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1
1. MATRIZES
1.1. INTRODUO
Definio Tabela de elementos dispostos em linhas e colunas
Altura Peso Idade Equivalente matricial [m] [kg] [anos]
Pessoa 1 1,50 51 27 1,50 51 27
Pessoa 2 1,32 30 14 1,32 30 14
Pessoa 3 1,70 75 20 1,70 75 20
Pessoa 4 1,65 70 34 1,65 70 34
Os elementos de uma matriz podem ser reais, complexos, funes ou outras matrizes
Exemplo
0 3- 1
5 3 x 1- 0 3 5z
1.2. REPRESENTAO DE UMA MATRIZ MxN
mxnij
mnmmm
n
n
n
mxn A
AAAA
AAAA
AAAA
AAAA
A
...............................
................................
...............................
...............................
321
3333231
2232221
1131211
Figura 1. Representao de uma matriz mxn
A Nome da matriz (maisculas)
ijA Elemento da posio (i, j)
m Nmero de linhas da matriz A
n Nmero de colunas da matriz A
1.2.1. Denotao de uma matriz: O nome da matriz ser denotado com letras maisculas, e para especificar a ordem da matriz (nmero de linhas e colunas)
escreveremos da seguinte forma Amxn. Outras notaes para uma matriz so o uso de
colchetes, parntesis ou duas barras
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.
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.
.
.
.
.
.
.
.
-
2
Exemplo
4 0
1- 2
4 0
1- 2
4 0
1- 2
1.2.2. Localizao de um elemento de uma matriz: Para localizar um elemento de uma matriz, dizemos a linha e a coluna na qual ele est.
Exemplo
4 2- 2
3 1- 132xA
Aij
4
2
2
3
1
1
23
22
21
13
12
11
A
A
A
A
A
A
1.2.3. Definio: Duas matrizes mxnijmxn
AA e rxsijrxs
BB so iguais se A=B e as
duas tem o mesmo numero de linhas m=r e de colunas n=s e todos seus elementos
correspondentes so iguais, ijij BA
Exemplo
9 4
1- 3
3 2
)cos(180 3
2
1.3. TIPOS ESPECIAIS DE MATRIZES
1.3.1. Matriz quadrada: Aquela cujo nmero de linhas igual ao nmero de colunas (m=n)
Exemplo
8 0 1
5 4 3
x2 1
33xA 3
3
n
m
Posio na coluna
Posio na linha
-
3
1.3.2. Matriz nula: Aquela cujos elementos ijA so 0 para todo i e j 0ijA , denotada
por 0mxn
Exemplo
0 0 0
0 0 032xA
0 0
0 022xB
1.3.3. Matriz Coluna Aquela que possui uma nica coluna 1n
Exemplo
3
1-
5
13xA
7-
4
5
3
0
15xB
1.3.4. Matriz Linha: Aquela onde m=1, uma nica linha
Exemplo
2 521 xA zy x 31 xB
1.3.5. Matriz Diagonal: Matriz quadrada (m=n) onde 0ijA para ji . Os
elementos que no esto na diagonal so nulos
Exemplo
x 0 0
0 1- 0
0 0 7
33XA
4- 0 0 0
0 2 0 0
0 0 3- 0
0 0 0 1
44xB
1.3.6. Matriz Identidade Quadrada: Aquela em que 1ijA para ji e 0ijA para
ji . Denotada por Imxn
Exemplo
1 0 0
0 1 0
0 0 1
33xI
1 0
0 122xI
1.3.7. Matriz triangular superior: Aquela onde todos os elementos abaixo da
diagonal so nulos, nm e 0ijA para ji
-
4
Exemplo
5 0 0
1- 4 0
8 9 3
33xA
j 0 0 0
ih 0 0
g f e 0
d c b
44
a
B x
1.3.8. Matriz Triangular inferior Aquela onde todos os elementos acima da diagonal
so nulos, nm e 0ijA para ji
Exemplo
3 9 3
0 4 1
0 0 5
33xA
d c b
0 g f
0 0 i
0 0 0
44
a
e
h
j
B x
1.3.9. Matriz Simtrica Aquela onde nm e jiij AA
Exemplo
5 0 1-
0 2 3
1- 3 4
33xA
z
y 22
y
xA x
1.4. OPERAES COM MATRIZES
1.4.1. Adio: A soma de duas matrizes da mesma ordem, mxnijmxn
AA e
mxnijmxn
BB uma matriz mxn, que se denotar A+B cujos elementos so somas dos
elementos correspondentes de A e B
mxnijij
BABA
Exemplo
32
325 2 0
3 1- 1
x
xA
32
328 6 2
10 5- 7
x
xB
32
32
13 8 2
13 6- 8
58 )62( )20(
103 )51( )71(
X
X
BA
BA
-
5
1.4.1.1. Propriedades
a) A+B=B+A b) (A+B)+C=A+(B+C) c) (A+0)=A 0 Matriz Nula
1.4.2. Multiplicao por um escalar: Seja mxnij
AA e k um nmero, ento
definimos uma nova matriz:
mxnij
AkAk
Exemplo
236 4-
1 2
0 3
x
A
, 3k
23
23
18- 12
3- 6-
0 9-
)63( )43(
)13( )23(
)03( )33(
x
x
Ak
Ak
1.4.2.1. Propriedades
a) k(A+B) = kA + kB b) (k1+k2 )A = k1 A + k2 A c) 0A = 0 , 0k 0 Matriz Nula d) k1(k2 A) = (k1k2 )A
1.4.3. Transposio: Dada uma matriz mxnij
AA , podemos obter uma matriz
nxmij
BA ' , cujas linhas so as colunas de A, jiij AB . 'A denominada a transposta
de A
Exemplo
9 4
3 0
1 2
A
9 3 1
4 0 2'A
-
6
1 5
3 1B
1 3
5 1'B
7 0 4
0 5 3
4 3 1
C
7 0 4
0 5 3
4 3 1'C
1.4.3.1. Propriedades
a) Uma matriz simtrica se e somente se ela igual sua transposta 'AA
b) AA ''
c) ''' BABA d) ')'( AkAk
1.4.4. Multiplicao de Matrizes: Sejam mxnij
AA e nxprs
BB , Definimos
mxpuv
CBA , onde
nvunvuvu
n
k
kvukuv BABABABAC
.........22111
S poderemos multiplicar duas matrizes, se o nmero de colunas da primeira matriz igual ao nmero de linhas da segunda matriz
O elemento ijC obtido multiplicando os elementos da i-sima linha da primeira
matriz pelos elementos correspondentes da j-sima coluna da segunda matriz, e
somando estes produtos
Figura 2. Multiplicao de Matrizes
Exemplo Achar a matriz resultante de BA
238 4
1- 0
5 3
x
A
22
1 3
1- 5
x
B
Iguais
Amxn* Bnxp = ABmxp Iguais
Tamanho de AB
-
7
A multiplicao de BA pode ser feita j que o nmero de colunas da matriz A igual ao nmero de linhas da matriz B
23
23
4 44
1- 3-
2 30
)1814( )3854(
)1110( )3150(
)151-3( )3553(
x
x
BA
BA
Exemplo Achar a matriz resultante de BA
332- 1 0
1 2 4
3 2- 1
x
A
232 2-
1- 3
4 1
x
B
23
23
23
5- 7
61 8
21 11-
)410( )430(
)2216( )264(
)624( )661(
)221140( )223110(
)211244( )213214(
)231241( )233211(
x
x
x
BA
BA
BA
1.4.4.1. Propriedades
a) ABBA b) AIAIA I Matriz Identidade Quadrada
c) CABACBA )(
d) CBCACBA )(
e) )()( CBACBA
f) '')'( ABBA (Nessa Ordem!)
g) 00 A ; 00 A 0 Matriz nula
Nmero de colunas da matriz B
Nmero de linhas da matriz A
-
8
2. SISTEMAS E MATRIZES
Conceitos Um sistema de equaes lineares com m equaes e n incgnitas um
conjunto de equaes do tipo:
mnmnmm
nn
nn
BXAXAXA
BXAXAXA
BXAXAXA
......
......
......
2211
22222121
11212111
Com ijA , mi 1 , nj 1 .
Uma soluo do sistema denotado anteriormente uma n-dupla de nmeros
nXXX ...,........., 21 que satisfaa simultaneamente estas m equaes
2.1. SISTEMA DE EQUAES EM FORMA MATRICIAL
m
2
1
n
2
1
mnm2m1
2n2221
1n1211
B
B
X
X
...A..........A A
....A..........A A
....A..........A BXA
Figura 3. Forma matricial de um sistema de equaes AX=B
Outra matriz que podemos associar ao sistema :
mmnm2m1
22n2221
11n1211
B .A ............A A
B ....A..........A A
B ....A..........A A
A qual chamamos MATRIZ AMPLIADA DO SISTEMA
.
.
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.
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MATRIZ DOS
COEFICIENTES
MATRIZ DOS
COEFICIENTES
MATRIZ DOS
TERMOS
INDEPENDENTES
.
.
