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Caos
Aula 03
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Século XX e o rompimento de paradigmas
• Segundo Lorenz a ciência do século XX será lembrada apenas por: – Relatividade (Eliminou a ilusão Newtoniana
de espaço-tempo absoluto)– Mecânica quântica (sonho de Newton de um
processo controlável de mensuração)– CAOS (eliminou a fantasia Laplaciana de
previsibilidade determinística)
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Determinismo
• “Igreja Newtoniana dos últimos dias”– “Dado um conhecimento aproximado das condições
iniciais e um entendimento da lei natural, pode-se calcular o comportamento aproximado desse sistema” (J.G. p.12)
– Há uma convergência na forma com que as coisas funcionam
– “influências arbitrariamente pequenas não crescem a ponto de ter efeitos arbitrariamente grandes.” (winfree, apud JG. p.13)
– Ex.: cometa Halley, Economia, meteorologia, etc.
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Edward Lorentz
• Matemático (geminiano) que foi obrigado a trabalhar com meteorologia na força aérea da 2ª guerra.
1917-2008
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O modelo de Lorenz
• Naquela época praticamente todos os cientistas sérios desconfiavam dos computadores.
• Exemplo do uso de computadores em empresas.
• Os modelos computacionais eram trabalhos bastardos da ciência.
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Edward Lorentz
• Em 1960, cria um sistema atmosférico de brinquedo.
• 12 equações fundamentais
• Usou o fantástico Royal McBee!!!
1917-2008
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O modelo de Lorenz
• Meteorologia era:
• Intuição e
• Estatísticas– A temperatura média de salvador é de 22º– O número médio de dias chuvosos em Riad,
na Arábia saudita é de 10 por ano.
• Lorenz queria mais!
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Início do Caos
• No inverno de 1961 Lorenz vê o CAOS
• Cópia dos parâmetros finais como parâmetros de entrada.
• A saída tinha uma precisão de 3 casas e a variável de 6 casas decimais.0.506127 0.506
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Início do Caos
• Resultado
• Lorenz pensou “queimou uma válvula” meleca!
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Caos
• Depois percebeu que se tratava de uma mudança profunda no atual paradigma de previsão meteorológica.
• Meleca! A previsão a longo prazo está condenada!
• “Certamente, de qualquer modo não vínhamos tendo muito sucesso nisso, e agora tínhamos a desculpa” (Lorenz, apud J.G. p.15)
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Sensibilidade às condições iniciais
• Henri Poincaré final do século IX
• Lorenz redescobre o conceito, desde uma perspectiva computacional.
1854 – 1912
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Caos Determinístico
• Sabemos que trajetórias no espaço de fase não podem se cruzar, pois sendo assim a dinâmica do fenômeno teria, para um mesmo estado, mais do que uma possibilidade de evolução, rompendo assim o determinismo. Com três ou mais variáveis dinâmicas (Ex.: pêndulo atenuado e forçado) são possíveis trajetórias complicadas que não se interceptam. Elas estão incluídas na classe de movimentos caóticos denominada caos determinístico.
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Caos Determinístico
• Simples gerando o complexo– em sistemas complexos
que apresentem comportamento caótico, pequenas variações nas condições iniciais levam a variações exponenciais em suas trajetórias
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Caos Determinístico
• Indeterminismo– A impossibilidade em
conhecermos, com infinita precisão as condições inicias faz com que as trajetórias dinâmicas do sistema sejam indeterminadas. A isso chamamos de indeterminismo.
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Caos Determinístico
• Definição– mesmo sendo as leis perfeitamente
conhecidas a nossa ignorância sobre o sistema não nos permite prever suas trajetórias.
• Exemplo:– Pêndulo atenuado e forçado, Mapa logístico
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• Porta grande e natural para o Caos determinístico são as equações diferenciais.
• Repetição de operações simples mais não lineares, “principio de organização fundamental da Natureza”. – a interação matematicamente mais simples de
funções não lineares nos permite uma entrada mais rápida no contexto da teoria, de fato, com apenas uma variável isso é possível, como é o caso do mapa logístico.
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Mapa logístico
• Usada em 1845 por P.F. Verhulst para modelar o desenvolvimento de uma população pilífera cujas gerações não se sobrepõem. Em seu modelo Xt representava a densidade populacional no tempo t. O parâmetro está associado às taxas de nascimento e óbito da população .
,41
;1,0
)1(1
t
ttt
X
XXX
1804 – 1849
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Mapa logístico
• Modelo mais simples que se tem para o crescimento limitado de populações biológicas. Mas o que ela nos ensina é que uma equação bastante simples pode apresentar soluções bastante complicadas.
• Montar planilha de cálculo
)1( XXdt
dX
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Mapa logístico
• Podemos estudar o mapa logístico assumindo a função:
2)1()( XXXXXf
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
f(X
)
X
=1 =2 =3
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Mapa logístico
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
f(X
)
X
X f(X)
0.10 0.18
0.18 0.30
0.30 0.42
0.42 0.49
0.49 0.50
0.50 0.50
0.50 0.50
0.50 0.50
0.50 0.50
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Mapa logístico
• Para qualquer valor inicial X0 com 0 < X0 < 1, os Xt convertem para um ponto fixo X* ou ATRATOR
• O intervalo ]0,1[ define uma BACIA DE ATRAÇÃO para o ponto fixo X*, que no nosso exemplo é ESTÁVEL sempre que
• Para valores de >1 e X0 < 0 ou X0 > 1 é fácil se verificar graficamente que Xt -. Estes pontos são denominados de pontos REPULSORES
3112)(' * ouXf
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Mapa logístico
X*•Para =3.5699456 temos infinitas bifurcações CAOS•JANELAS DO CAOS •Próximo às bifurcações o sistema se torna SENSÍVEL ÀS CONDIÇÕES INICIAIS
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Expoente de Lyapunov
• Podemos definir
• Representa a densidade populacional após n iterações.• Dada uma condição inicial separada de podemos
definir a distância que separa o sistema por:
• Para fenômenos caóticos essa distância aumenta exponencialmente na forma
• Onde é o EXPOENTE DE LYAPUNOV
))...(()();()( )2()1( XffXfXfXf
)()( )()(o
no
nn XfXfd
en
nd
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Expoente de Lyapunov
• Para <0 temos que a função exibe ciclos de período finitos. No exemplo do mapa logístico são representados pelos pontos em que <3 e nas janelas do caos.
• Para =0 são os pontos de bifurcação.
• Para >0 temos que a função exibe ciclos de período infinitos (aperiódico), ou seja, CAOS. Os pontos iniciais Xo com este expoente são denominados de ATRATOR ESTRANHO ou CAÓTICO.
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ATRATOR ESTRANHO
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0-0.1
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
1.1f(
X)
X
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Expoente de Lyapunov
Ver prática com o mapa logístico no excel!
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Expoente de Lyapunov
Não é necessário termos a função para se calcular o expoente. Podemos usar a derivada discreta da função:
Wolf et al (1985)
1
0
' )(ln1
limN
ni
Nxf
Nh
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