Download - Apostila Carta CEP

1 - Introdução

A seguir apresentamos alguns conceitos e definições importantes

para o melhor entendimento do conteúdo desse módulo.

Processo: é a combinação de máquinas, métodos, material e mão-

de-obra envolvidos na produção de um determinado produto ou

serviço.

Controle: é o conjunto de decisões que tem por objetivo a satisfação

de determinados padrões ou especificações por parte dos produtos

focados no cliente.

O CEP estabelece:

1. Informação permanente sobre o comportamento do processo;

2. Utilização da informação para detectar e caracterizar as causas

que geram instabilidade no processo;

3. Indicação de ações para corrigir e prevenir as causas de

instabilidade;

4. Informações para melhoria contínua do processo.

Sistema de controle do processo

Quatro elementos destes sistemas são importantes para as

discussões a seguir.

1. O Processo

Entendemos como processo a combinação de fornecedores,

produtores, pessoas, equipamentos, materiais de entrada, métodos e

meio ambiente que trabalham juntos para produzir o resultado

(produto), e os clientes correspondem aos elementos que utilizam o

resultado (ver Figura 1.1).

Figura 1.1: Sistema de controle do processo.

2. Informações sobre o desempenho

Muita informação sobre o real desempenho do processo pode ser

aprendida através de estudo do resultado (saída) do processo. A

informação mais útil sobre o desempenho de um processo vem,

entretanto, da compreensão do processo em si, e de sua variabilidade

interna. Características do processo (como temperaturas, tempo de

ciclos, taxas de alimentação, taxas de absenteísmo, rotatividade de

pessoas, atrasos, ou número de interrupções) deveriam ser o alvo

supremo de nossos reforços.

3. Ações sobre o processo

Uma ação sobre o processo é geralmente mais econômica quando

realizada para prevenir que as características importantes (do

processo ou do produto) variem muito em relação aos seus valores-

alvo. Tal ação pode consistir em:

Mudanças nas operações

o Treinamento para os operadores;

o Mudanças nos materiais que entram;

Mudanças nos elementos mais básicos do processo

o Equipamento;

o A comunicação entre as pessoas;

o O projeto do processo como um todo - que pode estar vulnerável à

mudanças de temperatura ou umidade.

Os efeitos das ações deveriam ser monitorados, para que uma análise

e ação posterior pudesse ser tomada, se necessária.

4. Ações sobre o resultado

Uma ação sobre o resultado é freqüentemente menos econômica

quando se restringe a detecção e correção do produto fora da

especificação, não indicando o fato gerador do problema no processo.

Infelizmente, se o resultado atual não atinge consistentemente os

requisitos exigidos pelo cliente, pode ser necessário classificar todos

os produtos e refugar ou retrabalhar quaisquer itens não-conformes.

Esta atitude deve ser mantida até que a ação corretiva necessária

sobre o processo tenha sido tomada e verificada, ou até que as

especificações do produto tenham sido alteradas.

Definições

Variabilidade: É o conjunto de diferenças nas variáveis (diâmetros,

pesos, densidades, etc.) ou atributos (cor, defeitos, etc.) presentes

universalmente nos produtos e serviços resultantes de qualquer

atividade. Podemos classificá-las em comuns ou aleatórias e especiais

ou assinaláveis.

Tabela 1.1: Definições de causas comuns e especiais.

Comuns Especiais

DefiniçãoEfeito acumulativo de causas não

controláveis, com pouca influência individualmente.

Falhas ocasionais que ocorrem durante o processo, com grande influência

individualmente

Exemplos

Vibrações,temperatura, umidade, falhas na sistemática do processo,

dentre outras.

Variações na matéria-prima, erros de operação, imprecisão no ajuste da

máquina, desgastes de ferramentas, dentre outras.

Variabilidade do processo: Um processo está sob controle

estatístico (estável) quando não existem causas especiais. O fato de

um processo estar sob controle estatístico não implica que o mesmo

está produzindo dentro de um nível de qualidade aceitável. O nível de

qualidade de um processo é estudado via uma técnica denominada

análise de capacidade/performance.

O objetivo é desenvolver uma estratégia de controle para o processo

que nos permite separar eventos relacionados à causas especiais de

eventos relacionados à causas comuns (falhas na sistemática do

processo). Desta forma, para um dado processo, um gráfico de

controle pode indicar a ocorrência de causas especiais de variação.

Figura 1.2: Processo previsível.

Figura 1.3: Processo não previsível.

Ações locais e ações gerenciais sobre o sistema

Há uma importante relação entre os dois tipos de variação que

acabamos de discutir e os tipos de ações necessárias para reduzí-las,

sendo:

Causa especial: requer uma ação local.

Causa comum: geralmente requer um ação sobre o sistema ou ação

gerencial.

Pode ser errado, por exemplo, tomar uma ação local (ex. ajuste de

uma máquina) quando uma ação gerencial sobre o sistema é

necessária (ex. seleção de fornecedores que entreguem materiais de

entrada compatíveis ao sistema). Entretanto, o trabalho em conjunto

entre gerência e aquelas pessoas ligadas diretamente à operação é

essencial para uma redução significativa das causas comuns de

variação do processo.

O ciclo de melhoria e o controle do processo

Figura 1.4: O ciclo de melhoria e o controle do processo.

1. Analisar o processo

Dentre as perguntas a serem respondidas a fim de alcançar um

melhor conhecimento do processo, estão:

O que o processo deveria estar fazendo?

o O que está sendo esperado de cada estágio do processo?

o Quais são as definições operacionais das saídas em potencial?

O que pode estar errado?

o O que pode variar neste processo?

o O que já sabemos a respeito da variabilidade deste processo?

o Que parâmetros são mais sensíveis à variação?

O que o processo está fazendo?

o Este processo está gerando refugo ou resultados que requeiram

retrabalhos?

o Este processo produz um resultado que esteja num estado de

controle estatístico?

o O processo é capaz?

o O processo é confiável?

Muitas técnicas discutidas de desenvolvimento de processos podem

ser aplicadas para garantir um melhor entendimento do processo.

Estas atividades incluem:

Reuniões em grupo

Consulta a pessoas que desenvolveram e operam o processo

Revisão da história do processo

Construção de uma planilha de FMEA

As cartas de controle desenvolvidas neste módulo são ferramentas

poderosas que devem ser usadas durante todos os ciclos de melhoria

do processo. Esses métodos estatísticos simples ajudam a distinguir

as causas comuns e as causas especiais de variação do processo.

Quando um estado de controle do processo é alcançado o nível atual

da capacidade do processo pode ser avaliado.

2. Manter o controle do processo

Uma vez adquirida uma compreensão melhor do processo, devemos

mantê-lo dentro de um nível apropriado de capacidade. Processos são

dinâmicos e podem mudar, logo o desempenho do processo deve ser

monitorado, para que medidas eficazes de prevenção contra

mudanças indesejáveis possam ser executadas.

A mudança desejável deve também ser entendida e

institucionalizada. Quando sinalizado que uma mudança no processo

ocorreu, medidas rápidas e eficientes devem ser tomadas para isolar

as causas e agir sobre elas.

3. Aperfeiçor o processo

A melhoria do processo através da redução de variação,

especificamente envolve a introdução (proposital) de mudanças

dentro do processo, e a avaliação dos efeitos causados. O objetivo é

uma melhor compreensão do processo, para que as causas comuns

de variação possam ser reduzidas posteriormente. A intenção desta

redução é a melhoria da qualidade ao menor custo.

Assim que novos parâmetros do processo tenham sido determinados,

o ciclo volta ao estágio de Analisar o Processo. Uma vez que

alterações foram introduzidas, a estabilidade do processo precisa ser

reconfirmada. O processo continua então a se mover em torno do

Ciclo de melhoria do processo

2 - Gráficos ou Cartas de Controle

Carta de controle é um tipo de gráfico utilizado para o

acompanhamento de um processo. Este gráfico determina

estatisticamente uma faixa denominada limites de controle, que é

limitada pela linha superior (limite superior de controle) e uma linha

inferior (limite inferior de controle), além de uma linha média. O

objetivo é verificar, por meio do gráfico, se o processo está sob

controle, isto é, isento de causas especiais.

Gráficos de Controle

Para distinguir as variações do processo que anteriormente

chamamos de comuns e especiais, e detectar as especiais, foi

desenvolvida uma ferramenta que, desde então, denominamos

Cartas ou Gráficos de Controle.

As funções destes gráficos são:

1. “Mostrar evidências de que um processo esteja operando em

estado de controle estatístico e dar sinais de presença de

causas especiais de variação para que medidas corretivas

apropriadas sejam aplicadas”.

2. “Manter o estado de controle estatístico estendendo a função

dos limites de controle como base de decisões”.

3. “Apresentar informações para que sejam tomadas ações

gerenciais de melhoria dos processos”.

Formas de aplicação

A forma mais usual dos gráficos de controle envolve registros

cronológicos regulares (dia-a-dia, hora-a-hora, etc) de uma ou mais

características (por exemplo, média, amplitude, proporção, etc)

calculadas em amostras obtidas de medições em fases apropriadas

do processo. Estes valores são dispostos, pela sua ordem, em um

gráfico que possui uma linha central e dois limites, denominados

“limites de controle” (ver Figura 2.1).

Os gráficos de controle fornecem assim uma regra de decisão muito

simples: pontos dispostos fora dos limites de controle indicam que o

processo está “fora de controle”. Se todos os pontos dispostos

estão dentro dos limites e dispostos de forma aleatória,

consideramos que “não existem evidências de que o processo esteja

fora de controle".

Podemos observar no primeiro gráfico que os dados estão dispostos

entre os limites do intervalo, exceto uma observação. Observe

também que há indícios de falta de aleatoriedade no gráfico (os

últimos 8 pontos estão abaixo da linha central), entretanto, o gráfico

da Amplitude apresenta um comportamento supostamente aleatório.

Figura 2.1: Modelo de gráficos de controle.

Benefícios dos gráficos de controle

Os gráficos de controle, ao distinguir as causas comuns das causas

especiais de variação e indicar se o problema é local ou merece

atenção gerencial, evita frustrações e o custo de erros no

direcionamento da solução de problemas.

Ao melhorar o processo os gráficos de controle produzem:

1. Um aumento na porcentagem de produtos capazes de

satisfazer aos requisitos do cliente.

2. Uma diminuição do retrabalho e sucata, diminuindo,

conseqüentemente, os custos de fabricação.

3. Aumenta a probabilidade geral de produtos aceitáveis.

4. Informações para melhoria do processo.

Para que possamos atingir os benefícios da aplicação do CEP, a

organização precisa se preparar:

Filosofia da gerência

As decisões da gerência da empresa podem afetar diretamente os

programas de CEP em:

1. Focar a organização da empresa na diminuição da variação;

2. Estabelecer um ambiente aberto que minimize as competições

internas e de suporte para o trabalho em equipe;

3. Dar suporte e favorecer os treinamentos necessários;

4. Aplicar o CEP para promover um melhor entendimento das

variações da engenharia de processo;

5. Aplicar o CEP para gerenciar os dados e usar a informação

obtida nas decisões do dia a dia.

Filosofia da engenharia

Como a engenharia usa a informação para poder planejar o

desenvolvimento que podem e irão ter influência no nível de variação

do produto final, apresentamos algumas maneiras de como a

engenharia pode mostrar o uso efetivo do CEP:

1. Focar a organização na redução da variação através do

planejamento do processo, ou seja, número de mudanças no

design, planejamento da manufatura e montagem;

2. Estabelecer um ambiente aberto que minimize a competição

interna e prevaleça o trabalho em equipe;

3. Dar suporte para que os funcionários envolvidos no processo

façam treinamentos adequados;

4. Aplicar o CEP para promover um melhor entendimento das

variações da engenharia de processo;

5. Exigir um melhor entendimento da variação e estabilidade em

relação aos dados que são usados no desenvolvimento do

projeto;

6. Favorecer as mudanças na engenharia do produto que foram

fruto das análises do CEP que podem ajudar na diminuição da

variação.

Manufatura

Como a manufatura desenvolve e opera máquinas e os sistemas de

transferência que

podem impactar o nível e o tipo de variação no produto final.

1. Focar a organização da manufatura na redução da variação, isto

é, controlar o número de diferentes processos, o impacto dos

processos multi ferramentais, ferramentas e máquinas de

manutenção, etc;

2. Estabelecer um ambiente de engenharia aberto que possa

minimizar a competição interna e dar suporte para o trabalho

de equipe;

3. Incentivar, manter e treinar os funcionários no uso do CEP;

4. Aplicar o CEP para entender a variação e estabilidade dos dados

que serão usados no desenvolvimento do processo;

5. Usar as análises do CEP para promover melhorias no processo;

6. Não passar a responsabilidade pelas cartas de controle para os

operadores até que o processo esteja sob controle. A

transferência de responsabilidade do processo só deve ocorrer

quando o processo estiver sob controle.

Controle da qualidade

O controle da qualidade é um componente crítico que provê suporte

para as melhorias sugeridas pelo uso do CEP.

1. Dar suporte ao treinamento para manutenção do CEP;

2. Focar as pessoas na aplicação do CEP;

3. Ajudar na identificação das causas de variação do processo;

4. Assegurar que o uso correto das informações provenientes do

programa de CEP estejam sendo corretamente utilizadas.

Produção

As pessoas envolvidas na produção estão diretamente relacionadas

ao processo e a efetividade da variação do processo. Elas devem:

1. Estar treinadas na aplicação do programa de CEP para resolver

problemas;

2. Ter entendimento da variação e estabilidade em relação aos

dados e as informações que estarão sendo usadas no programa

de CEP;

3. Estar alertas! A comunicação entre a equipe é importante

quando a situação muda;

4. Atualizar, manter e disponibilizar as cartas de controle com a

equipe responsável;

5. Aprender com as informações coletadas do processo.

A seguir, apresentamos os gráfico mais simples e utilizados nas

organizações.

Tipos de gráficos de controle

Existem dois tipos básicos de gráficos de Controle:

Gráficos por variáveis:

o Gráficos e R (média e amplitude)

o Gráficos e S (média e desvio padrão)

o Gráficos e R (mediana e desvio padrão)

o Gráficos para Valores Individuais (X) e Amplitude Móvel (MR)

Gráficos por atributos:

o Gráfico p (proporções não conforme)

o Gráfico np (unidades não conforme)

o Gráfico c (número de não conformidade por unidade)

o Gráfico u (taxa de não conformidade por unidade)

3 - Fase Preparatória e Elaboração dos Gráficos

Seja qual for o tipo do gráfico que se vai utilizar, é necessário que

executem uma série de etapas preparatórias para a sua aplicação:

1. Conscientização e treinamento das pessoas envolvidas no

processo.

2. Correta definição do processo (mapeamento do processo).

3. Análise para escolha das características de qualidade mais

significativas, com foco no cliente. A aplicação do gráfico de

Pareto pode ter grande utilidade nessa etapa.

4. Definição e análise do sistema de medição (unidades,

instrumentos, grau de precisão das medidas, método para

efetuar as medidas, etc).

5. Escolha da fase do processo onde serão efetuados os registros,

a fim de obter informações que permitam, no caso em que

causas especiais sejam detectadas, sua imediata e efetiva

correção para evitar os itens defeituosos.

Uma vez efetuada a fase preparatória, a elaboração dos gráficos deve

obedecer os seguintes passos:

1. Escolha do tipo de gráfico;

2. Coleta de dados;

3. Indicação do estado do processo e sua performance;

4. Determinação da capacidade do processo, depois de se ter

atingido o estado de controle;

5. Ações para melhoria do processo.

Os tópicos seguintes descrevem cada um dos itens acima.

Escolha do tipo do gráfico

Em princípio, o tipo gráfico a ser selecionado depende da

característica da qualidade a ser controlada. Sendo esta uma

característica contínua (peso, dimensão, concentração, etc) os

gráficos para valores individuais ou os e (ou e ) poderão ser

utilizados. Muitas vezes instrumentos passa/não passa são utilizados,

o que produz uma discretização das características contínuas,

permitindo assim a utilização de gráficos p (ou np).

Coleta de dados - subgrupos racionais

Para proceder a coleta de dados é necessário escolher o tamanho de

cada amostra e a freqüência de amostragem, também denominada

subgrupo racional, assim como a quantidade de subgrupos

racionais. Na amostragem é fundamental escolher as amostras que

representem subgrupos de itens que sejam os mais homogêneos

possíveis, visando exaltar diferenças entre grupos.

" É muito importante na aplicação dos gráficos de controle escolher

de forma cuidadosa os subgrupos racionais."

Algumas considerações a respeito do tamanho dos subgrupos para os

gráficos e ou e são:

1. Os subgrupos devem ter o menor tamanho possível de forma

que as suas médias não mascarem as mudanças.

2. Subgrupos de tamanho 4 ou 5 detectam mudanças no processo

mais rapidamente que subgrupos maiores.

3. Subgrupos de 4 ou 5 ítens são ótimos (ou quase) se as causas

especiais produzem mudanças de 2σ (2 sigma) ou mais no nível

geral do processo. Caso as mudanças sejam pequenas (1σ ou

menos) será necessário, para detectá-las, escolher subgrupos

maiores (de 15 ou 20 itens). Aplicação de ferramentas como

CUSUM propiciam uma análise de pequenas variações.

Muitas vezes, para que possamos determinar adequadamente os

subgrupos racionais, podemos utilizar o diagrama de causa e efeito

ou mesmo o FMEA de processo.

Escolha dos limites de controle

A escolha dos limites de controle é uma decisão a ser tomada com

base, essencialmente, em critérios econômicos. O uso dos limites 3σ

(3 sigma) está bastante generalizado, mas existem situações onde é

necessário aplicar outros critérios.

Cálculo da linha central e dos limites de controle

O cálculo dos limites de controle e da linha central será considerado

caso a caso, para cada tipo de gráfico e suas possíveis variantes.

Indicação do estado do processo

Quando os dados são registrados e comparados com os limites de

controle, pontos fora (dentro) destes limites indicarão que o processo

está "fora de controle" ("sob controle") estatístico. Depois que ações

(geralmente locais) foram tomadas, mais observações são coletadas

e, se necessário, os limites são recalculados para estudar a presença

de outras eventuais causas especiais de variação.

Determinação da capacidade do processo

Os limites de controle não são limites de especificação, mas

refletem a variabilidade natural do processo, funcionando somente

como indicadores de causas especiais de variação. Depois que as

causas especiais são eliminadas a capacidade do processo poderá ser

avaliada.

Na Figura 3.1 exemplificamos os limites de controle e a linha central

para o gráfico .

Figura 3.1: Limites de controle e linha central para o gráfico .

3.1 - Planejamento para implantação do CEP

Inicialmente defendemos que o CEP somente tem chances de ser

implantado adequadamente em um ambiente onde as barreiras e os

paradigmas sejam facilmente quebrados, onde haja compromisso

gerencial efetivo, a importância dos clientes reconhecida e outros

aspectos fundamentais a implantação de uma metodologia de

trabalho sejam também relevados. De forma geral, as etapas

propostas são:

Etapa 1: Obter compromisso da alta administração

Obter o compromisso efetivo da alta administração;

Formar um comitê de gerentes responsável pelo programa.

Responsável: Produção, Engenharia de Produto, Engenharia de

Processo, Qualidade.

Ferramentas: Apresentação de consultores externos e seminários

gerenciais.

Etapa 2: Formular uma política (diretrizes)

Indicar um “facilitador” e uma “equipe de melhoria”;

O comitê em conjunto com o facilitador deve estabelecer um plano

geral que contemple as principais diretrizes do programa de CEP:

1. objetivos gerais;

2. as responsabilidades gerenciais;

3. a estratégia de treinamento;

4. os recursos necessários para execução do programa;

5. as necessidades financeiras;

6. cronograma.

Responsável: Comitê

Ferramentas: Reuniões de trabalho.

Etapa 3: Estabelecer responsabilidades do facilitador e da equipe de

melhoria

A principal função do facilitador é estabelecer, desenvolver e

monitorar o programa de CEP;

Dependendo do tamanho da organização talvez seja necessário

indicar mais do que um facilitador.

Uma das principais responsabilidades do facilitador é de ser o

treinador, de fornecer suporte às áreas que se propõem a implantar

o CEP.