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.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
-
9
Exemplo Considere o sistema linear
523
4452
134
321
321
321
XXX
XXX
XXX
5
4
1
X
X
2- 3- 1
4 5 2
3 4 1
3
2
1X
5 2- 3- 1
4 4 5 2
1 3 4 1
2.2. OPERAES ELEMETARES SOBRE AS LINHAS DE UMA MATRIZ a) Permuta as i-sima e j-sima linhas
Exemplo
2- 3- 1
4 5 2
3 4 1
12 LL
2- 3- 1
3 4 1
4 5 2
So permutados os elementos da linha 2 pelos elementos de linha 1 e
viceversa
b) Multiplicao da i-sima linha por um escalar no nulo k ii kLL
Exemplo
2- 3- 1
4 5 2
3 4 1
33 2LL
Forma matricial do
sistema linear
Sistema linear
A matriz ampliada do
sistema linear
Operao de Permuta!
Operao de multiplicao por um
escalar!
-
10
2)(-2 2)(-3 2)(1
4 5 2
3 4 1
4- 6- 2
4 5 2
3 4 1
Cada elemento da linha 3 multiplicado pelo numero 2, os produtos sero os novos elementos da linha 3 de uma nova matriz. Os elementos da
linha 1 e da linha 2 no sofrem alterao nenhuma
c) Substituio da i-sima linha pela i-esima linha mais k vezes a j-sima
linha jii kLLL
Exemplo
2- 3- 1
4 5 2
3 4 1
211 3LLL
2- 3- 1
4 5 2
4)3(3 5)3(4 2)3(1
2- 3- 1
4 5 2
15 19 7
Cada elemento da linha 1 substitudo pela soma do elemento da linha 1
mais 3 vezes cada elemento da linha 2
2.3. FORMA ESCADA REDUZIDA POR LINHAS DE UMA MATRIZ O objetivo deste capitulo manipular a matriz ampliada que representa um sistema
linear , ate chegar a uma forma a partir da qual a soluo possa ser facilmente
encontrada.
Definio1: Uma matriz mxn est na forma Escada Reduzida por linhas se ela satisfaz
as seguintes propriedades:
a) Todas as linhas nulas (Isto , que todos os elementos so iguais a zero0), se existirem, ocorrem abaixo de todas as linhas no nulas.
b) O primeiro elemento no nulo de uma linha no nula um 1, (Lendo-se de esquerda direita)
c) Se as linhas i e i+1 so duas linhas sucessivas no nulas, ento o primeiro elemento no nulo de linha i+1 est a direita do primeiro elemento no
nulo da linha i
Operao de sustituo
-
11
d) Se uma coluna contem o primeiro elemento no nulo de alguma linha, ento todos os elementos desta coluna so iguais a zero 0
Exemplo
0 0 0
1 1- 0
0 0 1
0 0 0
1 1 0
0 2 1
3- 1 0 0
0 0 0 0
4 0 2 1
0 0 0 0
2 1 0 0
5 2- 1 0
4 3 2 1
0 0 0 0
2 2 1 0
5 2- 1 0
4 3 2 1
Exemplo de uma matriz reduzida
9 1 0 0
7 0 1 0
6 0 0 1
A
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
1 0 0 0 0
0 0 1 0 0
0 3 0 0 1
B
Definio 2: Toda matriz no nula mxn equivalente por linhas a uma nica matriz em
forma escada reduzida por linhas.
No cumpre a propriedade b
No cumpre a propriedade d
No cumpre a propriedade a
No cumpre a propriedade d
No cumpre as propriedades d, c
-
12
Exemplo: Seja
3 1- 0 3
8 1 1- 2
9 3 2 1
A
O procedimento para transformar uma matriz sua forma escada reduzida por linhas
descrito a seguir:
a) Encontrar a primeira coluna no nula (esquerda a direita) na matriz A
3 1- 0 3
8 1 1- 2
9 3 2 1
A
b) Identificar o primeiro elemento no nulo (de cima para baixo) da mesma coluna
3 1- 0 3
8 1 1- 2
9 3 2 1
A
O primeiro elemento deve ficar na primeira linha, se este est em outra linha teramos que permutar ditas linhas
c) Este primeiro elemento deve ser 1. Caso contrario que no seja 1 teramos que multiplicar a primeira linha de A pelo inverso do primeiro elemento
3 1- 0 3
8 1 1- 2
9 3 2 1
A
d) Os elementos nesta primeira coluna que pertencem as linhas 1, 2 e 3 devem ficar nulos. Realizamos ento a seguinte operao: Somar a linha 1 de A com os
mltiplos da linha 2 e a linha 3 de forma tal que possam ser anulados.
24- 10- 6- 0
10- 5- 5- 0
9 3 2 1
1A
Primeiro Elemento
J de valor 1
-
13
Obteno de A1
3 1- 0 3
8 1 1- 2
9 3 2 1
A 133
122
3
2
LLL
LLL
9)3(3 3)3(-1 2)3(0 1)3(3
9)2(8 3)2(1 2)2(-1 1)2(2
9 3 2 1
1A
24- 10- 6- 0
10- 5- 5- 0
9 3 2 1
1A
e) No apagamos a primeira linha da matriz A1 e repetimos os passos a at d na
matriz xnmA )1(1
24- 10- 6- 0
10- 5- 5- 0
9 3 2 1
1A
f) Encontrar a primeira coluna no nula da matriz xnmA )1(1 (esquerda a direita)
24- 10- 6- 0
10- 5- 5- 0
9 3 2 1
1A
g) Identificar o primeiro elemento dessa coluna (de cima para baixo), j que seu valor no 1, aplicamos a seguinte operao. Multiplicar a linha 2 pelo inverso do primeiro elemento
24- 10- 6- 0
10- 5- 5- 0
9 3 2 1
1A
A1(m-1)xn
Primeira coluna no nula
Primeiro elemento no nulo
-
14
h) Aplicando a anterior operao fica uma nova matriz
24- 10- 6- 0
2 1 1 0
9 3 2 1
2A
Obteno de A2
24- 10- 6- 0
10- 5- 5- 0
9 3 2 1
1A22
5
1LL
24- 10- 6- 0
)5
110( )5
15( )5
1(-5 )5
10(
9 3 2 1
2A
24- 10- 6- 0
2 1 1 0
9 3 2 1
2A
i) Os elementos da coluna 2, (sem ter em conta o elemento da coluna 2 linha 1),
devem ser igual a zero. Realizamos a seguinte operao. 233 6LLL
12- 4- 0 0
2 1 1 0
9 3 2 1
3A
Obteno de A3
24- 10- 6- 0
2 1 1 0
9 3 2 1
2A 233 6LLL
)26(-24 )16(-10 )16(-6 )060(
2 1 1 0
9 3 2 1
3A
Primeiro elemento no nulo
convertido em 1
-
15
12- 4- 0 0
2 1 1 0
9 3 2 1
3A
j) Agora sem apagar as duas primeiras linhas da matriz A3 repetimos os passos a
ate d para a matriz xnmA )2(3
12- 4- 0 0
2 1 1 0
9 3 2 1
3A
k) Encontrar a primeira coluna no nula da matriz xnmA )2(3 (esquerda a direita)
12- 4- 0 0
2 1 1 0
9 3 2 1
3A
l) Identificar o primeiro elemento no nulo (de cima para baixo) da mesma coluna, sem ter em conta os elementos das linhas 1 e 2 que se encontram na mesma
coluna
12- 4- 0 0
2 1 1 0
9 3 2 1
3A
m) Aplicamos a operao 33 41 LL , j que este primeiro elemento deve ser
igual a 1
3 1 0 0
2 1 1 0
9 3 2 1
4A
A3(m-2)xn
Primeira coluna no
nula
Primeiro elemento no nulo
Primeiro elemento no nulo
convertido em 1
-
16
Obteno de A4
12- 4- 0 0
2 1 1 0
9 3 2 1
3A 33 41 LL
)124
1( )44
1( )04
1( )04
1(
2 1 1 0
9 3 2 1
4A
3 1 0 0
2 1 1 0
9 3 2 1
4A
n) Agora analisamos cada coluna da matriz A4 e linha da mesma matriz. O primeiro elemento da linha 1 1 e os elemento da coluna 1 so 0 exceto o primeiro elemento da linha 1
3 1 0 0
2 1 1 0
9 3 2 1
4A
o) Na segunda coluna de A4 observamos que contem um primeiro elemento, o qual pertence segunda linha, mas seus outros elementos no so 0. Realizamos ento o passo d, assim obtemos a matriz A5
3 1 0 0
2 1 1 0
9 3 2 1
4A
3 1 0 0
2 1 1 0
5 1 0 1
5A
Obteno de A5
3 1 0 0
2 1 1 0
9 3 2 1
4A 211 2LLL
Deve ser 0
-
17
3 1 0 0
2 1 1 0
)129( )123( )122( )021(
5A
3 1 0 0
2 1 1 0
5 1 0 1
5A
p) Analisamos a terceira coluna de A5. Ela contem o primeiro elemento da linha 3, ento seus outros elementos devem ser 0. Aplicamos o passo d nas linhas 1 e 2 da matriz A5. Depois de fazer as seguintes operaes em A5
322
311
LLL
LLL
3 1 0 0
2 1 1 0
5 1 0 1
5A
3 1 0 0
1- 0 1 0
2 0 0 1
6A
Obteno de A6
3 1 0 0
2 1 1 0
5 1 0 1
5A322
311
LLL
LLL
3 1 0 0
)32( )11( )01( )00(
)35( )11( )00( )01(
5A
3 1 0 0
1- 0 1 0
2 0 0 1
6A Matriz Escada Reduzida por Linhas
A matriz A6 est na sua forma Escada Reduzida por Linhas e equivalente matriz A. Por conseguinte no h que realizar mais operaes nas linhas da matriz A6.
