ANÁLISE NUMÉRICA DA FORMAÇÃO DE CONES DE
ÁGUA EM RESERVATÓRIOS DE PETRÓLEO
Ronnymaxwell Silva Gomes de Santana
Projeto de Graduação apresentado ao Curso de
Engenharia do Petróleo da Escola Politécnica,
Universidade Federal do Rio de Janeiro, como
parte dos requisitos necessários à obtenção do
título de Engenheiro.
Orientador: Prof. Paulo Couto, Dr. Eng
Rio de Janeiro
Março de 2014
ii
ANÁLISE NUMÉRICA DA FORMAÇÃO DE CONES DE
ÁGUA EM RESERVATÓRIOS DE PETRÓLEO
Ronnymaxwell Silva Gomes de Santana
PROJETO DE GRADUAÇÃO SUBMETIDO AO CORPO DOCENTE DO CURSO
DE ENGENHARIA DO PETRÓLEO DA ESCOLA POLITÉCNICA DA
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO, COMO PARTE DOS
REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE
ENGENHEIRO DO PETRÓLEO.
Examinado por:
RIO DE JANEIRO, RJ - BRASIL
MARÇO de 2014
iii
Santana, Ronnymaxwell Silva Gomes de
Análise Numérica da Formação de Cones de Água em Reservatórios de
Petróleo/ Ronnymaxwell Silva Gomes de Santana – Rio de Janeiro: UFRJ/
Escola Politécnica, 2014.
XIV, 110p.: il.: 29,7 cm
Orientador: Paulo Couto
Projeto de Graduação – UFRJ/ Escola Politécnica/ Curso de
Engenharia do Petróleo, 2014.
Referências Bibliográficas: p.80 - 85
1. Cone de Água. 2. Simulação de Reservatórios. 3. Fluxo Bifásico. 4.
Coordenadas Cilíndricas. 5. Método dos Volumes Finitos. 6. Método IMPES.
I. Couto, Paulo. II. Universidade Federal do Rio de Janeiro, Escola
Politécnica, Curso de Engenharia do Petróleo. III. Título.
iv
Dedicatória
Dedico este trabalho a meu pai, Ronildo, e a minha mãe, Ana Flor, pelo carinho e apoio
incondicional em todos os momentos de minha vida. Dedico, ainda, este trabalho a
minha avó Valdelice (In memoriam).
v
Agradecimentos
A Deus.
Ao meu pai, à minha mãe, à minha irmã.
À UFRJ, a eterna Universidade do Brasil.
Aos professores do curso de Engenharia do Petróleo, em especial ao meu orientador,
Professor Paulo Couto, pelo apoio vital e ensinamentos para o desenvolvimento deste
trabalho, bem como para o meu desenvolvimento acadêmico. Agradeço, ainda, ao
Professor Alexandre Leiras, por tudo que ele fez pelo curso de Engenharia de Petróleo
da UFRJ.
Ao LAMCE – COPPE/UFRJ e sua equipe, em especial ao Professor Luiz Landau, e à
Agência Nacional do Petróleo, Gás Natural e Biocombustíveis, que através do Programa
de Recursos Humanos PRH-02 ANP possibilitaram os recursos financeiros para a
realização deste trabalho.
Ao NIDF – COPPE/UFRJ e sua equipe, pelo espaço cedido e acolhimento, tornando-se
efetivamente minha segunda casa, e possibilitando a concretização deste projeto.
Aos meus amigos desde a época de colégio: Marcus Vinicius, Paulo Vinicius, Walter
Cavalieri. Muito obrigado por suas amizades!
Aos meus companheiros de curso, e às amizades formadas nestes longos, porém breves,
cinco anos de convivência. Em especial, Beatriz Manchester, Elísio Quintino, Julia
Stock, Marcelo Teles, Mateus Ramires, Philip Stape, Rafael Longhi, Raphael Salles,
Thiago Sauma. Meus sinceros agradecimentos por cada momento único, os quais
apenas vocês poderiam me proporcionar!
vi
Resumo do Projeto de Graduação apresentado à Escola Politécnica/UFRJ como parte
dos requisitos necessários para a obtenção do grau de Engenheiro do Petróleo.
Análise Numérica da Formação de Cones de Água em Reservatórios de Petróleo
Ronnymaxwell Silva Gomes de Santana
Março/2014
Orientador: Prof. Paulo Couto, Dr. Eng
Curso: Engenharia do Petróleo
A formação de cones de água em reservatórios de petróleo é uma das formas pela qual a
água é indesejavelmente produzida, encarecendo os custos de produção do óleo. O
presente trabalho tem por objetivo estudar e investigar este incômodo fenômeno,
utilizando para tal a simulação numérica de reservatórios. Fez-se uma revisão
bibliográfica sobre o tema, discutindo algumas das soluções propostas na literatura. Um
modelo físico na forma cilíndrica, bifásico com uma região de óleo e um aquífero de
fundo, e com um único poço produtor em seu centro foi designado para se analisar o
fenômeno. O modelo matemático envolveu o desenvolvimento da Equação da
Difusividade Hidráulica para óleo e água, lei que rege o escoamento de fluidos em
meios porosos. O modelo numérico utilizou o Método dos Volumes Finitos e a
abordagem IMPES para a aproximação da solução da equação supracitada. Destes três
modelos, as equações e matrizes resultantes foram implementadas no software Wolfram
Mathematica 8, onde o simulador foi construído. Usando o mesmo, procedeu-se com
uma análise de sensibilidade, onde se observou que as permeabilidades horizontal e
vertical, densidade/viscosidade do óleo, espessura da zona produtora e o esquema de
vazão/canhoneio adotado foram os parâmetros mais influentes no fenômeno. Ainda, o
custo de produção da água foi estimado, realizando uma análise econômica e
comparando esquemas de produção, concluindo-se que maiores vazões de óleo, mesmo
com a produção maior de água, são mais vantajosas economicamente e que esquemas de
completação dupla podem melhorar o lucro, principalmente a baixas vazões de
produção.
Palavras-Chave: Cone de Água, Simulação de Reservatórios, Fluxo Bifásico,
Coordenadas Cilíndricas, Método dos Volumes Finitos, Método IMPES.
vii
Abstract of Undergraduate Project presented to POLI/UFRJ as a partial fulfillment of
the requirements for the degree of Petroleum Engineer.
Numerical Analysis of Water Coning Phenomenon in Oil Reservoirs
Ronnymaxwell Silva Gomes de Santana
March/2014
Advisor: Paulo Couto, Dr. Eng
Course: Petroleum Engineering
The water coning in oil reservoirs is one of the forms that water is undesirably
produced, resulting in higher water-cuts and expensive oil production. The present work
studies and investigates this phenomenon, using the reservoir simulation to achieve this
objective. A literature review explains the physics behind the water coning, and shows
attempts of solving it. The physical model, a cylindrical oil reservoir and a bottom
aquifer, with only one producer well and no other sources or sinks was design to
analyze the problem. The mathematical model is based on the Diffusivity Hydraulic
Equation for both phases, the basic law that describes the fluid motion in porous media.
The numerical model that resolves those Equations uses the Finite Volume Method and
IMPES approach. From those three models, the resulting equations and matrixes were
implemented on Wolfram Mathematica 8 software, where the simulator was build.
Using the simulation model, a sensitivity analysis was conducted, showing that the
horizontal permeability, oil density/viscosity, pay-zone, oil flow rate and perforation
interval are the most influent parameters on water coning and breakthrough time.
Furthermore, some brazilian operating costs were applied to derive an economic
analysis, showing that higher oil rates yield better results for a simple perforation
pattern, and that dual completion techniques can be applied to low oil rate schemes to
improve the oil revenue.
Keywords: Water Coning, Reservoir Simulation, Two-Phase Flow, Cylindrical
Coordinates, Finite Volume Method, IMPES Method.
viii
Sumário
Lista de Figuras .................................................................................................................................... x
Lista de Tabelas ................................................................................................................................... xii
Nomenclatura .................................................................................................................................... xiii
Símbolos Gregos ................................................................................................................................ xiii
Subscritos .......................................................................................................................................... xiv
Sobrescritos ....................................................................................................................................... xiv
1 Introdução .................................................................................................................................... 1
1.1 Motivação e Objetivos ................................................................................................................ 2
1.2 Estrutura do Trabalho ................................................................................................................. 3
2 O Cone de Água ........................................................................................................................... 4
2.1 O Fenômeno Físico do Cone de Água ........................................................................................ 4
2.2 Revisão Bibliográfica .................................................................................................................. 6 2.2.1 Modelos Analíticos ................................................................................................................. 6
2.2.2 Modelos Numéricos ................................................................................................................ 8
2.2.3 Modelos Experimentais ........................................................................................................ 11
2.3 Soluções Propostas para Controle do Cone de Água ................................................................ 13
2.4 Considerações do Capítulo........................................................................................................ 17
3 Modelagem do Problema ........................................................................................................... 19
3.1 Modelo Físico ........................................................................................................................... 20 3.1.1 Geometria do Sistema ........................................................................................................... 20
3.2 Conceitos Físico-Matemáticos de Rochas e Fluidos ................................................................. 22 3.2.1 Propriedades das Rochas ...................................................................................................... 22
3.2.2 Propriedades dos Fluidos ...................................................................................................... 26
3.3 Modelo Matemático .................................................................................................................. 31 3.3.1 Considerações Iniciais .......................................................................................................... 31
3.3.1.1 Equação de Continuidade ............................................................................................ 32
3.3.1.2 Lei de Darcy .................................................................................................................. 35
3.3.1.3 Equação de Estado ....................................................................................................... 36
3.3.2 Equação da Difusividade Hidráulica .................................................................................... 37
3.4 Modelo Numérico ..................................................................................................................... 40 3.4.1 Método dos Volumes Finitos ................................................................................................ 40
3.4.2 O Método IMPES ................................................................................................................. 50
3.5 Considerações do Capítulo........................................................................................................ 55
ix
4 Estudos de Caso ......................................................................................................................... 56
4.1 Construção do Simulador .......................................................................................................... 56 4.1.1 Dados de Entrada .................................................................................................................. 56
4.1.2 Grid Numérico ...................................................................................................................... 58
4.2 Análise de Sensibilidade ........................................................................................................... 64
4.3 Análise Econômica para a Completação Simples de Poço ....................................................... 69
4.4 Análise Econômica para a Completação Dupla de Poço .......................................................... 73
4.5 Considerações do Capítulo........................................................................................................ 76
5 Conclusões .................................................................................................................................. 78
6 Bibliografia ................................................................................................................................. 80
Apêndice ............................................................................................................................................. 86
x
Lista de Figuras
Figura 1 - Projeções das demandas energéticas até o ano 2040 (Fonte: EIA, International Energy
Outlook [1]) ................................................................................................................................... 1
Figura 2 – O Cone de Água ........................................................................................................... 4
Figura 3 – Forças Atuantes no Contato Óleo Água em: (a) Condições Estáticas, (b) Condições
de Cone Instável, (c) Condições de Cone Estável ......................................................................... 5
Figura 4 – Exemplo do Processo de Discretização Numérica Tridimensional (adaptado de
Ertekin et al [9]) ............................................................................................................................ 9
Figura 5 – Modelo Experimental de Sobocinski e Cornelius (adaptado de Sobocinski, D. P. e
Cornelius A. J. [6]) ...................................................................................................................... 12
Figura 6 – Os Esquemas de Completação (a) Simples, (b) Dupla e (c) Loop de Água .............. 16
Figura 7 – Etapas para a Modelagem do Simulador Numérico .................................................. 19
Figura 8 – Esquema do Reservatório 3D e Visualização do Corte Radial 2D ............................ 20
Figura 9 – Curvas de Permeabilidade Relativa Usadas no Simulador ........................................ 25
Figura 10 – Viscosidades Utilizadas no Simulador ..................................................................... 28
Figura 11 – Fator Volume Formação para Óleo e Água do Modelo ........................................... 28
Figura 12 – Pressões Capilares adotadas no Modelo .................................................................. 30
Figura 13 – Relação entre Altura de Transição e Saturação ....................................................... 31
Figura 14 – Volume de Controle Cilíndrico (Fonte: Ertekin et al [9]) ....................................... 32
Figura 15 – Discretização Usada para o Método dos Volumes Finitos ...................................... 41
Figura 16 – Procedimento IMPES de Cálculo (adaptado de Hartmann H.G [40]) ..................... 51
Figura 17 – Tempo de Simulação para os Grids de Interesse ..................................................... 61
Figura 18 – Medição do Tempo de Breakthrough para o Caso Base .......................................... 65
Figura 19 - Perfis de Saturação ao Redor do Poço e Conificação de Água ................................ 65
Figura 20 - Análise de Sensibilidade para Diversos Parâmetros Testados ................................. 67
Figura 21 - Análise de Sensibilidade para o Intervalo de Canhoneio ......................................... 68
Figura 22 - Análise de Sensibilidade para a Vazão de Óleo ....................................................... 69
Figura 23 - Exemplificação do Cálculo de Alguns Intervalos de Canhoneio ............................. 70
xi
Figura 24 - Análise do Tempo de Breakthrough para Canhoneio Duplo .................................... 74
xii
Lista de Tabelas
Tabela 1 – Propriedades Físicas do Reservatório ........................................................................ 57
Tabela 2 – Dados do Sistema Poço-Reservatório ....................................................................... 58
Tabela 3 – Tempo de Simulação para 3 meses de produção e time-step de 1 dia ....................... 60
Tabela 4 - Discrepância Relativa para os Grids .......................................................................... 62
Tabela 5 - Comparação entre os Grids 15x10 e 20x20 para três meses de produção ................. 63
Tabela 6 - Comparação entre os Grids 15x10 e 20x20 para seis meses de produção ................. 64
Tabela 7 - Premissas Econômicas Adotadas ............................................................................... 71
Tabela 8 - Resultados Econômicos para o Canhoneio Simples .................................................. 71
Tabela 9 - Análise Econômica para Alguns Casos de Canhoneio Duplo .................................... 75
xiii
Nomenclatura A Coeficientes do Sistema Linear de Equações [(Pa.s)
-1]
A Área [m²]
B Coeficientes do Sistema Linear de Equações s-1
B Fator Volume Formação [m³/m³ std]
c Compressibilidade [Pa-1
]
g Gravidade [m/s²]
k Permeabilidade [ m²]
m Massa [kg]
P Pressão [Pa]
q Vazão [m³/d]
r Raio [m]
S Saturação [ ]
s Área da Superfície [m²]
t Tempo [s]
V Volume [m³]
z Altura [m]
Símbolos Gregos Porosidade [ ]
Diferença [ ]
Potencial ao Fluxo [Pa]
Viscosidade [Pa.s]
Azimute [ ]
Massa Específica [kg/m³]
Velocidade [m]
Transmissibilidade [(Pa.s)-1
]
xiv
Subscritos
b
Condição de Bolha do Reservatório
C
Posição Central
c Capilar
f Formação
e Posição Leste
n
Posição Norte
o Óleo
s Posição Sul
w
Água/Posição Oeste
ro
Relativa ao Óleo
rw
Relativa à Água
ref
Valor de referência
std
Nas Condições Padrão
wf
Fundo do Poço
wi
Água Inicial
ext
Externo
r Direção r
z Direção z
Direção θ
Direção β com Normal em α (para α, β = r, z, θ)
Sobrescritos
0 Condição Inicial
1
1 Introdução Segundo dados e previsões de [1], mesmo com a crise econômica de 2008-2009, estima-
se um aumento na demanda energética global em torno de 56% entre os anos de 2010 e
2040. E apesar do crescente uso de recursos renováveis, as projeções indicam que os
combustíveis fósseis se manterão como a principal fonte de energia global, suprindo
80% da demanda energética mundial, encabeçados petróleo e combustíveis líquidos,
como mostra a Figura 1:
Figura 1 - Projeções das demandas energéticas até o ano 2040 (Fonte: EIA,
International Energy Outlook [1])
No Brasil, encontra-se um cenário similar, e mesmo com o crescimento de fontes
alternativas e balanceada matriz energética quando comparado ao resto do mundo, a
maior fatia da demanda por energia ainda é suprida pelo petróleo, com 38,6% [2].
