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Aula 02
Norma e produto interno
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Norma
Já vimos que o comprimento de um vetor V é definido como sendo o comprimento de qualquer um dos segmentos orientados que o representam.
Tal comprimento também é chamado de norma V e é denotado por .
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Norma
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Exemplo 1
Determine a norma do vetor V = (1,−2, 3).Solução:
Obs.: Um vetor de norma igual a 1 é chamado vetor unitário.
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Distância entre dois pontos
A distância entre dois pontos é igual à
norma do vetor .Como , então
a distância de P a Q é dada por
Se
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Exemplo 2
Determine a distância entre os pontos
P = (2,−3, 1) e Q = (−1, 4, 5).Solução:
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Observação
Se e é um escalar, então da definição da multiplicação de vetor por escalar e da norma de um vetor temos:
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Observação
Dado um vetor V não nulo, o vetor
é um vetor unitário na direção de V , pois
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Exemplo
Determine um vetor unitário na direção do vetor V = (1,−2, 3) .
Solução:
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Ângulo entre vetores
O ângulo entre dois vetores não nulos, V e
W, é definido pelo ângulo determinado
por V e W que satisfaz 0 ≤ ≤
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Vetores ortogonais
Quando o ângulo entre dois vetores V e W é reto ( = /2), ou um deles é o vetor nulo, dizemos que os vetores V e W são ortogonais ou perpendiculares entre si.
VW / 2
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Produto Escalar ou Interno
O produto escalar ou interno de dois vetores V e W é definido por
em que é o ângulo entre eles.
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Observação
Quando os vetores são dados em termos das suas componentes não sabemos diretamente o ângulo entre eles.
Por isso, precisamos de uma forma de calcular o produto escalar que não necessite do ângulo entre os vetores.
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Lei dos cossenos
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Cálculo do Produto interno
em (1) os termos e são cancelados e obtemos
(1)
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Resultado
O produto escalar ou interno, V W⋅ , entre dois vetores é um número dado por
se e
e por
se e .
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Exemplo
Sejam V = (0, 1, 0) e W = (2, 2, 3).
Determine o produto escalar de V por W.Solução:
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Ângulo entre vetores
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Exemplo
Determinar o ângulo entre uma diagonal de um cubo e uma de suas arestas.
Solução:
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Propriedades
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Projeção Ortogonal
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Projeção Ortogonal
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Projeção Ortogonal
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Demonstração
( )IIDaí,
( )I
( )II
( )I
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Exemplo
,
.
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Solução
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Obrigado !
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Aula disponível emwww.mat.ufam.edu.br/Disney
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