Download - Aulas Mecanismos - Parte IV-1
Notas de Aulas da Disciplina: MECANISMOS Professor Antonio Almeida Silva (UFCG/CCT/UAEM)UNIVERSIDADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDE UFCG CENTRO DE CINCIAS E TECNOLOGIA CCT UNIDADE ACADMICA DE ENGENHARIA MECNICA UAEM
4 MTODOS ANALTICOS - ANLISES DE VELOCIDADE E ACELERAO POR CLCULO VETORIAL 4.1 Formulao das Equaes para Clculo Vetorial4.1.1 Sistema de referncia e equaes vetoriais de posio Na Fig. 4.1 o movimento do ponto P conhecido em relao ao sistema mvel de coordenadas xyz, o qual por sua vez move-se em relao ao sistema fixo ou de referncia XYZ.
Fig. 4.1 A posio do ponto P em relao ao sistema XYZ pode ser determinada por
RP = R0 + RSe os vetores unitrios i, j e k so fixos aos eixos x, y, e z, respectivamente,
(4.1)
R= x i+ y j + z k4.1.2 Equaes vetoriais de velocidade
(4.2)
A velocidade do ponto P relativa ao sistema XYZ pode ser obtida diferenciado-se a Eq. (4.1), em relao ao tempo, para dar& & & VP = RP = R0 + R
(4.3)
Diferenciando-se a Eq. (4.2) em relao ao tempo, vem
& & & & & & R = (x i + y j + z k ) + (xi + y & + z k ) j
(4.4)
43
Notas de Aulas da Disciplina: MECANISMOS Professor Antonio Almeida Silva (UFCG/CCT/UAEM)& & & O termo ( xi + yj + zk) a velocidade do ponto P em relao ao sistema mvel de coordenadas. Por convenincia seja
& & & (x i + y j + z k ) = V
(4.5)
Considerando os termos no segundo parntesis da Eq. (4.4), pode-se demonstrar que a velocidade da extremidade do vetor r, que passa por um ponto fixo e gira em torno desse ponto com uma velocidade angular V = r . Tambm as velocidades das extremidades dos vetores unitrios i, j, k podem ser expressos por
& i = i & = j j & k = konde a velocidade angular do sistema mvel de coordenadas xyz em relao ao sistema fixo XYZ. Fazendo as substituies, este segundo termo da Eq. (4.4) fica & & x i + y & + z k = x( i) + y( j) + z( k) = ( x i + y j + z k) j e considerando a Eq. (4.2), temos que
& & xi + y & + z k = R jA equao (4.4) ento torna-se
(4.6)
& R =V + RA equao (4.3) pode agora ser escrita fazendo V0 = R0 e substituindo R obtido da Eq. (4.7)
(4.7)
VP = V0 + V + ROnde: V 0 = velocidade da origem do sistema xyz em relao ao sistema XYZ. V = velocidade do ponto P em relao ao sistema xyz. = velocidade angular do sistema xyz em relao ao sistema XYZ. R = distncia da origem do sistema xyz ao ponto P. 4.1.3 Equaes vetoriais de acelerao
(4.8)
A acelerao do ponto P em relao ao sistema XYZ agora pode ser determinada diferenciando-se a Eq. (4.8)
& & & & & AP = V P = V0 + V + R + R& Obtm-se V diferenciando a Eq. (4.5)
(4.9)
44
Notas de Aulas da Disciplina: MECANISMOS Professor Antonio Almeida Silva (UFCG/CCT/UAEM)
& && & j & & V = ( &&i + && j + &&k) + ( x i + y & = z k) x y z
(4.10)
O termo ( &&i + && j + &&k) a acelerao do ponto P em relao ao sistema mvel de x y z coordenadas xyz. Assim,
( &&i + && j + &&k) = A x y zConsiderando os termos do segundo parntesis da Eq. (4.10),
(4.11)
& && & j & & & & & & & x i + y & + z k = x( i) + y( j) + z( k) = ( x i + y j = z k)Da Eq. (4.5)
& & & ( x i + y j + z k) = VPortanto,
&& & j & & xi + y & + z k = VA equao (4.10) torna-se ento
(4.12)
& V = A + VTambm da Eq. (4.7)
(4.13)
& R = V + ( R)
(4.14)
& & & Substituindo V da Eq. (4.13) e R da Eq. (4.14) na Eq. (4.9) e fazendo A0 = V0 , a equao da acelerao do ponto P em relao ao sistema XYZ torna-se
& AP = A0 + A + 2 V + R + ( R)Onde o termo 2 V a componente de Coriolis da acelerao e A0 = acelerao da origem do sistema xyz em relao ao sistema XYZ; A = acelerao do ponto P em relao ao sistema xyz; = velocidade angular do sistema xyz em relao ao sistema XYZ; V = velocidade do ponto P em relao ao sistema xyz; R = distncia da origem do sistema xyz ao ponto P. 4.1.4 Exemplo resolvido: Mecanismo do Ex. 10.8 - Mabie (Mtodo do clculo Vetorial)
(4.15)
Consideremos o mecanismo mostrado na Figura abaixo. A velocidade e a acelerao do ponto A, so conhecidas e deve-se determinar as velocidades e a aceleraes dos pontos B e C. Consideremos o ponto O2 como origem do sistema de coordenadas XYZ e o ponto A como origem do sistema xyz.