É fácil notar que a crescente necessidade por óleo pressionará a produção, exigindo
técnicas e métodos mais eficientes de explorar as reservas de hidrocarbonetos. No
cenário brasileiro, esta necessidade será impulsionada e traduzida pelas reservas do pré-
sal. De alto custo e elevada dificuldade envolvida, a economicidade é ainda mais crítica,
2
com cada etapa devendo ser minuciosamente estudada a fim de se evitar prejuízos e
desperdícios.
Uma das fontes de custo para a indústria do petróleo é a água, o maior subproduto da
produção de hidrocarbonetos, e com produção estimada em 3 vezes o volume mundial
de óleo produzido, chegando a uma razão de 7 barris de água para 1 barril de óleo no
caso dos Estados Unidos [3], de comprovada existência em diversos campos maduros.
A formação de cones de água em reservatórios de petróleo é uma das formas pela qual a
água é indesejavelmente produzida. Neste tipo de situação, a produção de água ocorre
devido a maior mobilidade ao escoamento que esta possui, quando comparada ao óleo,
o que leva ao deslocamento vertical do fluido presente no aquífero até a região
canhoneada de óleo, onde é produzida. O nome do fenômeno decorre do efeito visual da
subida de água, que lembra um cone.
Apesar da grande quantidade de pesquisa e estudos feitos, não existe uma solução
definitiva para o problema. Produzir a baixas vazões e canhonear o poço somente nas
regiões afastadas da zona de água são as propostas clássicas de se contornar o
fenômeno. Proposições mais recentes sugerem a utilização de múltiplas zonas de
canhoneio em um mesmo poço, como forma de separar a produção dos fluidos in-situ.
Em todos os casos, a mudança na estratégia de produção acarreta alteração dos custos
de preparação do poço, bem como no volume de hidrocarbonetos e água produzidos,
com um trade-off entre produzir mais agressivamente o reservatório (e lidar com maior
quantidade de água) ou fazê-lo de forma mais conservadora, com menor volume de
fluidos total produzido.
1.1 Motivação e Objetivos
O cone de água em reservatórios de petróleo apresenta-se como um problema atual,
complexo, e de alto interesse para uma indústria fortemente ligada à economicidade de
projetos, o que o torna extremamente relevante para se estudar. Ao longo dos anos,
diversos estudos trataram sobre o tema, mas com resultados por muitas vezes
conflitantes sobre a melhor ação a ser tomada diante do problema.
3
Assim, o objetivo do presente trabalho é ampliar os conhecimentos sobre o fenômeno
de cones de água em reservatórios de petróleo. Para tal, foi desenvolvido um simulador
de reservatórios a partir das equações fundamentais de fluxo em meios porosos, no qual
se permitisse a visualização dinâmica do fenômeno. Em seguida, utilizou-se o modelo
de simulação para a análise de sensibilidade da formação do cone de água. Por fim,
testou-se uma série de formas de canhoneio com o objetivo de se encontrar as formas
mais interessantes de se completar um poço, com base em critérios econômicos.
1.2 Estrutura do Trabalho
O trabalho seguiu a seguinte estrutura:
No capítulo 1, foi apresentada uma breve introdução ao problema de cones de água em
reservatórios de petróleo, objetivos e motivação que culminaram neste trabalho.
No capítulo 2, é feita uma descrição do fenômeno do cone de água em reservatórios de
óleo, juntamente com a revisão bibliográfica sobre o tema.
No capítulo 3, é apresentada a metodologia para a construção do simulador: os modelos
físico, matemático e numérico.
No capítulo 4, são apresentados os casos de estudo, resultados obtidos das simulações e
problemas encontrados na implementação do simulador.
No capítulo 5, são expostas as conclusões do trabalho e sugestões de temas futuros de
pesquisa.
4
2 O Cone de Água
2.1 O Fenômeno Físico do Cone de Água
Chama-se de conificação de água o efeito observado em reservatórios de óleo e gás
onde o contato entre a zona de hidrocarboneto e do aquífero do fundo eleva-se em
direção à região canhoneada, com parte da água bloqueando a produção de óleo/gás e
sendo produzida em seu lugar. A Figura 2 exibe esse comportamento: à esquerda, a
posição inicial do contato óleo-água; à direita, a sua representação após algum tempo de
produção, tomando uma forma de cônica.
Figura 2 – O Cone de Água
Um sistema físico como o da Figura 2 está sujeito à ação de três forças, principalmente:
gravitacionais, viscosas e capilares [4].
Em condições estáticas, a organização dos fluidos no reservatório ocorre de acordo com
as suas densidades, com a água posicionando-se abaixo do óleo [5]. Comumente, entre a
interface das fases, existe uma região de transição, de acordo com as propriedades das
rochas e fluidos, que é mantida em equilíbrio por conta das forças capilares e forças
gravitacionais, conforme a Figura 3.
5
A colocação da zona de óleo à produção induz um diferencial de pressão junto ao poço,
resultando no surgimento de forças viscosas (dinâmicas) no reservatório. Em certas
ocasiões, esta queda de pressão pode atingir a região do contato óleo-água,
desequilibrando-a, e com conseguinte elevação da água [4], [5], [6]. Como a propagação
dessa queda de pressão ocorre circunferencialmente, a intensidade das forças dinâmicas
resultantes é maior nas proximidades do poço [7], resultando assim, em maior subida da
água nesta região quando comparada às fronteiras externas do reservatório,
caracterizando a formação de um contato óleo-água na forma cônica.
Figura 3 – Forças Atuantes no Contato Óleo Água em: (a) Condições Estáticas, (b)
Condições de Cone Instável, (c) Condições de Cone Estável
Uma vez formado o cone, a subida de água ocorre até que as forças gravitacionais
equilibrem as forças viscosas. Se o equilíbrio for atingido antes que a água seja
produzida, então uma condição de cone estável será atingida. Este tipo de situação
depende do valor da vazão de produção, e só ocorre no regime estacionário, em que as
condições de produção e fronteira são mantidas constantes ao longo do tempo. O limite
6
para a ocorrência da estabilidade é conhecido como vazão crítica de produção de óleo,
acima do qual o sistema é instável [4], [5].
No entanto, a condição descrita no parágrafo anterior é dificilmente observada, por
requerer que as pressões e vazões de produção mantenham-se estabilizadas por um
longo tempo, nem sempre possível já que as condições de fluxo de fundo de poço
podem oscilar por efeitos fora do controle humano [4], [6]. Adicionalmente, para um
reservatório em que não haja manutenção de suas condições de borda (fronteira selada),
a depleção oriunda da produção acarreta em redução do valor da vazão crítica do
sistema, podendo um cone de água estável reverter para um esquema instável, o que é
chamado de cone de água “pseudo-estável” [4], [6].
Assim, a situação que mais ocorre na prática é a de cone instável, na qual o gradiente
viscoso mantem-se predominante e com a água paulatinamente subindo, até atingir a
região canhoneada na zona e óleo e ser produzida, situação conhecida na indústria como
breakthrough1 de água.
2.2 Revisão Bibliográfica
2.2.1 Modelos Analíticos
Diversos trabalhos se propuseram a estudar a conificação de água utilizando a
abordagem analítica, sendo alguns destacados a seguir. Soluções deste tipo envolvem
algum grau de simplificação, dada a complexidade do fenômeno e das equações que o
regem, o que pode limitar a aplicabilidade da resposta obtida [9]. No entanto, os
resultados podem ser utilizados de forma rápida, por meio de fórmulas e gráficos de
correlações, consumindo menos recursos do que simulações numéricas, e permitindo
uma quantificação dos efeitos do aquífero na estratégia de produção desejada.
1 "Tempo de Breakthrough" pode ser traduzido como "Tempo de Erupção" na literatura
portuguesa. Entretanto, será utilizada a forma estrangeira ao longo do texto.
7
Muskat e Wyckoff [5] foram os primeiros a estudar o cone de água, usando para tal a
formulação analítica. Como descrito pelos autores, a complicada teoria envolvida no
fenômeno torna a solução exata impraticável. Assim, eles conduzem sua análise
considerando a distribuição dos fluidos sem a ocorrência de breakthrough, resolvendo a
equação de equilíbrio na interface óleo-água nesta condição. Altura máxima atingida
pelo cone de água, existência de anisotropia simbolizada por camadas de folhelho,
vazões críticas e canhoneio parcial da zona de óleo são alguns dos pontos levantados e
discutidos, servindo de base para diversos estudos subsequentes.
Meyer e Garder [8] trataram o problema para os cones de água e gás, sob a hipótese de
que apenas uma das fases está escoando, com as outras consideradas estáticas, obtendo
assim, fórmulas para a vazão crítica dos sistemas óleo-água, gás-óleo, gás-água e gás-
óleo-água. Eles ainda sugerem a implementação de uma barreira impermeável de
cimento no fundo do poço, como forma de controle do cone de água, que funcionariam
similarmente às formações selantes de folhelhos destacadas por Muskat [5].
Dada a escassa quantidade de correlações analíticas após o breakthrough de água,
Bournazel e Jeanson [10], propuseram um método de avaliação da razão água-óleo
antes e após o breakthrough, combinando abordagens analíticas simplificadas, baseadas
no estudo de Sobocinski e Cornelius [6], e correlações experimentais com grupos
adimensionais e relações de similaridade. A aplicação do modelo obtido mostrou que a
densidade do óleo, vazão de produção e a razão de permeabilidades possuem alta
influência na conificação, e que o tamanho do aquífero, raio do poço e raio externo
pouco influenciam no fenômeno. Estudos mais recentes, como o de Ilke e Debasmita
[11] também tentam desenvolver correlações pós-breakthrough, de forma semi-analítica
(usam fórmulas iterativamente), como alternativa aos métodos numéricos.
Guo e Lee [12] destacaram a importância de se considerar os efeitos de canhoneio
limitado no poço, através de um modelo radial/esférico combinado, onde o gradiente
junto ao canhoneio desde o topo é radial, tornando-se esférico na extremidade
canhoneada mais próxima da água. Essa abordagem permitiu aos autores encontrar o
intervalo ótmo de canhoneio para uma maior vazão crítica como sendo um terço da zona
produtora, diferentemente das correlações anteriores, que previam as maiores vazões
8
críticas para intervalos canhoneados próximo de zero. Em trabalho posterior,
considerando formações de alta condutividade e anisotropia, a posição ótima encontrada
usando a metodologia de gradiente combinado foi metade do pay-zone [13], em
resultado muito próximo do modelo numérico radial de Abass e Bass [14].
2.2.2 Modelos Numéricos
Com a crescente evolução e aumento da capacidade de processamento dos
computadores nos últimos anos, custos decrescentes, possibilidade de descrição de
sistemas mais fidedignos à realidade do que as abordagens analíticas e avanço nas
técnicas de resolução numérica de equações diferenciais parciais, a simulação numérica
de reservatórios vem ganhando cada vez mais espaço como ferramenta de avaliação e
predição do comportamento de reservatórios [9], [15].
Assim, os modelos numéricos são aqueles que se utilizam das simulações
computacionais para extrair resultados e conclusões a cerca do problema estudado ou
estratégia analisada. A simulação computacional, por sua vez, se vale dos métodos
numéricos de resolução de equações, provendo soluções aproximadas para uma série de
problemas [9], [15].
Um simulador descreve o reservatório a ser estudado através de um número finito de
blocos em finitas posições no tempo. Cada bloco carrega, em uma determinada posição
e instante, as diversas propriedades do reservatório de forma constante. No contato entre
eles, uma série de equações são acopladas e resolvidas, determinando o fluxo de entrada
e saída de fluidos em cada bloco. A cada time-step (intervalo de tempo), as propriedades
são reavaliadas, determinando assim, a distribuição de pressões e saturações do
reservatório para alguns pontos do espaço e do tempo [16].
9
Figura 4 – Exemplo do Processo de Discretização Numérica Tridimensional
(adaptado de Ertekin et al [9])
Entretanto, os problemas de conificação possuem uma maior dificuldade de serem
modelados nos tradicionais simuladores numéricos. Isto decorre das elevadas
velocidades dos fluidos convergindo junto ao poço, o que pode gerar problemas de
convergência devido às pequenas dimensões dos blocos necessários para se modelar a
fronteira do poço (em sistemas radiais r-z). Assim, requer-se cuidado adicional ao se
utilizar os tradicionais métodos do tipo IMPES (Implicit Pressure Explicit Saturation),
limitando-se severamente os time-steps utilizados, ou mesmo escolhendo outros
métodos e procedimentos de resolução numérica [15], [17]. Mesmo assim, diversos
trabalhos utilizaram os métodos numéricos para investigação do fenômeno.
Sobocinski e Cornelius [6] estudaram o comportamento do contato óleo-água e
crescimento do cone com a produção. Combinando dados experimentais e resultados
computacionais de um modelo bidimensional, eles obtiveram uma correlação que
descreve a altura atingida pelo contato após um determinado tempo, podendo ser usada
para previsão do tempo de breakthrough, e visualização do perfil do cone. Mesmo com
o uso de grupamentos adimensionais, os resultados são melhores apenas em uma faixa
10
intermediária de valores, em decorrência da pequena variação nos parâmetros
possibilitada nos modelos.
Miller e Rogers [18] analisaram os efeitos de curto e longo prazo do cone de água na
performance dos poços de óleo. Utilizando um modelo de simulação totalmente
implícito, eles verificaram que um poço pode ser testado para altas vazões de óleo e em
seguida ser fechado ou ter sua vazão reduzida, levando assim a uma redução da razão
água-óleo aos valores antes do teste de poço. A análise de longo prazo concluiu que a
resposta do poço é mais afetada pela espessura da camada de óleo do reservatório. De
sua análise econômica, concluíram ainda que altas vazões de óleo, mesmo com a maior
produção de água, seria economicamente vantajoso.
