Análise Combinatória - Fatorial e Binômio de Newton. Prof. André Gustavo
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ANÁLISE COMBINATÓRIA. Fatorial Sendo n um número natural diferente de zero, chamamos de fatorial de n a expressão;
nnnn )1)(2....(3.2.1! −−= . O Fatorial é uma ferramenta muito importante na analise combinatória, por isso vamos estudar seu conceito e aplicação, de forma que este possa auxiliá-lo mais tarde. Matematicamente, podemos definir assim Fatorial:
>−
==
0)!1(
0,1!
nsenn
nsen
Observe que com essa definição em dupla sentença, resolvemos todos os casos: a) 0! = 1 (por definição) b) 1! = 1.(1 – 1)! = 1. 0! = 1.1 = 1 c) 2! = 2.(2 – 1)! = 2. 1! = 2.1 = 2 d) 3! = 3.(3 – 1)! = 3. 2! = 3.2.1 = 6 e) 4! = 4.(4 – 1)! = 4. 3! = 4.3.2.1 = 24, e assim por diante. Exemplo: Calcule o valor de n na expressão:
[ ]
)(7''4'0283
3123131!
)1)(2(1!31
!
!)1)(2(!31
!
)!2(!
2
2
convémnãonnnn
nnn
nnnn
nnnn
n
nn
−=∨=∴=−+⇒
⇒=+++⇒=+++
⇒=+++
⇒=++
Daí podemos concluir que o conjunto solução é S = {4}
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Coeficientes Binomiais
Sendo n e p dois números naturais quaisquer tal que pn ≥ , chamamos de coeficiente
binomial o número indicado por
p
ndefinido por;:
)!(!!pnp
np
n
−=
; n, p ∈IN e pn ≥
Fazendo uma analogia com o conhecimento a cerca das frações dizemos que o número n é o numerador e p é o denominador; lê-se “n sobre p”. Existem três conseqüências da definição de coeficiente binomial a considerar:
I) nn
=
1 II) 1
0=
n III) 1=
n
n
Números Binomiais complementares: Dois coeficientes Binomiais são chamados complementares quando ambos tiver o mesmo numerador, e a soma dos seus denominadores for igual ao numerador comum, ou seja:
−=
pn
n
p
n
Exemplo: Determine o valor de k, sabendo – se que os coeficientes binomiais
+−=
+ 5
8
12
8
kk são complementares.
Solução: Se os coeficientes binomiais dados são complementares, então a soma dos denominadores é igual ao denominador, logo, 2k +1 + (-k) + 5 = 8⇒ k + 6 = 8∴k = 2.
TRIÂNGULO DE PASCAL OU DE TARTAGLIA
O Triângulo de Pascal recebe esse nome, devido à forma em que os elementos estão distribuídos, e esses elementos são os coeficientes binomiais que tem a seguinte característica:
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4
0
0
0
1
1
1
0
2
1
2
2
2
M
0
3
M
1
3
M
2
3
M
3
3
−
0
1n
−
1
1n
−
2
1n K
−
−
1
1
n
n
0
n
1
n
2
n K
−1n
n
n
n
Podemos também representar o Triângulo de Pascal substituindo os coeficientes binomiais pelos seus respectivos valores: 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1
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PROPRIEDADES DO TRIÂNGULO DE PASCAL
• 1ª PROPRIEDADE. Em cada linha do triângulo, o primeiro elemento vale 1, pois
qualquer que seja a linha, o primeiro elemento é INnn
∈∀=
,1
0.
• 2ª PROPRIEDADE. Em cada linha do triângulo, o último elemento vale 1, pois
qualquer que seja a linha, o último elemento é INnn
n∈∀=
,1 .
• 3ª PROPRIEDADE. Numa linha, dois coeficientes binomiais eqüidistantes dos
extremos são iguais, isto equivale a dizer que
−=
pn
n
p
n.