Devem ser 0
-
18
Exemplo: Encontrar a matriz da forma escada reduzida por linhas da matriz B
1 1 2- 1
5 3 0 1-
0 1 2 1
B
1 1 2- 1
5 3 0 1-
0 1 2 1
133
122
LLL
LLL
1 0 4- 0
5 4 2 0
0 1 2 1
222
1LL
1 0 4- 0
25 2 1 0
0 1 2 1
233 4LLL
11 8 0 0
25 2 1 0
0 1 2 1
338
1LL
811 1 0 0
25 2 1 0
0 1 2 1
211 2LLL
811 1 0 0
25 2 1 0
5- 3- 0 1
322
311
2
3
LLL
LLL
811 1 0 0
41- 0 1 0
87- 0 0 1
Matriz Escada Reduzida por Linhas
-
19
3. SOLUES DOS SISTEMAS LINEARES
Existem trs situaes que podem ocorrer na resoluo de um sistema linear:
a) Um sistema linear pode no ter soluo
b) Um sistema linear pode ter uma nica soluo
c) Um sistema linear pode ter uma infinidade de solues
Exemplo de um sistema linear que tem soluo:
63
52
21
21
XX
XX
Figura 4. Reta no plano de duas retas que se interceptam
O sistema tem uma nica soluo, isto , as duas retas (Reta de primeira equao e reta
da segunda equao), se interceptam em um e apenas um ponto.
A matriz ampliada deste sistema :
63
52
21
21
XX
XX
6 3- 1
5 1 2Matriz ampliada
Transformado-a em matriz escada reduzida por linhas:
6 3- 1
5 1 2 21 LL
5 1 2
6 3- 1 122 2LLL
7 7 0
6 3- 122
7
1LL
1 1 0
6 3- 1211 3LLL
1 1 0
3 0 1 Matriz Escada Reduzida por Linhas
Esta matriz a matriz ampliada de sistema linear:
(3, -1)
X2
X1
-
20
1
3
2
1
X
X
Exemplo de um sistema linear com uma infinidade de solues:
1536
52
21
21
XX
XX
Figura 5. Reta no plano de duas retas que coincidem
O sistema tem uma infinidade de solues, isto , as duas retas (Reta de primeira
equao e teta da segunda equao), coincidem.
A matriz ampliada deste sistema :
1536
52
21
21
XX
XX
15 3 6
5 1 2Matriz ampliada
Transformado-a em matriz escada reduzida por linhas:
15 3 6
5 1 211
2
1LL
15 3 6
25
21 1
122 6LLL
0 0 0
25
21 1
Matriz Escada Reduzida por Linhas:
Esta matriz a matriz ampliada de sistema linear:
2
5
2
121 XX
O sistema tem uma nica soluo.
Quando 31 X e 12 X , como foi
analisado graficamente
Os conjuntos de solues deste sistema linear sero
dados, atribuindo-se valores arbitrrios para a
incgnita 2X e tomando 212
1
2
5XX
X1
X2
-
21
Assim, para 2X , ento:
2
12
1
2
5
X
X
Este sistema admite infinitas solues
Exemplo de um sistema linear que no tem soluo:
1036
52
21
21
XX
XX
Figura 6. Reta no plano de duas retas que no se interceptam
O sistema no tem soluo, isto , as duas retas (Reta de primeira equao e teta da
segunda equao), no se interceptam.
A matriz ampliada deste sistema :
1036
52
21
21
XX
XX
01 3 6
5 1 2Matriz ampliada
Transformado-a em matriz escada reduzida por linhas:
01 3 6
5 1 211
2
1LL
01 3 6
25
21 1
122 6LLL
5 0 0
25
21 1
225
1LL
1 0 0
25
21 1
2112
5LLL
1 0 0
0 2
1 1 Matriz Escada Reduzida por Linhas:
X1
X2
-
22
Esta matriz a matriz ampliada de sistema linear:
100
02
1
21
21
XX
XX
Assim, para 2X , ento:
2
12
1
2
5
X
X
Este sistema admite infinitas solues
3.1. DEFINICO POSTO DE UMA MATRIZ
Dada uma matriz mxnA , seja mxnB a matriz escada reduzida por linhas equivalente da
matriz A. O posto de A, denotado por p o nmero de linhas no nulas de B.
3.2. NULIDADE DE UMA MATRIZ A nulidade de A o nmero n-p, onde n o numero de colunas da matriz A e p o
posto da matriz A.
Exemplo: Achar o posto e a nulidade de A
4 4 3
8 2 1A
Soluo
Efetuamos as operaes correspondentes para chegar matriz escada reduzida por
linhas da matriz A
4 4 3
8 2 1122 3LLL
20- 10 0
8 2 122
10
1LL
2 1 0
8 2 1 211 2LLL
2 1 0
4 0 1 Matriz Escada Reduzida por Linhas:
p o numero de linhas no nulas de matriz escada reduzida de A.
2p
No existe valor nenhum de 1X e 2X capaz de
satisfazer a segunda equao, assim o sistema inicial
no tem soluo.
-
23
N a nulidade de A
1
23
N
N
pnN
3.3. TEOREMA a) Um sistema de m equaes e n incognitas admite soluo se e somente se o
posto da matriz ampliada igual ao posto da matriz dos coeficientes.
b) Se as duas matrizes tm o mesmo posto p e np , a soluo ser nica.
c) Se as duas matrizes tem o mesmo posto p e np , podemos escolher p e
pn incgnitas, e as outras p incognitas sero dadas en em funo destas.
Em cada exemplo, dada a matriz escada reduzida por linhas da matriz ampliada. Usaremos a seguinte notao Pc posto da matriz dos coeficientes e
Pa posto da matriz ampliada
d) Se ca PP o sistema linear no tem soluo
Exemplo: A seguinte matriz est na sua forma escada reduzida por linhas
2 1 0 0
2- 0 1 0
3 0 0 1
2 1 0 0
2- 0 1 0
3 0 0 1
Matriz dos Coeficientes Matriz escada reduzida ampliada
3
3
a
c
P
P
J que ca PP , ento o sistema cuja matriz ampliada do exemplo, tem uma nica
soluo
Exemplo: A seguinte matriz est na sua forma escada reduzida por linhas
6- 5 1 0
10- 7 0 1
6- 5 1 0
10- 7 0 1
Matriz dos Coeficientes Matriz escada reduzida ampliada
-
24
1
23
2
2
N
N
pnN
P
P
a
c
J que np , ento o sistema linear equivalente matriz cuja matriz escada reduzida
ampliada do exemplo, tem uma infinidade de solues e como sua nulidade igual a
1, significa que tem uma varivel livre. Escrevendo o sistema linear da matriz escada do
reduzida do exemplo temos,
6- 5 1 0
10- 7 0 1
650
1070
321
321
XXX
XXX
65
107
32
31
XX
XX
3X a varivel livre, se 3X ento o sistema ficaria:
3
2
1
56
710
X
X
X
Exemplo: A seguinte matriz est na sua forma escada reduzida por linhas
2 0 0 0
6- 5 1 0
10- 7 0 1
2 0 0 0
6- 5 1 0
10- 7 0 1
Matriz dos Coeficientes Matriz escada reduzida ampliada
3
2
a
c
P
P
J que ca PP , ento o sistema linear correspondente matriz escada reduzida
ampliada do exemplo, no tem soluo
3.4. METODO DE REDUO GAUSS JORDAN Mtodo matrizial para o desenvolvimento de um sistema linear. Para resolver um
sistema linear BAX mediante o mtodo Gauss Jordan, devemos seguir os seguintes passos:
-
25
Primeiro Passo: Forme a matriz ampliada do sistema linear, [A B]
Segundo Passo: Transforme a matriz ampliada sua forma escada reduzida por linhas
usando operaes elementares em suas linhas
Terceiro Passo: O sistema linear correspondente matriz na forma escada reduzida
por linhas no segundo passo tem exatamente as mesmas solues que o sistema
original. Para cada linha no nula da matriz em forma escada reduzida, resolva a
equao correspondente para a incgnita associada ao primeiro elemento no nulo. As
linhas no nulas podem ser ignoradas
Exemplo: Resolva o seguinte sistema linear mediante o mtodo de Gauss Jordan
33
82
932
ZX
ZYX
ZYX
Primeiro Passo:A matriz ampliada do sistema linear
3 1- 0 3
8 1 1- 2
9 3 2 1
Segundo Passo: Transformar a matriz ampliada do sistema linear matriz escada
reduzida por linhas
3 1- 0 3
8 1 1- 2