Bryne Jr. E Morse [19] também defenderam a utilização de maiores vazões para a
produção de sistemas influenciados por conificação. Utilizando a eliminação gaussiana
para resolução da pressão e saturação do óleo, e limitando o time-step por um valor
arbitrário máximo de variação de saturação, os autores encontraram que o aumento da
razão água-óleo era decorrente dos maiores intervalos de canhoneio e de maiores
drawdowns (diferencial de pressão) junto ao poço, além de ser influenciada pela razão
de permeabilidades horizontal e vertical. Os autores não encontraram evidências de que
a recuperação final de óleo fosse afetada pelas maiores vazões de produção e atuação do
cone de água.
Aziz e Flores [20] observaram que a viscosidade do óleo é um importante parâmetro na
manutenção de baixas razões água-óleo. Suas simulações numéricas mostraram que um
reservatório acima da pressão de bolha (cuja viscosidade é mínima e constante)
apresenta melhor performance do que um sistema com liberação de gás (com crescente
viscosidade do óleo), que acarreta maiores razões água-óleo precocemente. Os autores
compararam seu modelo com as correlações de Sobocinski e Cornelius [6] e de
Bournazel e Jeanson [10], concluindo que ambas não eram acuradas.
Chappelear e Hirasaki [21] desenvolveram um modelo analítico de conificação,
assumindo equilíbrio vertical dos fluidos e fluxo segregado em toda a extensão do
reservatório, exceto junto ao poço. Os autores chegaram a uma correlação envolvendo a
11
razão água-óleo, vazão total de produção e a espessura média na zona de óleo, a qual
fora implementada e comparada com um simulador semi-implícito black-oil. Os
modelos apresentaram boa concordância entre si, além de indicaram maior influência da
permeabilidade horizontal no tempo de breakthrough, e pouca da permeabilidade
vertical.
2.2.3 Modelos Experimentais
Modelos experimentais tentam replicar, nas condições de laboratório, os fenômenos que
ocorrem no reservatório, dividindo-se entre os modelos análogos e físicos. Apesar de
estarem cada vez mais perdendo espaço para os modelos numéricos, o estudo
experimental sob a forma de modelos físicos ainda é executado [9].
Raros nos dias atuais, os modelos análogos buscavam simular as condições de
reservatório através de comparação e inferência com outros fenômenos físicos regidos
por leis similares a da mecânica dos fluidos, como a condução elétrica e de calor [9].
Estudos como o de Chierici et al. [22] utilizaram modelos deste tipo, determinando
correlações como a de vazões críticas para a conificação de água
Os modelos experimentais físicos fundamentam-se nas medições diretas do escoamento
dos fluidos. Devido às limitações de espaço, as dimensões físicas do aparato
experimental não são iguais as do meio real. Assim, para que os resultados obtidos em
laboratório sejam aplicáveis à realidade, o experimento deve ser conduzido de modo
que haja semelhança geométrica (proporcionalidade entre dimensões) e dinâmica
(proporcionalidade entre forças) entre o aparato e o modelo. Para o cone de água, as
razões entre raios externo e do poço, altura do aquífero e da zona de óleo, forças de
inércia e viscosas, representam algumas das condições a serem igualadas [6], [9],[23].
O aparato utilizado por Sobocinski e Cornelius [6] encontra-se esquematizado na Figura
5. Construído com material transparente, e preenchido com areia, o modelo permite a
visualização dinâmica da formação do cone de água. A produção é simulada pela
abertura de válvulas ligadas a uma bomba, permitindo que diversos esquemas de
12
canhoneio sejam testados, e as condições de fronteira são representadas pela injeção de
fluidos na extremidade externa do modelo.
Figura 5 – Modelo Experimental de Sobocinski e Cornelius (adaptado de
Sobocinski, D. P. e Cornelius A. J. [6])
Khan [23] utilizou um modelo similar para seu experimento de reservatórios
homogêneos, mas colocando a zona de óleo abaixo da zona de aquífero, como forma de
modelar melhor a capilaridade entre os fluidos, e permitir a modelagem da saturação
residual de óleo na porção de água, usando grãos de diferentes consolidações para as
fases. Os resultados encontrados por Khan mostram que a razão de mobilidade possui
grande influência na produção de água, com razões maiores produzindo cones mais
acentuados junto ao poço e razões menores que 1, cones mais achatados e espalhados
radialmente.
13
2.3 Soluções Propostas para Controle do Cone de Água
Com os resultados obtidos pelos diversos estudos sobre o tema, uma gama de
informações pode ser obtida sobre o processo de conificação de água em reservatórios
de petróleo. Hoje, sabe-se que variáveis como a permeabilidade horizontal, espessura da
zona produtora, viscosidade do óleo, vazão de produção e razão de mobilidade possuem
um papel determinante na evolução do cone e subsequente produção de água. Contudo,
os maiores esforços aplicados foram para se encontrar soluções que pudessem mitigar
ou mesmo resolver definitivamente este indesejado fenômeno, nem sempre atingindo os
resultados desejados, no entanto.
A vazão crítica é, dentre as soluções pesquisadas, a que mais atraiu a atenção dos
pesquisadores, resultando em diversos estudos e correlações, como os de Muskat e
Wyckoff [5], Meyer e Garder [8], Chierici et al. [22], Sobocinski e Cornelius [6],
Wheatley [24], Chaperon [25], Abass e Bass [14], Hoyland et al. [26], Guo e Lee [12],
Tabatabaei et al. [13]. Conforme descrito anteriormente, se um sistema produz com
vazão acima do valor crítico (vazão supercrítica), então haverá em algum momento a
produção de água decorrente da conificação., enquanto que para valores iguais ou
abaixo do crítico a produção ocorre livre de água. As diversas correlações tem por
objetivo fornecer uma rápida estimativa para engenheiros, norteando assim a vazão
ideal para desenvolvimento dos reservatórios.
Infelizmente, este tipo de abordagem possui algumas limitações e inconvenientes. De
fato, muitas correlações para a vazão crítica apresentam concordância com valores
obtidos em campo, mas existem consideráveis diferenças entre os valores previstos,
como exposto por Guo e Lee [12] e calculado por Joshi em [27], possivelmente
decorrente das hipóteses adotadas para a formulação [27]. Assim, deve se tomar cuidado
ao aplicar uma das fórmulas, especialmente se as condições do reservatório não forem
muito próximas ao do modelo escolhido. Além disso, questões econômicas podem
motivar que a produção se dê acima do valor crítico, usualmente baixo [27]. A produção
no valor crítico, portanto, dependeria muito mais da vontade de se produzir óleo
completamente livre de água do que uma otimização econômica da produção.
14
Além da limitação da vazão de produção, diversos outros métodos de mitigação foram
propostos. Guo e Lee [12] propuseram o uso de um canhoneio de poço limitado e longe
do contato óleo água, o que evita a produção de água mas não necessariamente
maximiza o lucro. Chaperon [25] sugeriu a utilização de poços horizontais, mostrando
que o mesmo permitia maiores vazões críticas em relação aos verticais, mas a elevação
de água (water cresting) aproximava-se mais dos canhoneados do que nos poços
tradicionais, o que poderia ser ainda mais problemático em casos de breakthrough e
controle da água produzida. Apesar disso, o estudo de campo de Moawad et al. [28]
mostrou sucesso com a perfuração de poços horizontais para substituição de poços
verticais em campos maduros, reduzindo o volume de água e aumentando a produção de
óleo.
Injeção de gases (CO2, N2, CH4) como forma de controle do cone de água também foi
proposta. Rajan e Luhning [29] utilizaram um aparato experimental e simulações
numéricas para analisar este fenômeno, encontrando que a injeção pode auxiliar a
mobilização de óleos pesados pela redução de sua viscosidade, inversão de
molhabilidade da rocha e redução da permeabilidade relativa à água, com menores
volumes desta produzida. Para óleos com gás dissolvido, os compostos injetados
tendem a escoar longe do contato óleo-água, reduzindo a eficiência do método.
Pirson e Mehta [30] utilizaram um simulador bifásico para estudar a viabilidade de
alguns métodos de produção com controle da água. O primeiro deles era a injeção de
óleo, que suprimia efetivamente a razão água-óleo por um fator de 4, mas apresentava
desvantagens econômicas por requerer que muito óleo fosse bombeado para o
reservatório. Tal desvantagem, contudo, poderia ser revertida se o óleo a ser injetado
fosse do próprio reservatório, através do uso de bombeio dentro do próprio poço.
Ainda, Pirson e Mehta analisaram a viabilidade das barreiras impermeáveis junto ao
poço, ideia sugerida por Muskat e Wyckoff [5] e Meyer e Garder [8], e estudada por
Karp et al. [31] . Em teoria, uma barreira colocada na região abaixo dos canhoneados
composta por cimento ou outro produto injetado no poço impediria o avanço da água,
funcionando similarmente às lentes de folhelhos em reservatórios, em efeito discutido
15
por Muskat. Porém, os resultados obtidos por Pirson e Mehta indicaram que esse tipo de
barreira não resolve o problema, apenas atrasando o breakthrough por algum tempo.
Por fim, os autores discutiram a utilização de uma coluna de produção completada
duplamente, a fim de segregar a produção de óleo e água. Seus resultados indicaram que
o óleo resultante desta abordagem seria mais puro, o que cortava os custos de separação
de superfície, mas o volume de água produzido era equiparável os esquemas de
produção convencionais.
Mesmo assim, estudos mais recentes mostraram que o canhnoneio múltiplo de poço
pode ser usado para se controlar o cone de água, através de técnicas conhecidas como
dowhole water sink (DWS) e downhole water loop (DWL).
O DWS fundamenta-se em equilibrar a queda de pressão que decorre da produção de
óleo. Para tal, o poço é completado em duas seções separadas (uma na altura da zona de
óleo, outra diretamente no aquífero) por um packer de produção, com óleo fluindo pela
seção superior (Figura 6, item b). A vazão de água é tal que equilibra a queda de pressão
decorrente da produção de óleo. Como resultado, o contato óleo-água mantem-se
estabilizado, sem a formação do cone de água [32], [33], [34], [35]. A viabilidade da
técnica foi mostrada por Swisher e Wojtanowicz [33] em seu estudo de campo, onde o
poço testado apresentou os excelentes resultados econômicos e produtivos.
16
Figura 6 – Os Esquemas de Completação (a) Simples, (b) Dupla e (c) Loop de Água
Ould-amer et al. [36] também investigaram a técnica de DWS, usando um simulador
numérico totalmente implícito para resolução das equações de pressão e saturação. As
simulações mostraram que o cone de água formado é menos acentuado e eleva-se longe
do poço, o que evita o breakthrough de água na zona de óleo.
Apesar de controlar a subida do contato óleo-água, a técnica de DWS exige que um
volume muito grande de água seja bombeado até a superfície, o que encarece o método.
Assim, visando contornar este inconveniente, as técnicas de downhole water loop
(DWL) foram criadas (Figura 6, item c).
O funcionamento do DWL é parecido com o do DWS, só que a água produzida é
reinjetada na porção inferior do aquífero através de uma bomba submersível, instalada
no fundo do poço. Assim, a produção de óleo ocorre concomitantemente a um loop de
17
produção/injeção de água, sem que a mesma seja elevada até a superfície, controlando a
conificação e a interferência da pressão nas proximidades do poço [34],[37].
Jin et al. [34] estruturaram um modelo analítico usando baseando-se no equilíbrio de
forças e balanço de energia ao longo do eixo vertical do poço. Com isso, eles
conseguiram encontrar as fórmulas para vazão crítica de óleo e de água do sistema, para
que a produção dos fluidos ocorra segregada. O espaçamento entre os pontos de
produção e injeção de água também foi avaliado, onde os autores concluíram que esta
razão é fundamental no aumento da vazão crítica admissível no sistema, em relação aos
poços convencionais, mesmo para aquíferos menos espessos, onde o espaçamento
permitido é menor.
Em trabalhos posteriores, Jin e Wojtanowicz [37] reconfirmaram os resultados acima,
através de uma análise nodal. No entanto, foi observado que as vazões de produção para
poços com DWL eram menores do que os com DWS, o que requereria, portanto, uma
análise econômica entre as duas abordagens. Tal comparação fora feita pelos autores em
[38], exibindo que tanto poços com DWS, quanto aqueles com DWL eram
economicamente mais vantajosos do que os poços tradicionais. Os resultados
econômicos dos dois métodos foram muito similares, com o DWL apresentando valores
presentes líquidos sutilmente maiores, por evitar a produção exagerada de água. Assim,
campos com alto custo para tratamento da água, e com mobilidades desfavoráveis para
o óleo seriam fortes candidatos ao uso do DWL ao invés do DWS.
2.4 Considerações do Capítulo
Este capítulo discorreu sobre o fenômeno do cone de água. Os princípios físicos que
envolvem a deformação do contato entre fluidos no reservatório e subsequente produção
de água foram discutidos.
Foi feita uma revisão bibliográfica sobre o tema, com a discussão de alguns dos
diversos trabalhos realizados. Foram apontados os estudos analíticos, experimentais e
numéricos, suas vantagens e desvantagens, e as diversas abordagens aplicadas.
18
Algumas das soluções apontadas pelos autores – canhoneio limitado, vazão crítica de
produção, injeção de gás, injeção de cimento e formação de barreira, injeção de óleo,
uso de poços horizontais, canhoneio múltiplo do poço – foram discutidas, suas
particularidades, problemas e sucessos obtidos, evidenciando a dificuldade em se
encontrar soluções para o fenômeno.
19
3 Modelagem do Problema Este capítulo tem por objetivo explicitar e tratar o fenômeno de cones de água em três
níveis – físico, matemático e numérico – conforme a Figura 7, partindo-se das
características descritas na revisão bibliográfica e atingindo-se o modelo final para
implementação do simulador. Cada etapa conta com uma descrição detalhada dos
passos seguidos e hipóteses adotadas, de modo a não fugir da realidade do problema e a
permitir sua resolução.
Figura 7 – Etapas para a Modelagem do Simulador Numérico
20
3.1 Modelo Físico
3.1.1 Geometria do Sistema
O primeiro passo para se modelar o problema é a definição da geometria a ser estudada,
bem como as condições inicial e de contorno adotadas, de modo que sejam coerentes
com o fenômeno em questão.
Neste estudo, optou-se pela geometria cilíndrica, bidimensional no raio (800 metros de
extensão) e na altura (50 metros de zona de óleo e 100 metros de aquífero). Esta escolha
se dá pelo fato de representarem as principais direções de escoamento em um
reservatório com aquífero de fundo, com o óleo escoando majoritariamente pela direção
radial e a subida da água pela direção vertical. Todo o fenômeno é admitido como sendo
isotérmico.