Observe no quadro:
1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1
• A partir da 3ª linha, cada elemento (com exceção do primeiro e do último) é a soma
dos elementos da linha anterior, imediatamente acima dele. Essa propriedade é conhecida como Relação de Stifel e afirma que:
+
+=
++
1
1
1 p
n
p
n
p
n
Vamos mostrar um exemplo e uma aplicação da Relação de Stifel numa questão do vestibular da Faculdade Baiana.
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Obs: Um detalhe importante no uso da Relação de Stifel é observar o valor que representa n, p e p + 1. Na questão do vestibular da Faculdade Baiana, n = 12, p = 7 e p + 1 = 7 +1 = 8. BINÔMIO DE NEWTON
Inicialmente vamos considerar as seguintes potências desenvolvidas:
• 222 2)( yxyxyx ++=+ , que podemos escrever também da seguinte forma;
201102 2 yxyxyx ++ ou
0
2 02 yx +
1
2 11yx +
2
2 20 yx .
• 32233 33)( yxyyxxyx +++=+ , que podemos escrever também da seguinte forma;
30211203 33 yxyxyxyx +++ ou
0
3 03 yx +
1
3 12 yx +
2
3 3021
3
3yxyx
+ .
• 4322344 464)( yxyyxyxxyx ++++=+ , que podemos escrever também da
seguinte forma; 4031221304 464 yxyxyxyxyx ++++ ou
0
4 04 yx +
1
4 13 yx +
2
4 403122
4
4
3
4yxyxyx
+
+ .
Generalizando a situação, podemos escrever; para INneIRyex ∈∈ :
nkknnnnn yn
nyx
k
nyx
nyx
nx
nyx
++
++
+
+
=+ −−− KK221
210)(
É interessante notar que os expoentes de x começam em n e decrescem de1 em 1 até
zero, enquanto os expoentes de y começam com zero e crescem até n. A esse desenvolvimento damos o nome de Binômio de Newton.
Exemplos:
1) Efetuar o desenvolvimento de 5)( ax + .
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Solução:
5)( ax + =
0
5 05 yx +
1
5 14 yx +
2
5 50413223
5
5
4
5
3
5yxyxyxyx
+
+
+ .
Observemos que:
10
5=
, 5
1
5=
, 10
220
!3!.2!3.4.5
!3!.2!5
2
5====
, 10
!2!.3!5
3
5==
,
515
!1!.4!4.5
!1!.4!5
4
5====
, 1
0
5=
Substituindo os valores na expressão temos:
5)( ax + = 5x + 5 yx 4 + 10 543223 510 yxyyxyx +++ .
2) Efetuar o desenvolvimento de 6
21
−x .
Solução:
Inicialmente, devemos observar que 66
21
21
−+=
− xx .
60
51
42
33
24
15
06
6
21
6
6
21
5
6
21
4
6
21
3
6
21
2
6
21
1
6
21
0
6
21
−
+
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
=
−
x
xxxxxxx
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Calculando cada coeficiente binomial e as potências de
−21
temos:
106
=
1
21
0
=
−
616
=
=
−1
21
−21
152
30!4!.2!4.5.6
!4!.2!6
26
====
=
−2
21
41
206
120!3!.3
!3.4.5.6!3!.3
!636
====
=
−3
21
−81
152
30!2!.4!4.5.6
!2!.4!6
46
====
=
−4
21
161
616
!1!.5!5.6
!1!.5!6
56
====
=
−5
21
−321
166
=
=
−6
21
641
Substituindo os respectivos valores na expressão temos:
Fazendo as operações
elementares obtemos:
TERMO GERAL DO BINÔMIO
O termo geral do Binômio de Newton é dado por:
kknk yx
k
nT −
+
=1
O termo geral do binômio é muito útil quando queremos calcular um termo qualquer n desse binômio.
+
−+
+
−+
+
−+=
−641
321
6161
1581
2041
1521
621 4
234566
xxxxxxx
+−+−+−=
−641
163
1615
25
415
321 23456
6
xxxxxxx
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Questões comentadas
1) Qual é o 5º termo do desenvolvimento de 5)3( +x , de acordo com as potências decrescentes de x? Solução: Inicialmente, vamos procurar o valor de 5T . Como 451 =⇒=+ kk . Daí:
xxxxxxT 40581.581!1!.4!4.5
81!1!.4
!581.
