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Aula 5
Prof. Tiago de Azevedo Santos
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Enviei os slides de todas as aulas para ogrupo, incluindo a lista de exerccios.
Prova dia 07/04/2014.
Entrega da lista de exerccios at o dia daprova.
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Na ultima aula vimos que...
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J sabemos que em todo problema deprogramao linear (PPL) com soluo, asoluo tima est sempre em um vrtice;
Desse conhecimento podemos extrair duaspropriedades: Se um problema de otimizao linear tem uma
soluo tima, ento existe um vrtice timo.
Se uma soluo tima, ento ela um vrtice.
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Sabendo dessas propriedades, se formoscapazes de pesquisar em todos os vrtices,iremos encontrar a soluo tima;
Podemos fazer melhor???
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Se a partir de um vrtice, formos sempre paraoutro vrtice melhor iremos chegar nasoluo tima de forma mais rpida;
Basicamente essa a forma que o mtodosimplex funciona.
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Este mtodo foi criado por George Dantzig e muito utilizado para a resoluo deproblemas de programao linear, servindode base inclusive para muitos softwaresresolvedores;
Podemos nos perguntar, porque no utilizaro mtodo grfico?;
Como ficaria um grfico com trs variveispor exemplo?
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Max P = 20x1 + 10x2 + 15x3Sujeito a: 3x1 + 2x2 + 5x3 55
2x1 + x2 + x3 26x1 + x2 + 3x3 305x1 + 2x2 + 4x3 57x1 , x2 , x3 0
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X2
X1
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Noes de espao vetorial (2, 7) -> vetor do R
(7, -5, 8) -> vetor do R
(9, 3, ..., n) -> vetor do Rn
Combinao Linear de vetores Dados um grupo de vetores de um determinado
espao, podemos multiplicar cada um deles por umnmero qualquer e somar os resultados. O vetorobtido uma combinao linear dos vetores.
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Exemplo
Mostrar que o vetor (11, 8) pode ser escrito comocombinao linear dos vetores (3, 4) e (1, 2);
Mostrar que o vetor (3, 4) no pode ser escritocomo combinao linear dos vetores (1, 2) e (4, 8);
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Se um vetor no pode ser escrito comocombinao linear de um grupo de vetoresdizemos que este linearmenteindependente dos vetores do grupo.
A base de um espao vetorial um geradordo espao, isto , qualquer vetor do espaopode ser obtido como combinao linear dosvetores da base.
A combinao linear para gerar um vetor apartir da base resulta num sistema deequaes que tem soluo nica.
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Outras formas de escrever um problema deprogramao linear:
Maximizar f = ctx
Sujeito a
Ax b ou
x 0
njx
bxa
xcMaximizar
j
jjj
jj
n
j
n
j
,...,1,0
1
1
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Outras formas de escrever um problema deprogramao linear:
Maximizar Z = c1x1 + c2x2 + c3x3 + ... + cnxnSujeito a
a11x1 + a12x2 + a13x3 + ... + a1nxn b1a21x1 + a22x2 + a23x3 + ... + a2nxn b2a31x1 + a32x2 + a33x3 + ... + a3nxn b3x1, x2, x3 , ..., xn 0
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Outras formas de escrever um problema deprogramao linear:
Maximizar Z = c1x1 + c2x2 + c3x3Sujeito a
a11 a12 a13 x1 b1a21 a22 a23 x2 b2a31 a32 a33 x3 b3
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Outras formas de escrever um problema deprogramao linear:
Maximizar Z = c1x1 + c2x2 + c3x3Sujeito a
a11 a12 a13 x1 b1a21 a22 a23 x2 b2a31 a32 a33 x3 b3
Dizemos que essa uma matriz mxn. Isso significa que ela tem m
restries e n variveis. Essa matriz tambm conhecida como
matriz tecnolgica.
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Forma padro (standard) de problemas deprogramao linear: Qualquer problema de programao linear pode ser
escrito na forma padro;
Para que um problema esteja na forma padro necessrio que:
todas as restries sejam de igualdade;
todas as variveis so no negativas ( 0);
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Passos para a transformao do problemaem sua forma padro: Restries do tipo e so transformadas em
restries de igualdade por meio da introduo devariveis de folga;
Em restries do tipo , substitumos a desigualdade pelaigualdade e adicionamos uma varivel de folga positiva;
Em restries do tipo , substitumos a desigualdade pelaigualdade e adicionamos uma varivel de folga negativa;
Variveis livres de sinal so substitudas pela diferenaduas variveis no negativas.
