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SISTEMAS CONTNUOS
Vigas
Horacio V. Duarte
18 de Junho de 2015
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Esforos em Elemento de Viga
IQ a fora cortante, dQ = Qx dx ;
IM momento etor, dM = Mx dx ;
If (x) a fora distribuida;
Ielemento innitesimal de massa dm = Adx
-
Balano de Foras em Elemento de Viga
F
y
= dm 2
y
t2= Adx 2
y
t2
Adx2y
t2= Q (Q + dQ) + f (x)dx
Adx2y
t2= Q (Q + Q
xdx) + f (x)dx
simplicando e eliminando dx :
A2y
t2+Q
x= f (x)
-
Balano de Momentos em Elemento de Viga
Desconsiderando o efeito inrcia de rotao do elemento:M
F
Esq
= M + (M + dM) (Q + dQ)dx f (x)dx dx2
= 0
dM Qdx dQdx f (x)dx2
2
= 0
M
xdx Qdx Q
xdx
2 f (x)dx2
2
= 0
Eliminando termos de segunda ordem dx
2
,
M
x Q = 0
-
Viga de Euler-Bernoulli
Q =M
xou
Q
x=2M
x2
Da equao obtida a partir do balano de foras
A2y
t2+Q
x= f (x)
A2y
t2+2M
x2= f (x)
Pela teoria de Euler-Bernoulli = dydx
, no h deformao devido ao
cisalhamento e M = EI ddx
= EI d2
y
dx
2
, logo a equao de movimento
ser:
A2y
t2+
2
x2
(EI
d
2
y
dx
2
)= f (x)
-
Problema Homogneo para Vigas de Seo Constante
A2y
t2+
2
x2
(EI
d
2
y
dx
2
)= f (x)
Da equao de movimento, se a seo transversal, A, a rigidez, EI ,
forem constantes:
A2y
t2+ EI
4y
x4= f (x)
Para problema homogneo
A2y
t2+ EI
4y
x4= 0
denindo a velocidade de propagao da perturbao, velocidade
do som como
C
2 =EI
A
-
A equao de movimento, para problema homogneo, pode ser
escrita como
2y
t2+ C 2
4y
x4= 0
E uma soluo possvel seria: (separao de variveis)
y(x , t) = Y (x)T (t)
Na equao original
Y (x)2T (t)
t2+ T (t)C 2
4Y (x)
x4= 0
C
2
Y (x)
4Y (x)
x4= 1T (t)
2T (t)
t2= F
-
como F uma constante arbitrria, as equaes podem ser
separadas:
2T (t)
t2+ FT (t) = 0
C
2
4Y (x)
x4 FY (x) = 0
Propondo soluo do tipo T (t) = Be it e substituindo na equao
2Be it + FBe it = 0 logo F = 2
Se Y (x) = Dex , na equao de deslocamento
C
24Dex FDex = 0
4 =F
C
2
=2
C
2
-
Denindo 4 = 2
C
2
, ento
1,2 = 3,4 = i
e a soluo ser expressa por:
Y (x) = B1
e
x + B2
e
x + B3
e
ix + B4
e
ix
Com alguma manipulao algbrica chega-se a:
Y (x) = A1
cos(x) + A2
sin(x) + A3
cosh(x) + A4
sinh(x)
E a soluo completa pode ser expressa por
y(x , t) = (A1
cos(x)+A2
sin(x)+A3
cosh(x)+A4
sinh(x))(B cos(t+))
-
Condies de Contorno para Viga Euler-Bernoulli
Da equao de movimento para problema homogneo:
A2y
t2+ EI
4y
x4= 0
a soluo dada por
y(x , t) = (A1
cos(x)+A2
sin(x)+A3
cosh(x)+A4
sinh(x))(B cos(t+))
As condies de contorno ou de restrio em x = 0 ou x = L;
deslocamento x x = 0 y(0, t) = 0 x = L y(L, t) = 0
deslocamento x = 0 yx (0, t) = 0 x = Lyx (L, t) = 0
engastamento x = 0 y(0, t) = 0 yx (0, t) = 0
engastamento x = L y(L, t) = 0 yx (L, t) = 0
-
Para extremidade livre x = 0
M(0, t) = 0 EI2y
x2(0, t) = 0
2y
x2(0, t) = 0
Q(0, t) = 0
x
(EI
2y
x2
)(0, t) = 0
3y
x3(0, t) = 0
Para extremidade livre x = L