45
Notas de Aulas da Disciplina: MECANISMOS Professor Antonio Almeida Silva (UFCG/CCT/UAEM) Dados:O2A=0,102 m AB=0,203 m AC=0,102 m BC=0,152 m 2 =30 rad/s 2=240 rad/s2
Fig.10.8
VA = 2 O2 A = 3,06 m/s At = 2 O2 A = 24,48 m/s 2A
V A = A = 91,80 m/s 2 O2 A2
n
A
Equaes vetoriais:
VB = VO + V + R & AB = AO + A + 2 V + R + ( R)i) Na forma de componentes vetoriais para velocidades, Eq. (I):
(I) (II)
Vo = VA V = 0 porque R um vetor constante no sistema xy R AB mdulo desconhecido ( = 3 ; R = AB) R = ?
r r r r VB = VB cos(34 )i + sen(34 ) j = 0,829VB i + 0,559VB j r r r r r r V A = V A cos(5 )i - sen(5 ) j = 0,996V A i - 0,087V A j = 3,047 i - 0,266 j r R = (3 .R) j
( (
)
)
46
Notas de Aulas da Disciplina: MECANISMOS Professor Antonio Almeida Silva (UFCG/CCT/UAEM)
Fig. 10.8.a
Substituindo as componentes na Eq. (I), obtm-se:
0,829VB i + 0,559VB j = 3,047 i - 0,266 j + (3 .R) jSeparando-se as componentes, nas direes i e j:
r
r
r
r
r
(Ia)
0,829VB = 3,047 VB = 3,67m/s0,559(3,67 ) = -0,266 + 3 .0,203 3 = 4 = 3,67 VB = = 18,07 rad/s (SAH) O4 B 0,203 2,317 = 11,41 rad/s (SAH) 0,203
ii) Analisando a Eq. das Aceleraes (II):
& AB = A0 + A + 2 V + R + ( R) A = 0 porque R = cte; V = 0 2 V = 0 porque V = 0 & R = ( 3 .R ) AB mdulo desconhecido r & & R = (.R ) j r ( R) = - 2 .R i sentido de B para At AB = 4 O4 B O4 B ?