45
3.45 445
5 ==⋅=⋅=
=
= −
Portanto o 5º termo de 5)3( +x é 405x.
2) Calcular o termo independente de x no desenvolvimento de 6
1
+x
x .
Solução:
kk
kkk
kk
k
xk
T
xxk
T
xx
kT
261
61
61
6
.6
1.
6
−+
−−+
−+
=
=
=
Observe que o termo independente de x é aquele cuja potência de x é zero, ou seja, 0x . Logo temos que: 6 – 2k = 0, e portanto k = 3. Então temos que 4131 TTTk == ++
206
1201.2.3
120!3!.3
!3.4.5.6)!36!.(3
!636
4 ====−
=
=T
3) Determine o termo médio (ou central) no desenvolvimento de 6)3( −x . Solução: Observe que se o binômio esta elevado a 6ª potência significa que o seu desenvolvimento constará 7 termos, Lembre-se que se a quantidade de termos é ímpar,
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então o termo central é aquele que divide a esse grupo de termos em quantidades de termos iguais. Exemplo:
• 1 2 3, o termo central é 2.
• 1 2 3 4 5, o termo central é 3.
• 1 2 3 4 5 6 7, o termo central é 4. Feito isso, podemos voltar ao problema inicial. Como Já havíamos dito, se o binômio está elevado a 6ª potência, então o seu desenvolvimento constará de 7 termos. Devemos então procurar 4º termo, que é o termo central: k + 1 = 4 k = 3 Portanto;
34
4
34
3364
540)27.(20
)27(!3!.2
!6
)27.(3
6
)3.(3
6
xxT
xT
xT
xT
−=−=
−⋅=
−
=
−
= −
4) No desenvolvimento de 50)2( −x , determinar os coeficientes do 4º e do penúltimo termo. Solução: O termo geral é dado por
kk
k xk
T )2.(50 50
1 −
= −
+
• O 4º termo é o 4T . Como k + 1 = 4, então k = 3.
=−
= − 3350
4 )2.(3
50xT =−
)8.(
3
5047x =− )8.(
!47!.3!50 47x =− )8.(
!47!.3!47.48.49.50 47x
474747 156800)8.(19600)8.(1.2.348.49.50
xxx −=−=−= .
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• O penúltimo termo é o 50T . Como k +1 = 50, então k = 49.
49494949504 )2.(50)2(
!1!.49!50
)2.(4950
−=−⋅=−
= − xxT
Portanto os coeficientes do 4º e do penúltimo termo são 47156800x− e 49)2.(50 −x .
5) Existe o termo independente de x no desenvolvimento de3
1
+x
x ?
Solução:
O termo geral é dado por kkkk
kk x
kxx
kxx
kT 2333
1
331.
3 −−−−+
=
=
= .
Para que exista o termo independente é necessário que 3 – 2k = 0. Como
23
32 =⇒−=− kk , podemos observar que k não é um número natural. Logo, não há termo
independente de x no desenvolvimento de 3
1
+x
x .
6) Qual o termo de 5x no desenvolvimento de ( )83+x ?
Solução: O termo geral é dado por
kk
k xk
T 3.8 8
1−
+
= . Observe que o termo em 5x ocorre apenas quando 8 – k = 5, ou seja k
= 3. Daí temos que 4131 TTTk == ++ e portanto o termo em 5x é dado por:
553384 1512.27.563.
3
8xxxT ==
= −
Observações importantes;
I. No desenvolvimento de ( )nyx + temos: o número de termos no desenvolvimento do binômio é igual ao expoente mais 1, desta forma teremos n + 1 termos.
II. A medida em que os expoentes de x vão decrescendo, os expoentes de y vão crescendo.
III. Os coeficientes dos termos eqüidistantes dos extremos são iguais aos coeficientes dos extremos , sendo que o maior deles se encontra no centro.
