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MINICURSO
SIMULINKIntroduo a modelagem computacional e exemplos de aplicaes
Ministrante:
Pedro Henrique Lopes de Menezes
Novembro de 2015
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V COEN UFSJ 10 a 13 de Novembro
MENEZES, P. H. L. 2
SUMRIO
1 INTRODUO AO SIMULINK ..................................................................................... 3
1.1 Sistemas Dinmicos ................................................................................................ 3
1.2 Ambiente do Simulink ............................................................................................ 3
1.3 Janela de modelagem ............................................................................................. 5
1.4 Bibliotecas do Simulink .......................................................................................... 6
2 CRIAO DE MODELOS ............................................................................................. 15
2.1 Manipulao e conexo de blocos .......................................................................... 15
2.2 Criao de Subsistemas e Mscaras .......................................................................16
3 MECANISMOS DE SIMULAO ................................................................................ 18
3.1 Blocos .................................................................................................................... 18
3.2 Estados ...................................................................................................................19
3.3 Parmetros de Simulao ......................................................................................19
4 EXEMPLOS DE APLICAES .....................................................................................21
4.1 Exemplo 01: Sistemas contnuos simples no domnio do tempo ..........................21
4.2 Exemplo 02: Sistemas contnuos simples no domnio da frequncia .................. 22
4.3 Exemplo 03: Modelagem de um bungee jumping............................................ 22
4.4 Exemplo 04: Soma de componentes harmnicas de um sinal ............................. 23
4.5 Exerccios propostos ............................................................................................. 24
5 APNDICE ................................................................................................................... 25
5.1 Teclas de Atalho no Simulink ............................................................................... 25
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1 INTRODUO AO SIMULINK
O Simulink um aplicativo do MATLAB que utiliza o ambiente numrico
computacional desse programa como motor bsico para a construo de modelos
compostos por diagramas de blocos. Com o Simulink possvel fazer a anlise e avaliao
do comportamento de sistemas dinmicos por meio de sua representao fsica e
matemtica no programa.
O MATLAB o principal software desenvolvido pela empresa The Mathworks. Ele
prov um ambiente numrico computacional robusto no qual possvel desenvolver
solues, em modo iterativo ou atravs do desenvolvimento de programas para problemas
cientficos e de engenharia.
1.1
Sistemas DinmicosUm sistema dinmicopode ser basicamente definido como aquele no qual a sada varia
ao longo do tempo, ou seja, o resultado ou estado do sistema se altera temporalmente devido
as caractersticas fsicas do modelo. A maioria dos eventos no mundo real so sistemas
dinmicos como, por exemplo: circuitos eltricos, sistemas de amortecedores, sistemas de
freios, sistemas termodinmicos e vrios outros.
1.2 Ambiente do Simulink
Assim como oMATLAB est baseado em matrizes e linhas de programao, oSimulink
fundamentado em blocos e diagramas. Devido a essa e por outras razes, o ambiente do
Simulink consiste em uma linguagem de programao conhecida como programao
grfica. Alm disso, por se tratar de uma extenso, a utilizao desse aplicativo est
condicionada ao fato do usurio ter o MATLABpreviamente instalado e que as bibliotecas
e ferramentas relacionadas aoSimulink estejam devidamente habilitadas.
A inicializao doSimulinkpode ser feita de duas maneiras:
a. cone doSimulinkna barra de ferramentas
b. Linha de comando doMATLAB
Esses processos de inicializao esto representados naFigura 1 (a) e (b).
Figura 1:Inicializao doSimulink(a) por meio do cone na barra de ferramentas e (b) atravs da janela decomandos do MATLAB
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Uma vez inicializado, o usurio ser capaz de visualizar a janela principal doSimulink
Simulink Library Browser. Esse ambiente est representado naFigura 2 e por meio dele
podem ser acessados as bibliotecas e os cones dos diagramas de blocos disponveis, a barra
de ferramentas e rea de descrio.
