Universidade Tecnológica Federal do Paraná - UTFPR
Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciência e Tecnologia - PPGECT
II Simpósio Nacional de Ensino de Ciência e Tecnologia
07 a 09 de outubro de 2010 ISSN: 2178-6135
Artigo número: 204
Aplicação do Software Maple 12 para o Balanceamento de Equações Químicas
Adilandri Mércio Lobeiro
Fernando Cezar G. Manso
Liliana Madalena Gramani
Priscila Amara P. de Melo
Sara Coelho Silva
Wellington José Correa
Resumo
Neste artigo o software Maple 12 resolve sistemas de equações lineares homogêneos obtidos de balanceamento de equações químicas aplicando as ``Maplets´´ ou o comando ``solve´´. As Maplets utilizam os métodos de Eliminação de Gauss ou Gauss-Jordan para obterem a solução do sistema, limitadas a resolução de sistemas até a ordem de cinco equações a quatro incógnitas, explicando em detalhes o procedimento matemático do escalonamento da matriz ampliada, enquanto que o comando solve, no uso do Modo Texto ou do Modo Matemática, pode ser utilizado para resolver sistemas de quaisquer ordem. A visualização gráfica da solução do sistema considerado também é obtida com o uso das Maplets, desde que a ordem do sistema seja de até quatro equações a três incógnitas.
Palavras-chave: Balanceamento de Equações Químicas, Maple12, Maplets, Eliminação de Gauss, Eliminação de Gauss-Jordan, Comando Solve, Gráfico de Sistemas Lineares.
Abstract
Application Software Maple 12 for Balancing Chemical Equations. In this article the software Maple 12 solves systems of linear
homogeneous equations obtained from balancing chemical equations applying the Maplets''or `` command `` solve''. The Maplets use the methods of Gauss elimination or Gauss-Jordan to obtain the solution of the system, limited the resolution of systems to the order of five equations and four unknowns, explaining in detail the mathematical procedure of scaling the increased matrix, where as the solve command, using the Text mode or math mode, can be used to solve systems
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of any order. The graphic display of the solution of the system considered is also achieved with the use of Maplets, since the order of the system is up to four equations and three unknowns. Keywords: Balancing Chemical Equations, Maple12, Maplets, Gauss Elimination, Gauss-Jordan Elimination, Command Solve, Graph of Linear Systems.
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Introdução
Os trabalhos de Lavoisier têm uma importância histórica na transição das práticas
alquimistas para as práticas da química moderna. A lei de conservação da massa desenvolvida por
ele, também denominada por Lei de Lavoisier é um marco no pensamento científico. Esta lei do
ponto de vista químico, expressa que durante uma reação química, com conservação de massa,
não se pode criar ou destruir matéria, sendo representada matematicamente por
(1)
ou seja, o somatório das massas dos reagentes ) deve ser igual ao somatório das massas
dos produtos .
Os alunos do ensino médio, tanto quanto os alunos do nível superior, ao se depararem
com a lei de Lavoisier precisam dominar o método de balanceamento de equações químicas
obtidas de (1). Esse método associa a cada substância participante da equação, uma incógnita
que aqui denominamos por para um sistema de substâncias. Escrevemos tantas
equações lineares quantas forem às espécies químicas presentes na equação química, sendo que
a substância é formada por uma ou mais espécies. Todas essas equações lineares devem conter
todas as incógnitas, desta forma, obtemos um sistema de equações lineares homogêneo de
equações ( espécies químicas) a incógnitas ( substâncias participantes da equação). Este
procedimento é interessante, pois possibilita a interdisciplinaridade da área química com a área
matemática.