9 3 2 1
233
122
3
2
LLL
LLL
24- 10- 6- 0
10- 5- 5- 0
9 3 2 1
225
1LL
24- 10- 6- 0
2 1 1 0
9 3 2 1
233 6LLL
12- 4- 0 0
2 1 1 0
9 3 2 1
334
1LL
-
26
3 1 0 0
2 1 1 0
9 3 2 1
211 2LLL
3 1 0 0
2 1 1 0
5 1 0 1
322
311
LLL
LLL
3 1 0 0
1- 0 1 0
2 0 0 1
Matriz Escada Reduzida por Linhas
Terceiro Passo: Respresentar a matriz reduzida por linhas no segundo passo, pelo
sistema linear correspondente,
3 1 0 0
1- 0 1 0
2 0 0 1
300
100
200
ZYX
ZYX
ZYX
ou
3
1
2
Z
Y
X
Como observamos este um sistema com uma unica soluo, alem:
0
33
3
3
N
N
pnN
P
P
a
c
Zero variveis livres
Exemplo: Resolva o seguinte sistema linear mediante o mtodo de Gauss Jordan
5723
1132
3952
352
WZYX
WZYX
WZYX
WZYX
Primeiro Passo:A matriz ampliada do sistema linear
5- 7 2 3- 1
11 - 3 1- 1 2
3- 9- 1- 5 2
3 5- 2 1 1
-
27
Segundo Passo: Transformar a matriz ampliada do sistema linear matriz escada
reduzida por linhas
5- 7 2 3- 1
11 - 3 1- 1 2
3- 9- 1- 5 2
3 5- 2 1 1
144
133
122
2
2
LLL
LLL
LLL
8- 12 0 4- 0
17 - 13 5- 1- 0
9- 1 5- 3 0
3 5- 2 1 1
223
1LL
8- 12 0 4- 0
17 - 13 5- 1- 0
3- 3
1 3
5- 1 0
3 5- 2 1 1
244
233
4LLL
LLL
20- 3
40 3
20- 0 0
20 - 3
40 3
20- 0 0
3- 3
1 3
5- 1 0
3 5- 2 1 1
3320
3LL
20- 3
40 3
20- 0 0
3 2- 1 0 0
3- 3
1 3
5- 1 0
3 5- 2 1 1
3443
20LLL
0 0 0 0 0
3 2- 1 0 0
3- 3
1 3
5- 1 0
3 5- 2 1 1
211 LLL
-
28
0 0 0 0 0
3 2- 1 0 0
3- 3
1 3
5- 1 0
6 3
16 - 3
11 0 1
322
311
3
5
3
11
LLL
LLL
0 0 0 0 0
3 2- 1 0 0
2 3- 0 1 0
5- 2 0 0 1
Matriz Escada Reduzida por Linhas
Terceiro Passo: Respresentar a matriz reduzida por linhas no segundo passo, pelo
sistema linear correspondente,
0 0 0 0 0
3 2- 1 0 0
2 3- 0 1 0
5- 2 0 0 1
00000
3200
2300
5200
WZYX
WZYX
WZYX
WZYX
ou
32
23
52
WZ
WY
WX
Como observamos este um sistema com uma infinidade de solues,
Se W , ento o sistema ficaria assim:
W
Z
Y
X
32
23
52
Alem, a nulidade demonstra que este um sistema com infinidade de solues
1
34
3
3
N
N
pnN
P
P
a
c
Uma varivel livre, neste caso a incgnita W
-
29
4. SISTEMAS LINEARES HOMOGENEOS
Um sistema linear da forma:
0......
0......
0......
2211
2222121
1212111
nmnmm
nn
nn
XAXAXA
XAXAXA
XAXAXA
chamado de um Sistema Linear Homogneo, cuja soluo ,
021 nXXX
Soluo Trivial
Uma soluo nXXXX ,......,, 321 de um sistema homogneo onde nem todos os iX
so zero, chamada de Soluo no trivial.
Exemplo: Considere o sistema homogneo
022
023
032
ZYX
ZYX
ZYX
A matriz aumentada do sistema :
0 2- 1 2
0 2 3 1-
0 3 2 1
Procuramos a matriz escada reduzida por linhas,
0 2- 1 2
0 2 3 1-
0 3 2 1
133
122
2LLL
LLL
0 8- 3- 0
0 5 5 0
0 3 2 1
225
1LL
0 8- 3- 0
0 1 1 0
0 3 2 1
233 3LLL
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
-
30
0 5- 0 0
0 1 1 0
0 3 2 1
335
1LL
0 1 0 0
0 1 1 0
0 3 2 1
211 2LLL
0 1 0 0
0 1 1 0
0 1 0 1
322
311
LLL
LLL
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
Matriz Escada Reduzida por Linhas
0 ZYX , Soluo Trivial
Exemplo: Considere o sistema homogneo
02
0
0
ZYX
WX
WZYX
A matriz aumentada do sistema :
0 0 1 2 1
0 1 0 0 1
0 1 1 1 1
Procuramos a matriz escada reduzida por linhas,
0 0 1 2 1
0 1 0 0 1
0 1 1 1 1
133
122
LLL
LLL
0 1- 0 1 0
0 0 1- 1- 0
0 1 1 1 1
22 LL
-
31
0 1- 0 1 0
0 0 1 1 0
0 1 1 1 1
32 LL
0 0 1 1 0
0 1- 0 1 0
0 1 1 1 1
233 LLL
0 1 1 0 0
0 1- 0 1 0
0 1 1 1 1
211 LLL
0 1 1 0 0
0 1- 0 1 0
0 2 1 0 1
311 LLL
0 1 1 0 0
0 1- 0 1 0
0 1 0 0 1
Matriz Escada Reduzida por Linhas
A soluo para o sistema linear inicial seria,
0
0
0
WZ
WY
WX
ou
WZ
WY
WX
Se W e onde qualquer nmero real, ento:
Z
Y
X
W
J que 0,,, ZYXW , ento a soluo deste sistema linear uma Soluo no Trivial
-
32
5. INVERSA DE UMA MATRIZ
Definio: Uma matriz nxnA dita invertivel (ou no singular), se existe uma matriz
nxnB tal que:
nIBAAB
Onde nI a matriz identidade de ordem n. A matriz B chamada de Inversa da matriz
A. Se no existir tal matriz B, dizemos que A singular (ou no invertivel).
Exemplo: Sejam
2 2
3 2A e
1- 1
2
3 1-B
12)2
32( 12)12(
13)2
32( 13)12(BA
1 0
0 12IBA
e
21)31( )21()21(
22
3)31( 22
3)21(AB
1 0
0 12IAB
Como 2IBAAB , podemos concluir que B a matriz inversa de A e que a matriz A
invertivel.
Vamos denotar a inversa de uma matriz A se existir, por 1A , ento,
nIAAAA 11
Exemplo: Seja
4 3
2 1A
Achar 1A
-
33
Soluo: Suponha
z
y 1
w
xA e nIAAAA
11 , ento
1 0
0 1
z
y
4 3
2 11
w
xAA
1 0
0 1
4z3y 43
2zy 21
wx
wxAA
Igualando trminos correspondentes destas duas matrizes:
043
12
wx
wx
143
02
zy
zy
Solucionando o sistema linear, mediante Gauss - Jordan
143
02
043
12
zy
zy
wx
wx
A matriz ampliada deste sistema linear,
1 0 4 3 0
0 0 2 1 0
0 4 0 0 3
1 2 0 0 1
Reduzimos a sua forma escada reduzida por linhas
1 0 4 3 0
0 0 2 1 0
0 4 0 0 3
1 2 0 0 1
122 3LLL
1 0 4 3 0
0 0 2 1 0
3- 2- 0 0 0
1 2 0 0 1
32 LL
-
34
1 0 4 3 0
3- 2- 0 0 0
0 0 2 1 0
1 2 0 0 1
244 3LLL
1 0 2- 0 0
3- 2- 0 0 0
0 0 2 1 0
1 2 0 0 1
32 LL
3- 2- 0 0 0
1 0 2- 0 0
0 0 2 1 0
1 2 0 0 1
332
1LL
3- 2- 0 0 0
21- 0 1 0 0
0 0 2 1 0
1 2 0 0 1
442
1LL
23 1 0 0 0
21- 0 1 0 0
0 0 2 1 0
1 2 0 0 1
322 2LLL
23 1 0 0 0
21- 0 1 0 0
1 0 0 1 0
1 2 0 0 1
411 2LLL
23 1 0 0 0
21- 0 1 0 0
1 0 0 1 0
2- 0 0 0 1
Matriz Escada Reduzida por Linhas
-
35
Segundo a matriz reduzida da matriz ampliada do sistema linear, os valores das
incgnitas x, y, z e w so:
23
21
1
2
w
z
y
x
ento
21-
23
1 2-
z
y 1
w
xA
J que:
2
11 IAAAA , substitumos o valor da matriz 1A
1 0
0 1
21-
23
1 2-
4 3
2 11AA
1 0
0 1
214)13( )
234()23(
2
12)11( 2
32)21(1AA
1 0
0 1
1 0
0 11AA Satisfaz o teorema nIAAAA
11
5.1. PROPIEDADES DA INVERSA
a) Se A uma matriz invertivel, ento 1A invertivel
AA 11 b) Se A e B sao matrizes invertiveis, entao BA invertivel, e:
111 ABBA c) Se A uma matriz invertivel, ento:
)'(' 11 AA
Exemplo: Sejam
4 3
2 1A
-
36
21-
23
1 2-1A
Comprovar se a matriz 1A invertivel
Soluo: Suponha
d
b )( 11
c
aA e nIAAAA
111111 )())(( , ento
1 0
0 1
d
b
21-
23
1 2-
c
a
1 0
0 1
d2
1b2
3 2
12
3
d2b- 2
ca
ca
Igualando trminos correspondentes destas duas matrizes:
1d2
1b2
3 02
12
3
0d2b- 1 2
ca
ca
Solucionando o sistema linear, mediante o mtodo de eliminao
Das equaes 1) e 2),
02
12
3
1 2
ca
ca
03
1 2
ca
ca
a = 1
Substituir o valor de a na equao 1)
3c
1 )1(2
1 2
c
ca
Das equaes 3) e 4),
1d2
1b2
3
0d2b-
1)
2)
3)
4)
-
37
2d3b
0d2b-
b = 2
Substituir o valor de b na equao 3)
4d
0 )2(2
0 2
d
db
Logo a matriz 11)( A :
Ac
aA
4 3
2 1
d
b )( 11
5.2. MTODO PRTICO PARA ENCONTRAR 1A O mtodo prtico para calcular a inversa da matriz A o seguinte:
Etapa 1: Forme a matriz nx2n [A In], juntando a matriz identidade matriz A.
