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Algoritmos e Teoria dos GrafosAula 08
Prof. Murilo V. G. da Silva
DINF/UFPR
Material da Disciplina:
Renato J. S. Carmo
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Arvores, Florestas e Arborescencias
Arvore
Uma arvore e um grafo acıclico conexo.
Floresta
Uma floresta e um grafo em que cada componente e uma arvore.
Teorema
Um grafo e arvore ⇔ admite um unico caminho entre cada par de seus vertices.
Prova: Consequencia direta de um teorema da aula passada
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Arvores, Florestas e Arborescencias
Arvore
Uma arvore e um grafo acıclico conexo.
Floresta
Uma floresta e um grafo em que cada componente e uma arvore.
Teorema
Um grafo e arvore ⇔ admite um unico caminho entre cada par de seus vertices.
Prova: Consequencia direta de um teorema da aula passada
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Arvores, Florestas e Arborescencias
Arvore
Uma arvore e um grafo acıclico conexo.
Floresta
Uma floresta e um grafo em que cada componente e uma arvore.
Teorema
Um grafo e arvore ⇔ admite um unico caminho entre cada par de seus vertices.
Prova: Consequencia direta de um teorema da aula passada
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Arvores, Florestas e Arborescencias
Arvore
Uma arvore e um grafo acıclico conexo.
Floresta
Uma floresta e um grafo em que cada componente e uma arvore.
Teorema
Um grafo e arvore ⇔ admite um unico caminho entre cada par de seus vertices.
Prova: Consequencia direta de um teorema da aula passada
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Arvores, Florestas e Arborescencias
Denotamos por uTv o unico caminho de u a v na arvore T .
Se F e uma floresta e os vertices u e v estao no mesmo componente T de F ,usamos uFv como sinonimo de uTv .
Um vertice de grau 1 em uma floresta e chamado de folha.
Teorema
Toda arvore nao trivial tem (pelo menos) duas folhas.
Prova: Em sala de aula
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Arvores, Florestas e Arborescencias
Denotamos por uTv o unico caminho de u a v na arvore T .
Se F e uma floresta e os vertices u e v estao no mesmo componente T de F ,usamos uFv como sinonimo de uTv .
Um vertice de grau 1 em uma floresta e chamado de folha.
Teorema
Toda arvore nao trivial tem (pelo menos) duas folhas.
Prova: Em sala de aula
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Arvores, Florestas e Arborescencias
Denotamos por uTv o unico caminho de u a v na arvore T .
Se F e uma floresta e os vertices u e v estao no mesmo componente T de F ,usamos uFv como sinonimo de uTv .
Um vertice de grau 1 em uma floresta e chamado de folha.
Teorema
Toda arvore nao trivial tem (pelo menos) duas folhas.
Prova: Em sala de aula
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Arvores, Florestas e Arborescencias
Denotamos por uTv o unico caminho de u a v na arvore T .
Se F e uma floresta e os vertices u e v estao no mesmo componente T de F ,usamos uFv como sinonimo de uTv .
Um vertice de grau 1 em uma floresta e chamado de folha.
Teorema
Toda arvore nao trivial tem (pelo menos) duas folhas.
Prova: Em sala de aula
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Arvores, Florestas e Arborescencias
Teorema
Toda arvore de n vertices tem n − 1 arestas.
Prova: Em sala de aula
Corolario
Todo grafo conexo com n vertices e n − 1 arestas e arvore.
Prova: Exercıcio
Corolario
Um grafo com n vertices e arvore se e somente se e conexo e tem n − 1 arestas.
Corolario
O grafo G e floresta ⇔ |E(G)| = |V (G)| − |C(G)|.
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Arvores, Florestas e Arborescencias
Teorema
Toda arvore de n vertices tem n − 1 arestas.
Prova: Em sala de aula
Corolario
Todo grafo conexo com n vertices e n − 1 arestas e arvore.
Prova: Exercıcio
Corolario
Um grafo com n vertices e arvore se e somente se e conexo e tem n − 1 arestas.
Corolario
O grafo G e floresta ⇔ |E(G)| = |V (G)| − |C(G)|.
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Arvores, Florestas e Arborescencias
Teorema
Toda arvore de n vertices tem n − 1 arestas.
Prova: Em sala de aula
Corolario
Todo grafo conexo com n vertices e n − 1 arestas e arvore.
Prova: Exercıcio
Corolario
Um grafo com n vertices e arvore se e somente se e conexo e tem n − 1 arestas.
Corolario
O grafo G e floresta ⇔ |E(G)| = |V (G)| − |C(G)|.