Principais características ou habilidades que o facilitador deve ter:

boa comunicação, habilidades em análises estatísticas práticas,

adequado relacionamento com o chão-de-fábrica, ter a confiança de

todos os níveis da organização e ser um entusiasta do CEP.

A Equipe de Melhoria deve ser composta por representantes de 5

áreas: engenharia, gerência, produção, manufatura, e controle da

qualidade.

A principal responsabilidade da Equipe de Melhoria é a de participar

das reuniões e sessões de brainstorming na busca e eliminação de

causas especiais de variação.



Etapa 4: Definir uma estratégia de treinamento

Algumas questões ajudam a definir a estratégia:

1. Quantas pessoas necessitam ser treinadas?

2. Quais os tipos diferentes de cursos que necessitam ser

desenvolvidos?

3. Quem fará o treinamento?

4. Quantas pessoas serão treinadas?

5. Os treinamentos serão feitos fora ou dentro da empresa?

Responsável: Comitê e facilitador


Etapa 5: Treinar gerentes e supervisores

Após definida a estratégia de treinamento é importante realizá-los

inicialmente com os gerentes e, em seguida com os supervisores.

É importante que o treinamento seja complementado com uma

atividade prática.


Ferramentas: Apresentação de consultores externos e seminários

gerenciais.

Etapa 6: Informar os operadores

Declarar aos operadores que o CEP será implantado.

É importante lembrar que esta atividade de comunicação ainda não

envolve treinamento.

Responsável: Diretor, gerente geral.

Ferramentas: Técnicas de apresentação, vídeos.

Etapa 7: Envolver fornecedores

Muito provavelmente as melhorias a serem obtidas com a

implantação do CEP dependem da participação dos fornecedores.

A melhoria dos processos pode, algumas vezes, depender

diretamente da melhoria da qualidade da matéria-prima.


Ferramentas: Seminários gerenciais, treinamento etc.

Etapa 8: Escolha das características da qualidade para a aplicação

do CEP.

Para fazer a escolha das características de qualidade que serão

avaliadas pelo CEP, sugerimos os seguintes pontos:

1. Análise das necessidades do cliente

2. Especificações e desenhos fornecidos pelo cliente

3. Regulações aplicadas (Legislações)

4. FMEA’s

5. Resultados de testes

6. Lições aprendidas do passado

Na utilização de FMEA’s sugerimos o seguinte critério:

D-FMEA detecta características de qualidade “potenciais” a serem

avaliadas quando:

1. S = 10 ou 9 (S = Severidade)

2. S = 8 e se Ocorrência é estritamente maior do que 1

P-FMEA transforma características de qualidade “potenciais” em

características “confirmadas” quando:

1. S = 10 ou 9

2. S = 8 e se Ocorrência é estritamente maior do que 4

Aplicar MSA às características escolhidas.

Responsável: Gerentes, técnicos e facilitador.

Ferramentas: FMEA, MSA, Gráfico de Pareto.

Etapa 9: Coletar dados ( FASE 1 do Modelo de Melhoria)

Escolher o tipo de gráfico a ser aplicado

Definir o subgrupo racional

Coletar os dados: envolver diferentes lotes de produção

Elaborar os primeiros gráficos: avaliar a estabilidade

Avaliar a capacidade/performance do processo

Sugestão de regras para a administração do CEP:

1. Criar lista de características que estão sendo monitoradas com

o CEP

2. Eliminar o CEP das características que tiverem Pp ≥ 2 e Ppk ≥

1,5.

3. Diminuir frequência de amostragem para as características que

tiverem Pp ≥ 1,5 e Ppk ≥ 1,33.

4. Manter (e até aumentar) frequência de amostragem para

características que não tiverem boa performance.

Responder as perguntas:

1. Pergunta 1: O sistema é estável? (sim ou não)

2. Pergunta 2: O sistema é capaz? (sim ou não)

As possíveis combinações são:

É estável? É capaz? Etapasim sim 12sim não 11não sim 12não não 10

Verificar as combinações e seguir a etapa (tomar um caminho).

Responsável: Facilitador, Técnicos e Equipe de Melhoria.

Ferramentas: Gráficos de controle, Cp, Cpk, Pp, Ppk.

Etapa 10: Detecção das causas especiais e ações sobre o processo.

Retirar os pontos fora de controle da fase de coleta de dados e

recalcular os limites de controle;

Elaborar a carta de CEP com os limites fixados;

Definir quais os sinais de falta de controle;

Definir o responsável pela carta de CEP em cada turno de produção;

Definir o diário de bordo apropriado do processo em análise;

Treinar os envolvidos na melhoria do processo;

Reiniciar a coleta de dados;

Estabilizar o processo com ações de melhoria;

Avaliar a capacidade do processo.

Vai para a Etapa 9.

Responsável: Manufatura, Facilitador, Técnicos e Equipe de Melhoria.


Etapa 11: Melhoria de Processo

Manter o CEP para monitorar o processo;

Aplicação de técnicas dos Seis Sigmas para melhoria de processo:

1. Identificação das causas comuns de variação;

2. Redução de causas comuns de variação;

3. Aplicação de DOE.

Vai para a Etapa 9.



Etapa 12: Monitoramento do Processo

Elaborar o gráfico do farol

Avaliar a capacidade do processo.

Vá para a Etapa 9.



4 - Gráficos de Controle por Variáveis

Muitas características da qualidade podem ser expressas em termos

de valores numéricos. Por exemplo, o diâmetro de um anel pode ser

medido com um micrômetro e expresso em termos de milímetros. As

características da qualidade mensuráveis tais como peso, dimensão

ou volume são denominadas variáveis.

Quando analisamos uma característica da qualidade que é uma

variável, em geral, controlamos o valor médio da característica da

qualidade e sua variabilidade. O valor médio é controlado através do

gráfico da média denominado gráfico . Enquanto que a variabilidade

do processo pode ser acompanhada através do gráfico do desvio

padrão denominado gráfico ou o gráfico da amplitude denominado

gráfico .

4.1 - Gráficos Média e Amplitude

Quando lidamos com uma característica da qualidade que é uma

variável, necessitamos monitorar tanto a média da característica da

qualidade quanto a sua variabilidade. Para isto, supomos que a

característica da qualidade tem distribuição de probabilidade com

média μ e desvio padrão σ. Assim, para uma amostra aleatória X1,

X2, ... , Xn de tamanho n, temos que a média amostral é dada por:

Com isso, aplicando o Teorema Central do Limite para esta

amostra aleatória, quando o tamanho da amostra aumenta, a

distribuição amostral da média se aproxima de uma distribuição

Normal com média μ e desvio padrão , ou seja, se o tamanho

amostral é suficientemente grande, podemos assumir que a média

amostral tem uma distribuição Normal. Consequentemente, o

intervalo de confiança da média é dado por:

Na prática, geralmente não conhecemos μ e σ, contudo, estes

parâmetros são estimadas à partir de amostras preliminares tomadas

em subgrupos de pelo menos 20 a 25 amostras. Suponhamos que

temos disponível m amostras, com cada uma contendo n observações

sobre a característica da qualidade. Nas aplicações, o número de

observações n é pequeno e geralmente resultam à partir da

construção de subgrupos racionais, em que os custos de amostragem

e de inspecção associadas com as medições das variáveis são altas.

Para o gráfico da média , tomamos as médias de cada

amostra, temos que o melhor estimador de para o processo da

média é dada por:

que é a linha central do gráfico

Agora, necessitamos da estimativa do desvio padrão, para isto,

vamos estimar nesta seção pela amplitude Assim, para uma

amostra aleatória X1, X2, ... , Xn de tamanho n, temos que a amplitude

é dada por:

Agora, seja as amplitudes das m amostras, então a linha

central (LC) ou a média das amplitudes é dada por:

A seguir, vamos apresentar os principais tópicos para a construção do

gráfico e

Os gráficos e (média e amplitude) devem ser implementados

simultaneamente, pois as funções se complementam.

Objetivo: controlar a variabilidade do processo e detectar qualquer

mudança que aconteça.

Um processo pode sair de controle por alterações no seu nível ou na

sua dispersão. As mudanças no nível (média) e dispersão

(variabilidade) do processo podem ser consequências de causas

especiais, gerando defeitos.

Cálculo dos limites de controle

Para o desenvolvimento dos limites de controle, primeiramente

vamos definir a variável aleatória chamada Amplitude Relativa.

A principal propriedade de é que sua média é a constante que

depende do tamanho da amostra. Com isso, o estimador não viciado

do desvio padrão da distribuição Normal é dada por

consequentemente para temos que o estimador para o desvio

padrão é dada por:

Agora, temos as ferramentas necessárias para a construção dos

limites de controle para o gráfico e Logo, usando a equação

(4.1.1) e usando obtemos os limites de controle para o gráfico

da seguinte forma

e

Assumindo que a característica de qualidade é normalmente

distribuída, é calculada à partir da distribuição Amplitude Relativa

. Assim, o desvio padrão de é dado por (para mais detalhes

consulte o livro de Montgomery, D.C. (2001)), é uma constante

que depende do tamanho da amostra . Logo, para o desvio

padrão de é dada por:

Portanto, os limites de controle para o gráfico são dadas por:

e

Resumindo temos que,

Para as médias:

Limite Superior de Controle:

Linha Central:

Limite Inferior de Controle:

Para as amplitudes:

Limite Superior de controle:

Linha Central:

Limite Inferior de Controle:

Disposição dos pontos nos gráficos e

Tendo calculado as Linhas Centrais e os Limites Inferiores e

Superiores de Controle para os gráficos e , estamos em condições

de dispor os pontos que representam as médias amostrais (no gráfico

) e as amplitudes amostrais (no gráfico ), respectivamente.

Para facilitar a análise dos resultados é também recomendável

colocar os gráficos um abaixo do outro e marcar os pontos

correspondentes a uma mesma amostra na mesma reta vertical.

Fase I: Aplicação dos gráficos e

Na Fase I, quando amostras preliminares são usadas para construir os

gráficos e é de costume tratar os limites de controle obtidos como

limites de controle teste. Eles permitem determinar se o processo

estava sob controle quando as m amostras preliminares foram

selecionadas. Para determinar se o processo estava sob controle

quando amostras preliminares foram coletadas podemos plotar os

valores de e de cada amostra nos gráficos e analisar o resultado

obtido. Se todos os pontos plotados estão dentro dos limites e

nenhum comportamento sistemático é evidenciado, então concluimos

que o processo estava sob controle no passado e os limites de

controle teste são adequados para controlar a produção atual ou

futura. É altamente desejável ter de 20 a 25 amostras ou subgrupos

de tamanho n (tipicamente n está entre 3 e 5) para calcular os limites

de controle teste. Podemos, é claro, trabalhar com menos dados,

porém os limites de controle não são tão confiáveis.

Suponha que um ou mais valores de ou de estejam fora de

controle quando comparados com os limites de controle teste.

Claramente, se os limites de controle para a produção atual ou futura

são significativos eles devem ser baseados em dados de um processo

que está sob controle. Entretanto, quando a hipótese de controle

passada é rejeitada é necessário revisar os limites de controle teste.

Isso é feito examinando cada um dos pontos fora de controle,

procurando por uma causa assinalável. Se uma causa assinalável é

encontrada, o ponto é descartado e os limites de controle teste são

recalculados usando somente os pontos remanescentes. Então, esses

pontos remanescentes são reexaminados para controle. (Note que os

pontos que estavam sob controle inicialmente podem agora estar fora

de controle, pois os limites de controle teste são geralmente mais

severos do que os antigos.) Esse processo continua até que todos os

pontos estejam sob controle, pontos para os quais os limites de

controle teste são adotados para uso atual.

Em alguns casos, pode não ser possível encontrar uma causa

assinalável para um ponto que caia fora de controle. Dessa forma, há

dois caminhos a tomar. O primeiro deles é eliminar o ponto caso uma

causa assinalável tenha sido encontrada. Não há nenhuma

justificativa analítica para escolher essa ação, a não ser a de que os

pontos que estejam fora dos limites de controle foram extraídos da

distribuição de probabilidade de uma característica de um estado fora

de controle. A alternativa então é manter o ponto (ou pontos)

considerando os limites de controle teste como apropriados para o

controle atual. É claro, se o ponto realmente não representa uma

condição de fora de controle, os limites de controle resultantes serão

muito largos. No entanto, se existe um ou dois desses pontos isso não

distorcerá o gráfico de controle significamente. Se amostras futuras

ainda indicarem controle então os pontos inexplicados podem

provavelmente ser retirados seguramente.

Ocasionalmente, os valores amostrais iniciais de e são plotados

contra os limites de controle teste e muitos pontos cairão fora de

controle. Claramente, se retirarmos arbitrariamente pontos fora de

controle teremos uma situação insatisfatória, com poucos dados

remanescentes para recalcular limites de controle confiáveis.

Suspeitamos que esse tipo de abordagem ignoraria muita informação

útil nos dados. Porém, procurar por uma causa assinalável para cada

ponto fora de controle é improvável obter sucesso. Achamos que

quando muitas amostras iniciais caem fora de controle contra os

limites teste, é melhor concentrar sobre um padrão formado por

esses pontos. Tais padrões quase sempre existirão. Geralmente, a

causa assinalável associada com o padrão de pontos fora de controle

é fácil de identificar. A remoção desse problema geralmente resulta

em uma melhoria no processo (principal).

Revisão dos Limites de Controle e Linhas Centrais

O uso eficaz de um gráfico de controle requer revisão periódica dos

limites de controle e das linhas centrais. Alguns práticos estabelecem

períodos regulares para rever e fazer revisões dos limites dos gráficos

de controle tais como toda semana, todo mês ou a cada 25, 50 ou

100 amostras. Ao revisar limites de controle devemos lembrar que é

altamente desejável usar pelo menos 25 amostras ou subgrupos

(algumas autoridades recomendam de 200 a 300 observações

individuais) no cálculo dos limites de controle.

Algumas vezes o usuário substitui a linha central do gráfico pelo

valor alvo, digamos . Se o gráfico exibe controle pode ser útil

deslocar a média do processo para o valor desejado, particularmente

em processos onde a média pode ser mudada por um simples ajuste

de uma variável manipulável do processo. Se a média não é

facilmente influenciada por um simples ajuste do processo, então é

provável ser uma função desconhecida e complexa de várias

variáveis do processo e um valor alvo pode não ser útil, assim

como o uso daquele valor poderia resultar em muitos pontos fora dos

limites de controle. Nesses casos, não saberíamos necessariamente

se o ponto estava realmente associado à uma causa assinalável ou se

foi plotado fora dos limites por causa de uma má escolha para a linha

central.

Quando o gráfico está fora de controle, eliminamos os pontos fora

de controle e recalculamos um valor revisado de . Esse valor é

então usado para determinar novos limites e linha central do gráfico

e novos limites no gráfico . Temos assim limites mais severos

(apertados) em ambos os gráficos, tornando-os consistentes (com um

desvio padrão consistente) com o uso do revisado na relação .

Essa estimativa de poderia ser usada como base das análises

preliminares da capacidade do processo.

Exemplo 4.1.1: Para aplicação dos gráficos e consideremos

dados correspondentes ao comprimento de peças em subgrupos de

tamanho 5.

Tabela 4.1.1: Dados amostrais de comprimentos de peças.

X1 X2 X3 X4 X5 R

0,65 0,7 0,65 0,65 0,85 0,7 0,2

0,75 0,85 0,75 0,85 0,65 0,77 0,2

0,75 0,8 0,8 0,7 0,75 0,76 0,1

0,6 0,7 0,7 0,75 0,65 0,68 0,15

0,7 0,75 0,65 0,85 0,8 0,75 0,2

0,6 0,75 0,75 0,85 0,7 0,73 0,25

0,75 0,8 0,65 0,75 0,7 0,73 0,15

0,6 0,7 0,8 0,75 0,75 0,72 0,2

0,65 0,8 0,85 0,85 0,75 0,78 0,2

0,6 0,7 0,6 0,8 0,65 0,67 0,2

0,8 0,75 0,7 0,8 0,7 0,75 0,1

0,85 0,75 0,85 0,65 0,7 0,76 0,2

0,7 0,7 0,75 0,75 0,7 0,72 0,05

0,65 0,7 0,85 0,75 0,6 0,71 0,25

0,9 0,8 0,8 0,75 0,85 0,82 0,15

0,75 0,8 0,75 0,8 0,65 0,75 0,15

0,75 0,7 0,85 0,7 0,8 0,76 0,15

0,75 0,7 0,6 0,7 0,6 0,67 0,15

0,65 0,65 0,85 0,65 0,7 0,7 0,2

0,6 0,6 0,65 0,6 0,65 0,62 0,05

0,5 0,55 0,65 0,8 0,8 0,66 0,3

0,6 0,8 0,65 0,65 0,75 0,69 0,2

0,8 0,65 0,75 0,65 0,65 0,7 0,15

0,65 0,6 0,6 0,6 0,7 0,63 0,1

0,65 0,7 0,7 0,6 0,65 0,66 0,1

clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo

Etapas para a coleta das amostras e análise dos dados:

1. Seleção da característica de qualidade do processo, focada no

cliente.

2. Registro das observações obtidas seguindo os critérios de

amostragem racional. No exemplo foram escolhidos 5 itens por

hora, durante m = 25 horas.

3. Cálculo da média amostral e da amplitude amostral , para

cada i = 1, 2, …, m. Os valores de e de acompanham os

valores em cada coluna.

4. Cálculo da média das médias amostrais e da média das

amplitudes amostrais, os quais são indicados, respectivamente,

por e .

Para os dados do nosso exemplo temos:

m = Número de amostras = 25

n = Tamanho das amostras = 5

Vamos agora calcular os limites de controle. No Apêndice se

encontram os valores tabelados das constantes necessárias para o

cálculo, assim para n = 5 temos, A2 = 0,577; D3 = 0 e D4 = 2,114.

Aplicando as fórmulas, obtemos:

Para a média:

Para a amplitude:

A seguir temos os resultados obtidos pelo Software Action para esse

exemplo.

Figura 4.1.1: Gráficos e .

O gráfico das amplitudes ( ) se encontra sob controle estatístico. No

entanto, o gráfico apresenta um ponto a mais de 3 desvios padrão

da linha central, indicando uma possível causa especial de variação.

Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário.

Fase II: Operação dos gráficos e

Uma vez que limites de controle confiáveis são estabelecidos, usamos

o gráfico de controle para monitorar a produção futura. Esta é a

chamada Fase II do uso do gráfico de controle.

Observando a Figura 4.1.1 notamos que os gráficos de controle

indicam que o processo está sob controle, até o valor da amostra

15 ser plotado. Uma vez que esse ponto cai acima do limite superior

de controle, poderíamos suspeitar que uma causa assinalável tenha

ocorrido naquele instante ou antes. O padrão geral de pontos no

gráfico de cerca de 38 subgrupos subsequentes é um indicativo de

um deslocamento na média do processo.

Uma vez que o gráfico de controle é estabelecido e está sendo usado

no monitoramento online do processo, muitas vezes tentaríamos usar

http://www.portalaction.com.br/636-gr%C3%A1fico-xbar-e-r

as regras de sensibilidade (oito testes de não aleatoriedade ou as

regras da Western Electric) para acelerar a detecção de mudanças.

Entretanto, desencorajamos o uso rotineiro dessas regras de

sensibilidade para o monitoramento online de um processo estável

porque elas fazem aumentar fortemente a ocorrência de falsos

alarmes.

Ao examinarmos os dados de um gráfico de controle é algumas vezes

útil construir um gráfico de corridas (run chart) das observações

individuais de cada amostra. Esse gráfico é algumas vezes chamado

de tolerance chart ou tier diagram e pode revelar algum padrão

nos dados ou mesmo mostrar que um valor particular de ou foi

produzido por uma ou duas observações incomuns na amostra. Um

boxplot é geralmente uma maneira muito simples de construir o tier

diagram.

Objetivos e interpretação dos gráficos e

A função dos gráficos é a de identificar/detectar qualquer evidência

de que a média do processo e sua dispersão não estejam operando a

níveis estáveis.

Se um ou mais pontos estão fora dos limites de controle (seja no

gráfico ou ) ou outro padrão de não aleatoriedade, existe um sinal

de alerta (ou indicador) de que o processo não está sob controle

estatístico.

