Download - CAP.16-FUNÇÕES CIRCULARES
A$ üenìêrs vsifas fì*eíeã* trig*r:orn*qríeo
No capítulo 13, quando estebe ecemos o ciclotr igor oÍret, ico, èssociamos a càdà ponto oè ci.cL.ì.íerêncÌa um núrneÍo reâl pertencente ao intervalo
[0,27Ì1.Essa associação possui caráter biunívoco, ou
seja, além de a cada ponto dâ circuníerênciâ estarrelacionado um número realx, x € [0, 21r[, também,ìnversamente, a cada núÍnero desse Ìntervâlo asso-Lia-se -m ponto -oo e è c.cunte-e^ciâ t ' igono-melnca.
Enlretanto, por motivos didáticos, a part irde ago-re faremos outra associação:
A cada número rêalestá assocíado um pon-to da circunferência.
lsso permit irá a deÍinição das funções circularesíou f-1coes tr igono"nêtr 'casì, âlém de gatanti- o.eucâráter cícl ico (ou perÌódico).
Até agore trabalhâmos apenas nâ primeirâ volta,oLrseja, pâra valores dexvariando no intervalo [0,27[[.
Com a inclusão dos números negativos e dosmaioÍes que (ou iguais ê) 2r, poderemos trabâlhârnâs dernais voltas do cÌclo. Como isso é feito?
Tomemos um númeTo realx, tal que x > 21I; por
exemplo, r - : ' - . Desmembrêndo o conve,ì iente-
menÌe, Ìem0s:
^= stt = 4tt * l l =2, * tr
percurso de 1 vo ta I L percuBode +devotta
Ass0cràmos, entã0, âo núrìe-o + o po-to I dàz
f gu'è. o quâ. e imagem rambém oo número i Há?"
outros inf in i tos números reais maiores que 2f ie que posslrêm â mesma ímâgem B. Entre elesestão:
9E
: dê volia
ã4ã
137r2
Por outro lâdo, tomemos o númeTo real negativo
' , ?.
Corno ÍoÌ estabelecido como posÌt ivo o sentidoanti horário, o 5ìnal negativo signif ica peÍcurso de
-i l : I ' dê vohâ l no sent do noràÍio. o oue conouz2 \,.4 I
novamerite ao ponto B. Assim como esse, inf inÌtosnúmeros negâtivos possuem a mesmâ imagern B:
7tr 11]I 15I[ ^.^2' ?
- 2 '"*
Generalizando, podemos escrever que todos os
n-"Ìeros dè lor"na I r 2<n, co r < ( I , posquem az
mesrna imagem 8. Para verif Ìcar esse fato, bastasLbsÌiturr k poí qualqueÍ vdlo' i_teiro e oble', enÌ 'eoutros, os números dâdos como exemplos.
Fazendo:
]I
2
1l
2
n2
7l
?
1l
2n21l
2
LIN
Ddqu: em diàn'e, ão c,tarrnos qLalquer núrìeroreal, estaremos nos reÍerÌndo indiferenteÀìente ê talnúmero oJ a . T a-co de "nedidê igualè ele. Assirì, o
^. ' Ì .e o ? ê L-r do\ núnero- .u a iTèqem é 8,I
coÌnotambém é urn arco de extrernidade B e de medl-
da 1l rad.
No exemolo, o êÍLo 4 e chamado orimerr, oe' I
IIÌe minaLao oo\rr vè dos arcos dà 'orma ; 2\Ir,
k € Z, pois, sendo o ú nlco representa nte desses a rcosque se encontTa na prlmeirâ voltâ, Tetratã o menor
vèlo posiÌrvo que a eroressào 1 2kir âssume.I
0 arco de 4 -adia.os, ra Í isura aoàr),o, p05-l "
suÌextremidadeP.
radianos, com k emroade:
llrr 5N ft ?ft 13n' 'a-r , . , . , ì , - , .
21 2Í 2t 2r
v
k= 3.*1+zkj I=?
hÍk= -2- L + zkn=2
k= - ! - L +zkrr=2
k = 0 .. 4 + 2krÌ =2
k=1 *4+2k1I=2
k=2 - L +2k1r=2
k=3 - L + zkrÍ=2
+0
2
n?
5r2
9E2
13r,,
2
3n
Assìrn como ele,torlos os arcos ae (f + ztrc)
Z, possuem a mesma extre
lodos os arco, ' de orige_n,4 e extrenidede I (di
Íerindo apenas por um número inleiro k de voltas)apresentam como me'didas, em Tadiãnos, os núme-rosobtidosacimâ e são considerados arcos côngruosentrê sì.