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Arvores, Florestas e Arborescencias
Teorema
Toda arvore de n vertices tem n − 1 arestas.
Prova: Em sala de aula
Corolario
Todo grafo conexo com n vertices e n − 1 arestas e arvore.
Prova: Exercıcio
Corolario
Um grafo com n vertices e arvore se e somente se e conexo e tem n − 1 arestas.
Corolario
O grafo G e floresta ⇔ |E(G)| = |V (G)| − |C(G)|.
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Arvores, Florestas e Arborescencias
Teorema
Toda arvore de n vertices tem n − 1 arestas.
Prova: Em sala de aula
Corolario
Todo grafo conexo com n vertices e n − 1 arestas e arvore.
Prova: Exercıcio
Corolario
Um grafo com n vertices e arvore se e somente se e conexo e tem n − 1 arestas.
Corolario
O grafo G e floresta ⇔ |E(G)| = |V (G)| − |C(G)|.
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Arvores, Florestas e Arborescencias
Teorema
Toda arvore de n vertices tem n − 1 arestas.
Prova: Em sala de aula
Corolario
Todo grafo conexo com n vertices e n − 1 arestas e arvore.
Prova: Exercıcio
Corolario
Um grafo com n vertices e arvore se e somente se e conexo e tem n − 1 arestas.
Corolario
O grafo G e floresta ⇔ |E(G)| = |V (G)| − |C(G)|.
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Arvores, Florestas e Arborescencias
Teorema
Seja T e uma arvore e u, v ∈ V (G) vertices tal que {u, v} /∈ E(T ). Entao T + {u, v}tem um unico ciclo.
Prova: Em sala de aula
Seja T uma arvore e u, v ∈ V (T ) tal que {u, v} /∈ E(T )
O ciclo T [uTv(v , u)] e o ciclo fundamental de {u, v} com relacao a T .
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Arvores, Florestas e Arborescencias
Teorema
Seja T e uma arvore e u, v ∈ V (G) vertices tal que {u, v} /∈ E(T ). Entao T + {u, v}tem um unico ciclo.
Prova: Em sala de aula
Seja T uma arvore e u, v ∈ V (T ) tal que {u, v} /∈ E(T )
O ciclo T [uTv(v , u)] e o ciclo fundamental de {u, v} com relacao a T .
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Arvores, Florestas e Arborescencias
Teorema
Seja T e uma arvore e u, v ∈ V (G) vertices tal que {u, v} /∈ E(T ). Entao T + {u, v}tem um unico ciclo.
Prova: Em sala de aula
Seja T uma arvore e u, v ∈ V (T ) tal que {u, v} /∈ E(T )
O ciclo T [uTv(v , u)] e o ciclo fundamental de {u, v} com relacao a T .
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Arvores, Florestas e Arborescencias
Se T e um subgrafo de G que e arvore, dizemos que T e uma arvore de G .
(o mesmo vale para floresta)
Arvore Geradora
Uma arvore geradora de G e um subgrafo gerador que e uma arvore
Definicao similar para floresta geradora
Teorema
Um subgrafo do grafo G e arvore geradora de G ⇔ e subgrafo conexo minimal de G .
Prova: Exercıcio
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Arvores, Florestas e Arborescencias
Se T e um subgrafo de G que e arvore, dizemos que T e uma arvore de G .(o mesmo vale para floresta)
Arvore Geradora
Uma arvore geradora de G e um subgrafo gerador que e uma arvore
Definicao similar para floresta geradora
Teorema
Um subgrafo do grafo G e arvore geradora de G ⇔ e subgrafo conexo minimal de G .
Prova: Exercıcio
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Arvores, Florestas e Arborescencias
Se T e um subgrafo de G que e arvore, dizemos que T e uma arvore de G .(o mesmo vale para floresta)
Arvore Geradora
Uma arvore geradora de G e um subgrafo gerador que e uma arvore
Definicao similar para floresta geradora
Teorema
Um subgrafo do grafo G e arvore geradora de G ⇔ e subgrafo conexo minimal de G .
Prova: Exercıcio
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Arvores, Florestas e Arborescencias
Se T e um subgrafo de G que e arvore, dizemos que T e uma arvore de G .(o mesmo vale para floresta)
Arvore Geradora
Uma arvore geradora de G e um subgrafo gerador que e uma arvore
Definicao similar para floresta geradora
Teorema
Um subgrafo do grafo G e arvore geradora de G ⇔ e subgrafo conexo minimal de G .