A grande vantagem deste modelo é permitir a simplificação no posterior tratamento
matemático-numérico sem, no entanto, fugir da realidade do problema. O escoamento
na direção circunferencial foi descartado, pois, conforme visto adiante, as propriedades
serão tratadas como homogêneas. Assim, pode-se pensar na visualização bidimensional
como um corte vertical do comportamento dos fluidos no reservatório, como mostra a
Figura 8:
Figura 8 – Esquema do Reservatório 3D e Visualização do Corte Radial 2D
21
Com a geometria em mente, podemos escrever as condições do tempo e espaço. Para o
tempo (condição inicial), é imediato que a pressão em todos os pontos seja igual à
pressão inicial ou estática do reservatório (igual a 2 x107
Pascais).
0)0,,( PtzrP (1)
Para o espaço, tem-se as condições de contorno interna e externa. A primeira descreve o
poço, como e onde o fluido é produzido, refletindo o caso de completação de interesse.
Porções canhoneadas possuem vazões de produção na zona de óleo (completação
simples) ou em ambas porções óleo e água (completação dupla). Na existência de
reinjeção de água junto à fronteira do poço, existe uma terceira região aberta, que visa à
manutenção da pressão do reservatório (loop de água).
Matematicamente, os pontos de canhoneio são descritos por condições de vazão não
nula ou pressão prescrita. Fora destes, a transmissibilidade de fluidos e vazões são
assumidas como zero.
zerotzrrq
sCanhoneadoNãoPontos
zeror
Ptzrrq
sCanhoneadoPontos
wf
rwfr
wf
),,(
),,(
(2)
As condições externas indicam o comportamento das fronteiras ao longo da depleção do
reservatório. Quando ocorre influxo capaz de manter a pressão externa estabilizada
(para uma vazão de produção constante), o regime é dito permanente. Caso a fronteira
seja selada, a pressão externa decai, caracterizando um regime pseudo-permanente [39],
sendo este último caso será adotado como base para desenvolvimento do simulador:
22
zeror
tzrPtzrrq
anentePseudoperm
PtzrrP
Permanente
rextr
ext
extext
),,(),,(
),,(
(3)
Definidas as condições inicial e de contorno, o próximo passo é desenvolver a Equação
da Difusividade Hidráulica, que rege o escoamento em meios porosos. Antes disso, no
entanto, serão definidas importantes propriedades e parâmetros presentes nesta equação.
3.2 Conceitos Físico-Matemáticos de Rochas e Fluidos
O conhecimento das propriedades das rochas, bem como os fluidos ali presentes, é de
vital importância para a predição do comportamento do reservatório quando submetido
à produção.
Neste trabalho, serão consideradas as chamadas rochas reservatório, que apresentam a
capacidade de armazenamento e transporte de fluidos necessários às atividades de
exploração petrolífera. Quanto aos fluidos, o sistema contará com a presença de óleo e
água apenas, descartando-se a existência tanto da capa de gás, quanto do gás em solução
no óleo, por questões numéricas (mais sobre isso será tratado adiante).
A seguir, serão apresentadas brevemente as propriedades relevantes do sistema para o
posterior equacionamento matemático-numérico. Para maiores detalhes e informações
não cobertas neste texto, sugere-se ao leitor a consulta a Ahmed[4], Rosa et al [39], a
Hartmann [40].
3.2.1 Propriedades das Rochas
As rochas são os elementos fundamentais para a existência de uma acumulação
petrolífera, desde a geração dos hidrocarbonetos até seu armazenamento e selamento em
uma trapa ou armadilha geológica [41]. O estudo delas, notadamente as rochas
23
reservatório, permite a correta quantificação das propriedades em subsuperfície, bem
como predição do volume da reserva e seu comportamento em produção [4].
Estas propriedades são avaliadas através dos chamados testemunhos, cilindros rochosos
coletados diretamente do reservatório e levados para laboratório a fim de se analisar as
diversas propriedades do campo, como porosidade, permeabilidade, saturação de
fluidos, ou ainda aquelas mais complexas, como pressões capilares e de sobrecarga,
curvas de permeabilidade de relativa de fluidos, molhabilidade da rocha e tensões
superficiais [4].
Duas das mais importantes propriedades correspondem à porosidade e à
permeabilidade. A primeira indica a fração do volume de vazios ou poros existente na
rocha, em relação ao seu volume total, podendo se contabilizar todos os poros existentes
(porosidade total) ou apenas aqueles que estão interconectados e são capazes de escoar
fluidos (porosidade efetiva). É, portanto, uma medida da capacidade total de
armazenamento de fluidos. De forma geral:
rocha
poros
V
V (4)
A porosidade efetiva é de maior interesse para a Engenharia de Reservatórios, por ser
mais representativa da máxima quantidade de fluido possível de ser produzida do que
pela porosidade total. No caso em estudo, será adotada uma porosidade efetiva de 20%,
homogênea ao longo do aquífero e da zona de óleo.
A segunda propriedade, permeabilidade, expressa a facilidade ao escoamento de fluidos
oferecida pela rocha, os caminhos que conectam os poros, permitindo a produção dos
fluidos ali contidos. Seu valor absoluto é expresso na forma tensorial, avaliado ponto-a-
ponto e com respeito a cada par normal-direção. Em coordenadas cilíndricas:
24
),,(),,(),,(
),,(),,(),,(
),,(),,(),,(
zrkzrkzrk
zrkzrkzrk
zrkzrkzrk
zzzzr
zr
rzrrrr
(5)
Será considerado para o caso base um valor de permeabilidade horizontal (radial) igual
a 152 milidarcys, e ainda, que a permeabilidade vertical valha um décimo desse valor,
15,2 milidarcy. Estes valores também serão homogêneos para todo o reservatório e
aquífero.
Os valores absolutos de permeabilidade são representativos da realidade do escoamento
quando apenas um único fluido encontra-se no meio poroso. Na existência de mais de
uma fase, deve-se corrigir o valor absoluto através das curvas de permeabilidade
relativa. De acordo com [42], formulações de Lei de Potência podem ser usadas para
este cálculo analítico, dentre as quais será utilizada neste trabalho a seguinte formulação
para o óleo:
3
11)(
wi
wiwwro
S
SSSk (6)
E para a permeabilidade relativa à água:
3
1)(
wi
wiwwrw
S
SSSk (7)
Assim, o valor efetivo de permeabilidade para uma fase corresponde à multiplicação do
tensor permeabilidade absoluta (5) pelo escalar correspondente valor relativo, (6) para o
óleo e (7) para a água.
Associada a estas duas propriedades, tem-se ainda o conceito de saturação de fluidos,
que indica o percentual volumétrico que uma determinada fase α ocupa, com respeito ao
volume poroso.
25
porosV
VS (8)
As saturações utilizadas no simulador variam de 20% em água, na região de óleo, até
atingir 100%, no aquífero. Assume-se a rocha como sendo molhável à água, o que
justifica a existência de uma pequena quantidade da mesma na zona de óleo. Ainda,
entre estas duas porções existe uma zona de transição, com crescentes percentuais de
saturação de água até atingir a base do aquífero, sendo calculadas a partir da pressão
capilar dos fluidos.
Os conceitos de saturação e permeabilidade relativa reforçam a compreensão dos
fenômenos que concernem ao cone de água e sua evolução. Como exibido pela Figura
9, saturações maiores de água favorecem o deslocamento da mesma, pelo aumento de
sua permeabilidade relativa. Com a exploração do óleo, a tendência é que as saturações
de água junto ao poço aumentem, situação ainda mais problemática para o caso de um
sistema com cone de água atuante, facilitando a produção deste indesejável fluido.
Figura 9 – Curvas de Permeabilidade Relativa Usadas no Simulador
26
3.2.2 Propriedades dos Fluidos
Juntamente com as rochas, os fluidos compõem o sistema de interesse para a
Engenharia de Reservatórios. Suas propriedades também podem ser avaliadas em
estudos de laboratório, através da coleta de amostra diretamente do campo, ou pela
utilização de correlações consagradas na literatura [4]. Como não houve qualquer tipo
de análise em laboratório neste trabalho, recorreu-se às correlações existentes.
A viscosidade do óleo, importante propriedade para a determinação da velocidade de
fluxo (conforme a Lei de Darcy, Seção 3.3.1.2), será considerada de acordo com a
correlação de Standing [43] , contabilizando a sua pequena variação ao longo da queda
de pressão do sistema, mas cancelando-se os termos de variação de temperatura, já que
o reservatório é considerado isotérmico durante a produção:
356,06,110)).038,0024,0(000145,0)(001,0( omombomo PP (9)
Onde om corresponde à viscosidade do óleo morto, assumido com Grau API de 30,2:
)33,8
43,0(
103
53,4
7
200][º
36010.8,132,0
API
FTAPIom
(10)
Para a água, no entanto, a sua viscosidade será assumida como constante, igual a 1
centipoise, para as condições de reservatório (ver Figura 10).
Vale destacar que estas condições de reservatório são bastante diferentes daquelas
encontradas em superfície, de modo que uma mesma massa de óleo ou de água possui
volumes distintos nestas duas condições. Para que os cálculos matemáticos sejam
coerentes, é necessário introduzir um fator que correlacione os volumes apresentados
pelos fluidos nestas duas condições, o fator volume formação. Para o óleo, a definição
geral deve levar em conta a existência de gás:
) ( ,
,
TanquepadrãoTPcondiçõesóleo
ioreservatórdeTPcondiçõesóleonodissolvidogásóleo
oV
VVB
(11)
27
,
,
padrãoTPcondiçõeságua
ioreservatórdeTPcondiçõeságua
wV
VB (12)
Lembrando que neste trabalho não foi considerada a existência de gás em solução e
capa de gás, com o limite inferior da pressão de fundo de poço igual à pressão de bolha
do sistema, 8 x106 pascal.
Logo, como a produção ocorre sempre acima da pressão de bolha, o fator volume
formação é depende principalmente da compressibilidade dos fluidos, resultando no
seguinte modelo, conforme [39]:
PPcBBPB oooo 000)( (13)
PPcBBPB wwww 000)( (14)
Onde c diz respeito à compressibilidade do fluido α, igual a 1,5x10-9
e 4,0x10-10
para
óleo e água (mais sobre a compressibilidade e massa específica será discutido na
formulação matemática, Seção 3.3.1.3), e 0
B o fator volume formação da fase α na
condição inicial ou estática do reservatório. A Figura 11 exibe o comportamento das
expressões (13) e (14).
28
Figura 10 – Viscosidades Utilizadas no Simulador
Figura 11 – Fator Volume Formação para Óleo e Água do Modelo
Por fim, resta analisar o modelo para descrição da interação entre os fluidos.
Quimicamente, serão desconsideradas quaisquer reações entre os fluidos (fases
imiscíveis) ou dos mesmos com as rochas do sistema. No entanto, fisicamente, serão
consideradas as forças de capilaridade e pressão capilar (além dá já mencionada
viscosidade).
29
Discutidas brevemente na revisão bibliográfica, estas forças são usualmente descartadas
pelos autores na análise do cone de água. No entanto, o estudo de Ling e Shen [44]
mostra que o desconhecimento ou desconsideração da capilaridade pode levar a erros
expressivos na predição de reservatórios, atingindo impressivos 300% em discrepância
nas vazões críticas de óleo calculadas e medidas em campo, por exemplo. Deste modo,
incluir-se-ão os efeitos capilares nesta modelagem.
A pressão capilar surge no contato entre fluidos imiscíveis, decorrente das tensões
interfaciais atuantes, de modo que a fase que não molha preferencialmente à rocha
possui maior pressão do que aquela que está em contato direto [4], [39].
Matematicamente:
molhantemolhantenãoc PPP (15)
Para a maioria dos reservatórios de petróleo, a rocha é molhável à água, esta adsorvida à
rocha, e o óleo como fase não molhante [39], de modo que o modelo aqui apresentado
se utilizará desta hipótese. Assim, como a fase molhante usualmente aloca-se nos poros
menores e menos abertos à produção [4], nem toda a água é possível de ser produzida, e
adota-se um valor de 15% para a saturação de água irredutível. Neste caso, os Modelos
de Lei de Potência também podem descrever a pressão capilar óleo-água, sendo
utilizado neste trabalho:
000 100
1
1,03,1
,
,
conataw
conataww
wcow
S
SSSP
(16)
Ainda, como mencionado na seção anterior, a capilaridade de fluidos permite o cálculo
da altura de transição entre o aquífero e o pay-zone. O sistema capilar de uma rocha
reservatório pode ser visto como diversos tubos conectados, cada um com um diferente
diâmetro e, consequentemente, com diferentes elevações da água, o que acarreta uma
transição óleo-água não abrupta, gerando a região de transição de saturações [4], [39].
Seu cálculo pode ser feito pela pressão capilar, para um determinado valor de saturação:
30
ow
wcw
g
SPSh
(17)
Entretanto, como visto nas duas Figuras a seguir, a capilaridade apresenta um
comportamento assintótico perto dos valores de saturação conata, de modo que o
crescimento no valor previsto pela Lei de Potência deixa de representar e aproximar o
comportamento real em reservatório. Isto fica evidente ao se avaliar a Equação (17) para
a saturação inicial de água na porção de óleo (20%), encontrando uma zona de transição
de 324 metros, maior do que o próprio aquífero modelado. Para se contornar este
problema, será fixada uma região de transição de cerca de 20 metros, com a variação
das saturações nos blocos ao longo da altura calculadas a partir de (17) e da Figura 13:
Figura 12 – Pressões Capilares adotadas no Modelo
31
Figura 13 – Relação entre Altura de Transição e Saturação
Uma vez descrito completamente os parâmetros mais relevantes, podemos prosseguir
com o equacionamento matemático do cone de água.
3.3 Modelo Matemático
3.3.1 Considerações Iniciais
Na Engenharia de Reservatórios, o escoamento de fluidos através dos poros das rochas
pode ser descrito através da conhecida Equação da Difusividade Hidráulica. Ela é
amplamente utilizada em simulações para a predição de vazões de produção e
distribuições de pressão no reservatório e campos estudados, relacionando as
propriedades rocha-fluido com a saturação e pressão em cada ponto e instante
analisados.
Conforme [9] e [39], sua formulação matemática advem de três equações fundamentais:
- Equação da Continuidade (Balanço de Massa)
- Lei de Darcy (Balanço de Momento)
- Equação de Estado
32
Os procedimentos adotados nos Capítulos 3.3 e 3.4 são similares àqueles aplicados por
Hartmann [40], que tratou numericamente a Equação da Difusividade Hidráulica, mas
para coordenadas cartesianas. Ainda, o tratamento matemático para obtenção desta
equação também fora baseado na análise de Ertekin et al [9].
3.3.1.1 Equação de Continuidade
Também conhecida como Lei da Conservação de Massa, esta equação descreve o
balanço de massa, de forma bastante intuitiva e simples, ao afirmar que a massa
acumulada de uma dada fase em um determinado volume de controle é igual à diferença
entre as massas de entrada e saída desta fase, acrescida de um termo fonte.
fontesaídaentradaacúmulo mmmm (18)
Cabe lembrar que o balanço de massa ocorre nos elementos do reservatório, mas as
propriedades e parâmetros do sistema, além das vazões de produção, são medidos nas
condições standard ou de superfície, de modo que se faz necessária a adição do fator
volume formação B para permitir a correta quantificação e modelagem matemática.