Um dos objetivos da aplicação dos gráficos de controle é testar se um

processo, não conhecido, está sob controle estatístico ou não e, caso

o processo seja diagnosticado "fora de controle", orientar as ações

para levar o processo ao estado de controle. Para atingir tais

objetivos se procede da seguinte maneira:

1. Dispostos todos os pontos correspondentes às médias

amostrais e às amplitudes amostrais nos respectivos gráficos e

não existindo nenhum padrão de não aleatoriedade, o processo

é considerado "sob controle".

2. Se algum ponto fora dos limites de controle ou qualquer outro

padrão de não aleatoriedade é encontrado, consideramos que

causas especiais de variação estão presentes. Estas causas

deverão ser procuradas e corrigidas. Depois de corrigidas as

causas que determinam o padrão de não aleatoriedade, novos

limites e novas linhas centrais são calculadas, eliminando para

este cálculo os elementos da amostra que determinam o

padrão de não aleatoriedade. Este processo deverá ser

repetido, interativamente, até que nenhum padrão de não

aleatoriedade seja encontrado. Neste momento consideramos

que o processo atingiu o estado de controle. Com o processo

em estado de controle podemos aplicar os gráficos como

instrumento para monitorar o processo e realizar melhorias

contínuas.

Definindo Sinais "fora de controle"

A presença de um ou mais pontos além dos limites de controle é a

primeira evidência de uma causa especial de variação no processo.

Um ponto fora dos limites de controle em muitos casos significa que

um ou mais dos pontos seguintes ocorreram:

O limite de controle ou o ponto no gráfico pode ter sido calculado

errado ou plotado de maneira duvidosa;

O sistema de medição foi alterado, isto é, um avaliador diferente ou

instrumento;

O sistema de medição não discrimina de maneira apropriada.

Existem muitos critérios para identificar causas especiais. Os mais

usados serão discutidos a seguir. A decisão de qual critério usar

depende do processo que está sendo estudado/controlado. Em geral,

começamos de forma simples, apenas avaliamos pontos fora das

linhas de controle. Conforme ganhamos experiência sobre o processo

podemos aumentar os critérios para determinar mais causas

especiais de variação

Nota 1: Com exceção feita ao primeiro critério, os números

associados com os critérios não estabelecem uma ordem de uso. A

determinação de qual critério usar depende das características do

processo e das causas especiais e prioridades com o processo.

Nota 2: Devemos ter cuidado ao se aplicar muitos critérios, exceto

naqueles em que fez sentido o uso de determinado critério.

Portanto, concluiremos que um processo está fora de controle se um

ou mais dos critérios listados abaixo forem encontrados nos gráficos

de controle. Os critérios são:

1 ponto mais do que 3 desvios padrão a partir da linha central;

7 pontos consecutivos no mesmo lado da linha central;

6 pontos consecutivos, todos aumentando ou diminuindo;

14 pontos consecutivos, alternando acima e abaixo;

2 de 3 pontos consecutivos maior que 2 desvios padrão a partir da

linha central (mesmo lado);

4 de 5 pontos consecutivos maior que 1 desvio padrão a partir da

linha central (mesmo lado);

15 pontos consecutivos dentro de 1 desvio padrão da linha central

(qualquer lado);

8 pontos consecutivos maior que 1 desvio padrão a partir da linha

central (qualquer lado).

A seguir serão ilustrados alguns exemplos dos testes.

Figura 4.1.2: Exemplo de 1 ponto mais do que 3 desvios padrão da

linha central.

Figura 4.1.3: Exemplo de 7 pontos em sequência a partir da linha

central.

Figura 4.1.4: Exemplo de 14 pontos em sequência alternando-se ao

longo da linha central.

Figura 4.1.5: Exemplo de 2 de 3 pontos consecutivos, do mesmo lado

da LC, maiores que 2 desvios

padrão.

Figura 4.1.6: Exemplo de 7 pontos, em linha, crescentes.

A Função Característica de Operação

A habilidade dos gráficos e de detectar deslocamentos na

qualidade do processo é descrita por suas curvas características de

operação (CCO). A seguir apresentamos as CCO para gráficos usados

para monitorar a fase II de um processo.

Considere a CCO para um gráfico com o desvio padrão conhecido

e constante. Se a média desloca-se do valor sob controle, digamos

para outro valor a probabilidade de não detectar esse

deslocamento na primeira amostra subsequente ou risco é dada por

Uma vez que e os limites superior e inferior de controle

são

podemos reescrever a equação 4.1.1 como

em que denota a função distribuição acumulada normal padrão.

Com isso, temos

Para ilustrar a equação 4.1.2 vamos supor um gráfico com L = 3 (os

limites usuais três sigma) e tamanho de amostra n=5. Queremos

determinar a probabilidade de detectar um deslocamento para

na primeira amostra seguinte ao deslocamento. Então,

desde que L=3, k=2 e n=5 temos

Este é o risco ou a probabilidade de não detectar o deslocamento.

Dessa forma, a probabilidade que esse deslocamento seja detectado

na primeira amostra subsequente é dada por

Para construir a CCO para o gráfico devemos plotar o risco contra

a magnitude do deslocamento que queremos detectar, expresso em

unidades (k) do desvio padrão, para vários tamanhos de amostra n.

Essas probabilidades podem ser calculadas diretamente da

equação 4.1.2.

Exemplo 4.1.2: Consideremos L=3, n variando de 2 a 10 e

diferentes valores para k obtemos as CCO apresentadas na Figura

4.1.7.

Figura 4.1.7: CCO para o gráfico com limites 3-sigma.

Tabela 4.1.2: Valores de para diferentes valores de k e n.

A Figura 4.1.7 indica que para tamanhos de amostras típicos de

quatro, cinco e seis o gráfico não é particularmente eficiente em

detectar um deslocamento pequeno (da ordem de ou menos) na

primeira amostra após deslocamento. Por exemplo, se o

deslocamento é de e n=5, então da Figura 4.1.7 temos que

aproximadamente. Assim, a probabilidade de que o

deslocamento seja detectado na primeira amostra é

Entretanto, a probabilidade de que o deslocamento seja detectado na

segunda amostra é enquanto que a

probabilidade de que ele seja detectado na terceira amostra é

. Assim, a probabilidade de que o

deslocamento seja detectado na -ésima amostra subsequente é

simplesmente ( ) vezes a probabilidade de não se detectar o

deslocamento em cada uma das amostras iniciais, ou

Em geral, o número esperado de amostras tomadas antes que o

deslocamento seja detectado é simplesmente o average run length

(comprimento médio das corridas) ou

Portanto, no nosso exemplo temos

Em outras palavras, o número esperado de amostras tomadas para

detectar o deslocamento de com n=5 é 4.

A discussão acima fornece um argumento que dá suporte para o uso

de amostras de tamanhos pequenos para o gráfico . Muito embora

tamanhos pequenos de amostras sempre resultam em um risco

relativamente grande, uma vez que as amostras são coletadas e

testadas periodicamente existe uma boa chance de que o

deslocamento seja detectado razoavelmente rápido, talvez não na

primeira amostra seguinte ao deslocamento.

CCO para o gráfico com limites

Para construir a CCO para o gráfico utilizamos a distribuição da

amplitude relativa Suponhamos que o valor do desvio padrão

do processo original seja Então, a CCO descreve a probabilidade de

não detectar um deslocamento para um novo valor de digamos

na primeira amostra subsequente ao deslocamento. Contudo,

para determinarmos a chance de que tal deslocamento seja

apanhado pelo gráfico em uma única amostra, devemos calcular a

probabilidade de que uma amostra (por exemplo de cinco itens)

venha a ter uma amplitude menor ou igual ao LSC (limite superior de

controle). Assim, basta calcular

em que e uma constante tabelada no Apêndice.

A probabilidade de que seja menor ou igual ao LSC é a mesma de

que seja menor ou igual a ou seja,

Podemos notar que para as CCO apresentam probabilidades

muito próximas de 1 para uma vez que nesses casos não há

limite inferior. Dessa forma, a probabilidade de não detectar um

deslocamento é dada pela equação 4.1.3. Para o gráfico com

limites tem um limite inferior e então é calculado como

Portanto, com os cálculos apresentados acima obtemos as CCO's para

o gráfico para n variando de 2 a 10, como mostra a Figura 4.1.8.



Observando a Figura 4.1.8 podemos notar que o gráfico não é muito

eficiente para detectar deslocamentos do processo para tamanhos

pequenos de amostras. Por exemplo, se o desvio padrão do processo

dobra (isto é, ), que é um deslocamento razoavelmente

grande, então amostras de tamanho 5 têm somente cerca de 40% de

chance de detectar esse deslocamento em cada uma das amostras

subsequentes. Muitos engenheiros da qualidade dizem que o gráfico

é insensível para deslocamentos pequenos ou moderados para os

usuais subgrupos de tamanhos n=4, 5 ou 6. Se n > 10 ou 12, o

gráfico deveria ser usado ao invés do gráfico

As CCO's das Figuras 4.1.7 e 4.1.8 assumem que os gráficos e são

usados para monitorar processos online, isto é, monitorar processo na

fase II. É ocasionalmente útil estudar a performance estatística de um

gráfico usado para analisar dados do passado (fase I). Isto pode dar

alguma indicação de como o número de subgrupos preliminares

usados para estabelecer o gráfico de controle afeta a habilidade do

gráfico em detectar condições de fora de controle que pudesse existir

quando os dados foram coletados. É de tais estudos analíticos, assim

como da experiência prática que a recomendação para usar cerca de

20 a 25 subgrupos preliminares para estabelecer os gráficos e faz

sentido.

Average Run Length (ARL) para o gráfico

O Average Run Length é uma medida de equilíbrio do erro de Tipo I,

que representa o controle excessivo ou alarme falso ou então do erro

de Tipo II, que é o controle inadequado. É representado pelo número

de amostras esperada de subgrupos entre os sinais "fora de

controle". O Average Run Length pode ser expresso como

ou

para o ARL "sob controle", e

para o ARL "fora de controle".

Esses resultados são realmente intuitivos. Se as observações plotadas

no gráfico de controle são independentes, então o número de pontos

que devem ser plotados até o primeiro ponto exceder os limites de

controle é uma variável aleatória geométrica com parâmetro p. A

média dessa distribuição é simplesmente 1/p, que é o comprimento

médio das corridas (average run length).

Uma vez que é relativamente fácil desenvolver uma expressão geral

de para o gráfico detectar um deslocamento na média de

(equação 4.1.2), então não é difícil construir um conjunto de curvas

ARL para o gráfico A Figura 4.1.9 apresenta as curvas ARL para

amostras de tamanhos n=2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e 10 para o gráfico

sendo o ARL dado em termos do número esperado de amostras

tomadas para detectar o deslocamento. Para ilustrar o uso da Figura

4.1.9 suponha que queremos detectar um deslocamento de

usando uma amostra de tamanho n=3, então o número médio de

amostras requeridas será Note também que se quiséssemos

reduzir o para aproximadamente 1 deveríamos aumentar o

tamanho da amostra para n=16.

Figura 4.1.9: Average Run Length (amostras) para o gráfico com

limites 3-sigma quando a média do processo desloca-se em

Tabela 4.1.4: Valores de ARL para diferentes valores de k e n.

Os ARL's são objetos de algum criticismo como medidas de

performance para gráficos de controle. Notamos que a distribuição do

comprimento de corrida para um gráfico de controle de Shewhart é

geométrica e que ela pode ser uma distribuição muito assimétrica, tal

que a média (isto é, o ARL) pode não ser a melhor medida de um

típico comprimento de corrida. Há outra questão referente ao ARL

relacionada ao fato de que os cálculos para um gráfico de controle

específico são geralmente baseados em estimativas dos parâmetros

do processo. Isto resulta em inflação de ambos e Por

exemplo, suponha que a linha central do gráfico seja estimada

perfeitamente mas o desvio padrão do processo seja superestimado

em 10%. Isto resultaria em consideravelmente mais

afastado do valor "teórico" ou nominal de 370. Agora, com um

processo normalmente distribuído, de maneira análoga vamos

subestimar o desvio padrão do processo em 10%, o que resulta em

um um valor consideravelmente menor do que 370. A

média é então (268+517)/2=392,5 , sugerindo que erros ao estimar o

desvio padrão do processo resulta em ARL's superestimados.

Duas outras medidas de performance baseadas no ARL são algumas

vezes de interesse. Uma delas é o tempo médio até o sinal, dado pelo

número de períodos de tempo que ocorre até que um sinal seja

gerado no gráfico de controle. Se amostras são tomadas em

intervalos de tempo h (em horas), então o tempo médio até o sinal

ou ATS (average time to signal) é dado por

Pode também ser útil expressar o ARL em termos do número

esperado de unidades individuais amostradas - digamos I - ao invés

do número de amostras tomadas para detectar um deslocamento. Se

o tamanho da amostra é n, a relação entre I e ARL é dada por

A Figura 4.1.10 apresenta um conjunto de curvas que descrevem o

número esperado de unidades individuais (I) que devem ser

amostradas para o gráfico para detectar um deslocamento de

Note que para detectar um deslocamento de por exemplo, um

gráfico com n=16 requer que aproximadamente 16 unidades sejam

amostradas, sendo que se o tamanho da amostra fosse n=3 ,

somente cerca de 9 unidades seria requerida, em média.

Figura 4.1.10: Average Run Length (unidades individuais) para o

gráfico com limites 3-sigma quando a média do processo desloca-se

em

Tabela 4.1.5: Valores de I (unidades individuais) para diferentes

valores de k e n.


4.2 - Gráficos Média e Desvio Padrão

Como dito na seção anterior, na prática, geralmente não conhecemos

μ e σ, contudo, elas são estimadas à partir de amostras preliminares

tomadas em subgrupos de pelo menos 20 a 25 amostras.

Suponhamos que temos disponível m amostras, com cada uma

contendo n observações sobre a característica da qualidade. Nas

aplicações, o número de observações n é pequeno e geralmente

resultam à partir da construção de subgrupos racionais, em que os

custos de amostragem e de inspecção associadas com as medições

das variáveis são altas. Com isso, nestes casos a média e a

variância são estimadores não viciados para a média populacional

e variância populacional ou seja, e Porém, neste

tipo de situação, o desvio padrão é um estimador viciado para o

desvio padrão populacional (para mais detalhes consulte o livro de

Montgomery, D.C. (2001)). Assim, seu valor esperado é dado por:

Portanto, obtemos que o estimador não viciado para o desvio padrão

é dada por:

http://www.portalaction.com.br/content/636-gr%C3%A1fico-xbar-e-r

Para o gráfico da média , tomamos as médias de cada

amostra, e com isso temos que o melhor estimador de para o

processo da média é dada por:

que é a linha central do gráfico Suponhamos que m amostras

preliminares estão disponíveis, cada um de tamanho n, e seja o

desvio padrão da i-ésima amostra . Assim, a média dos m desvios

padrão é dada por:

com um estimador não viciado para o desvio padrão populacional

A seguir, vamos apresentar os principais tópicos para a construção do

gráfico e

A única diferença na aplicação do gráfico e (média e desvio

padrão), ao invés do e é no cálculo da estimativa de .

Estimamos de forma direta, ou seja, através do cálculo do desvio

padrão amostral.

O gráfico e é utilizado quando o tamanho da amostra é grande

(> 10 ou 12). Além disso, o tamanho da amostra ou subgrupo pode

ser variável.

Do ponto de vista prático, a aplicação deste gráfico pode ser inviável

para dados que não são coletados de forma eletrônica, pois o

operador deve calcular os desvios padrão para cada ponto.

Cálculo dos limites de controle

Para a construção dos limites de controle para o gráfico e usamos

o fato de ser o estimador de Assim, os limites de controle para o

gráfico da média são dadas por:

e

Para a construção dos limites de controle para o gráfico

necessitamos do teorema de Cochran. Assim, como consequência

direta deste teorema, obtemos que Logo, a variância de é

dada por:

Com isso, temos que

Portanto, obtemos os limites de controle da seguinte forma:

e

Resumindo temos que:

Para as médias:

Limite superior de controle:

Linha Central:

Limite inferior de controle:

Para os desvios padrão:


Linha Central:


Disposição dos pontos nos gráficos e

Tendo calculado as Linhas Centrais e os Limites Inferiores e

Superiores de Controle para os gráficos e , estamos em condições

de dispor os pontos que representam as médias amostrais (no gráfico

) e os desvios padrão amostrais (no gráfico ), respectivamente.

Para facilitar a análise dos resultados é recomendável colocar ambos

os gráficos um abaixo do outro, e marcar os pontos correspondentes

a uma mesma amostra na mesma reta vertical .

Exemplo 4.2.1: Considere um processo de usinagem de um pino

onde o diâmetro é medido em subgrupos de 10 peças ao longo do

tempo, conforme a Tabela 4.2.1. Vamos construir os gráficos e .

Tabela 4.2.1: Conjunto de dados do diâmetro de pinos.

X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 X10 S

9,8323

10,4735

9,5178

10,8361

9,9201

9,6272

10,0284

9,6664

9,3373

10,9362

10,01753

0,553166

9,0219

10,6217

10,6176

11,4604

8,9944

10,1264

10,3556

9,6835

9,9313

10,5404

10,13532

0,761932

10,7431

10,9621

9,4968

10,178,9321

9,6742

10,2471

9,7774

10,0575

10,5816

10,06419

0,616213

10,0543

11,0115

10,4363

11,4068

10,1321

11,3897

9,9963

9,8184

10,4614

10,4651

10,51719

0,570729

9,6915

11,2257

9,8063

10,7478

10,1048

11,1482

10,1624

9,9117

9,9081

10,6442

10,33507

0,563567

9,9209

10,0309

10,5285

10,9878

9,8168

10,1317

10,0633

11,1288

11,2937

9,7451

10,36475

0,57731

9,6343

11,0474

9,8212

11,1468

9,11510,7762

9,7394

10,0534

9,7941

11,6617

10,27895

0,820561

10,2035

10,4941

11,2188

10,515

9,41510,7148

9,5438

10,1777

9,1048

10,4412

10,18287

0,648993

10,6667

10,7832

10,2442

11,6138

10,0163

10,0467

8,9035

10,9109

9,52311,1139

10,38222

0,800261

10,4892

10,6291

10,6905

11,387

10,1746

9,5808

9,6638

11,0216

9,8581

10,6037

10,40984

0,587221

10,6649

11,1688

11,0198

9,8607

9,5741

10,2868

10,139

10,0186

10,6223

11,6381

10,49931

0,643637

10,5682

10,5393

10,1765

10,1989

10,7510,0564

10,9785

10,5446

9,1627

10,2037

10,31788

0,498468

10,8432

9,1263

9,9808

11,2966

9,38511,5448

10,6659

9,9193

10,417

10,9449

10,41238

0,798373

9,6101

9,810,4167

10,4374

9,5798

10,3382

9,9084

10,0147

9,7589,9967

9,9860,3185

29

10,1325

10,8271

10,507

10,4371

10,8779

10,8975

8,9913

10,1882

10,5538

10,3392

10,37516

0,557092

10,3702

11,2328

9,7624

10,4681

9,9547

9,7824

9,7726

10,6453

9,8423

10,868

10,26988

0,527034

9,5008

9,5963

10,349

12,0111

10,1694

10,877

9,8602

9,7677

9,8443

11,1214

10,30972

0,800857

9,8528

10,0426

10,0269

10,7828

10,1054

9,9032

10,2323

10,7983

9,6603

10,9406

10,23452

0,447069

10,4005

10,7238

11,0019

10,4417

10,2053

10,0774

9,7682

9,7861

10,2386

10,310,29435

0,38171

9,7635

11,202

9,5674

10,1705

9,7851

10,3353

10,2331

10,3768

10,8271

10,4101

10,26709

0,495623

10,3412

10,1655

10,0494

11,4595

10,4515

10,326

10,8081

9,8483

9,7066

9,7909

10,2947

0,529558

10,2931

9,9962

9,7957

10,759

10,9442

10,3623

9,7833

9,00611,1923

10,1037

10,22358

0,640656

10,2808

10,8858

10,2942

10,912

10,8164

9,8223

9,8758

9,1255

9,7107

9,8788

10,16023

0,587055

9,8984

11,0424

10,3988

11,0127

9,2655

10,2082

9,8238

9,8925

10,3074

9,9735

10,18232

0,544646

9,4126

11,9882

9,3897

10,9499

10,1394

9,7375

10,0704

9,9912

9,9054

10,9421

10,25264

0,811333

10,2554

9,6405

10,6678

10,6074

9,7188

11,1229

9,6877

10,8275

8,97611,1306

10,26346

0,727579

9,76311,4587

10,5735

10,3049

10,5277

11,0722

9,8399

9,6746

9,7708

10,1013

10,30866

0,60328

10,939

10,3562

10,7339

11,1043

10,0477

10,531

11,0688

9,80210,2629

10,2776

10,51234

0,441427


1. A seleção da característica de qualidade do processo é focada

no cliente.