Prova: Exercıcio
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Arvores, Florestas e Arborescencias
Se T e um subgrafo de G que e arvore, dizemos que T e uma arvore de G .(o mesmo vale para floresta)
Arvore Geradora
Uma arvore geradora de G e um subgrafo gerador que e uma arvore
Definicao similar para floresta geradora
Teorema
Um subgrafo do grafo G e arvore geradora de G ⇔ e subgrafo conexo minimal de G .
Prova: Exercıcio
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Arvores, Florestas e Arborescencias
Se T e um subgrafo de G que e arvore, dizemos que T e uma arvore de G .(o mesmo vale para floresta)
Arvore Geradora
Uma arvore geradora de G e um subgrafo gerador que e uma arvore
Definicao similar para floresta geradora
Teorema
Um subgrafo do grafo G e arvore geradora de G ⇔ e subgrafo conexo minimal de G .
Prova: Exercıcio
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Arvores, Florestas e Arborescencias
Arvore enraizada
Uma arvore enraizada e um par (T , r) onde T e uma arvore e r e um verticede T , chamado raız de T .
Nıvel de um vertice
O nıvel do vertice v na arvore enraizada (T , r) e a distancia de r a v em T ,isto e,
LT ,r (v) = dT (r , v).
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Arvores, Florestas e Arborescencias
Arvore enraizada
Uma arvore enraizada e um par (T , r) onde T e uma arvore e r e um verticede T , chamado raız de T .
Nıvel de um vertice
O nıvel do vertice v na arvore enraizada (T , r) e a distancia de r a v em T ,isto e,
LT ,r (v) = dT (r , v).
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Arvores, Florestas e Arborescencias
Arborescencia
Uma arborescencia e um grafo direcionado conexo com uma unica fonte em que todosos demais vertices tem grau de entrada 1.
A fonte de uma arborescencia T e chamada de raiz de T e e denotada r(T ).
Definicoes
Seja T uma arborescencia
Se (u, v) ∈ V (T ), entao dizemos que u e pai de v e que v e filho de u em T .
Se existe caminho direcionado de u a v em T , entao dizemos que u e ancestralde v e que v e descendente de u em T . Notacao: u ≤T v . Se u 6= v dizemosainda que u e ancestral proprio de v e que v e descendente proprio de u em T oque e denotado por u <T v .
v ∈ V (T ) nao tem filhos, dizemos que v e uma folha de T .
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Arvores, Florestas e Arborescencias
Arborescencia
Uma arborescencia e um grafo direcionado conexo com uma unica fonte em que todosos demais vertices tem grau de entrada 1.
A fonte de uma arborescencia T e chamada de raiz de T e e denotada r(T ).
Definicoes
Seja T uma arborescencia
Se (u, v) ∈ V (T ), entao dizemos que u e pai de v e que v e filho de u em T .
Se existe caminho direcionado de u a v em T , entao dizemos que u e ancestralde v e que v e descendente de u em T . Notacao: u ≤T v . Se u 6= v dizemosainda que u e ancestral proprio de v e que v e descendente proprio de u em T oque e denotado por u <T v .
v ∈ V (T ) nao tem filhos, dizemos que v e uma folha de T .
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Arvores, Florestas e Arborescencias
Arborescencia
Uma arborescencia e um grafo direcionado conexo com uma unica fonte em que todosos demais vertices tem grau de entrada 1.
A fonte de uma arborescencia T e chamada de raiz de T e e denotada r(T ).
Definicoes
Seja T uma arborescencia
Se (u, v) ∈ V (T ), entao dizemos que u e pai de v e que v e filho de u em T .
Se existe caminho direcionado de u a v em T , entao dizemos que u e ancestralde v e que v e descendente de u em T . Notacao: u ≤T v . Se u 6= v dizemosainda que u e ancestral proprio de v e que v e descendente proprio de u em T oque e denotado por u <T v .
v ∈ V (T ) nao tem filhos, dizemos que v e uma folha de T .
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Arvores, Florestas e Arborescencias
Arborescencia
Uma arborescencia e um grafo direcionado conexo com uma unica fonte em que todosos demais vertices tem grau de entrada 1.
A fonte de uma arborescencia T e chamada de raiz de T e e denotada r(T ).
Definicoes
Seja T uma arborescencia
Se (u, v) ∈ V (T ), entao dizemos que u e pai de v e que v e filho de u em T .
Se existe caminho direcionado de u a v em T , entao dizemos que u e ancestralde v e que v e descendente de u em T . Notacao: u ≤T v . Se u 6= v dizemosainda que u e ancestral proprio de v e que v e descendente proprio de u em T oque e denotado por u <T v .
v ∈ V (T ) nao tem filhos, dizemos que v e uma folha de T .
