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Universidade Tecnológica Federal do Paraná - UTFPR

Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciência e Tecnologia - PPGECT

II Simpósio Nacional de Ensino de Ciência e Tecnologia

07 a 09 de outubro de 2010 ISSN: 2178-6135

Artigo número: 204

Aplicação do Software Maple 12 para o Balanceamento de Equações Químicas

Adilandri Mércio Lobeiro

Fernando Cezar G. Manso

Liliana Madalena Gramani

Priscila Amara P. de Melo

Sara Coelho Silva

Wellington José Correa

Resumo

Neste artigo o software Maple 12 resolve sistemas de equações lineares homogêneos obtidos de balanceamento de equações químicas aplicando as ``Maplets´´ ou o comando ``solve´´. As Maplets utilizam os métodos de Eliminação de Gauss ou Gauss-Jordan para obterem a solução do sistema, limitadas a resolução de sistemas até a ordem de cinco equações a quatro incógnitas, explicando em detalhes o procedimento matemático do escalonamento da matriz ampliada, enquanto que o comando solve, no uso do Modo Texto ou do Modo Matemática, pode ser utilizado para resolver sistemas de quaisquer ordem. A visualização gráfica da solução do sistema considerado também é obtida com o uso das Maplets, desde que a ordem do sistema seja de até quatro equações a três incógnitas.

Palavras-chave: Balanceamento de Equações Químicas, Maple12, Maplets, Eliminação de Gauss, Eliminação de Gauss-Jordan, Comando Solve, Gráfico de Sistemas Lineares.

Abstract

Application Software Maple 12 for Balancing Chemical Equations. In this article the software Maple 12 solves systems of linear

homogeneous equations obtained from balancing chemical equations applying the Maplets''or `` command `` solve''. The Maplets use the methods of Gauss elimination or Gauss-Jordan to obtain the solution of the system, limited the resolution of systems to the order of five equations and four unknowns, explaining in detail the mathematical procedure of scaling the increased matrix, where as the solve command, using the Text mode or math mode, can be used to solve systems





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of any order. The graphic display of the solution of the system considered is also achieved with the use of Maplets, since the order of the system is up to four equations and three unknowns. Keywords: Balancing Chemical Equations, Maple12, Maplets, Gauss Elimination, Gauss-Jordan Elimination, Command Solve, Graph of Linear Systems.





Artigo número: 204

Introdução

Os trabalhos de Lavoisier têm uma importância histórica na transição das práticas

alquimistas para as práticas da química moderna. A lei de conservação da massa desenvolvida por

ele, também denominada por Lei de Lavoisier é um marco no pensamento científico. Esta lei do

ponto de vista químico, expressa que durante uma reação química, com conservação de massa,

não se pode criar ou destruir matéria, sendo representada matematicamente por

(1)

ou seja, o somatório das massas dos reagentes ) deve ser igual ao somatório das massas

dos produtos .

Os alunos do ensino médio, tanto quanto os alunos do nível superior, ao se depararem

com a lei de Lavoisier precisam dominar o método de balanceamento de equações químicas

obtidas de (1). Esse método associa a cada substância participante da equação, uma incógnita

que aqui denominamos por para um sistema de substâncias. Escrevemos tantas

equações lineares quantas forem às espécies químicas presentes na equação química, sendo que

a substância é formada por uma ou mais espécies. Todas essas equações lineares devem conter

todas as incógnitas, desta forma, obtemos um sistema de equações lineares homogêneo de

equações ( espécies químicas) a incógnitas ( substâncias participantes da equação). Este

procedimento é interessante, pois possibilita a interdisciplinaridade da área química com a área

matemática.

