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Aula 07 - Momento (formulação vetorial)
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Lembrete:
24/08 – Momento sobre um eixo específico. Momento de um binário
29/08 – Revisão e esclarecimento de dúvidas.
31/08/17 - Prova 01
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Produto vetorial
O produto vetorial de dois vetores A e B produz o vetor C, que éescrito:
C = A x B
e lido como ‘C é igual a A vetor B’.
A intensidade de C é definida como o produto das intensidades de A e B e o seno do ângulo θ entre suas origens (0º ≤ θ ≤ 180º). Logo,
C = AB sen θ.
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Direção
Conhecendo a direção e a intensidade de C, podemos escrever:
C = A × B = (AB sen θ) uC
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Direção
Conhecendo a direção e a intensidade de C, podemos escrever:
C = A × B = (AB sen θ) uC
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Propriedades de operação
A propriedade comutativa não é válida; ou seja, A x B ≠ B x A. Em vez disso,
A x B = –B x A
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Se o produto vetorial for multiplicado por um escalar a, ele obedece à propriedade associativa;
a (A x B) = (aA) x B = A x (aB) = (A x B) a
O produto vetorial também obedece à propriedade distributiva da adição,
A × (B + D) = (A × B) + (A × D)
Propriedades de operação
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Formulação do vetor cartesiano
Como mostra a Figura a seguir, o vetor resultante aponta na direção +k. Portanto, i x j = (1)k.
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Formulação do vetor cartesiano
Para se obter Intensidade do vetor: (i) (j) (sen 90º) = (1) (1) (1) = 1Direção e sentido: Regra da mão direita
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Formulação do vetor cartesiano
Um esquema simples é útil para a obtenção dos mesmos resultados quando for necessário.
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Formulação do vetor cartesiano
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Formulação do vetor cartesiano
Para obter o produto vetorial de quaisquer vetores cartesianos A e B, é necessário expandir um determinante cuja primeira linha de elementos consiste dos vetores unitários i, j e k; e a segunda e terceira linhas são as componentes x, y, z dos dois vetores A e B, respectivamente.
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Momento de uma força – formulação vetorial
MO = r × F
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Intensidade
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Direção
A direção e o sentido do momento são determinados pela regra da mão direita do produto vetorial.
Como o produto vetorial não obedece à propriedade comutativa, a ordem de r × F deve ser mantida para produzir o sentido da direçãocorreta para MO.
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Podemos usar qualquer vetor posição r medido do ponto O a qualquer ponto sobre a linha de ação da força F. Assim,
Princípio da transmissibilidade
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Formulação do vetor cartesiano
Se estabelecermos os eixos coordenados x, y, z, então o vetor posição r e a força F podem ser expressos como vetores cartesianos:
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Formulação do vetor cartesiano
Se o determinante for expandido, temos:MO = (ryFz – rzFy) i – (rxFz – rzFx) j + (rxFy – ryFx) k
O significado físico dessas três componentes do momento se torna evidente ao analisar a Figura:
O poste da Figura está sujeito a uma força de 60N na direção de C para B. Determine a intensidade do momento criado pela força em relação ao suporte em A.
O poste da Figura está sujeito a uma força de 60N na direção de C para B. Determine a intensidade do momento criado pela força em relação ao suporte em A.
O poste da Figura está sujeito a uma força de 60N na direção de C para B. Determine a intensidade do momento criado pela força em relação ao suporte em A.
O poste da Figura está sujeito a uma força de 60N na direção de C para B. Determine a intensidade do momento criado pela força em relação ao suporte em A.
O poste da Figura está sujeito a uma força de 60N na direção de C para B. Determine a intensidade do momento criado pela força em relação ao suporte em A.
O poste da Figura está sujeito a uma força de 60N na direção de C para B. Determine a intensidade do momento criado pela força em relação ao suporte em A.
O poste da Figura está sujeito a uma força de 60N na direção de C para B. Determine a intensidade do momento criado pela força em relação ao suporte em A.