Figura 2:Janela principal doSimulink
No que diz respeito as opes disponveis no Simulink Library Browser podemos
destacar os seguintes elementos:
i. Menu Pop-up:
File: manipulao e arquivos e modelos do ambiente Edit: manipulao de blocos
View: modo de visualizao doSimulink
Help: textos de ajuda
ii. Barra de Ferramentas:
Create a new model: abre uma janela vazia para um novo modelo
Open a model: abre um modelo existente doSimulinkextenso .mdl
Stay on top: fora a exibio da janela do Simulink sempre na frente das
demais Find: procura um bloco na biblioteca de blocos
iii. Library Browser:
Essa parte da janela est dividida em duas sees:
Lado esquerdo: exibe as bibliotecas disponveis noSimulink
Lado direito: exibe os blocos de cada biblioteca selecionada em ordem
alfabtica
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A ferramentas de uma determinada biblioteca tambm podem ser exibidas em
uma janela a parte que, por sua vez, aberta selecionando o nome da biblioteca
com o boto direito do mouse.
1.3 Janela de modelagem
Por meio desse ambiente o usurio pode criar e simular um novo modelo para um dado
sistema dinmico de interesse. Para abrir essa janela basta selecionar o cone Create a new
model, que est disponvel na barra de ferramentas do Simulink Library Browser. Esse
procedimento, assim como a apresentao da janela de modelagem, esto representados na
Figura 3.
Figura 3:Janela de modelagem doSimulink
Assim como no Simulink Library Browser, a janela de modelagem tambm
caracterizada por algumas funes, tais como:
i. Menu Pop-up:
File: manipulao e arquivos e modelos doSimulink
Edit: manipulao de blocos e diagramas
View: modo de visualizao da janela de modelagem
Simulation: configurao e determinao de parmetros da simulao
ii. Barra de Ferramentas:
Create a new model: abre uma janela vazia para um novo modelo
Open a model: abre um modelo existente doSimulinkextenso .mdl
Save: salva o modelo corrente na extenso .mdl
Print: imprime os contedos blocos e diagramas do ambiente de
modelagem
Simulation stop time: definio do tempo mximo de simulao.
Simulation mode: definio do modo de simulao
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1.4 Bibliotecas do Simulink
Conforme pode ser observado no Simulink Library Browser, h uma srie de
bibliotecas disponveis que permitem ao usurio a representao e modelagem de vrios
sistemas fsicos reais. Alm disso, as bibliotecas do aplicativo esto divididas conforme suas
classes de aplicaes. So exemplos de algumas dessas classes:
Simulink: inclu as bibliotecas globais do programa, isto , que podem ser
aplicadas a vrios tipos de modelos em geral, tais como representao de
sistemas eltricos, mecnicos, qumicos e outros.
Aerospace Blockset: essa classe engloba bibliotecas mais especficas
relacionadas a modelagem de sistemas dinmicos aeroespaciais.
Communications Blockset: relacionado as bibliotecas direcionadas para
representao de sistemas de comunicao. Control System Toolbox: representa a biblioteca que executa a avaliao de
parmetros de um sistema de controle.
Fuzzy Logic Toolbox: inclui as bibliotecas que executam tarefas associadas a
implementao da lgica Fuzzy que, por sua vez, uma das ferramentas
utilizadas no controle moderno.
Neural Network Toolbox: rene as bibliotecas do Simulink que esto
relacionadas a implementao de redes neurais, uma ferramenta que tambm
faz parte das tcnicas utilizadas no controle moderno. Signal Processing Blockset: agrupa diversas bibliotecas responsveis pela
modelagem de sistemas que envolvem tcnicas de processamento de sinais.
SimEvents: essa classe abrange bibliotecas relacionadas a simulao de
eventos discretos.
SimPowerSystems: est associado ao grupo de bibliotecas que esto
diretamente relacionados a modelagem de sistemas eltricos tais como
eletrnica de potncia, circuitos eltricos, sistemas eltricos de potncia e
mquinas eltricas.
SimScape: essa classe rene vrias outras subclasses relacionadas as
bibliotecas especficas que so aplicadas na modelagem de sistemas no ramo
da engenharia como, por exemplo: sistemas mecnicos, hidrulicos e
eletrnicos. Em verses mais recentes do Simulink, essa classe envolve a
SimPowerSystems como uma de suas subclasses.
