Download - Aula Treliças
1
Escola Superior de Tecnologia (EST)
Universidade do Estado do Amazonas (UEA)
Mecánica I.
Professor: Dr. C. Orestes González Quintero.
Manaus, 2015_1
2
Título: Algunas experiencias en el análisis de armaduras planas
empleando el Método de Elementos Finitos en la docencia de pregrado.
Autores: Orestes González Quintero1, Ana Carolina Grana Araujo
2, James Adler
Wonghon Santana de Sousa3.
1- Dr. C. y Profesor Titular del Dpto. de Ingeniería Mecánica de la Universidad de Matanzas
“Camilo Cienfuegos” y profesor invitado en la Escola Superior de Tecnologia (EST),
Universidade do Estado do Amazonas (UEA). E-mail: [email protected]
2- Bolsista de Iniciación científica de la Escola Superior de Tecnologia (EST), Universidade do
Estado do Amazonas (UEA), estudiante de Ingeniería Naval.
3- Voluntario de Iniciación científica de la Escola Superior de Tecnologia (EST), Universidade do
Estado do Amazonas (UEA), estudiante de Ingeniería Naval.
3
Introdução.
A treliça é um dos principais tipos de estrutura da engenharia, que oferece ao
mesmo tempo, uma solução prática e económica a muitas situações de
engenharia. Uma treliça consiste em barras retas articuladas nas juntas ou nós.
Os problemas relacionados com o cálculo de treliças tratam não apenas da
determinação das forças externas que atuam sobre uma estrutura, mas também
da determinação das forças internas que mantém unidas as varias partes da
mesma. As treliças são projetadas para suportar cargas e são usualmente
estruturas estacionarias totalmente vinculada, são formadas unicamente por
elementos retilíneos conectados em juntas localizadas nas extremidades de
cada elemento. Dessa forma, nos membros de uma treliça atuam duas forças de
mesmo módulo e direção, porém de sentidos opostos.
O elemento de treliça plana. Equações básicas.
4
O elemento de treliça plana é um elemento finito de duas dimensões com
coordenadas locais e globais. Caracteriza-se por uma função de forma linear. O
elemento de treliça plana tem módulo de elasticidade E, área de seção
transversal A, e longitude L. Cada elemento de treliça plana tem dois nós e está
inclinado com um ângulo medido no sentido contrário aos ponteiros do relógio
a partir do eixo global X positivo como é mostrado na figura abaixo,
Neste caso a matriz de rigidez do elemento é dada por:
sendo C = cos e S = sen.
É claro que o elemento de treliça plana tem quatro graus de liberdade, dois em
cada nó. Consequentemente para uma estrutura com n nós, a matriz global de
5
rigidez K será de tamanho 2 n x 2 n (devido a que temos dois graus de liberdade
em cada nó). A matriz global de rigidez K é ensamblada fazendo chamadas à
função do MATLAB PlaneTrussAssemble que está escrita especificamente
com este propósito. Este processo será ilustrado em detalhe nos exemplos.
Uma vez que a matriz K é obtida temos a seguinte equação de estrutura:
[K] {U} = {F}
Onde U é o vetor global de deslocamento dos nós e F é o vetor global de força
nos nós.
Neste passo as condições de fronteira são aplicadas manualmente para os
vetores U e F. Então a matriz é resolvida por partição e eliminação
Gaussiana.
Finalmente uma vez que os deslocamentos e reações desconhecidas são
encontrados as forças em cada elemento são obtidas como segue:
6
Onde f é a força no elemento (é escalar) e {u} é o vetor 4 x 1 de deslocamento
do elemento. A tensão no elemento é obtida dividindo a força no elemento pela
área da seção transversal A.
Se existir um apoio inclinado em uno dos nós da treliça então a matriz de rigidez
global precisa ser modificada usando a seguinte equação:
Onde T é a matriz de transformação que é obtida fazendo uma chamada à
função do MATLAB PlaneTrussInclinedSupport.
