Integrais Impróprias
Prof.: Rogério Dias Dalla Riva
UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSOCAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP
CURSO DE ENGENHARIA CIVILDISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I
FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS
Integrais Impróprias
1.Integrais impróprias
2.Integrais com limites de integração infinitos
3.Integrais com integrando infinito
4.Aplicação
1. Integrais impróprias
A definição da integral definida
( )b
af x dx∫
exige que o intervalo [a, b] seja finito e que f sejalimitada em [a, b].
1. Integrais impróprias
Nesta aula vamos estudar integrais que nãosatisfazem essas exigências por uma das razõesabaixo:
1. Pelo menos um dos limites de integração éinfinito.
2. f tem uma descontinuidade infinita no intervalo[a, b].
1. Integrais impróprias
As integrais que apresentam uma dessascaracterísticas são denominadas de integraisimpróprias. Por exemplo, as integrais
20
1 e
1xe dx dx
x
∞ ∞−
−∞ +∫ ∫
são impróprias porque pelo menos um dos limitesde integração é infinito, como mostram as figurasa seguir.
1. Integrais impróprias
1. Integrais impróprias
Analogamente, as integrais
( )5 2
21 2
1 1 e
1 1dx dx
x x−− +∫ ∫
são impróprias, porque seus integrandos tendempara infinito em algum ponto do intervalo deintegração, conforme mostrado nas figuras aseguir.
1. Integrais impróprias
2. Integrais com limites deintegração infinitos
Para vermos como calcular uma integralimprópria, consideremos a integral da figuraabaixo
2. Integrais com limites deintegração infinitos
211
1 1 1 11 1
bb
dxx x b b
= − = − + = −
∫
Desde que b seja um número real maior doque 1 (não importando qual), trata-se de umaintegral definida cujo valor é
2. Integrais com limites deintegração infinitos
A tabela abaixo dá os valores desta integralpara diversos valores de b.
b
2 0,5000
5 0,8000
10 0,9000
100 0,9900
1.000 0,9990
10.000 0,9999
21
1 11
bdx
x b= −∫
2. Integrais com limites deintegração infinitos
2 21 1
1 1 1lim lim 1 1
b
b bdx dx
x x b
∞
→∞ →∞
= = − =
∫ ∫
Por esta tabela, é visível que o valor daintegral se aproxima de um limite quando baumenta ilimitadamente. Este limite érepresentado pela seguinte integral imprópria.
2. Integrais com limites deintegração infinitos
Integrais Impróprias (Limites de Integração Infinitos)
1. Se f é contínua em [a, ∞), então
2. Se f é contínua em (- ∞, b], então
3. Se f é contínua em (- ∞, ∞), então
( ) lim ( )b
a abf x dx f x dx
∞
→∞=∫ ∫
( ) lim ( )b b
aaf x dx f x dx
−∞ →−∞=∫ ∫
( ) ( ) ( ) c
ccf x dx f x dx f x dx
∞ ∞
−∞ −∞∈= +∫ ∫ ∫ ℝ
2. Integrais com limites deintegração infinitos
Em qualquer caso, se o limite existe, aintegral imprópria converge; em caso contrário, aintegral imprópria diverge.
Assim, no terceiro caso, a integral divergiráse qualquer uma das integrais à direita divergir.
2. Integrais com limites deintegração infinitos
Exemplo 1: Determine a convergência ou adivergência da integral imprópria
1
1dx
x
∞
∫
2. Integrais com limites deintegração infinitos
Comecemos aplicando a definição de integralimprópria
1 1
1 1lim
b
bdx dx
x x
∞
→∞=∫ ∫
[ ]1lim ln
b
bx
→∞=
( )lim ln 0b
b→∞
= −
= ∞
Definição de integral imprópria
Determinando a antiderivada
Aplicando o Teorema Fundamental
Calculando o limite
2. Integrais com limites deintegração infinitos
Como o limite é infinito, a integral imprópriadiverge.
2. Integrais com limites deintegração infinitos
Ao começar a trabalhar com integraisimpróprias, começaremos a observar que integraisaparentemente semelhantes podem ter valoresmuito diferentes.
Considere, por exemplo, as duas integraisimpróprias
Integral divergente1
1 dx
x
∞= ∞∫
Integral convergente21
11 dx
x
∞=∫
2. Integrais com limites deintegração infinitos
A primeira diverge e a segunda convergepara 1. Graficamente, isto significa que as áreasmostradas na figura abaixo são muito diferentes.
2. Integrais com limites deintegração infinitos
A região compreendida entre o gráfico (àesquerda) da figura anterior e o eixo x (para x ≥ 1)tem área infinita, e a região entre o gráfico (àdireita) e o eixo x (para x ≥ 1) tem área finita.
2. Integrais com limites deintegração infinitos
Exemplo 2: Calcule a integral imprópria
( )0
32
1
1 2dx
x−∞ −∫
2. Integrais com limites deintegração infinitos
Comecemos aplicando a definição de integralimprópria
( ) ( )0 0
3 32 2
1 1lim
1 2 1 2aadx dx
x x−∞ →−∞=
− −∫ ∫
01
lim1 2a
ax→−∞
= −
1lim 1
1 2a a→−∞
= − −
1 0 1= − =
Definição de integral imprópria
Determinando a antiderivada
Aplicando o Teorema Fundamental
Calculando o limite
2. Integrais com limites deintegração infinitos
Assim, a integral imprópria converge para 1.Conforme mostra a figura abaixo, isto implica quea região entre o gráfico de y = 1/(1 – 2x)3/2 e oeixo x (para x ≤ 0) tem área 1.