Para o processo de obtenção da Equação da Continuidade, considere um elemento de
controle cilíndrico, como exibido pela Figura 14:
Figura 14 – Volume de Controle Cilíndrico (Fonte: Ertekin et al [9])
33
Para esta geometria, os fluxos são considerados na direção radial, circunferencial e
vertical. Com respeito ao ponto central do volume infinitesimal, a diferença entre a
massa de entrada total e a saída para uma determinada fase é descrita como:
2/2/2/2/2/2/, zzzzrrrrsaídaentrada mmmmmmmm
(19)
Para uma direção qualquer, a vazão mássica medida em condições de superfície
equivale a:
A
Bm (20)
Assim, os termos da Equação (19) podem ser expandidos da forma:
2/2/
2/2/
rr
r
rr
rrrrr z
Brz
Brmm
(21)
2/2/
2/2/
zz
z
zz
zzzzz rr
Brr
Bmm
(22)
2/2/
2/2/
zr
Bzr
Bmm (23)
O termo de acúmulo é obtido através da variação volumétrica do fluido contido nos
poros das rochas. Como o problema tratado é bifásico, deve ser contabilizada a
saturação do fluido em questão. Se o volume de controle é assumido como constante ao
longo do tempo, escreve-se:
Vt
B
S
B
S
mttt
acúmulo
(24)
Por fim, como estamos tratando as fases como imiscíveis e não reagentes, a geração de
massa por reações químicas é nula. Porém, no âmbito da simulação de reservatórios, o
34
termo fonte pode contabilizar a massa decorrente da injeção ou produção de fluidos,
representando os possíveis poços e canhoneios existentes no volume de controle.
Assim:
stdpoçofonte qm ,
(25)
Onde a vazão stdpoçoq , é a vazão de produção ou injeção medida na cabeça do poço para
a fase considerada.
De posse das Equações (21), (22), (23), (24) e (25), sua substituição na Equação (18)
resulta em:
stdpoço
zz
z
zz
z
rr
r
rr
rttt
qzrB
zrB
rrB
rrB
zB
rzB
rVt
B
S
B
S
,
2/2/
2/2/
2/2/
(26)
O próximo passo envolve a divisão da Equação anterior pelo volume do elemento, V ,
que em coordenadas cilíndricas vale zrr :
V
q
z
BB
BB
r
r
Br
Br
rt
B
S
B
S
stdpoçozz
z
zz
z
rr
r
rr
r
ttt
,2/2/
2/2/
2/2/
1
1
(27)
35
Finalmente, tomando-se os limites quando r , , z e t tendem à zero e
considerando a vazão do poço calculada por unidade de volume, obtem-se a Equação da
Continuidade (28) considerando mais de uma fase e em coordenadas cilíndricas:
stdpoçozr q
BzBrBr
rrB
S
t,
11
(28)
Em que stdpoçoq , é a vazão do poço por unidade de volume.
Para a expressão anterior, o termo em colchetes é equivalente à divergência do vetor
B em coordenadas cilíndricas. Logo, a expressão da Equação da Conservação de
Massa para uma geometria qualquer é:
stdpoçoq
BB
S
t,
(29)
3.3.1.2 Lei de Darcy
Descrita pelo engenheiro francês Henry Darcy, a formulação que carrega seu nome é
largamente utilizada nos fenômenos de hidráulica e transporte de fluidos. Para a
Engenharia de Reservatórios, esta lei é de enorme importância, pois relaciona
diretamente a variação da pressão com as vazões e velocidades, um dos principais dados
a ser obtido das simulações numéricas.
A formulação geral desta Lei é dada por:
P
xk
(30)
Onde a função representa o potencial de escoamento do fluido, igual a:
)( refzzgP (31)
36
O potencial ao fluxo determina o sentido do escoamento no meio poroso, com os fluidos
escoando dos pontos de maior potencial para àqueles de menor valor. Quando o fluxo é
assumido na horizontal, a componente gravitacional é eliminada, resultando apenas em
gradientes de pressão. Na existência de fluxos verticais, como nos problemas
envolvendo conificação de fluidos, a gravidade atuante gera uma diferença nas pressões
iniciais do sistema, por conta do gradiente hidrostático, que é descontado na Lei de
Darcy.
Desta forma, para facilitação dos cálculos, as pressões iniciais do sistema usadas em
cálculo já descontarão a diferença decorrente da parcela hidrostática. Assim, a Lei de
Darcy a ser implementada no presente trabalho será:
P
kzrk r
, (32)
Onde rk representa a permeabilidade relativa à fase α do fluido.
3.3.1.3 Equação de Estado
As equações de estado descrevem como o volume de rochas e fluidos se comportam
com as variações de pressão e temperatura existentes no reservatório, através de uma
propriedade denominada compressibilidade. Como o sistema é assumido isotérmico,
apenas as variações de pressão são contabilizadas.
Para a água e o óleo, a pressão atua diretamente na variação de suas massas específicas.
Estes fluidos apresentam baixos valores de compressibilidade, quando comparados, por
exemplo, ao gás, e são modelados por:
.
1
constTPc
(33)
37
Para a rocha, formula-se expressão similar, mas contabilizando a compressibilidade
através da variação de sua porosidade:
.
1
constT
fP
c
(34)
Como os valores de compressibilidade são baixas para os fluidos (para o óleo, 1,5x10-9
Pa-1
e para a água, 4,0x10-10
Pa-1
), os mesmos podem ser considerados como pouco
incompressíveis, apresentando massas específicas praticamente constantes com a
posição (pressão) e tempo ( o será igual a 875 kg/m³ e w , 1000 kg/m³), hipótese a ser
aplicada no desenvolvimento da Equação da Difusividade Hidráulica.
3.3.2 Equação da Difusividade Hidráulica
De posse da Lei do Balanço de Massa, Lei de Darcy e Equações de Estado, podemos
agrupá-las de modo a obter a Equação da Difusividade Hidráulica considerada neste
trabalho. O primeiro passo é eliminar a velocidade de fluxo na Equação (29) através da
Equação (32):
stdpoço
r qPB
kzrk
B
S
t,
,
(35)
Em seguida, expandem-se os termos em parênteses da Equação anterior, através da
Regra da Cadeia:
stdpoço
r
r
qPB
kzrk
PB
kzrk
tB
S
B
S
t
,
,
,
(36)
A Equação (36) pode ser simplificada para fluidos pouco compressíveis. Como a massa
específica varia muito pouco neste caso, os termos t
e são muito pequenos,
38
portanto, as parcelas
P
B
k e
tB
S
podem ser desprezadas. Dividindo os
termos remanescentes por , chega-se finalmente à Equação da Difusividade
Hidráulica utilizada neste trabalho:
stdpoço
r qPB
kzrk
B
S
t,
,
(37)
Para o Modelo Matemático, a Equação (37) deve ser escrita para as fases óleo e água,
tendo como incógnitas as pressões e saturações de ambas as fases, oP , wP , oS e wS .
Como a obtenção de (37) foi feita de modo genérico, e tanto a água, quanto o óleo se
enquadram na hipótese usada (fluidos pouco compressíveis), tem-se a Equação da
Difusividade Hidráulica para óleo (38), e para a água (39):
stdoo
oo
ro
o
o qPB
kzrk
B
S
t,
,
(38)
stdww
ww
rw
w
w qPB
kzrk
B
S
t,
,
(39)
Adicionalmente, as propriedades das duas fases podem ser relacionadas por intermédio
da pressão capilar e da relação das saturações:
1 wo SS (40)
wocow PPP (41)
O leitor deve ter em mente que, para o caso mais geral (heterogêneo), existe uma
relação funcional entre os parâmetros e as incógnitas, da forma:
39
),(
),(
)(
)(
),(
ˆ
ˆ
)(
)(
)(
)(
),,(
,,
,,
tPqq
tPqq
Skk
Skk
zrkk
kkk
kkk
PBB
PBB
P
P
Pzr
ostdwstdw
ostdostdo
wrwrw
wroro
rww
roo
oww
ooo
oww
ooo
o
(42)
A grande dificuldade existente para obtenção da solução analítica do sistema (38), (39),
(40) e (41) fica evidente ao se considerar o conjunto de Equações (42), onde se observa
que a maioria dos parâmetros são funções das incógnitas a serem determinadas do
problema, pressão e saturação. No caso de permeabilidades relativas e vazões de
produção, por exemplo, esta dependência é mais crítica, por estarem sujeitos a grandes
variações em seus valores durante a vida produtiva do reservatório. Porosidades e
permeabilidades variam, ainda, ao longo da extensão do campo, e seus valores
geralmente são conhecidos apenas em alguns pontos (geralmente na localização dos
poços).
Portanto, o problema exposto pelas Equações (42) é de natureza não linear, englobando
termos de fraca linearidade (como fatores volume formações, viscosidades, densidades)
e forte linearidade (permeabilidades relativas, pressão capilar, transmissibilidades),
como descrito em [9]. Ainda, são evidentes as dificuldades em obtenção de uma solução
analítica exata, principalmente para predição das vazões após o breakthrough de água,
como visto na revisão bibliográfica, Seção 2.2. Somado a isto, a facilidade e crescente
uso da modelagem numérica, com excelentes resultados para estimativa da produção
são os fatores que justificam o tratamento numérico do sistema de equações supracitado,
realizado a seguir.
40
3.4 Modelo Numérico
3.4.1 Método dos Volumes Finitos
Como descrito na Seção 2.2.2, o tratamento numérico tem por objetivo prover uma
solução aproximada, porém condizente com a realidade, para o sistema de Equações
(38), (39), (40) e (41), dada sua complexidade. Devemos empregar uma das diversas
técnicas de discretização e resolução de Equações Diferenciais a fim de se construir o
modelo numérico e o simulador para o cone de água.
Os principais métodos de discretização são os de diferenças finitas, volumes finitos e
elementos finitos. O primeiro deles, mais antigo, usa a expansão em Séries de Taylor
para aproximar as derivadas existentes de acordo com um grid ou malha pontual, em
que os valores são conhecidos e calculados. O segundo, volumes finitos, descreve o
reservatório utilizando volumes de controle e assegurando a conservação de
propriedades, caso as posteriores integrações no espaço e no tempo sejam feitas
acompanhando cada uma das superfícies dos volumes de controle. Por fim, a abordagem
de elementos finitos também descreve o sistema de acordo com uma malha pontual,
mas a aproximação da solução é feita de acordo com o uso de funções polinomiais entre
os elementos, obtendo-se as variações das variáveis desconhecidas [45].
A escolha do método numérico é motivada por uma série de fatores, como o grau de
simplificação desejado, verossimilhança da resposta obtida com a resposta real, ou
mesmo tempo de simulação requerido. Para problemas envolvendo escoamento de
fluidos, a capacidade de lidar com a conservação de propriedades (como a massa) é um
ponto positivo dos métodos de volumes finitos quando comparados aos de diferenças
finitas, que ignora tal tipo de abordagem e discussão. Ainda, mesmo apresentando
melhor capacidade de descrição do espaço real, os métodos de elementos finitos são
menos populares que os de volumes finitos por requerer maior esforço computacional
[45].
Com isto em mente, escolhe-se o Método dos Volumes Finitos para a discretização das
equações, haja vista que o modelo físico tratado é simples, não exigindo uma malha
sofisticada tais como aquelas descritas por elementos finitos, e que a garantia do
41
balanço de massa é de vital importância para descrição do fenômeno, limitando a
aplicabilidade das diferenças finitas.
Para a posterior análise, considere o esquema da Figura 15, que mostra um padrão de
discretização de reservatório de acordo com o Método dos Volumes Finitos. O bloco
destacado corresponde a um corte do volume de controle cilíndrico, onde se evidenciam
os volumes adjacentes (direções norte, sul, leste e oeste), contando com um número ‘Nr’
de segmentos no raio e ‘Nz’ na altura, num total de Nr x Nz blocos. Similarmente à
Figura 15, o padrão de discretização utilizado no simulador será não uniforme para o
raio, de modo a representar os efeitos do escoamento junto à região canhoneada. O poço
não é modelado como um volume finito, sendo a sua pressão considerada para o cálculo
da condição interna do reservatório. Cada volume finito C apresenta propriedades
constantes, calculadas a partir de médias (não discutidas nesse trabalho).
Adicionalmente, o procedimento de resolução para as pressões será implícito, ou seja,
todas serão consideradas igualmente desconhecidas durante o cálculo em um passo de
tempo.