Para a resolução do sistema de equações lineares vamos nos apoiar em ferramentas
computacionais que permitem obter precisamente e rapidamente a solução procurada. O
programa escolhido para esse fim é o software Maple na versão 12. O Maple é um dos mais
conhecidos e utilizados programas de software de computação numérica, algébrica e simbólica
que modela e introduz de uma forma mais interativa os conteúdos programáticos dos mais
diversos ramos da Matemática. A versão 12 apresenta um assistente, As Maplets, que possibilita
a construção na linguagem Maple de interfaces gráficas. As Maplets permitem obter a solução de
sistemas de equações lineares utilizando o escalonamento de matrizes pelos métodos de Gauss e
Gauss-Jordan. Embora estas Maplets estão limitadas a resolução de sistemas até a ordem de
cinco equações e quatro incógnitas, explicam em detalhes o procedimento matemático do
escalonamento, representando assim a sua principal vantagem em relação ao comando ``solve´´
que pode ser utilizado para resolver sistemas de quaisquer ordem. No entanto, outra vantagem
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de utilização das Maplets é que para um sistema de até quatro equações a três incógnitas, é
possível visualizar geometricamente a sua solução.
O principal objetivo deste trabalho é reforçar o aspecto interdisciplinar entre a prática do
balanceamento da equação química, indispensável para os cálculos estequiométricos, com a
resolução do sistema linear de equações a incógnitas, obtido desta equação química,
utilizando o software Maple 12. A principal vantagem da utilização deste software para este
trabalho é permitir ao usuário a visualização detalhada do método de solução aplicado
reforçando o processo de ensino-aprendizagem, uma vez compreendidas as bases matemáticas
do método de solução.
Desta forma, a estrutura desse artigo está organizada em mais cinco seções descritas
brevemente abaixo:
Na seção ``Eliminação de Gauss´´ apresentamos um exemplo de uma equação química
onde fazemos o seu balanceamento usando o método de Eliminação de Gauss, com o uso das
Maplets existentes no software Maple 12;
Na seção ``Eliminação de Gauss-Jordan´´, com base na seção anterior, utilizamos uma
equação química na qual fazemos o seu balanceamento usando o método de Eliminação de
Gauss-Jordan.
Na seção ``Comando solve´´ introduzimos um exemplo de uma equação química onde não
é possível resolver o sistema com uso das Maplets devido a sua ordem.
Na seção ``Gráfico de Sistemas Lineares´´ apresentamos um exemplo de uma equação
química que gera um sistema linear homogêneo de duas equações a três incógnitas na qual
fazemos o seu balanceamento usando o método de Eliminação de Gauss e depois plotamos via
Maplets a solução desse sistema.
A seção ``Considerações Finais´´ encerra o trabalho contendo as conclusões obtidas pela
análise das seções anteriores.
Eliminação de Gauss
Considere a equação química contendo três espécies ( , onde representa o
carbono, o hidrogênio e o oxigênio,
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que não está balanceada, pois apresenta no primeiro membro ( reagentes) duas substâncias
, com um átomo de carbono, quatro átomos de hidrogênio e dois átomos de oxigênio e
no segundo membro ( produto) também duas substância com um átomo de
carbono, apenas dois átomos de hidrogênio e no entanto três átomos de oxigênio.
Com intuito de balanceá-la, ou seja, de obter a mesma quantidade de átomos de carbono,
hidrogênio e oxigênio de ambos os membros da equação, associamos as incógnitas , , e
a cada substância presente na equação obtendo
(2)
Escrevendo uma equação linear para cada espécie química presente na equação química,
obtemos
que formam o seguinte sistema linear homogêneo
(3)
O sistema acima possui três equações a quatro incógnitas permitindo resolvê-lo tanto
pelo comando ``solve´´ ou via ``Maplets´´. Visando o detalhamento do método de solução do
sistema (3) optaremos por utilizar as ``Maplets´´ fazendo uso do escalonamento pelo método de
Eliminação de Gauss. Para ilustrar esse método, via Maple 12, segue abaixo algumas figuras
contendo ícones que dão acesso as Maplets, assim como as explicações das etapas necessárias
para o escalonamento.
O primeiro procedimento, ilustrado na Figura 1, serve para dar início ao método de
Eliminação de Gauss.
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Figura 1: Visualização da tela inicial do procedimento da Eliminação de Gauss.