A inserçao da vaÍiáve. i^teira k poss.bi l i td â esLritâ de todos esses arcos de uma formâ generalÌzada:
2 - " ' - -
ffi {}H{ïii"l;r íf;ií;!Í;í ffiÍ, , Marqr:e em um meuno cicÌo trigonométrico as
'8, ! '9ne\Lremidade. dô' dr,o ' de ï
rud e ;"
ràd.
apresentando, para cada caso, um ângulo quejustiÍìque sua marcação.
?.1
? . Escreva a expressão gerâl dos arcos que tém, nafigura, como origem o ponto Á e como extre-midâde;
a) o ponto Cjb) o ponto D;c) o ponto Ájd) o ponto X
3, Escreva a expressão geraÌ dos arcos ..., @.6
251t 377r6 ' 6 , -'aPlesenBnco sua Poslçá.r no
ciclo tÍigonométrico.
4, Forneça em graus o menor ângulo formadopelas linhas que unem o centro do ciclo tdgonometrico às er:lremidades dos arcos de:
a) f rad e tr Íàd
5. Apresettte cinco arcos còngruos ao arco cujaprimeiÌa determinação positi é:
âì l: .lì a -\
_::' I -6Ò6
h\-- \11!Lr l l !
L) -- t ) ---
ü, Construa um triângulo eqüilátero inscrito nociclo, com uÌìt dos véÌtices na imagem do
número;. A seguir. e\creva a expreçsào geral
de cada um dos arcos que possuem extremida-des nos vértices do triângulo.
FunçÕes periódicasExìstem muites funções g = f(x) que repetem
valores de g para um determinado acréscimo no va-lordex. Porexemplo, a função Í: N- N f(x) = (-f)"é umã delas. Veje e tabela:
. Sex é par, f (x) = 1. t rSexéímpar, Í (x)=-1.
0uândo x vâriã de duas unidades, o valor de f(x)sê repete: f(x) = f(x + 2) = f(x + 4) = ...
Funçõês como essa são chamadas periódicâs.LJmâ defÌnição formal pera função periódicâ sefiâ:
Uma funçào Fde domínio ,é periódice seexiste um real p > 0 tâl que ííx - p\ = fíxì,V x e D. Nesses condições, o menorvaÍorde ppâra que ìsso ocorra é châmâdo pêríodo de f
Como, para a funçãoacima,ocorre Í(x) =f(x+2) == f(x + 4) = ... , o seu período vâle p = 2.
Funções eireularesFunção seno
Tomemos um número rêâlx, com imagem P nociclo trÌgonométrico.
t
. . hÍ 3nD'
--rao
e
--rao5I[ . ]11
C/
--
ÌaO e -râo
,. In 4f io) -T-Ìao e j rao
\
o
Denominamos função seno a função f: R -
Rque associa a cadâ número realx o número reâl0P1 = sen x, isto é, f(x) = sen x.
0 domÍnio e o contrâdominio de g - sen x sàoiguais a R, mas o conjunto imagem é dado por16=19eR -1 < g < 1), pois o raio do cic lo éuni tár io:-1<senx<1.
I244
C=R
tm = t-1 +11
0sinaLde V=senxé pos t ivo quand0x peTcorre 0
19ê o 29 quadrantes, e é negativo quandox pertence
eo ?9 ou ao 49 qudoÍênle  f-ncào se a^ulè oeía
Para estudar o cÍescimento da função g = sen x,
devê"ro: obse vaÍ q.e. _o pe-cü so oe \ pe o ì9
quâdrante (no sentido posit ivo), os valores de sen xn . Ì "
a-menlèm de Ll a l : sen u u. sen 6- - 2 e
sen 4= 1.
-Já no 29 e no 39 quadranles, os va ores de sen x
diminuem de 1 â 1, valor atrngrdo para x = 3r2
No 49quadrânte, a função retoma o crescimento,aumentando de -1 a 0, va or al lngÌdo quândo x = 2r'
Rêsumindo, í(x) = sen x é:
> crescente nos 1? e 49 quâdrantes;> decrescenle nos 29 e 39 quâdÍantes.
A pârt ir daí, Tepetem_se os va ores de sen x.
Temos:
. sen O = sen (0 + 2Í) = sen (0 + 4?I) = =0
/- \. se. ' j se ' l - ' j 2r ì se I ï - rn l . . - I
zzl .
. 5qn r = 5sn (6 1 lt) = sen (71 + 4rt) = . = 0
rìr \ r?r \. sen-'l' se {*' - 2rT ì- sen l -l' 4rÌ ) -z \z I
t :. 5s6 1= 5sn (11 ln) = sen (x + 47r) = .. =
= sen (Ì + lhJÌ), h Ê l.
lsso serve para iustraÍ o fato de que a íunção
! = sen x repete o va or de g para cada acréscimo de
2?I dado ax.