Figura 15 – Discretização Usada para o Método dos Volumes Finitos
42
Assim, prossegue-se com o tratamento da Equação da Difusividade Hidráulica para óleo
(38) e água (39). Usualmente, a saturação avaliada é a da água, enquanto que a pressão
medida é a do óleo. De tal modo, podemos utilizar as relações entre as fases (Equações
(40) e (41)) para eliminar oS e wP em (38) e (39):
stdoo
oo
ro
o
w qPB
kzrk
B
S
t,
, 1
(43)
stdwcowo
ww
rw
w
w qPPB
kzrk
B
S
t,
,
(44)
Ainda, antes de aplicarmos o método numérico, convem observar que , wB e oB são
geralmente conhecidos das análises PVT e sua dependência com wS e oP , e não pelo
tempo. De tal modo, aos termos transientes de (43) e (44) pode ser aplicada a Regra da
Cadeia com respeito a oP , resultando em:
stdoo
oo
rowow qP
B
kzrk
t
SC
t
PCS ,21
,)1(
(45)
stdwcowo
ww
rwwow qPP
B
kzrk
t
SC
t
PCS ,43
,
(46)
Onde:
oooo PBBPC
1)
1(1
oBC
2
owwo PBBPC
1)
1(3
(47)
43
wBC
4
Às Equações (45) e (46), será aplicado o Método dos Volumes Finitos. Integrando-as
com respeito ao volume de controle V em um intervalo de tempo t , tem-se:
dtdVqdVdtP
B
kzrk
dtdVt
SC
t
PCS
tt
tV
stdo
tt
tV
o
oo
ro
tt
tV
wow
,
21
,
)1(
(48)
dtdVqdtdVPP
B
kzrk
dtdVt
SC
t
PCS
tt
tV
stdw
tt
tV
cowo
ww
rw
tt
tV
wow
,
43
,
(49)
Para a integral no volume, aplica-se aos termos difusivos o Teorema da Divergência,
relacionando a parcela divergente das equações anteriores com respectivas integrais de
superfície ao longo dos volumes de controle:
tt
tV
o
oo
ro dVdtPB
kzrk
, SdP
B
kzrk
V
o
oo
ro
, (50)
V
cowo
ww
rwtt
tV
cowo
ww
rw SdPPB
kzrkdtdVPP
B
kzrk
,, (51)
Recordando-se da Figura 14, observa-se que o volume de controle cilíndrico apresenta 6
faces, cada uma com um distinto versor normal n̂ . Assim, a integral de superfície pode
ser simplificada para o seguinte somatório:
ii
i i
o
oo
ro
V
o
oo
ro SnPB
kzrkSdP
B
kzrk
ˆ,, 6
1
(52)
44
ii
i i
cowo
ww
rw
V
cowo
ww
rw SnPPB
kzrkSdPP
B
kzrk
ˆ,, 6
1
(53)
Agora, devemos avaliar cada uma das parcelas de (52) e (53). Para tal, são computados
os gradientes de oP e cowo PP em cada uma das seis direções de fluxo. No entanto,
como se supôs a inexistência de escoamento na direção circunferencial (Seção 3.1.1), os
gradientes
oPsão nulos, resultando em quatro parcelas:
CCC
s
o
oo
roz
CCC
n
o
oo
roz
CCC
C
w
o
oo
ror
CCC
C
e
o
oo
ror
ii
i i
o
oo
ro
rrz
P
B
kk
rrz
P
B
kk
zr
rr
P
B
kk
zr
rr
P
B
kk
SnPB
kzrk
)2
(
)2
(
ˆ,6
1
(54)
CCC
s
cowo
ww
rwz
CCC
n
cowo
ww
rwz
CCC
C
w
cowo
ww
rwr
CCC
C
e
cowo
ww
rwr
ii
i i
cowo
oo
ro
rrz
PP
B
kk
rrz
PP
B
kk
zr
rr
PP
B
kk
zr
rr
PP
B
kk
SnPPB
kzrk
)2
(
)2
(
ˆ,6
1
(55)
45
Às derivadas parciais restantes, aplica-se a aproximação por Séries de Taylor de
Primeira Ordem (lembrando que o cálculo das pressões é feito de forma implícita),
obtendo-se finalmente a discretização do termo difusivo do óleo:
CCC
sC
soCo
soo
roz
CCC
Cn
Cono
noo
roz
CCC
C
wC
woCo
woo
ror
CCC
C
Ce
Coeo
eoo
ror
ii
i i
o
oo
ro
rrzz
PP
B
kk
rrzz
PP
B
kk
zr
rrr
PP
B
kk
zr
rrr
PP
B
kk
SnPB
kzrk
2
2
)2
(
2
)2
(
2
ˆ,
,,
,,
,,
,,
6
1
(56)
E a discretização do termo difusivo da Equação da Água:
CCC
sC
scowCcowsoCo
sww
rwz
CCC
Cn
CcowncowCono
nww
rwz
CCC
C
wC
wcowCcowwoCo
www
rwr
CCC
C
Ce
CcowecowCoeo
eww
rwr
ii
i i
cowo
oo
ro
rrzz
PPPP
B
kk
rrzz
PPPP
B
kk
zr
rrr
PPPP
B
kk
zr
rrr
PPPP
B
kk
SnPPB
kzrk
2
2
)2
(
2
)2
(
2
ˆ,
,,,,
,,,,
,,,,
,,,,
6
1
(57)
46
Por fim, resta o tratamento dos termos transiente e de vazão das Equações (48) e (49)
para a integração no volume. O primeiro, por apresentar-se constante ao longo de todo
volume de controle para um mesmo instante de tempo, pode ser simplificado
imediatamente por CV , volume do elemento de controle com respeito à sua posição
central. As vazões stdoq , e stdwq ,
, por sua vez, foram calculadas por unidade volumétrica
durante o desenvolvimento da Equação da Continuidade (28). Logo, a integração no
volume resulta imediatamente em stdoq , e stdwq ,
, a vazão de produção do bloco para um
dado intervalo de tempo.
Portanto, após a integração no volume, as Equações (48)e (49) se tornam:
dtqdtSnP
B
kzrk
dtVt
SC
t
PCS
tt
tstdo
tt
tii
i i
o
oo
ro
tt
tC
wow
ˆ,
)1(
,
6
1
21
(58)
dtqdtSnPP
B
kzrk
dtVt
SC
t
PCS
tt
tstdw
tt
tii
i i
cowo
ww
rw
tt
tC
wow
ˆ,
,
6
1
43
(59)
Onde se utilizou os somatórios ao invés das expressões em (56) e (57) para facilitar a
visualização das equações.
Resta agora a integração com respeito ao tempo. Uma vez escolhido nível de cálculo
para as pressões (implícita), o integrando relativo ao termo difusivo independe do
tempo, e sua integral resulta em t . Novamente, o termo de vazão é integrado de
imediato, também em t , pois dentro de um mesmo time-step, a vazão é assumida
como constante.
47
Para a parcela transiente, no entanto, os termos t
Po
e
t
Sw
devem ser discretizados
antes de serem integrados. Outra simples expansão em Séries de Taylor, também
truncada em primeira ordem, gera:
t
SS
t
S
t
PP
t
P
www
ooo
0
0
(60)
Assim, as Equações (58) e (59) tornam-se:
tqtSnP
B
kzrk
tVt
SSC
t
PPCS
stdoii
i i
o
oo
ro
Cwwoo
w
,
6
1
0
2
0
1
0
ˆ,
)1(
(61)
tqtSnPP
B
kzrk
tVt
SSC
t
PPCS
stdwii
i i
cowo
ww
rw
Cwwoo
w
,
6
1
0
4
0
3
0
ˆ,
(62)
Substituindo as Equações (56) e (57) em (61) e (62), e dividindo tudo por tVC ,
tem-se para o óleo:
48
V
q
zzz
PP
B
kk
zzz
PP
B
kk
rr
rr
rr
PP
B
kk
rr
rr
rr
PP
B
kk
SSCPPCSt
stdo
CsC
soCo
soo
roz
CCn
Cono
noo
roz
CC
CC
wC
woCo
woo
ror
CC
CC
Ce
Coeo
eoo
ror
wwoow
,,,
,,
,,
,,
0
2
0
1
0
1
2
1
2
)2
(
2
)2
(
2
)1(1
(63)
E para a água:
V
qrr
zz
PPPP
B
kk
rrzz
PPPP
B
kk
zr
rrr
PPPP
B
kk
zr
rrr
PPPP
B
kk
SSCPPCSt
stdw
CCC
sC
scowCcowsoCo
sww
rwz
CCC
Cn
CcowncowCono
nww
rwz
CCC
C
wC
wcowCcowwoCo
www
rwr
CCC
C
Ce
CcowecowCoeo
eww
rwr
wwoow
,,,,,
,,,,
,,,,
,,,,
0
4
0
3
0
2
2
)2
(
2
)2
(
2
1
(64)
Para simplificação das expressões, agrupam-se os termos semelhantes de pressão, e
separam-se os termos conhecidos em constantes. De tal forma, após algumas
49
manipulações algébricas, obtemos as Equações discretizadas para o Óleo (65) e para a
Água (66):
C
stdo
wwCowooCop
CoCowowoeoeososonono
V
qSSCPPC
PPPPP
,0
,
0
,
,,,,,,,,,,
)()(
(65)
Ccow
C
stdw
wwCwwooCwp
CoCwwowweoewsoswnonw
DV
qSSCPPC
PPPPP
,
,0
,
0
,
,,,,,,,,,,
)()(
(66)
Onde i, é chamada de transmissibilidade da face de direção i para uma determinada
fase , uma medida da comunicação de fluidos entre os blocos:
woo
ror
CCwC
wo
eoo
ror
CCeC
eo
soo
roz
CsC
so
noo
roz
CnC
no
B
kk
rrrr
B
kk
rrrr
B
kk
zzz
B
kk
zzz
2
112
2
112
12
12
,
,
,
,
woeosonoCo ,,,,,
Coooo
wCop
PBBPt
SC
1)
1(
1 0
,
Co
CowBt
C
11,
(67)
50
www
rwr
CCwC
ww
eww
rwr
CCeC
ew
sww
rwz
CsC
sw
nww
rwz
CnC
nw
B
kk
rrrr
B
kk
rrrr
B
kk
zzz
B
kk
zzz
2
112
2
112
12
12
,
,
,
,
wwewswnwCw ,,,,,
Cowwo
wCwp
PBBPt
SC
1)
1(
0
,
Cw
CwwBt
C
11,
wcowwwecowewscowswncownwCcowCwCcow PPPPPD ,,,,,,,,,,,
(68)
Agora, precisamos empregar uma técnica para a resolução do sistema acoplado de
Equações discretizadas (65) e (66), calculando-se os valores de pressão e saturação em
cada bloco. Tal técnica deve considerar as pressões igualmente desconhecidas e
calculando-as simultaneamente para um mesmo time-step, de acordo com o
desenvolvimento matemático deste capítulo. No entanto, em nenhum momento da
aplicação do Método dos Volumes Finitos explicitou-se o tempo de cálculo das
saturações, sendo o cálculo da mesma determinado a partir da técnica de resolução a ser
empregada. Por questões de simplificação, aplicar-se-á o Método IMPES, discutido na
Seção subsequente.
3.4.2 O Método IMPES
Dentre as diversas técnicas existentes, o Método IMPES (Implicit Pressure, Explicit
Saturation) apresenta-se como uma das mais clássicas e populares técnicas para a
resolução de Equações discretas para fluxos multifásico, principalmente aquelas em que
os fluidos são pouco compressíveis ou incompressíveis, como (65) e (66) [46]. O
objetivo desta técnica é simplificar o sistema de equações, ao separar o cálculo da
51
pressão do da saturação. De tal modo, enquanto as pressões são resolvidas
implicitamente ao longo do reservatório, as saturações são calculadas de modo
explícito, usando os resultados já atualizados de pressão [9], [46], conforme o esquema
a seguir.
Figura 16 – Procedimento IMPES de Cálculo (adaptado de Hartmann H.G [40])
A simplicidade de implementação do método e baixo uso de memória computacional
são as grandes vantagens do método IMPES. Como desvantagens, contudo, destacam-se
a exigência de pequenas oscilações na saturação dentro de um time-step, bem como um
valor de vazão compatível com o mesmo, de modo que o volume a ser produzido não
exceda o volume poroso do bloco [17]. Assim, os esquemas IMPES para resolução de
problemas com conificação de alguma das fases estão sujeitos a pequenos time-steps, o
que pode ser proibitivo para longas simulações [46].
Mesmo com os problemas de time-step para os problemas de conificação (mais será
discutido adiante, na Seção 4.1.2), utilizaremos o procedimento IMPES, principalmente
por facilitar a resolução do sistema acoplado de Equações (65) e (66). Para tal, isolam-
se os termos de saturação em ambas as equações, e igualando-os, tem-se:
52
V
qDPPCP
PPPP
C
V
qPPCP
PPPP
C
stdw
CcowoCoCwpCoCw
wowweoewsoswnonw
Cww
stdo
oCoCopCoCo
wowoeoeososonono
Cow
,
,
0
,,,,
,,,,,,,,
,
,0
,,,,
,,,,,,,,
,
)(
1
)(
1
(69)
Agrupando os termos em comum de pressão, encontramos a equação de pressões para
cada volume finito:
CCoCwoweoesosnon BPAPAPAPAPA ,,,,, (70)
Sendo:
ew
Cww
Cow
eoeC
CA ,
,
,
,
ww
Cww
Cow
wowC
CA ,
,
,
,
nw
Cww
Cow
nonC
CA ,
,
,
,
sw
Cww
Cow
sosC
CA ,
,
,
,
CwpCw
Cww
Cow
CopCoC CC
CCA ,,
,
,
,,
V
q
V
q
C
CD
C
CPCC
C
CB
stdostdw
Cww
Cow
Ccow
Cww
Cow
oCopCwp
Cww
Cow
C
,,
,
,
,
,
,0
,,
,
,
(71)
Onde o cálculo das transmissibilidades e constantes C é feito por (67) e (68).
53
A Equação (70) é válida para cada volume finito usado na discretização do reservatório.
Uma forma eficiente de se visualizar estas diversas equações é utilizando a notação
matricial:
][]].[[ BPA (72)
Onde:
nxnAA
AAA
A
AAAA
AAA
AA
AAAA
AAAA
AAA
nnnn
nnnnnn
Nr
NrNrNrNrNrNrNr
NrNrNrNrNr
NrNrNrNr
Nr
Nr
Nr
...
.........
0
0
............
,1,
,11,12,1
3,3
3,22,21,22,2
2,11,11,1
,1,
3,34,33,32,3
2,23,22,21,2
1,12,11,1
(73)
1 ,
1,
,
3,
2,
1,
.
.
.
.
.
.
][
xnno
no
io
o
o
o
P
P
P
P
P
P
P
(74)
54
1
1
3
2
1
.
.
.
.
.
.
][
xnn
n
i
B
B
B
B
B
B
B
(75)
A matriz pentadiagonal ][A (73), de elementos jiA , , expressa a relação entre cada
volume de controle ‘i’ e os blocos adjacentes ‘j’, conforme a numeração adotada na
Seção 3.4.1. Sua diagonal principal equivale aos termos CA , completamente preenchida,
e as diagonais imediatamente à esquerda e à direita representam wA e eA
respectivamente, os blocos adjacentes no raio. Para elementos posicionados na fronteira
do reservatório, wA ou eA são iguais à zero pela inexistência de blocos adjacentes, o que
é representado pelos zeros em (73). As outras duas diagonais representam os termos
simbolizam sA (à esquerda) e nA (à direita), também existentes apenas para elementos
que não estejam na fronteira do sistema. Todos os outros espaços vazios na matriz ][A
valem zero.
Pela abordagem matricial, o cálculo das pressões implícitas decorre da resolução de
(72), realizada através da inversão matricial de ][A :
][][][ 1 BAP (76)
Finalmente, com as pressões conhecidas ponto a ponto, calcula-se explicitamente a
saturação do reservatório, usando a Equação para a Água (66):
55
V
qDPPCP
PPPP
CSS
stdw
CcowoCoCwpCoCw
wowweoewsoswnonw
Cww
ww ,
,
0
,,,,
,,,,,,,,
,
0
)(
1
(77)
O que encerra o procedimento de cálculo dentro de um time-step, de acordo com o
Método dos Volumes Finitos e a abordagem IMPES.
O papel do simulador, portanto, será o de resolver iterativamente as Equações (76) e
(77), recalculando os coeficientes (71) a cada etapa, para um determinado esquema de
produção. Os casos estudados serão expostos em detalhes no próximo capítulo.
3.5 Considerações do Capítulo
Este capítulo descreveu os modelos físico, matemático e numérico para o cone de água.
Partindo-se do embasamento teórico fornecido pela revisão bibliográfica, foram feitas
as descrições na geometria do sistema, que levantaram os casos a serem estudados –
modelo físico. Foram explicitadas, ainda, as características dos fluidos e rochas
presentes no sistema.
Prosseguiu-se, então, com o modelo matemático. O equacionamento foi realizado a
partir dos dados do modelo físico, culminando com a Equação da Difusividade
Hidráulica, dada algumas hipóteses simplificadoras, mas que não alteram a natureza
física do problema.