Etapa 2: Coloque a matriz obtida na etapa q na sua forma escada reduzida por linhas
usando as operaes elementares nas linhas. Lembre-se que qualquer operao feita em
uma linha de A tem que ser feita tambm na linha correspondente de In.
Etapa 3: Suponha que a etapa e produziu uma matriz [C D] em forma escada reduzida
por linhas:
a) Se nIC , ento 1 AD
b) Se nIC , ento C tem uma linha nula. Neste caso, A singular e 1A no
existe
Exemplo: Encontrar a inversa da matriz A, se existir
1 5 5
3 2 0
1 1 1
A
Soluo:
Etapa 1 A matriz nx2n [A In] ser uma matriz de ordem 3x6
63
3
1 0 0 1 5 5
0 1 0 3 2 0
0 0 1 1 1 1
]I[A
x
A I3
-
38
Etapa 2 Colocamos a matriz obtida na etapa 1 em sua forma escada reduzida por linhas
1
1 0 0 1 5 5
0 1 0 3 2 0
0 0 1 1 1 1
133 5LLL
1 0 5- 4- 0 0
0 1 0 3 2 0
0 0 1 1 1 1
222
1LL
1 0 5- 4- 0 0
0 2
1 0 2
3 1 0
0 0 1 1 1 1
334
1LL
4
1- 0 4
5 1 0 0
0 2
1 0 2
3 1 0
0 0 1 1 1 1
211 LLL
4
1- 0 4
5 1 0 0
0 2
1 0 2
3 1 0
0 2
1- 1 2
1- 0 1
322
311
2
3
2
1
LLL
LLL
4
1- 0 4
5 1 0 0
83
21
815- 0 1 0
81-
21-
813 0 0 1
Matriz Escada Reduzida por Linhas
C D
Etapa 3 J que 3IC , conclumos que a matriz D a inversa da matriz A
4
1- 0 4
5
83
21
815-
81-
21-
813
1A
-
39
Exemplo: Encontrar a inversa da matriz A, se existir
3- 2 - 5
1 2 - 1
3- 2 1
A
Soluo:
Etapa 1 A matriz nx2n [A In] ser uma matriz de ordem 3x6
63
3
1 0 0 3- 2 - 5
0 1 0 1 2 - 1
0 0 1 3- 2 1
]I[A
x
A I3
Etapa 2 Colocamos a matriz obtida na etapa 1 em sua forma escada reduzida por linhas
1
1 0 0 3- 2 - 5
0 1 0 1 2 - 1
0 0 1 3- 2 1
133
122
5LLL
LLL
1 0 5- 12 12 - 0
0 1 1- 4 4 - 0
0 0 1 3- 2 1
224
1LL
1 0 5- 12 12 - 0
0 4
1- 4
1 1- 1 0
0 0 1 3- 2 1
233 12LLL
1 3 - 2- 0 0 0
0 4
1- 4
1 1- 1 0
0 0 1 3- 2 1
Matriz Escada Reduzida por Linhas
Linha Nula
Etapa 3 Neste caso apareceu uma linha nula na matriz C, aqui paramos e no
continuamos, isto significa que a matriz A uma matriz singular ou seja esta matriz
no invertivel.
-
40
5.3. SISTEMAS LINEARES E INVERSAS Se A uma matriz nxn ento o sistema linear AX=B um sistemas de n equaes em n
incgnitas. Suponha que A invertivel. Ento 1A existe e podemos multiplicar AX=B
por 1A em ambos lados, obtendo:
BAX
BAXI
BAAXA
BAX
n
1
1
11
BAX 1 uma soluo do sistema linear dado. Por tanto, se A invertivel, temos uma nica soluo.
Exemplo:
4
8224
223
ZYX
ZYX
ZYX
A matriz A: A matriz X: A matriz B:
1 1 - 1
2 2 4
1 2 3
Z
Y
X
4
8
2
Para achar 1A ,
1 0 0 1 1 - 1
0 1 0 2 2 4
0 0 1 1 2 3
31 LL
0 0 1 1 2 3
0 1 0 2 2 4
1 0 0 1 1- 1
133
122
3
4
LLL
LLL
3- 0 1 2- 5 0
4- 1 0 2 - 6 0
1 0 0 1 1- 1
226
1LL
XXIn
nI
-
41
3- 0 1 2- 5 0
32-
61 0
31 - 1 0
1 0 0 1 1- 1
233 5LLL
31
65- 1
31- 0 0
32-
61 0
31 - 1 0
1 0 0 1 1- 1
33 3LL
1- 2
5 3- 1 0 0
32-
61 0
31 - 1 0
1 0 0 1 1- 1
211 LLL
1- 2
5 3- 1 0 0
32-
61 0
31 - 1 0
31
61 0
32 0 1
322
311
3
1
3
2
LLL
LLL
1- 2
5 3- 1 0 0
1- 1 1- 0 1 0
1 2
3- 2 0 0 1
1- 2
5 3-
1- 1 1-
1 2
3- 2
1A
J que a soluo ao sistema linear anterior BAX 1 , ento
4
8
2
1- 2
5 3-
1- 1 1-
1 2
3- 2
X
4)(-1 8)2
5( 2)(-3
4)(-1 8)(1 2)(-1
4)1 ( 8)2
3(- 2)(2
X
-
42
10
2
4-
X Logo a soluo para as incgnitas X, Y e Z so:
10
2
4
Z
Y
X
-
43
6. DETERMINANTES
6.1. PERMUTAES
Seja nS ......,3,2,1 o conjunto de tosos os inteiros de 1 a n arrumados em ordem crescente. Uma outra ordem nJJJ ,.....,, 21 dos elementos de S chamada uma
Permutao de S.
Exemplo:
11 S Uma permutao, 1 2,12 S Duas permutaes, 12, 21 3,2,13 S Seis permutaes, 123, 132, 231, 213, 312, 321
Por tanto existem
12).....2()1( nnn
permutaes de nS ; vamos denotar o conjunto de todas as permutaes de S por nS
!12).....2()1( nnnn
n! o fatorial de um nmero n
temos:
362880123456789!9
4032012345678!8
50401234567!7
720123456!6
12012345!5
241234!4
6123!3
212!2
1!1
6.2. INVERSES
Uma permutao nJJJ ,.....,, 21 de nS ......,3,2,1 tem uma Inverso se um inteiro rJ precede um inteiro menor sJ . Uma permutao denominada Par se o nmero total de
inverses Par e uma permutao denominada Impar se o nmero total de inverses
Impar.
Exemplo: A permutao 4132 de 4,3,2,1S , tem quatro inverses 4 1 3 2 o 4 antes do 1
4 1 3 2 o 4 antes do 3
4 1 3 2 o 4 antes do 2
4 1 3 2 o 3 antes do 2
-
44
J que estas permutaes tm 4 inverses e 4 um nmero par, ento a permutao
4132 uma permutao Par.
Exemplo: Seja 3,2,13 S , o nmero de permutaes deste conjunto so:
6!
!3!
