Associacoes EstaveisProposta de Mestrado
Maycon SambinelliOrientador: Orlando Lee
Instituto de Computacao da UNICAMPMestrado em Ciencia da Computacao
29 de junho de 2012
http://goo.gl/hoq2q
Introducao
B Associacoes Estaveis (STM, de Stable Matching)
����
����
����
����
- -
- -
- -
- - -
-
-
-
2a1a
*
*
*
*
a2
a3
an
a10
aa a
2a
aaa
a a a
7 9 1
8 12 n
21 12 1
B Associacao estavel
2 / 20
Introducao
B Associacoes Estaveis (STM, de Stable Matching)
����
����
����
����
- -
- -
- -
- - -
-
-
-
2a1a
*
*
*
*
a2
a3
an
a10
aa a
2a
aaa
a a a
7 9 1
8 12 n
21 12 1
B Associacao estavel
2 / 20
Associacao estavel
Definicao
Uma associacao M e uma associacao estavel para umainstancia do STM se nao existe um par de agentes i e j quepodem ser associados um com o outro, tal que i prefere serassociado a j do que a pM(i), e j prefere ser associado a i doque a pM(j), onde pM(q) se refere ao agente associado a q emM
3 / 20
Exemplo de associacoes
a1 : a3 ≺ a2 ≺ a4
a2 : a4 ≺ a3 ≺ a1
a3 : a4 ≺ a2 ≺ a1
a4 : a3 ≺ a1 ≺ a3
B Uma associacao estavel: (a1, a2), (a3, a4)
B Uma associacao nao estavel: (a1, a3), (a2, a4)
B Nenhum agente pode melhorar sua associacao em umasolucao estavel
4 / 20
Exemplo de associacoes
a1 : a3 ≺ a2 ≺ a4
a2 : a4 ≺ a3 ≺ a1
a3 : a4 ≺ a2 ≺ a1
a4 : a3 ≺ a1 ≺ a3
B Uma associacao estavel: (a1, a2), (a3, a4)
B Uma associacao nao estavel: (a1, a3), (a2, a4)
B Nenhum agente pode melhorar sua associacao em umasolucao estavel
4 / 20
Exemplo de associacoes
a1 : a3 ≺ a2 ≺ a4
a2 : a4 ≺ a3 ≺ a1
a3 : a4 ≺ a2 ≺ a1
a4 : a3 ≺ a1 ≺ a3
B Uma associacao estavel: (a1, a2), (a3, a4)
B Uma associacao nao estavel: (a1, a3), (a2, a4)
B Nenhum agente pode melhorar sua associacao em umasolucao estavel
4 / 20
Associacoes estaveis com empates
B STMs podem permitir empates entre agentes na lista depreferencia
• a1: a2 ≺ a3 ≺ a4, a7, a5 ≺ a6 ≺ a8, a10 ≺ a9
5 / 20
Problemas relacionados ao STM
B Associacao estavel “justa”, que maximize a “felicidade”da associacao
B O custo de uma associacao M para um agente i
• i : a4 ≺ a1, a3 ≺ a2
• cM(i) = 1, 2, 2, 3 respectivamente
6 / 20
Problemas relacionados ao STM
Peso de uma associacao
w(M) =∑q∈U
cM(q)
B Uma associacao estavel e igualitaria se ela possui omenor peso entre todas as associacoes estaveis
Arrependimento de uma associacao
r(M) = maxq∈U
cM(q)
B Uma associacao estavel de arrependimento mınimo euma associacao cujo arrependimento e o menor entretodas as associacoes estaveis
7 / 20
Problemas relacionados ao STM
Peso de uma associacao
w(M) =∑q∈U
cM(q)
B Uma associacao estavel e igualitaria se ela possui omenor peso entre todas as associacoes estaveis
Arrependimento de uma associacao
r(M) = maxq∈U
cM(q)
B Uma associacao estavel de arrependimento mınimo euma associacao cujo arrependimento e o menor entretodas as associacoes estaveis
7 / 20
Importancia
B Pode ser generalizado para muitos problemas deaplicacoes praticas para associacoes de esquemacentralizado
B Associacao de residentes: EUA, Canada e Japao
B Atribuicao probatoria de professores aos seus primeirospostos de trabalho na Escocia
B Atribuicao de PEDs do IC
8 / 20
Objetivos
B Estudar diversas versoes do problema de associacaoestavel
B Complexidade dos algoritmos
B Tecnicas para solucao dos problemas
