Download - Analise Sis Lineares 1
EN 2706- Análise de Sistemas Dinâmicos Lineares
Prof. Marat Rafikov Centro de Engenharia, Modelagem e
Ciências Sociais Aplicadas (CECS) E-mail: [email protected]
EN2706 - Análise de Sistemas Dinâmicos Lineares
Recomendação: Instrumentação e Controle
Ementa:
1. Apresentação de sistemas dinâmicos lineares multivariáveis.
2. Descrição por equações de estado.
3. Extração dos autovalores e autovetores.
4. Estudo de estabilidade local e global.
5. Critérios de estabilidade de Lyapunov.
6. Linearização de sistemas dinâmicos não-lineares.
7. Matriz de transição de estados.
8. Observabilidade.
9. Controlabilidade.
Monteiro, L.H.A. Sistemas Dinâmicos. 2-a Edição. São Paulo:
Editora Livraria da Física, 2006.
Ogata, K. Engenharia de Controle Moderno. 5-a Edição. São
Paulo: Pearson & Prentice Hall, 2010.
Zill, D.G. Equações diferenciais com aplicações em
modelagem. São Paulo: Thomson, 2003.
Bibliografia
Sistemas Lineares: Introdução
Sistemas Lineares: Introdução
Um sistema linear pode ser modelado por uma equação diferencial linear de ordem n ou por um sistema de equações lineares. A forma geral de uma equação diferencial linear de ordem n é seguinte:
)(... 012
)1(
1
)( tfxaxaxaxax n
n
n
(1)
A forma geral de um sistema de equações lineares:
)(tFAXX (2)
onde X e F são vetores de dimensão n, A é matriz de dimensão
nxn.
Apresentação de sistemas dinâmicos lineares multivariáveis
Exemplo 1
Apresentação de sistemas dinâmicos lineares multivariáveis
Descrição por equações de estado
A equação diferencial linear de ordem n
)(... 012
)1(
1
)( tfxaxaxaxax n
n
n
(1)
pode ser reescrita na forma de um sistema de n equações
lineares
)(tFAXX (2)
introduzindo n novas variáveis que chamaremos de variáveis de
estado . A escolha destes variáveis não é única. Para a equação
(1) vamos definir as variáveis como:
Descrição por equações de estado
xx 1
xx 2
. . . . . )1( n
n xx
Então, a equação (1) pode ser reescrita como
32
21
xx
xx
(3)
. . . . .
)(... 12110 tfxaxaxax nnn
Descrição por equações de estado
Escrevendo em forma vetorial - matricial temos:
)(tFAXX
onde
nx
x
x
X...
2
1
,
110 ...
............
0...00
0...10
naaa
A,
)(
...
0
0
)(
tf
tF
Descrição por equações de estado
yx 1
dtdyx /2
Então, a equação (4) pode ser reescrita como
mtumxbmxkdtdx
xdtdx
/)(///
/
212
21
(5)
Exemplo 1. Sistema massa-mola-amortecedor
(4)
Descrição por equações de estado
Descrição por equações de estado
Exemplo 2. Sistema de carrinhos interligados
Descrição por equações de estado
Descrição por equações de estado
Exercício 1. Considere o sistema mecânico,
apresentado na figura a direita.
Deduza o sistema de duas equações
diferenciais lineares da segunda ordem
que modela este sistema.
Introduzindo as variáveis de estado,
descrever o sistema
na forma de variáveis de estado.
Escrever o sistema em forma
vetorial – matricial.
Descrição por equações de estado
Exercício 2.
Considere o sistema mecânico, apresentado na figura acima. Deduza o sistema de
duas equações diferenciais lineares da segunda ordem que modela este sistema.
Introduzindo as variáveis de estado, descrever o sistema na forma de variáveis de
estado. Escrever o sistema em forma vetorial – matricial.
Estabilidade - Conceito
• O conceito de estabilidade pode ser dado a partir de uma PERTURBAÇÃO do sistema e observação da RESPOSTA do sistema e o ESTADO ESTACIONÁRIO.
Estabilidade - Conceito
• O conceito de estabilidade pode ser ilustrado considerando-se um cone de seção reta circular colocado sobre uma superfície plana.