3
n
n
n
Seis o nmero de permutaes; as quais so:
a) 1 2 3 Zero inverses, permutao par = 0
b) 1 3 2 o 3 antes do 2, permutao impar = 1
c) 2 1 3 o 2 antes do 1, permutao impar = 1
d) 2 3 1 o 3 antes do 1, permutao par = 2
o 2 antes do 1
e) 3 2 1 o 2 antes do 1, permutao impar = 3
o 3 antes do 1
o 3 antes do 2
f) 3 1 2 o 3 antes do 1, permutao par = 2
o 3 antes do 2
6.3. DEFINIO DO DETERMINANTE
Seja ijAA uma matriz nxn. Definimos o determinante de A (denotado por det(A) ou por A ) como,
nn jAjAjAAA ......)(det 2211
Onde a somatria tomada sobre todas as permutaes njjj ,.....,, 21 do conjunto
nS ......,3,2,1 . O sinal do termo correspondente permutao njjj ,.....,, 21 + se ela for par e - se for impar.
Exemplo: Se
2221
1211
A A
A AA
uma matriz 2x2 ento, para obter o det(A), escrevemos os termos
1A 1 2A 2 e 1A 2 2A 1
Permutao 12 Permutao 21
-
45
Preenchemos os element4os ou espaos vazios com todos os elementos de 2S , os quais
so 2,12 S , e j que 12 uma permutao par o termo 2211AA tem sinal positivo (+) e como 21 uma permutao impar, o termo 2112 AA tem sinal negativo (-). Por tanto
21122211)det( AAAAA
Tambm podemos obter )det(A formando o produto indicado pela seta da esquerda para
a direita no diagrama a seguir e diminuindo deste nmero o produto indicado pela ser
para a esquerda
2221
1211
A A
A A
A
21122211)det( AAAAA
Exemplo: Achar o determinante de A
5 4
3- 2
A
Ento o det(A) :
22)det(
)43()52()det(
)det( 21122211
A
A
AAAAA
Exemplo: Se
333231
232221
131211
A A A
A A A
A A A
A
uma matriz 3x3 ento, para obter o det(A), escrevemos os seis trminos
a) 1A 1 2A 2 3A 3 Permutao (123) Par(+)
b) 1A 1 2A 3 3A 2 Permutao (132) Impar(-)
c) 1A 2 2A 1 3A 3 Permutao (213) Impar(-)
d) 1A 2 2A 3 3A 1 Permutao (231) Par(+)
e) 1A 3 2A 1 3A 2 Permutao (312) Par(+)
f) 1A 3 2A 2 3A 1 Permutao (321) Impar(-)
-
46
312213332112322311322113312312332211)det( AAAAAAAAAAAAAAAAAAA
Tambm podemos obter )det(A da seguinte forma: Repita as duas primeiras colunas de
A como ilustrado a seguir. Forme a soma dos produtos dos elementos indicados pelas
sers da esquerda para direita e subtraia deste nmero os produtos dos elementos
indicados pelas setas da direita para esquerda
3231333231
2221232221
1211 131211
A A A A A
A A A A A
A A A AA
A
312213332112322311322113312312332211)det( AAAAAAAAAAAAAAAAAAA
O mtodo das setas s valido para matrizes 2n e 3n , no valido para 4n
Exemplo: Se
2 1 3
3 1 2
3 2 1
A
6)det(
2026)det(
)839(6182)det(
)222()131()313()123()332()211()det(
)det( 312213332112322311322113312312332211
A
A
A
A
AAAAAAAAAAAAAAAAAAA
6.4. PROPIEDADES DOS DETERMINANTES 6.4.1. Os determinantes de uma matriz e de sua transposta sao iguais, isto ,
)det()'det( AA
Exemplo: Se
2 1 3
3 1 2
3 2 1
A
2 3 3
1 1 2
3 2 1
'A
3- 0 0 3
3- 0 0 3
-
47
6)'det(
2026)'det(
)839(1862)'det(
)222()311()313()323()312()211()'det(
)'det( 312213332112322311322113312312332211
A
A
A
A
AAAAAAAAAAAAAAAAAAA
6)det(
2026)det(
)938(6182)det(
)313()131()222()123()332()211()det(
)det( 312213332112322311322113312312332211
A
A
A
A
AAAAAAAAAAAAAAAAAAA
6.4.2. Se uma matriz B obtida de uma matriz A trocando-se duas linhas (ou colunas)
de A, ento )det()det( AB
Exemplo: Se
2 3
1- 2A 21 LL
1- 2
2 3B
7)det(
)31()22()det(
)det( 21122211
A
A
AAAAA
7)det(
)22()13()det(
)det( 21122211
B
B
BBBBB
2 3
1- 2A 21 CC
3 2
2 1-C
7)det(
)31()22()det(
)det( 21122211
A
A
AAAAA
-
48
7)det(
)22()13()det(
)det( 21122211
C
C
CCCCC
6.4.3. Se duas linhas ou colunas de A so iguais, ento o 0)det( A
Exemplo: Se
3 2 1
7 0 1-
3 2 1
A
0)det(
61406140)det(
)213()172()103()213()172()301()det(
)det( 312213332112322311322113312312332211
A
A
A
AAAAAAAAAAAAAAAAAAA
6.4.4. Se A tem uma linha ou coluna nula, ento o 0)det( A
Exemplo: Se
0 0 0
6 5 4
3 2 1
A
0)det(
)042()061()053()034()062()051()det(
)det( 312213332112322311322113312312332211
A
A
AAAAAAAAAAAAAAAAAAA
6.4.5. Se B obtida de A multiplicando-se uma linha ou coluna de A por um nmero
real c, ento )det()det( AcB
Exemplo: Se
2 1 1
6 2A 11 5LL
12 1
30 10B
18)det(
)16()122()det(
)det( 21122211
A
A
AAAAA
-
49
90)det(
)130()1210()det(
)det( 21122211
B
B
BBBBB
90)det(
)18(5)det(
)det()det(
B
B
AcB
6.4.6. Se uma matriz ijAA uma matriz triangular superior ou inferior ento nnAAAA .........)det( 2211 ; isto , o determinante de uma matriz triangular igual ao
produto dos elementos da diagonal principal.
Exemplo: Achar o determinante da matriz A
6 4 2
5 2- 3
2 3 4
A
Para converter a matriz em sua matriz triangular equivalente, realizamos operaes nas
linhas, sem olvidar que qualquer mudana na matriz original, o determinante tambm
muda
6 4 2
5 2- 3
2 3 4
4 11
4
1LL
6 4 2
5 2- 3
21
43 1
4 133
122
2
3
LLL
LLL
5 2
5 0
27
417- 0
21
43 1
4 22
17
4LL
5 2
5 0
1714- 1 0
21
43 1
44
17
2332
5LLL
17120 0 0
1714- 1 0
21
43 1
17 Determinante Matriz Triangular Superior Equivalente
-
50
120)det(
17
1201117)det(
)(17)det( 332211
A
A
AAAA
6.4.7. O determinante um produto de matrizes igual ao produto de seus
determinantes, )det()det()det( BABA
Exemplo: Se
4 3
2 1A
2 1
1- 2B
2)det(
)23()41()det(
)det( 21122211
A
A
AAAAA
5)det(
)11()22()det(
)det( 21122211
B
B
BBBBB
10)det()det( BA ou,
10)det(
)103()54()det(
)det(
5 10
3 4
24)13( 14)23(
22)11( 12)21(
21122211
BA
BA
ABABABABBA
BA
BA
6.4.8. Se A invertivel, ento 0)det( A e )det(
1)det( 1
AA
Exemplo: Se
4 3
2 1A
1 0 4 3
0 1 2 1122 3LLL
1 3- 2- 0
0 1 2 122
2
1LL
-
51
21-
23 1 0
0 1 2 1
211 2LLL
21-
23 1 0
1 2- 0 1
1A
2
1)det(
12
3
2
12)det(
1
1
A
A
ou
2
1)det(
)32()41(
1
)det(
1)det(
1
1
A
AA
6.5. EXPANSO EM COFATORES E APLICAES
Definio Seja ijAA uma matriz nxn. Seja ijM a submatriz )1()1( nxn de A obtida eliminando-se a i-sima linha e a j-sima coluna de A. O determinante ijMdet chamado de Determinante Menor de ijA . O Cofator
ijA de ijA definido por:
ijji
ij MA det1
Exemplo:
2 1 7
6 5 4
2 1- 3
A
Cofator de 12A
1221
12 1 MA
2 1 7
6 5 4
2 1- 3
12M
2 7
6 412M
-
52
Ento
2 7
6 41
21
12
A
34
428
6724
12
12
12
A
A
A
Cofator de 23A
2332
23 1 MA
2 1 7
6 5 4
2 1- 3
23M
1 7
1- 323M
Ento
1 7
1- 31
32
23
A
10
73
7113
23
23
23
A
A
A
Definio: Seja A uma matriz nxn, ento para cada ni 1 ,
ininiiii AAAAAAA ...........)det( 2211
(Expanso do det(A) em relao i-sima linha)
e para cada nj 1 , njnjjjjj AAAAAAA ...........)det( 2211
(Expanso do det(A) em relao j-sima linha)
Temos que: seja 33xAA
312213332112322311322113312312332211)det( AAAAAAAAAAAAAAAAAAA
312232211333213123123223332211)det( AAAAAAAAAAAAAAAA 131312121111)det( AAAAAAA
Cofator do elemento A12
34
428
6724
12
12
12
A
A
A
34
428
6724
12
12
12
A
A
A
34
428
6724
12
12
12
A
A
A
Cofator do elemento A23
34
428
6724
12
12
12
A
A
A
34
428
6724
12
12
12
A
A
A
34
428
6724
12
12
12
A
A
A
Expanso do det(A) com relao primeira linha
-
53
32233322333231
232221
131211
11
11
A A A
A A A
A A
1 AAAA
A
A
3321312331233321333231
232221
131211
21
12
A A A
A A A
A A
1 AAAAAAAA
A
A
31223221333231
232221
131211
31
13
A A A
A A A
A A
1 AAAA
A
A
Ou
333323231313)det( AAAAAAA
31223221333231
232221
131211
31
13
A A A
A A A
A A
1 AAAA
A
A
32113112333231
232221
131211
32
23
A A A
A A A
A A
1 AAAA
A
A
21122211333231
232221
131211
33
33
A A A
A A A
A A
1 AAAA
A
A
Exemplo:
3 2- 0 2
3- 0 0 3
3 1 2 4-
4 3- 2 1
A
Expandir com relao linha 3.