B Contribuicao algorıtmica
9 / 20
Problema do Casamento Estavel (SM)
B Proposto por Gale e Shapley [1]
B Conjunto de n homens e n mulheres, cada um provendouma lista de preferencia linearmente ordenada de todos osmembros do sexo oposto
10 / 20
Problema do Casamento Estavel (SM)
Criterio de Estabilidade
Uma associacao M e estavel para uma instancia do SM se naoexistir um homem m e uma mulher w tal que m prefere w apM(m) e w prefere m a pM(w)
11 / 20
Problema do Casamento Estavel (SM)
B Para qualquer instancia do SM, sempre existe umaassociacao estavel
B O(n2)
B Arrependimento mınimo ou igualitario: polinomial
12 / 20
Problema do Casamento Estavel com Lista
Incompleta (SMI)
B Generalizacao do SM com lista incompleta
B Nao ha mais a obrigacao de classificar todas as pessoas
B i e aceitavel para uma pessoa j se i aparece na lista depreferencia de j , caso contrario ela e inaceitavel
B Resolvıvel em tempo polinomial
13 / 20
Problema do Casamento Estavel com Empates
(SMT)
B Remove a restricao de que a lista de preferencias devemser estritamente ordenadas
B Resolvıvel em tempo polinomial
B O problema de determinar se um casal (m,w) de umainstancia do SMT pertence a uma associacao estavel eNP-completo [3]
B Encontrar uma associacao estavel igualitaria ou dearrependimento mınimo e NP-difıcil [3]
14 / 20
Problema Casamento Estavel com Lista
Incompleta e Empates (SMTI)
B Permite empates e lista incompleta
B Diferente do SM, SMI e SMT o SMTI pode produzirassociacoes estaveis de diversos tamanhos
B O problema de encontrar uma associacao estavel detamanho maximo para o SMTI (MAX-SMTI) eNP-difıcil[2]
B Varias propostas de algoritmos aproximativos
15 / 20
Problema dos Companheiros de Quarto (RM)
B Generalizacao do SM
B Remocao da biparticao do grafo
B Polinomial
B RMT e NP-completo
16 / 20
Problema dos Residentes por Hospitais
B Generalizacao do SMI
B Introduzida por Gale e Shapley [1] com o nome deProblema da Admissoes em Faculdades
B Conjunto de Hospitais, onde cada hospital i possui civagas para residentes
B Cada estudante classifica estritamente um subconjunto dehospitais e cada hospital classifica seus candidatos
B M e uma associacao para o HR se cada estudante estaassociado a no maximo um hospital e cada hospital ipossui no maximo ci estudantes associados a ele
B Polinomial
B HRT, generalizacao do SMTI
17 / 20
Cronograma de atividades
201203 04 05 06 07 08 09 10 11 12
1 • • • • • •2 • • • • • • • • •3 • • • • • • • •45
2013 201401 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 01 02
123 • • • • • • • • • •4 • • • • • •5 •
1 Estudo de tecnicas e conceitos relacionados a associacoes estaveis2 Disciplinas do Instituto de Computacao3 Levantamento e estudo bibliografico4 Escrita da tese5 Defesa e revisao da tese
18 / 20
Bibliografia I
David Gale and Lloyd S. Shapley.College admissions and the stability of marriage.American Mathematical Monthly, 69(1):9–15, 1962.
Zoltan Kiraly.Better and simpler approximation algorithms for the stablemarriage problem.Algorithmica, 60:3–20, 2011.
David F. Manlove, Robert W. Irving, Kazuo Iwama,Shuichi Miyazaki, and Yasufumi Morita.Hard variants of stable marriage.Theoretical Computer Science, 276(1–2):261–279, 2002.
20 / 20