VB 2 A = = 66,35 m/s 2 //BO4 O4 B A = 2 O2 A = 24,48 m/s 2 O2 An Bt A
VA 2 A = = 91,80 m/s 2 //O2 A O2 An A
Resolvendo em termos de componentes a Eq. (II):
47
Notas de Aulas da Disciplina: MECANISMOS Professor Antonio Almeida Silva (UFCG/CCT/UAEM)
r r r r t t t t AB = AB cos(34 )i + sen(34 ) j = 0,829 AB i + 0,559 AB j r r r r n n AB = AB - sen(34 )i + cos(34 ) j = -37,10 i + 55,00 j r r r r n n AA = AA - sen(5 )i - cos(5 ) j = - 8,00 i - 91,45 j r r r r t t AA = AA - cos(5 )i + sen(5 ) j = - 24,38 i + 2,133 j
( ( ( (
)
) )
)
t & & R = ( .R )j = ABA r r 2 n ( R ) = -3 .R i = -26,428 i = ABA
Fig. 10.8.b
Substituindo na Eq. (II) em termos de i e j:- 21,708 = - 26,185 m/s 2 (i) 0,829 t & & & 55,00 + 0,559 AB = -91,45 + 2,133 + ( R ) R = 129,68; = 638,8 rad/s 2 (j)t t - 37,10 + 0,829 AB = -8,00 - 24,38 - 26,428 AB =
Portanto, & 3 = = 638,8 rad/s 2 (SAH)t - AB 4 = = 128,98 rad/s 2 (SH) O4 B
Achando por fim, as Aceleraes em mdulo (AA, AB e ABA):
AA = AB = ABA =
(A ) + (A )n 2 A
t 2 A
= 95,00 m/s 2 = 71,32 m/s 2 = 132,36 m/s 2'
(A ) + (A )n 2 B n 2 BA
t 2 B
(A ) + (A )
2 t BA
iii) Determinao de VC VC = V A + R (novo xy)
48
Notas de Aulas da Disciplina: MECANISMOS Professor Antonio Almeida Silva (UFCG/CCT/UAEM)
r r r r V A = VA cos(52 )i - sen(52 ) j = 0,616VA i + 0,777VA j r r V A = 1,884 i - 2,411 j r r R = (3 R) j = 1,163 j r r r r - 1,248 VC i + VC j = 1,884 i - 1,248 j 3 = arctg = -33,5 1,884 VC =
(
)
(1,884 )2 + (- 1,248 )2 = 2,26m/s'
& iv) Determinao de AC AC = AA + R + ( R)
r r r r t t t t AC = AC cos(33,5 )i - sen(33,5 ) j = 0,833 AC i + 0,550 AC j r r r r n n n n AC = AC sen(33,5 )i + cos(33,5 ) j = 0,550 AC i + 0,833 AC j r r r r n n AA = AA - sen(52 )i - cos(52 ) j = - 72,34 i - 56,52 j r r r r t t AA = AA - cos(52 )i + sen(52 ) j = - 15,07 i + 19,29 j r r & R = ( 3 R' )j = 65,15 j r r 2 ( R) = - 3 R i = -13,28 i
( ( ( (
) )
) )
(
)
Resolvendo nas direes das componentes i e j:n t 0,550 AC + 0,833 AC = -72,34 - 15,07 - 13,28 = -100,69 (i) n t 0,833 AC - 0,550 AC = -56,52 + 19,29 + 65,15 = 27,92 (j) n t 0,660 (i) 0,363 AC + 0,550 AC = -66,45 n t (j) 0,833 AC - 0,550 AC = 27,92 n n 1,196 AC = -38,53 AC = -32,80
VC2 O3C = n = 0,158 m AC t t (j) 0,833(- 32,80 ) - 0,550 AC = 27,92 AC = 99,53
AC =
(32,2 )2 + (99,53)2
= 104,6 m/s 2
49
Notas de Aulas da Disciplina: MECANISMOS Professor Antonio Almeida Silva (UFCG/CCT/UAEM)
4.1.5 Acelerao relativa de partculas de peas separadas. Componente de Coriolis O prximo mecanismo a ser considerado aquele em que h deslizamento relativo entre duas peas, como entre as peas 3 e 4 conforme mostrado na Fig. 10.31 e deseja-se determinar 4 e 4 sendo dadas 2 e 2. Neste mecanismo os pontos A2 e A3 so os mesmos e o ponto a projeo de A2 e A3 sobre a pea 4. A fim de se determinar 4 e 4, devem ser analisadas a velocidade e a acelerao de dois pontos coincidentes A2 e A4 cada um em peas separadas.