2. Registro das observações obtidas segue os critérios de

amostragem racional. No exemplo foram escolhidos 10 itens

por dia durante m = 28 dias.

3. Cálculo da média amostral e do desvio padrão , para cada i

= 1, 2, …, m das m amostras escolhidas. Os valores de e de

estão dispostos nas duas últimas colunas da tabela.

4. Cálculo da média das médias amostrais e da média dos desvios

padrão amostrais, os quais são indicados, respectivamente, por

e .

Para os nossos dados temos:

Número de amostras: m = 28

Tamanho das amostras: n = 10

Vamos agora calcular os limites de controle. No Apêndice podemos

encontrar os valores tabelados das constantes necessárias para o

cálculo, assim para n = 10 temos, A3 = 0,975; B3 = 0,284; B4 =

1,716.

Aplicando as fórmulas, obtemos:

Para a média:

Para o desvio padrão:


exemplo.

Figura 4.2.1: Gráficos e .

Podemos notar nos gráficos que todos os pontos estão dispostos

dentro dos limites de controle e além disso, apresentam

aleatoriedade o que indica que o processo está sob controle. Porém,

no gráfico de podemos verificar um período de variação aleatória

seguido de um período com pouca variação aleatória, o que indica por

exemplo, que algo relacionado a máquina pode ter ocorrido neste

período.


A Função Característica de Operação

Como já vimos no estudo das curvas características de operação na

seção anterior - Gráficos Média e Amplitude, o gráfico é

relativamente insensível diante de deslocamentos pequenos ou

moderados para tamanhos de amostra pequenos. Dessa forma, em

muitas situações práticas em que há necessidade de um controle

mais severo da variabilidade do processo, tamanhos de amostras

http://www.portalaction.com.br/637-gr%C3%A1fico-xbar-e-s

moderadamente grandes são necessários e então nesses casos o

gráfico deve ser usado.

As CCO's para o gráfico são as mesmas apresentadas na Seção

anterior (Função Característica de Operação). Portanto, basta

calcular as CCO's para o gráfico em que a probabilidade de não

detectar um deslocamento para um novo valor de é dada por

em que e uma constante tabelada no

Apêndice.

Entretanto,

E ainda,

sendo : distribuição qui-quadrado com (n-1) graus de liberdade.

Logo,

Podemos notar que para o gráfico é unilateral, ou seja, sem

limite inferior de controle. Dessa forma, a probabilidade de não

detectar um deslocamento é dada pela equação (1). Para o

gráfico tem limite inferior e superior e com isso, é calculado como

Na Figura 4.2.2 apresentamos as CCO's para o gráfico para n

variando de 2 a 10 e diferentes valores de k.




4.3 - Gráficos para Valores Individuais e Amplitudes Móveis

Há muitas situações onde o tamanho amostral usado para o controle

do processo é n = 1. Assim, por exemplo, na fabricação de aço,

celulose e outros elementos químicos, o controle do processo é

http://www.portalaction.com.br/content/637-gr%C3%A1fico-xbar-e-s

realizado retirando-se amostras de uma unidade para se medir por

exemplo PH, viscosidade etc.

Como não é possível estimar a variabilidade através da amplitude ou

do desvio padrão de cada amostra (eles não estão definidos para

amostras de tamanho 1), usamos como estimativa da variabilidade a

amplitude móvel de duas (ou mais) observações sucessivas.

Cálculo dos limites de controle para os gráficos I-MR

Para o Cálculo dos Limites de Controle usaremos as seguintes

fórmulas:

Para os valores individuais (I):

Para as amplitudes móveis (MR):

em que

= Média das Amplitudes Móveis =

para i = 1, 2, ..., m

Exemplo 4.3.1: Vamos construir os gráficos I-MR utilizando os

dados da Tabela 4.3.1.

Tabela 4.3.1: Dados de viscosidade

Lote Viscosidade Amplitude Móvel

1 33,75 -

2 33,05 0,7

3 34 0,95

4 33,81 0,19

5 33,46 0,35

6 34,02 0,56

7 33,68 0,34

8 33,27 0,41

9 33,49 0,22

10 33,2 0,29

11 33,62 0,42

12 33 0,62

13 33,12 0,12

14 34,84 1,72

15 33,79 1,05

16 33,85 0,06

17 34,05 0,2

18 34,02 0,03

19 33,89 0,13

20 34,12 0,23

21 34,1 0,02

22 33,99 0,11

23 34,11 0,12

= 33,75 = 0,40


Antes de construirmos os gráficos I-MR é importante realizamos um

teste de normalidade para os dados, com isso não corremos o risco

de encontrar resultados distorcidos.

Como o p-valor associado a estatística de Anderson-Darling é maior

do que 0,05, dizemos que os dados seguem distribuição normal.

Dessa forma, podemos construir os gráficos I-MR para os dados do

nosso exemplo.

OBS.: Caso os dados não sejam normais podemos utilizar a

transformação de Box-Cox com o objetivo de encontrar

normalidade. Se, mesmo transformados os dados não forem normais

então uma opção é tirar a média móvel de cada duas observações e

trabalhar com esses novos dados, pois a normalidade nesse caso é

importante.

Utilizando o Apêndice obtemos os valores tabelados das constantes

necessárias para o cálculo, assim para n = 2 temos, d2=1,128; D3 =

0; D4 = 3,267 e com o valor da constante d2 obtemos E2 = 3/d2 =

2,6596.

Aplicando as fórmulas obtemos:




exemplo.

Figura 4.3.1: Gráficos I-MR.

Podemos observar em ambos os gráficos que existe um ponto fora

dos limites de controle. Notamos também que estes pontos

desencadearam uma sequência nos valores médios observados em

seguida, indicando a presença de uma causa especial de variação.


Exemplo 4.3.2: Neste exemplo vamos realizar um estudo de CEP

usando as cartas de controle I-MR para dados referentes a gramatura

de papéis.

Tabela 4.3.2: Dados de gramatura de papéis.

Lote Gramatura (g/m2) Amplitude Móvel

1 88,20 -

2 88,90 0,70

3 90,50 1,60

http://www.portalaction.com.br/635-gr%C3%A1fico-imr

4 90,30 0,20

5 90,00 0,30

6 90,20 0,20

7 91,20 1,00

8 91,00 0,20

9 91,50 0,50

10 91,40 0,10

11 91,30 0,10

12 90,20 1,10

13 91,40 1,20

14 89,90 1,50

15 90,20 0,30

16 90,10 0,10

17 90,80 0,70

18 91,40 0,60

19 91,30 0,10

20 89,00 2,30

21 90,70 1,70

22 89,50 1,20

23 91,20 1,70

24 90,50 0,70

25 90,60 0,10

= 90,45 = 0,75833


Vamos verificar a normalidade dos dados através do teste abaixo.

Como o p-valor associado a estatística de Anderson-Darling é maior

do que 0,05, podemos dizer que os dados seguem distribuição

normal.

Dessa forma, podemos construir os gráficos I-MR para os dados do

nosso exemplo.

Inicialmente calculamos os valores para e .

Utilizando o Apêndice temos, para n = 2, d2 = 1,128; E2 = 3/d2 =

2,6595; D3 = 0; D4 = 3,267.





exemplo.

Figura 4.3.2: Gráficos I-MR.

Verificamos no gráfico de amplitude móvel que todos os valores estão

dentro dos limites de controle e apresentam um corportamento

aleatório, indicando controle do processo estatístico. Porém, no

gráfico de valores individuais a primeira observação se encontra fora

do limite inferior de controle, sendo que os pontos subsequentes

apresentam variação aleatória, o que pode indicar a presença de uma

causa especial de variação no processo.


4.4 - Gráficos de Valores Individuais com variação entre e dentro

dos subgrupos

Os gráficos de valores individuais com variação entre e dentro dos

subgrupos são utilizados nos casos em que medimos a mesma

característica da peça ou produto em diversos pontos. Neste caso,

tomamos uma peça ou produto, a cada unidade de tempo (exemplo,

http://www.portalaction.com.br/635-gr%C3%A1fico-imr

a cada uma hora), e medimos uma característica da qualidade

(exemplo, diâmetro) em diversos pontos. Assim, aplicamos:

Um gráfico para valores individuais (média das medições de cada

peça é tratada como um valor individual);

Um gráfico para amplitudes móveis (variação entre as médias);

Um gráfico R ou S (variação dentro de cada peça).

Quando coletamos dados em subgrupos, erros aleatórios podem não

ser a única fonte de variação. Por exemplo, se coletamos 5 peças a

cada hora a única variabilidade dentro do subgrupo é devida ao erro

aleatório. Ao longo do tempo, o processo pode mudar ou variar tal

que a próxima amostra de 5 cinco peças pode ser diferente da

amostra anterior. Sob estas condições, a variação total do processo é

devido ao erro aleatório e à variação entre as amostras. A variação

dentro de cada amostra também pode contribuir para a variação total

do processo.

Suponha que amostramos uma peça a cada hora e medimos 5

regiões desta mesma peça. Enquanto as peças podem variar hora a

hora, as medidas tomadas nas 5 regiões podem também ser

consistentemente diferentes em todas as peças. Esta variação devido

à região não é explicada, o desvio-padrão amostral dentro não difere

muito da estimativa do erro aleatório, mas na realidade a estimativa

do erro aleatório é o efeito da região. Este resultado em um desvio-

padrão que é muito grande causa limites de controle que são muito

"largos" com a maioria dos pontos do gráfico de controle próximos à

linha central.

Exemplo 4.4.1: Consideremos uma placa que compõe uma

determinada embreagem. É importante verificar o balanceamento

dessa placa. Através de uma máquina balanceadora determinamos

um ponto de acumulação "excessivo" de massa. A partir desse ponto

tomamos 3 pontos no sentido anti-horário e 4 pontos no sentido

horário (conforme Figura 4.4.2), totalizando 8 pontos. A medição da

espessura QD é feita no ponto a 0° e a espessura QND é feita no

ponto a 180° do primeiro. O segundo ponto é tomado a partir do

primeiro a 80° no sentido horário, no qual é medida a espessura QD e

a espessura QND correspondente é feita no ponto a 180° deste.

Analogamente medimos a 90° e 270°, assim como a 160° e 340°. Isto

é realizado para cada uma das 25 peças selecionadas. Nesse caso

analisamos a diferença entre as espessuras QD e QND, conforme

mostra a Tabela 4.4.1.

Figura 4.4.1: Exemplo das medições em cada peça.

Figura 4.4.2: Medições da peça.

A seguir temos os dados de cada peça amostrada e os respectivos

cálculos para os gráficos de controle.

Tabela 4.4.1: Dados de cada peça amostrada.

Peças QND QD Ângulo QND Ângulo QD QND-QD

1 2,316 1,882 180 0 -0,434

1 2,687 1,99 260 80 -0,697

1 2,429 1,427 270 90 -1,002

1 2,201 2,048 340 160 -0,153

2 1,87 1,906 180 0 0,036

2 1,959 2,072 260 80 0,113

2 2,168 2,097 270 90 -0,071

2 2,432 2,457 340 160 0,025

3 1,543 1,605 180 0 0,062

3 1,086 1,554 260 80 0,468

3 1,246 1,677 270 90 0,431

3 1,344 1,661 340 160 0,317

25 1,356 1,685 260 80 0,329

25 1,374 2,756 270 90 1,382

25 1,388 2,612 340 160 1,224


Na tabela abaixo temos calculado para cada amostra sua respectiva

média, amplitude móvel, desvio padrão e amplitude amostral.

Amostras Médias Amplitudes Móveis Desvio padrão Amplitudes Amostrais

1 -0,5715 - 0,362918 0,849

2 0,02575 0,59725 0,075451 0,184

3 0,3195 0,29375 0,183300 0,406

4 0,08575 0,23375 0,166752 0,39

5 -0,53825 0,624 0,333951 0,705

6 -0,43425 0,104 0,312888 0,766

7 -0,401 0,03325 0,256792 0,512

8 0,14125 0,54225 0,359694 0,821

9 0,5555 0,41425 0,170087 0,407

10 0,295 0,2605 0,324166 0,653

11 0,07625 0,21875 0,063484 0,135

12 0,05575 0,0205 0,106747 0,223

13 -0,29 0,34575 0,262268 0,589

14 -0,34875 0,05875 0,383962 0,895

15 0,60525 0,954 0,215803 0,482

16 0,5055 0,09975 0,191660 0,448

17 0,6235 0,118 0,120229 0,287

18 0,02475 0,59875 0,011442 0,027

19 -0,1245 0,14925 0,416743 0,901

20 -0,43675 0,31225 0,185922 0,426

21 0,08225 0,519 0,269447 0,604

22 0,11325 0,031 0,272834 0,575

23 -0,284 0,39725 0,270475 0,638

24 0,8155 1,0995 0,307342 0,648

25 0,804 0,0115 0,580126 1,101

Em nosso exemplo temos:

m: número de amostras = 25

n: tamanho das amostras = 4

Assim, utilizando as fórmulas acima obtemos

Cálculo dos limites de controle para os gráficos I-MR-R e I-MR-S (Between-Within)

Há muitas situações onde o tamanho amostral usado para o controle

do processo é n > 1. Assim, estimamos a variabilidade através da

amplitude ou do desvio padrão do subgrupo de cada amostra,

usamos como estimativa da variabilidade a amplitude móvel de duas

(ou mais) médias de observações (amostras) sucessivas.

1. Gráfico de amplitudes móveis: (variação entre as médias

das peças)

Os limites de controle são calculados a seguir:

Utilizando o Apêndice temos D3 = 0 e D4 = 3,267 (para n = 2:

quantidade de valores para o cálculo das amplitudes móveis).

2. Gráfico para valores médios inviduais:

Os limites são dados por:

em que e utilizando o Apêndice temos d2 = 1,128 (para n =

2: quantidade de valores para o cálculo das amplitudes móveis).

3. Gráfico do desvio padrão:

Usaremos inicialmente os desvios padrão amostrais como Medida de

Dispersão. Dessa forma, os limites de controle são dados por:

Utilizando o Apêndice temos B3 = 0 e B4 = 2,266 (para n = 4:

tamanho das amostras).

4. Gráfico da amplitude: (variação dentro de cada peça)

Usaremos as amplitudes amostrais como Medida de Dispersão.


Utilizando o Apêndice temos D3 = 0 e D4 = 2,282 (para n = 4:

tamanho das amostras).

Estimativas do desvio padrão: dentro dos subgrupos, entre os subgrupos e total

1. Para os gráficos I-MR-R.

Cálculo do desvio padrão dentro de cada subgrupo

O desvio padrão de cada subgrupo é dado por

em que d2 = 2,059 (para n = 4).

Estimativa do desvio padrão de curto prazo

Usado para estimar o desvio padrão em gráficos de amplitudes

móveis

em que d2 = 1,128 (para n = 2).

Cálculo do desvio padrão entre os subgrupos

O desvio padrão entre os subgrupos é dado por:

em que n = tamanho de cada subgrupo.

Cálculo do desvio padrão entre/dentro de cada subgrupo

2. Para os gráficos I-MR-S.

Cálculo do desvio padrão dentro de cada subgrupo

O desvio padrão de cada subgrupo é dado por:

em que c4 = 0,9213 (para n = 4).

Estimativa do desvio padrão de curto prazo

Usado para estimar o desvio padrão em gráficos de amplitudes

móveis.

em que d2 = 1,128 (para n = 2).

Cálculo do desvio padrão entre os subgrupos

O desvio padrão entre os subgrupos é dado por:

em que n = tamanho de cada subgrupo.

Cálculo do desvio padrão entre/dentro de cada subgrupo


exemplo.

1. Comparativo dos gráficos de Valores Individuais, Amplitudes

Móveis e Amplitudes (I-MR-R).

Figura 4.4.3: Gráficos I-MR-R.


2. Comparativo dos gráficos de Valores Individuais, Amplitudes

Móveis e Desvio Padrão (I-MR-S).

http://www.portalaction.com.br/638-gr%C3%A1fico-i-mr-r

Figura 4.4.4: Gráficos I-MR-S.


5 - Gráficos de Controle por Atributo

Muitas características da qualidade não podem ser expressas em

termos de valores numéricos. Por exemplo, dizer se uma peça é ou

não defeituosa. Características deste tipo são denominadas atributos.

5.1 - Gráfico p - proporção ou fração de defeituosos

5.2 - Gráfico np - número de defeituosos

5.3 - Gráfico c - número de defeitos por amostra

5.4 - Gráfico u - taxa de defeitos por unidade

5.1 - Gráfico p - proporção ou fração de defeituosos

http://www.portalaction.com.br/639-gr%C3%A1fico-i-mr-s

A fração de defeituosos p se define como o número de itens

defeituosos (não conformes) na amostra dividido pelo número de

itens da amostra. O valor amostral de p registra-se como uma fração

do tamanho do subgrupo.

A fração de defeituosos p poderá estar referida a amostras de

tamanhos fixos n coletadas regularmente, ou também poderá se

referir ao 100% da produção num determinado intervalo de tempo

(por exemplo, uma hora, um dia, etc.). Isso significa que os subgrupos

podem, em princípio, ter tamanho variável. Como consequência da

variabilidade do tamanho amostral os limites de controle também

terão amplitude variável.

A caracterização de um item como defeituoso ou não defeituoso

poderá depender da observação de uma ou de várias características

de qualidade. Neste caso o item poderá ter vários tipos de defeitos, e,

em muitas circunstâncias será relevante a classificação dos defeitos

por importância diferenciada, sugerindo a utilização de gráficos por

demérito.

Assim, podemos construir os gráficos para proporção das seguintes

formas

1. Tamanho amostral constante;

2. Tamanho amostral variável;

3. Com a média amostral ( );

4. Com a média dos defeituosas ( ).

A construção dos gráficos p só é possível se as seguintes condições

forem satisfeitas:

1. Tamanho amostral constante

A Linha Central e os Limites de Controle são determinados, na forma:

2. Tamanho amostral variável

Os limites de controle são (para a i-ésima amostra):

em que ni = tamanho da i-ésima amostra.

3. Com a média amostral ( )

Definimos

em que ni = tamanho da i-ésima amostra e m é o número de

amostras.

Os limites de controle são:

4. Com a média dos defeituosos ( )

Definimos

onde pi = proporção de defeituosos na i-ésima amostra e m é o

número de amostras.

Assim, os limites de controle (de amplitude 3σ ) e linha média são:

Exemplo 5.1.1: Uma fábrica de suco de laranja apresentou os

seguintes dados quanto ao número de latas amassadas (defeituosas),

(ver Tabela 5.1.1). Nesse exemplo temos tamanho da amostra n =

50.

Tabela 5.1.1: Latas amassadas na fábrica de suco de laranja

Amostras Número de Defeituosos (Di) Fração de Defeituosos (pi)

1 12 0,24

2 15 0,30

3 8 0,16

4 10 0,20

5 4 0,08

6 7 0,14

7 16 0,32

8 9 0,18

9 14 0,28

10 10 0,20

11 5 0,10

12 6 0,12

13 17 0,34

14 12 0,24

15 22 0,44

16 8 0,16

17 10 0,20

18 5 0,10

19 13 0,26

20 11 0,22

21 20 0,40

22 18 0,36

23 24 0,48

24 15 0,30

25 9 0,18

26 12 0,24

27 7 0,14

28 13 0,26

29 9 0,18

30 6 0,12


Notação: Aqui consideraremos ni como sendo o tamanho de cada

amostra e m o número de amostras. Para este exemplo temos ni = 50

para todo i (tamanhos iguais) e m = 30.

Verificação para grandes amostras:

Gráfico p


exemplo.

Figura 5.1.1: Gráfico p.