Simulink Design Optimization: classe que est associada as bibliotecas
dedicadas a projetos que incluem otimizao de sistemas.
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Uma vez que a classe Simulink est relacionada as bibliotecas que podem ser
incorporadas a diversos tipos de modelos no programa, indiferentemente de sua natureza,
recomendvel que o usurio tenha um bom conhecimento das ferramentas
disponibilizadas por esse grupo. A seguir esto listadas algumas das bibliotecas encontradas
nessa classe e suas respectivas funes:
Biblioteca Sources
Nome do Bloco Funo
Introduz rudo em um sistema contnuo.
Gera uma onda senoidal com frequncia crescente.
Prov o tempo de simulao.
Gera um valor constante.
Gera tempo de simulao ao especificar intervalo.
Gera pulsos a intervalos regulares.
Dados provenientes de um arquivo.
Dados provenientes de uma matriz definida no
workspace.
Gera pulsos em intervalos regulares.
Gera um sinal constantemente crescente ou decrescente.
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Gera nmeros randmicos a partir de uma distribuio
normal
Gera um sinal repetitivo arbitrrio.
Gera vrias formas de onda.
Gera uma onda senoidal.
Gera uma funo degrau.
Gera nmeros randmicos a partir de uma distribuio
uniforme
Biblioteca Sinks
Nome do Bloco Funo
Mostra o valor do sinal.
Exibio de sinais gerados durante uma simulao.
Para a simulao quando o sinal for diferente de zero.
Escreve os dados em um arquivo.
Escreve os dados em uma matriz no workspace.
Exibe um grfico de X-Y, que usa uma janela de figura
doMATLAB.
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Biblioteca Discrete
Nome do Bloco Funo
Implementa funes de transferncia discretas e filtros.
Implementa um sistema estado-espao discreto.
Executa integrao discreta no tempo de um sinal.
Implementa uma funo de transferncia discreta.
Implementa uma funo de transferncia discreta
especificada em termos de polos e zeros.
Implementa uma amostragem e aproximao de
primeira ordem.
Atraso de um perodo de amostra.
Aproximao de ordem zero da entrada num perodo de
amostra.
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Biblioteca Continuous
Nome do Bloco Funo
Deriva um sinal.
Integra um sinal.
Produz o sinal de um tempo anterior.
Implementa um sistema estado-espao linear.
Implementa uma funo de transferncia linear.
Atrasa o sinal por uma determinada quantia de tempo.
Atrasa o sinal por uma quantia varivel de tempo.
Implementa uma funo de transferncia especificada
em termos de polos e zeros.
Biblioteca Math Operations
Nome do Bloco Funo
Produz o valor absoluto do sinal de entrada
Encontra as razes do sinal de entrada
Implementa uma tabela da verdade.
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Produz a fase e a magnitude de um sinal complexo.
Produz as partes reais e imaginrias de um sinal
complexo.
Gera o produto escalar entre dois vetores.
Multiplica o sinal por um determinado valor de ganho.
Executa uma operao lgica previamente especificada.
Produz um sinal complexo a partir da magnitude e da
fase.
Executa uma funo matemtica.
Multiplica o sinal por uma matriz.
Produz o mnimo ou o mximo de um sinal.
Gera o produto ou quociente de sinais de entrada
Produz um sinal complexo a partir da parte real e da
imaginria.
Executa a operao relacional especificada.
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Executa uma funo de arredondamento.
Indica se o sinal positivo ou negativo.
Ganho varivel.
Gera a soma de sinais.
Executa uma funo trigonomtrica.
Biblioteca User Defined Functions e Biblioteca Lookup Tables
Nome do Bloco Funo
Aplica uma expresso especificada entrada.
Executa interpolao linear da entrada.
Executa interpolao linear de duas entradas.
Aplica uma funo do MATLAB ou expresso entrada.
Permite acesso a uma S-function.