M(L, t) = 0 EI2y
x2(L, t) = 0
2y
x2(L, t) = 0
Q(L, t) = 0
x
(EI
2y
x2
)(L, t) = 0
3y
x3(L, t) = 0
-
Determine as condies de contorno da viga se em x = 0 h umartula e em x = L h uma mola de rigidez k (direo dodeslocamento)
em x = 0y(0, t) = 0
EI
2yx2
(0, t) = 0
em x = LEI
2yx2
(L, t) = 0
EI
3yx3
(L, t) = ky(L, t)
Determine as condies de contorno da viga se em x = 0 h umamola de toro, rigidez k
t
, e mola axial de rigidez k (direo do
deslocamento)
em x = 0EI
2yx2
(0, t) = kt
yx (0, t)
EI
3yx3
(0, t) = ky(0, t)
em x = LEI
2yx2
(L, t) = 0
EI
3yx3
(L, t) = 0
-
Frequncias Naturais de Viga Engastada-Engastada
Condies de contorno para viga engastada-engastada
em x = 0y(0, t) = 0yx (0, t) = 0
em x = Ly(L, t) = 0yx (L, t) = 0
A funo de deslocamento transversal da viga Y (x) e sua derivada:
Y (x) = A1
cos(x) + A2
sin(x) + A3
cosh(x) + A4
sinh(x)
Y
x(x) = A1
sin(x)+A2
cos(x)+A3
sinh(x)+A4
cosh(x)
Se em x = 0, Y (0) = 0 substituindo na equao :
0 = A1
cos(0) + A2
sin(0) + A3
cosh(0) + A4
sinh(0)
-
Como sinh(x) = eixex2
logo sinh(0) = 0. Se cosh(x) denido
como cosh(x) = ex+ex2
ento cosh(0) = 1. Portanto
A
1
+ A3
= 0 ou A3
= A1
Se em x = 0, Yx (0) = 0 substituindo na equao :
0 = A1
sin(0) + A2
cos(0) + A3
sinh(0) + A4
cosh(0)
A
2
+ A4
= 0 ou A4
= A2
Na extremidade x = L o deslocamento Y (L) = 0
A
1
cos(L) + A2
sin(L) A1
cosh(L) A2
sinh(L) = 0
E em x = L o deslocamento Yx (L) = 0 na equao de rotao:
A1
sin(L) + A2
cos(L) A1
sinh(L) A2
cosh(L) = 0
-
As equaes resultantes da aplicao das condies de contorno en
x = L so transcedentais e resultam no seguinte sistema matricial[cos(L) cosh(L) sin(L) sinh(L) sin(L) sinh(L) cos(L) cosh(L)
]{A
1
A
2
}=
{0
0
}Para que a soluo no seja a trivial o determinante da matriz deve
ser nulo,
[cos(L) cosh(L)] (cos(L)cosh(L)) = . . .
. . . [ sin(L) sinh(L)] (sin(L) sinh(L))cos
2(L)2 cosh(L) cosh(L)+cosh2(L) = sinh2(L)sin2(L)
-
Usando as identidades
cos
2(L) + sin2(L) = 1 cosh2(L) sinh2(L) = 1
resulta em
2 cosh(L) cosh(L) = 2
cosh(L) cosh(L) = 1
-
Ortogonalidade dos Modos
Para a equao de movimento do problema homogneo:
A2y
t2+ EI
4y
x4= 0
A soluo y(x , t) = Y (x)T (t) resulta nas equaes:
2T (t)
t2+ 2T (t) = 0
C
2
4Y (x)
x4 2Y (x) = 0
como 4 = 2
C
2
4Y (x)
x4 4Y (x) = 0 ou 4
Y (x)
x4= 4Y (x)
-
Para o n-simo modo
4Yn
(x)
x4 4n
Y
n
(x) = 0 (1)
e para o k-simo modo
4Yk
(x)
x4 4k
Y
k
(x) = 0 (2)
multiplicano a Equao (1) por Y
k
(x) e Equao (2) por Yn
(x),subtraindo a Equao (1) da Equao (2) e integrando de 0 a L:L
0
(4Yk
(x)
x4Y
n
(x) 4
Y
n
(x)
x4Y
k
(x)
)dx(4k
4n
)
L
0
Y
k
(x)Yn
(x)dx = 0
Integrando por partes o termoL
0
4Yk
(x)
x4Y
n
(x)dx =3Yk
(x)
x3Y
n
(x)
L0
L
0
3Yk
(x)
x3Yn
(x)
xdx
-
Repetindo o procedimento para o ltimo termo da expesso anteriorL
0
3Yk
(x)
x3Yn
(x)
xdx =
2Yk
(x)
x2Yn
(x)
x
L0
L
0
2Yk
(x)
x22Yn
(x)
x2dx
PortantoL
0
4Yk
(x)
x4Y
n
(x)dx = . . .
