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Álgebra Linear Básica
O objetivo deste material é apresentar os principais conceitos e operações
envolvendo matrizes, determinantes, sistemas de equações e inequações
lineares.
Esta parte da álgebra linear é largamente utilizada na programação
matemática, principalmente na programação linear que é o objeto do curso de
pesquisa operacional.
A programação linear é uma técnica de pesquisa operacional que utiliza
modelos de programação linear para apoio a decisões em diferentes tipos de
organização.
1- Matriz
É um conjunto no qual os elementos estão agrupados em linhas e colunas
[ a11 a12 a13 … a1na21 a22 a23 ⋯ a2n⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮am1 am2 am3 ⋯ amn
]m – número de linhas da matriz
n – número de colunas da matriz
aij – elemento da matriz localizado na linha i e na coluna j
Diagonal Principal – contém os elementos localizados na linha i e na coluna j,
onde i = j (a11, a22, a33, a44, a55).
1.1 – Tipos de Matrizes
1.1.1 Matriz Quadrada
É matriz na qual o número de linhas é igual ao número de colunas.
[ a11 a12 a13 a14a21 a22 a23 a24a31 a32 a33 a34a41 a42 a43 a44
]
m x n
4 x 4
m = 4
n = 4
O exemplo acima mostra uma matriz quadrada de ordem 4.
1.1.2 Matriz Triangular
Matriz quadrada de ordem m a qual os elementos acima ou abaixo da diagonal
principal são nulos. Quando os elementos nulos estão acima da diagonal é
principal é chamada de triangular superior e quando estes elementos estão
abaixo é chamada de triangular inferior.
Matriz Triangular Superior
[ a11 0 0 0a21 a22 0 0a31 a32 a33 0a41 a42 a43 a44
] Matriz Triangular Inferior
[a11 a12 a13 a140 a22 a23 a240 0 a33 a340 0 0 a44
]1.1.3 Matriz Identidade
É a matriz quadrada na qual os elementos que estão na diagonal principal são
iguais a um e os que não estão nesta diagonal são nulos.
[1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1
]1.1.4 Matriz Não Quadrada
É a matriz de ordem m x n, onde m é diferente de n.
4 x 4
4 x 4
4 x 4
[a11 a12 a13 a14a21 a22 a23 a24a31 a32 a33 a34
]1.1.3 Matriz Transposta
Uma matriz At é denominada transposta da matriz A quando ocorre uma
permutação entre linhas e colunas destas matrizes, ou seja, o que é linha na
matriz A é coluna na matriz At e vice e vesa.
A = [ a11 a12 a13 a14a21 a22 a23 a24a31 a32 a33 a34
]
At = [a11 a21 a31a12 a22 a32a13 a23 a33a14 a24 a34
]B = [5 2 4
1 0 32 8 4 ]
Bt = [5 1 22 0 84 3 4 ]
1.1.4 Matriz Simétrica
Uma matriz é dita simétrica quando ela é igua a sua transposta.
A = At
3 x 4
3 x 4
4 x 3
3 x 3
3 x 3
1.2 Igualdade de Matrizes
Uma matriz A é igual a uma matriz B quando todos os elementos de A,
localizados na linha i e na coluna j, são iguais a todos os elementos de B,
localizados na linha i e na coluna j.
A = [a11 a12a21 a22] B = [b11 b12
b21 b22]Se A = B, logo temos:
a11 = b11, a12 = b12, a21 = b21, a22 = b22
1.3 Operação com Matrizes
1.3.1 Adiação e Subtração
Dada duas matrizes A e B de mesma ordem, a soma ou subtração destas duas
matrizes resulta em uma matriz S de mesma ordem cujo os elementos são
equivalentes a:
A = [a11 a12a21 a22] B = [b11 b12
b21 b22]S = A + B = [a11+b11 a12+b12
a21+b21 a22+b22 ]1.3.2 Multiplicação de uma Matriz por um Escalar
P = k * [a11 a12a21 a22]
P = [k∗a11 k∗a12k∗a21 k∗a22]
1.3.3 Multiplicação entre Matrizes
Seja uma A de ordem m x n e B uma matriz de ordem n x y, o produto entre
estas duas matrizes resultará em uma matriz P de ordem m x y cujo os
2 x 2 2 x 2
2 x 2 2 x 2
2 x 2
2 x 2
2 x 2
elementos são as combinações das linhas da matriz A com as colunas da
matriz B de mesma ordem, ou seja, o elmento que está na primeira linha e
primeira coluna da matriz produto será a combinação linear da primeira linha da
matriz A com a primeira coluna de B e assim sucessivamente.