Verificamos, no gráfico de proporção para refugo, que os pontos 15 e

23 encontram-se fora do limite superior de controle indicando a

existência de causas especiais de variação. Após a análise destes

pontos eles foram retirados da amostras e novos limites de controle

foram calculados.

Com isso, os limites de controle são

Para efetuar o download dos dados sem os pontos 15 e 23 clique

aqui.

A seguir temos os resultados obtidos pelo Software Action e o gráfico

sem os pontos 15 e 23, com os limites de controle revisados.

Figura 5.1.2: Gráfico p, com os limites revisados.

Podemos notar que, apesar da retirada dos pontos fora dos limites de

controle e o cálculo dos limites de controle revisados, ainda existe um

ponto fora dos novos limites indicando a presença de causa especial

de variação. Após a tomada de uma ação para a correção dessa

causa especial, novos dados foram coletados e um novo gráfico foi

gerado. Estes novos dados são mostrados na tabela a seguir.

Tabela 5.1.2: Dados adicionais

Amostras Defeituosos Fração de Defeituosos (pi)

31 9 0,18

32 6 0,12

33 12 0,24

34 5 0,1

35 6 0,12

36 4 0,08

37 5 0,1

38 3 0,06

39 7 0,14

40 6 0,12

41 2 0,04

42 4 0,08

43 3 0,06

44 6 0,12

45 5 0,1

46 4 0,08

47 8 0,16

48 5 0,1

49 6 0,12

50 7 0,14

51 5 0,1

52 6 0,12

53 3 0,06

54 4 0,08


Assim, os limites de controle para os novos dados são

A seguir temos os resultados obtidos pelo Software Action.

Figura 5.1.3: Gráfico p, com dados adicionados.

Podemos verificar no gráfico da Figura 5.1.3 que, após a ação sobre a

causa especial de variação seguida da coleta de novos dados o

processo encontra-se sob controle estatístico.


Exemplo 5.1.2: Temos a seguir dados sobre defeitos de inclusão de

areia de moldes de eixo-comando.

Tabela 5.1.3: Defeitos de inclusão de areia

Amostras Total Fundido (ni) Defeitos de inclusão (Di)

1 1536 33

http://www.portalaction.com.br/content/gr%C3%A1fico-p-para-propor%C3%A7%C3%A3o-ou-fra%C3%A7%C3%A3o-de-defeituosos#constante

2 1536 49

3 1536 31

4 1536 52

5 1536 30

6 1536 26

7 1520 51

8 1488 25

9 1344 41

10 944 18

11 1152 22

12 1152 13

13 1683 13

14 1700 25

15 1700 62

16 1870 15

17 1140 30

18 1152 26

19 1140 4

20 1128 23

21 1152 10

22 1128 6

23 1152 21

24 1152 21

25 1152 7

26 1152 22

27 1152 23

28 1140 16

29 1140 15

30 1128 18


Notação: Aqui consideraremos ni como sendo o tamanho de cada

amostra e n o número de amostras. Para este exemplo, ni assume

valores diferentes para cada amostra e n = 30.

Gráfico p

Calculamos agora o Limite Superior e o Limite Inferior para a primeira

amostra (Amostra 1) em que ni = 1536.

O mesmo procedimento deve ser feito para todas as outras amostras.

A seguir apresentamos os resultados obtidos pelo Software Action

para todas essas amostras.

Figura 5.1.4: Gráfico p.

Podemos verificar no gráfico da Figura 5.1.4 a existência de vários

pontos fora do limite de controle indicando que o processo não está

sob controle estatístico.


5.2 - Gráfico np - número de defeituosos

O número de defeituosos np se define como o número de itens

defeituosos (não conformes) na amostra.

O número de defeituosos np pode estar referido à amostras de

tamanhos fixos n coletadas regularmente ou então a 100% da

produção num determinado intervalo de tempo, como por exemplo,

uma hora, um dia, etc. Isso significa que os subgrupos podem, em

http://www.portalaction.com.br/content/gr%C3%A1fico-p-para-propor%C3%A7%C3%A3o-ou-fra%C3%A7%C3%A3o-de-defeituosos#variavel

princípio ter tamanho variável. Como consequência da variabilidade

do tamanho amostral os limites de controle também terão amplitude

variável.

A construção dos gráficos np também tem por base a distribuição

binomial, e este gráfico de controle só pode ser construído quando

lidamos com amostras de tamanhos iguais.

Os Limites de Controle são obtidos diretamente da carta p e estão

descritos a seguir:

Exemplo 5.2.1: Ilustraremos a aplicação da carta np com os dados

do Exemplo 5.1.1.



exemplo.

Figura 5.2.1: Gráfico np.


5.3 - Gráfico c - número de defeitos por amostra

Dependendo do tipo de produto é mais natural considerar o número

de defeitos por unidade amostral e não o número de itens

defeituosos. Cada unidade pode consistir de vários itens, isto é, ela

pode ser definida como sendo um subgrupo de itens. O essencial é

que nas diferentes unidades amostrais exista a mesma chance de

ocorrerem defeitos.

O gráfico c é empregado considerando o número de defeitos por

subgrupos, quando todos estes subgrupos forem do mesmo tamanho,

isto é, tiverem o mesmo número de itens.

Duas situações onde o gráfico c é tipicamente aplicável:

http://www.portalaction.com.br/content/gr%C3%A1fico-np-n%C3%BAmero-de-defeituosos

1. Quando os defeitos estão distribuídos num fluxo mais ou menos

contínuo de algum produto onde poder-se-ia definir o número

médio de defeitos;

2. Quando defeitos de diferentes tipos e origens podem ser

encontrados na unidade amostral.

Os limites de controle são:

em que , sendo que são o número de

defeitos em cada um dos k subgrupos.

Exemplo 5.3.1: A Tabela 5.3.1 apresenta o número de não-

conformidades observadas em 26 amostras sucessivas de 100

circuitos impressos. Note que por comodidade limitou-se em 100 o

número de não-comformidades possíveis, desta forma temos 26

amostras com 516 não-comformidades.

Tabela 5.3.1: Dados dos circuitos impressos.

Amostra Não conformidades Fração de defeituosos

1 21 0,21

2 24 0,24

3 16 0,16

4 12 0,12

5 15 0,15

6 5 0,05

7 28 0,28

8 20 0,2

9 31 0,31

10 25 0,25

11 20 0,2

12 24 0,24

13 16 0,16

14 19 0,19

15 10 0,1

16 17 0,17

17 13 0,13

18 22 0,22

19 18 0,18

20 39 0,39

21 30 0,3

22 24 0,24

23 16 0,16

24 19 0,19

25 17 0,17

26 15 0,15


Desta forma os limites de controle são dados pela seguinte forma


exemplo.

Figura 5.3.1: Carta de controle.

Após avaliar a carta de controle (Figura 5.3.1), o engenheiro

responsável pelo controle de qualidade do setor constatou que

existem dois pontos fora de controle. Então foi verificado que a

máquina estava descalibrada, foi então proposto que fossem

removidas do conjunto de dados as observações 6 e 20 e revisados os

limites de controle.

Para efetuar o donwload dos dados sem as observações 6 e 20 clique

aqui.

Desta forma temos os limites de controle:

Logo, a carta de controle com os limites de controle ajustados é dada

na Figura 5.3.2.

A seguir temos os resultados obtidos pelo Software Action.

Figura 5.3.2: Carta de controle com os limites ajustados.

Retirando as observações 6 e 20 podemos observar que os dados

encontram-se dentro dos limites de controle.


5.4 - Gráfico u - taxa de defeitos por unidade

http://www.portalaction.com.br/content/gr%C3%A1fico-c-n%C3%BAmero-de-defeitos-por-unidade

Frequentemente o número de unidades que compõem os subgrupos é

variável. Nesses casos estamos interessados em controlar a taxa de

defeitos por unidade e, o gráfico a ser utilizado será o Gráfico u.

O valor da variável u num subgrupo que contenha ni unidades

amostrais onde sejam encontrados c defeitos, é dado por

Para os gráficos u os limites de controle são:

em que sendo que representam os

números de defeitos e representam os tamanhos dos k

subgrupos.

Apresentaremos no Exemplo 5.4.1 o procedimento de como calcular e

interpretar um caso onde as amostras têm tamanhos diferentes.

Exemplo 5.4.1: Em uma empresa textil as roupas tingidas são

inspecionadas para a ocorrência de defeitos por 50 metros

quadrados. Os dados dos 10 lotes de inspeção estão na Tabela 5.4.1.

Usaremos estes dados para ajustar uma carta de controle para as

não-conformidades por unidades.

Tabela 5.4.1: Dados da inspeção.

LoteQtde metros quadrados

Não-conformidades

(c)

Unidades inspecionadas (n)

Não-conformidades

por unidade (u=c/n)

1 500 14 10 1,4002 400 12 8 1,5003 650 20 13 1,5384 500 11 10 1,1005 475 7 9,5 0,7376 500 10 10 1,0007 600 21 12 1,7508 525 16 10,5 1,5249 600 19 12 1,583

10 625 23 12,5 1,840TOTAL 153 107,5


Notamos que equivale a razão entre o total de não-conformidades

em relação ao número total de inspeções por unidade. Os limites de

controle serão calculados individualmente em relação ao tamanho da

amostra (ver Tabela 5.4.2).

Os limites de controle para a amostra 1 (Lote 1), considerando

tamanho da amostra ni = 10, são dados por

O cálculo dos limites de controle é análogo para as outras amostras.

Tabela 5.4.2: Limites de controle calculados para cada amostra.

Lote i ni LSC LIC

1 10 2,550486621 0,289513379

2 8 2,683922466 0,156077534

3 13 2,411502357 0,428497643

4 10 2,550486621 0,289513379

5 9,5 2,5798548 0,2601452

6 10 2,550486621 0,289513379

7 12 2,451988372 0,388011628

8 10,5 2,523241976 0,316758024

9 12 2,451988372 0,388011628

10 12,5 2,431137973 0,408862027


exemplo.

Figura 5.4.1: Carta de controle para o exemplo.


Exemplo 5.4.2: Consideremos na tabela a seguir o número de não-

conformidades observadas em 26 amostras sucessivas de 100

circuitos impressos. Note que por comodidade limitou-se em 100 o

número de não-comformidades possíveis, desta forma temos 26

amostras com 516 não-comformidades.

Tabela 5.4.3: Dados dos circuitos impressos.

Amostra Não-conformidades

1 21

2 24

3 16

4 12

5 15

6 5

7 28

8 20

9 31

10 25

11 20

12 24

13 16

14 19

15 10

16 17

17 13

18 22

19 18

20 39

21 30

http://www.portalaction.com.br/content/gr%C3%A1fico-u-taxa-de-defeitos-por-unidade#amos_variavel

22 24

23 16

24 19

25 17

26 15

TOTAL 516


Podemos notar que equivale a razão entre o total de não-

conformidades em relação ao número total de inspeções por unidade.

Neste exemplo as 26 amostras têm tamanhos constantes e iguais a

100, ou seja, ni = 100 para todo i.

Com isso, os limites de controle são dados por


exemplo.

Podemos observar que foram detectados dois pontos a mais de 3

desvios padrão da linha central, indicando uma possível causa

especial de variação.


6 - Cartas de Controle para Pequenos Lotes

Para evitar custos desnecessários os fabricantes estão produzindo

quantidades menores de modo mais frequente.

Para atingir as eficiências dos processos para pequenos lotes é

essencial que os métodos de CEP possam verificar se o processo está

verdadeiramente sob controle estatístico, ou seja, se ele é previsível

e se

http://www.portalaction.com.br/content/gr%C3%A1fico-u-taxa-de-defeitos-por-unidade#amos_constante

pode detectar variações devido as causas especiais durante esses

pequenos "lotes".

Wheeler (1991) descreve quatro requisitos para um "Estado Ideal" da

operação do processo que é essencial para a concorrência nessa

área:

1. O processo deve ser estável ao longo do tempo.

2. O processo deve ser operado de forma estável e consistente.

3. A meta do processo deve ser definida e mantida no nível

adequado.

4. Os limites naturais do proceso devem estar dentro dos limites

da especificação.

É possível criar cartas de controle efetivas mesmo com quantidades

pequenas de dados. As cartas orientadas para pequenos lotes

permitem que uma única carta seja usada para o controle de vários

produtos. Existem inúmeras variações sobre esse tema. Entre as

cartas para pequenos lotes mais descritivas, estão: a carta nominal

(DNOM) e a carta padronizada e R.

6.1 - Carta Nominal - DNOM

Quando há uma variação comum e constante entre os produtos

podemos usar o DNOM. Essa abordagem se baseia na utilização de

apenas uma carta para o controle dos produtos. Isso porque, os

processos de produção para pequenos lotes de diferentes produtos

podem se caracterizar facilmente em uma única carta pela marcação,

na carta, das diferenças existentes entre a medição do produto e seu

valor alvo.

Sua idéia consiste em codificar os dados obtidos, como desvios, a

partir de um ponto de referência comum: a medida nominal N da

especificação. A base para esse procedimento reside em que, sendo X

a variável gerada na operação e N a sua respectiva medida nominal,

uma constante, então esta codificação de dados somente afeta a

média mas não a amplitude, nem a variância e nem o desvio-padrão.

Admitindo-se que o processo em estudo esteja sob o controle

estatístico e que os diferentes tipos de produtos produzidos tenham

iguais variâncias, se forem empregados os gráficos da média e da

amplitude ( e R), os limites de controle para o gráfico da amplitude,

segundo o CEP convencional, são:

e como a codificação de dados anteriores não afeta a dispersão das

medidas, temos

No gráfico da média, como já visto anteriormente, os limites de

controle do CEP convencional são

ou

Subtraindo-se N de todos os termos da desigualdade anterior temos

e, fazendo-se

segue que

ou ainda,

resultando em

Assim, à medida que as amostras forem sendo coletadas, suas

medidas individuais serão codificadas, conforme (equação 6.1.1), e os

valores de e R serão marcados nos seus respectivos gráficos de

controle.

As seguintes etapas devem ser executadas para a correta utilização

desta técnica em gráficos de controle da média e da amplitude ( e

R):

1. Determinar a medida nominal N do tipo do produto em

produção, a partir da sua especificação de engenharia;

2. Coletar amostras de tamanho n (n > 1) constante;

3. Calcular a média e a amplitude R das amostras;

4. Codificar as médias subtraindo de cada uma delas a medida

nominal N (equação 6.1.2);

5. Repetir as etapas de 1 a 5, segundo a frequência de coleta de

amostras pré-estabelecida, enquanto o mesmo produto estiver

sendo produzido;

6. Quando o equipamento for ajustado para a produção de outro

tipo de produto a única mudança no procedimento será a

determinação da nova medida nominal. Os valores da média

codificada e da amplitude R do novo produto continuam sendo

marcados no mesmo gráfico;

7. Quando houver um número máximo e suficente de amostras

calcular os limites de controle por meio das fórmulas

convencionais, porém empregando as médias codificadas.

Exemplo 6.1.1: Na usinagem bruta de diâmetros externos (eixos)

em torno mecânico foram retiradas 25 amostras, cada uma

constituída de 3 peças, obtendo-se os valores da Tabela 6.1.1.

Tabela 6.1.1: Diâmetros externos (eixos) em torno mecânico.

Amostra N Peça P1 P2 P3 R

1 220 1 219,7838 220,0287 220,0922 219,9682 0,308384 -0,0318

2 220 1 219,9046 220,1229 220,2368 220,0881 0,332242 0,088082

3 220 1 219,8345 220,0862 219,9268 219,9492 0,251692 -0,05079

4 220 1 219,7302 220,001 220,0357 219,9223 0,305502 -0,07769

5 220 1 220,1644 220,3151 219,9806 220,1534 0,33448 0,153371

6 260 2 259,8635 260,1847 259,867 259,9718 0,321234 -0,02825

7 260 2 259,7917 259,9042 259,908 259,868 0,116253 -0,13203

8 260 2 259,8264 259,8535 259,6465 259,7755 0,20696 -0,22452

9 260 2 259,6421 260,0869 259,9488 259,8926 0,444791 -0,10744

10 260 2 259,8945 260,0154 260,3685 260,0928 0,474033 0,092769

11 320 3 319,7366 319,5236 319,7053 319,6552 0,213026 -0,34481

12 320 3 319,8834 319,415 319,8163 319,7049 0,468446 -0,29508

13 320 3 320,2431 320,1935 319,9893 320,142 0,253778 0,141982

14 320 3 319,9805 320,0828 320,0418 320,035 0,102364 0,035019

15 320 3 320,4944 320,4552 320,0477 320,3324 0,446676 0,332414

16 240 4 239,8076 239,7787 240,2064 239,9309 0,427712 -0,06909

17 240 4 240,1663 240,1888 240,2023 240,1858 0,036012 0,185776

18 240 4 240,1662 240,1382 240,1141 240,1395 0,052086 0,139503

19 240 4 240,017 239,9212 240,0397 239,9926 0,118577 -0,00737

20 240 4 240,2081 240,0484 239,9119 240,0562 0,296133 0,056153

21 300 5 300,0479 300,1325 299,9955 300,0587 0,137019 0,058656

22 300 5 300,2815 299,9451 300,0365 300,0877 0,336475 0,087714

23 300 5 299,7173 300,383 300,4608 300,187 0,743451 0,187028

24 300 5 300,0009 300,0487 300,0038 300,0178 0,047797 0,017781

25 300 5 299,5822 300,4351 299,7919 299,9364 0,852914 -0,06362

Total 7,628039 0,143761


Serão empregados os gráficos da média codificada e da amplitude R,

portanto:

Utilizando o Apêndice temos, para n = 3 (tamanho de cada

amostra), D4 = 2,574; D3 = 0 e A2 = 1,023.

Dessa forma, os limites de controle para o gráfico da amplitude R são

dados por:

Os limites de controle para a média codificada ou seja, os limites de

controle para o gráfico são dados por:

A segui temos os resultados obtidos pelo Software Action para esse

exemplo.

A Figura 6.1.1 apresenta estes gráficos de controle, com os pontos

marcados. Percebe-se que há causas especiais atuando em algumas

amostras, com relação à média codificada.

Figura 6.1.1: Gráficos e amplitude.


6.2 - Carta Padronizada Xbar e R

A abordagem DNOM assume uma variação comum e constante entre

os produtos controlados por uma única carta. Quando existem

diferenças substanciais nas variações desses produtos, o uso do

desvio do alvo do processo torna-se problemático. Nesses casos os

dados podem ser padronizados para compensar as diferentes médias

do produto e a variabilidade. Essa classe de carta às vezes é

chamada de carta Z ou Zed.

No caso da utilização dos gráficos de controle da média e da

amplitude ( e ), admitindo-se que o processo está sobe controle e

http://www.portalaction.com.br/500-carta-nominal-dnom

são conhecidas sua média e sua dispersão tem-se, para a amplitude,

segundo o CEP convencional:

ou

Como o termo é uma estimativa do desvio-padrão populacional σ, a

expressão anterior pode ser reescrita na forma

e, padronizando a expressão anterior, obtemos que

Para o gráfico de controle da média, tem-se

em que é a média ponderada das médias amostrais por tipo de

peça, usando como pesos os seus respectivos tamanhos de amostras

e como o tamanho da amostra pode ser variável, então

em que i é o número de diferentes peças e j é o número de peças

analisadas em cada amostra. Padronizando-se a expressão anterior

temos

As etapas para a aplicação da metodologia, em gráficos de médias e

da amplitude ( e ), são as seguintes:

1. Traçar nos gráficos os limites de controle para as médias e para

as amplitudes padornozadas: -3 e 3, em ambos os casos;

2. Determinar as estimativas da média e do desvio-padrão

populacionais, e a serem empregadas na padronização das

medidas do produto em produção;

3. Coletar amostras de tamanho qualquer (n > 1), de acordo com

a frequência pré-estabelecida;

4. Calcular a média e amplitude dos valores;

5. Para cada amostra, padronizar a sua média (equação 6.2.2) e a

sua amplitude (equação 6.2.1);

6. Marcar os pontos nos respectivos gráficos de controle;

7. Quando um novo tipo de produto entrar em produção, devem-

se obter novas estimativas para a média e o desvio-padrão

populacionais.

Exemplo 6.2.1: Consideremos os mesmos valores da tabela do

Exemplo 6.1.1. Admitimos e como sendo as estimativas para a

média e para o desvio-padrão populacionais, respectivamente.


