algoritmos em grafos Árvores geradoras prof. andré renato 1º semestre / 2012
TRANSCRIPT
Algoritmos em Grafos
Árvores Geradoras
Prof. André Renato
1º Semestre / 2012
Algoritmos em GrafosVamos voltar a falar em árvores:
◦Como definir a estrutura de dados “árvore”?
◦Quais os elementos que compõem uma árvore?
◦Em relação ao número de filhos de cada nó, como podem ser as árvores?
Algoritmos em GrafosSe pensarmos nas árvores como
grafos acíclicos (sem ciclos) não-direcionados, qual a quantidade de arestas que podemos ter?
Qual seria a raiz da árvore?
Algoritmos em GrafosNo processo de confecção de
circuitos eletrônicos, é muito comum precisar fazer com que diversos pinos (partes do circuito) sejam eletricamente equivalentes.
Isto equivale a dizer que estes pinos precisam estar conectados entre si, através de fios.
Algoritmos em GrafosDeverão ser utilizados n-1 fios,
para conectar n pinos.A colocação dos fios deve ser tal
que seja gasta a menor quantidade possível de fios.
Este problema pode ser modelado através de grafos.
Algoritmos em GrafosOs pinos são os vértices;As possíveis conexões entre pinos
são as arestas;O peso (custo) associado às arestas
é a quantidade de fio necessária para a ligação;
Nós desejamos encontrar um subconjunto acíclico de arestas de forma que a soma de todos os custos seja a mínima possível.
Algoritmos em GrafosO resultado é uma árvore que
conecta todos os vértices, chamada de árvore geradora, uma vez que ela gera o grafo G.
O problema é chamado de Problema da Árvore Geradora Mínima (AGM), ou Problema da Árvore Geradora de Custo Mínimo.
Algoritmos em GrafosExistem dois algoritmos
mundialmente famosos para este problema;◦Prim;◦Kruskal;
A utilização de um ou de outro vai depender de características do grafo, como sua esparsidade, por exemplo.
Algoritmos em GrafosAmbos utilizam a estratégia
gulosa de escolher primeiro as arestas de menor custo possível;
Em ambos está presente, direta ou indiretamente, a preocupação de não formar ciclos com as escolhas realizadas.
Algoritmos em GrafosAlgoritmo de Kruskal:
◦A idéia por trás deste algoritmo é ordenar todas as arestas em ordem não-decrescente de peso;
◦Escolher as arestas pela ordem, de forma que possam ser colocadas na resposta sem formar ciclos.
Algoritmos em GrafosColocar as arestas em ordem e
armazená-las em uma lista é um problema simples de estrutura de dados.
O problema maior está em saber, de forma eficiente, se uma aresta, ao ser colocada na resposta formará ou não um ciclo.
Idéias????
Algoritmos em GrafosUma solução simples consiste em
guardar um código para cada vértice;
Inicialmente, cada vértice possui um código distinto, que pode ser até o número do próprio vértice;
Algoritmos em GrafosSe dois vértices são adjacentes
na solução do problema, o código dos dois deverá ser o mesmo.
Logo, quando uma aresta (v1,v2) for testada, ela poderá ser colocada na resposta se codigo(v1)≠codigo(v2);
Algoritmos em GrafosQuando a aresta for inserida,
todos os vértices v que tenham codigo(v) = v1 deverão receber o código v2 ou vice-versa;
Um vetor de números inteiros de tamanho n é suficiente para este propósito;
Algoritmos em GrafosAntes de explicitar o pseudo-
código do algoritmo, vamos a um exemplo gráfico;
As arestas em vermelho fazem parte da solução final do problema (árvore geradora mínima);
As demais estruturas serão atualizadas conforme as explicações dadas;
Algoritmos em Grafos
1
2
3
4
5
6
9
7
8
4
11
87
8 7
9
10
144
2
2
6
1
Nó 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Cod
1 2 3 4 5 6 7 8 9
Arestas: 1 2 2 4 4 6 7 7 8 8 9 10 11 14
Algoritmos em Grafos
1
2
3
4
5
6
9
7
8
4
11
87
8 7
9
10
144
2
2
6
1
Nó 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Cod
1 2 3 4 5 3 7 8 9
Arestas: 2 2 4 4 6 7 7 8 8 9 10 11 14
Algoritmos em Grafos
1
2
3
4
5
6
9
7
8
4
11
87
8 7
9
10
144
2
2
6
1
Nó 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Cod
1 2 3 4 4 3 7 8 9
Arestas: 2 4 4 6 7 7 8 8 9 10 11 14
Algoritmos em Grafos
1
2
3
4
5
6
9
7
8
4
11
87
8 7
9
10
144
2
2
6
1
Nó 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Cod
1 2 3 4 4 3 7 3 9
Arestas: 4 4 6 7 7 8 8 9 10 11 14
Algoritmos em Grafos
1
2
3
4
5
6
9
7
8
4
11
87
8 7
9
10
144
2
2
6
1
Nó 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Cod