Para a resolução do sistema de equações lineares vamos nos apoiar em ferramentas

computacionais que permitem obter precisamente e rapidamente a solução procurada. O

programa escolhido para esse fim é o software Maple na versão 12. O Maple é um dos mais

conhecidos e utilizados programas de software de computação numérica, algébrica e simbólica

que modela e introduz de uma forma mais interativa os conteúdos programáticos dos mais

diversos ramos da Matemática. A versão 12 apresenta um assistente, As Maplets, que possibilita

a construção na linguagem Maple de interfaces gráficas. As Maplets permitem obter a solução de

sistemas de equações lineares utilizando o escalonamento de matrizes pelos métodos de Gauss e

Gauss-Jordan. Embora estas Maplets estão limitadas a resolução de sistemas até a ordem de

cinco equações e quatro incógnitas, explicam em detalhes o procedimento matemático do

escalonamento, representando assim a sua principal vantagem em relação ao comando ``solve´´

que pode ser utilizado para resolver sistemas de quaisquer ordem. No entanto, outra vantagem





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de utilização das Maplets é que para um sistema de até quatro equações a três incógnitas, é

possível visualizar geometricamente a sua solução.

O principal objetivo deste trabalho é reforçar o aspecto interdisciplinar entre a prática do

balanceamento da equação química, indispensável para os cálculos estequiométricos, com a

resolução do sistema linear de equações a incógnitas, obtido desta equação química,

utilizando o software Maple 12. A principal vantagem da utilização deste software para este

trabalho é permitir ao usuário a visualização detalhada do método de solução aplicado

reforçando o processo de ensino-aprendizagem, uma vez compreendidas as bases matemáticas

do método de solução.

Desta forma, a estrutura desse artigo está organizada em mais cinco seções descritas

brevemente abaixo:

Na seção ``Eliminação de Gauss´´ apresentamos um exemplo de uma equação química

onde fazemos o seu balanceamento usando o método de Eliminação de Gauss, com o uso das

Maplets existentes no software Maple 12;

Na seção ``Eliminação de Gauss-Jordan´´, com base na seção anterior, utilizamos uma

equação química na qual fazemos o seu balanceamento usando o método de Eliminação de

Gauss-Jordan.

Na seção ``Comando solve´´ introduzimos um exemplo de uma equação química onde não

é possível resolver o sistema com uso das Maplets devido a sua ordem.

Na seção ``Gráfico de Sistemas Lineares´´ apresentamos um exemplo de uma equação

química que gera um sistema linear homogêneo de duas equações a três incógnitas na qual

fazemos o seu balanceamento usando o método de Eliminação de Gauss e depois plotamos via

Maplets a solução desse sistema.

A seção ``Considerações Finais´´ encerra o trabalho contendo as conclusões obtidas pela

análise das seções anteriores.

Eliminação de Gauss

Considere a equação química contendo três espécies ( , onde representa o

carbono, o hidrogênio e o oxigênio,





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que não está balanceada, pois apresenta no primeiro membro ( reagentes) duas substâncias

, com um átomo de carbono, quatro átomos de hidrogênio e dois átomos de oxigênio e

no segundo membro ( produto) também duas substância com um átomo de

carbono, apenas dois átomos de hidrogênio e no entanto três átomos de oxigênio.

Com intuito de balanceá-la, ou seja, de obter a mesma quantidade de átomos de carbono,

hidrogênio e oxigênio de ambos os membros da equação, associamos as incógnitas , , e

a cada substância presente na equação obtendo

(2)

Escrevendo uma equação linear para cada espécie química presente na equação química,

obtemos

que formam o seguinte sistema linear homogêneo

(3)

O sistema acima possui três equações a quatro incógnitas permitindo resolvê-lo tanto

pelo comando ``solve´´ ou via ``Maplets´´. Visando o detalhamento do método de solução do

sistema (3) optaremos por utilizar as ``Maplets´´ fazendo uso do escalonamento pelo método de

Eliminação de Gauss. Para ilustrar esse método, via Maple 12, segue abaixo algumas figuras

contendo ícones que dão acesso as Maplets, assim como as explicações das etapas necessárias

para o escalonamento.

O primeiro procedimento, ilustrado na Figura 1, serve para dar início ao método de

Eliminação de Gauss.





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Figura 1: Visualização da tela inicial do procedimento da Eliminação de Gauss.