Diz'se, por isso, que a Íunção seno é perìódicâ e
seu período é 21t.Temos, êssim:
sen x= sen(x+ 2kn),V k € Z eVx € R
Já sâbernos que sen
Ao âdicio"è-mos, ao arco dâdo, 2lÌ rêd. esta_remos ãpena5 acrescentando â e e uma v0[ã no
sentido posit ivo.
E cê c a o. e1lao,que a m"eet oe I T'- zn\ -. ' '1-
1ìí Ì . . 1-. ' " , pe è ' . rçào q sen x. Ìàrìbérì vâle -
oZi1r I
ou seià, sen +=+'ba
lsso ocorre comtodos os arcos côngruos a{'
sen l++ 2kà l= +, sendo k € I\b | .
A Íespelto de uma função do tipo f(x) = sen lcx+ o.l,
sendocedreais, com c + 0,ela éper iódica etem
c
A fuf( áo f ( l ) sen4xpossuiper iodo; Do.
que o arco 4x executa lma volta completa no
cic o ouandoxvârià entre 0 e+:'z
n2r- Í l0 ' 4t ' .21t +<x<'+-0<x<44?
De fato:
NL62 t
p=:+=Lt4 l ?
, l /tul
/1o
:. ' i:.
Seta a t -^çao f( . r -sen l : , ' 4, r -orr" t r .' \ z lção ao período, devemos observar que o arco
3x + f executa uma vo ta completa no ciclo
quandol
?rU-J' t ; ' l t r - - ' ; 3,
;
= 4<*<!
Perceba que r varia enrre + e +.6Z
Assim, o período é:
Sobre o domÍnÌ0, como existe f(x) para qualquerârco,temos D = R.
Como conjunto imagern, temos lm = [ 1,+1],pois -1 <sen0< 1, Vü€ R
Sobre umâfunção dotipo F(x) = a + b sen(cx+d),
ê enoe0 RÊp- Ztr ,ss3prggentaconi- . totma-'c
gem coóo interva o fechado cle extremidades â + D ea b, na oÍdeTn conveniente,
Co-r íe lêcào ê í - - cáo u - 1- 3.en/2x. n l ., 5/lem0s:
t - , t. D = [ . ] ì , po ser sre l1
+ 3 senlà_i ,
. lm = [ -2,4] , pois:/ - \1< senl2x- i l< 1\ t r /
: <: r"n/zx 4l<:\ 5/
/ - \-2 < 1+ 3 senlzx t ]< 4
?:trfl -i ffiffiil Dê o sinaÌ dc:
]JÍal sen
5 c)
b) scü+ d). .' forneçà o vr lor c lc:
u *"* *,*c) zserf -sen$
. ' ) 5enl- : :+2kn].k€z
íPàèêfunçaogdàoè.temose-1e b 3 )=a+b=4 e a - b =,2.)
período:é o acréscimo a sefdadoexpâra qLle
o arco 2x 4vá de 0 a 2r:
o<zx 3<zn+9<2"<{L=555
: _lt <! < 1ll!10 r0
l l ÍtnÌâ0,p . - - - - - ro- .deoul tor , ìodo.
A função g = sen x é !ma funçèo ímpât pois :sen (-x) = -5-.n y, Yy ç R. l
í . .
' \
\
o
{ ' -'-2
/ 4n\sen I -- l
sen ( r)
, lT / j Ì \ i r n 2t' 2 \ 6/ 2 6 l
{ver i f ioue. b = :1= -:1= !1ì
' l . l l 3 /
l
....
9. com k inteiro, seJr= !+zUn . v=[+ ztn,
quanto vaÌe:
1,5. a.h" o vator reat de m para que o perio<lo
defíx) = m+ 3. sen lè+ JÌ ì seia4r.\m I
16. rrune.p-sf ' Do solo. vo(c ob.cnJ um arnigonuma roda gigante. A aÌtura n em metros cle seuamìgo enr rcìa.ao ao 'oìo < ddda peì,ì e\pre.\;o:
f -
Ihtrr- l l .s l0senl ' : | 2o'
I t t I
onde o tempo ié dado em segundos e à medidâanguÌar em râdianos. Determine:
a) a âitura em que seu amigo estava quando arcdâ começou a girâr (t = 0);
ì ì a ' . r l tur.r ' mrr ima e m;r imr que 'eu arnigoaÌcança e o tempo gaÍo em umavolta conÌpleta (periodo).