Para o tipo de peça 1 temos:

em que d2 = 1,693 (para n = 3), tabelado no Apêndice.

Para os outros tipos de peça o cálculo é análogo e os valores

encontram-se na tabela abaixo.

Tabela 6.2.1: Médias e desvios-padrão por tipo de peça.

Tipo de Peça (p)

1 220,016 0,306 0,181

2 259,92 0,312 0,185

3 319,974 0,297 0,175

4 240,061 0,186 0,11

5 300,057 0,423 0,25

Vamos obter agora os valores codificados:

Tipo de peça 1

Média padronizada:

Amostra 1

Amostra 2

Amostra 3

Amostra 4

Amostra 5

Amplitude padronizada:

Amostra 1

Amostra 2

Amostra 3

Amostra 4

Amostra 5

Para os outros tipos de peça e outras amostras o cálculo é análogo.


exemplo.

Figura 6.2.1: Gráficos da média padronizada e amplitude padronizada.

Observação: Em alguns processos para pequenos lotes, o volume

total da produção pode ser pequeno demais para que a formação de

subgrupos seja utilizada efetivamente. Nesses casos as medições da

formação de grupos podem funcionar ao contrário do conceito de

controle do processo e podem reduzir a carta de controle a uma

função de relatório de dados. Mas quando a formação de subgrupos é

possível, as medições podem ser padronizadas para acomodar esse

caso.


Cartas de controle para atributos padronizados

http://www.portalaction.com.br/508-carta-padronizada-xbar-e-r

As amostras dos dados para atributos, incluindo aquelas de tamanho

variável, podem ser padronizadas para que vários tipos de peças

sejam marcadas em uma única carta. A estatística tem a forma:

Por exemplo, uma estatística u suficiente para a taxa de defeitos

deve ser padronizada como:

Este método também se aplica às cartas np, p, c e u.

7 - Gráficos de Controle Multivariados

Um gráfico de controle multivariado mostra como as variáveis

conjuntamente influenciam o processo. São utilizados quando há

correlação nas variáveis em estudo.

Uma desvantagem deste tipo de gráfico refere-se a uma dificuldade

maior quanto à sua interpretação, uma vez que os pontos fora de

controle não revelam especificamente qual ou quais variáveis, ou a

combinação delas, causam o problema.

Então, para analisar dados multivariados um procedimento que pode

ser utilizado é verificar a correlação entre eles e então trabalhar

apenas com aquelas variáveis que são correlacionadas. Com isso,

podemos plotar em um gráfico de controle os valores da

estatística T2 de Hotelling e da variância generalizada para essas

variáveis. Esse procedimento é definido adiante.

A seguir vamos discutir a construção dos gráficos de controle

multivariados.

Para a construção desses gráficos vamos considerar dois casos: um

caso em que temos observações individuais (não se tem réplicas) e

outro caso em que temos réplicas para cada observação.

7.1 - Gráficos de controle multivariados para observações

individuais

A seguir vamos apresentar a construção dos gráficos de controle

multivariados para observações individuais, ou seja, para as

observações que não possuem réplicas.

Para introduzir e ilustrar esse conceito vamos considerar dados

dispostos de maneira geral como na Tabela 7.1.1.

Tabela 7.1.1: Entrada de dados

Variáveis

Amostra

1

2

3

m

Média

Desvio padrão amostral

Gráfico de controle T2 de Hotelling

Para o cálculo da estatística T2 de Hotelling devemos seguir os passos

abaixo.

1. Calcular a média para cada variável

2. Calcular as variâncias e covariâncias amostrais

3. Calcular a estatística T2 para cada amostra

em que

p é o número de variáveis

m é o número de amostras

S é a matriz de covariância amostral

S-1 é a matriz inversa de covariância amostral

Assim, os limites de controle são dados por

em que

indicam os quantis correspondentes à distribuição Beta.

A linha central do gráfico de controle é definido utilizando-se a

mediana (isto é, o quantil de 50%) da distribuição Beta

correspondente, indicado por

Gráfico de controle para a variância generalizada

O procedimento utilizado para construir os gráficos de controle para a

variância generalizada é padronizar os dados utilizando o vetor de

médias e a matriz de covariâncias amostrais. A padronização é feita

da seguinte forma (Montgomery (2001)

Desta forma, teremos uma matriz conforme apresentado no quadro a

seguir

Variáveis

Amostra Desvio padrão amostral

1

2

3

m

Com os dados normalizados podemos construir um gráfico de

controle utilizando o mesmo procedimento usado na construção do

gráfico de controle usual do desvio padrão .

Dessa froma, os limites de controle são dados por


Linha Central:


Exemplo 7.1.1: Temos um molde de areia onde peças de ferro são

moldadas. Neste caso, nossas variáveis de interesse são a

compactibilidade, o coeficiente de RCV1 e a plasticidade. Os dados

são apresentados na tabela a seguir.

Tabela 7.1.2: Variáveis de Areia sem réplicas.

corrida peçaQtde Prod

Qtde Refugo

Compactabilidade

RCV1 Plasticidade

E188 M20700300 6288 182 36,5 22,026 28,87

E189 M20900200 655 128 36,571 21,12 29,924

E190 M20701400 1290 33 36,167 21,182 29,368

E191 M20600400 3176 316 36,5 22,134 29,822

E192 M20900900 8052 129 37,4 21,93 28,774

E193 M20900900 4436 49 37,333 21,507 28,812

E194 M20701201 6424 245 37,167 23,132 29

E195 M20700300 6000 79 38 19,653 30,885

E196 M20900900 7986 183 38 19,653 30,885

E197 M20701500 9024 108 36,5 20,993 30,568

E198 M20700600 1680 41 38,25 20,733 28,84

E199 M20701301 4248 48 37,643 19,513 28,818

E200 M20900200 1190 32 37,667 20,613 29,035

E201 M20404400 2400 8 36,833 22,423 26,685

E202 M20701500 4752 126 37,333 20,29 28,527

E203 M20900900 3072 43 37,167 21,083 26,24

E204 M20701500 564 19 38 20,363 29,843

E205 M20701201 1192 28 37,667 21,147 29,273

E206 M20900200 1275 25 37,667 21,147 29,273

E207 M20600400 2056 537 36 22,89 27,753

E208 M20700300 7816 85 39 20,24 29,57

E209 M20900200 1040 44 36,333 19,9 27,89

E210 M20900900 1968 16 38 19,547 27,84

E211 M20701201 5016 52 36,333 19,9 27,633

E212 M20600400 1656 524 37,667 20,937 27,84


Para construir os gráficos de controle multivariados precisamos

primeiramente saber quais variáveis são correlacionadas, com isso

podemos trabalhar apenas com aquelas variáveis que conjuntamente

influenciam o processo. Para obter a correlação entre as variáveis

podemos utilizar a ferramenta Matriz de Correlação disponibilizada

pelo Software Action.

Neste exemplo vamos considerar que as 3 variáveis estão

correlacionadas para mostrar os cálculos com detalhes.

Cuidado! A correlação deve sempre ser analisada no caso

multivariado para que os resultados não sejam mascarados.

A seguir apresentamos os passos para a construção dos gráficos de

controle multivariados (T2 e Variância generalizada).

As médias das variáveis Compactabilidade, RCV1 e Plasticidade são,

respectivamente, 37,267 ; 20,962 e 28,878. A matriz de covariâncias

(S) e a matriz inversa (S-1) são dadas por

Cálculo dos limites de controle para T2 de Hotelling

O cálculo de T2 para a primeira corrida ( E188 ) é dado por

Para as outras amostras (corridas E189 a E212) o procedimento é

análogo.

Os valores de T2 para todas as amostras estão dispostos no quadro

abaixo.

corrida T2

E188 1,52595

E189 2,21678

E190 2,91648

E191 2,99512

E192 1,33373

E193 0,4124

E194 5,42531

E195 3,82223

E196 3,82223

E197 4,18464

E198 1,93979

E199 2,09762

E200 0,28603

E201 4,73986

E202 0,64975

E203 5,34417

E204 1,29344

E205 0,56833

E206 0,56833

E207 4,47276

E208 5,32076

E209 5,28861

E210 3,68312

E211 5,68977

E212 1,40279

Os limites de controle com um nível de confiança de 3σ = 99,73% são

dados por

sendo

m = número de amostras = 25

p = número de variáveis correlacionadas = 3

Cálculo dos limites de controle para a variância generalizada

Vamos agora construir os limites de controle para a variância

generalizada. Primeiramente calculamos a média e variância, daí

procedemos a padronização de cada variável. Assim temos

Para Compactabilidade (X1)

Padronização:

Para RCV1 (X2)

Padronização:

Para Plasticidade (X3)

Padronização:

As variáveis padronizadas para todas as amostras são dadas na

Tabela 7.1.3.

Tabela 7.1.3: Variáveis padronizadas.

Compactabilidade RCV1 Plasticidade Desvios Padrão

-1,00746 1,027 -0,00746 1,01728

-0,91431 0,15231 0,89471 0,90934

-1,44433 0,21217 0,4188 1,02127

-1,00746 1,13127 0,8074 1,15273

0,17328 0,93432 -0,08964 0,53179

0,08538 0,52594 -0,05711 0,30396

-0,1324 2,09478 0,10381 1,22339

0,96044 -1,264 1,71728 1,54967

0,96044 -1,264 1,71728 1,54967

-1,00746 0,0297 1,44594 1,23157

1,28842 -0,22132 -0,03314 0,82272

0,49208 -1,39916 -0,05197 0,97363

0,52356 -0,33717 0,13377 0,43101

-0,57058 1,41028 -1,87772 1,65546

0,08538 -0,64901 -0,30106 0,36736

-0,1324 0,11659 -2,25862 1,3054

0,96044 -0,57853 0,82538 0,85222

0,52356 0,17838 0,33748 0,17277

0,52356 0,17838 0,33748 0,17277

-1,66342 1,86115 -0,96356 1,86598

2,27236 -0,69728 0,5917 1,48912

-1,22655 -1,02553 -0,8463 0,19023

0,96044 -1,36634 -0,88909 1,22898

-1,22655 -1,02553 -1,06628 0,10626

0,52356 -0,02437 -0,88909 0,71222

A última coluna da Tabela 7.1.3 é o desvio-padrão das variáveis

padronizadas em relação a X1, X2 e X3, ou seja,

Para a primeira linha, o valor 1,01728 é obtido através do cálculo de

S, dado por

Precisamos ainda calcular dado por

ou seja,

Assim a linha central do gráfico de controle é dado pela média dos

desvios padrão, ou seja, para este exemplo é a média da última

coluna da Tabela 7.1.3, obtendo assim o valor 0,913472. Com isso, o

gráfico da variância generalizada com observações individuais segue

o mesmo raciocínio do gráfico usual.

Aplicando as fórmulas e utilizando o Apêndice para obter os valores

de B3 = 0 e B4 = 2,266 (para n = 4) encontramos os limites de

controle, que são dados por


exemplo.

Figura 7.1.1: Gráficos T2 de Hotelling e Variância Generalizada.

Observando a Figura 7.1.1 percebemos que nenhum ponto está fora

dos limites de controle e a variância permanece estável ao longo do

período observado.


http://www.portalaction.com.br/content/sem-r%C3%A9plicas

Exemplo 7.1.2: A Tabela 7.1.4 apresenta dados da área industrial

referentes à espessura de engrenagens de câmbio automotivo. A

Figura 7.1.2 ilustra o formato da engrenagem.

Figura 7.1.2: Detalhe da engrenagem do câmbio.

Tabela 7.1.4: Dados referentes à espessura de engrenagens.

Posição1 Posição2 Posição3

98,208 98,209 21,996

98,209 98,220 22,002

98,206 98,204 21,999

98,206 98,206 21,998

98,204 98,214 21,998

98,209 98,203 21,983

98,202 98,212 21,981

98,196 98,221 21,980

98,215 98,201 21,986

98,194 98,227 21,993

98,200 98,210 21,981

98,206 98,207 21,983

98,212 98,200 22,004

98,211 98,200 22,009

98,212 98,199 22,008

98,191 98,166 22,008

98,206 98,205 22,009

98,192 98,207 21,982

98,203 98,202 21,993

98,195 98,206 21,990

98,207 98,204 21,999

98,188 98,199 21,989

98,219 98,222 21,997

98,196 98,205 21,998

98,220 98,227 22,001

98,193 98,213 21,985

98,194 98,217 21,988

98,200 98,200 21,983

98,199 98,199 21,980

98,199 98,197 21,985

98,199 98,198 21,984

98,196 98,206 21,982

98,203 98,207 21,984

98,201 98,206 21,986

98,197 98,161 21,989

98,192 98,205 21,984

98,208 98,172 22,011

98,175 98,195 21,983

98,176 98,196 21,983

98,172 98,195 21,983

98,197 98,201 21,999

98,195 98,211 21,993

98,196 98,206 21,993

98,201 98,219 21,989


Primeiramente vamos verificar se as variáveis Posição1, Posição2 e

Posição3 são correlacionadas. Para obter a correlação entre elas

vamos utilizar a ferramenta Matriz de Correlação do Software

Action. Dessa forma, temos

Podemos ver que a correlação positiva (0,471) entre a Posição1 e a

Posição3 é significativa, comprovada pelo p-valor de 0,001 que é

menor do que o nível de significância adotado de 5%. Portanto,

podemos concluir que apenas as variáveis Posição1 e Posição3

influenciam conjuntamente no processo, com isso vamos construir os

gráficos de controle multivariados considerando apenas essas duas

variáveis.

A seguir apresentamos os passos para a construção dos gráficos de

controle multivariados (T2 de Hotelling e Variância generalizada).

As médias das variáveis Posição1 e Posição3 são, respectivamente,

98,2 e 21,992.

A matriz de covariâncias (S) e a matriz inversa (S-1) são dadas por


O cálculo de T2 para a primeira linha do conjunto de dados,

considerando agora apenas as variáveis correlacionadas (Posição1 e

Posição3), é da seguinte forma

Para as outras linhas o procedimento para o cáculo da estatística T2 é

análogo.

Portanto, os limites de controle com um nível de confiança de 3σ =

99,73% são dados por

sendo

m = número de amostras = 44

p = número de variáveis correlacionadas = 2



generalizada. Primeiramente calculamos a média e variância, daí

procedemos a padronização de cada variável. Assim temos

Para Posição1 (X1)

Padronização para o primeiro valor da variável Posição1:

Para Posição3 (X2)

Padronização para o primeiro valor da variável Posição3:

O procedimento para a padronização dos outros valores das variáveis

Posição1 e Posição3 é análogo.

O desvio-padrão das variáveis padronizadas em relação a X1 e X2 é

dado por

Logo, para a primeira linha o valor de S é obtido da seguinte forma

Para as outras linhas do conjunto o cálculo é análogo.

Precisamos ainda calcular dado por

ou seja,

Assim a linha central do gráfico de controle é dado pela média dos

desvios padrão. Com isso, o gráfico da variância generalizada com

observações individuais segue o mesmo raciocínio do gráfico usual.

Aplicando as fórmulas e utilizando o Apêndice para obter os valores

de B3 = 0 e B4 = 2,568 (para n = 3) encontramos os limites de

controle, que são dados por


exemplo.

Podemos notar que o processo não manteve-se estável ao longo do

período considerado.


7.2 - Gráficos de controle multivariados para observações com

réplicas

A seguir apresentamos a construção dos gráficos de controle

multivarados para observações com réplicas.

Para introduzir o conceito desses gráficos vamos considerar a entrada

de dados, de forma geral, conforme a Tabela 7.2.1. Podemos observar

agora que esses dados possuem réplicas.

Tabela 7.2.1: Entrada de dados.

Variáveis

http://www.portalaction.com.br/content/sem-r%C3%A9plicas

Amostra

1

1

1

2

2

2

3

3

3

m

m

m

refere-se a k-ésima observação na j-ésima amostra da i-ésima

variável.

Aqui i = 1, ..., p ; j = 1, ..., m e k = 1, ..., n.

Para o cálculo da estatística T2 de Hotelling devemos seguir os passos

abaixo:

Calcular a média dentro de cada amostra para cada variável

Calcular o vetor de médias gerais por

Calcular o vetor de variâncias amostrais para cada amostra

Calcular as p(p - 1)/2 covariâncias amostrais, denotadas por para

cada amostra

Construir a matriz de covariância amostral S da seguinte forma

em que

Calcular a estatística T2 da seguinte forma

Limites de Controle para o gráfico de T2

Temos que a estatística para n

> 1 (ver Johnson (2002)).

Limite inferior de controle (Montgomery (2001)):

Linha Central (Montgomery (2001)):

Limite superior de controle (Montgomery (2001)):

em que n = tamanho de cada amostra, m = número de amostras e p

= quantidade de características.

Limites de Controle para a variância generalizada

determinante da matriz de covariância amostral, variância

generalizada (Johnson (2002)).

Limite inferior de controle (Montgomery (2001)):

Linha Central (Montgomery (2001)):

Limite superior de controle (Montgomery (2001)):

em que

sendo p = número de variáveis e n = número de observações em

cada grupo.

Exemplo 7.2.1: Um químico está interessado em verificar a relação

entre a quantidade de horas que determinados corpos-de-prova ficam

submetidos à uma estufa e a porcentagem (%) de umidade neles

contida. A estufa foi mantida a temperatura constante e tomamos

amostras de tamanho 5 para cada dia. Os dados estão dispostos na

Tabela 7.2.2.

Tabela 7.2.2: Dados do experimento.

Data da Medição

CPNúmero de horas

Umidade(%)

Data da Medição

CPNúmero de horas

Umidade(%)

1/1/2001 1 1 7 1/6/2001 1 3 5,8

2 2 6,5 2 3 5,6

3 4 6 3 2 4

4 6 7 4 2 4

5 4 7 5 5 5,8

1/2/2001 1 2 7 1/7/2001 1 4 5,2

2 2 7 2 6 6,4

3 4 6,2 3 2 4,5

4 1 6 4 3 1,5

5 1 5,2 5 3 5,6

1/3/2001 1 5 7 1/8/2001 1 6 6

2 2 5,4 2 3 5,8

3 5 7 3 7 7

4 3 7 4 4 4,5

5 2 1,4 5 3 5,2

1/4/2001 1 4 6 1/9/2001 1 5 5,6

2 4 6,2 2 4 4,5

3 4 3,5 3 2 4,5

4 2 4,5 4 1 6

5 2 3 5 3 2

1/5/2001 1 3 4,21/10/200

11 3 5,2

2 3 6,5 2 4 6

3 2 2,2 3 6 5,5

4 4 5,5 4 3 7

5 3 6 5 2 6,5


Primeiramente precisamos verificar se as variáveis a serem

analisadas são correlacionadas. Para isso podemos utilizar a

ferramenta Matriz de Correlação do Software Action.

Neste exemplo consideraremos que existe correlação entre as

variáveis Número de horas e Umidade apenas para trabalhar com as

mesmas conjuntamente e exemplicar os cálculos com detalhes.

Cuidado! A correlação deve sempre ser analisada no caso

multivariado para que os resultados não sejam mascarados.

Para a primeira amostra (1/1/2001), temos:


O cálculo da estatística T2 para a primeira amostra é dado por

Na tabela a seguir temos as médias e variâncias para o gráfico T2

calculadas para todas as amostras.

Tabela 7.2.3: Médias e Variâncias para o gráfico T2.

Amostra

1 3,4 6,7 3,8 0,2 0,025 4,58479

2 2 6,28 1,5 0,572 0,3 8,95074

3 3,4 5,56 2,3 5,888 2,52 0,0739

4 3,2 4,64 1,2 2,073 0,89 1,55585

5 3 4,88 0,5 2,977 0,825 0,69618

6 3 5,04 1,5 0,908 0,9 0,38176

7 3,6 4,64 2,3 3,553 1,495 2,43094

8 4,6 5,7 3,3 0,87 1,225 4,18667

9 3 4,52 2,5 2,427 -0,2 1,9421

10 3,6 6,04 2,3 0,533 -0,53 1,04202

soma 32,8 54 21,2 20,001 7,45 25,84495

média 3,28 5,4 2,12 2,0001 0,745 2,584495

Com isso, podemos construir os limites de controle do gráfico T2, com

um nível de confiança 3σ = 99,73%, dados a seguir.