A = [3 1 07 12 3] B = [1 2
0 30 4]
P = A * B = [3 1 07 12 3] * [1 2
0 30 4]
P = [ 3∗1+1∗0+0∗0 3∗2+1∗3+0∗47∗1+12∗0+3∗0 7∗2+12∗3+3∗4]
P = [3 97 62]
Obs. A*B ≠ B* A, a execessão desta regra ocorre no produto de uma matriz por
sua inversa.
2. Determinante
Determinante é um escalar obtido de uma matriz quadrada de ordem m.
2.1 Determinante de matriz de ordem um
O determinante de uma matriz de ordem um é igual ao próprio elemento desta
matriz
A = [a11]
Det A = |a11| = a11
2.2 Determinante de matriz de ordem dois
O determinante de uma matriz de ordem dois é obtido pela diferença entre o
produto de diagonal principal e o produto da diagonal secundária.
A = [a11 a12a21 a22]
2 x 33 x 2
3 x 23 x 2
2 x 2
2 x 2
Det A = |a11 a12a21 a22| = a11 * a22 – a21 * a12
2.3 Determinante de matriz de ordem tres
O determinante de uma matriz de ordem três é determinado pela regra de
Sarrus. Esta regra regra consiste em reescrever as duas primeiras linhas
abaixo da terceira ou as duas primeiras colunas após a terceira coluna do
determinante. Em seguida, realizamos a soma algébrica das diagonais.
A = [ a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33
]Det. A = |a11 a12 a13 a11 a12
a21 a22 a23 a21 a22a31 a32 a33 a31 a32
| Det. A = a11*a22*a33 + a12*a23*a31 + a13*a21*a32 – (a31*a22*a13 + a32*a23*a11 +
a33*a21*a12)
Exemplo:
B = [3 4 52 5 31 6 2]
Det. B = |3 4 5 3 42 5 3 2 51 6 2 1 6| = [(3*5*2) + (4*3*1) + (5*2*6)] – [(1*5*5) + (6*3*3) +
(2*2*4)]
= [30+12 + 60] – [25+54+16] = 7
2.4 Menor Complementar Aij
É o determinante de ordem menor que se obtém quando eliminamos uma linha
e uma coluna da matriz que lhe deu origem.
Ex. Dada as matrizes A e B, determinar o menor complementar A11 e B11
A = [a11 a12a21 a22]
A11 = |a22| = a22
B = [ b11 b12 b13b21 b22 b23b31 b32 b33
]B11 = |b22 b23
b32 b33| = b22*b33 – b32*b23
Do exemplo anterior, determinar o menor complementar B22 da matriz B.
B = [ b11 b12 b13b21 b22 b23b31 b32 b33
]B22 = |b11 b13
b31 b33| = b11*b33 – b31*b13
2.5 Cofator Cofij
O cofator Cij de uma matriz A é um escalar obtido pela seguinte expressão:
Cofij = (-1)i+j * Aij
Exemplo: Da matriz B do exemplo anterior determine os cofatores Cof11, Cof23,
Cof31
B = [ b11 b12 b13b21 b22 b23b31 b32 b33
]Cof11 = (-1)1+1* B11 = (-1)2 * |b22 b23
b32 b33| = b22*b33 – b32*b23
Cof23 = (-1)2+3 * B23
B23 = |b11 b12 b13b21 b22 b23b31 b32 b33
|
Cof23 = (-1)5 * |b11 b12b31 b32| = (-1) * (b11 * b32 – b31 * b12)
Cof31 = (-1)3+1 * B31
B31 = |b11 b12 b13b21 b22 b23b31 b32 b33
|Cof31 = (-1)4 * |b12 b13
b22 b23| = b12 * b23 – b22 * b13
2.6 Resolução de determinantes de qualquer ordem
A resolução de determinante de matrizes quadradas de ordem maior que
quatro é feita pelo teorema de La Place. Este teorema define que o
determinante de uma matriz quadrada è igual à soma dos produtos dos
elementos de uma fila qualquer (linha ou coluna) pelo respectivo cofator.