7
O apoio inclinado se assume como o nó i com um
ângulo de inclinação alpha como mostra a figura à
direita.
Funções do MATLAB.
As seis funções do MATLAB usadas para o elemento de treliça plana são:
PlaneTrussElementLength(x1, y1, x2, y2)
PlaneTrussElementStiffness(E, A, L, theta)
PlaneTrussAssemble(K, k, i, j)
PlaneTrussElementForce(E, A, L, theta, u)
PlaneTrussElementStress(E, L, theta, u)
PlaneTrussInclinedSupport(T , i, alpha)
8
Estudio de caso:
Considere a treliça plaina que se mostra na seguinte figura. Conhece-se que:
Módulo de elasticidade E = 70 GPa
Área da seção transversal A = 0.004 m2
Determine:
1. a matriz global de rigidez para a estrutura. 2. o deslocamento vertical do nó 2. 3. as reações nos nós 1 e 3. 4. as tensões nos elementos. 5. a força em cada elemento.
9
Solución: Los seis pasos para solucionar el problema usando el MEF están resumidos
como sigue:
Discretización del dominio
Escritura de la matriz de rigidez de cada elemento
Ensamblado de la matriz global de rigidez.
Aplicación de las condiciones de frontera.
Solución de las ecuaciones
Postprocesamiento
En los pasos anteriormente citados se observa que el proceso de solución involucra una combinación de MATLAB y algunas operaciones manuales limitadas. Las operaciones manuales en apariencia son muy simples ocupándose sólo de discretización (en los problemas de armaduras planas el dominio ya está subdividido, en este caso en tres elementos y tres nudos.), aplicación de las condiciones de frontera (paso 4) y división en partes la matriz global de rigidez (parte del paso 5).
10
Todos los cálculos tediosos, largos y repetitivos serán realizados usando MATLAB con el empleo de las funciones elaboradas al efecto.
En las preguntas que siguen la cantidad de filas de las tablas depende
de la cantidad de elementos de la armadura. Cada elemento tiene dos
nudos com dos grados de libertad cada uno.
11
Preguntas que se proponen para el desarrollo de habilidades
em la selección de las datos que se precisam em cada passo
del problema.
1. Confeccione la tabla de conectividad de los elementos de la armadura plana
de la figura:
ELEMENTO No. NODOS
i j
1 1 2
2 2 3 3 3 1
2. Determine las coordenadas de los nodos de cada elemento:
ELEMENTO No. COORDENADAS DE LOS NODOS
m
X1 Y1 X2 Y2
1 0 0.5 1.575 0.5
2 1.575 0.5 0.375 0 3 0.375 0 0 0.5
12
3. Determine el ángulo de inclinación, ,de cada elemento, medido en el
sentido contrario a los punteros del reloj desde el eje global X positivo.
4. Acerca de las condiciones de frontera del problema responda:
a) Determine los desplazamientos de cada nudo.
NUDOS DESPLAZAMIENTOS
Nudo 1 u1x 0
u1y 0
Nudo 2 U2x ?
u2y ?
Nudo 3 U3x ?
U3y 0
ELEMENTO No.
Theta () grados
1 0 2 180+atan(0.5/1.2)*180/pi
3 90+atan(0.375/0.5)*180/pi
13
b) Plantee el vector de deslocamento atendendo al resultado de la
pregunta anterior.
U=
0
0
U2x
u2y
U3x
0
c) Determine las fuerzas que actúan en cada nudo.
NUDOS FUERZAS
Nudo 1 F1x 0
F1y ?
Nudo 2 F2x 0
F2y 1,2 kN
Nudo 3 F3x 0
F3y ?
14
d) Plantee el vector de fuerzas atendendo al resultado de la pregunta
anterior.
F=
0
F1y
0
1,2
0
F3y
5. De la matriz K extraiga la submatriz k formada por las filas tercera, cuarta y
quinta y columnas tercera, cuarta y quinta.