A seguir aparecerá uma tela, Figura 2, onde o software lança inicialmente uma matriz

ampliada de um sistema qualquer para ser modificada de acordo com o nosso sistema. Então

devemos clicar em ``Edit Matrix´´ para editar a matriz ampliada do sistema (3).

Figura 2: Visualização da tela lançada para solicitar a edição da matriz.

Teclando no ícone ``Edit Matrix´´ ilustrado na parte inferior da Figura 2, aparecerá uma

tela cuja parte inferior é um quadriculado representando os elementos de uma matriz qualquer.

Então inserimos os elementos da nossa matriz neste quadriculado, de acordo com a ordem da

matriz ampliada do sistema (3), ajustando o número de linhas (``Rows´´) para três e o número de

colunas (``Columns´´) para cinco nos respectivos ícones presentes na parte inferior da tela. Para

lançar na tela os dados inseridos clicamos em ``Display´´, conforme Figura 3.





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Figura 3: Visualização da tela na qual foi editada a matriz.

Teclando em ``Close´´, a qual encerra a tela ilustrada na Figura 3, aparecerá a tela na qual

será dado o início ao escalonamento conforme Figura 4.

Figura 4: Visualização da tela com a matriz ampliada referente ao sistema (3).





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Clicando em ``Next Step´´, estaremos solicitando o próximo passo, a próxima matriz

equivalente. Se a matriz ampliada já estiver na forma de Gauss, o software não fará nenhuma

alteração na tela. Caso não esteja na forma de Gauss, o usuário deverá continuar clicando em

``Next Step´´ até obter o sistema na forma de Gauss. No nosso caso a matriz ampliada inserida

não está na forma de Gauss, Figura 4, portanto, clicamos em ``Next Step´´ até obter a forma de

Gauss, conforme a Figura 5

Figura 5: Visualização da tela que mostra as matrizes equivalentes até obter a forma de Gauss.

Finalmente, clicando em ``Solve System´´ o Maple 12 apresentará a primeira e a última

matriz da sequência de matrizes ampliadas equivalentes obtidas no processo de escalonamento,

conforme Figura 6.





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Figura 6: Visualização da sequência das matrizes ampliadas equivalentes.

Para transformarmos a matriz ampliada em um sistema de equações equivalente ao

sistema (3) devemos clicar em ``Equations´´, conforme ilustrado na Figura 7.

Figura 7: Visualização de um sistema de equações equivalente ao sistema (3) .





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Neste caso temos uma variável livre conforme indica o software quando lança o ícone

``Free Vars´´, pois o número de incógnitas , , e ( ) é maior que o número de

equações , onde o número de variáveis livres é dada pela diferença entre e . Clicando

em ``Free Vars´´, o software troca automaticamente a variável livre escolhida por , conforme

ilustra a Figura 8.

Figura 8: Visualização do sistema de equações com a variável livre escolhida .

Observe que aparece a opção de encontrar , como ilustra a Figura 8. Clicando em ``Solve x[3]´´

obtemos em função de , como mostra a Figura 9.





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Figura 9: Visualização da tela que apresenta em função de .

Conseqüentemente, a seguir, clicando em ``Solve x[2]´´, obtemos em função de ,

conforme a Figura 10.






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Analogamente, clicando em ``Solve x[1]´´, obtemos em função de , como ilustra a

Figura 11.


Somente após obtermos as variáveis dependentes , e em função da variável

independente poderemos clicar em ``Solution´´ para visualizarmos o vetor solução do

sistema (3) ilustrado na Figura 12.





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Figura 12: Visualização da tela que apresenta a solução do sistema (3).

Ao clicar em ``Close´´ retornamos para a tela principal com o vetor solução composto por

, , e . Devemos observar que a variável livre pode assumir

qualquer valor real, entretanto escolhendo obteremos uma solução particular do sistema

formada pelos menores números inteiros positivos, , , e , a qual

ilustra um dos balanceamentos possíveis para a equação química (2), representada por

Eliminação de Gauss-Jordan

Considere a equação química contendo quatro espécies

ou seja, o hidrogênio , o enxofre , o oxigênio e o sódio . Observe que esta

equação não está balanceada, pois, por exemplo, no caso do hidrogênio temos no primeiro

membro três átomos ( e no segundo membro apenas dois átomos .