Fig. 10.31
50
Notas de Aulas da Disciplina: MECANISMOS Professor Antonio Almeida Silva (UFCG/CCT/UAEM) Pode-se escrever a equao da velocidade do ponto A4 como se segue:
VA = VA + VA A4 2 4
2
(4.16)
Nesta equao V A2 conhecido em mdulo, sentido e direo e V A4 e VA4A2 so conhecidos em direo. Pode-se traar o polgono de velocidade facilmente e determinar VA4 do qual pode-se calcular 4. As aceleraes dos pontos A4 e A2 podem ser determinadas a partir das seguintes equaes:
AA4 = AA2 + AA4 A2
e
AA2 = AA4 + AA2 A4
(4.17)
que podem ser desenvolvidas emn t n t n t AA4 + AA4 = AA2 + AA2 + AA4A2 + AA4A2 + 22 V A4A2
(4.18) (4.19)
n t n t n t AA2 + AA2 = AA4 + AA4 + AA2A4 + AA2A4 + 24 V A2A4
Entre as Eqs. 4.17 e Eqs. 4.18 e 4.19, faz-se a seguinte substituio:n t AA4A2 = AA4A2 + AA4A2 + 22 V A4A2
AA2A4 =
n AA2A4
+
t AA2A4
+ 24 V A2A4
(4.20)
Para se determinar a acelerao relativa entre dois pontos coincidentes em movimento, necessita-se adicionar um terceiro componente conforme indicado. Este componente conhecido por componente de Coriolis o qual foi deduzido na Seo 4.1, usando-se clculo vetorial. Tambm n t como os pontos A4 e A2 so coincidentes, os termos AA2A4 e AA2A4 no representam os componentes usuais normal e tangencial de dois pontos de um mesmo corpo rgido como n previamente considerado. Por esta razo o mdulo de AA2A4 obtido atravs da relao:n AA2A4 2 VA2 A4 = R
(4. 21)
onde R o raio de curvatura da trajetria do ponto A2 em relao ao ponto A4. Este componente dirigido dos pontos coincidentes para o centro de curvatura, ao longo do raio de curvatura. O t componente tangencial AA2A4 conhecido em direo e tangente trajetria de A2 em relao a A4 nos pontos coincidentes. Calcula-se facilmente a intensidade do componente da acelerao de Coriolis 24 V A2A4 porque 4 j conhecida e pode-se determinar VA2A4 do polgono de velocidade. A direo deste componente normal trajetria de A2 relativa a A4 e o seu sentido o mesmo de VA2A4 girado de 90 em torno de sua origem, no mesmo sentido de 4.n Com a Eq. 4.19 escrita nesta forma, pode-se concluir facilmente que AA2A4 zero porque a trajetria de A2 em relao a A4 uma linha reta e R infinito. Pode-se traar agora o t polgono de acelerao e determinar AA4 e atravs deste, calcular, 4.
51
Notas de Aulas da Disciplina: MECANISMOS Professor Antonio Almeida Silva (UFCG/CCT/UAEM) Consideremos a seguir o caso onde a pea 4 da Fig. 10.31 tenha sido substituda por uma pea curva de forma circular conforme mostrado na Fig. 10.33. Neste mecanismo a trajetria de A2 relativa a A4 um arco de circunferncia de raio e centro de curvatura conhecida. A n intensidade de AA2A4 no zero portanto, e o vetor que representa este componente estar dirigido do ponto A para o centro de curvatura C.
Fig. 10.33n O componente de Coriolis est sempre na mesma direo de AA2A4 caso exista, mas o seu sentido pode ou no ser o mesmo. Considerando o termo 24 V A2A4 para o mecanismo da Fig. 10.33, pode-se determinar a direo e o sentido do componente de Coriolis. Trace o vetor que representa a velocidade relativa VA2A4 com direo e sentido corretos. Gire este vetor de 90, em torno de sua origem, no mesmo sentido de 4. Isto dar a direo e o sentido do componente da n acelerao de Coriolis conforme mostrado na Fig. 10.34. Como se pode ver, os termos AA2A4 e 24 V A2A4 tm o mesmo sentido neste caso e se somaro. Obviamente, este mtodo den determinao da direo e sentido do componente de Coriolis se aplica mesmo se AA2A4 for zero.
4.1.6 Exemplo resolvido: Mecanismo do Ex. 10.9 - Mabie (Mtodo do clculo Vetorial) No mecanismo de plaina limadora mostrado na Figura abaixo a pea 2 gira a uma velocidade angular 2 de 10 rad/s. Determine a acelerao AA4 do ponto A4 da pea 4 e a acelerao angular 4 para a fase mostrada na figura. Dados: O2O4 = 300 mm O2A = 100 mm AO4 = 250 mm 2 = 10 rad/s (SH) As equaes da velocidade e da acelerao so as seguintes: I.
V A4 = V A2 + V A4A2
52
Notas de Aulas da Disciplina: MECANISMOS Professor Antonio Almeida Silva (UFCG/CCT/UAEM) Onde:
(V A2 = 2 O2 A);
V A = 100 cm/s O2 A2V A4 = 32,5 cm/s V A4A2 = 95 cm/s
V A4 O4 A4 (V A4 = V A2 + V A4A2 ) V A2 = 100cm/s O2 A V A4A2 // O4 A4 V 32,5 4 = A4 = = 1,3 rad/s (SAH) O4 A4 25
Fig. 01
Ampliando o polgono das velocidades:
Fig. 02
53
Notas de Aulas da Disciplina: MECANISMOS Professor Antonio Almeida Silva (UFCG/CCT/UAEM) II. III.