IV. A soma dos expoentes de x e y em cada termo é igual ao expoente do binômio.
V. O coeficiente do primeiro termo é sempre igual a 1.
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VI. Os coeficientes dos outros termos se encontram através do produto do expoente de x com o seu coeficiente, dividindo-se este resultado pelo número de ordem do termo.
VII. No desenvolvimento de ( )nyx + temos; os sinais de cada termo do desenvolvimento são alternados, isto é, os termos de ordem par são negativos e os de ordem impar são positivos.
VIII. Para obter a soma dos coeficientes de ( )nyx + , basta fazer cada letra igual a unidade.
Exemplos: a) A soma dos coeficientes de ( )6yx + é:
642)11( 66 ==+=cS
b) A soma dos coeficientes de ( )6532 −x é: 1)1()31.2( 6565 −=−=−=cS
De uma forma geral, no desenvolvimento de ( )nyx + , a soma dos coeficiente será
dada por n2
EXERCÍCIO COMENTADO
(UCSAL –BA) O coeficiente de terceiro termo do desenvolvimento do binômio de ( )nyx + , segundo as potencias decrescentes de x, é igual a 60. Nessas condições, o valor de n pertence ao conjunto: a) {3, 4} b) {-5, 6} c) {7, 8} d) {9, 10} e) {11, 12} Solução comentada: Em primeiro lugar devemos desenvolver o binômio dado até o terceiro termo, pois é a partir daí que vamos identificar o valor de n. Portanto: Pela definição temos que:
( ) =+
+
+
=+ −− K22110 2
22.
12.
02 nnnn x
nx
nx
nx K+
++ −− 4.
22. 21 nnn x
nnxx
Temos que 22
)1()!2(!2
)!2)(1()!2(!2
!2
2 nnnnn
nnnnnn −
=−
=−−−
=−
=
, que substituindo na
expressão temos:
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K+
−++ −− 2
21
242 nnn x
nnnxx Ocorre que:
060226022602
4 222
=−−⇒=−⇒=
−nnnn
nndividindo todos os termos da
equação por 2 temos 0302 =−− nn e portanto o valor de n pertence ao conjunto solução {-5, 6}. Alternativa B.
TEORIA DOS CONJUNTOS 1. REPRESENTAÇÃO Inicialmente vamos representar um conjunto de três formas diferentes; NA FORMA TABULAR Nessa forma, vamos representar o conjunto por uma letra latina maiúscula, colocando-se seus elementos entre chaves e separados por ponto e vírgula. =A { a, e, i, o, u } =B { 2; 4; 6; 8}
POR UMA PROPRIEDADE Nessa forma, vamos representar o conjunto por uma propriedade que determine seus elementos. =A {x / x é vogal do alfabeto latino}
=B {x / x é um número par positivo menor do que 9}
OBS. A barra (/) significa “ tal que”. POR UM DIAGRAMA DE VENN Podemos representar conjuntos por diagramas de Venn-Euler, também conhecidos como diagramas de Venn, consistindo de curvas simples planas fechadas. No interior de tais diagramas representamos os elementos, e do lado de fora indicamos os nomes dos conjuntos.
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Exemplo: representemos o conjunto A dos números primos menores que 15 usando o diagrama de Venn:
São válidas as seguintes relações de pertinência:
• 1 ∈ A ( lê – se: “ 1 pertence a A” ) • 15 ∉ B ( lê – se: “ 15 não pertence a B” )
2. CONJUNTOS ESPECIAIS Existem alguns conjuntos que aparecem com freqüência em nosso estudo. Veja alguns deles: CONJUNTO UNIVERSO O conjunto que possui todos os elementos com os quais se deseja trabalhar é chamado de conjunto universo e usualmente é representado por U. CONJUNTO UNITÁRIO Como o próprio nome já diz, o conjunto unitário é aquele que possui um único elemento. Exemplo: =M {x / x é mês do ano com menos de 30 dias} CONJUNTO VAZIO O conjunto que não possui elemento algum é chamado de conjunto vazio e é representado pela letra grega φ ou por chaves sem elementos entre elas.