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Com intuito de balanceá-la associamos as incógnitas , , e a cada uma das

quatro substâncias presentes na equação,

(4)

Escrevendo uma equação linear para cada espécie química presente na equação (4),

obtém-se respectivamente um sistema linear de quatro equações a quatro incógnitas,

que pode ser representado por

(5)

Como o sistema homogêneo (5) possui quatro equações a quatro incógnitas podemos

resolvê-lo tanto pelo comando ``solve´´ ou via ``Maplets´´. Novamente objetivando o

detalhamento do método de solução optamos por utilizar as ``Maplets´´ fazendo o

escalonamento agora pelo método de Eliminação de Gauss-Jordan. Para iniciarmos este processo

seguimos com o procedimento ilustrado a partir da Figura 13.

Figura 13: Visualização da tela inicial ao processo de Eliminação por Gauss-Jordan.





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Os passos apresentados na Figura 14 para o método de Eliminação de Gauss-Jordan são

semelhantes ao passos apresentados para o método de Eliminação de Gauss ilustrados a partir da

Figura 3 até a Figura 12.

Figura 14: Visualização da tela que representa todos os passos desde o momento que inserimos

os dados da matriz ampliada até encontrarmos a solução do sistema pelo método de Eliminação

de Gauss-Jordan.

a) b)

c) d)

e) f)





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Ao clicar em ``Close´´ retornamos para a tela principal com o vetor solução composto por

, , e . Escolhendo, por exemplo, , com o objetivo de obter

uma solução composta pelos menores números inteiros positivos, temos uma solução particular

do sistema (5), dada por: , , e . Portanto, uma solução para o

balanceamento da equação química (4) é

.

Comando Solve

Considere a equação química contendo cinco espécies

(6)

ou seja, o potássio , o manganês , o oxigênio , o hidrogênio e o cloro .

A equação (6) não está balanceada pois, por exemplo, para a espécie cloro, temos no

primeiro membro apenas um átomo ( enquanto que no segundo membro cinco átomos

.

Com intuito de balanceá-la associamos as incógnitas , , e a cada

substância presente na equação

(7)

e escrevendo uma equação linear para cada espécie química obtém-se:

que pode ser reescrito como um sistema linear homogêneo de cinco equações a seis incógnitas

conforme segue





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(8)

Como o sistema (8) possui cinco equações a seis incógnitas podemos resolvê-lo com uso

do software usando o comando ``solve´´. No entanto, para digitar o sistema de equações lineares

no Maple 12, temos duas opções: Modo Texto ou Modo Matemático, conforme mostra a Figura

15.

Figura 15: Visualização da tela que apresenta a escolha do Modo Texto ou o Modo Matemática.

Resolveremos o sistema (8) digitado em ambos modos, Texto e Matemática. A seguir

descriminamos cada um desses processos.

1) Modo Texto

Ao iniciarmos a tela principal do software teclamos no comando ``Prompt´´ ([>). Após o

lançamento do ``Prompt´´ na tela escolhemos a opção ``Texto´´ conforme ilustra a Figura

15. Então digitamos as equações do sistema (8) no formato Texto (cor vermelha) e depois

teclamos ``Enter´´ obtendo uma nova visualização na tela para o sistema (8) (cor azul).

Clicando com o botão direito neste sistema de equações (cor azul) aparecerão algumas





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opções dentre as quaisquer o comando ``solve´´ que após ser selecionado solicitamos

novamente a opção ``solve´´ como mostra a Figura 16.

Figura 16: Visualização da tela Modo Texto.

Clicando em ``solve” obtemos a solução do sistema (8), conforme mostra a Figura 17.

Figura 17: Solução do sistema digitado no Modo Texto.