2. Integrais com limites deintegração infinitos
Exemplo 3: Calcule a integral imprópria
2
02 xxe dx
∞ −∫
2. Integrais com limites deintegração infinitos
Apliquemos inicialmente a definição deintegral imprópria
2 2
0 02 lim 2
bx x
bxe dx xe dx
∞ − −
→∞=∫ ∫
2
0lim
bx
be−
→∞ = −
( )2
lim 1b
be−
→∞= − +
0 1 1= + =
Definição de integral imprópria
Determinando a antiderivada
Aplicando o Teorema Fundamental
Calculando o limite
2. Integrais com limites deintegração infinitos
Assim, a integral imprópria converge para 1.Conforme mostrado na figura abaixo, isto implicaque a região compreendida entre o gráfico dafunção dada e o eixo x (para x ≥ 0) tem área 1.
3. Integrais com integrandoinfinito
Integrais Impróprias (Integrando Infinito)
1. Se f é contínua no intervalo [a, b), e tende para infinitoem b, então
2. Se f é contínua em (a, b], e tende para infinito em a,então
( ) lim ( )b c
a ac bf x dx f x dx
−→=∫ ∫
( ) lim ( )b b
a cc af x dx f x dx
+→=∫ ∫
3. Integrais com integrandoinfinito
Integrais Impróprias (Integrando Infinito)
3. Se f é contínua em [a, b], exceto em algum ponto c de(a, b), no qual f tende para infinito, então
( ) ( ) ( )b c b
a a cf x dx f x dx f x dx= +∫ ∫ ∫
Em cada caso, se o limite existe, a integralimprópria converge; caso contrário, a integralimprópria diverge.
3. Integrais com integrandoinfinito
Exemplo 4: Calcule a integral imprópria
2
31
1
1dx
x −∫
3. Integrais com integrandoinfinito
2 2
3 31 1
1 1lim
1 1bbdx dx
x x+→=
− −∫ ∫ Definição de integral imprópria
Determinando a antiderivada
Aplicando o Teorema Fundamental
Calculando o limite
( )2
23
1
3lim 1
2bb
x+→
= −
( )2
23
1
3 3lim 1
2 2bb
b+→
= − −
3 30
2 2= − =
3. Integrais com integrandoinfinito
Assim, a integral converge para 3/2, o queimplica que a área mostrada na figura abaixo temárea 3/2.
3. Integrais com integrandoinfinito
Exemplo 5: Calcule a integral imprópria
2
21
22
dxx x−∫
3. Integrais com integrandoinfinito
2 2
21 1
2 1 12 2
dx dxx x x x
= − − − ∫ ∫ Decompondo em frações
parciais
Definição de integralimprópria
Determinando a antiderivada
Calculando o limite
12lim ln 2 ln
b
bx x
−→ = − −
= −∞
12
1 1lim
2
b
bdx
x x−→
= − − ∫
3. Integrais com integrandoinfinito
Podemos, então, concluir que a integraldiverge. Isto implica que a região mostrada nafigura abaixo tem área infinita.
3. Integrais com integrandoinfinito
Exemplo 6: Calcule a integral imprópria
2
31
1dx
x−∫
3. Integrais com integrandoinfinito
Esta integral é imprópria porque o integrandotem uma descontinuidade infinita no valor interior x = 0,conforme se vê na figura abaixo.
3. Integrais com integrandoinfinito
Podemos, pois, escrever
2 0 2
3 3 31 1 0
1 1 1dx dx dx
x x x− −= +∫ ∫ ∫
Aplicando a definição de integral imprópria,mostra-se que ambas as integrais divergem.Portanto, a integral original também diverge.
3. Integrais com integrandoinfinito
OBS: Se não tivéssemos reconhecido que aintegral do Exemplo 6 é imprópria, teríamoschegado ao resultado incorreto
22
3 211
Incorreto1 1 1 1 3
2 8 2 8
dxx x−
−
= − = − + =
∫
3. Integrais com integrandoinfinito
As integrais impróprias em que o integrandotem uma descontinuidade infinita entre os limitesde integração são frequentemente esquecidas.Deve-se ficar atento quanto a tais possibilidades.
4. Aplicação
Exemplo 7: O sólido formado pela revolução, emtorno do eixo x, do gráfico de
1( ) , 1f x x
x= ≤ < ∞
é chamado trombeta de Gabriel (ver figura aseguir). Calcule o volume da trombeta de Gabriel.
4. Aplicação
4. Aplicação
Podemos determinar o volume da trombetaaplicando o Método do Disco
2
1
1Volume dx
x
∞ =
∫ π
21lim
b
bdx
x→∞= ∫
π
1
limb
b x→∞
= −
π
limb b→∞
= −
ππ
= π
Método do disco
Definição de integral imprópria
Determinando a antiderivada
Aplicando o Teorema Fundamental
Calculando o limite
4. Aplicação
Assim, o volume da trombeta de Gabriel é πunidades cúbicas.