Limite inferior de controle

Limite central

Limite superior de controle



generalizada, os quais são dados por

Como o valor obtido para o LIC foi negativo, tomamos como valor

mínimo o zero. Sendo assim, assumimos LIC = 0.


exemplo.

Figura 7.2.1: Gráficos T2 e Variância generalizada.

Podemos notar pelos gráficos que o processo manteve-se estável ao

longo do período.

- Gráficos de Pré-Controle

Os gráficos de controle e R, média e amplitude, servem

essencialmente para analisar a natureza da variabilidade nos

processos e para diagnosticar as causas que levam ao estado de

"Fora de Controle". Por sua vez, as técnicas chamadas de Pré-

Controle (P.C.) visam a detecção de alterações no nível ou na

dispersão do processo que levam a fabricação de produtos

defeituosos ou fora das especificações.

O Pré-Controle foi inicialmente concebido com o intuito de ser, ao

mesmo tempo, uma simplificação e melhoria das cartas CEP

clássicas.

Desenvolvido na década de 50, ele permite avaliar se as peças

produzidas estão dentro da especificação e dá um alarme quando há

uma tendência de produzir-se peças não-conformes. Ele nada tem a

ver com estabilidade do processo, porém tem uma certa relação com

a capacidade do processo, ou seja, mesmo que o processo seja

instável, mas esteja produzindo peças dentro da tolerância (conforme

as regras do Pré-Controle) nenhum alarme será dado. Caso o

processo não seja capaz, o Pré-Controle nada fará para mudar esta

situação.

Justificativa do gráfico de pré-controle

Consideremos a seguir um processo centrado cuja variável seja

(aproximadamente) normalmente distribuído e cujos limites naturais (

), coincidam com os limites de especificação da característica

de interesse.

Temos que:

em que é a média e é o desvio padrão de um amostra de

tamanho n.

Para um processo nestas condições verifica-se que:

Para implementar o P.C. devem ser estabelecidos limites de Pré-

Controle; estes limites serão equidistantes entre (média do

processo) e os limites de especificação, dividindo assim o intervalo de

tolerância em regiões, segundo indica a Figura 8.1.

Figura 8.1: Limites do gráfico de Pré-Controle.

Consideramos:

LIE = Limite inferior de especificação;

LIPC = Limite inferior de pré-controle;

LSPC = Limite superior de pré-controle;

LSE = Limite superior de especificação.

A região entre os limites de P.C. abrange metade do intervalo de

tolerância, e é chamado de área alvo ou nominal (target area). Na

Figura 8.2 esta área é representada pela região verde, que equivale

aproximadamente a 86% das observações.

Figura 8.2: Faixas do gráfico de Pré-Controle.

Pode-se observar também que nas condições de nossas hipóteses -

processo normal, centrado e de capacidade 1 - a probabilidade de

uma observação ter valores fora de uma das linhas de P.C. é de

aproximadamente 14%.

Como consequência, quando dois itens consecutivos ficam fora do

mesmo limite de P.C., o mais provável é que o processo tenha

mudado de nível. Neste caso é recomendável o reajuste do processo

a seu nível nominal.

Por outro lado, se um item cair fora dos limites de P.C. e o item

seguinte cair fora do outro limite é mais provável que tenha

acontecido uma mudança de dispersão no processo, causada talvez

pela introdução de algum fator indesejável. Nestas circunstâncias os

operadores do processo deverão tomar medidas para imediata

correção do mesmo.

Descreveremos a seguir os passos para o Pré-Controle clássico.

8.1 - Regras para operar com a técnica de Pré-Controle

1. Divida o intervalo de especificação em regiões como indicado na

Figura 8.1.1;

2. Comece o trabalho;

3. Sempre que uma peça cair fora dos limites de especificação (ficar

na região vermelha), conforme Figura 8.1.1, reajuste o processo;

Figura 8.1.1: Reestabeleça o processo.

4. Se uma peça cair dentro das especificações mas fora de um dos

limites de P.C. (região amarela), conforme Figura 8.1.2, verifique a

próxima peça;

Figura 8.1.2: Check o próximo item.

5. Se a peça seguinte ficou também fora do mesmo limite de P.C.

reajuste o processo, conforme Figura 8.1.3;


6. Se após o passo 4 (Figura 8.1.2) a peça seguinte está dentro dos

limites de P.C., continue com o trabalho e reajuste somente no caso

em que duas peças sucessivas estejam fora do mesmo limite de P.C;

Figura 8.1.4: Continue o processo.

7. Se duas peças sucessivas aparecerem de ambos os lados dos

limites de P.C. (em ambas as regiões amarelas), conforme a Figura

8.1.5, o processo deve ser imediatamente corrigido para diminuir sua

dispersão;


8. Se 5 valores sucessivos ficarem dentro dos limites de P.C. (região

verde),conforme mostra a Figura 8.1.6, passe a amostrar com a

frequência habitual (amostragem regular). Enquanto espera por 5

peças consecutivas na região verde, cada vez que uma peça sair fora

dessa região recomece a contagem;

Figura 8.1.6: Aumente o espaçamento entre os itens amostrados.

9. Quando o processo estiver sob amostragem regular não interfira

nele até que uma peça fique na região amarela. Neste caso observe a

próxima peça e proceda como na etapa 6 (Figura 8.1.4);

10. Após cada reajuste, 5 peças consecutivas devem ser observadas

apresentando valores dentro dos limites de P.C. antes de passar à

amostragem regular;

11. Se o operador registra 25 amostras sem ter tido necessidade de

reajustar o processo, ver Figura 8.1.7, a frequência de amostragem

regular pode ser diminuída permitindo que mais peças sejam

fabricadas entre cada amostra observada. Se ao contrário, o operador

deve reajustar o processo antes que 25 amostras sejam observadas,

ver Figuras 8.1.8, 8.1.9, 8.1.10, 8.1.11, e aumentar-se-á a frequência

de observação. Uma média de 25 amostras observadas entre

reajustes é um indicador de que a frequência de amostragem regular

é correta.

Figura 8.1.7: Processo sob controle - continue.



8.2 - Pré-Controle de 2 estágios

O Pré-Controle clássico refere-se à formulação original, já o Pré-

Controle de 2 estágios é uma modificação que melhora as

características operacionais do método por coletar uma amostra

adicional se a amostra inicial fornecer resultados ambíguos.

O Pré-Controle Modificado, por outro lado, representa um

distanciamento da filosofia adotada nos outros 2 tipos, ele tenta obter

um compromisso entre a filosofia das cartas de controle e a

simplicidade de aplicação do Pré-Controle.

Para ambas as versões o processo é aprovado na qualificação (set-up)

se são observadas 5 unidades consecutivas na zona verde.

A diferença substancial entre eles está no método de classificação de

grupo. A primeira versão baseia-se na tolerância de engenharia ou

limites de especificação, enquanto o Pré-Controle Modificado

classifica as unidades usando limites de controle como nas cartas de

controle.

Tem sido sugerido que os Pré-Controle Clássico e de 2 Estágios sejam

aplicáveis somente se a dispersão atual do processo (6 desvios-

padrão do processo) cobrir menos que 88% da faixa de tolerância.

Com limites de especificação a ± 1, esta condição corresponde à

restrição σ < 0,2933, ou seja,

σ < 0,1467 × Tolerância, ou ainda (6 × σ < 88% da Tolerância).

A diferença importante é o critério de decisão.

Para o Pré-Controle de 2 Estágios, amostrando-se 2 unidades, temos:

Se qualquer peça cair dentro da região vermelha, conforme Figura

8.2.1, parar e ajustar.


Se ambas as peças caírem dentro da região verde, conforme Figura

8.2.2, continuar a operação.

Figura 8.2.2: Processo sob controle - continue.

Se qualquer peça (ou ambas) estão na região amarela, continue a

amostrar mais 3 peças, até no máximo 5. Continuar a operação se a

amostra combinada contém 3 peças na região verde e parar quando

exitir 3 peças na região amarela, ou ainda, se observamos uma peça

na região vermelha, vide Figuras (8.2.3, 8.2.4, 8.2.5, 8.2.6, 8.2.7,

8.2.8, 8.2.9, 8.2.10).

Figura 8.2.3: Continue a amostrar mais 3 peças.

Figura 8.2.4: Continue a amostrar mais 3 peças.



8.3 - Observações importantes sobre os gráficos de Pré-Controle

Recomendável em processos com alta capacidade (por ex. Cpk >

1,67 - longo prazo) podendo também ser usado em processos com

boa capacidade (por ex. Cpk > 1,33 - longo prazo);

Aplicável em situações em que não se tem controle sobre a

característica medida (não é fácil tomar uma ação sobre o sistema)

ou em que não haja preocupação com a mesma (independentemente

do resultado obtido a qualidade do produto não é afetada);

Não recomendável em processos não capazes (por ex. Cpk < 1,33 -

longo prazo) pois poderá provocar "tampering" ou "over-control"

(reajuste excessivo do processo aumentando ainda mais a dispersão);

Não recomendável para processos instáveis, pois não identifica se a

causa de variação é comum ou especial, o que pode gerar ações

equivocadas, custos desnecessários e descrença.

Vantagens:

Bastante simples, treinamento quase desnecessário

Baixo custo operacional

Comparação direta com a tolerância especificada para o produto

Incorpora procedimento de verificação de set-up

Desvantagens:

Não indica condições de instabilidade do processo

Não separa causas comuns de causas especiais, podendo gerar ações

incorretas e custos decorrentes

Inadequado para estabilizar um processo

Se utilizado em processos não capazes pode piorar ainda mais o

desempenho dos mesmos

Processos estáveis porém incapazes

O procedimento de set-up de aprovação do gráfico de Pré-Controle

denomina um processo capaz se cada uma das 5 observações

consecutivas "caírem" na região verde. Dessa forma, para um dado

Cp podemos calcular a probabilidade que o processo é aceito como

capaz.

A Tabela 8.3.1 mostra a probabilidade de aceitarmos um processo

como capaz em função dos valores de Cp.

Tabela 8.3.1: Tabela de Cp’s

Cp

0,5 0,75 1 1,5 2 2,5

P(aceitar) 0,0489 0,221 0,4882 0,8836 0,9886 0,9928

P(rejeitar) 0,9511 0,779 0,5118 0,1164 0,0134 0,0072

Observamos na Tabela 8.3.1 que ao tomarmos 5 amostras

consecutivas, a probabilidade de classificarmos incorretamente um

processo com alta capacidade (Cp = 2,0) como sendo um processo de

baixa capacidade é menor que 1,34%. Entretanto, a probabilidade de

classificarmos processos com baixa capacidade como sendo bons é

muito grande, como é o caso de um processo com capacidade igual a

1, pois a probabilidade de aceitação de 48,82% é muito próxima à de

rejeição, que é igual a 51,18%.

A vantagem está na maior quantidade de informações sobre o status

do processo, portanto erros de decisão são menos prováveis.

O objetivo do Pré-Controle Modificado é detectar desvios de

estabilidade. Ele requer estimação dos parâmetros correntes do

processo para determinar os limites de controle.

Para o gráfico de Pré-Controle estar sob controle temos:

Todos os pontos entre as linhas de pré-controle (área verde),

conforme mostra a Figura 8.3.1.

Figura 8.3.1: Gráfico de pré-controle - sob controle.

Somente um ponto entre os limites de especificações e os limites de

pré-controle (área amarela), conforme mostra a Figura 8.3.2.

Figura 8.3.2: Gráfico de pré-controle - sob controle.

Para o gráfico de Pré-Controle estar fora de controle temos:

Qualquer ponto fora dos limites de especificação (área vermelha),

conforme mostra a Figura 8.3.3.

Figura 8.3.3: Gráfico de pré-controle - fora de controle.

Dois pontos consecutivos além das linhas de pré-controle:

o mesma área amarela

o áreas amarelas opostas

Veja a Figura 8.3.4.

Figura 8.3.4: Gráfico de pré-controle - fora de controle.

O Pré-Controle foi desenvolvido como uma alternativa às cartas de

controle para manufatura de pequenos lotes.

O Pré-Controle, como originalmente concebido, é orientado ao

produto (e não ao processo), ele qualifica o processo e mantém sua

saída dentro das especificações.

O paradigma do Pré-Controle pode ser modificado para limites do

processo ao invés de limites de especificação. Isto permite que as

virtudes da ferramenta sejam aplicadas a processos que tenham

inicialmente sido qualificados em um estado de controle estatístico.

Usar os valores de ± 3σ do processo como limites (passagem das

zonas amarelas para vermelhas) e então usar ± 1,5σ como limites de

alerta (passagem da zona verde para amarelas).

Usando amostra de tamanho igual a 5, as regras de decisão se

tornam:

Passo 1: inspecionar 2 peças

Se ambas estiverem no verde, continuar o processo

Se 1 ou ambas estiverem no vermelho, implementar plano de reação

e reiniciar passo 1

Se 1 ou ambas estiverem no amarelo, ir para o passo 2.

Passo 2: inspecionar mais 3 peças

Se qualquer delas estiver no vermelho, implementar plano de reação

e reiniciar passo 1

Se 3/5 estiverem no amarelo, implementar plano de reação e reiniciar

passo 1

Se 3/5 estiverem no verde, continuar.

Ao modificar o Pré-Controle para limites de processo sua grande

fraqueza é removida porém, suas virtudes permanecem. O Pré-

Controle Modificado é outra ferramenta estatística para nossa

consideração.

A Ford afirma no Q - 101 que há certos métodos estatísticos que são

contra-produtivos para a filosofia de melhoria contínua, incluindo o

Pré-Controle; estes métodos não são evidência de melhoria contínua.

9 - Exercícios

Exercício 9.1: Na usinagem de peças uma característica importante

é o comprimento das mesmas. A Tabela 9.1 apresenta as medições

na produção de 20 amostras com 3 peças. Analise a estabilidade do

processo.

Tabela 9.1: Medições do comprimento.

Lote Medições Média Amplitude

1 10,69 10,80 10,39 10,627 0,41

2 10,20 10,30 10,72 10,407 0,52

3 10,42 10,61 10,54 10,523 0,19

4 10,98 10,27 10,50 10,583 0,71

5 10,61 10,52 10,67 10,600 0,15

6 10,57 10,46 10,50 10,510 0,11

7 10,44 10,29 9,86 10,197 0,58

8 10,20 10,29 10,41 10,300 0,21

9 10,46 10,76 10,74 10,653 0,3

10 10,11 10,33 10,98 10,473 0,87

11 10,29 10,57 10,65 10,503 0,36

12 10,83 11,00 10,65 10,827 0,35

13 10,35 10,07 10,48 10,300 0,41

14 10,69 10,54 10,61 10,613 0,15

15 10,44 10,44 10,57 10,483 0,13

16 10,63 9,86 10,54 10,343 0,77

17 10,54 10,82 10,48 10,613 0,34

18 10,50 10,61 10,54 10,550 0,11

19 10,29 10,79 10,74 10,607 0,5

20 10,57 10,44 10,52 10,510 0,13


Exercício 9.2: Realize um estudo de estabilidade de um processo

utilizando os dados de umidade apresentados na Tabela 9.2.

Tabela 9.2: Dados de Umidade.

Lote Umidade Amplitude Móvel

1 3,2 -

2 3,1 0,1

3 2,9 0,2

4 2,9 0

5 2,8 0,1

6 3 0,2

7 3 0

8 2,5 0,5

9 3,3 0,8

10 2,8 0,5

11 3,3 0,5

12 3 0,3

13 3,3 0,3

14 3,26 0,04

15 2,6 0,66

16 3,1 0,5

17 3,3 0,2

18 3,1 0,2

19 2,81 0,29

20 3,3 0,49

21 3,5 0,2

22 3,5 0

23 3,7 0,2

24 4,2 0,5

25 4 0,2


Exercício 9.3: Os dados da Tabela 9.3 se referem a um processo de

usinagem de pinos, em que os diâmetros são medidos por

amostragem de 5 peças em 25 lotes. Analise a estabilidade do

processo.

Tabela 9.3: Medições do diâmetro de um pino.

Lote Medições MédiaDesvio padrão

1 2,08495 2,09203 1,01425 0,47627 1,75308 1,48412 0,714

2 2,44288 1,84913 1,02012 1,5103 0,5167 1,46782 0,7421

3 2,08819 0,34567 0,67246 2,14641 0,51528 1,1536 0,8875

4 1,42411 1,04348 1,15683 0,9108 1,23562 1,15417 0,1943

5 1,43307 0,22926 1,51612 0,82627 1,29935 1,06081 0,536

6 1,2113 0,63715 0,97815 2,30782 1,0003 1,22694 0,6383

7 2,14731 1,95837 0,95294 1,35384 0,73037 1,42857 0,6157

8 2,02444 1,60384 1,64667 1,66449 0,92746 1,57338 0,3985

9 1,4743 1,93916 1,06107 1,55396 0,8049 1,36668 0,4425

10 1,09096 2,09033 0,62161 1,45256 1,77208 1,40551 0,5742

11 1,90879 1,274 1,46827 1,36343 1,06161 1,41522 0,3139

12 0,81791 1,89952 1,24044 0,72729 1,44959 1,22695 0,4793

13 0,58784 1,57195 0,73316 1,05367 3,29273 1,44787 1,0983

14 2,12184 0,90374 0,59773 1,63101 0,82706 1,21628 0,6371

15 1,2819 0,89479 1,05394 1,25779 0,99451 1,09659 0,1683

16 0,82836 0,16347 2,12864 1,69732 0,90752 1,14506 0,7734

17 0,14026 1,0432 0,76948 1,72083 3,95445 1,52564 1,4715

18 2,19158 0,87777 0,955 1,50304 1,1604 1,33756 0,5352

19 0,93195 1,82231 1,2179 1,72608 1,45375 1,4304 0,3658

20 0,84523 2,79753 2,30041 0,47693 0,58081 1,40018 1,0718

21 1,84098 2,37729 1,89976 1,2079 3,2343 2,11205 0,7526

22 1,15648 2,5689 0,90064 3,7548 1,24616 1,9254 1,2107

23 2,21913 0,91997 2,15777 1,48548 0,25288 1,40704 0,8364

24 1,41393 0,71069 0,63707 1,71835 1,52855 1,20172 0,4946

25 1,5938 1,19839 0,88228 1,23019 0,41643 1,06422 0,4412


Exercício 9.4: A seguir apresentamos os dados referentes ao

controle da distância entre dentes de uma engrenagem do câmbio. A

cada trinta peças produzidas a última peça foi levada ao laboratório

para ser medida em uma máquina de medição por coordenadas. As

especificações para esses dados são LSE = 98,25 e LIE = 98,15.

Avalie a capacidade/peformance do processo.

Tabela 9.4: Dados Mercedes-Benz.

Data Horário Peça nº Diâmetro Externo

3/10/2007 09:16:47 1 98,212

3/10/2007 11:50:33 30 98,23

3/10/2007 13:39:07 60 98,218

3/10/2007 13:42:14 90 98,215

3/10/2007 18:12:52 120 98,216

3/10/2007 19:29:54 150 98,22

3/10/2007 21:28:47 180 98,219

3/10/2007 22:26:35 210 98,216

4/10/2007 08:41:10 240 98,207

4/10/2007 08:50:53 270 98,208

4/10/2007 08:55:51 300 98,216

4/10/2007 13:23:37 330 98,215

4/10/2007 13:26:14 360 98,192

4/10/2007 22:49:48 390 98,193

5/10/2007 08:50:18 420 98,171

5/10/2007 08:57:52 450 98,186

5/10/2007 12:45:56 480 98,187

5/10/2007 13:13:10 510 98,197

5/10/2007 13:24:35 540 98,191

5/10/2007 18:23:46 570 98,198

5/10/2007 21:43:05 600 98,187

5/10/2007 21:46:40 630 98,199

5/10/2007 22:59:42 660 98,192

8/10/2007 07:18:23 690 98,207

8/10/2007 09:09:06 720 98,21

24/10/2007 06:50:06 1 98,209

24/10/2007 10:59:44 30 98,193

24/10/2007 12:50:13 60 98,204

24/10/2007 15:08:16 90 98,202

24/10/2007 18:13:40 120 98,222

24/10/2007 22:07:46 150 98,214

25/10/2007 07:24:32 180 98,204

25/10/2007 09:24:54 210 98,166

25/10/2007 12:26:39 240 98,168

25/10/2007 16:49:41 270 98,169

25/10/2007 19:38:17 300 98,175

25/10/2007 22:44:45 330 98,175

26/10/2007 08:51:41 360 98,191

26/10/2007 11:49:26 390 98,19

29/10/2007 06:14:28 420 98,181

29/10/2007 06:17:54 450 98,179

29/10/2007 08:39:19 480 98,187

29/10/2007 12:43:09 510 98,192

29/10/2007 17:11:26 540 98,208

29/10/2007 17:48:53 570 98,195

29/10/2007 20:48:24 600 98,196

30/10/2007 06:47:31 630 98,176

30/10/2007 09:30:37 660 98,186

30/10/2007 13:05:12 690 98,194


Exercício 9.5: A seguir temos uma amostra de 25 dados referentes

a concentração (gr/l) de um determinado produto. Avalie a

estabilidade do processo.