Geralmente, a fila escolhida é a que possui o maior número de elementos
nulos.
Nos dias atuais, o uso de planilhas eletrônicas dispensou totalmente este
método, visto o determinante de uma matriz quadrada de qualquer ordem é
determinada instantaneamente através da função MATRIZ DETERMINANTE.
O mesmo ocorre com as operações matriciais.
Exemplo: Calcule o determinante da Matriz A abaixo.
A = [1 2 1 12 1 4 33 0 0 24 3 2 5
]
DetA = |1 2 1 12 1 4 33 0 0 24 3 2 5
|= 3*Cof31 + 0*Cof32 + 0*Cof33 + 2*Cof34
DetA = = 3*Cof31 + 2*Cof34
DetA = 3 * (-1)3+1 * |2 1 11 4 33 2 5| + 2 * (-1)3+4 * |1 2 1
2 1 44 3 2| = 34
3. Matriz Inversa
Dada uma matriz quadrada A de ordem m, esta matriz é dita inversível, admite
a inversa A-1, se:
1- Det. A ≠ 0
2- A * A-1 = A-1 * A = I
I é a matriz identidade de ordem m.
Exemplo: verificar se a matriz A é inversível e determinar sua inversa.
A = [1 23 4]
Det. A = 1*4 – 3*2 = 4 – 6 = - 2
Como o determinante de A é diferente de zero, a matriz A é dita não singular
ou inversível, admite a inversa.
Utilizando a segunda condição temos:
A-1 = [a bc d ]
[1 23 4] * [a b
c d ]=[1 00 1]
[ a+2c b+2d3a+4c 3b+4d ] = [1 0
0 1]
Resolvendo os sistemas abaixo, teremos a matriz A-1
{ a+2c=13a+4 c=0
{ b+2d=03b+4 d=1
A-1 = [−2 11,5 −0,5]
3.1 Matriz Adjunta
Dada uma matriz quadrada A de ordem m, a matriz adjunta desta matriz, AdjA,
é definida como a matriz transposta da matriz dos cofatores de A, McofA.
AdjA = McofAt
Exemplo
A = [3 4 25 7 15 4 3]
Para determinarmos a adjunta da matriz A, o primeiro passo é determinarmos
todos os cofatores desta matriz para em seguida montar a matriz dos cofatores.
Com a matriz dos cofatores definida, a adjunta é obtida transportando esta
matriz.