17. .Uf nt , t ma populaçao / 'de rnimri . var id.
aproximadamente, segundo â equação:
/ r + l i rp=800_ ì00sen r ;1
Considere que t é o tempo medido em meses equejaneiro corresponde a t = 0. Determine, nopeÍíodo de le de jâneiro a le de dezembÌo deum n'ìes1no ano, os meses nos quais a Popülê-ção de aniÌnais atinge:a) um total de 750;b) seu número minimo.
18. 1uE n1 orp..ço" dos produtos agrícolas osci-Ìarn de acordo com a safra de cada um: nmsbaixo no pefíodo da colheita, mais âlto nâ
entressafra. Suponha que o preço aproximadoP, em reais, do quilogrâlì'Ìa de tomates seja dâdopela tunção:
l . - IP,l)-0.8 .çen :"^ t ' - r0 l l l 2.7
L JOU I
nâ qual ré o número de dias contados de 19dejaneiro até 31de dezembro de umdeterminadoano. Para esse periodo, calcuÌe:
â) o maior e o menor preço do quiÌograma de
b) os vaÌorei de t para os quâis o pÌeço P sejaigual a R$ 3,10.
a) sen x?b) sen y?
c) sen x + sen y?d) sen (x + y)?
1,0. Esc.e,ru,.-.uda caso, a expressão geral dos arcos r para os qüais temos:
b) seÌ tx=1c) senx=-1d) senx=11
3 X. . si-ptiÊq"e,Yr qr
b) B=
2f i f isen -ì- + sen t
l3n ^ 1l t [Sen-+lSen
4-
Í2 . oetermine, se exisú, o período de cada função:
a) f(x) = 561 21b) f (x)=25en*
c) f txt= 2 sel l2
d) 2+sen2re) 2sen(x+Í)
" , x+tcrl sen 2
L3 . laermine o domínio e o conjúnto imagem decadâ fur'Ìção:
a) f(x) =: + sen Íx *l\ . z/
b) f(x) = -5sÌì 1,r 1 .1/ , \
c) f(x) = -4 + 2 sen (x +â/
d) f(x) = 2senx
L4, Ache o domínio de câda função:
a) f(x) =--L
t'
senlx +;.1b)
à4t
Gráfico de U = sen xRetohando os vâlores já conhecidos (o), po-
dehos montar â tabela (b) e, a part i f delã, cons-truir o Bráfico (c) da função g = sen x, châmadosenóide.
a)
Para gráfÌcos de outrâs funções menos simples,é êconse,havel const-uir e tabela en etaoas. oê'ê fã-ci l i târ o trabalho. Acompanhe um exemplo.
Seja e função U = 1+ sen 2x
l9etapa:
t
29 etapa:
3?etapa:
34*
FÌnâlmentel Função cossenoÌomemos um número reâlx,
cÌclo tr igonométrico.com imagem P no
è
TÌPâra â construção do gráfico, utì l izamos ape-
nas a prlmeira e a útÌma col!nâs, desprezandoas demars,
Denominamos função cosseno a função Í R * Rque associa a cadâ número reâl x o número Íea0P2 - cos x, isto é, f(x) = cos x.
0 domir o e o contraooì r 'o oe r , co5 r -aoiguais a R, mas o conjunto Ìmagem é dado porm={9 € R 1< U < 1}, poÌsoraÌodo clc loéuni tár io:1<cosx<1.
D=C=Pm = F1, +11
0 sinal de g = ca5 x 6 pqsit ivo quândo x percoÍreo 19 e o 49 quadrântes, e é negativo q!ando x pertence ao 29 oLr ao 39 quadrante. A funçèo se a nula pâra
r=++Ì. , Ì , f . € L
Parã estudâr o crescirnento da função g - cos x,devemos observar que, no percurso de x pe os doispr imeiros quadrantes (no sent ldo posi t ivo), osvalores de cos x dimÌnuem de 1a -1: cos 0 = 1 ecosr= 1.
No 39 e no 49 quêdrantes, os valores de cos xcrescem de 1 a 1: cos Íl = 1 e cos 2?t = 1.
Resumindo, f(x) = cos x é:
> decrescente nos 1? e 29 quadrantes;> crescente nos 39 e 49 quadÍantes.
tm = [0,2ì
Hálffi-$ n"r,i{:ií,,"i i":iij l1i ffi;ÍffiffiEnunciado para esta série de exercícios:
Parâ cacÌa função, deterrnine o período e o con-junto ìmagem, constÌuindo o gráfìco de um pe-
ríodo compÌeto.