Dica, sempre melhor expandir com relao linha ou coluna que contenha mais
elementos nulos
3434333332323131)det( AAAAAAAAA
Expanso do det(A) com relao terceira coluna
3- 0 0 3
3- 0 0 3
-
54
2- 0 2
1 2 4-
3- 2 1
1)3(
3 0 2
3 2 4-
4 2 1
10
3 2- 2
3 1 4-
4 3- 1
10
3 2- 0
3 1 2
4 3- 2
13)det(
43
332313
A
2- 0 2
1 2 4-
3- 2 1
3
3 2- 0
3 1 2
4 3- 2
3)det( A
B C
O determinante da matriz B, ser expandido com relao coluna 1 e o determinante da
matriz C ser expandido com relao coluna 2
323222221212313121211111 33)det( CCCCCCBBBBBBA
1 4-
3- 110
2- 2
3- 112
2- 2
1 4-123
3 1
4 3-10
3 2-
4 3-12
3 2-
3- 1123)det(
232221
131211A
23212212423
24332233123)det(
A
622`28238926323)det( A
81232183)det( A
48)det(
1260)det(
A
A
-
55
6.6. MATRIZ ADJUNTA
Seja ijAA uma matriz nxn. A matriz adjunta de A, denotada por adj(A) a matriz nxn cujo elemento (i,j) o cofator
jiA de jiA , ou seja:
nmmm
n
n
AAA
AAA
AAA
Aadj
........... ......
............ ......
........... ......
)(
21
22212
12111
Exemplo: Calcular a adjunta de A
3- 0 1
2 6 5
1 2- 3
A
18 3- 0
2 61
11
11 A
17 3- 1
2 51
21
12 A
6 0 1
6 51
31
13 A
6 3- 0
1 2-1
12
21 A
10 3- 1
1 31
22
22 A
2 0 1
2- 31
32
23 A
10 2 6
1 2-1
13
31 A
1 2 5
1 31
23
32 A
28 6 5
2- 31
33
33 A
Ento a matriz adjunta da matriz A fica:
28 2- 6-
1- 10- 17
10- 6- 18
)(Aadj
.
.
.
.
111111
111111
111111
........... ......
............ ......
........... ......
AAA
AAA
AAA
.
.
.
.
.
111111
111111
111111
........... ......
............ ......
........... ......
AAA
AAA
AAA
.
-
56
6.7. REGRA DE CRAMER Mtodo utilizado para resolver um sistema linear de m equaes e n incgnitas, tendo
uma matriz dos coeficientes inverivel. A soluo para resolver um sistema do tipo
AX=B, sera a seguinte:
Etapa 1 Calcular o determinante da matriz A det(A). Se 0)det( A , a regra de Cramer
no aplicvel. Use o mtodo de reduo Gauss-Jordan.
Etapa 2 Se 0)det( A para cada i:
AA
X iidet
det
Onde iA a matriz obtida de A trocando-se sua i-sima coluna por B
Exemplo: Considere o sistema linear
32
42
132
ZYX
ZYX
ZYX
Etapa 1 Achamos o determinante da matriz que representa os coeficientes que
acompanham as variaveis
1 1- 2-
1- 2 1
1- 3 2-
A
2)det(
221112113111213122)det(
1 1- 2-
1- 2 1
1- 3 2-
)det(
A
A
A
Etapa 2 J que o determinante de A diferente de zero, achamos cada uns dos valores
de iX , por tanto:
2
2
4
2
1 1- 3-
1- 2 4
1- 3 1
X
X
Colunas de A Coluna de B
Valor achado da varivel X
-
57
3
2
6
2
1 3- 2-
1- 4 1
1- 1 2-
Y
Y
4
2
8
2
3- 1- 2-
4 2 1
1 3 2-
Z
Z
Coluna de B Coluna de A Coluna de A
Colunas de A Coluna de B
Valor achado da varivel Y
Valor achado da varivel Z
-
58
7. VETORES EM R2 E Rn
7.1. SISTEMA DE COORDENADAS
7.1.1. Vetores: Quantidades mesurveis como velocidade, fora e acelerao, que necessitam no s de um valor numrico (intensidade ou magnitude) mas tambm de
direo e sentido. Sero representados em minsculas e em negrito.
7.1.2. Escalares: Grupo dos nmeros reais. Sero representados por letras minsculas e em itlico.
7.1.3. Valor absoluto: O valor absoluto ou mdulo X do nmero real X definido
por:
X 0
0
X
X
Exemplo:
11
23
23
33
11
23
23
33
7.1.4. Representao grfica dos nmeros reais
Figura 7. Reta dos nmeros reais
O a origem da reta L
Reta L o eixo de coordenadas
Coordenadas Nmero real correspondente a um ponto no eixo de coordenadas
Figura 8. Reta L
X se
-X se
......-5 -4 -3 -2 - 1 0 1 2 3 4 5 6....
E D O A B C
Origem
Sentido Negativo Reta L Sentido Positivo
Q O P
a 0 b
-
59
O nmero correspondente a P chamado coordenada de P e o ponto P cuja
coordenada x representado por xP . Se P est a direita de O, sua coordenada o comprimento do segmento OP . SE Q est esquerda, sua coordenada menos o
comprimento do segmento OQ . A distncia entre os pontos P e Q com coordenadas
b e a ba
Exemplo:
As coordenadas dos pontos A, B, C, D, e E so respectivamente 1, 3, -3, 5 e -4.5
Distncia entre B e C 633
Distncia entre A e B 213
Distancia entre C e E 5.1)3(5.4
7.1.5. Plano: Desenhamos um par de retas perpendiculares interceptando se em um ponto O, a origem. Uma das retas, o eixo dos X normalmente, colocado em posio
horizontal. A outra reta, o eixo dos Y colocado por tanto em posio vertical.
Figura 9. Plano
7.1.6. Sistema Cartesiano de Coordenadas: Sejam P um ponto no plano e Q a sua projeo no eixo dos X. A coordenada de Q no eixo do X chamada de coordenada X,
ou abscissa de P. Analogamente se Q projeo de P no eixo dos Y, a coordenada de Q a coordenada Y ou ordenada de P. Dessa forma associa a cada ponto do plano um par ordenado (x,y) de nmeros reais, suas coordenadas. Essa correspondncia entre
pontos no plano e chamada de Sistema Cartesiano de Coordenadas. O conjunto de
pontos no plano representado por R2, tambm chamado de Espao Bidimensional
-3 -2 -1 0 1 2 3-3
-2
-1
0
1
2
3
EIX
O D
OS
Y
EIXO DOS X
Sentido Positivo
Sentido Positivo
O
-
60
Figura 10. Espao bidimensional
Figura 11. Coordenadas no plano
7.2. VETORES Matriz da ordem (1xn) ou (mx1). Nesta parte vamos considerar vetores bidimensionais
(n=2), do ponto de vista geomtrico
1
1
y
xu
x1 e y1 so nmeros reais. Associamos a u o segmento de reta orientado que tem ponto
inicial na origem O(0,0) e ponto final em P(x1,y1). Este segmento representado por
OP. Um segmento de reta orientado tem direo e sentido dado pelo ngulo com o semi
eixo positivo dos X e indicados pela seta no seu ponto final. O tamanho de um segmento de reta orientado seu comprimento.