A seguir aparecerá uma tela, Figura 2, onde o software lança inicialmente uma matriz
ampliada de um sistema qualquer para ser modificada de acordo com o nosso sistema. Então
devemos clicar em ``Edit Matrix´´ para editar a matriz ampliada do sistema (3).
Figura 2: Visualização da tela lançada para solicitar a edição da matriz.
Teclando no ícone ``Edit Matrix´´ ilustrado na parte inferior da Figura 2, aparecerá uma
tela cuja parte inferior é um quadriculado representando os elementos de uma matriz qualquer.
Então inserimos os elementos da nossa matriz neste quadriculado, de acordo com a ordem da
matriz ampliada do sistema (3), ajustando o número de linhas (``Rows´´) para três e o número de
colunas (``Columns´´) para cinco nos respectivos ícones presentes na parte inferior da tela. Para
lançar na tela os dados inseridos clicamos em ``Display´´, conforme Figura 3.
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Figura 3: Visualização da tela na qual foi editada a matriz.
Teclando em ``Close´´, a qual encerra a tela ilustrada na Figura 3, aparecerá a tela na qual
será dado o início ao escalonamento conforme Figura 4.
Figura 4: Visualização da tela com a matriz ampliada referente ao sistema (3).
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Clicando em ``Next Step´´, estaremos solicitando o próximo passo, a próxima matriz
equivalente. Se a matriz ampliada já estiver na forma de Gauss, o software não fará nenhuma
alteração na tela. Caso não esteja na forma de Gauss, o usuário deverá continuar clicando em
``Next Step´´ até obter o sistema na forma de Gauss. No nosso caso a matriz ampliada inserida
não está na forma de Gauss, Figura 4, portanto, clicamos em ``Next Step´´ até obter a forma de
Gauss, conforme a Figura 5
Figura 5: Visualização da tela que mostra as matrizes equivalentes até obter a forma de Gauss.
Finalmente, clicando em ``Solve System´´ o Maple 12 apresentará a primeira e a última
matriz da sequência de matrizes ampliadas equivalentes obtidas no processo de escalonamento,
conforme Figura 6.
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Figura 6: Visualização da sequência das matrizes ampliadas equivalentes.
Para transformarmos a matriz ampliada em um sistema de equações equivalente ao
sistema (3) devemos clicar em ``Equations´´, conforme ilustrado na Figura 7.
Figura 7: Visualização de um sistema de equações equivalente ao sistema (3) .
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Neste caso temos uma variável livre conforme indica o software quando lança o ícone
``Free Vars´´, pois o número de incógnitas , , e ( ) é maior que o número de
equações , onde o número de variáveis livres é dada pela diferença entre e . Clicando
em ``Free Vars´´, o software troca automaticamente a variável livre escolhida por , conforme
ilustra a Figura 8.
Figura 8: Visualização do sistema de equações com a variável livre escolhida .
Observe que aparece a opção de encontrar , como ilustra a Figura 8. Clicando em ``Solve x[3]´´
obtemos em função de , como mostra a Figura 9.
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Figura 9: Visualização da tela que apresenta em função de .
Conseqüentemente, a seguir, clicando em ``Solve x[2]´´, obtemos em função de ,
conforme a Figura 10.
Figura 10: Visualização da tela que apresenta em função de .
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Analogamente, clicando em ``Solve x[1]´´, obtemos em função de , como ilustra a
Figura 11.
Figura 11: Visualização da tela que apresenta em função de .
Somente após obtermos as variáveis dependentes , e em função da variável
independente poderemos clicar em ``Solution´´ para visualizarmos o vetor solução do
sistema (3) ilustrado na Figura 12.
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Figura 12: Visualização da tela que apresenta a solução do sistema (3).
Ao clicar em ``Close´´ retornamos para a tela principal com o vetor solução composto por
, , e . Devemos observar que a variável livre pode assumir
qualquer valor real, entretanto escolhendo obteremos uma solução particular do sistema
formada pelos menores números inteiros positivos, , , e , a qual
ilustra um dos balanceamentos possíveis para a equação química (2), representada por
Eliminação de Gauss-Jordan
Considere a equação química contendo quatro espécies
ou seja, o hidrogênio , o enxofre , o oxigênio e o sódio . Observe que esta
equação não está balanceada, pois, por exemplo, no caso do hidrogênio temos no primeiro
membro três átomos ( e no segundo membro apenas dois átomos .