1l!.ìÌ. r, m-- p I 11*, = r."n *
l i i l ' t m-mi(*)=."" :*
l . i r ,p-nlr(*)=:+' . ""l ; l i " r :m-m f(x)=-senx
i : l j ' i . (x) = I - sen x, sendocontrâdomínio iguais a R-
o domínio e o
o domínio e o'ilil. f(x) = z + sen 2x, sendocontradomínio,
]4ü
A part ir daí, repetem-se os valores de cos x.Temos:
. cos0=cos2?t=. . .=1Eqr. cos+=cos +=.. .=0zl
. cosTt= cos 3f i=. . . =-1
. cos +=cos ^ =. . =0zz
a. cosx=cos(x+2kr) ,k€ Z
Assim, reiteradas as observações feitas para afunção seno e igualmente válidas para a Íunçãocossêno, podemos âfi fmaÍ que U = cos x é tambernuma função periódica, e seu periodo p vale 2?r.
De modo geral , sendo uma f !nção do t ipo
F(x)=a+6 "0.
1.**O), temosD=R e p=!Ec
,Além disso, o conjunto Ìmagem é o intervalo Íechadode extremidades (a + b) e (a - b), na ordem conve-nlente.
Convém lembrar que igualmente pâra â funçãocosseno valem âs observações feitas neste capítuloem relação à função seno, exceto quanto à parìdade_
Afunçãog=cosxéumacos (-x) = cos x, Vx € R
função par, pois
\i )
-:t
Gráfico de U = cos x0svâlores conhecidos (o) Íornecem atabela (b),
â part ir da qual podemos construir o gráfìco (c) dafunção ! = cos x, châmado cossenólde.
i:i!-ri+í 1i i';;; ili,
l!3
'-94
ri \
zt
l iú
À'
-xlìaL
ïc f
!l-46
5[3
f
a)
b)
]L22L
3
9L2
44-3
2ìü
c)
0 gráfíco de umâ Íunção que envolve cossêno éfeito do mesmo modo uti l izado para a Íunçào seno,ou seja, por meio da construção de umâ tabela devaloreS, em etapâs.
ffi 8xffi[',fr[ffiüffiS ffi2 5. t"crer a a expressào geral do' arcos par a o< quai*
temosi
b) cosx=-1c) lcosr l= rd) cosx=0
25. Foro"ç, o ,n"ìo. d",
a) cos 3Í
b) cosf+cosf+cosf
Í 3rÍcl r cos t_ - cos l-/1- \
d) cosl ï+2ktr ,k€Z/
?P" si-pmqu",9fi 5n
, ' o= tot-o tot
l7tt
cos -;- + cos ztl
b) B=cos
2 -sen--
lTrr ^ 17ficos-+Jsen-4. 4
28. Sendo f(x) = cos x, forneça as condições, sobrcm, parâ que se tenha:
. . , m-Ia) r( x, = -- l
?9. Determine, s. *istit o período de cada função:
a) f(x) = cos 5x/ - \b) f(x; = 2 66s 15* 1 :r1\ LI
c) f (x)=2+cos(, Ì -x)d) f (x)=(x+1).cosÍ
$U. Julgue cada ,enten(a abaixo (omo verd,idcirr(V) ou falsa (F): I
â) (UF-SC) Os gráficos das funções f(x) =
- r*14 r 1ç s l* 1-- i I I rème'.aramen
te três pontos em comum, para Í no inter-
valo I o, ^ l.\ / /b) (UF-MS) Se a fìgura a seguir representa
o gráfico, no sistema cartesiano xoy, dafunção f: 10, 2,Ì l - R, definida porf(x) = a . cos (bx), entao a = 3 e b = 6. ,
As informâções sequintes rcferem se aos exercícios3f"3ã
(UF-PI) O PIB (Produto Interno Bruto, querepreseÍta a soma das Ìiquezas e dos serviçosproduzidos por uma naçáo) de certo país, noano 2000 + x, é dâdo, em bilhões de dóÌares,
/ - . . \por P(x) ' 500 - 0,5\ '20,o ' I " ' ) ,onde.re
\o/um inteiro não negativo..
3Í, Determine, em bilhões de ilólares, o vaÌor doPIB do país em 2004 e caÌcuÌe â somâ de seusdígitos.
3?. Em periodos de 12 anos, o PIB ilo país aumentado mesmo vaÌor, ou seja, P(x + 12) P(x)écons-tante. Determine essaconstante (em bilhões dedólares).
i
9f i 9n
l -m2
251
33,Determine o domínio e o conjunto imagem decada função:
à) f(x) = I
Denom inâ mos fu nção tengente a função f:D* Rque associâ a cada número reâlx € D o número realAT = tgx;isto é, Í(x) =tgx.