O poste da Figura está sujeito a uma força de 60N na direção de C para B. Determine a intensidade do momento criado pela força em relação ao suporte em A.
Intensidade?
O poste da Figura está sujeito a uma força de 60N na direção de C para B. Determine a intensidade do momento criado pela força em relação ao suporte em A.
O poste da Figura está sujeito a uma força de 60N na direção de C para B. Determine a intensidade do momento criado pela força em relação ao suporte em A.
E os valores dos ângulos?
O poste da Figura está sujeito a uma força de 60N na direção de C para B. Determine a intensidade do momento criado pela força em relação ao suporte em A.
E os valores dos ângulos?uM=MA/MA
MMx1cos
MMy1cos
MMz1cos
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Momento resultante de um sistema de forças
Essa resultante pode ser escrita simbolicamente como:
Três forças atual na barra mostrada. Determine o momento resultante criado pelas forças em relação áflange em O e os ângulos diretores coordenados para o eixo do momento.
Três forças atual na barra mostrada. Determine o momento resultante criado pelas forças em relação áflange em O e os ângulos diretores coordenados para o eixo do momento.
Três forças atual na barra mostrada. Determine o momento resultante criado pelas forças em relação áflange em O e os ângulos diretores coordenados para o eixo do momento.
Três forças atual na barra mostrada. Determine o momento resultante criado pelas forças em relação áflange em O e os ângulos diretores coordenados para o eixo do momento.
Três forças atual na barra mostrada. Determine o momento resultante criado pelas forças em relação áflange em O e os ângulos diretores coordenados para o eixo do momento.
Três forças atual na barra mostrada. Determine o momento resultante criado pelas forças em relação áflange em O e os ângulos diretores coordenados para o eixo do momento.
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O princípio dos momentos
Como F = F1 + F2, temos:MO = r × F = r × (F1 + F2) = r × F1 + r × F2
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Para os problemas bidimensionais: MO = Fxy – Fyx
O princípio dos momentos
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O momento de uma força cria a tendência de um corpo girar em torno de um eixo passando por um ponto específico O.
Usando a regra da mão direita, o sentido da rotação é indicado pela curva dos dedos, e o polegar é direcionado ao longo do eixo do momento, ou linha de ação do momento.
A intensidade do momento é determinada através de MO = Fd, onde d é chamado o braço do momento, que representa a distância perpendicular ou mais curta do ponto O à linha de ação da força.
Pontos importantes
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Em três dimensões, o produto de vetorial é usado para determinar o momento, ou seja, MO = r × F. Lembre-se de que restá direcionado do ponto O a qualquer ponto sobre a linha de ação de F.
O princípio dos momentos afirma que o momento de uma força em relação a um ponto é igual à soma dos momentos das componentes da força em relação ao mesmo ponto.
Pontos importantes
Uma força de 200N atua no suporte. Determine o momento da força em relação ao ponto A.
Uma força de 200N atua no suporte. Determine o momento da força em relação ao ponto A.
Uma força de 200N atua no suporte. Determine o momento da força em relação ao ponto A.Solução I
Uma força de 200N atua no suporte. Determine o momento da força em relação ao ponto A.Solução II
Uma força de 200N atua no suporte. Determine o momento da força em relação ao ponto A.Solução II
A força F é aplicada nos terminais de cada suporte em ângulo. Determine o momento da força em relação ao ponto O.
A força F é aplicada nos terminais de cada suporte em ângulo. Determine o momento da força em relação ao ponto O.Solução I
A força F é aplicada nos terminais de cada suporte em ângulo. Determine o momento da força em relação ao ponto O.Solução II - vetorial
A força F é aplicada nos terminais de cada suporte em ângulo. Determine o momento da força em relação ao ponto O.Solução II - vetorial
Sugeridos: 4.19 a 4.22; 4.27; 4.31; 4.42 a 4.46;