3Yk
(x)
x3Y
n
(x)
L0
2
Y
k
(x)
x2Yn
(x)
x
L0
+
L
0
2Yk
(x)
x22Yn
(x)
x2dx
IOs dois primeiros termos do lado direito da expresso acima
so combinaes das condies de contorno;
Ipara qualquer modo as condies de contorno devem ser
satisfeitas;
Ia subtrao destes termos, em modos distintos, nula.
-
Fica provado queL
0
(4Yk
(x)
x4Y
n
(x) 4
Y
n
(x)
x4Y
k
(x)
)dx = 0
como os modos so distintos Y
k
(x) 6= Yn
(x) e n
6= k
ento
(4k
4n
) 6= 0 restando provado a ortogonalidade dos modos, asaber: L
0
Y
k
(x)Yn
(x)dx = 0
-
Determine a resposta de uma viga engastada-engastada, rea, A, e
rigidez, EI , constantes ao longo do comprimento L. Um
equipamento ao centro produz uma fora dada por
f (t) = Fo
cos(t)(x L2
), determine a resposta y(x , t) para osistema.
A equao de movimento ser:
A2y
t2+ EId
4
y
dx
4
= Fo
cos(t)(x L2
)
A fora de excitao descrita por:
Iuma funo de posio (x L2
);
Iuma funo temporal F
o
cos(t);Ia soluo do problema homogneo y(x , t) = Y (x)T (t)
Ipermitiu a determinao de Y (x) impondo as condies decontorno.
IT (t) permaneceu uma funo indeterminada.
-
Os modos descrevem todos os deslocamentos possveis para as
condies de contorno dadas. Para o problema os modos so:
Y
n
(x) = cn
[sinh(n
x) sin(n
x) + n
(cos(n
x) cosh(n
x))]
sendo n
= sinh(nLsin(nL)cos(n
Lcosh(n
L) os modos satisfazem a equao
resultante da separao de variveis y(x , t) = Y (x)T (t)
4Yn
(x)
x4 4n
Y
n
(x) = 0 ou4Yn
(x)
x4=2n
C
2
Y
n
(x)
Substituindo y(x , t) = Y (x)T (t) na equao de movimento
AYn
(x)2T (t)
t2+ EIT (t)d
4
Y
n
(x)
dx
4
= Fo
cos(t)(x L2
)
AYn
(x)2T (t)
t2+ EIT (t)
2n
C
2
Y
n
(x) = Fo
cos(t)(x L2
)
-
como C
2 = EIA
AYn
(x)2T (t)
t2+ EIT (t)
2n
A
EI
Y
n
(x) = Fo
cos(t)(x L2
)
fazendo as simplicaes
Y
n
(x)2T (t)
t2+ 2n
Y
n
(x)T (t) =F
o
Acos(t)(x L2
)
empregando a ortogonalidade dos modos
In 6= k ento L0
Y
k
(x)Yn
(x)dx = 0;
In = k logo
L
0
Y
k
(x)Yn
(x)dx 6= 0;IImpondo a condio
L
0
Y
k
(x)Yn
(x)dx = L2
o problema ter soluo apenas para o n-simo modo
-
Usando a ortogonalidade dos modos, multiplicando por Y
n
e
integrando de 0 a LL
0
Y
n
(x)Yn
(x)2T (t)
t2dx + 2n
L
0
Y
n
(x)Yn
(x)T (t)dx = . . .
