CÁLCULO VETORIAL E
GEOMETRIA ANALÍTICA
EDILENE PEREIRA BORGES CARLOS
Reta
A Reta – Equação vetorial da reta
2
Consideremos um ponto 𝐴(𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) e um vetor não nulo 𝑣 = (𝑎, 𝑏, 𝑐). Só
existe uma reta r que passa por A e tem direção de 𝑣 . Um ponto P(x, y, z)
pertence a r se e somente se, o vetor 𝐴𝑃 é paralelo a 𝑣 , isto é:
Para algum real t, temos:
ou em coordenadas:
Qualquer uma dessas equações é denominada vetorial de r. O vetor 𝑣 é
chamado vetor diretor da reta r e t é denominado parâmetro.
A Reta – Equação vetorial da reta
3
Exemplo 1:
A reta que passa por A(1, -1, 4) e tem direção de 𝑣 = (2, 3, 2), tem equação
vetorial, de acordo com (3):
Desta igualdade vem:
onde (x, y, z) representa um ponto qualquer de r.
Se desejarmos obter pontos de r, basta atribuir valores para t, por exemplo,
para t = 1, obtêm-se
E, portanto, 𝑃1 = 3, 2, 6 ∈ 𝑟.
A Reta – Equação vetorial da reta
4
De forma análoga:
E assim por diante. Se t assumir todos os valores reais teremos todos os
infinitos pontos da reta.
O gráfico mostra os pontos obtidos com seus correspondentes parâmetros.
A Reta – Equação vetorial da reta
5
Observações:
a) Vimos que cada real t corresponde um ponto 𝑃 ∈ 𝑟. A recíproca também é verdadeira,
isso é, a cada 𝑃 ∈ 𝑟 corresponde um número real, por exemplo, sabe-se que o ponto
P(5, 5, 8) pertence à reta.
r:(x, y, z) = (1, -1, 4) + t(2, 3, 2)
Logo, o ponto (5, 5, 8) é particular (x, y, z) na equação (4) e, portanto é verdadeira a
afirmação:
(5, 5, 8) = (1, -1, 4) + t(2, 3, 2), para algum real t.
Desta igualdade, vem
(5,5,8) = (1, -1, 4) + (t(2, 3, 2) ou (4, 6, 4) = t(2, 3, 2), e portanto t = 2.
A Reta – Equação vetorial da reta
6
Observações:
b) A equação (4) não é única equação vetorial de r. Existem, na verdade, infinitas, pois basta
tomar outro ponto r (em vez de A) ou outro qualquer não-nulo que seja múltiplo de 𝑣 . Por
exemplo, a equação:
(x, y, z) = (1, -1, 4) + t(4, 6, 4)
É outra equação vetorial de r onde se utilizou o vetor 2𝑣 = (4,6,4) como vetor diretor em
vez de 𝑣 = (2, 3, 2)
Equações Paramétricas da Reta
7
Da equação vetorial da reta
𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑥1, 𝑦1, 𝑧1 + 𝑡 𝑎, 𝑏, 𝑐
ou ainda
𝑥, 𝑦, 𝑧 = (𝑥1 + 𝑎𝑡, 𝑦1 + 𝑏𝑡, 𝑧1 + 𝑐𝑡)
pela condição de igualdade, obtém-se
𝑥 = 𝑥1 + 𝑎𝑡𝑦 = 𝑦1 + 𝑏𝑡𝑧 = 𝑧1 + 𝑐𝑡
Esta equação é chamada equação paramétrica da reta
Equações Paramétricas da Reta
8
Exemplo 2:
a) A reta r que passa pelo ponto (3, -4, 2) e é paralela ao vetor v = (2, 1, -3),
de acordo com (5), tem equações paramétricas
b) Dado o ponto A(2,3,-4) e o vetor v = (1,-2,3), pede-se:
* Escrever equações paramétricas da reta r que passa por A e tem a direção
de v.
Equações Paramétricas da Reta
9
• Encontrar os dois pontos B e C de r de parâmetros t = 1 e t = 4,
respectivamente.
• Determinar o ponto de r cuja abscissa é 4.
Equações Paramétricas da Reta
10
* Verificar se os pontos D(4, -1, 2) e E(5, -4, 3) pertencem a r.
Equações Paramétricas da Reta
11
• Escrever equações paramétricas da reta s que passa por G(5, 2, -4) e é
paralela a r.
• Escrever equações paramétricas da reta t que passa por A e é paralela ao eixo
dos y.
Equações Paramétricas da Reta
12
Exemplo 3:
Escrever as equações paramétricas da reta r que passa por A(3, -1, -2) e B(1, 2, 4)
sabendo que 𝑣 = 𝐴𝐵.
Solução:
Escolhendo o ponto A e o vetor 𝑣 = 𝐴𝐵 = B – A = (-2, 3, 6), tem-se:
Equações paramétricas de um segmento de reta
13
Consideramos a reta r do exemplo anterior e nela o segmento AB.
As equações paramétricas do segmento AB são as mesmas da reta r, porém, com
o 0< t < 1.
Considere A(3, -1, -2) e B(1, 2, 4) a equação paramétrica do segmento de reta AB
será:
Observação:
A equação P = A + t(B – A) também pode ser expressa de modo equivalente por:
P = tB + (1 – t)A