K =1,0e+05*
3,3906 -2,1504 -1,7778 0,0000 -1,6128 2,1504 -2,1504 2,8672 0,0000 0,0000 2,1504 -2,8672 -1,7778 0,0000 2,0749 0,7427 -0,2971 -0,7427 0,0000 0,0000 0,7427 1,8568 -0,7427 -1,8568
-1,6128 2,1504 -0,2971 -0,7427 1,9099 -1,4077 2,1504 -2,8672 -0,7427 -1,8568 -1,4077 4,7240
Posible respuesta (más general, aplicable a casos donde filas y columnas a
selecionar no sean consecutivas):
k=[K(3,3) K(3,4) K(3,5) ; K(4,3) K(4,4) K(4,5) ; K(5,3) K(5,4) K(5,5)]
15
k =1,0e+05*
2,0749 0,7427 -0,2971 0,7427 1,8568 -0,7427
-0,2971 -0,7427 1,9099
En este caso específico se obtiene el mismo resultado de la siguiente
manera:
k=K(3:5, 3:5)
6. Partiendo del vector global de desplazamiento y la tabla de conectividad de
los elementos, plantee el vector de desplazamiento de cada elemento.
U=
0 0
-2,70e-06 8,73e-06 2,98e-06
0
ELEMENTO No.
NODOS
i j
1 1 2
2 2 3 3 3 1
16
u1=
U(1)
u2=
U(3)
u3=
U(5) U(2) U(4) U(6) U(3) U(5) U(1)
U(4) U(6) U(2)
Anexo:
Código do MATLAB completo, para a solução deste problema:
clear all
clc
E=70e6; A=0.004; L1=1.575; theta1=0;
L2= ArmaduraPlanaLongitudElemento(1.575,0.5,0.375,0);
theta2= 180+atan(0.5/1.2)*180/pi;
L3= ArmaduraPlanaLongitudElemento(0.375,0,0,0.5);
theta3=90+atan(0.375/0.5)*180/pi;
17
%
k1= ArmaduraPlanaRigidezElemento(E,A,L1,theta1)
k2= ArmaduraPlanaRigidezElemento(E,A,L2,theta2)
k3= ArmaduraPlanaRigidezElemento(E,A,L3,theta3)
K=zeros(6,6)
K=PlaneTrussAssemble(K,k1,1,2)
K=PlaneTrussAssemble(K,k2,2,3)
K=PlaneTrussAssemble(K,k3,3,1)
k=[K(3,3) K(3,4) K(3,5) ; K(4,3) K(4,4) K(4,5) ; K(5,3) K(5,4) K(5,5)]
f=[0 ; 1.2; 0]
u=k\f
%
18
U=[0 ; 0 ; u(1); u(2); u(3); 0]
F=K*U
u1=[U(1) ; U(2) ; U(3) ; U(4)]
sigma1= ArmaduraPlanaTensiónElemento(E,L1,theta1,u1)
u2=[U(3) ; U(4) ; U(5) ; U(6)]
sigma2= ArmaduraPlanaTensiónElemento(E,L2,theta2,u2)
u3=[ U(5) ; U(6) ; U(1) ; U(2)]
sigma3= ArmaduraPlanaTensiónElemento (E,L3,theta3,u3)
f1=sigma1*A
f2=sigma2*A
f3=sigma3*A
19
Considere as treliças planas que se mostram nas seguintes figuras. Conhece-se
que:
Módulo de elasticidade E = 200 GPa
Área da seção transversal A = 0.005 m2
Determine:
1. a matriz global de rigidez para a
estrutura.
2. o deslocamento vertical (ou horizontal no
primer caso) dos nós sem apoio.
3. as reações nos nós 1 e 3.
4. as tensões nos elementos.
5. a força em cada elemento.
É preciso fixar uma origem de coordenadas
global em cada caso, numerar os nós e os
elementos.
20