• Se o cone estiver repousando sobre a base e for deslocado ligeiramente, retornara a sua posição de equilíbrio original. Esta posição e resposta são ditas estáveis.
• Se o cone estiver apoiado sobre a geratriz e for deslocado ligeiramente, ele rola sem nenhuma tendência a abandonar o apoio sobre a geratriz. Esta posição e designada como a estabilidade neutra.
• Se o cone for apoiado sobre o vértice e abandonado, ele cai para um dos lados. Esta posição e dita instável [1].
• Se um sistema for instável, a resposta transitória e os erros de estado estacionário deixam de ter significado.
Estabilidade - Conceito
estável neutro instável
Estabilidade - Conceito
estável neutro instável
Estabilidade - Conceito
estável neutro instável
Estabilidade segundo Lyapunov
• A estabilidade e uma das características mais importantes dos sistemas dinâmicos
• Se o sistema é LINEAR e invariante no tempo, temos a disposição vários critérios de estabilidade. Entre eles o critério de estabilidade de Nyquist, o critério de Routh (no domínio da freqüência). Se o sistema e não linear, ou linear variante do tempo, esses critérios de estabilidade não podem ser usados.
Estabilidade segundo Lyapunov
• O segundo método de Lyapunov (denominado método direto de Lyapunov) é o método mais geral para determinar a estabilidade de sistemas não lineares e/ou variantes no tempo.
• Também usado para determinar a estabilidade de sistemas lineares invariantes no tempo.
• Aplica-se para sistemas de qualquer ordem.
• Usando o segundo método de Lyapunov, podemos determinar estabilidade de um sistema sem resolver as equações de estado. Isto e uma vantagem porque a solução de equações de estado não lineares é geralmente muito difícil [2; 3].
Estabilidade segundo Lyapunov
• Em 1892 A. M. Lyapunov apresentou dois métodos (chamados primeiro e segundo método) para determinar a estabilidade de sistemas dinâmicos descritos por equações diferenciais ordinárias.
• O primeiro método consiste em todos os procedimentos nos quais utilizam-se a forma explicita das soluções das equações diferenciais.
• O segundo método não requer as soluções das equações diferenciais.
Estabilidade segundo Lyapunov
Estabilidade segundo Lyapunov
Estabilidade segundo Lyapunov
Estabilidade segundo Lyapunov
Estabilidade segundo Lyapunov
Estabilidade segundo Lyapunov
Estabilidade segundo Lyapunov
Estabilidade segundo Lyapunov
Estabilidade segundo Lyapunov
Estabilidade segundo Lyapunov
Estabilidade segundo Lyapunov
A equação característica da equação diferencial linear de segunda ordem homogênea tem a seguinte forma:
0baλλ2 (4)
A equação (4) possui duas raízes 1 e 2 . Dependendo de valores das raízes existem
3 casos da solução geral da equação (3).
Caso 1. As raízes 1 e 2 são reais, distintas.
A solução geral da equação (3) tem a seguinte forma:
tt
C 21 eeCx(t) 21
(5)
Analisando a solução (5) podemos concluir que a solução do sistema (3) é assintoticamente estável se as raízes da equação característica (4) são negativas. Neste caso a solução (5) tende a 0 quando t . Se pelo menos uma raiz é positiva, então, a solução do sistema (3) é instável.
Para encontrar valores de constantes de integração
21 eC C temos que usar as condições iniciais
00 x(0)xexx(0) . Diferenciando (5), temos:
ttC 21 eeC(t)x 2211
(6)
Então, para t = 0 de (5) e (6) temos:
22110
210
Cx
Cx
C
C
(7)
de onde segue:
12
0102
12
0021
xx
xxC
C
Exemplo 1. Considere a equação (3) com coeficientes a = -5 e b =
6. As raízes da equação característica neste caso são 21 e
32 . A solução tt 32 e813ex(t) da equação (3) é instavel.
Exemplo 2. Considere a equação (3) com coeficientes a = 5 e b = 6. As
raízes da equação característica neste caso são 21 e 32 . A
solução tt 32 e1217ex(t) da equação (3) é estavel.
Caso 2. As raízes 1 e 2 são reais, iguais 1 = 2 = .