Mcof = [Cof 11 Cof 12 Cof 13Cof 21 Cof 22 Cof 23Cof 31 Cof 32 Cof 33
]Cof11 = (-1)1+1 * |7 1
4 3| = 17 Cof12 = (-1)1+2 * |5 15 3| = -10
Cof13 = (-1)1+3 * |5 75 4| = -15 Cof21 = (-1)2+1 * |4 2
4 3| = -4
Cof22 = (-1)2+2 * |3 25 3| = -1 Cof23 = (-1)2+3 * |3 4
5 4| = 8
Cof31 = (-1)3+1 * |4 27 1| = - 10 Cof32 = (-1)3+2 * |3 2
5 1| = 7
Cof33 = (-1)3+3 * |3 45 7| = 1
Mcof = [ 17 −10 −15−4 −1 8−10 7 1 ]
AdjA = Mco ft = [ 17 −4 −10−10 −1 7−15 8 1 ]
3.2 Determinação da Matriz Inversa pela Adjunta
Dada uma matriz quadrada A de ordem m, sua inversa é obtida pela seguinte
expressão:
A-1 = AdjADetA
Do exemplo anterior temos que a inversa da matriz A será:
DetA = |3 4 25 7 15 4 3| = -19
A-1 = [ 17 −4 −10−10 −1 7−15 8 1 ]
−19=[
−1719
419
1019
1019
119
−719
1519
−819
−119
] 4. Sistema de Equações Lineares
Um sistema de equações é um conjunto de equações lineares com o seguinte
aspecto:
{a11 x1+a12 x2+a13 x3+…+a1n xn=b1a21 x1+a22 x2+a23 x3+…+a2n xn=b2a31 x1+a32 x2+a33 x3+…+a3n xn=b3
⋮ ⋮ ⋮ ⋯ ⋮=⋮am1 x1+am2 x2+am3 x3+…+amn xn=bm
Notação Matricial
[a11 a12 a13 … a1na21 a22 a23 … a2na31 a32 a33 … a3n⋮ ⋮ ⋮ … ⋮am1 am2 am3 … amn
]∗[x1x2x3⋮xn
]=[b1b2b3⋮bm
]A: Matriz dos Coeficientes das Variáveis
X: Matriz, vetor coluna, das variáveis
B: Matriz, vetor coluna, dos termos independentes
Um sistema de equações lineares consiste em determinar os valores das
variáveis que atendam a todas as equações do sistema.
4.1 Classificações dos Sistemas de Equações Lineares
Os sistemas de equações lineares são classificados pelos seguintes aspectos:
número de equações e de variáveis; solução.
4.1.1 Classificação quanto ao número de equações e de variáveis
Com relação ao número de equações e variáveis os sistemas de equações
lineares são classificados como: sistema do tipo um sistema do tipo dois.
4.1.1.1. Sistema de Equações Lineares do Tipo Um
O sistema de equações lineares do tipo um são aqueles que o número de
equações, m, é igual ao número de variáveis, n.
Exemplo de um sistema de equações do tipo um com três equações e três
variáveis (m= n = 3).
m x n n x 1 m x 1
A X B
{a11 x1+a12 x2+a11 x3=b1a21 x1+a22 x2+a23 x3=b2a31 x1+a32 x2+a33 x3=b3
Notação Matricial
[a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33
]∗[ x1x2x3]=[b1b2b3]4.1.1.2. Sistema de Equações do Tipo Dois
O sistema de equações lineares do tipo dois são aqueles que o número de
variáveis é maior que o número de equações (n>m).
Exemplo de um sistema de equações com três variáveis e duas equações (n
=3, m = 2, n > m).
{a11 x1+a12 x2+a11 x3=b1a21 x1+a22 x2+a23 x3=b2
Notação Matricial
[a11 a12 a13a21 a22 a23 ]∗[ x1x2x3]=[b1b2]
4.1.2 Classificação quanto à solução
Os sistemas de equações lineares do com relação à solução são classificados
como: possível e determinado; possível e indeterminado; impossível.
Os sistemas de equações lineares do tipo um (m=n) podem ser possíveis e
determinados, possíveis e indeterminados ou impossível.
Os sistemas de equações lineares do tipo dois (n > m) são sempre possíveis e
indeterminados.
4.1.2.1 Sistema de Equações Lineares Possível e Determinado
Um sistema de equações lineares do tipo um é dito possível e determinado
quando admite uma única solução verdadeira. Esta situação ocorre quando o
determinante da matriz formada pelos coeficientes das variáveis é diferente de
zero.
