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ANÁLISE DE UM PROBLEMA GENÉRICO DA MECÂNICA DOS
SÓLIDOS
z
y
xzz
zy
xy
yx
yy
yz
xx
xy
xyzx
xx
xz
yy
yzyx
zzzx
yz
z
x
y P
(a) (b)
dv
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INCOGNITAS
• Neste problema vamos ter as seguintes incógnitas: 6 tensões, 6 deformações e 3 deslocamentos. No total serão 15 incógnitas.
Campo de deslocamentos
Campo de deformações
Campo de tensões
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Equações de Equilíbrio• Três equações de equilíbrio das forças;• Três equações de equilíbrio dos momentos.• Nas equações de equilíbrio dos momentos é possível considerar a condição de simetria do
tensor de tensões. Considerando a simetria do tensor de tensões, o número de incógnitas baixa de 9, para 6.
Equilíbrio na ausência de forças de volume
(3 equações)
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Relações entre deslocamentos e deformações (6 equações)
As relações acima citadas, para o caso mais geral de deformações finitas, podem ser expressas como:
Onde xi são as coordenadas da configuração deformada. Se as componentes dos deslocamentos e suas derivadas primeiras são suficientemente pequenas, seus produtos e potências são desprezados fazendo com que a expressão anterior resulte em:
As equações anteriores são válidas quando se tem presente deformações e deslocamentos infinitesimais.
j
k
i
k
i
j
j
iij x
u
x
u
x
u
x
u
2
1
i
j
j
iij x
u
x
u
2
1
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Equações Constitutivas (6 equações)
• Teríamos também 6 equações que relacionam as tensões com as deformações, chamadas de relações constitutivas, que em geral podem ser expressadas como:
No caso da Lei Constitutiva ser a Elástica Linear:
klijklik C
)( klij C
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• Onde Cijkl é um tensor de quarta ordem formado por constantes elásticas. A partir de considerações energéticas é possível determinar que o mesmo é simétrico e no caso de se estudar um meio isotrópico e homogêneo, determina-se duas constantes independentes que podem ser o Módulo de Elasticidade Longitudinal de Young e o coeficiente de Poisson. Associando isto a um caso uniaxial da relação constitutiva (Cijkl), se está presente a lei
de Hooke:
E
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No caso de elasticidade linear e um corpo isotrópico e Homogêneo
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Outro conjunto de equações, que até agora não foi mencionado, refere-se às equações de compatibilidade, as quais garantem que as equações diferenciais anteriores possam ser integradas. Elas são utilizadas para controlar o acontecimento de interpenetrações internas no material estudado.
As condições mecânicas de contorno podem ser expressas
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Numero de incógnitas total por elemento diferencial é 15, (6 tensões,6 def., 3 deslocamentos)
Número de equações:
3 equações de equilíbrio ( fico com as três de força)
6 equações constitutivas ( tensão deformação)
6 relações def. deslocamentos
-----------------------------(no total 15 equações)
+ 6 equações de compatibilidade +condições de contorno.
RESUMINDO
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Algumas Observações
• Se os deslocamentos e deformações são infinitesimais e a relação constitutiva é elástica linear, o sistema de equações visto é linear e sua resolução fica simplificada (Por exemplo: pode-se aplicar o princípio de superposição dos efeitos).
• Se as deformações ou os deslocamentos não são pequenos, deverão ser utilizadas às equações
• Em vez de
• Neste caso o problema é chamado de não linear geométrico.
j
k
i
k
i
j
j
iij x
u
x
u
x
u
x
u
2
1
i
j
j
iij x
u
x
u
2
1
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• Muitas vezes o problema analisado é linear, mas não possibilita uma resolução de forma analítica, portanto, deve-se utilizar algum método numérico, como o caso do método dos elementos finitos ou elementos de contorno.
• É importante salientar também que pela natureza do problema a ser estudado, muitas vezes é possível simplificar o conjunto de equações, utilizando teorias aproximadas que permitem reduzir uma ou duas dimensões do problema estudado.
• Como exemplos, pode-se destacar a teoria de vigas, teoria de casca e as teorias de estados planos (estado plano de tensões, estado plano de deformações e estado axissimétrico).
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Classificação Estrutural
• Elementos unidimensionais• (uma das dimensões muito maior que as outras duas)
• Modelo de treliça plana e espacial• Modelo de Pórtico plano• Modelo de Grelha Plana• Modelo de Pórtico espacial
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Modelos Bidimensionais
Estado Plano de tensões (EPT)
Se diz que uma estrutura a está em estado de tensão plana se uma de suas dimensões (espessura) é muito menor que as outras duas , e sobre ela atuam unicamente cargas contidas em seu plano médio
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Por definição fica estabelecido que no estado plano de tensões se tem as tensões fora do plano médio da estrutura com valor igual a zero ( z = xz = zy =0) e que as tensões restantes são independentes da coordenada z,
(x= f1(x,y); y= f2(x,y); xy= f3(x,y)). Se tem também como incógnitas, diferentes de zero, as deformações x, xy, y, z , e os deslocamentos u, v, w.
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Problemas de deformação plana
Uma estrutura prismática está em estado plano de deformação se uma de suas dimensões é muito maior do que as outras duas; e sobre ela atuam unicamente cargas uniformemente distribuídas ao longo de seu comprimento - contidas em planos ortogonais ao eixo que une os centros de gravidade de suas distintas seções transversais.
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As deformações fora do plano x,y serão nulas, e o deslocamento na direção z também é nulo. ( z= xz= yz=0,w=0)
Os deslocamentos u e v são independentes da ordenada z (u= g1(x,y); v= g2(x,y)) as deformações dentro do plano x,y também não dependerão
da coordenada z (x= f1(x,y); y= f2(x,y); xy= f3(x,y)).,
A partir destes valores é possível encontrar x, y, z, e xy que serão em geral diferentes de zero. Observe-se que apesar do problema ser bidimensional (depende só das coordenadas nas direções x e y) tem-se incógnitas fora do plano como é o caso de z.
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Sólidos Axissimétricos
Se consideram sólidos axissimétricos aqueles em que sua geometria e propriedades mecânicas são independentes da coordenada circunferencial . Ainda que o comportamento de tais sólidos é tridimensional, seu estudo matemático é bidimensional já que pode ser efetuado utilizando variáveis que dependem unicamente de duas coordenadas cartesianas.
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Se as cargas exteriores são também de revolução, o deslocamento de um ponto da estrutura considerada como um sólido de revolução tem só componentes em direções radiais (u) e axiais (w).
![Page 21: ANÁLISE DE UM PROBLEMA GENÉRICO DA MECÂNICA DOS SÓLIDOS](https://reader035.vdocuments.com.br/reader035/viewer/2022081512/552fc10b497959413d8c2575/html5/thumbnails/21.jpg)
• Modelo de Cascas
Uma das dimensões muito menor que as outras duas
Cargas em sem restrição
Modelos simplificados
-Modelo de placas
-Modelo de membranas
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![Page 23: ANÁLISE DE UM PROBLEMA GENÉRICO DA MECÂNICA DOS SÓLIDOS](https://reader035.vdocuments.com.br/reader035/viewer/2022081512/552fc10b497959413d8c2575/html5/thumbnails/23.jpg)
![Page 24: ANÁLISE DE UM PROBLEMA GENÉRICO DA MECÂNICA DOS SÓLIDOS](https://reader035.vdocuments.com.br/reader035/viewer/2022081512/552fc10b497959413d8c2575/html5/thumbnails/24.jpg)
• Modelo tridimensional