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Biblioteca Discontinuities
Nome do Bloco Funo
Modela o comportamento de um sistema com o decorrer
da simulao.
Modelo descontnuo em zero e com ganho linear para os
demais valores.
Prov uma regio de sada zero.
Detecta quando um sinal de entrada atinge um offset
previamente especificado
Discretiza um sinal em um intervalo especificado.
Limita a taxa de variao de um sinal.
Troca a sada entre dois nveis.
Limita a amplitude de um sinal.
Limita a amplitude do segundo sinal de entrada com
base no primeiro sinal de entrada limite superior e
no terceiro sinal de entrada limite inferior.
Atribui uma sada zero se entrada est acima de um
limiar pr-estabelecido. Caso contrrio a sada ser igual
a entrada.
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Biblioteca Signals Routine
Nome do Bloco Funo
Aceita uma sinal de entrada de um barramento e
permite que esse sinal seja atribudo a outros sinais de
entrada em um novo barramento.
Cria um barramento de sinal para as entradas.
Seleciona sinais de sada a partir de uma entrada
previamente criada.
Define uma armazenagem de dados compartilhada.
Dados originados de um Data Store Memory.
Escreve dados em um Data Store Memory.
Separa um sinal vetorial em sinais escalares.
Recebe a entrada de um bloco de Goto.
Passe a entrada para o bloco From.
Define o alcance de um bloco de Goto.
Combine vrias linhas de entrada em uma linha de
vetor.
Seleciona ou reorganiza elementos especficos de um
sinal de entrada multidimensional
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2 CRIAO DE MODELOS
2.1 Manipulao e conexo de blocos
Para criar um novo modelo noSimulink, o usurio deve manipular os blocos e funes
disponveis nas bibliotecas do Simulink Library Browser. Ao clicar sobre um bloco earrast-lo para ambiente de modelagem, essa ferramenta passa imediatamente a fazer parte
do modelo. A partir desse ponto, o usurio poder conectar as entradas e sadas desse bloco
da maneira que lhe for conveniente. Para abrir o Simulink Library Browsera partir da
janela de modelagem, o usurio pode recorrer a opoLibrary Browser, disponvel na aba
Viewdo Menu Pop-up desse ambiente.
A conexo entre os blocos pode ser feita a partir de um clique no ponto de sada de um
deles e arrastando-se o mouse at o ponto de destino que, nesse caso, ser a entrada de um
outro bloco. Esse procedimento tambm pode ser feito segurando-se a tecla sobreo bloco de sada e posteriormente clicando-se sobre o bloco de entrada.
AFigura 4 representa o processo de manipulao e conexo dos blocos no ambiente de
modelagem. Alm disso, vale ressaltar que para configurar e visualizar os parmetros de um
determinado bloco de interesse, o usurio deve dar um duplo clique sobre o bloco e ajustar
os valores das variveis caractersticas do mesmo. NaFigura 4 foram adicionados apenas
uma fonte senoidal (Sine Wave), disponvel na biblioteca Sources da classe Simulink, e um
Scope da biblioteca Sinks localizada nessa mesma classe.
Figura 4:Manipulao e conexo de blocos noSimulink
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2.2 Criao de Subsistemas e Mscaras
OSimulinkpermite que um conjunto de blocos sejam agrupados em um nico bloco,
denominado subsistema. Essa funo pode ser criada basicamente de duas maneiras
distintas:
a. Por meio do blocoSubsystem, disponvel na biblioteca Ports & Subsystems:
Nesse caso o usurio deve selecionar e arrastar todos os blocos que deseja
agrupar em um nico subsistema para o interior de uma nova janela de
modelagem referente esse bloco. Para abrir esse ambiente basta dar um duplo
clique sobre o subsistema, uma vez que o mesmo j tenha sido adicionado ao
ambiente de modelagem. Alm disso, as entradas e sadas do novo bloco criado
so definidas pelo usurio atravs das ferramentasIneOutdisponveis na mesma
biblioteca da funoSubsystem.
b. Pela seleo de todos os blocos a serem agrupados no ambiente de modelagem:
A criao do subsistema por esse mtodo consiste inicialmente em selecionar
todos os blocos que devero ser agrupados no ambiente de modelagem. Em
seguida o usurio deve clicar com o boto direito do mouse sobre um dos blocos
selecionados e escolher a opo Create a Subsystem. Essa alternativa tambm
pode ser acessada atravs da abaEdit no Menu Pop-up. Feito isso, um subsistema
automaticamente ser gerado pelo programa. As entradas e sadas sero
definidas como sendo todos os ramos de interface entre os blocos que foram
agrupados e o restante do sistema original.