4.1.2.2 Sistema de Equações Lineares Possível e Indeterminado
Um sistema de equações do tipo um é dito indeterminado quando admite
infinitas soluções. Este caso ocorre quando o determinante da matriz formada
pelos coeficientes das variáveis é nulo e o quando todos os determinantes das
matrizes formadas pela substituição da coluna associada a uma das variaríeis
pelos termos independentes (Dxn) forem nulo na resolução pela Regra de
Cramer. Na resolução por escalonamento, a indeterminação ocorre quando a
última equação do sistema, após as combinações lineares, se apresentar da
seguinte forma:
0x1 + 0x2 + 0x3 +...+ 0xn = 0
4.1.2.3 Sistema de Equações Lineares Impossível
Um sistema de equações do tipo um é dito impossível quando não admite
nenhuma solução que atenda simultaneamente a todas as equações do
sistema. Este caso ocorre quando o determinante da matriz formada pelos
coeficientes das variáveis é nulo e o quando um dos determinantes das
matrizes formadas pela substituição da coluna associada a uma das variaríeis
pelos termos independentes (Dxn) for diferente de zero na resolução pela Regra
de Cramer. Na resolução por escalonamento, a impossibilidade de solução
ocorre quando a última equação do sistema, após as combinações lineares, se
apresentar da seguinte forma:
0x1 + 0x2 + 0x3 + ............+ 0xn ≠ 0
4.2 A Resolução dos Sistemas de Equações Lineares
Nesta seção será abordada a resolução dos sistemas de equações lineares do
tipo um possíveis e determinados utilizando os seguintes métodos: Regra de
Cramer; Escalonamento da Matriz dos Coeficientes das Variáveis e Inversa da
Matriz dos Coeficientes das Variáveis.
4.2.1 Resolução pela Regra de Cramer
Seja A a matriz quadrada dos coeficientes das variáveis de ordem m e DetA ≠
0, o valor da variável xn é obtido pela seguinte expressão:
xn = DxnDetA
DetA: determinante da matriz dos coeficientes do sistema de equações lineares
(matriz A).
Dxn : determinante da matriz dos coeficientes (matriz A), substituindo os
coeficientes da coluna xn pelos termos independentes do sistema de equações
lineares.
Exemplo:
{3x1+2 x2+2 x3=164 x1+x2+x3=13x1+3x2+4 x3=19
[3 2 24 1 11 3 4 ]∗[ x1x2x3]=[161319 ]
A X B
DetA = |3 2 24 1 11 3 4| = - 5
Dx1 = |16 2 213 1 119 3 4| = - 10 x1 =
Dx1DetA
= 2
Dx2 = |3 16 24 13 11 19 4| = - 15 x2 =
Dx2DetA
= 3
Dx3 = |3 2 164 1 131 3 19| = - 10 x3 =
Dx3DetA
= 2
Para confirmar se a solução acima é verdadeira, verificaremos se estas
variáveis atendem a todas as equações do sistema.
3*(2) + 2*(3) + 2*(2) = 16 condição verdadeira
4*(2) + 1*(3) + 1*(2) = 13 condição verdadeira
1*(2) + 3*(3) + 4*(2) = 19 condição verdadeira
Após estes cálculos, concluímos que todas as equações do sistema acima
foram atendidas, logo o sistema de equações lineares admite uma única
solução verdadeira que é tripla: x1 = 2, x2 = 3 e x3 = 2.
4.2.2 Resolução por Escalonamento da Matriz dos Coeficientes
A resolução por escalonamento consiste em transformar a matriz dos
coeficientes (A) em uma matriz triangular inferior ou superior através de
operações lineares da primeira ou última equação com as demais equações do
sistema.
Na literatura, a maioria dos exemplos envolve a transformação da matriz A em
uma triangular inferior por questão de conveniência. Neste caso para evitar
cálculos envolvendo frações se faz a permutação entre algumas equações para
que a primeira equação tenha pelo menos um dos coeficientes das variáveis
igual a um.
Seguindo este critério no exemplo anterior faremos a permutação da terceira
com a primeira linha. O sistema gerado é equivalente ao sistema anterior.