2) Modo Matemática

Retornando a Figura 15 e escolhendo o ícone ``Matemática´´, digitamos as equações do

sistema (8) no formato matemática (cor preta) e depois teclamos ``Enter´´ obtendo um

sistema de equações (cor azul) na tela principal. Seguindo os mesmos procedimentos do

Modo Texto, clicamos com o botão direito no sistema de equações (cor azul) e

selecionamos a opção ``solve´´ por duas vezes como mostra a Figura 18.





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Figura 18: Visualização da tela Modo Matemática.

Clicando em ``solve” obtemos a solução do sistema (8), conforme mostra a Figura 19.

Figura 19: Solução do sistema digitado no Modo Matemática.

Observando a Figura 17 e a Figura 19, obtidas respectivamente pelo Modo Texto e pelo

Modo Matemática, temos a solução do sistema (8) de equações lineares dada por: ,

, , , , , onde foi escolhida pelo software como a

variável livre. Escolhendo, por exemplo, , com o objetivo de obter uma solução composta

pelos menores números inteiros, obtemos: , , , , , .

Portanto, uma solução para o balanceamento da equação química (7) é

.

Gráfico de Sistemas Lineares

Caso um sistema de equações lineares possua até quatro equações a três incógnitas,

podemos plotar via Maplets a visualização geométrica da solução. Para exemplificar esse





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procedimento consideremos a equação química contendo duas espécies, o hidrogênio e o

oxigênio ,

que não está balanceada, pois apresenta no primeiro membro dois átomos de oxigênio, no

entanto, no segundo membro, apenas um.

Com intuito de balanceá-la, associamos as incógnitas , e a cada substância

presente na equação obtendo

. (9)

Escrevendo uma equação linear para cada espécie química presente na equação química,

obtemos

que forma o seguinte sistema linear homogêneo.

(10)

Para resolver o sistema (10) vamos utilizar as ``Maplets´´ fazendo uso do escalonamento

pelo método de Eliminação de Gauss semelhante ao desenvolvido na seção ``Eliminação de

Gauss´´, conforme Figura 20.





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Figura 20: Visualização da tela que representa todos os passos desde o momento que inserimos

os dados da matriz ampliada até encontrarmos a solução do sistema (10) pelo método de

Eliminação de Gauss.

a)

c) d)

b)

e) f)

g) h)





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Ao clicar em ``Close´´ retornamos para a tela principal com o vetor solução dado por

, e . Devemos observar que a variável livre pode assumir qualquer valor

real, entretanto escolhendo obteremos uma solução particular do sistema formada apenas

por números inteiros positivos, , e , a qual ilustra um dos balanceamentos

possíveis da equação química (9), representada por

.

Como exemplo, plotaremos a solução do sistema (10) via vetor solução encontrado. Para

isso, estando na tela de entrada seguimos os seguintes passos ilustrados a partir da Figura 21.

Figura 21: Visualização da tela que dá início aos Gráficos de Sistemas Lineares.

Clicando em ``Gráficos de Sistemas Lineares´´ o software lançará inicialmente a

visualização geométrica da solução de um sistema por ele considerado, como mostra a Figura 22.





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Figura 22: Visualização geométrica da solução de um sistema qualquer considerado pelo

software.

Teclando no ícone ``Edit System´´ os elementos da matriz ampliada do sistema (10)

deverão ser inseridos no quadriculado presente na parte inferior da tela ajustando o número de

linhas e colunas através dos ícones ``Rows´´ e ``Columns´´, respectivamente. Para lançá-los

teclamos em ``Display´´ , conforme Figura 23.

Figura 23: Visualização da tela onde editamos a matriz ampliada do sistema.

Para obtermos o gráfico que representa a solução do sistema (10) devemos clicar em

``Close´´. Neste caso, a solução do sistema é representada por uma reta obtida pela interseção

dos planos e . Observe a Figura 24.





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Figura 24: Visualização do gráfico do sistema de equações lineares.

