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Capítulo 9 – Rotação de corpos rígidosDefinição de corpo rígido (CR):
um sistema de partículas especial, cuja estrutura é rígida, isto é, cuja forma não muda, para o qual duas partes
sempre estão igualmente distantes
Neste capítulo vamos analisar apenas o movimento de rotação do CR em torno de um eixo fixo.
9.1 – Velocidade angular e aceleração angular
x
z
y
Vamos considerar a rotação de um CR em torno do eixo z
Qual variável descreve o movimento de rotação?
P
1. Escolhe-se um ponto de referência arbitrário (P) no CR2. A projeção da posição de P no plano xy faz um ângulo θ com o eixo x3. A coordenada angular θ (medida em radianos) descreve completamente a orientação do CR
Lembrando do ângulo em radianos (rad): r
srs
Velocidade angular média: se o CR gira de θ1 a θ2 entre os instantes t1 e t2, então
tttz
12
12m
(o índice z indica rotação em torno do eixo z)
Velocidade angular instantânea:
dtd
ttz
0
limNote a analogia com a cinemática em 1D:
zxvx
Note que todos os pontos do CR têm a mesma velocidade angular, mas podem ter diferentes velocidades escalares. Exemplo: rotação da Terra
A e B têm a mesma velocidade angular, mas têm velocidades escalares diferentes
Velocidade angular como vetor: direção ao longo do eixo de rotação e sentido dado pela regra da mão direita
dtd
z
Note que esta convenção é consistente com o sinal da derivada:
x
z
y
Mas e a coordenada angular θ, é também um vetor?Não podemos associar um vetor ao deslocamento angular, pois vetores devem obedecer às regras da soma vetorial, o que não acontece neste caso.
xyyx ˆˆˆˆ 1221
(a menos que os ângulos de rotação sejam infinitesimais)
ABBA
Por exemplo, a soma vetorial é comutativa ( ), mas duas rotações sucessivas feitas em ordens diferentes dão resultados diferentes!
Aceleração angular média: se a velocidade angular varia de ω1z a ω2z entre os instantes t1 e t2, então
tttzzz
z
12
12m
Aceleração angular instantânea:dtd
tzz
tz
0
lim
Continuando a analogia com a cinemática em 1D:
zx
zx
avx
Aceleração angular também é um vetor:dtd
Aceleração e velocidade angulares no mesmo sentido: rotação acelerada
Aceleração e velocidade angulares em sentidos opostos:
rotação retardada
9.2 – Rotação com aceleração angular constanteUsando a analogia com a cinemática em 1D, obtemos:
Movimento retilíneo com aceleração constante
Rotação em torno de um eixo fixo com aceleração angular constante
tvvxx
xxavv
tatvxx
tavva
xx
xxx
xx
xxx
x
00
020
2
200
0
21
221
constante
t
tt
t
zz
zzz
zz
zzz
z
00
020
2
200
0
21
221
constante
Exemplo: Y&F 9.3
9.3 – Relação entre cinemática linear e cinemática angularLembrando que:
r
srsrs
Derivando: rdtd
dtds
rdtd
dtds
rv
Onde:
escalar)angular e(velocidad
escalar) e(velocidad
dtd
vdtds
Derivando mais uma vez: rv rdtd
dtdv
ratg
Onde:
escalar)angular e velocidadda variacaode (taxa
)aceleracao da l tangenciae(component
dtd
adtdv
tg
(Note que: ) zz mas ,
Finalmente, lembramos que:
rrvarad
22
(aceleração centrípeta)
9.4 – Energia no movimento de rotação Considere um CR em rotação com velocidade angular ωA energia cinética do CR será a soma das energias cinéticas de todas as partículas que compõem o CR:
i
iivmK 2
21
Sabemos que (todas as partículas têm a mesma vel. ang.)
ii rv
Assim: 22
21
iiirmK 2
21 I
Onde definimos o momento de inércia do CR em relação ao eixo de rotação:
i
iirmI 2 Unidades S.I.: kg.m2
Notem uma nova analogia entre o movimento linear de translação de uma partícula e a rotação de um CR em torno de um eixo fixo:
2
21 IK
2
21 mvK (translaçã
o)(rotação)
Momento de inércia:
• Define a inércia para o movimento de rotação (inércia rotacional)
• Não depende apenas da massa do CR, mas também de como ela está distribuída (dois objetos de mesma massa podem ter momentos de inércia diferentes)
• Não é uma propriedade intrínseca do CR, mas depende da escolha do eixo de rotação
Exemplo: sistema com 2 massas m de dimensões desprezíveis (partículas) unidas por uma haste fina de comprimento l e massa desprezível
m ml
Eixo 1
222
222
1mllmlmI
Eixo 1:
2222 0 mllmmI Eixo 2:
Eixo 2
Eixo 3
000 223 mmIEixo 3:
Momentos de inércia de distribuições contínuas de massa:
dVrdmrrmIi
ii 222
Exemplo: Y&F 9.9Energia potencial gravitacional para um corpo com massa distribuída:
M
y
g
imiy
i
iigymU i
ii ymg cmgMY
c.m.cmY
Como se toda a massa estivesse concentrada na posição do c.m.
9.5 – Teorema dos eixos paralelos
M
c.m.
imiy
ix
P
Vamos relacionar os momentos de inércia Icm (em relação a um eixo que passa pelo c.m.) e IP (em relação a um eixo que passa por um ponto P qualquer, paralelo ao eixo que passa pelo c.m.)
y
x i
iiii
iicm yxmrmI 222
b
a
i
iiiP byaxmI 22
i
iiiiiP bbyyaaxxmI 2222 22
i
ii
iii
iii
iiiP mbaymbxmayxmI 2222 22
2222 baMbMYaMXII cmcmcmP
M
c.m.
imiy
ix
P
y
x
b
a
2222 baMbMYaMXII cmcmcmP
0 0d
2MdII cmP
Teorema dos eixos paralelos
Vamos verificar que funciona para uma haste fina:
2
121 MLIcm
2222
31
4122MLMLMLLMII cmeextremidad
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