=M {x / x é dia da semana com 32 horas}∴ =M φ ou =M { } 3. RELAÇÃO DE INCLUSÃO ( SUBCONJUNTOS) Quando todos os elementos que pertencem a um conjunto A também pertence a um conjunto B, diz-se que A está contido )( ⊂ em B ou que A é subconjunto de B, ou ainda
que B contém A ( representa-se )AB ⊃ . Em símbolos:
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),( BxAxxBA ∈⇒∈∀⇔⊂
Obs. O símbolo ∀ significa “ qualquer que seja” ou “para todo”.
Propriedades
1. AAA ∀⊂ ;
2. AA ∀⊂ ;φ 11
Exemplos:
Se =A { 2; 3; 4 } e =B { 1; 2; 3; 4; 5; 6}, então BA ⊂ .. 4. IGUALDADE Dois conjuntos A e B são iguais, se e somente se, BA ⊂ e AB ⊂ . Observe a seguinte situação: =A { a; b; c } e =B { b; a; c}
BA ⊂ e BAAB =⇔⊂ .
• A ordem dos elementos não interferem na igualdade dos conjuntos. • A repetição de um ou mais elementos em um conjunto não interfere na sua
igualdade.
5. OPERAÇÕES ENTRE CONJUNTOS
UNIÃO )(∪
A união dos conjuntos A e B é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A ou ao conjunto B.
A B = { x / x A ou x B }
Representação em diagrama:
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Exemplo: Se A = {a,e,i,o} e B = {3,4} então A B ={a, e, i, o, 3, 4}.
Propriedades:
• ABBA ∪=∪ • AAA =∪ • AA =∪φ
INTERSECÇÃO )(∩ Dados dois conjuntos A e B chama-se intersecção de A com B o conjunto formado por todos os elementos comuns a A e a B.
A B = { x: x A e x B } Representação em diagrama:
Exemplo:
Se A = {a, e, i, o, u} e B = {b, c, a, d, u} então A B = { a,u }.
Se A = {a,e,i,o,u} e B = {1,2,3,4} então A B = Ø.
Propriedades:
• ABBA ∩=∩ • AAA =∩ • φφ =∩A • ABABA =∩⇔⊂
DIFERENÇA
A diferença entre os conjuntos A e B é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A e não pertencem ao conjunto B.
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A - B = {x / x A e x B} Representação em diagrama: Exemplo:
Se A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {4, 5, 7, 8, 9} então A – B = { 1, 2, 3 } e B – A = {7, 8, 9}.
Propriedade:
• ABBA −≠− • φ=− AA • AA =−φ • φφ =− A
COMPLEMENTAR )( ABC
Dados dois conjuntos, A e B, tal que BA ⊂ , chama-se complementar de A em relação a B a diferença B – A .
ABC AB −=
Representação em diagrama:
A região colorida representa ABC
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Exemplo: Se A = { 2; 3; 4} e B = { 1; 2; 3; 4; 5; 6 }, então ABC AB −= = {1; 5; 6 }
Propriedades:
• φ=AAC
• ACB =φ
Obs. AAAUC AU ==−= '
LEIS DE MORGAN
O complementar da reunião de dois conjuntos A e B é a interseção dos complementares desses conjuntos.
(A B)c = Ac Bc
1) O complementar da reunião de uma coleção finita de conjuntos é a interseção dos complementares desses conjuntos.
(A1 A2 ... An)c = A1c A2
c ... Anc
2) O complementar da interseção de dois conjuntos A e B é a reunião dos complementares desses conjuntos.
(A B)c = Ac Bc
3) O complementar da interseção de uma coleção finita de conjuntos é a reunião dos complementares desses conjuntos.