Por fim, realizou-se o tratamento numérico, que visava solucionar o complexo modelo
matemático obtido. Aplicou-se o Método dos Volumes Finitos como forma de se obter a
solução numérica da Equação da Difusividade Hidráulica, contando ainda com o
procedimento IMPES para simplificação dos cálculos.
Desta análise, obtiveram-se as equações para o cálculo da pressão e saturação, a serem
aplicadas no simulador numérico, foco do próximo capítulo, visando estudar o
comportamento do reservatório, quando sujeito a alguns padrões de produção.
56
4 Estudos de Caso Uma vez completamente desenvolvidas as equações discretizadas que regem o
fenômeno da conificação de água em reservatórios de petróleo, o próximo passo
envolve sua utilização para predição das vazões de produção e comportamento das
pressões e saturações do reservatório quando submetido a determinados padrões de
produção.
Para tal, as Equações (76) e (77) e constantes presentes nas mesmas foram escritas no
software Wolfram Mathematica 8, bem como as propriedades físicas, descritas ao longo
da Seção 3.1, e subsequentes hipóteses matemáticas e numéricas, resultando em um
simulador numérico de produção de reservatórios, capaz de retratar diversos esquemas e
estratégias de produção, bem como mostrar a movimentação de fluidos no meio poroso,
de modo a visualizar dinamicamente o processo de conificação de água.
O presente capítulo discute brevemente o processo de construção do simulador, os casos
estudados e resultados obtidos.
4.1 Construção do Simulador
4.1.1 Dados de Entrada
Expostos ao longo da Seção 3.1, os dados de entrada físicos correspondem a todas as
propriedades relevantes da rocha do reservatório, do óleo e da água, bem como as
dimensões do sistema, tamanho da zona produtora e do aquífero (Tabela 1). Foram
implementados os modelos expressos anteriormente para a viscosidade (Figura 10),
fator volume formação (Figura 11), permeabilidades relativas (Figura 9), e pressões
capilares (Figura 12). Novamente destaca-se que a altura de transição do aquífero até a
zona de óleo fora aproximada por 20 metros, no lugar da utilização do seu modelo
previamente exposto, dada as condições e problemas expressos na Seção 3.2.2.
Cabe relembrar que o sistema é totalmente homogêneo. Logo, as propriedades listadas
na Tabela 1 são válidas ao longo de todo o reservatório. Ainda, é considerada uma
57
anisotropia nas permeabilidades radial (horizontal) e vertical, sendo esta igual a um
décimo do valor daquela.
Tabela 1 – Propriedades Físicas do Reservatório
Parâmetros
Valor Unidade
Raio do Reservatório
800 metros
Pay Zone 50 metros
Altura do Aquífero 100 metros
Raio do Poço 3,5 polegadas
Pressão Estática 2 x107 Pascal
Pressão de Bolha 8 x106 Pascal
Porosidade 0.2 -
Compressibilidade do Óleo 1,5x10-9
Pascal-1
Compressibilidade da Água 4x10-10
Pascal-1
Compressibilidade da Formação 4,4 x10-10
Pascal-1
Permeabilidade Horizontal 152 x10-15
metros quadrados
Permeabilidade Vertical 152 x10-16
metros quadrados
Massa Específica da Água 1 x103 kg/m³
Massa Específica do Óleo 0,875 x103 kg/m³
Grau API do Óleo 30,2 ºAPI
Saturação de Água na Região de Óleo 0,2 -
Fator Volume Formação da Água1 1,03 m³ std/ m³
Fator Volume Formação do Óleo1 1,103 m³ std/ m³
Viscosidade da Água 1 Centipoise
Viscosidade do Óleo1 3,5 Centipoise
Saturação de Água Conata 0,15 -
Altura da Zona de Transição2 20 metros
1medido nas condições iniciais do reservatório
2aproximado, medido a partir da base da zona de óleo
Um único poço é considerado em todas as simulações, sendo alocado no centro exato do
reservatório cilíndrico. No entanto, o seu intervalo de canhoneio e vazão de produção
serão variados ao longo dos casos estudados. O controle do poço será feito pela vazão
total de fluidos produzida na superfície, inicialmente igual à vazão de óleo, mas
correspondente à soma das vazões de óleo e água nos casos em que ocorre o
breakthrough de água. O sistema também será limitado para a pressão de fundo, com o
valor de 8 x106 Pascais, igual à pressão de bolha, com a produção ocorrendo sem a
liberação de gás. As fronteiras do sistema (acima da zona de óleo, abaixo do aquífero e
raio externo) são admitidas como seladas para o caso base. A transmissão de fluidos só
ocorre nas porções canhoneadas junto ao poço, tanto para produção, tanto para injeção
(para os esquemas de canhoneio múltiplo de poço). Por fim, destaca-se que a análise
58
será feita apenas no reservatório, não contemplando quaisquer sistemas de elevação e
escoamento de fluidos após a saída dos mesmos do reservatório.
Tabela 2 – Dados do Sistema Poço-Reservatório
Tipo
Grandeza Valor
Controle do Poço
Vazão de Produção do Poço Variável
Limite do Poço Pressão de Fundo de Poço 8 x106 Pa
4.1.2 Grid Numérico
Quando se aplica um método numérico para resolução de um determinado problema,
estamos trocando o conhecimento da solução exata em todos os pontos do tempo
espaço, o que nem sempre é possível ou viável de ser obtido, por uma solução
aproximada em determinadas posições.
Como descrito por Hartmann [40], cabe ao engenheiro de reservatórios definir o melhor
grid de simulação de modo a se obter as soluções nos pontos mais relevantes do
problema, ao adaptar o acurado modelo geológico em um modelo de simulação mais
“grosseiro”, o processo de Upscaling. Tal prática permite a viabilidade da simulação de
reservatórios, ao reduzir o tempo e esforço computacional sem, no entanto,
comprometer a precisão da solução demasiadamente.
A escolha da malha de simulação para os casos de estudo fundamentou-se nos seguintes
aspectos:
a discretização no espaço deve fundamentalmente representar os efeitos de
pressão comumente observados em reservatórios com fluxo cilíndrico,
englobando os pontos de interesse (junto ao poço, fronteiras, etc.), e prevendo
valores de vazões com pequenas discrepâncias em relação aos grids mais
refinados;
a discretização no tempo deve ser tal que permita a estabilidade e convergência
da solução, mas sem comprometer excessivamente o tempo de simulação,
quando comparado aos outros grids testados;
59
Como descrito na Seção 3.4.1, o grid radial é adotado com sendo mais refinado junto ao
poço, de modo a representar os efeitos do escoamento, com a dimensão dos blocos
organizada de acordo com uma função logaritmica. Para a altura, a divisão do espaço é
de forma homogênea, o que facilita a comparação entre os intervalos de canhoneio nos
estudos de caso.
Para a discretização no tempo, entretanto, diversos problemas limitaram o time-step
adotado, sendo o principal deles a adoção do Método IMPES para a formulação
numérica. Pelas simulações realizadas, observou-se que a convergência deixava de ser
assegurada para time-steps maiores do que 1 dia quando ocorria mudança brusca
mudança nas vazões de produção (ocorrência de breakthrough de água) ou quando a
variável de controle mudava para a pressão de fundo de poço (acentuada queda de
pressão no reservatório).
Como forma de contornar este inconveniente, dotou-se o simulador de um oscilador de
time-steps, cujo papel do mesmo seria o de reduzir o passo de tempo quando notada a
instabilidade da solução (início da produção de água), e retomando posteriormente ao
valor inicialmente definido. Mesmo assim, foi observado que após a estabilização das
vazões de produção nem sempre se garantia a convergência da solução para time-steps
maiores, levando a diversas oscilações no mesmo e, consequentemente, estendendo o
tempo total de simulação.
Diante de tais problemas, optou-se definitivamente pela utilização de um passo de
tempo de um dia, e um tempo total de simulação de cinco anos. Com tais parâmetros, a
convergência era garantida para a maioria dos grids de simulação a serem testados, bem
como havia a possibilidade de utilizar uma ampla faixa de vazões, desde 100 m³/d até
valores maiores, da ordem de 800 m³/d, e observação de seus efeitos a curto e médio
prazo.
Definido o fator limitante, resta agora a escolha da quantidade de volumes finitos para
se escrever a malha espacialmente. Inicialmente, foram escolhidos os seguintes grids
para teste (onde o primeiro número corresponde à quantidade de blocos no raio e o
segundo, na altura):
60
5 x 5 blocos
10 x 10 blocos
15 x 15 blocos
20 x 20 blocos
25 x 25 blocos
30 x 30 blocos
Inicialmente, testou-se o tempo necessário à simulação de três meses de produção do
reservatório para cada um dos grids utilizando o time-step de 1 dia em um caso sem a
ocorrência de breakthrough de água. Como se percebe na Tabela 3 e pela Figura 17, o
tempo computacional cresce exponencialmente de acordo com o refino do grid
numérico. Adicionalmente, o grid 30 x 30 necessitou de time-steps menores do que 1
dia para iniciar a simulação, levando a um tempo computacional significativo mesmo
para um pequeno intervalo de produção, o que praticamente inviabiliza o seu uso em
simulações de maior duração.
Tabela 3 – Tempo de Simulação para 3 meses de produção e time-step de 1 dia
Grid Numérico Tempo (segundos)
5 x 5 9
10x10 120
15x15 282
20x20 523
25x25 868
30x30 2180
61
Figura 17 – Tempo de Simulação para os Grids de Interesse
Por sua vez, na maioria das simulações, o grid 5 x 5 não apresentou resultados físicos
condizentes com a realidade, de modo que sua baixa precisão de resultados não justifica
o baixíssimo tempo computacional, também sendo descartado como opção de uso.
As quatro malhas restantes foram, então, submetidas a um simples teste de produção,
também para 3 meses, e utilizando vazões de produção distintas. O poço foi aberto em
toda sua extensão pela zona de óleo, de modo que ocorresse produção de água, a fim de
comparativo entre a discrepância dos resultados previstos pelas malhas (já que a
discrepância entre os grids era mínima para os casos em que não ocorria produção de
água).
Os resultados (representados na Tabela 4) indicam que a malha 20 x 20 apresentou
pequena discrepância quando comparada a 25 x 25, em especial para as maiores vazões
testadas, indicando ser uma boa escolha por conta do menor tempo de simulação aliado
ao resultado coerente obtido.
63
Apesar da precisão obtida pela malha 20 x 20, o tempo computacional ainda seria um
fator proibitivo. De acordo com a Tabela 3, uma única simulação de 5 anos de produção
levaria aproximadamente 3 horas com este grid, limitando severamente a quantidade de
simulações possíveis de serem realizadas por conta do tempo. Assim, foram testados
outros grids a fim de saber se era possível obter os resultados similares aos apresentados
pela malha 20 x 20, mas com menor tempo computacional demandado.
Felizmente, dos diversos esquemas testados, encontrou-se que uma malha 15 x 10
apresentava resultados bastante similares ao grid anterior, além de reduzir o tempo total
da simulação proposta de 5 anos para aproximadamente 1 hora. Os testes preliminares,
também considerando canhoneio completo do poço e time-step de 1 dia evidenciam uma
proximidade nos resultados obtidos. Destaca-se, ainda, que a divergência apresentada
em alguns resultados da Tabela 5 (em especial para as menores vazões de produção) é
menor quando um maior tempo de simulação é realizado (comparar a redução da
discrepância para o resultado de 400m³/d entre a Tabela 5 e a Tabela 6), muito
possivelmente por conta da minimização dos efeitos oscilatórios durante o breakthrough
de água, que ocorre mais tardiamente para as vazões menores.
Finalmente, pelos motivos supracitados, definiu-se o grid de simulação como sendo 15
blocos no raio (em malha não uniforme, logarítmica) por 10 na altura, regular.
Tabela 5 - Comparação entre os Grids 15x10 e 20x20 para três meses de produção
64
Tabela 6 - Comparação entre os Grids 15x10 e 20x20 para seis meses de produção
4.2 Análise de Sensibilidade
A análise de sensibilidade para fenômenos físicos tem por objetivo identificar quais
parâmetros do sistema são responsáveis por alterar significativamente a resposta ou
resultado observado, tanto acelerando-a, quanto retardando-a. No caso do cone de água,
todos os parâmetros descritos ao longo das Seções 3.1 e 3.2 são candidatos à análise,
enquanto que a resposta corresponde à intensidade com a qual ocorre a elevação e
breakthrough de água. Assim, o cone de água será considerado muito sensível a
determinado parâmetro se uma pequena mudança no valor deste ocasionar uma grande
mudança no tempo para ocorrência de breakthrough de água no poço.
Neste trabalho, foram estudadas as influências da permeabilidade (horizontal e vertical),
tamanho do aquífero, porosidade, espessura da zona de óleo, raio externo do
reservatório, raio do poço, região canhoneada e vazão de produção, através de uma
análise univariada, a partir de um caso base (canhoneio de 60% da zona de óleo, com
vazão de produção de 500m³), cujo tempo de breakthrough é igual a 300 dias. Destaca-
se que devido à existência de uma quantidade de água inicial na zona de óleo e às
incertezas numéricas, o valor de água antes do breakthrough não é igual à zero. Assim,
o tempo para tal ocorrência é medido de acordo com dois critérios, principalmente:
análise do gráfico das vazões de produção (Figura 18) e observação da evolução dos
perfis de saturação ao redor do poço (Figura 19), de onde o tempo de breakthough é
aferido pelo aumento brusco nos valores de vazão de água.
65
Figura 18 – Medição do Tempo de Breakthrough para o Caso Base
Figura 19 - Perfis de Saturação ao Redor do Poço e Conificação de Água
66
Utilizando estes critérios, foram medidos os tempos de breakthrough, encontrando-se os
resultados da Figura 20.
Os resultados indicam que a densidade, permeabilidade horizontal, permeabilidade
vertical, espessura da zona de óleo são os parâmetros que ocasionaram significativas
mudanças no tempo de breakthrough de água, destacando-se os três primeiros. A
redução na densidade do petróleo (aumento de seu grau API) e aumento da
permeabilidade horizontal auxilia o escoamento radial do óleo por favorecer sua
mobilidade, retardando a subida de água e minimizando seus efeitos. Ainda, de acordo
com o modelo implementado (ver Equação (10)), a mudança na densidade do óleo está
intimamente ligada com o favorecimento de sua viscosidade, o que reforça este efeito.
A influência da permeabilidade vertical (representada no gráfico pela sua razão em
relação à permeabilidade horizontal) pode ser vista com maior intensidade para a faixa
abaixo da razão de 0,1, valor base do modelo, e com efeitos mais pronunciados na
resposta do cone de água. Com a redução da anisotropia e aumento da permeabilidade
vertical, a influência desta na subida de água é cada vez menor, de acordo com os
resultados.
O único parâmetro geométrico que provocou alteração significativa do influxo de água
foi a espessura da camada de óleo. Tamanho do aquífero (espessura), raio externo do
reservatório (tanto fronteiras seladas, quanto fronteiras sob influxo de água) e raio do
poço não influenciaram significamente no fenômeno.