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Exemplo (maximizao)
Maximizar Z = c1x1 + c2x2 + c3x3 + ... + cnxnSujeito a
a11x1 + a12x2 + a13x3 + ... + a1nxn b1a21x1 + a22x2 + a23x3 + ... + a2nxn b2a31x1 + a32x2 + a33x3 + ... + a3nxn b3x1, x2, x3 , ..., xn 0
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Exemplo (maximizao)
Maximizar Z = c1x1 + c2x2 + c3x3 + ... + cnxnSujeito a
a11x1 + a12x2 + a13x3 + ... + a1nxn + f1 = b1a21x1 + a22x2 + a23x3 + ... + a2nxn + f2 = b2a31x1 + a32x2 + a33x3 + ... + a3nxn + f3 = b3x1, x2, x3 , ..., xn, f1, f2, f3 0
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Exemplo (maximizao):
Formato Cannico
Max Z = 2X1 + 5X2Sujeito a:
3X1 + 5X2 62X1 + 6X2 10X1 0X2 0
Formato Padro
Max Z = 2X1 + 5X2Sujeito a:
3X1 + 5X2 + X3 = 6
2X1 + 6X2 +X4 = 10
X1, X2, X3, X4 0
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Exemplo (minimizao)
Minimizar Z = c1x1 + c2x2 + c3x3 + ... + cnxnSujeito a
a11x1 + a12x2 + a13x3 + ... + a1nxn b1a21x1 + a22x2 + a23x3 + ... + a2nxn b2a31x1 + a32x2 + a33x3 + ... + a3nxn b3x1, x2, x3 , ..., xn 0
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Exemplo (minimizao)
Maximizar Z = - c1x1 - c2x2 - c3x3 - ... - cnxnSujeito a
a11x1 + a12x2 + a13x3 + ... + a1nxn - f1 = b1a21x1 + a22x2 + a23x3 + ... + a2nxn - f2 = b2a31x1 + a32x2 + a33x3 + ... + a3nxn - f3 = b3x1, x2, x3 , ..., xn, f1, f2, f3 0
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Exemplo (minimizao):
Formato Cannico
Min Z = 3X1 + 6X2Sujeito a:
2X1 + 4X2 84X1 + 7X2 12X1 0X2 0
Formato Padro
Max - Z = - 3X1 - 6X2Sujeito a:
2X1 + 4X2 X3 = 84X1 + 7X2 X4 = 12X1, X2, X3, X4 0
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Mas como o simplex funciona?
Vejamos um exemplo.
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Exemplo:
Max Z = 120X1 + 150X2
Sujeito a:
2X1 + 4X2 1005X1 + 3X2 120X1 0X2 0
X2
X1
2X1 + 4X2 100
5X1 + 3X2 120
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Max Z = 120X1 + 150X2
Sujeito a:
2X1 + 4X2 1005X1 + 3X2 120X1 0X2 0
Primeiro passo colocar o problema de
programao linear no formato padro.
Max Z = 120X1 + 150X2
Sujeito a:
2X1 + 4X2 + X3 = 100
5X1 + 3X2 + X4 = 120
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O problema passa a ter 4 variveis em vez das 2
primeiras.
Max Z = 120X1 + 150X2
Sujeito a:
2X1 + 4X2 + X3 = 100
5X1 + 3X2 + X4 = 120
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Porm, qualquer ponto em R determina
unicamente essas 4 variveis, ou seja, qualquer
par X1 e X2, podemos determinar os valores das
variveis restantes.
Max Z = 120X1 + 150X2
Sujeito a:
2X1 + 4X2 + X3 = 100
5X1 + 3X2 + X4 = 120
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Reescrevendo o sistema em forma matricial
temos:
Max Z = 120X1 + 150X2
Sujeito a:
2 4 1 0 X1 = 100
5 3 0 1 X2 = 120
X3
X4
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Reescrevendo o sistema em forma matricial
temos:
Max Z = 120X1 + 150X2
Sujeito a:
2 4 1 0 X1 = 100
5 3 0 1 X2 = 120
X3
X4
Os vetores que
aparecem nas colunas
so vetores do R. Uma
base do R constituda
de 2 vetores linearmente
independentes.
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Reescrevendo o sistema em forma matricial
temos:
Max Z = 120X1 + 150X2
Sujeito a:
2 4 1 0 X1 = 100
5 3 0 1 X2 = 120
X3
X4
Uma soluo bsica do
sistema pode ser obtida
zerando-se 2 variveis,
reduzindo o sistema a
uma base de 2 vetores.
Os vetores que
aparecem nas colunas
so vetores do R. Uma
base do R constituda
de 2 vetores linearmente
independentes.
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Exemplo:
Max Z = 120X1 + 150X2
Sujeito a:
2X1 + 4X2 + X3 = 100
5X1 + 3X2 + X4 = 120
X2
X1
2X1 + 4X2 100
5X1 + 3X2 120
AB
CD
E
F