Pedindo para fechar a Maplet clicando em ``Close´´ retornamos a tela principal onde é

plotado o gráfico que aparece na Figura 24 que representa a solução do sistema (10). A

visualização deste gráfico pode ser alterada utilizando a barra de ferramenta (Gráfico) lançada na

tela, após ter clicado em ``Close´´, conforme mostra a Figura 25. Nesta barra podemos alterar os

ângulos (azimute ou longitude) e (colatitude ou ângulo polar), ou ainda, tamanho e/ou

posição do gráfico, sistema de eixos, cor, etc.

Figura 25: Visualização do gráfico que representa a solução do sistema (10) na tela principal.





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Considerações Finais

Neste artigo utilizamos o software Maple 12 para resolver os sistemas de equações

lineares homogêneos obtidos do balanceamento de equações químicas. Com esse objetivo

aplicamos os métodos de Eliminação de Gauss ou Gauss-Jordan para efetuar o escalonamento da

matriz ampliada do sistema obtido através do balanceamento da equação química, com uso das

Maplets ou do comando ``solve´´ existentes no software. Usamos as Maplets pelo fato de

permitirem a visualização do método de solução aplicado embora elas estejam limitadas a

resolução de sistemas de até cinco equações a quatro incógnitas. Já o comando ``solve´´ que foi

utilizado, tanto no Modo Texto quanto no Modo Matemática, permitiu resolver sistemas de

quaisquer ordem. Para sistemas lineares de até quatro equações a três incógnitas, as Maplets

permitem a visualização gráfica da solução, em particular, plotamos a solução de um sistema

contendo duas equações a três incógnitas.

Conclui-se que a principal contribuição do software está no uso das Maplets quanto ao

fato de detalharem, passo a passo, o procedimento matemático do escalonamento utilizado nos

métodos de Eliminação de Gauss ou de Gauss-Jordan, proporcionando avanços no processo de

ensino-aprendizagem. Observamos também a importância do comando ``solve´´, por resolver

sistemas de quaisquer ordem. Destacamos, novamente, as Maplets, por permitirem a visualização

gráfica da solução de sistemas de até quatro equações a três incógnitas.

Devemos salientar que este trabalho, por conter o método de escalonamento de sistemas

lineares via software Maple 12 aplicado ao balanceamento de equações químicas decorrentes da

lei de Lavoisier, também poderá ser utilizado tanto por alunos do ensino médio quanto por alunos

do ensino superior.

A perspectiva deste trabalho é enfatizar a utilização cada vez mais abrangente de

softwares matemáticos no ensino da matemática presente em outras áreas, tais como a Química,

uma vez que as tecnologias computacionais, quando usadas adequadamente, auxiliam e reforçam

a compreensão do ensino da matemática em áreas afins.

Referências

RUSSELL, J. B. Química Geral. Mcgraw.Hill. São Paulo. 1981.

BOULOS, P. & CAMARGO, I., Geometria Analítica - Um Tratamento Vetorial. 3a edição, São Paulo,

Prentice Hall, 2005.





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GARBI, Gilberto G. A Rainha das Ciências: um passeio histórico pelo maravilhoso mundo da

matemática. 2. ed rev. e ampl. São Paulo: Editora e Livraria da Física, 2007.

LOURO, Andreia M. F; TORRES, Delfim F. M. Computação Simbólica em Maple no Cálculo das

Variações. Universidade de Aveiro, 2006.

Adilandri Mércio Lobeiro. Professor de matemática da Universidade Tecnológica Federal do

Paraná – campus Campo Mourão-PR. [email protected]

Fernando Cezar G. Manso. Professor de química da Universidade Tecnológica Federal do Paraná –

campus Campo Mourão-PR. [email protected]

Liliana Madalena Gramani. Professora de matemática da Universidade Federal do Paraná –

campus Curitiba-PR. [email protected]

Priscila Amara P. de Melo. Professora de matemática da Universidade Tecnológica Federal do

Paraná – campus Campo Mourão –PR. pmelo@ utfpr.edu. br

Sara Coelho Silva. Professora de matemática da Universidade Tecnológica Federal do Paraná –

campus Campo Mourão-PR. [email protected]

Wellington José Corrêa. Professor de matemática da Universidade Tecnológica Federal do Paraná

– campus Campo Mourão-PR. [email protected]

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