Temos, êntão:
> o=l"e ml ' ,+4+kn.xeZÌfz l
> m=R
0uânto aos sinâis e âo crescÌmento da função tan-gente, comojá visto no capÍt!lo 14, podêmoè escreven
> f(x) =tg, "aarra
u"lores posit ivos nos quãdran-tes ímpares;
> f(x) =19x"aaur" u"lores negatÌvos nos q!adran-tes pares;
> f(x) = tg "
." tnr," Oarê x = kE, com k € Z e> f(x) = 19v 5.r""""nte em cada quâdrante.
Gráfico de U = tg xLevando em contã os vâlores dex para os quajs
não se deÍine tg x e os valores conhecidos (o),construímos a tabelâ (b) e, a partir dela, o gráfico (c)da Íunção g = tgy, ç66 6ado ta n gent óide.
b) f(x) = t
c) f(x) = I
/ n\+cos\x+t/
'o' ln * J/
00 cos l :x +: ì\ 4/
d) f (x) =lcos 1x Ì0t3
O enunciado abai'ro refe..-s. aos exercícios 34 a 3 E.
Paiâcada função,determine o período e o con-junto imagem, coÌìstruindo o gráfico de umperíodo completo.
34.r ,m-m|(*t=z-" , .35"r , m- m l r ( , . ) =z.o '*36.r1r1 - - r + Lo,2x. \endo o domrr io e o
contradominìo iguais a R.
37. r, m- m lr(") = l .o'*
38.r ,m-.m ( ' t=
39.necotrh.çu uma função / representada pelacossenóide do gráfico abaìxo.
Inì = [0,2]
Função tangenteTomemos um número reâlx, com imagem P no
ciclo tr igonornétrico.
t
/ . \' -_"" l '^ ) ,
a)
4 7 +/--{â. . '
,t ,,i ",ft2:.- 2Ì
\ ' ;
,\:-- LL4\ \ . \ - -6/
3 3E 3' .2. .
146 3
_6= ú3
-1
sejao={xe
3tL 5i! ]Ls88
- ll l l t / ! !+kn rFV\" 2 " - - l '
t5ï
tsí++krì .Vke
observando o gráfico, podemos notarque a funçãoÍ(x) =Ígx é periódica e seu período é p = f i . Além dis-
Í ?r 5 j ïso, pe'cebemos que, para osva oÍes +, +, -2
ocorrem "interrupções" no gráÍco, pois não exìstê
Z. AssÌm, temos:
*',!,'È *ir:1;Ì:j{ Ì #Ì;;ij{ì í'riÌ:als*íí,"$ìryrnÀÌarí.É:iÍr/Éìar&sj:+iÈru
É A função Í(x) = tg x é ímpar, pois f(-x) = -f(x) Ë
*_ii,tïi;.ï jiï,ti;,.",,
E exercícios n40. Forneça o domínio de cada uma das funções
abaixo:
o=m {"e
m x={+kr,k -* l - "
. . , senx
b) f(x) = 1 q*/
- \d) Éíx) = tc lx-;f + I
li253
4í,a""Ì é o conjünto imagem dâ função
f( \ )=l l tu:?
4Z,A tunçio ix l - r Í t l r ' , " lpodea*umirorr-\ 4/
lorl4.
a) Para que vaÌores de z isso é possíveÌ?b) QuÂl é o domlnio de f(n)?
4ã" Esboce o gráfìco e dê o dominio e o período da
runçao reâL y = rg t.
{{.Esboce o gráÍìco e dê o domínio e o período da/ - \tunção reJl 1(Ì l = ts l2r + +ì.\ J/
{$. Isboceo gráf icoedêodominioeoperíodo da| - \tunçdo Leal f l r l = tsÍ2x-+).\ b/
r : - l
47. Determine o dominio de câdâ uma das fiüçõesa) f(x) = cotg (x + Í)
/ - \b) (x)=seclx+ - |\ . z |
/ - \c) f(x) = cossec lx - +l\ z l
$S. Para que vaÌores de Í a tunção f(x) = 1 + sec xassume o menor valor positivo? Qual é essevalor?
49.Incontre o domínio da tunção:
f(x)=cotgx-cossecx
O enunciado a seguir refere-se aos exerciclos
$ü " 5Ê.Denomine, para facilitâr as associações, cadafunção por uma leua:sen x = cosx=B tgÌ=Ccotgx=E secx=F cossecx=G seguir, cÌassifrque as funções de acordo com ocritéÌio estabeÌecido em cada exercício, asso-cìando as funções aos dados.
$$" Quanto aos períodos Pr = 2Í e P2 = Í.
