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CÁLCULO INTEGRAL
Antes de iniciarmos o estudo do Cálculo Integral, vamos definir e calcular
Diferencial, pois, para aplicar as regras de integração, precisaremos do
conceito e da aplicação de Diferencial.
DIFERENCIAL
Prezado estudante, quando avaliamos derivadas, vimos que dx
dy
representava um dos símbolos da derivada primeira da função y = f(x) em
relação a variável independente x.
Em função disso podemos dizer que:
- A diferencial de uma função f(x) é igual ao produto de sua derivada f´(x)
pela diferencial da variável independente dx.
Regras para o cálculo da Diferencial
Vimos, pela definição, que a diferencial de uma função é o produto de sua
derivada pela diferencial da variável independente, portanto, as regras para
determinamos diferenciais serão as mesmas das derivadas, bastando para isso
multiplicarmos a derivada por dx.
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Em decorrência dessa informação, vamos calcular as diferenciais das
funções abaixo:
a) f(x) = 3 b) y = -3x c) y = 2x5
d) f(x) = x3 + 5x2 - 4 e) y = e4x f) y = Ln (5x)
SOLUÇÃO
0
.0
0
3)()
df
dxdf
dx
df
xfa
dxdy
dx
dy
xyb
3
3
3)
dxxdy
xdx
dy
xyc
4
4
5
10
10
2)
dxxxdf
xxdx
df
xxxfd
)103(
103
45)()
2
2
23
dxedy
edx
dy
eye
x
x
x
4
4
4
.4
.4
)
dxx
dy
xdx
dy
x
x
dx
dy
xLnyf
.1
5
5
5
)'5(
)5()
A partir dessas orientações sobre Diferencial, podemos iniciar os estudos de
Cálculo Integral.
CÁLCULO INTEGRAL
01- INTRODUÇÃO
Durante nossos estudos sobre a disciplina Matemática, observamos
algumas funções que apresentam inversas. Relembremos algumas delas com
seus respectivos gráficos.
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Agora, verificaremos através de exemplo, que a Integral e a Derivada são
funções inversas uma da outra.
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Notamos que, neste momento, não existe condição de sabermos quais as
constantes que irão acompanhar as integrais para que encontremos as funções
primitivas, por isso que, ao integrarmos qualquer função, adicionamos sempre,
no final, a letra c, que é denominada CONSTANTE DE INTEGRAÇÃO.
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Exercício
Em cada item abaixo, encontre a função primitiva:
a) f’(x)=2x – 4, sendo f(3) = 2 b) y’ = 6x2 – 4x + 2, sendo y(2) = -3
Aplicação na Economia.
- Sabendo que q representa a quantidade produzida de determinado produto e
Rmg = -q2 + 20q – 2, Cmg = 4q – 3, Cf = 70 e Pmg = 4q3 + q, suas
respectivamente, funções Receita Marginal, Custo Marginal, Custo Fixo e
Produção Marginal. Determine as funções Receita, Custo e Produção.
Solução:
- Cálculo da Função Receia (Rt).
Como, a Função Receita Marginal (Rmg) representa a 1a derivada da
Função Receita (Rt), devemos integrar Rmg, para encontrar Rt.
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Aplicação na Física.
- Após determinado instante, a velocidade de um veículo (km/hora) é dada pela
função 354)( ttV 200 t . Encontre a posição do veículo quando t = 10 h.
Solução:
Ao estudar derivada observamos que a Função Velocidade está relacionada
com a derivada primeira da Função Espaço, então, para encontrar a Função
Espaço, tendo a Função Velocidade, devemos integrar a mesma, da seguinte
maneira:
Verifica-se que após 10 horas o veículo percorreu 550 km.
APLICAÇÃO – 1
1) Calcule a função primitiva em cada caso:
1.1) f’(x) = 2x – 5, sendo f(3) = -14
1.2) f’(x) = 2x2 + 2x – 3, sendo f(-2) = 2
1.3) f’(x) = 3. x , sendo f(4) = 12
1.4) f’(x) = x
2, sendo f(e3) = 8
2) Resolva as integrais indefinidas:
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Até esse momento, trabalhamos com funções simples, agora,
utilizaremos as regras de integral vista acima, em funções compostas,
onde foram analisadas quando do estudo de Derivadas (Regra da Cadeia).
Para resolvermos esse tipo de integral, utilizaremos o método de
substituição (mudança de variável), por ser um caminho que facilitará a
resolução de integrais pertencentes a uma extensa categoria de funções.
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05- INTEGRAÇÃO POR PARTES.
Existem algumas integrais que não conseguimos resolver utilizando qualquer
método até agora visto. Então, para resolver essas integrais, devemos utilizar
um novo método, denominado Integração por Partes.
Fórmula da Integração por Partes:
Exemplo:
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10- INTEGRAL DEFINIDA
10.1- Introdução.
Durante nossos estudos sobre integral Indefinida, aprendemos a calcular
vários tipos de integrais, utilizando, para isso, alguns métodos de resolução.
Esses métodos são também utilizados para calcular a Integral Definida.
Essas integrais, que são definidas num intervalo [a, b], facilitam os cálculos das
áreas e dos volumes das figuras geométricas.
10.2- Cálculo de uma Integral Definida.
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Exemplo:
1) Resolver os seguintes problemas:
1.1) Calcular a área limitada pela curva f(x) = x2 – 5x + 4 e pelos pontos x = 2 e
x= 3.
03) Calcular a área limitada pela curva f(x) = x2 – 4 e pelo eixo dos x.
- Inicialmente, determina-se as raízes da função, em seguida, calcula-se a
integral definida no intervalo [x’, x”].
y
2"
2'
04
4)(
2
2
x
x
x
xxf
-2 S 2 x
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SÍNTESE
Neste aprendizado, você verificou que a Integral e a Diferencial são
funções inversas. Aprendeu a resolver exercícios utilizando as regras de
Integral Indefinida. Conceituou Integral Definida. Aprendeu a utilizar Integral
Definida na resolução de exercícios e problemas práticos como, determinação
do valor de áreas e volumes.
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REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS: - BARANENKOV, G E DEMITOVITH, B. Problemas e Exercícios de Análise Matemática. Moscou: Mir, 1978. - GRANVILLE, W. A. Elementos de Cálculo Diferencial e Integral. Rio de Janeiro: Científica, 1954. - GUIDORIZZI, Hamilton Luiz. Um curso de cálculo. V.2. Rio de Janeiro: LTC, 2008. - IEZZI, Gelson ET AL. Fundamento da matemática elemntar. São Paulo: Atual, 1993, 10v. - LEITHOLD, Loui. O Cálculo com Geometria Analítica. São Paulo: Harbra, 2000.