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Com intuito de balanceá-la associamos as incógnitas , , e a cada uma das
quatro substâncias presentes na equação,
(4)
Escrevendo uma equação linear para cada espécie química presente na equação (4),
obtém-se respectivamente um sistema linear de quatro equações a quatro incógnitas,
que pode ser representado por
(5)
Como o sistema homogêneo (5) possui quatro equações a quatro incógnitas podemos
resolvê-lo tanto pelo comando ``solve´´ ou via ``Maplets´´. Novamente objetivando o
detalhamento do método de solução optamos por utilizar as ``Maplets´´ fazendo o
escalonamento agora pelo método de Eliminação de Gauss-Jordan. Para iniciarmos este processo
seguimos com o procedimento ilustrado a partir da Figura 13.
Figura 13: Visualização da tela inicial ao processo de Eliminação por Gauss-Jordan.
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Os passos apresentados na Figura 14 para o método de Eliminação de Gauss-Jordan são
semelhantes ao passos apresentados para o método de Eliminação de Gauss ilustrados a partir da
Figura 3 até a Figura 12.
Figura 14: Visualização da tela que representa todos os passos desde o momento que inserimos
os dados da matriz ampliada até encontrarmos a solução do sistema pelo método de Eliminação
de Gauss-Jordan.
a) b)
c) d)
e) f)
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Ao clicar em ``Close´´ retornamos para a tela principal com o vetor solução composto por
, , e . Escolhendo, por exemplo, , com o objetivo de obter
uma solução composta pelos menores números inteiros positivos, temos uma solução particular
do sistema (5), dada por: , , e . Portanto, uma solução para o
balanceamento da equação química (4) é
.
Comando Solve
Considere a equação química contendo cinco espécies
(6)
ou seja, o potássio , o manganês , o oxigênio , o hidrogênio e o cloro .
A equação (6) não está balanceada pois, por exemplo, para a espécie cloro, temos no
primeiro membro apenas um átomo ( enquanto que no segundo membro cinco átomos
.
Com intuito de balanceá-la associamos as incógnitas , , e a cada
substância presente na equação
(7)
e escrevendo uma equação linear para cada espécie química obtém-se:
que pode ser reescrito como um sistema linear homogêneo de cinco equações a seis incógnitas
conforme segue
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(8)
Como o sistema (8) possui cinco equações a seis incógnitas podemos resolvê-lo com uso
do software usando o comando ``solve´´. No entanto, para digitar o sistema de equações lineares
no Maple 12, temos duas opções: Modo Texto ou Modo Matemático, conforme mostra a Figura
15.
Figura 15: Visualização da tela que apresenta a escolha do Modo Texto ou o Modo Matemática.
Resolveremos o sistema (8) digitado em ambos modos, Texto e Matemática. A seguir
descriminamos cada um desses processos.
1) Modo Texto
Ao iniciarmos a tela principal do software teclamos no comando ``Prompt´´ ([>). Após o
lançamento do ``Prompt´´ na tela escolhemos a opção ``Texto´´ conforme ilustra a Figura
15. Então digitamos as equações do sistema (8) no formato Texto (cor vermelha) e depois
teclamos ``Enter´´ obtendo uma nova visualização na tela para o sistema (8) (cor azul).
Clicando com o botão direito neste sistema de equações (cor azul) aparecerão algumas
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opções dentre as quaisquer o comando ``solve´´ que após ser selecionado solicitamos
novamente a opção ``solve´´ como mostra a Figura 16.
Figura 16: Visualização da tela Modo Texto.
Clicando em ``solve” obtemos a solução do sistema (8), conforme mostra a Figura 17.
Figura 17: Solução do sistema digitado no Modo Texto.