AA4 = AA2 + AA4A2 AA 2 = AA4 + AA2A4n t n t n t AA2 + AA2 = AA4 + AA4 + AA2A4 + AA2A4 + 24 VA2A4
onde:
n n V2 100 2 AA2 = A2 = = 1000cm/s 2 AA2 //A2 O2 O2 A2 10 t AA2 = 0 { 2 = 0}
{
} }
(
)
n n V2 32,5 2 AA4 = A4 = = 42,2cm/s 2 AA4 //A4 O4 O4 A4 25 t t n AA4 = ? AA4 AA4
{
(
){
}
n V2 AA2A4 = A2A4 = 0 {R = } R 24 V A2A4 = 2(1,3)95 = 247cm/s 2 {24 V A2A4 A2A4 } V
( (A
t A2A4
t = ? AA2A4 24 V A2A4
){
}
)
(A
A4
= 1188cm/s 2t A4
) (A
t A4
= 1185cm/s 2
)
4 =
A 1185 = = 47,4rad/s2 O4 B 25
54
Notas de Aulas da Disciplina: MECANISMOS Professor Antonio Almeida Silva (UFCG/CCT/UAEM)
Fig. 03
Ampliando o polgono das aceleraes:
Fig. 04
Detalhes da SoluoA pea 4 uma pea-guia que obriga os pontos A2 e A3 a seguirem uma trajetria retilnea sobre a guia. Para este exemplo, escolhem-se A2 e A4 e a guia retilnea a trajetria relativa de A2 sobre a pea 4. Assim, envolvem-se os vetores VA2A4 e AA2A4 e pode-se determinar facilmente o n componente A A2A4 de AA2A4 , porque R = .
55
Notas de Aulas da Disciplina: MECANISMOS Professor Antonio Almeida Silva (UFCG/CCT/UAEM) O polgono de velocidades da Fig. 03 mostra a determinao de VA4 e VA4A2 a partir da equao I. Mostra-se tambm o clculo de 4. A equao II expressa A4 em funo de AA2 e AA4A2 . Entretanto, como a trajetria do ponto A4 em relao ao ponto A2 no determinada facilmente, reescreve-se a Eq. II na forma da Eq. III de modo a usar o componente AA2A4 conforme mencionado anteriormente. Todos os componentes da Eq. I I I so conhecidos, conforme est indicado, em intensidade, sentido e direo ou em direo. Na construo do polgono de acelerao da Fig. 04 iniciando n t pelo lado da esquerda da Eq. III, traa-se primeiro o vetor AA4 e a seguir a direo de AA4 . Isto tudo o que se pode traar deste lado da Eq. III, no momento. Portanto, considere o membro da direita da Eq. III e trace o vetor AA2. A seguir, desenhe o vetor 24 V A2A4 de modo que t sua extremidade encontre a extremidade do vetor A A2 . Trace AA2A4 na perpendicular ao t componente de Coriolis at cruzar com a direo do vetor que representa AA4 ; isto completa o t t polgono. Marcam-se os sentidos dos vetores AA4 e AA2A4 de modo que a soma dos vetores do polgono concorde com a soma dos termos da Eq. III. Agora pode-se determinar a intensidade e o t sentido de 4. Usando-se AA4 , conforme est indicado. Lembrando-se que a componente de Coriolis do mecanismo est indicada na Fig. 04.PRANCHA 05: Ttulo: Mecanismo de Prensa (Mtodo Vetorial) Um mecanismo composto de alavancas articuladas e cursor horizontal, est mostrado na figura. Com a manivela 2 girando com velocidade angular constante de 2 rad/s (SH), pede-se: a) Determine as velocidades e aceleraes absolutas nos pontos A, B, C e angulares das peas pelo Mtodo dos Polgonos (3 pontos); b) Determine as velocidades e aceleraes nos pontos A, B, C e angulares das peas pelo Mtodo
Vetorial (7 pontos); Dados: O2A=6,0 cm; AB =25,0 cm; BC =20,5 cm; O4B=15,5 cmO2 2A
30 cm
B
O4
C
OBS: Cada aluno vai utilizar o mesmo valor do ngulo2 da Prancha 04 (anterior). Entrega das pranchas at o dia 23/11/09.
56