Tabela 9.5: Dados de concentração (gr/l).

Amostra Concentração Amplitude

1 1,19704

2 1,27774 0,081

3 1,29062 0,013

4 1,2084 0,082

5 1,18415 0,024

6 1,2303 0,046

7 1,21312 0,017

8 1,23794 0,025

9 1,10243 0,136

10 1,13184 0,029

11 1,16285 0,031

12 1,20232 0,039

13 1,30562 0,103

14 1,24223 0,063

15 1,17811 0,064

16 1,15798 0,02

17 1,2363 0,078

18 1,26707 0,031

19 1,21276 0,054

20 1,17929 0,033

21 1,18989 0,011

22 1,24922 0,059

23 1,17928 0,07

24 1,22236 0,043

25 1,23954 0,017

Média 1,2119 0,0488


Exercício 9.6: A Tabela 9.6 apresenta os dados, ao longo de 15 dias,

referentes ao número de pedidos de compras que foram preenchidos

de forma errada. Analise a estabilidade do processo.

Tabela 9.6: Pedidos de compra.

Dia Verificados Com Erros p

1 200 22 0,110

2 200 25 0,125

3 200 17 0,085

4 200 18 0,090

5 200 37 0,185

6 200 29 0,145

7 200 21 0,105

8 200 17 0,085

9 200 20 0,100

10 200 25 0,125

11 200 8 0,040

12 200 24 0,120

13 200 29 0,145

14 200 18 0,090

15 200 22 0,110

Total 3000 332


Exercício 9.7: O departamento técnico de uma empresa deseja

estabelecer um gráfico de controle para a não-conformidade por

unidade no final da linha de produção. A Tabela 9.7 apresenta o

número de não-conformidades observados em 20 amostras de 5

peças. Analise a estabilidade do processo.

Tabela 9.7: Unidades não-conformes no final de uma linha de

produção.

Amostra tamanho da amostra nº de não-conformes média de não-conformes

1 5 10 2

2 5 12 2,4

3 5 8 1,6

4 5 14 2,8

5 5 10 2

6 5 16 3,2

7 5 11 2,2

8 5 7 1,4

9 5 10 2

10 5 15 3

11 5 9 1,8

12 5 5 1

13 5 7 1,4

14 5 11 2,2

15 5 12 2,4

16 5 6 1,2

17 5 8 1,6

18 5 10 2

19 5 7 1,4

20 5 5 1

total = 193 total = 38,6


Exercício 9.8: Em um processo de fabricação de papel estamos

interessados em acompanhar o total de manchas por área de papel

produzido. Para isso coletamos os dados conforme a Tabela 9.8. Faça

uma análise da estabilidade do processo.

Tabela 9.8: Manchas por área de papel produzido.

Número do lote

Metragem do rolo

Largura do rolo

Área do rolo

Total de manchas

Manchas por área

131910 56,1 4,142 232 2 0,009

131938 53 4,143 220 0 0

131982 56,04 4,147 232 1 0,004

131988 56,09 4,145 232 4 0,017

132008 56,04 4,144 232 0 0

122033 56,014 4,145 232 3 0,013

132043 28,04 4,142 116 1 0,009

132064 56,04 4,143 232 11 0,047

132094 56,04 4,142 232 2 0,009

132119 56,16 4,143 233 11 0,047

132140 56,04 4,142 232 8 0,034

132166 56,16 4,147 233 6 0,026

132193 56,17 4,142 233 10 0,043

132218 56,17 4,142 233 3 0,013

132226 56,211 4,143 233 0 0

132266 56,04 4,145 232 0 0

132293 56,14 4,144 233 0 0

132314 56,11 4,143 232 6 0,026

132347 56,11 4,142 232 4 0,017

131373 55,03 4,146 228 3 0,013

132397 56,03 4,147 232 3 0,013

132430 56,11 4,143 232 5 0,022

132452 56,08 4,143 232 2 0,009

132482 55,13 4,143 228 7 0,031

132495 56,04 4,142 232 2 0,009


Exercício 9.9: Medições do diâmetro do cilindro número 2, medições

feitas com súbito com relógio centesimal, pegando 5 peças a cada 20

produzidas. Analise a estabilidade do processo.

Tabela 9.9: Medições do diâmetro.

Data Hora Chapa Medições MédiaAmplitud

e

16/abr 19:25 11380 0,1 0,08 0,14 0,1 0,08 0,1 0,06

16/abr 22:30 11380 0,15 0,15 0,12 0,12 0,14 0,136 0,03

17/abr 02:00 13310 0,08 0,07 0,09 0,09 0,11 0,088 0,04

18/abr 02:00 13310 0,16 0,19 0,13 0,14 0,09 0,142 0,1

22/abr 08:45 985 0,13 0,12 0,12 0,11 0,14 0,124 0,03

22/abr 12:05 985 0,17 0,16 0,17 0,16 0,16 0,164 0,01

22/abr 13:35 985 0,19 0,17 0,18 0,18 0,17 0,178 0,02

22/abr 17:30 11380 0,12 0,14 0,14 0,13 0,13 0,132 0,02

22/abr 21:00 11380 0,14 0,14 0,12 0,12 0,16 0,136 0,04

23/abr 01:00 13310 0,13 0,12 0,1 0,15 0,14 0,128 0,05

23/abr 04:00 13310 0,17 0,14 0,16 0,1 0,05 0,124 0,12

23/abr 07:20 985 0,14 0,15 0,16 0,16 0,16 0,154 0,02

23/abr 09:45 985 0,16 0,15 0,16 0,16 0,18 0,162 0,03

23/abr 12:40 985 0,17 0,16 0,17 0,17 0,17 0,168 0,01

23/abr 17:30 11380 0,17 0,18 0,18 0,16 0,16 0,17 0,02

23/abr 19:20 11380 0,12 0,14 0,14 0,12 0,14 0,132 0,02

24/abr 01:00 13310 0,14 0,13 0,15 0,19 0,22 0,166 0,09

24/abr 04:00 13310 0,2 0,2 0,19 0,15 0,1 0,168 0,1

24/abr 07:10 985 0,18 0,17 0,18 0,16 0,17 0,172 0,02

24/abr 09:20 985 0,19 0,2 0,18 0,18 0,19 0,188 0,02

24/abr 12:20 985 0,21 0,22 0,22 0,23 0,23 0,222 0,02

24/abr 18:00 11380 0,2 0,22 0,22 0,2 0,18 0,204 0,04

24/abr 21:00 11380 0,18 0,18 0,22 0,2 0,2 0,196 0,04

25/abr 01:00 13310 0,16 0,19 0,2 0,2 0,22 0,194 0,06

25/abr 04:00 13310 0,19 0,17 0,16 0,1 0,08 0,14 0,11


Exercício 9.10: Foram feitas medições do diâmetro de um cilindro

em duas posições (em cima e em baixo), medições feitas com súbito

com relogio centesimal, pegando 1 peça a cada 10 produzidas. Avalie

a estabilidade do processo.

Tabela 9.10: Medições do diâmetro.

Amostras Medições (em cima) Medições (em baixo)

1 0,15 0,09

2 0,16 0,15

3 0,09 0,08

4 0,16 0,18

5 0,14 0,12

6 0,18 0,16

7 0,19 0,15

8 0,13 0,14

9 0,14 0,12

10 0,11 0,12

11 0,17 0,11

12 0,13 0,15

13 0,16 0,15

14 0,16 0,16

15 0,17 0,19

16 0,12 0,14

17 0,14 0,16

18 0,2 0,2

19 0,18 0,17

20 0,17 0,21

21 0,21 0,22

22 0,2 0,2

23 0,15 0,18

24 0,16 0,13

25 0,19 0,16


Exercício 9.11: Neste exemplo vamos considerar medições do

diâmetro do cilindro número 2, sendo essas medições feitas com

súbito com relógio centesimal pegando 5 peças a cada 20 produzidas.

Analisar a capacidade do processo.

Tabela 9.11: Medições do diâmetro - MWM International.

Data Hora Chapa Medições MédiaAmplitud

e

16/abr 19:25 11380 0,1 0,08 0,14 0,1 0,08 0,1 0,06

16/abr 22:30 11380 0,15 0,15 0,12 0,12 0,14 0,136 0,03

17/abr 02:00 13310 0,08 0,07 0,09 0,09 0,11 0,088 0,04

18/abr 02:00 13310 0,16 0,19 0,13 0,14 0,09 0,142 0,1

22/abr 08:45 985 0,13 0,12 0,12 0,11 0,14 0,124 0,03

22/abr 12:05 985 0,17 0,16 0,17 0,16 0,16 0,164 0,01

22/abr 13:35 985 0,19 0,17 0,18 0,18 0,17 0,178 0,02

22/abr 17:30 11380 0,12 0,14 0,14 0,13 0,13 0,132 0,02

22/abr 21:00 11380 0,14 0,14 0,12 0,12 0,16 0,136 0,04

23/abr 01:00 13310 0,13 0,12 0,1 0,15 0,14 0,128 0,05

23/abr 04:00 13310 0,17 0,14 0,16 0,1 0,05 0,124 0,12

23/abr 07:20 985 0,14 0,15 0,16 0,16 0,16 0,154 0,02

23/abr 09:45 985 0,16 0,15 0,16 0,16 0,18 0,162 0,03

23/abr 12:40 985 0,17 0,16 0,17 0,17 0,17 0,168 0,01

23/abr 17:30 11380 0,17 0,18 0,18 0,16 0,16 0,17 0,02

23/abr 19:20 11380 0,12 0,14 0,14 0,12 0,14 0,132 0,02

24/abr 01:00 13310 0,14 0,13 0,15 0,19 0,22 0,166 0,09

24/abr 04:00 13310 0,2 0,2 0,19 0,15 0,1 0,168 0,1

24/abr 07:10 985 0,18 0,17 0,18 0,16 0,17 0,172 0,02

24/abr 09:20 985 0,19 0,2 0,18 0,18 0,19 0,188 0,02

24/abr 12:20 985 0,21 0,22 0,22 0,23 0,23 0,222 0,02

24/abr 18:00 11380 0,2 0,22 0,22 0,2 0,18 0,204 0,04

24/abr 21:00 11380 0,18 0,18 0,22 0,2 0,2 0,196 0,04

25/abr 01:00 13310 0,16 0,19 0,2 0,2 0,22 0,194 0,06

25/abr 04:00 13310 0,19 0,17 0,16 0,1 0,08 0,14 0,11

= 0,15552 = 0,0448


Exercício 9.12: Considere os dados referentes ao controle da

distância entre dentes de uma engrenagem do câmbio. A cada trinta

peças produzidas a última peça foi levada ao laboratório para ser

medida em uma máquina de medição por coordenadas. As

especificações para esses dados são LSE = 40,015 e LIE = 40. Avalie

a estabilidade do processo.

Tabela 9.12: Dados Mercedes-Benz.

Data Horário Peça nº Diâmetro Externo

08/01/07 12:48:53 1 40,005

08/01/07 12:55:01 30 40,005

08/01/07 16:15:56 60 40,005

08/01/07 17:12:58 90 40,012

08/01/07 20:04:07 120 40,010

08/01/07 21:42:30 150 40,010

08/01/07 21:48:03 180 40,006

08/01/07 21:52:32 210 40,011

09/01/07 06:16:34 240 40,011

09/01/07 07:53:56 270 40,007

09/01/07 07:57:40 300 40,010

09/01/07 11:50:21 330 40,005

09/01/07 11:54:18 360 40,005

09/01/07 12:04:26 390 40,009

22/01/07 22:43:06 1 40,012

23/01/07 10:15:08 30 40,008

23/01/07 10:18:26 60 40,008

23/01/07 10:27:06 90 40,005

23/01/07 12:23:36 120 40,008

23/01/07 14:52:46 150 40,007

23/01/07 15:17:29 180 40,014

23/01/07 16:35:09 210 40,011

23/01/07 18:08:59 240 40,014

23/01/07 18:13:11 240 40,011

23/01/07 21:22:24 300 40,013

23/01/07 21:24:55 330 40,013

24/01/07 07:55:50 360 40,007

24/01/07 10:47:56 390 40,014

24/01/07 15:41:05 420 40,015

24/01/07 17:06:58 450 40,015

24/01/07 17:10:54 480 40,013

24/01/07 19:48:54 510 40,011

24/01/07 19:54:12 540 40,010

24/01/07 21:47:01 570 40,011

24/01/07 21:54:39 600 40,007

25/01/07 07:11:10 630 40,013

25/01/07 08:04:26 660 40,012

25/01/07 11:22:54 690 40,011

25/01/07 11:39:31 720 40,006

25/01/07 11:47:32 750 40,008

25/01/07 16:21:19 780 40,015

25/01/07 18:06:51 810 40,011

26/01/07 07:54:10 840 40,012

26/01/07 08:05:50 870 40,008

26/01/07 10:43:18 900 40,012

26/01/07 13:38:40 930 40,010

26/01/07 17:11:21 960 40,009

26/01/07 17:14:05 990 40,010

26/01/07 17:20:08 1020 40,012

26/01/07 17:27:45 1050 40,012

26/01/07 21:08:30 1080 40,010

26/01/07 21:14:21 1110 40,011

29/01/07 06:47:32 1140 40,010

29/01/07 09:12:12 1170 40,010

29/01/07 09:15:57 1200 40,011

29/01/07 11:34:05 1230 40,009

29/01/07 11:46:26 1260 40,012

29/01/07 16:42:37 1290 40,011

29/01/07 16:45:52 1320 40,009

29/01/07 17:41:12 1350 40,009

29/01/07 19:48:37 1380 40,009


Exercício 9.13: Consideremos os dados da tabela 9.13 referentes às

medições de uma peça enviada para análise. Os limites de

especificação para essa peça são: LSE = 720 e LIE = 480. Avaliar a

capacidade e performance do processo.

Tabela 9.13: Fixação das rodas do terceiro eixo lado direito -

Mercedes-Benz.

Subgrupo

Coleta de dados

X1 X2 X3 X4 X5

1 623,00 589,00 618,00 620,00 613,00

2 618,00 604,00 594,00 618,00 606,00

3 637,00 584,00 608,00 608,00 608,00

4 618,00 635,00 618,00 630,00 608,00

5 587,00 606,00 604,00 616,00 608,00

6 608,00 601,00 601,00 606,00 580,00

7 599,00 589,00 664,00 618,00 728,00

8 584,00 637,00 599,00 628,00 606,00

9 584,00 606,00 587,00 584,00 620,00

10 623,00 632,00 604,00 580,00 601,00

11 589,00 611,00 599,00 592,00 589,00

12 592,00 726,00 580,00 589,00 618,00

13 604,00 613,00 599,00 611,00 599,00

14 611,00 596,00 611,00 580,00 613,00

15 589,00 709,00 592,00 625,00 687,00

16 628,00 592,00 608,00 637,00 656,00

17 606,00 584,00 604,00 592,00 620,00

18 613,00 604,00 618,00 592,00 584,00

19 596,00 587,00 613,00 618,00 592,00

20 581,00 604,00 580,00 611,00 613,00

21 608,00 623,00 604,00 584,00 606,00

22 616,00 599,00 616,00 714,00 611,00

23 632,00 618,00 611,00 584,00 592,00

24 620,00 587,00 580,00 613,00 608,00

25 608,00 582,00 599,00 604,00 604,00


10 - Apêndice

Nesse apêndice apresentamos as tabelas com os fatores utilizados

para o cálculo dos limites de controle.

Fatores para cálculos de linhas centrais e limites de controle 3σ

Gráfico de Médias

Número de Elementos na Amostra (n)Fatores para Limites de Controle

A1 A2 A3

2 2,121 1,880 2,659

3 1,732 1,023 1,954

4 1,5 0,729 1,628

5 1,342 0,577 1,427

6 1,225 0,483 1,287

7 1,134 0,419 1,182

8 1,061 0,373 1,099

9 1 0,337 1,032

10 0,949 0,308 0,975

11 0,905 0,285 0,927

12 0,866 0,266 0,886

13 0,832 0,249 0,850

14 0,802 0,235 0,817

15 0,775 0,223 0,789

Gráfico de Desvios Padrão

Número de Elementos na Amostra (n)

Fatores para Linha Central

Fatores para Limites de Controle

c4 1/c4 B3 B4 B5 B6

2 0,7979 1,2533 0 3,267 0 2,606

3 0,8862 1,1284 0 2,568 0 2,276

4 0,9213 1,0854 0 2,266 0 2,088

5 0,9400 1,0638 0 2,089 0 1,964

6 0,9515 1,0510 0,030 1,970 0,029 1,874

7 0,9594 1,0423 0,118 1,882 0,113 1,806

8 0,9650 1,0363 0,185 1,815 0,179 1,751

9 0,9693 1,0317 0,239 1,761 0,232 1,707

10 0,9727 1,0281 0,284 1,716 0,276 1,669

11 0,9754 1,0252 0,321 1,679 0,313 1,637

12 0,9776 1,0229 0,354 1,646 0,346 1,610

13 0,9794 1,0210 0,382 1,618 0,374 1,585

14 0,9810 1,0194 0,406 1,594 0,399 1,563

15 0,9823 1,0180 0,428 1,572 0,421 1,544

Gráfico de Amplitudes

Número de Elementos na Amostra (n)

Fatores para Linha Central

Fatores para Limites de Controle

d2 1/d2 d3 D1 D2 D3 D4

2 1,128 0,8865 0,853 0 3,686 0 3,267

3 1,693 0,5907 0,888 0 4,358 0 2,574

4 2,059 0,4857 0,880 0 4,698 0 2,282

5 2,326 0,4299 0,864 0 4,918 0 2,114

6 2,534 0,3946 0,848 0 5,078 0 2,004

7 2,704 0,3698 0,833 0,204 5,204 0,076 1,924

8 2,847 0,3512 0,820 0,388 5,306 0,136 1,864

9 2,970 0,3367 0,808 0,547 5,393 0,184 1,816

10 3,078 0,3249 0,797 0,687 5,469 0,223 1,777

11 3,173 0,3152 0,787 0,811 5,535 0,256 1,744

12 3,258 0,3069 0,778 0,922 5,594 0,283 1,717

13 3,336 0,2998 0,770 1,025 5,647 0,307 1,693

14 3,407 0,2935 0,763 1,118 5,696 0,328 1,672

15 3,472 0,2880 0,756 1,203 5,741 0,347 1,653

1 - Referências Bibliográficas

[1] Breyfogle, F. W. (1999 ) - Implementing Six Sigma: Smarter

Solution Using Statistical Methods, John Wiley and Sons, INC.

[2] Fundamentos do Controle Estatístico do Processo - Manual de

Referência, IQA.

[3] ISO 21747 - Statistical methods - Process performance and

capability statistics for measured quality characteristics, First Edition,

2006.

[4] Johnson, R. A. and Wichern, D. W. (2002) - Applied Multivariate

Statistical Analysis, Prentice Hall, New Jersey.

[5] Montgomery, D. C. (1985) - Introduction to Statistical Quality

Control, John Wiley and Sons, New York .

[6] Montgomery, D.C. (2001) - Introduction to Statistical Quality

Control, 4th edition, John Wiley and Sons.

[7] Schmidt, S. R. and Launsby, R. G. (1997) - Understanding

Industrial Designed Experiments, Air Academic Press, Colorado

Springs, CO.

[8] QS 9000, Manual de CEP, Segunda edição.

Download - Apostila Carta CEP

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