67
Figura 20 - Análise de Sensibilidade para Diversos Parâmetros Testados
Finalmente, a mudança no intervalo de canhoneio e das vazões de produção também
modificou o comportamento da subida de água substancialmente. E diferentemente dos
parâmetros observados anteriormente, o esquema de produção pode ser mais facilmente
modificado de modo a controlar a conificação. De acordo com a Figura 21, a limitação
do intervalo de canhoneio impacta diretamente no cone de água, por reduzir as forças
68
viscosas atuantes no contato óleo-água, atrasando o breakthrough de água. Para
menores vazões, este efeito é ainda mais pronunciado.
Figura 21 - Análise de Sensibilidade para o Intervalo de Canhoneio
Já pela Figura 22, a influência da vazão é pronunciada apenas em baixos valores, mais
próximos do valor crítico/ pseudo-crítico de produção do sistema. Para vazões médias e
mais elevadas, a intensidade de subida da água se torna menos dependente, de modo que
se pode afirmar que o controle do cone de água pela vazão de produção torna-se menos
efetivo, sendo indicado mais indicado para tal, a limitação do canhoneio de poço.
69
Figura 22 - Análise de Sensibilidade para a Vazão de Óleo
4.3 Análise Econômica para a Completação Simples de Poço
O estudo de completação simples de poço objetiva comparar o comportamento da
produção com respeito à mudança na estratégia adotada. Fundamentalmente, retomamos
a questão levantada na introdução deste trabalho, a comparação se um esquema de
produção com maior volume de óleo e água produzidos é mais ou menos vantajoso do
que àqueles com menores volumes destes fluidos.
Para a determinação da estratégia de produção em canhoneio simples de poço, serão
considerados como elementos possíveis de serem modificados o intervalo canhoneado
(fração do reservatório que estará aberta à produção, sempre medido a partir do topo da
zona de óleo, como mostra o esquema na Figura 23) e a vazão total de líquidos a
produzida, corrigida por seus fatores volume formação para o cálculo dos volumes de
óleo e água.
70
Figura 23 - Exemplificação do Cálculo de Alguns Intervalos de Canhoneio
No entanto, faz-se necessário a adoção de um critério para ponderação dos volumes de
óleo e água produzidos, de modo a valorar o primeiro e onerar o segundo, e permitindo
a comparação das diferentes estratégias de produção. Para tal, utilizar-se-á a análise
econômica, pautada no valor presente líquido.
No presente estudo, foram adotados dois valores distintos para o preço de venda do
barril de óleo: 75 USD e 100 USD. Para a oneração pela produção de água, foram
considerados os custos de tratamento (5 USD por barril de água) e descarte (2 USD por
barril de água). Os custos operacionais (englobando tanques e separadores de água,
espaço em plataforma, dimensionamento do sistema de processamento e produção, etc.)
foram estimados em 4 USD por barril total produzido, no caso de razões água óleo
inferiores a 0,3, e em 11 USD para frações maiores de água produzida, para representar
encarecimento da produção decorrente da maior produção de água.
Adicionalmente, como consta na Tabela 7, será adotada uma taxa de atratividade de
10% ao ano para os 5 anos de produção simulados, bem como serão contabilizados os
impostos básicos aos quais a produção de hidrocarbonetos está sujeita. Não foi
contabilizada a chamada Participação Especial, pois os valores simulados sempre
estiveram abaixo da cota mínima para pagamento (por se tratar de uma simulação de
poço único).
71
Tabela 7 - Premissas Econômicas Adotadas
Premissas Econômicas
Preço do Óleo 75 USD/bbl de óleo (conservador)
100 USD/bbl de óleo (otimista)
Separação do Óleo 4 USD/ bbl de líquido (razão água/óleo < 0,3)
11 USD/ bbl de líquido (razão água/óleo > 0,3)
Tratamento e Descarte da Água 7 USD/ bbl de água
Taxa de Câmbio 1 USD = 2,2 BRL (calculada em setembro de 2013)
Taxa de Atratividade 10% ao ano
Critério de Comparação Valor Presente Líquido (VPL)
Impostos
Royalties 10% da receita bruta de óleo
PIS/PASEP/COFFINS 9,25% da receita bruta de óleo
Contrato Social 9% da receita bruta de óleo
Imposto de Renda aproximadamente 25% sobre o lucro
Fundamentado nestes dados, conduziram-se as simulações para o canhoneio simples de
poço, variando-se a vazão de produção e intervalo canhoneado. Foram testadas vazões
de produção desde 100m³/d de líquidos (aproximadamente 629 barris por dia) até
1000m³/d (6290 barris por dia), para canhoneios que variam de 10% a totalidade da
zona de hidrocarbonetos aberta à produção, totalizando cerca de 100 casos a serem
simulados inicialmente (Tabela 8):
Tabela 8 - Resultados Econômicos para o Canhoneio Simples
72
No entanto, nem todos os testes simulados foram expostos, como é perceptível pelos
quadrados em branco da Tabela 8. Nestas ocasiões, houve conflito no simulador entre a
pressão mínima de fundo de poço e a vazão de produção, de modo que fora impossível
de se simular os cinco anos propostos. Por consequência, as vazões possíveis de serem
produzidas eram demasiadamente menores do que as propostas logo no início da
simulação, impossibilitando sua comparação direta com os outros resultados, dada as
condições propostas (pressão de fundo limitada pela pressão de bolha e não utilização
de métodos de elevação artificial). A receita e lucro calculados, portanto, foram abaixo
dos valores indicados.
Dos resultados que foram possíveis de ser simulados é visível que, para um dado
intervalo canhoneado, o aumento da vazão sempre acarretou um resultado econômico
melhor, indiferente à produção de água ou ao preço do barril de óleo. No entanto, cabe
destacar que a adoção de vazões mais elevadas (900m³ e 1000m³) provocou uma
acentuada queda de produção e limitação da pressão de fundo logo no início da
simulação, breakthrough de água muito precoce, e aumento do water-cut até cerca de
50%, indicando que tais estratégias, apesar de melhores no curto e médio prazo, podem
não ser as mais indicadas em uma produção de longo prazo por não manterem as vazões
estabilizadas.
Para uma determinada vazão de produção, entretanto, os resultados foram bastante
dependentes do intervalo de canhoneio. A baixas vazões (100m³ e 200m³) a produção
simulada sempre fora melhor para os canhoneios mínimos, sempre com pressão de
fundo acima do valor mínimo, permitindo uma produção praticamente estável ao longo
dos cinco anos simulados. Para 100m³, inclusive, a resposta é quase independente do
canhoneio escolhido, muito provavelmente por se tratar de um valor de vazão perto do
crítico para o sistema, e que mesmo assim apresenta performance econômica muito
abaixo dos outros valores. Assim, a produção próxima do valor crítico, mesmo evitando
a produção de água, não é justificada economicamente.
Adicionalmente, o aumento na vazão de produção provoca uma mudança nesse padrão,
e canhoneios intermediários (de 40 a 70% da zona de óleo) passam a ter desempenhos
econômicos melhores. Para os resultados de 400m³ e 700m³, por exemplo, uma redução
73
de 10% na fração canhoneada leva a um pior resultado econômico, por limitar a pressão
de fundo de poço muito precocemente, e provocar acentuada queda das vazões
produzidas. A limitação da pressão de fundo de poço, ainda, sempre ocasionou o
aumento no water-cut, indicando que tal estratégia não é adequada para controle do
cone de água, nem justificável economicamente.
4.4 Análise Econômica para a Completação Dupla de Poço
O último estudo de caso considera a estratégia de canhoneio duplo de poço. Estamos
interessados em saber se tal tipo de técnica pode atrasar o breakthrough de água e
aumentar a recuperação de óleo e lucro, quando comparados ao padrão convencional de
canhoneio de poço. Para tal, serão considerados alguns esquemas de produção, contando
com baixas e altas vazões de produção, além de intervalos de canhoneio menores e mais
maiores.
Para os esquemas de canhoneio duplo, é suposta a existência de uma segunda região
canhoneada, alocada diretamente no aquífero (no simulador, a cerca de 30 a 40 metros
abaixo do contato óleo água estático), como exposto na Seção 2.3 deste texto. Ao se
colocar a água diretamente do aquífero em produção, espera-se que a atuação do cone
de água seja minimizada na zona de óleo, de modo que o canhoneio superior produza
com baixo water-cut. Outra vantagem deste método seria a de evitar os custos de
separação da água, bem como dimensionamento da plataforma para tal, de onde adviria
a rentabilidade do método. Entretanto, a produção de água do aquífero pode acarretar
perda de energia natural do reservatório, prejudicando a recuperação final. Com base
nestas premissas, alguns casos de produção foram simulados.
Primeiro, mediu-se a resposta do cone de água para este método. Os tempos de
breakthrough de água no canhoneio superior (Figura 24, onde o zero equivale à
produção sem o canhoneio na zona do aquífero) indicam que é necessário uma vazão de
produção do aquífero da ordem do dobro da vazão de produção do óleo para que ocorra
um atraso apreciável na subida de água. Ainda, o método atrasou mais eficientemente o
canhoneio mais estreito, muito possivelmente pelo maior espaçamento entre as duas
regiões de produção.
75
Em seguida, calculou-se a receita, os custos e o lucro, também utilizando os dados da
Tabela 7. A água produzida pela porção inferior não possui óleo associado, de modo
que seu custo de separação fora igualado à zero. Para um dado valor de produção de
óleo, foram testados distintos valores de produção de água pelo canhoneio inferior
(expressos por “Qinf” na Tabela 9), com os resultados expostos a seguir:
Tabela 9 - Análise Econômica para Alguns Casos de Canhoneio Duplo
76
Apesar de a escolha das vazões não contemplar todos os cenários possíveis, importantes
conclusões podem ser delineadas a partir da Tabela 9. A primeira delas é a de que o
método de completação dupla e produção concomitante de água e óleo é viável por
aumentar a recuperação de óleo (visível através do aumento da receita bruta, em relação
ao caso base) e não pela redução de custos (que aumentam pela produção excessiva de
água necessária ao funcionamento do método, mesmo com a redução dos custos de
separação).
Ainda referente à produção de água, a mesma deve ser aproximadamente da mesma
ordem de grandeza da produção de óleo para a economicidade da técnica (como notado
pelos casos em que a vazão de produção do óleo fora de 300 m³/d), de modo a aplicar
similares gradientes de pressão no contato entre os fluidos do reservatório.
No caso de maiores vazões intermediárias e mais altas (500m³ e 700m³) o método
apresentou-se menos vantajoso do que o caso base, muito provavelmente decorrente das
elevadas vazões de retirada de água provocar a depleção precoce do reservatório,
comprometendo a produção de óleo no canhoneado superior. Possivelmente, uma forma
de reduzir a produção de água demandada para o funcionamento do método nestes casos
seria mudando o espaçamento entre as duas regiões, dado os resultados expostos para a
vazão de 300m³/d, também na Tabela 9, onde o estreitamento do canhoneio de 80% –
Blocos 3 a 10 – para 40% – Blocos 7 a 10 – acarretou uma redução na vazão de água e
aumentou o lucro. Deste modo, o espaçamento entre as duas porções parecer ser o outro
ponto crítico para o sucesso ou fracasso do método, em conformidade com os resultados
de trabalhos anteriores.
4.5 Considerações do Capítulo
Este capítulo abordou todos os estudos de casos realizados no simulador numérico,
desde a sua construção e implementação no software Wolfram Mahtematica 8, até a
obtenção de resultados.
77
Os dados e modelos de entrada foram descritos, bem como a estratégia adotada para a
escolha do grid de simulação, através de uma análise de convergência, baseada em
determinados critérios.
Em seguida, conduziu-se a análise de sensibilidade para o cone de água, reconfirmando
alguns dos resultados presentes na literatura. Por fim, realizaram-se os estudos de caso,
através de sucessivas simulações com a finalidade de se comparar diversas estratégias
de produção, com uma análise dos resultados obtidos no decorrer do capítulo.
78
5 Conclusões O presente trabalho contou com a simulação numérica de reservatórios sujeitos à
conificação de água, um tema de relevância para uma indústria altamente ligada à
economicidade de projetos como a petrolífera.
O modelo desenvolvido contou com um forte embasamento teórico, culminando com
um simulador que apresentou resultados, para a análise de sensibilidade, coerentes com
a literatura geral sobre o problema, ao destacar que a permeabilidade horizontal,
densidade/viscosidade do óleo, espessura da zona produtora e o esquema adotado de
vazão/canhoneio são os fatores de maior influência na formação do cone de água.
Para os esquemas de completação simulados, nota-se que existe uma relação muito
dependente entre a vazão de produção e o canhoneio de poço, sendo as melhores
estratégias aquelas que permitem evitam a produção de água antecipada sem requerer
uma queda de pressão acentuada no fundo do poço. Para a completação simples de
poço, altas vazões de produção apresentaram-se mais vantajosas economicamente do
que aquelas menores, mesmo com a maior vazão de água decorrente. Para a
completação dupla, as simulações indicaram que o método apresenta viabilidade
econômica, principalmente para baixas vazões de produção e que o mesmo depende
crucialmente da relação entre as vazões e espaçamento entre as zonas produtoras.
De forma geral, pode-se afirmar que a metodologia numérica adotada fora bem sucedida
com respeito ao uso do Método dos Volumes Finitos, onde não foram observados erros
ou divergências quanto ao valor total de fluidos produzidos (soma das correntes de água
e óleo) e volumes extraídos do reservatório. No entanto, é preciso destacar que a adoção
da metodologia IMPES prejudicou a convergência da resposta, levando a oscilações no
time-step e nas vazões de produção, especialmente durante o tempo em que as
saturações de água crescem ao redor do poço, até sua posterior estabilização.
É importante destacar que, apesar de este trabalho abarcar uma série de particularidades
sobre o fenômeno de cones de água, muito ainda pode e deve ser feito, especialmente na
direção de se modelar reservatórios mais reais, considerando camadas com diferentes
79
porosidades e permeabilidades (reservatório heterogêneo), efeitos de escoamento
esférico na extremidade do poço, existência de falhas, sistemas tridimensionais de
simulação, e mais estudos sobre técnicas mitigadoras, em particular os esquemas de
canhoneio múltiplo de poço (dupla e tripla). No âmbito computacional, sugere-se que a
utilização de modelos totalmente implícitos, a fim de se evitar os problemas
supracitados de elevados tempos computacionais e time-step, além de se permitir
simulações para predição de comportamentos em longo prazo.
Ainda, é desejado que os esforços conduzidos para resolução de problemas deste tipo
caminhem na direção da criação de códigos e algoritmos que permitam a otimização
direta do problema, encontrando os melhores esquemas de produção (vazão, intervalo
de canhoneio, número de zonas canhoneadas, etc.) de uma forma mais direta, sem a
realização de excessivas simulações.
80
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