AFigura 5 resume de forma ilustrativa a criao de um subsistema. Para esse esquema,
foi feita a modelagem de um sistema que fosse capaz fornecer na sada a derivada de
segunda ordem de um sinal de entrada que, nesse caso, foi representado por uma onda
senoidal.
Figura 5:Criao de um subsistema
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A criao de um subsistema pode ser til para:
Reduzir o nmero de blocos exibidos na janela de modelagem e simplificar sua
visualizao;
Agrupar conjuntos de blocos relacionados por funcionalidade;
Criar uma hierarquia de diagrama de bloco para modelos mais complexos;
Alm da viabilidade de criar subsistemas, oSimulinktambm permite definir uma
interface para os novos blocos criados. Essa ferramenta denomina mscara (mask). Ela
atribui ao subsistemas as seguintes funcionalidades:
Criar uma janela de interface;
Definir parmetros de entrada para o subsistema;
Criar um cone especial para o subsistema;
Definir uma funo de inicializao;
Para atribuir uma mscara a um subsistema basta clicar com o boto direito do mouse
sobre o bloco recm criado e escolher a opoMask Subsystem. Essa opo tambm pode
ser acessada por meio da aba Edit no Menu Pop-up da janela de modelagem. Aps
selecionar essa alternativa, uma nova janela de configurao denominadaMask Editorser
automaticamente aberta para que o usurio defina as propriedades mscara. A Figura 6
apresenta o aspecto visual da janela de edio de uma mscara.
Figura 6:Janela de edio e configurao de uma mscara
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Dentre as opes disponveis peloMask Editor, podemos destacar:
Icon: relacionado as configuraes do cone do subsistema.
Parameters: define parmetros de entrada do sistema:
Prompt:texto de chamada;
Variable:nome da varivel;
Type:tipo de entrada da varivel:
[Edit]: caixa de exibio de texto;
[Checkbox]: opo de ativar ou desativa uma opo;
[Pop-up]: lista de seleo;
Inicialization: permite o usurio entrar com comandos do MATLAB que sero
inicializados com o subsistema.
Documenttion: permite editar informaes a respeito do subsistema. Alm
disso, possvel entrar com textos que estaro disponveis na opo helpdo
bloco criado.
3 MECANISMOS DE SIMULAO
Nessa seo so apresentados os mecanismos que definem a forma como oSimulink
implementa um sistema dinmico, seus principais elementos envolvidos e os parmetros
adotados durante a simulao de um modelo. Para que haja uma compreenso clara desses
conceitos, crucial que o usurio se familiarize com a estrutura funcional do programa.
3.1 Blocos
Um bloco representa um elemento do sistema dinmico no qual o comportamento
avaliado peloSimulink. Nesse programa, um bloco composto por:
Representao visual cone disponvel na biblioteca;
Conjunto de dados de entrada e sada;
Conjuntos de estados opcional;
AFigura 7 representa a estrutura de um bloco no Simulink, conforme descrido pelascaractersticas mencionadas nos tpicos acima.
Figura 7: Composio funcional de um bloco
O conjunto dos dados de sada y determinado por uma funo do conjunto dos
dados de entradas u, definido pelos estados x do sistema.
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3.2 Estados
Os blocos podem ou no ter estados. Caso um bloco o tenha, um estado ser
caracterizado como uma varivel na qual o valor tem o seguinte comportamento:
uma funo de seus valores anteriores e/ou dos valores de entrada do bloco;
Determina o valor de sada do bloco;
Quando um bloco possui estados que dependem de valores anteriores, esses estados
so chamados de persistentes persistent state e diz-se assim que o bloco possu
memria.