1 2 3 3 3 3 7 3 9
Arestas: 4 6 7 7 8 8 9 10 11 14
Algoritmos em Grafos
1
2
3
4
5
6
9
7
8
4
11
87
8 7
9
10
144
2
2
6
1
Nó 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Cod
1 1 3 3 3 3 7 3 9
Arestas: 6 7 7 8 8 9 10 11 14
Algoritmos em Grafos
1
2
3
4
5
6
9
7
8
4
11
87
8 7
9
10
144
2
2
6
1
Nó 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Cod
1 1 3 3 3 3 7 3 9
Arestas: 7 7 8 8 9 10 11 14
Algoritmos em Grafos
1
2
3
4
5
6
9
7
8
4
11
87
8 7
9
10
144
2
2
6
1
Nó 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Cod
1 1 3 3 3 3 3 3 9
Arestas: 7 8 8 9 10 11 14
Algoritmos em Grafos
1
2
3
4
5
6
9
7
8
4
11
87
8 7
9
10
144
2
2
6
1
Nó 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Cod
1 1 3 3 3 3 3 3 9
Arestas: 8 8 9 10 11 14
Algoritmos em Grafos
1
2
3
4
5
6
9
7
8
4
11
87
8 7
9
10
144
2
2
6
1
Nó 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Cod
1 1 1 1 1 1 1 1 9
Arestas: 8 9 10 11 14
Algoritmos em Grafos
1
2
3
4
5
6
9
7
8
4
11
87
8 7
9
10
144
2
2
6
1
Nó 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Cod
1 1 1 1 1 1 1 1 9
Arestas: 9 10 11 14
Algoritmos em Grafos
1
2
3
4
5
6
9
7
8
4
11
87
8 7
9
10
144
2
2
6
1
Nó 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Cod
1 1 1 1 1 1 1 1 1
Arestas: 10 11 14
Algoritmos em GrafosPseudo-código Kruskal:
◦Para cada vértice v: codigo(v) := v;
◦Ordenar as arestas na lista L (não-decrescente);
◦Retirar a aresta (v1,v2) da frente da lista; Se codigo(v1) ≠ codigo(v2) então:
Inserir a aresta na solução; Para cada vértice v: Se codigo(v) = codigo(v2) então codigo(v) :=
codigo(v1)
Algoritmos em GrafosQual a complexidade do
algoritmo de Kruskal?Para fazer a atualização dos
códigos é possível utilizar uma estrutura de dados chamada de heaps de Fibonacci.
Com ela, o processo de atualização dos códigos diminui a complexidade para O(lg n);
Algoritmos em GrafosO algoritmo de Prim monta a
árvore geradora mínima, partindo de um nó previamente estabelecido;
Os demais nós vão sendo incorporados de forma a se conectar com a árvore com o menor custo possível;
Algoritmos em GrafosEstes nós que ainda não foram
incorporados, ficam em uma lista ordenada;
A ordenação da lista é feita de acordo com a menor distância que cada vértice tem para a árvore parcial que está sendo montada;
Algoritmos em Grafos
1
2
3
4
5
6
9
7
8
4
11
87
8 7
9
10
144
2
2
6
1
Nó 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Dist
0
Algoritmos em Grafos
1
2
3
4
5
6
9
7
8
4
11
87
8 7
9
10
144
2
2
6
1
Nó 1 2 3 4 6 7 8 9 -
Dist
8 2 7 4 -
Algoritmos em Grafos
1
2
3
4
5
6
9
7
8
4
11
87
8 7
9
10
144
2
2
6
1
Nó 1 2 3 6 7 8 9 - -
Dist
8 7 6 7 4 - -
Algoritmos em Grafos
1
2
3
4
5
6
9
7
8
4
11
87
8 7
9
10
144
2
2
6
1
Nó 1 2 3 6 7 9 - - -
Dist
8 7 2 7 10 - - -
Algoritmos em Grafos
1
2
3
4
5
6
9
7
8
4
11
87
8 7
9
10
144
2
2
6
1
Nó 1 2 3 7 9 - - - -
Dist
8 1 7 10 - - - -
Algoritmos em Grafos
1
2
3
4
5
6
9
7
8
4
11
87
8 7
9
10
144
2
2
6
1
Nó 1 2 7 9 - - - - -
Dist
8 8 7 10 - - - - -
Algoritmos em Grafos
1
2
3
4
5
6
9
7
8
4
11
87
8 7
9
10
144
2
2
6
1
Nó 1 2 9 - - - - - -
Dist
8 8 9 - - - - - -
Algoritmos em Grafos
1
2
3
4
5
6
9
7
8
4
11
87
8 7
9
10
144
2
2
6
1
Nó 2 9 - - - - - - -
Dist
4 9 - - - - - - -
Algoritmos em Grafos
1
2
3
4
5
6
9
7
8
4
11
87
8 7
9
10
144
2
2
6
1
Nó 9 - - - - - - - -
Dist
9 - - - - - - - -
Algoritmos em Grafos
1
2
3
4
5
6
9
7
8
4
11
87
8 7
9
10
144
2
2
6
1
Nó - - - - - - - - -
Dist
- - - - - - - - -
Algoritmos em GrafosPseudo-código do algoritmo de Prim:
◦Para cada vértice v: dist[v] := ;*
◦dist[r] := 0;◦Insere, em uma lista de prioridade L, todos
os vértices de acordo com dist[];◦Enquanto L não estiver vazia:
u := elemento de menor dist[] de L; Para todos os vértices v adjacente a u, que estão
em L: Se w(u,v) < dist[v] então
dist[v] := w(u,v); //atualizar L*
Algoritmos em GrafosComplexidade do algoritmo?Utilizando heaps de Fibonacci,
reduz para O(E + V lgV)
Algoritmos em GrafosOs resultados dos algoritmos deverão
ter o mesmo valor, embora possam apresentar arestas distintas.
O algoritmo de Prim utiliza a idéia de escolher um vértice inicial para a geração da árvore.
Se o algoritmo for modificado para anotar a qual predecessor os vértices estão associados, é possível obter a árvore geradora de forma mais direta;