as massas da
roldana e do fio, que se pode considerar inextensıvel.
m
mM
Figura 3.14: Exercıcio 3.19.
Exercıcio 3.20: Considere a situacao representada na figura 3.15, em que nao
h a atrito em nenh uma superfıcie. Q ual dev era ser a relacao entre as massas para
que m3 nao se mov imente em relacao a m2? Q ual e, neste caso, a aceleracao do
conjunto?
3m
1m
2m
α
Figura 3.15 : Exercıcio 3.2 0 .
Exercıcio 3.21 : U ma curv a de raio 12 0 m e projectada para uma v elocidade decirculacao de 18 m/ s.
a) Q ual sera o angulo correcto para a inclinacao da estrada se suposermos quenao h a atrito entre os pneus e a estrada?
b ) S e a curv a nao for inclinada, qual e o coeficiente mınimo de atrito entre ospneus e a estrada de modo que aquela v elocidade nao h aja derrapagens?
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Dinamica
Exercıcio 3.22: Um carro desloca-se numa estrada a 80 km/h, entrando numacurva de 300 m de raio.
a) Se a superfıcie da estrada estiver coberta com uma fina camada de gelo, qualdeve ser a inclinacao mınima da curva para que o carro possa descreve-la?
b) Quando o gelo funde, deix ando a descoberto a superfıcie rugosa da estrada,o coeficiente de atrito entre esta e os pneus do carro e 0.4 . Qual e entao amax ima velocidade com que o automovel pode dar a curva (cuja inclinacaoe a calculada na alınea anterior) sem derrapar? O valor encontrado dependeda massa do carro?
Exercıcio 3.23: Uma curva de uma estrada forma um arco de circunferencia de135 m de raio.
a) Se a curva tiver 7 .4 ◦ de inclinacao, para que velocidade foi projectada?Considere o atrito desprez avel.
b) Se o coeficiente de atrito entre o piso e os pneus de um carro que se encontrea dar a curva for 0.4 , qual e a max ima velocidade com que este podera dara curva (sem se despistar)?
Exercıcio 3.24 : Um fio de comprimento L, que se encontra preso a um ponto
fix o, tem numa ex tremidade uma massa m que gira em torno de um eix o vertical
com velocidade angular constante ω. D eterminar o angulo θ que a corda faz com
a vertical.
Exercıcio 3.25 : Um aviao desloca-se horizontalmente com uma velocidade con-stante de 36 0 km/h arrastando um objecto com massa igual a 20 kg, o qual seencontra suspenso do aviao por meio de uma corda que forma com a vertical umangulo de 6 0◦.
a) D etermine a forca de resistencia do ar ex ercida sobre o objecto.
b) P assando o aviao a descrever circunferencias de raio tal que a trajectoriado objecto suspenso e uma circunferencia de raio 500 m, descrita com avelocidade mencionada inicialmente, determine a tensao da corda.
36
Dinamica
Exercıcio 3.26: Uma pequena esfera encontra-se dentro de um tubo de vidro
que roda com velocidade angular constante em torno de um eixo vertical (ver
figura 3.16). O atrito da esfera com o tubo de vidro e desprezavel. Qual devera
θh
ω
Figura 3.16: Exercıcio 3.26.
ser a frequencia de rotacao do tubo para que a esfera permaneca em ” equilıbrio”
na posicao indicada?
Exercıcio 3.27 : Um corpo que serve de suporte a um foguete assenta sem atritosobre um plano horizontal, preso por um fio de comprimento 0.5 m a um pontofixo O, como mostra a figura 3.17. O conjunto, cuja massa pode considerar-seconstante e igual a 0.5 kg, parte do repouso no instante t = 0 s, com o fio esticadoe passa entao a descrever uma trajectoria circular, centrada em O. O fogueteligado ao corpo tem uma direccao tangente a trajectoria e comunica ao corpo umaaceleracao tangencial constante de modulo 2 m/s2. O combustıvel do foguete duraapenas 10 segundos e tem massa desprezavel.
O
Figura 3.17 : Exercıcio 3.27 .
a) R epresentar num esquema a posicao, a velocidade e a aceleracao do conjuntono instante t = 5 s, indicando a posicao inicial escolhida.
b) Se o fio nao suportar tensoes superiores a 50 N , verificar se ele parte ou nao,antes de o combustıvel acabar.
c) Se for usado um fio que nao parte, caracterizar o movimento do conjunto apartir do momento em que acaba o combustıvel do foguete.
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Dinamica
Exercıcio 3.28: Um bloco de 10 kg de massa repousa sem atrito, sustentadopor uma corda com 2 m de comprimento, sobre um plano inclinado que pode girarem torno do eixo A B como mostra a figura 3.18.
A
B3 0 º
Figura 3.18 : Exercıcio 3.28 .
a) Determine a tensao na corda quando a velocidade de rotacao do conjuntoconstituıdo pelo plano inclinado e pelo bloco for igual a 10 rot/minuto.
b) Determine a velocidade angular a partir da qual o bloco comeca a elevar-see abandona o plano.
