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8/6/2019 Apostila Controle - 19a - Visualização da Estabilidade Relativa

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Controle de Sistemas Mecânicos

Visualização da Estabilidade Relativa Visualização da Estabilidade Relativa

Visualização das Margens

�D

iagramas de Bode� Diagrama de Nyquist

� Diagrama de Nichols

Margem de Redução de Ganho

Correlação entre MF e fator de amortecimento




Vizualização das margens Vizualização das margens

As margens podem ser visualizadas

diretamente nos diagramas de Bode,Nyquist e Nichols.




U sando os diagramas de Bode U sando os diagramas de Bode

P ortanto as margens podem ser vistas no diagrama de

Bode (comando margin)

( ) 1

( ) ( 5)( 8)

Y s

U s s s s!

np=[1];

d p=poly([ 0 -5 -8]);

margin(np,d p)

P ara a planta:

MF

MG




N o diagrama de Nyq uist N o diagrama de Nyq uist

zer o raio unitário

180 cr uzamento com o eixo r eal negativoo

Db �

�

Considerando

o ponto onde

no Diagrama

de Bode




M argens no diagrama de Nyq uist M argens no diagrama de Nyq uist

Rea l A x i s

I m

a g i n a r y

A x i s

Ny qu i s t D iag r am s

-1.5 -1 -0 .5 0 0 .5 1 1.5

-1

-0.5

0

0. 5

1

MF

1/K mg

As margens

podem ser encontradas

no círculo de

raio unitário e

no ponto de

cruzamento

do eixo real

negativo.

np=[1];

d p=poly([ 0 -5 -8]);

nyquist(np,d p)




M argens finitas menores M argens finitas menores

R ea l

x is

I

¡

a g i n a r y

¢

x i s

£ y qu i s t ¤ iagra ¥ s

-1 . 5 -1 -0 . 5 0 0 . 5 1 1 . 5

-1

-0.5

0

0 .5

1

A

b

a

r ealeixoocomcr uzamento180

unitárioraiodB0

0 p

p

Para o ponto A0180)( )( !�! sGb sG

MG j P K cf mg !! )(log20)log(20 [

)log(20)log(20 b K m g !

)1

log(20)log(20b

K m g

!

b K

m g

1!




U sando o diagrama de N ichols U sando o diagrama de N ichols

As margens são visualizadas em um único

gráfico

np=[1];d p=poly([ 0 -5 -8]);

nichols(np,d p)

MF

MG




Exemplo 1: M argens finitas Exemplo 1: M argens finitas

P ara a planta (comando margin ):Y s

U s s s s

( )

( ) ( )( )!

1

2 4

Frequency (rad/sec)

P h a

s e

( d e g ) ; M

a g n i t u d e

( d B )

B o d e Diagram s

-100

-5 0

0

G m=33.625 dB (at 2.8284 rad/sec), P m=84.647 de g. (at 0.124 7 rad/sec)

10-1

100

101

-250

-200

-150

-100




Exemplo 1: Gráfico do lugar das raízes Exemplo 1: Gráfico do lugar das raízes

U sando o comando rlocus:Y s

s s s s

( )

( ) ( )( )!

1

2 4

-¦

-5 -§

- ̈

-©

-1 0 1©

-¦

-§

-©

0

©

§

¦

Rea l

xi s

I

a g

x i s




Exemplo 1: Diagrama de Nyq uist Exemplo 1: Diagrama de Nyq uist

P ara a planta:Y s

s s s s

( )

( ) ( )( )!

1

2 4

-0.0

0 0.0

-0.0

-0.01

0

0.01

% raio unitário

teta=lins pace(0,2* pi,100);

r e=cos(teta);

im=sin(teta);

plot(r e,im,'k')

axis equal, hold on

np=1;

d p=poly([-4 -2 0]);

sys=tf(np,d p);

[r i]=nyquist(sys);

r1(1,:)=r(1,1,:);

i1(1,:)=i(1,1,:);

plot(r1,i1,'b'), grid

zoom




Exemplo 1: Diagrama de N ichols Exemplo 1: Diagrama de N ichols

P ara a planta: Y s

s s s s

( )

( ) ( )( )!

1

2 4

-

0 -

5 -1

0 -1

5 -90-1

0

-1

0

-100

-

0

-

0

-

0

-

0

0

0

Nichols Chart

Open-Loop Phase

deg)

O p e n -

L o o p G a i n

!

d B )

625.33! M "

647.84!MF




Exemplo 2: M argem de ganho infinita Exemplo 2: M argem de ganho infinita

P ara a planta:Y s

U s s s

( )

( ) ( )( )!