Um exemplo de bloco que no possu estado a funo Add da biblioteca Math
Operations:
Dados de Entrada: valores de sinais a serem somados;
Dados de sada: soma dos valores de entrada; No possu estados;
Por outro lado, o blocoMemory, disponvel na bibliotecaDiscrete, pode ser entendido
como um sistema que possu estado:
Dados de entrada: valor corrente atual;
Dados de sada: valor anterior;
Conjunto de estado: estado anterior (t-1) e atual (t);
3.3 Parmetros de Simulao
A simulao e o ajuste de alguns parmetros relacionados a essa etapa podem ser feitos
por meio de opes disponveis na barra de ferramentas da janela de modelagem.
Procedimentos como o ajuste do tempo e modo de simulao ou mesmo a inicializao e
parada dessa operao so realizados atravs dessas opes. No entanto, a simulao de
modelos dinmicos no Simulink envolve a integrao numrica dos sinais ao longo do
tempo, que executada por um conjunto de Equaes Diferenciais Ordinrias ODE:
Ordinary Differential Equations. Por essa razo, muitas vezes necessrio que o usurio
conhea e saiba como configurar todos os demais parmetros relacionados ao processo de
simulao. Nesse sentido, o Simulink oferece um conjunto de opes nas quais possvel
configurar as caractersticas do processo de resoluo atravs da ferramenta Solver. Essa
janela acessada pela seleo de Configuration Parameters, que est disponvel na aba
Simulation do Menu Pop-up da janela de modelagem. A Figura 8 retrata esse tipo de
procedimento.
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Figura 8:Acesso aos parmetros de simulao doSimulinkA janela Solver do Simulink disponibiliza todas as variveis que esto diretamente
relacionadas ao processo de clculo e simulao de um modelo previamente elaborado. A
Figura 9 apresenta os aspecto visual dessa ferramenta, assim como os parmetros que
podem ser alterados pelo usurio.
Figura 9:Janela de parmetros doSolver
Dentre os parmetros configurveis para a simulao, pode-se destacar:
Simulation Time: Tempo de Simulao
Start time:instante de tempo inicial da simulao;
End time:instante de tempo final da simulao;
Solver options: opes do solver
Type:define se o passo de integrao varvel ou fixo;
Solver:define o mtodo numrico a ser utilizado para a resoluo do
modelo;
Max step size:passo de integrao intervalo de tempo mximo a ser
considerado;
Min step size:passo de integrao mnimo a ser considerado;
Initial step size:passo de integrao inicial a ser considerado;
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Relative tolerance:tolerncia relativa para monitoramento e controle
do erro a cada passo utilizado pelas rotinas doSolver.
Absolute tolerance:tolerncia absoluta para monitoramento e controle
de erro a cada passo utilizado pelas rotinas doSolver.
Shape preservation:se habilitado essa funo procura fazer com que o
solver fornea resultados de integrao mais precisos. Essa opo
bastante til para situaes em que h uma taxa de variao instantnea
abrupta durante a implementao do mtodo numrico.
Number of consecutive min steps:emite um diagnstico para o usurio
caso o processo de integrao gere mais do que N passos consecutivos
menores do que o passo mnimo definido. Nesse caso, N o valor de
entrada definido para esse campo.
4 EXEMPLOS DE APLICAES
4.1 Exemplo 01: Sistemas contnuos simples no domnio do tempo
Um sistema contnuo simples pode ser genericamente representado pela seguinte
equao diferencial:
= . . +Dessa forma, podemos modelar esse tipo de sistema por meio do esquema
representando pelaFigura 10.Os valores das constates a e b sero definidos conformea representao fsica de um sistema especfico. Nesse exemplo foi tomado a = 1 e b = 2.
Alm disso, a entrada foi definida como sendo uma funo degrau.