-3 -2 -1 0 1 2 3-3
-2
-1
0
1
2
3
EIX
O D
OS
Y
EIXO DOS X
P(x,y)X
O
Y
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 -6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
ABSCISSA
(3,3)
O
(4,-3)
(-3,-2)
(-2,-4)
(0,2)
(2,)
Vetor bidimensional
ou vetor no plano
(2,0)
ORDENADA
-
61
Figura 12. Representao de um vetor
Exemplo: Seja
3
2u
u o segmento de reta associado ao vetor OP com ponto inicial em (0,0) e ponto final
P(2,3)
Figura 13. Representao do vetor
3
2u
-
62
Definio: O vetor tambm pode se escrever como:
11, yxu
J que o plano pode ser visto tanto como um conjunto de todos os pontos quanto como o
conjunto de todos os vetores. Com isto consideramos R2
algumas vezes como o conjunto
dos pares ordenados (x1, y1) e outras vezes como um conjunto de todos os vetores
bidimensionais
1
1
y
x
Figura 14. Vetores iguais com diferente origem
Figura 15. Vetores iguais com diferente origem (-3, 1), (0, 0), (3, 2)
-
63
Diferentes segmentos de reta orientados representando o mesmo valor.
112233 QPQPQP
7.2.1. Comprimento: Pelo teorema de Pitgoras o Comprimento ou Tamanho do vetor
11, yxu : 2
1
2
1 yxu
Figura 16. Comprimento de um vetor com origem (0,0)
Tambm pelo teorema de Pitgoras o segmento orientado com ponto inicial P(x1, y1) e
ponto final P(x2, y2) :
2122
12 yyxxu
-
64
Figura 17. Comprimento de um vetor com origem diferente de (0,0)
Exemplo: O comprimento dos seguintes vetores :
1) )5,2( u
2)
)5,1(
)2,3(
Q
P
PQv
1) 2952 22 u
2) 59162531 22 PQ
7.2.2. Operaes com vetores: Sejam 11, yxu e 22 , yxv dois vetores no plano, a Soma dos vetores u e v o vetor:
2121 , yyxx
e indicada por u+v, logo, os vetores so somados componente a componente
Exemplo: Sejam
)2,1(u e )4,3( v ento
)2,4(
)42,31(
vu
vu
Podemos tambm descrever u+v como sendo a diagonal do paralelogramo definido por
u e v
-
65
Figura 18. Representao do vetor resultante da soma de dois vetores
Figura 19. Representao grfica do exemplo u + v
Definio: Se 11, yxu e a um escalar (um nmero real), ento o mltiplo escalar ua de u por a o vetor 11,ayax . Logo o mltiplo escalar ua de u por a obtido
multiplicando-se cada componente de u por a. Se a >0 ento ua tem o mesmo sentido de u, enquanto, se a
-
66
Exemplo: Se
2a , 3b e )2,1( u ento
6,3)2,1(3
4,2)2,1(2
ub
ua
Figura 21. Representao grfica do exemplo au e bu
Exemplo: Suponha que um barco est atravessando um rio na direo leste a uma
velocidade de 4km/h, enquanto a corrente de rio esta fluindo na direo sul a uma
velocidade de 3km/h .Encontre a velocidade resultante do barco
OA Velocidade do barco
OB Velocidade do rio
OC Velocidade resultante
OBOAOC
525
34 22
OC
OC
Velocidade resultante igual a 5km/h
7.2.3. ngulo entre dois vetores: O ngulo entre dois vetores nao nulos 11, yxu e 22 , yxv o ngulo , 0 . Aplicando a lei dos cossenos ao triangulo na
figura 16 obtemos:
cos2222
vuvuvu
A(4, 0)
3 5
4
B(0, 3) (4, 3)
O(0,0)
-
67
temos
2121222
2121
2
2
2
1
2
2
2
1
2
2
21
2
21
2
2
2
yyxxvuvu
yyxxyyxxvu
yyxxvu
ento substituindo 21212 yyxx em cos2 vu ficaria:
vu
yyxx
yyxxvu
yyxxvu
2121
2121
2121
cos
cos
2cos2
j que o Produto Escalar vu igual a 2121 yyxx , ento,
vu
vu
cos 0
Esta a equao para achar o ngulo entre dois vetores.
Exemplo: Seja )4,2(u e )2,1(v , achar o ngulo formado entre os dois vetores.
6
2412
2121
vu
vu
yyxxvu
521
2042
22
22
v
u
Ento
13.53
10
6cos
10
6cos
520
6cos
1
-
68
Figura 22. Representao grfica do exemplo do ngulo entre dois vetores
Definio: Se u um vetor em R2, podemos usar a definio de produto escalar para
escrever:
uuu
Se os vetores u = v fazem um ngulo reto, ento o cosseno do ngulo entre eles zero. Logo temos que u-v=0. Reciprocamente, se u-v=0, ento 0cos , os vetores fazem um ngulo reto. Por tanto o vetores no nulos vu so perpendiculares ou ortogonais se e somente, u-v=0. Tambm se dize que pelo menos um dos vetores
nulo, h ortogonalidade entre eles.
Exemplo: Seja )4,2( u e )2,4(v , so ortogonais j que:
0
)24()42(
2121
vu
vu
yyxxvu
-
69
Figura 23. Representao grfica de dois vetores ortogonais
7.2.4. Propiedades do produto escalar
a) 0uu se 0u ; 0uu se e somente se 0u b) uvvu
c) wvwuwvu d) vuaavuvau
7.2.5. Vetores Unitarios: um vetor de comprimento 1. Se x um vetor no nulo, ento o vetor
xx
u1
um vetor unitrio com a mesma direo e o mesmo sentido de x
Exemplo: Seja )4,3(x
5
43 22
x
x
Logo o vetor unitario seria
5
4,
5
3
4,35
1
u
u
Ento seu comprimento deve ser 1
-
70
125
25
54
53
22
u
u
Figura 24. Representao grfica do exemplo de um vetor unitario
-
71
ANEXO APOSTILA MATLAB
-
72
1. NUMEROS NO MATLAB 1.1. Representao: O MATLAB utiliza a seguinte notao para representar
nmeros
- Representa nmero negativo
. Representa casa decimal
e Representa notao cientifica
i e j Representam um nmero complexo Exemplo: Digite dentro da janela Command Window
1.2. O MATLAB possui constantes predefinidas:
Constante Valor
pi () 3.1415926535...
i ou j Raiz imaginaria 1 eps Preciso numrica relativa (2.2204e-016)
realmin Menor nmero real (2.2251e-308)
realmax Maior nmero real (1.7977e+308)
inf Infinito
NaN No existe
Exemplo: Digite dentro da janela Command Window
-
73
1.3. Formato de exibio dos nmeros na tela. Pelo comando format ou
File/Preferences
[short] 4 dgitos decimais
[long] 15 dgitos decimais
[short e] 4 dgitos decimais notao exponencial
[long e] 15 dgitos decimais notao exponencial
[hex] Hexadecimal
[bank] Dois dgitos decimais
[rational] Diviso por nmeros inteiro Exemplo: Digite dentro da janela Command Window
-
74
2. MATRIZES 2.1. Vetores e matrizes so definidos da seguinte forma:
Os valores numricos dos elementos que compem a matriz ou o vetor devem ser definidos entre [ ]
Valores das colunas so delimitados por ou ,
Valores das linhas so delimitados por ; Exemplo: Digite dentro da janela Command Window
-
75
-
76
2.2. Variveis no MATLAB
O nome da varivel deve ser alfanumrico comeado por uma letra, Exemplo: Y1, matriz_2x2.
Exemplo: Digite dentro da janela Command Window
case sensitive, ou seja diferencia entre letras maisculas e minsculas
Exemplo: Digite dentro da janela Command Window
Aceita o carter _ no meio do nome da varivel Exemplo: Digite dentro da janela Command Window
As variveis definidas no MATLAB ficam armazenadas na memria em uma
regio denominada Workspace,exibida na janela [workspace]
-
77
No caso dos vetores e das matrizes, possvel visualizar e alterar o contedo das
variveis no Array Editor
3. OPERADORES E FUNES No MATLAB, expresses matemticas so compostas por:
Nmeros, vetores e matrizes
Variveis
Operadores
Funes 3.1. Operadores: No MATLAB, operadores aritmticos trabalham com nmeros,
vetores e matrizes
Exemplo: Digite dentro da janela Command Window
-
78
Operador Descrio Exemplo
+ Soma
- Subtrao
* Multiplicao matricial
.* Multiplicao escalar
/ Diviso matricial (a/b)
a/b=a*b-1
./ Diviso escalar
-
79
\ Diviso esquerda
a\b=a-1
*b
^ Potencia (matriz^escalar)
a*a*a
.^ Potencia Escalar
' Transposta
( ) Precedncia
3.2. Os valores obtidos numa operao podem ser guardados numa varivel diferente aos nomes das variveis a e b
Exemplo: Digite dentro da janela Command Window
-
80
3.3. Funes: A sintaxe bsica para chamada de cualquer funo do MATLAB, segue este formato
[Saida1,...,SaidaN]: Funo (Entrada1,...,EntradaN)
[Saida1,...,SaidaN] : Parmetros de sada
Funo: Nome da funo
(Entrada1,...,EntradaN) : Parmetros de entrada
3.3.1. Funes trigonomtricas: Exemplo: Digite dentro da janela Command Window
3.3.2. Funes Matemticas: Exemplo: Digite dentro da janela Command Window
-
81
3.3.3. Funes matriciais: Exemplo: Digite dentro da janela Command Window
Comando help, lista classes de