Exercıcio 3.29 : O carrocel de cadeiras suspensas representado na figura 3.19roda com uma velocidade angular de 1.25 rad/s.
θ
4m
2 m
Figura 3.19: Exercıcio 3.29.
a) Se o peso de cada cadeira for 10 N, calcular o angulo θ quando na cadeirase senta uma pessoa que pesa 500 N.
b) E ste angulo aumenta ou diminui se na cadeira estiver uma pessoa maispesada? E a tensao do fio?
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Dinamica
Exercıcio 3.30: Um jovem encontra-se sobre uma balanca-dinamometro que,
por sua vez, se encontra sobre uma plataforma que desliza, sem atrito, sobre um
plano inclinado (ver figura 3.20). Se o peso habitual do jovem for 50 kgf quanto
marcara a balanca dinamometro nesta situacao?
30º
Figura 3.20: Exercıcio 3.30.
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Dinamica
3.1 Solucoes da dinamica
Solucao 3.1:
a) ~F = 882 N.
b) ~F = 882 N.
c) ~F = 1152 N.
d) ~F = 0 N.
Solucao 3.2:
a) Tmın ima = 266 N.
b) Se o movimento for rectilıneo e uniforme.
c) F orca vertical, de baixo para cima, com intensidade igual a 98 N.
Solucao 3.3:
a) 1 N.
Solucao 3.4:
a) ~F = 15.68 N.
b) |~a| = 1.96 m/s2.
c) |~a| = 0.98 m/s2.
Solucao 3.5:
a) F1 = 11µemg .
b) F2 = 11µemg .
c)N
(1)A B
= 10µemg
N(2)A B
= µemg
d) |a| =F ′
1
11m− µcg.
40
Dinamica
e) |a| =F ′
1
11m− µcg.
f)N
′(1)A B = 10
11F1
N′(2)A B = 1
11F1
Solucao 3.6:
a ) µe = 0 .3 4 .
b ) T = 2 .4 5 N .
c ) T ′ = 2 .2 1 N .
Solucao 3.7 :
a ) tan (θ) = 13µ
.
b ) T = mg2 9 + 1
µ2 .
Solucao 3.8 :
a ) |~v | = 2 .4 5 m / s.
b ) |~v | = 4 .4 3 m / s.
Solucao 3.9 : |~a| = 1 .5 5 m / s2.
Solucao 3.1 0 : a = 0 .3 7 m / s2; T = 1 .0 5 N .
Solucao 3.1 1 : θ =
i) θ1
ii) 2 θ1
iii) a rc ta n mA ta n (2θ1)+mB ta n (θ1)mA+mB
Solucao 3.1 2 :
a ) ~F = 0 .1 6 8 N .
b )Fm a x im a a sc e n d e n te
= 0 .3 9 8 NFm a x im a d e sc e n d e n te
= 0 .0 6 3 N
N a o se a p lic a n d o n en h u m a fo rc a , a fo rc a d e a trito e 0 .1 6 8 N .
41
Dinamica
Solucao 3.13: |~vo| = 7 m/s; O bloco percorre 17.5 m nos primeiros 5 s.
Solucao 3.14 : T = 1.31 N; ∆t = 1.11 s
Solucao 3.15 :
a) ~T = 9.8 N.
b) ∆t = 1.01 s.
Solucao 3.16: P ′ = P .
Solucao 3.17:M ov endo-se para cima : F = mg+a
2
E m repouso : F = mg2
Solucao 3.18:
a)
aA = 0 m/s2
aB =−4.9 m/s2
aC = 2.45 m/s2
b)FA = mgFB = mgFC = 2mg
Solucao 3.19: F = (M + m1 + m2)m2
m1g.
Solucao 3.20:tan α = m1
m1+m2+m3
a = g tan α
Solucao 3.21:
a) θ = 15.4◦
b) µ = 0.28.
Solucao 3.22:
a) θ = 9.5◦.
42
Dinamica
b) vmaxima = 42.3 m/s = 152 k m/h.
Solucao 3.23:
a) |~v| = 13.1 m/s = 47 k m/h.
b) |~v| = 27.2 m/s = 98 k m/h.
Solucao 3.24: θ = arccos gω2L
Solucao 3.25:
a) F = 339 N.
b) T = 560 N.
Solucao 3.26: f = 12π
gh tan2(θ)
Solucao 3.27:
a) D iag rama.
b) P arte.
c) Movimento circular uniforme, com velocidade escalar ig ual a 20 m/s.
Solucao 3.28:
a) 65.4 N.
b) 3.13 rad/s.
Solucao 3.29:
a) θ = 41◦.
b) O ang ulo nao varia, enq uanto q ue a tensao no fi o e proporcional ao peso dapessoa.
43
Dinamica
Solucao 3.30: Pmedido = 34 50 kgf.
44