. . . =F
o
Acos(t)
L
0
Y
n
(x)(x L2
)dx
L
2
2T (t)
t2+ 2n
L
2
T (t) =F
o
Acos(t)Yn
(L
2
)
2T (t)
t2+ 2n
T (t) =2F
o
ALcos(t)Yn
(L
2
)
O termo Y
n
(L2
) implica em que s haver soluo para modos em
que Y
n
(L2
) 6= 0, para o problema haver apenas modos mpares.
-
O problema foi reduzido a uma srie innita de equaes de 2
a
ordem com coecientes constantes cuja soluo ser dada por
T
n
(t) = Xn
cos(t), que substituida na equao original
2Xn
cos(t) + 2n
X
n
cos(t) =2F
o
ALcos(t)Yn
(L
2
)
X
n
=2F
o
Y
n
(L2
)
AL
1
2n
2A soluo completa ser ento:
y(x , t) =n=1
Y
n
(x)2F
o
Y
n
(L2
)
AL
cos(t)
2n
2
-
Para soluo completa do problema a constante que multiplica o
modo c
n
deve ser determinada:
Y
n
(x) = cn
[sinh(n
x) sin(n
x) + n
(cos(n
x) cosh(n
x))]L
0
Y
n
(x)Yn
(x) =L
2
fazendo Y
n
= cn
W
n
(x)
L
0
c
2
n
W
n
(x)2dx =L
2
portanto c
n
=
L
2
L
0
W
n
(x)2dx
-
Problemas de Valor Inicial
Viga apoiada(rotulada)-apoiada, com rigidez, EI , e rea, A,
constantes ao longo de L, apresenta deslocamento inicial y
o
(x) evelocidade y
o
(x) conhecidos. Determine y(x , t) para o sistema.Equao de movimento
A2y
t2+ EId
4
y
dx
4
= 0
Empregando a separao de variveis y(x , t) = Y (x)T (t) usandoas bases modais, Y
n
(t), para Y (x)
AYn
(x)2T (t)
t2+ EIT (t)d
4
Y
n
(x)
dx
4
= 0
como
4Yn
(x)
x4=2n
C
2
Y
n
(x)
-
substituindo na equao resulta em
AYn
(x)2T (t)
t2+ EIT (t)
2n
A
EI
Y
n
(x) = 0
Simplicando a expresso, multiplicando por Y
n
e usando a
ortogonalidade dos modos integrando de 0 a LL
0
Y
n
(x)Yn
(x)2T (t)
t2dx + 2n
L
0
Y
n
(x)Yn
(x)T (t)dx = 0
L
2
2T (t)
t2+ 2n
L
2
T (t) = 0
2T (t)
t2+ 2n
T (t) = 0
-
A soluo para o problema conhecida,
T
n
(t) = An
cos(n
t) + Bn
sin(n
t) aplicando as condies decontorno resulta:
T
n
(t) = yon
cos(n
t) +y
o
n
n
sin(n
t)
y
o
n
6= yo
(x), yon
=? e yon
6= yo
(x), yon
=?
Para que y
o
(x) faa parte da soluo
y(x , 0) = yo
(x)
como y(x , t) =Y
n
T
n
, multiplicando a expresso acima por
Y
n
(x), usando a ortogonalidade dos modos integrando de 0 a Lresulta em:L
0
Y
n
(x)Yn
(x)Tn
(0)dx =
L
0
Y
n
(x)yo
(x)dx
-
Arbitrando
L
0
Y
k
(x)Yn
(x)dx = L2
T
n
(0) = yon
=2
L
L
0
Y
n
(x)yo
(x)dx
onde a constante c
n
, Y
n
= cn
W
n
(x)
c
n
=
L
2
L
0
W
n
(x)2dx
-
Para que y
o
(x) faa parte da soluo
y
t(x , 0) = yo
(x) Yn
(x)T (0) = yo
(x)
como y(x , t) =Y
n
T
n
, multiplicando a expresso acima por
Y
n
(x), usando a ortogonalidade dos modos integrando de 0 a Lresulta em:L
0
Y
n
(x)Yn
(x)Tn
(0)dx =
L
0
Y
n
(x)yo
(x)dx
logo
T
n
(0) = yon
=2
L
L
0
Y
n
(x)yo
(x)dx
-
A soluo ser ento:
y(x , t) =n=1
Y
n
(x)
[y
o
n
cos(n
t) +y
o
n
n
sin(n
t)
]