2) Modo Matemática
Retornando a Figura 15 e escolhendo o ícone ``Matemática´´, digitamos as equações do
sistema (8) no formato matemática (cor preta) e depois teclamos ``Enter´´ obtendo um
sistema de equações (cor azul) na tela principal. Seguindo os mesmos procedimentos do
Modo Texto, clicamos com o botão direito no sistema de equações (cor azul) e
selecionamos a opção ``solve´´ por duas vezes como mostra a Figura 18.
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Figura 18: Visualização da tela Modo Matemática.
Clicando em ``solve” obtemos a solução do sistema (8), conforme mostra a Figura 19.
Figura 19: Solução do sistema digitado no Modo Matemática.
Observando a Figura 17 e a Figura 19, obtidas respectivamente pelo Modo Texto e pelo
Modo Matemática, temos a solução do sistema (8) de equações lineares dada por: ,
, , , , , onde foi escolhida pelo software como a
variável livre. Escolhendo, por exemplo, , com o objetivo de obter uma solução composta
pelos menores números inteiros, obtemos: , , , , , .
Portanto, uma solução para o balanceamento da equação química (7) é
.
Gráfico de Sistemas Lineares
Caso um sistema de equações lineares possua até quatro equações a três incógnitas,
podemos plotar via Maplets a visualização geométrica da solução. Para exemplificar esse
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procedimento consideremos a equação química contendo duas espécies, o hidrogênio e o
oxigênio ,
que não está balanceada, pois apresenta no primeiro membro dois átomos de oxigênio, no
entanto, no segundo membro, apenas um.
Com intuito de balanceá-la, associamos as incógnitas , e a cada substância
presente na equação obtendo
. (9)
Escrevendo uma equação linear para cada espécie química presente na equação química,
obtemos
que forma o seguinte sistema linear homogêneo.
(10)
Para resolver o sistema (10) vamos utilizar as ``Maplets´´ fazendo uso do escalonamento
pelo método de Eliminação de Gauss semelhante ao desenvolvido na seção ``Eliminação de
Gauss´´, conforme Figura 20.
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Figura 20: Visualização da tela que representa todos os passos desde o momento que inserimos
os dados da matriz ampliada até encontrarmos a solução do sistema (10) pelo método de
Eliminação de Gauss.
a)
c) d)
b)
e) f)
g) h)
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Ao clicar em ``Close´´ retornamos para a tela principal com o vetor solução dado por
, e . Devemos observar que a variável livre pode assumir qualquer valor
real, entretanto escolhendo obteremos uma solução particular do sistema formada apenas
por números inteiros positivos, , e , a qual ilustra um dos balanceamentos
possíveis da equação química (9), representada por
.
Como exemplo, plotaremos a solução do sistema (10) via vetor solução encontrado. Para
isso, estando na tela de entrada seguimos os seguintes passos ilustrados a partir da Figura 21.
Figura 21: Visualização da tela que dá início aos Gráficos de Sistemas Lineares.
Clicando em ``Gráficos de Sistemas Lineares´´ o software lançará inicialmente a
visualização geométrica da solução de um sistema por ele considerado, como mostra a Figura 22.
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Figura 22: Visualização geométrica da solução de um sistema qualquer considerado pelo
software.
Teclando no ícone ``Edit System´´ os elementos da matriz ampliada do sistema (10)
deverão ser inseridos no quadriculado presente na parte inferior da tela ajustando o número de
linhas e colunas através dos ícones ``Rows´´ e ``Columns´´, respectivamente. Para lançá-los
teclamos em ``Display´´ , conforme Figura 23.
Figura 23: Visualização da tela onde editamos a matriz ampliada do sistema.
Para obtermos o gráfico que representa a solução do sistema (10) devemos clicar em
``Close´´. Neste caso, a solução do sistema é representada por uma reta obtida pela interseção
dos planos e . Observe a Figura 24.
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Figura 24: Visualização do gráfico do sistema de equações lineares.