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Arvores, Florestas e Arborescencias
Arborescencia
Uma arborescencia e um grafo direcionado conexo com uma unica fonte em que todosos demais vertices tem grau de entrada 1.
A fonte de uma arborescencia T e chamada de raiz de T e e denotada r(T ).
Definicoes
Seja T uma arborescencia
Se (u, v) ∈ V (T ), entao dizemos que u e pai de v e que v e filho de u em T .
Se existe caminho direcionado de u a v em T , entao dizemos que u e ancestralde v e que v e descendente de u em T . Notacao: u ≤T v . Se u 6= v dizemosainda que u e ancestral proprio de v e que v e descendente proprio de u em T oque e denotado por u <T v .
v ∈ V (T ) nao tem filhos, dizemos que v e uma folha de T .
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Arvores, Florestas e Arborescencias
Arborescencia
Uma arborescencia e um grafo direcionado conexo com uma unica fonte em que todosos demais vertices tem grau de entrada 1.
A fonte de uma arborescencia T e chamada de raiz de T e e denotada r(T ).
Definicoes
Seja T uma arborescencia
Se (u, v) ∈ V (T ), entao dizemos que u e pai de v e que v e filho de u em T .
Se existe caminho direcionado de u a v em T , entao dizemos que u e ancestralde v e que v e descendente de u em T . Notacao: u ≤T v . Se u 6= v dizemosainda que u e ancestral proprio de v e que v e descendente proprio de u em T oque e denotado por u <T v .
v ∈ V (T ) nao tem filhos, dizemos que v e uma folha de T .
Prof. Murilo V. G. da Silva Algoritmos e Teoria dos Grafos
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Arvores, Florestas e Arborescencias
Seja T uma arborescencia, u, v ∈ V (T ) tal que u e ancestral de v
O unico ciclo direcionado de T + (v , u) e chamado de ciclo fundamental de(v , u) com relacao a T .
Floresta direcionada
Uma floresta direcionada e um grafo direcionado em que cada componente e umaarborescencia.
Seja T e uma floresta direcionada geradora de um grafo direcionado G e(u, v) ∈ A(G)− A(T ).
O arco (u, v) pode ser dos seguintes tipos:
laco: se u = v (caso lacos sejam permitidos)
arco de retorno: se u >T v
arco de avanco: se u <T v
arco cruzado: se u 6<T v
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Arvores, Florestas e Arborescencias
Seja T uma arborescencia, u, v ∈ V (T ) tal que u e ancestral de v
O unico ciclo direcionado de T + (v , u) e chamado de ciclo fundamental de(v , u) com relacao a T .
Floresta direcionada
Uma floresta direcionada e um grafo direcionado em que cada componente e umaarborescencia.
Seja T e uma floresta direcionada geradora de um grafo direcionado G e(u, v) ∈ A(G)− A(T ).
O arco (u, v) pode ser dos seguintes tipos:
laco: se u = v (caso lacos sejam permitidos)
arco de retorno: se u >T v
arco de avanco: se u <T v
arco cruzado: se u 6<T v
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Arvores, Florestas e Arborescencias
Seja T uma arborescencia, u, v ∈ V (T ) tal que u e ancestral de v
O unico ciclo direcionado de T + (v , u) e chamado de ciclo fundamental de(v , u) com relacao a T .
Floresta direcionada
Uma floresta direcionada e um grafo direcionado em que cada componente e umaarborescencia.
Seja T e uma floresta direcionada geradora de um grafo direcionado G e(u, v) ∈ A(G)− A(T ).
O arco (u, v) pode ser dos seguintes tipos:
laco: se u = v (caso lacos sejam permitidos)
arco de retorno: se u >T v
arco de avanco: se u <T v
arco cruzado: se u 6<T v
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Arvores, Florestas e Arborescencias
Seja T uma arborescencia, u, v ∈ V (T ) tal que u e ancestral de v
O unico ciclo direcionado de T + (v , u) e chamado de ciclo fundamental de(v , u) com relacao a T .
Floresta direcionada
Uma floresta direcionada e um grafo direcionado em que cada componente e umaarborescencia.
Seja T e uma floresta direcionada geradora de um grafo direcionado G e(u, v) ∈ A(G)− A(T ).
O arco (u, v) pode ser dos seguintes tipos:
laco: se u = v (caso lacos sejam permitidos)
arco de retorno: se u >T v
arco de avanco: se u <T v
arco cruzado: se u 6<T v
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Arvores, Florestas e Arborescencias
Seja T uma arborescencia, u, v ∈ V (T ) tal que u e ancestral de v
O unico ciclo direcionado de T + (v , u) e chamado de ciclo fundamental de(v , u) com relacao a T .