(A1 A2 ... An)c = A1c A2
c ... Anc
6. NÚMERO DE ELEMENTOS DA UNIÃO DE DOIS CONJUNTOS Sejam A e B dois conjuntos e: n(A) = número de elementos do conjunto A n(B) = número de elementos do conjunto B
)()()()( BAnBnAnBAn ∩−+=∪
Se φ=∪ )( BAn , ou seja, A e B são dois conjuntos disjuntos, temos:
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)()()( BnAnBAn +=∪
CONJUNTOS NUMÉRICOS
Conjunto é o agrupamento de elementos que possuem características semelhantes. Os Conjuntos numéricos especificamente são compostos por números. Divididos em: • Conjunto dos Naturais (N), • Conjunto dos Inteiros (Z), • Conjunto dos Racionais (Q), • Conjunto dos Irracionais (I), • Conjunto dos Reais (R).
CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS ( N )
Pertencem ao conjunto dos naturais os números inteiros positivos incluindo o zero. Representado pela letra N maiúscula. Os elementos dos conjuntos devem estar sempre entre chaves. N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, ... } - Quando for representar o Conjunto dos Naturais não – nulos (excluindo o zero) devemos colocar * ao lado do N. Representado assim: N* = {1, 2,3 ,4 ,5 ,6 ,7 ,8 ,9 ,10 ,11 ,12, ... } A reticência indica que sempre é possível acrescentar mais um elemento. N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...} ou N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ... } Qualquer que seja o elemento de N, ele sempre tem um sucessor. Também falamos em antecessor de um número. • 6 é o sucessor de 5. • 7 é o sucessor de 6. • 19 é antecessor de 20. • 47 é o antecessor de 48. Como todo número natural tem um sucessor, dizemos que o conjunto N é infinito. Quando um conjunto é finito? O conjunto dos números naturais maiores que 5 é infinito: {6, 7, 8, 9, ...} Já o conjunto dos números naturais menores que 5 é finito: {0, 1, 2, 3, 4} Veja mais alguns exemplos de conjuntos finitos. • O conjunto dos alunos da classe.
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• O conjunto dos professores da escola. • O conjunto das pessoas que formam a população brasileira.
CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS ( Z )
Pertencem ao conjunto dos números inteiros os números negativos, os números positivos e o zero. Fazendo uma comparação entre os números naturais e os inteiros percebemos que o conjunto dos naturais está contido no conjunto dos inteiros. N = { 0,1,2,3,4,5,6, ... } Z = { ... , -3,-2,-1,0,1,2,3,4, ... } N Z
O conjunto dos números inteiros é representado pela letra Z maiúscula. Os números positivos são representados com o sinal de (+) positivo na frente ou com sinal nenhum (+2 ou 2), já os números negativos são representados com o sinal de negativo (-) na sua frente (-2). ►Os números inteiros são encontrados com freqüência em nosso cotidiano, por exemplo: ♦ Exemplo: Um termômetro em certa cidade que marcou 10°C acima de zero durante o dia, à noite e na manhã seguinte o termômetro passou a marcar 3°C abaixo de zero. Qual a relação dessas temperaturas com os números inteiros? Quando falamos acima de zero, estamos nos referindo aos números positivos e quando falamos dos números abaixo de zero estamos referindo aos números negativos. +10° C ------------- 10° C acima de zero - 3° C --------------- 3° C abaixo de zero ♦ Exemplo 2: Vamos imaginar agora que uma pessoa tem R$500,00 depositados num banco e faça sucessivas retiradas: • dos R$500,00 retira R$200,00 e fica com R$300,00 • dos R$300,00 retira R$200,00 e fica com R$100,00 • dos R$100,00 retira R$200,00 e fica devendo R$ 100,00
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A última retirada fez com que a pessoa ficasse devendo dinheiro ao banco. Assim: Dever R$100,00 significa ter R$100,00 menos que zero. Essa dívida pode ser representada por – R$100,00. ►Oposto de um número inteiro
O oposto de um número positivo é um número negativo simétrico. Por exemplo: o oposto de + 2 é - 2; o oposto de - 3 é + 3.
►O conjunto dos números inteiros possui alguns subconjuntos: - INTEIROS NÃO – NULOS São os números inteiros, menos o zero. Na sua representação devemos colocar * ao lado do Z.