A solução geral da equação (3) tem a seguinte forma:
tt
tC
eeCx(t) 21 (8)
Neste caso
0e
1lim
elim)e(lim
tttt
t
t
tt
Analisando a solução (8) podemos concluir que a solução do
sistema (3) é assintoticamente estável se as raízes da equação
característica (4) são negativas. Neste caso a solução (5) tende a 0
quando t .
Se as raízes são positivas, então, a solução do sistema (3) é
instável.
Exemplo 3. Considere a equação (3) com coeficientes a = -10 e b
= 25. As raízes da equação característica neste caso são 1 52 .
A solução tt t 55 e235ex(t) da equação (3) é instavel.
Exemplo 4. Considere a equação (3) com coeficientes a = 10 e b
= 25. As raízes da equação característica neste caso são
1 52 . A solução tt t 55 e275ex(t) da equação (3) é estavel.
Caso 3. As raízes 1 e 2 são complexas conjugadas a seguinte
forma:
j
Neste caso a solução geral da equação (3) tem a seguinte forma:
tCt tt senecoseCx(t) 21 (9)
Levando em conta que as funções cos e sen em (9) são limitadas
e não influem na estabilidade, podemos concluir que a solução do
sistema (3) é assintoticamente estável se a parte real das raízes da
equação característica (4) é negativa. Neste caso a solução (9)
tende a 0 quando t .
Se a parte real das raízes é positiva, então, a solução do sistema
(3) é instável.
Exemplo 5. Considere a equação (3) com coeficientes a = -4 e b
= 53. As raízes da equação característica neste caso são
j721 j722 . A solução )7sen1429.17cos5(ex(t) 2 ttt da
equação (3) é instavel.
Exemplo 6. Considere a equação (3) com coeficientes a =
4 e b = 53. As raízes da equação característica neste caso
são j721 j722 . A solução
)7sen1429.17cos5(ex(t) 2 ttt da equação (3) é estável.
A equação diferencial de ordem n homogênea tem a seguinte forma:
0... 012
)1(
1
)(
xaxaxaxax n
n
n (10)
Sua equação característica tem a seguinte forma:
0... 01
2
2
1
1
aλaλaλaλ n
n
n (11)
A equação (11) possui n raízes nii ,...,1, .
Se as partes reais de todas as raízes são negativas, então, a solução do sistema (11) é estável. Se pelo menos uma parte real das raízes é positiva, então, a solução do sistema (11) é instável.
Estabilidade da equação diferencial de ordem n homogênea
AXX (1) Para um sistema de dimensão 2 temos:
2
1
x
xX ,
2221
1211
aa
aaA (2)
A equação característica:
02221
1211
aa
aa (3)
Calculando determinante, obtemos:
0)( 211222112211
2 aaaaaa (4) As raízes de (4) são:
j (5)
Sistema de equações diferenciais lineares homogêneas
Extração dos autovalores e autovetores
Sistema de equações diferenciais lineares homogêneas
Sistema de equações diferenciais lineares homogêneas
Sistema de equações diferenciais lineares homogêneas
Método Indireto de Lyapunov
Considere o seguinte sistema não-linear:
)(xfx (6) onde x e f são vetores de dimensão n. O seguinte sistema chama-se linearizado:
xAx (7) onde A é matriz jacobiana:
Estabilidade de sistemas não-lineares
n
nnn
n
n
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
A
...
............
...
...
21
2
2
2
1
2
1
2
1
1
1
. (8)
Então, denotando com i os autovalores de A (i = 1, ..., n),
podemos concluir: - A origem é assintoticamente estável se 0Re , para todo i .
- A origem é instável se 0Re , para um ou mais autovalores de A.
Estabilidade de sistemas não-lineares
Bibliografia
• [1] R. C. Dorf, R. H. Bishop, Sistemas de Controle Modernos, LTC, Brasil, 2001.
• [2] K. Ogata, Engenharia de Controle Moderno, Pearson & Prentice Hall, Brasil, 2008.
• [3] A. S. Lordelo, Notas de aula: Instrumentação e controle, UFABC, 2009.
• [4] Meza, M.E.M. Notas de Aula: Instrumentação e Controle, UFABC, 2009.
• Agradecimentos aos professores doutores Alfredo Del Sole Lordelo e Magno E.M. Meza que gentilmente disponibilizaram as suas Notas de Aula
BC 1507- Instrumentação e Controle 55