5í. Quanto aos domínios:
Dr=R
D_-r\eRl\ - ì -kn.kcV)
Dr=ix€Rlx+b!k€ZÌ
5?. Ouanto o cad. coniunto imagem a "eguir:
- l <y< 1Ìy< louy>1Ì
f
Quãnto às funções cotângente, secante e cos-secânte, as consideÍações ãpresentadas nosdo s cèpiluloc ante' io.es sáo suÍrcrentes pêÍâ âresolução da série de exercícios propostâ a se'guir, bern como para uti l izâção nos capítulosposteriores.
d) f(x) = Ìe) g(x) = If) h(x) = t
ffif#{fffi de vestibulares n2. euc MG) considere a tunção f: R - R definidâ
por f(r) = 1 + 4 .os x. O conjunto imagem dessafunção é o intenalo:
a) I 3,41b) [ 3,5]c) 13,4ld) [3,5]
ffi exgrficrüs ffi46. Sendo f(x) = cotg ! g(x) = sec x e h(x) = cossec 5
erìcontre os vaÌores deJ para os quâis temos:a) f(x) = 0b) g(x) = 0c) h(r) = 0
1. Q. E. Londrina-PR) Dâda a tunçao úisonomérrica'en ìr \ ' .erorrero rÊnÌJr que n penndo dà tun\ jo e:
b) Urc) seÌnpre o mesmq independente do vaÌor de Kd) diretamente proporcional a Ke) jnvcrsamente propoÌcional a K
Ës+
3. (puc rs) o conjunto iÍìasen da fünçeo /definidapor í(r) = senx + h é [-2 0]. o vâlorde Í é:
8. (U. E. LondÌina-PR) Uma bomba de ágüâ aspira eexpira á$â a cada tÌês segundos. O volume de águada bomba varia entre um míÌìimo de 2 litÌos c unmt' . imo de 4lhros. Lnrre rs Jrernat i ," , d ,eguir . ds-sinale a expÌessão alsébrica para o volume 0,) deáguâ na bombâ, em tunção do tempo (r.
/ - \a) y=2+2senl+r l
\J /
/ r - \b) Y=212' .n1-, ,
\J /
/ Í \c) y=l+senl+Ì l
\ r . // ) - \
dì y=J+lenl+:r l\J /
e) y= 3+2sení+t ì\J /
9. (puc-Sp) Na ngura aUaixo tem se o grá6co de umatunçâo ,{ de R em R, deÂnida por f(x) = k . sen mx,em que fr e ,a sâo constantes reais, € cujo peÌíodo,8n"3
o vaior de r í jla ì e:\ r /
a) -15 c) -Ì e) \5b) -ü d) 15
10. (pcv-sp) considere a tunção f(x) = 2- 3 cos4x.4
Os r"èÌores má{imo e minimo de f(x) sâo, r€sp€cti
d) 2e0
.^ 5e) 2e
4
Ò 2"_í
1Í. (up-er) Na fisura abaixo tern-se representadaparte do gÌáfico de ulna função trigonométricâ/deRenR.
a)nh) -2c)Ì
4, (Cefet-PR) A tunção Ìeal f(x) = a + b . sen cx rem
imd8eÌ isudl d|- .a ereup* '"d". ï -d.Âssim,â+b+cvâÌe:
a) 13 d) 4bl 9 e) 10c)8
5. (UF-PR) o peÌíodo dn função f: R .. R deÊnida/
- \por Éíx) = sen l :x +; le:\ r /
b. íPU. pRì Â f igurd d .eguÍ ïo. Ì rd pdrte de umaondd ,enordaì que foi nolada pa,a umr pe'qui-:
Quál das dÌtemativas melhor ÌepÌesenta a equâçãoda onda piìra o peíodo âpresentâdo?
a) Y=r+ls€nl-- l\ r Õ/
b) y=r+2*, /+)\ / /
c) v=l+2sení:+aÌ' \2 l /
at v= r +: *" / ] ì\ r /
o y= r +, *" /+ì\õ/
7. o,ru"i..n,i"-sr1 sejam f(x) = 2 - cos x, com0 < x < 2n, M o vaÌor márilno de f(x) emoseu
vaÌor nínìno. o elor de * é:
b) ie0
t2
/-\' / | \
\ã i /^ o l \ i " ' t\L,/ t \-,/
d)0e) I
*
a)n, , Ã-, 2
c)a
c) ;
d)+ú+ü+ ")3
ã:;5
Usmdo as informaçÕes dadas n€sse gráfico, anâLiseâs afiÌmaçÕes seguintes.
â) ral cúfico é o dâ tunção dada por í9 =2 sen;.
b) O período de/é 37r.c) / adnite duâs raizes no intervalo [ 2n,2nl.d) Se-2n<x<0,entaof l Ì ) <0.e) o mnjunto imageÍn de/ é o inte alo [ 2,2].