16

2 4

Frequency (rad/sec)

P h a

s e

( d e g ) ; M

a g n i t u d e

( d B )

B o d e Di agram s

-40

-20

0

G m = Inf, P m =#

3.268 de g . (a t 2.6623 rad/sec)

100

101

-150

-100

-50

0




Exemplo 2: Lugar das raízes Exemplo 2: Lugar das raízes

P ara a planta:Y s

s s s

( )

( ) ( )( )!

16

2 4

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2-3

-2

-1

0

1

2

3

R ea l A$

is

I m

a g

A

%

i s





P ara a planta:

Y s

s s s

( )

( ) ( )( )!

16

2 4





P ara a planta:Y s

s s s

( )

( ) ( )( )!

16

2 4

O p e n - L o o p P h a s e & d e g )

O

p e n -

L o o p

G

a i n

'

d B )

N i c h o l s C h a r t s

-1(

0 -1)

0 -10

0 -1 0 0 -1

0 -(

0 -)

0 -0

0 0-1

)

0

-10

0

-100

-1

0

-(

0

-)

0

-0

0

0




Exemplo 3: Sempre estável Exemplo 3: Sempre estável

P ara a planta:)4)(2(

8

)(

)(

!

s s sU

sY

F requency 2 rad /s e c )

P h a s

e

3

d e g ) ; M

a g n i t u d e

3

d B )

B ode Diagrams

-4

0

-5

0

-6

0

0G m

7

In f, P m7

18

0 deg. 2 at 0 rad /sec )

100

101

-150

-100

-50

0




Exemplo 3: Lugar das raízes Exemplo 3: Lugar das raízes

P ara a planta:)4)(2(

8

)(

)(

!

s s sU

sY

-5 -9

-@

-A

-1 0 1A

-@

-A

-1

0

1

A

@

B ea lC

x is

I

D

a g

E

x i s





P ara a planta:

Y sU s s s

( )( ) ( )( )

!

82 4





P ara a planta:

O p e n -L o o p P h a s eF

d e g )

O

p e n -

L o o p

G

a i n

G

d B )

H i c h o l sI

h a r t s

-1P

0 -1Q

0 -1R

0 -1 0 0 -S

0 -P

0 -Q

0 -R

0 0

-1Q

0

-1R

0

-1 0 0

-S

0

-P

0

-Q

0

-R

0

0

)4)(2(

8

)(

)(

!

s s sU

sY




Exemplo 4: M argem de redução de Exemplo 4: M argem de redução de

ganho ganho

Para a planta cuja FT é

calcule a margem de ganho e margem de fase e justifique o resultado

2

3

3 6 4( )

1

s s s

s

!




Solução: Solução:

nps=[3 6 4];

d ps=[1 0 0 1];

figur e(1)

margin(nps,d ps)

figur e(2)r locus(nps,d ps)

MF T acg

!! U[

6.049.1

180/*6.52$!!

piT

cg

a[

U




Solução: Solução:

k mg=0.371MG=20*log10(k mg);

MG= -8.6125




C orrelação entre MF e C orrelação entre MF e ^ ^ , , Z Z cg cg e e Z Z nT nT

Para o sistema de malha fechada abaixo

possui função de transferência de malha aberta efechada

E a estabilidade relativa acontece

1

O u t 1

0 s

s

1

I n 1)2(

2

n

n

s s ^[

[

)( s R )( sY

)2()(

2

n

n

s s s L

^ [

[

!

)(1

)()(

s

sG s

!

0)(1 ! s L

22

2

2)(

nn

n

s s sT

[ ^ [

[

!




C álculo do módulo e fase de G(j C álculo do módulo e fase de G(j Z Z ) )

Para s=jZ

Calculando o módulo e isolando as

freqüências tem-se

Calculando a fase tem-se

24 241 ^ ^ [ [ !ncg

1)( ![ j180)(

1)(

!�

!

[

[

j L

j L

1)( !cg j L [

1)2(

)(2

!

!n

n

j j j L

^ [ [ [

[ [

^

^ ^ ^ [ [ [ [

2

241tan902)(

24

1

!��!�

ncg cg cg j j j




Estimativas Estimativas Z Z cg cg

Portanto para um sistema de segunda ordem padrão, as

freqüências que satisfazem a equação

são:

E para ^ pequeno tem-se que a freqüência de cruzamento

de ganho é aproximadamente igual a freqüência natural

de malha fechada

T ncg [ [ }

24241 ^ ^ [ [ !

ncg

1)( !cg j L [




C álculo da MF C álculo da MF

Portanto a MF será

Substituindo a fase de

Ou ainda

)(180 cg jMF [ �!

)( cg j[

^

^ ^

2

241tan90

24

1

!

MF

24

1

241

2tan

^ ^

^

!

MF

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