{ x1+3x2+4 x3=194 x1+x2+x3=133x1+2 x2+2 x3=16
Para transformar a matriz dos coeficientes em uma triangular inferior faremos
uma combinação linear da primeira equação com a segunda, multiplicando a
primeira equação por -4 e somando com a segunda equação. Com isso
teremos:
{ x1+3x2+4 x3=194 x1+x2+x3=133x1+2 x2+2 x3=16
{ x1+3 x2+4 x3=190 x1−11 x2−15x3=−633 x1+2 x2+2x3=16
Seguindo a mesma metodologia, faremos agora a combinação linear da
primeira equação com a terceira, multiplicando a primeira por -3 e somando
com a terceira. Com isso teremos:
{ x1+3 x2+4 x3=190 x1−11 x2−15x3=−633 x1+2 x2+2x3=16
{ x1+3 x2+4 x3=190 x1−11 x2−15x3=−630 x1−7 x2−10 x3=−41
Para obtermos a matriz triangular, multiplicaremos a segunda equação do
sistema acima por -7/11 e somaremos com a terceira equação. Com isso
teremos:
{ x1+3 x2+4 x3=190 x1−11 x2−15x3=−630 x1−7 x2−10 x3=−41
{ x1+3 x2+4 x3=190 x1−11 x2−15x3=−63
0 x1+0 x2−511x3=
−1011
Do sistema acima obtemos o valor da variável x3 igual a dois.
*(-4) +
*(-3) +
*(-7/11) +
Substituindo a variável x3 na segunda equação por dois teremos:
-11x2 – 15*(2) = -63
-11x2 = -33 x2 = 3
Substituindo os valores de x2 e x3 na primeira equação teremos:
x1 + 3*(3) + 4*(2) = 19 x1 = 2
4.2.3 Resolução Utilizando Matriz Inversa
Seja A a matriz quadrada de ordem m dos coeficientes das variáveis do
sistema de equações lineares, onde DetA ≠ 0, a resolução utilizando a matriz
inversa de A, consiste em multiplicarmos os dois membros do sistema AX=B
por esta inversa, onde teremos:
A * A-1 * X = A-1 * B
I * X = A-1 * B
X = A-1 * B
Considerando o sistema de equações anterior teremos:
{3x1+2 x2+2 x3=164 x1+x2+x3=13x1+3x2+4 x3=19
A = [3 2 24 1 11 3 4 ] X = [ x1x2x3] B = [161319] A-1 = [ −1
525
0
3 −2 −1−115
75
1 ][3 2 24 1 11 3 4 ] * [ −1
525
0
3 −2 −1−115
75
1 ] * [ x1x2x3] = [ −15
25
0
3 −2 −1−115
75
1 ] * [161319]
[1 0 00 1 00 0 1 ] * [ x1x2x3] = [232]
[ x1x2x3] = [232]4.3 Resolução do Sistema de Equações Lineares do Tipo Dois
Os sistemas de equações lineares do tipo dois são aqueles em que o número
de variáveis (n) é maior do que o número de equações (m). Estes tipos de
sistema são sempre possíveis e indeterminados. Para resolver este tipo de
sistema, o mesmo deve ser transformado em um sistema do tipo um, tomando-
se m variáveis como dependentes e n – m variáveis como independentes, onde
a solução do sistema dependerá dos valores assumidos pelas variáveis
independentes. Para cada valor que a variável independente assume, o
sistema terá uma determinada solução.
O número de maneiras que se pode transformar um sistema do tipo dois em
um sistema do tipo um tomando-se m variáveis como dependentes e n – m
como independentes é dado pela seguinte expressão:
Cnm = n !
(n−m) !m!
Exemplo:
{2x− y+z=1x+5 z=3
O sistema acima é um sistema do tipo dois com três variáveis e duas
equações. Para resolver este sistema devemos transformá-lo em um sistema
do tipo um, tomando-se duas variáveis como dependentes (m=2) e uma
variável como independente (n-m = 1). Esta transformação pode ser feita de
três maneiras:
C32 = 3 !
(3−2 ) !2 !=1
Sequência Dependentes Independentes
1 x,y z
2 x,z y
3 y,z x
Considerando a primeira sequência, teremos o seguinte sistema a ser
resolvido:
{2x− y=1−zx=3−5 z
2(3 – 5z) – y = 1 – z
6 – 10z – y = 1 – z
- y = 1 – z – 6 + 10z
y = 5 – 9z
Solução: {3 – 5z; 5 – 9z; z}
A solução deste sistema dependerá dos valores que a variável z assumirá, ou
seja para cada valor que a variável assumir o sistema terá uma determinada
solução.