12. No".,p sp) u-o -áquìna
produz diâÌiamente adezenas de ceno tipo de peças. Sabe-se que o custode produção c(x) e o vâÌor de vendâ v(x) sâo dados,aproúmadamente, em milhares de reais, respecli
v imel,e. pelJ ' f r n, ,oe. c,x ' , - ." , f r l ) "\õ/- / " - \v{Ì) = 312 \en l+ 1.0 < x < o.
\ . |z /
O Ìucro, em reais, obtido na produçâo de 3 dezenas
d) 2 000e) 3 000
13 . (cefet MG) A fisura abaixo represenra o sráÊco dequal tunção?
,, , l 9 i t \ / 9n \" ' \ ,? 's\ , t
III. N€sse ìntervalo, para todo r tal que g(x) < 0,temos f(x) > 0.
Então:
â) I,Il e III são verdadeiÌas.b) I,II e III são fâlsas.c) sonente I é verdadeiÌa.d) sonente II é verdadeiÌa.e) somente III é verdâdeiÌa.
IJ. íUcsil BAI Relativ"menre à tunç;of de Rem R.de-
nruoi por lrx i j 2 - t .o\-2 .ecorrelo dhrmaÌque:
d)
seu conjunto imâgem é o intervato l-1, sl.o peÌÍodo é 2n.
éeosi t ivas€+<x<+.
acrescortes"f<r<n.
admite '.a
única raiz no'',"*r" [.,+]
16. (rcv sp) o graçco,
t
a)b)
a) s00b) 7s0c) 1000
a) cos 2Í- Ì
14, (Mackenzie-sP) A partiÌ dos erá6cos de f(x)
e g(x) = f
+ cos 5 esuoç"dos no inrervalo
conforme â Êgura:
ÌepÌesenta a tunção:âl Y= tg al
c) y= lsenxl+ lcos xld) Y=senzxe) Y=2senx
17. l ruc-sr) Na seqüência de rermo seraÌ/
- \a. sn- 'en I n . + ì . com a -
N. a <omd do\ 20\ z/
primeiros termos de ordem impar é igual alâ) 1800b) 1874c) 1896d) 2000e) 2024
18. 1ur-sr; tai"" u' "eguinres
pÌoposições:â) Se um triângulo retàngulo ABC, r€tânguio em
Á, é tal que AC = 2 cm e cos Ê= 0,6, entáo o seupeÌ im€troéiguala6cm.
b) Urn triângúo tem dois lâdos medindo 3 cm es cm e o ângulo foÌmado ente €sses lados é iguala 1200. A medida do terceiro lâdo, em cendnìe-tros, é dâdâ por um núm€ro íÌacional.
d) lcos 2xl - 1
L0,2nl,
consideÌe as afi rmâções:
I. A equação f(x) = g(x) apÌeserta uma única so-Ìução nesse ìnter%lo.
256
c) Dois ârcos cujas rnedidâs, em radianos, são da-
dd.por\ ; r , Ìe)=; ÁÍrÊ7
são diâmetrâlÌnente opostos.d) Se A = sen (x Í) e B = cos (x + ,r), €ntão
A sen xB .ôs x
e) sejam astunções dadas por f(x) = a-b sen\eg(x) = a + b cos s com d e ü reais positivos. Os.onjuntos imâgem de/ e g são ìguân.
19. (us'p.r) o' p,oti.ontes d€.,roperbâÌançam seus bra-
ços Ìitmicamente, enquanto coÌreÌì, para a frente epâÌâ trás, descrevendo uma osciÌação completa emlI oe <egundo. conrorÌ1e ngurr dDarÌo.
O ânguÌo 0 varia em tuDção do tempo I, em segund"' r l " \ im-dJmenle
de d.^rdu 'o n r equd.ro:
^ r Ì f rnr- 3r lv= o fn ì l ' ; ,1
Tomando por base os dados acima, pod€Ìnos a1ìr-r ÍoÍ . ìueo nr or \J o a\ ìJnidopejo; ìSUlo Ê e:
20,1ur rsl consiaere quev(t), voìume de ârDos puÌ-mões d€ um ser humano adulto, en1 Ìitlos, varia deno mínimo 2 litros a no máímo 4litros, sendo t avâdável tenrpo, em segundos.Entre âs fuÌlçÕes abaixo, a que melhor descrevev(t) é:
")
b)
o
21, $,r-t"n,i. srl Nungurâ,temos os€sboços dos sÌaficos das tunçÕes /e.$
se s(r) = sen lÌx e/é unÌâ fìnção poÌinomial do2e gÌau, então (l) é iguâla:
^) 22 d) 28
b) 24 e) 30c) 26
4+2senl+t l
:+:sení: t ì
- -* \ r - /l+senl ; t l
{
b) 20'c) 25"
d) 30.
;51