Pedindo para fechar a Maplet clicando em ``Close´´ retornamos a tela principal onde é
plotado o gráfico que aparece na Figura 24 que representa a solução do sistema (10). A
visualização deste gráfico pode ser alterada utilizando a barra de ferramenta (Gráfico) lançada na
tela, após ter clicado em ``Close´´, conforme mostra a Figura 25. Nesta barra podemos alterar os
ângulos (azimute ou longitude) e (colatitude ou ângulo polar), ou ainda, tamanho e/ou
posição do gráfico, sistema de eixos, cor, etc.
Figura 25: Visualização do gráfico que representa a solução do sistema (10) na tela principal.
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Considerações Finais
Neste artigo utilizamos o software Maple 12 para resolver os sistemas de equações
lineares homogêneos obtidos do balanceamento de equações químicas. Com esse objetivo
aplicamos os métodos de Eliminação de Gauss ou Gauss-Jordan para efetuar o escalonamento da
matriz ampliada do sistema obtido através do balanceamento da equação química, com uso das
Maplets ou do comando ``solve´´ existentes no software. Usamos as Maplets pelo fato de
permitirem a visualização do método de solução aplicado embora elas estejam limitadas a
resolução de sistemas de até cinco equações a quatro incógnitas. Já o comando ``solve´´ que foi
utilizado, tanto no Modo Texto quanto no Modo Matemática, permitiu resolver sistemas de
quaisquer ordem. Para sistemas lineares de até quatro equações a três incógnitas, as Maplets
permitem a visualização gráfica da solução, em particular, plotamos a solução de um sistema
contendo duas equações a três incógnitas.
Conclui-se que a principal contribuição do software está no uso das Maplets quanto ao
fato de detalharem, passo a passo, o procedimento matemático do escalonamento utilizado nos
métodos de Eliminação de Gauss ou de Gauss-Jordan, proporcionando avanços no processo de
ensino-aprendizagem. Observamos também a importância do comando ``solve´´, por resolver
sistemas de quaisquer ordem. Destacamos, novamente, as Maplets, por permitirem a visualização
gráfica da solução de sistemas de até quatro equações a três incógnitas.
Devemos salientar que este trabalho, por conter o método de escalonamento de sistemas
lineares via software Maple 12 aplicado ao balanceamento de equações químicas decorrentes da
lei de Lavoisier, também poderá ser utilizado tanto por alunos do ensino médio quanto por alunos
do ensino superior.
A perspectiva deste trabalho é enfatizar a utilização cada vez mais abrangente de
softwares matemáticos no ensino da matemática presente em outras áreas, tais como a Química,
uma vez que as tecnologias computacionais, quando usadas adequadamente, auxiliam e reforçam
a compreensão do ensino da matemática em áreas afins.
Referências
RUSSELL, J. B. Química Geral. Mcgraw.Hill. São Paulo. 1981.
BOULOS, P. & CAMARGO, I., Geometria Analítica - Um Tratamento Vetorial. 3a edição, São Paulo,
Prentice Hall, 2005.
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GARBI, Gilberto G. A Rainha das Ciências: um passeio histórico pelo maravilhoso mundo da
matemática. 2. ed rev. e ampl. São Paulo: Editora e Livraria da Física, 2007.
LOURO, Andreia M. F; TORRES, Delfim F. M. Computação Simbólica em Maple no Cálculo das
Variações. Universidade de Aveiro, 2006.
Adilandri Mércio Lobeiro. Professor de matemática da Universidade Tecnológica Federal do
Paraná – campus Campo Mourão-PR. [email protected]
Fernando Cezar G. Manso. Professor de química da Universidade Tecnológica Federal do Paraná –
campus Campo Mourão-PR. [email protected]
Liliana Madalena Gramani. Professora de matemática da Universidade Federal do Paraná –
campus Curitiba-PR. [email protected]
Priscila Amara P. de Melo. Professora de matemática da Universidade Tecnológica Federal do
Paraná – campus Campo Mourão –PR. pmelo@ utfpr.edu. br
Sara Coelho Silva. Professora de matemática da Universidade Tecnológica Federal do Paraná –
campus Campo Mourão-PR. [email protected]
Wellington José Corrêa. Professor de matemática da Universidade Tecnológica Federal do Paraná
– campus Campo Mourão-PR. [email protected]