Solução 1: {3;5;0}
Solução 2: {-2;-4;1}
Solução 3: {-7;-13;2}
⋮
Solução n: {3-5n;5-9n;n}
E assim sucessivamente.
Considerando a sequência dois, teremos:
{2x+z=1+ yx+5 z=3
Resolvendo o sistema do tipo um acima, teremos a seguinte solução:
Solução: {52−5 y9; y ;
−5+ y9
}
Considerando a sequência três teremos:
{− y+z=1−2 x+5 z=3−x
Resolvendo o sistema do tipo um acima teremos a seguinte solução:
Solução: {x ;−2+9 x5
;3−x5
}
Exemplo. Discuta o sistema de equações lineares abaixo quanto à solução
{ x− y+z=43 x+2 y+z=05x+5 y+z=−4
Utilizando a técnica de escalonamento multiplicaremos a primeira equação do
sistema por -3 e somaremos com a segunda equação. Em seguida
multiplicaremos a primeira por -5 e somaremos com a terceira equação,
obtendo o seguinte sistema de equação equivalente ao primeiro:
{ x− y+z=43 x+2 y+z=05x+5 y+z=−4
{ x− y+z=40 x+5 y−2 z=−125 x+5 y+ z=−4
{ x− y+z=40x+5 y−2 z=−120 x+10 y−4 z=−24
Do sistema obtido acima, faremos uma combinação linear multiplicando a
segunda linha por -2 e somando com a terceira linha, onde obteremos o
seguinte sistema de equações lineares equivalente ao primeiro:
*(-5) +
*(-3) +
{ x− y+z=40x+5 y−2 z=−120 x+10 y−4 z=−24
{ x− y+z=40 x+5 y−2 z=−120x+0 y+0 z=0
Ao analisarmos o sistema obtido acima, verificamos que qualquer valor que as
variáveis x, y e z assumirem atenderá a terceira equação do sistema o que
caracteriza uma indeterminação do sistema de equações lineares do tipo um.
Esta linha pode ser abandonada, onde obteremos o seguinte sistema de
equações lineares do tipo dois com três variáveis e duas equações para ser
resolvido:
{ x− y+z=45 y−2 z=−12
Anteriormente, foi comentado que os sistemas do tipo dois são sempre
possíveis e indeterminados.
O sistema do tipo um acima poderia também ser discutido pela regra de
Cramer. Para que a indeterminação ocorra todos os determinantes (DetA e
Detx) devem ser nulos.
00
+∞ - ∞ são casos de indeterminação
DetA = |1 −1 13 2 15 5 1| = 0
Como o determinante da matriz dos coeficientes é nulo, o sistema de equações
pode ser indeterminado ou impossível. Para que a indeterminação ocorra todos
os Detx devem ser nulos. Se um dos Detx for diferente de zero o sistema será
impossível.
Detx1 = | 4 −1 10 2 1
−4 5 1| = 0 x1 = 00 indeterminação
*(-2) +
Detx2 = |1 4 13 0 15 −4 1| = 0 x2 =
00 indeterminação
Detx3 = |1 −1 43 2 05 5 −4| = 0 x3 =
00 indeterminação
Como todos os Detx são nulos, concluímos que o sistema do tipo um acima é
possível e indeterminado, utilizando a Regra de Cramer.
Considerando este sistema com a seguinte alteração na segunda equação,
teremos:
{ x− y+z=43 x+2 y+ z=15x+5 y+z=−4
{ x− y+z=43 x+2 y+ z=15x+5 y+z=−4
{ x− y+z=40 x+5 y−2 z=−115 x+5 y+z=−4
{ x− y+z=40 x+5 y−2 z=−110 x+10 y−4 z=−24
{ x− y+z=40 x+5 y−2 z=−110 x+10 y−4 z=−24
{ x− y+z=40 x+5 y−2 z=−110 x+0 y+0 z=−2
Ao analisarmos a terceira equação, após o escalonamento, verificamos que o
sistema de equações acima não tem solução, pois é impossível obter um
resultado igual a -2 quando as variáveis x, y, z são multiplicadas por zero, pois
*(-5) +
*(-3) +
*(-2) +
para qualquer valor dessas variáveis forneceria um resultado nulo para esta
equação.