Figura 10:representao esquemtica e simulao para Exemplo 01
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4.2 Exemplo 02: Sistemas contnuos simples no domnio da frequncia
A equao apresentada no Exemplo 4.1 foi modelada no domnio do tempo. A
representao desse tipo sistema no domnio da frequncia pode ser feito por meio da
aplicao da transformada de Laplace ao longo de toda a equao. Com isso, tem-se que:
0 0 = [ 0] + Considerando as condies iniciais como nulas, a equao anterior se resume a:
= + ,ou, + + = ,ou, + + = , ou ainda ,
= 1 + +
Dessa forma, podemos estabelecer a seguinte funo de transferncia:
= =1
+ +
O modelo que representa a relao obtida anteriormente est representado naFigura
11.A fim de se estabelecer uma anlise comparativa com o exemplo anterior, os valores das
constantes a e b se mantiveram os mesmo, ou seja, a = 1 e b = 2.
Figura 11:representao esquemtica e simulao para Exemplo 02
4.3
Exemplo 03: Modelagem de um bungee jumping
A modelagem fsica de um bungee jumping, desconsiderando as foras de retardo por
atrito com o ar, pode ser representada por meio daFigura 12.
Figura 12:Esboo para modelagem do bungee jumping
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Em que:
y = deslocamento em relao base de fixao da corda;
m = massa do corp0;
g = acelerao da gravidade (9,8);
k = coeficiente de elasticidade da corda;
b = coeficiente de trao da corda;
A equao que modela esse sistema caracterizada por:
= . . Pela equao acima, observa-se que esse sistema pode ser entendido como um caso
particular do modelo apresentado no Exemplo4.1.Dessa forma, para um corpo no qual a
massa 60 kg, preso a uma corda com k =10 e b=5, vem que:
= 9,8 (10
60 ). 5
60 . ,ou,
= 9,8 0,166667. 0,083333. ,ou,O modelo construdo para esse sistema dinmico est mostrado naFigura 13
Figura 13:representao esquemtica e simulao para Exemplo 03
4.4 Exemplo 04: Soma de componentes harmnicas de um sinal
Sinais peridicos so, em muitos casos, analisados atravs de sua decomposio
harmnica. Os harmnicos de um sinal possuem frequncias distintas e um dado
importante de se conhecer a influncia de cada harmnico na composio do sinal
original. Para um sinal peridico foi observada a seguinte composio harmnica:
=4sin5cos20 +sin50Dessa forma, um modelo representativo desse sistema, assim como a forma de onda
resultante para o sinal original esto evidenciados naFigura 14.
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Figura 14:representao esquemtica e simulao para Exemplo 04
4.5 Exerccios propostos
1) Elaborao de modelos no Simulink
Escolha trs dos exemplos apresentados ao longo dessa seo e elabore seus
respectivos modelos noSimulink. Faa uma avaliao da consistncia matemtica e
fsica de cada um dos sistemas dinmicos a partir dos resultados obtidos. Alm
disso, realize uma anlise de sensibilidadeem cada modelo escolhido.
2) Criao de subsistemas
Represente o modelo apresentado no Exemplo4.3 por meio de um subsistema.
O novo bloco criado deve conter como varivel de entrada o valor da acelerao da
gravidade. J a sada deve apresentar a velocidade e o deslocamento do corpo em
queda-livre.
3)Atividade em classe:
Com base em seus conhecimentos acerca de modelagem computacional no
Simulinkelabore, simule e avalie um sistema dinmico relacionado a sua rea de
estudo ou a algum outro campo de seu interesse. A seguir apresente a anlise fsica
e matemtica de seu modelo para os demais colegas da classe. Poderiam ser
modelados, por exemplo, alguns dos seguintes sistemas:
Circuitos eltricos (R, RL, RC, LC e RLC);
Sistemas de controle em malha aberta e/ou em malha fechada;
Circuitos lgicos e operaes booleanas (AND, OR, NAND, NOR, XOR e
outros);
Sistemas que envolvem cinemtica e/ou conservao da quantidade de
movimento;
Sistemas massa-mola;
Sistemas Trmicos;
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5 APNDICE
5.1 Teclas de Atalho no Simulink
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