Floresta direcionada
Uma floresta direcionada e um grafo direcionado em que cada componente e umaarborescencia.
Seja T e uma floresta direcionada geradora de um grafo direcionado G e(u, v) ∈ A(G)− A(T ).
O arco (u, v) pode ser dos seguintes tipos:
laco: se u = v
(caso lacos sejam permitidos)
arco de retorno: se u >T v
arco de avanco: se u <T v
arco cruzado: se u 6<T v
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Arvores, Florestas e Arborescencias
Seja T uma arborescencia, u, v ∈ V (T ) tal que u e ancestral de v
O unico ciclo direcionado de T + (v , u) e chamado de ciclo fundamental de(v , u) com relacao a T .
Floresta direcionada
Uma floresta direcionada e um grafo direcionado em que cada componente e umaarborescencia.
Seja T e uma floresta direcionada geradora de um grafo direcionado G e(u, v) ∈ A(G)− A(T ).
O arco (u, v) pode ser dos seguintes tipos:
laco: se u = v (caso lacos sejam permitidos)
arco de retorno: se u >T v
arco de avanco: se u <T v
arco cruzado: se u 6<T v
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Arvores, Florestas e Arborescencias
Seja T uma arborescencia, u, v ∈ V (T ) tal que u e ancestral de v
O unico ciclo direcionado de T + (v , u) e chamado de ciclo fundamental de(v , u) com relacao a T .
Floresta direcionada
Uma floresta direcionada e um grafo direcionado em que cada componente e umaarborescencia.
Seja T e uma floresta direcionada geradora de um grafo direcionado G e(u, v) ∈ A(G)− A(T ).
O arco (u, v) pode ser dos seguintes tipos:
laco: se u = v (caso lacos sejam permitidos)
arco de retorno: se u >T v
arco de avanco: se u <T v
arco cruzado: se u 6<T v
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Arvores, Florestas e Arborescencias
Seja T uma arborescencia, u, v ∈ V (T ) tal que u e ancestral de v
O unico ciclo direcionado de T + (v , u) e chamado de ciclo fundamental de(v , u) com relacao a T .
Floresta direcionada
Uma floresta direcionada e um grafo direcionado em que cada componente e umaarborescencia.
Seja T e uma floresta direcionada geradora de um grafo direcionado G e(u, v) ∈ A(G)− A(T ).
O arco (u, v) pode ser dos seguintes tipos:
laco: se u = v (caso lacos sejam permitidos)
arco de retorno: se u >T v
arco de avanco: se u <T v
arco cruzado: se u 6<T v
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Arvores, Florestas e Arborescencias
Dizemos que uma arborescencia T e uma arborescencia de um grafo G se o grafoS(T ) e arvore de G .
Uma floresta direcionada F e uma floresta direcionada de um grafo naodirecionado G se o grafo S(F ) e floresta de G .
Neste caso, por convencao E(F ) = E(S(F ))
No caso acima, uma aresta {u, v} /∈ E(F ) pode ser dos seguintes tipos
de retorno se u <T v ou v <T u,
cruzada se u 6<T v .
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Arvores, Florestas e Arborescencias
Dizemos que uma arborescencia T e uma arborescencia de um grafo G se o grafoS(T ) e arvore de G .
Uma floresta direcionada F e uma floresta direcionada de um grafo naodirecionado G se o grafo S(F ) e floresta de G .
Neste caso, por convencao E(F ) = E(S(F ))
No caso acima, uma aresta {u, v} /∈ E(F ) pode ser dos seguintes tipos
de retorno se u <T v ou v <T u,
cruzada se u 6<T v .
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Arvores, Florestas e Arborescencias
Dizemos que uma arborescencia T e uma arborescencia de um grafo G se o grafoS(T ) e arvore de G .
Uma floresta direcionada F e uma floresta direcionada de um grafo naodirecionado G se o grafo S(F ) e floresta de G .
Neste caso, por convencao E(F ) = E(S(F ))
No caso acima, uma aresta {u, v} /∈ E(F ) pode ser dos seguintes tipos
de retorno se u <T v ou v <T u,
cruzada se u 6<T v .
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Arvores, Florestas e Arborescencias
Dizemos que uma arborescencia T e uma arborescencia de um grafo G se o grafoS(T ) e arvore de G .
Uma floresta direcionada F e uma floresta direcionada de um grafo naodirecionado G se o grafo S(F ) e floresta de G .
Neste caso, por convencao E(F ) = E(S(F ))
No caso acima, uma aresta {u, v} /∈ E(F ) pode ser dos seguintes tipos
de retorno se u <T v ou v <T u,
cruzada se u 6<T v .
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