Discutindo este sistema pela Regra de Cramer teremos as seguintes situações:
DetA = |1 −1 13 2 15 5 1| = 0
Detx1 = | 4 −1 11 2 1
−4 5 1| = 6 x1 = 60 divisão impossível de ser resolvida
Detx2 = |1 4 13 1 15 −4 1| = -4 x2 =
−40
divisão impossível de ser resolvida
Detx3 = |1 −1 43 2 15 5 −4| = -10 x3 =
−100
divisão impossível de ser resolvida
5. Função Linear
Uma função é dita linear quando todas as variáveis tem expoente igual a um,
ou, ainda, como a função em que a variável dependente varia a uma taxa
constante em relação à variável dependente. Exemplo:
y = a1x1 + a2x2 + a3x3 + a4x4 + a5x5 + ------------ + anxn
A função linear mais básica existente é a que possui duas variáveis. Este tipo
de função é geralmente denominada como função do primeiro grau, sendo sua
representação gráfica uma reta definida pelo coeficiente angular.
O coeficiente angular é a tangente do ângulo formado pela reta com o eixo x,
determinando a inclinação da reta. Conhecido o coeficiente angular é possível
determinar os pontos onde à reta intercepta os eixos. O coeficiente linear é
uma constante.
y = ax + b (função linear com duas variáveis)
a: coeficiente angular
b: coeficiente linear
6. Sistema de Inequações Lineares
Uma inequação linear é uma expressão matemática do tipo a1x1 + a2x2 + a3x3 +
------ + anxn {>;<;≥;≤} c. A solução de um sistema de inequações lineares é
semelhante à de um sistema de equações lineares, ou seja, o objetivo é
encontrar o conjunto de soluções que atenda simultaneamente a todas as
inequações do sistema.
No curso de pesquisa operacional serão trabalhados os sistemas de
inequações com duas variáveis. Os modelos que apresentam mais variáveis
serão abordados por outras técnicas que transformam as inequações lineares
em equações lineares (forma padrão).
A resolução de um sistema de inequações lineares com duas variáveis consiste
na determinação gráfica da região que atende a todas inequações do sistema.
Para isto devemos determinar as retas com suas inclinações e sentidos, suas
interseções e área que atenda a todas inequações simultaneamente.
Exemplo:
2x1 + 4x2 ≤ 16
3x1 + 2x2 ≤ 12
x1 ≤ 3
Para resolvermos o sistema de inequações lineares acima, primeiramente,
deveremos relaxar cada uma das inequações a uma equação linear. A
inclinação das retas é obtida através da interseção com os eixos x1 e x2,
arbitrando-se o valor nulo a uma das variáveis. O sentido é determinado pelos
sinais ≤ e ≥.
a) Para a reta 2x1 + 4x2 ≤ 16, teremos:
Para x1 = 0 → 2(0) + 4x2 = 16 ... x2 = 4 → A(0,4)
Para x2 = 0 → 2x1 + 4(0) = 16 ... x1 = 8 → B(8,0)
b) Para a reta 3x1 + 2x2 ≤ 12, teremos:
Para x1 = 0 → 3(0) + 2x2 = 12 ... x2 = 6 → C(0,6)
Para x2 = 0 → 3x1 + 2(0) = 12 ... x1 = 4 → D(4,0)
c) Para a reta x1 ≤ 3:
Esta reta não tem pontos sobre o eixo-x2, logo ela é paralela a este eixo,
passando pelo ponto E(3,0)
De posse destas informações temos a solução do sistema de inequações
lineares através do gráfico abaixo:
x2
C(0,6)6
5A(0,4)
4
3
2
1D(4,0) B(8,0) x1
0 1 2 3 4 5 6 7 8
Considerando o mesmo sistema com as seguintes mudanças de sinais,
teremos:
2x1 + 4x2 ≥ 16
3x1 + 2x2 ≥ 12
x1 ≤ 3
x2
6
5A(0,4)
4
3
2
1D(4,0) B(8,0) x1
0 1 2 3 4 5 6 7 8