Z* = {..., -3, -2, -1, 1, 2, 3,...} - INTEIROS NÃO POSITIVOS São os números negativos incluindo o zero. Na sua representação deve ser colocado - ao lado do Z.
−Z = {..., -3, -2, -1, 0} - INTEIROS NÃO POSITIVOS E NÃO – NULOS São os números inteiros do conjunto do Z_ excluindo o zero. Na sua representação devemos colocar o _ e o * ao lado do Z.
*−Z = {..., -3, -2, -1}
- INTEIROS NÃO NEGATIVOS São os números positivos incluindo o zero. Na sua representação devemos colocar o + ao lado do Z.
+Z = { 0,1 ,2 ,3, 4,...} O Conjunto Z + é igual ao Conjunto dos N - INTEIROS NÃO NEGATIVOS E NÃO - NULOS
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São os números do conjunto Z+, excluindo o zero. Na sua representação devemos colocar o + e o * ao lado do Z.
*+Z = {1, 2, 3, 4,...}
O Conjunto *
+Z é igual ao Conjunto N*
CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS ( Q )
Os números decimais são aqueles números que podem ser escritos na forma de fração. Podemos escrevê-los de algumas formas diferentes: Por exemplo:
♦ Em forma de fração ordinária: ; ; e todos os seus opostos.
Esses números tem a forma ba
com a , b Z e b ≠ 0.
Dessa forma podemos dizer que N Z Q.
♦ Números decimais com finitas ordens decimais ou extensão finita:
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Esses números têm a formaba
com a , b Z e b ≠ 0.
♦ Número decimal com infinitas ordens decimais ou de extensão infinita periódica. São dízimas periódicas simples ou compostas:
As dízimas periódicas de expansão infinita, que podem ser escritas na formaba
: com a, b
Z e b ≠ 0. ► O conjunto dos números racionais é representado pela letra Q maiúscula.
Q = { x =ba
, com a e b ∈ Z*}
►Outros subconjuntos de Q: Além de N e Z, existem outros subconjuntos de Q. Q* ---------- É o conjunto dos números racionais diferentes de zero. Q+ ---------- É o conjunto dos números racionais positivos e o zero. Q- ----------- É o conjunto dos números racionais negativos e o zero. Q*
+ ---------- É o conjunto dos números racionais positivos. Q*
- ----------- É o conjunto dos números racionais negativos.
► Representação Geométrica
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CONJUNTO DOS NÚMEROS IRRACIONAIS ( I )
O número irracional é aquele que não admite a representação em forma de fração (contrário dos números racionais) e também quando escrito na forma de decimal ele é um número infinito e não periódico. Exemplo • 0,232355525447... é infinito e não é dízima periódica (pois os algarismos depois da vírgula não repetem periodicamente), então é irracional. • 2,102030569... não admite representação fracionária, pois não é dízima periódica. • Se calcularmos em uma calculadora veremos que √2 , √3 , π são valores que representam números irracionais. A representação do conjunto dos irracionais é feita pela letra I maiúscula.
CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS
O conjunto dos números reais é uma expansão do conjunto dos números
racionais que engloba não só os inteiros e os fracionários, positivos e negativos, mas também todos os números irracionais.
Os números reais são números usados para representar uma quantidade contínua (incluindo o zero e os negativos). Pode-se pensar num número real como uma fração decimal possivelmente infinita, como 3,141592(...). Os números reais têm uma correspondência biunívoca com os pontos de uma reta.
O conjunto dos números reais é a união do conjunto dos racionais com os irracionais.
R = Q U I
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Sendo que Q ∩ I = , pois se um número é racional ele não é irracional e vice-versa. Sabemos que N Z Q R
Além desses subconjuntos, o conjunto dos reais tem mais alguns importantes subconjuntos: R* -------- Conjunto dos números reais não nulos. R+ -------- Conjunto dos números reais positivos e o zero. R*
+ ------- Conjunto dos números reais positivos. R - -------- Conjunto dos números reais negativos e o zero. R*
- -------- Conjunto dos números reais negativos menos o zero.