1 Professora especialista em Psicopedagogia da rede Pública Estadual do Estado do Paraná, professora do PDE 2016/2017: [email protected] 2 Mestra em Ciências, docente lotada no Departamento de Matemática e Estatística da Universidade Estadual de Ponta Grossa, orientadora do PDE 2016/2017: [email protected]
A concretização das operações fundamentais através do Material
Dourado
Rosana Teresa Sczancoski1
Luiza Takako Matumoto2
Resumo: É de conhecimento do meio educacional que muitos alunos do 6o ano do Ensino
Fundamental ainda apresentam dificuldades na consolidação e uso correto dos conceitos vistos
anteriormente até o 5o ano sobre as operações fundamentais. Inspirado na literatura, com a finalidade
de tentar sanar tais problemas, este artigo propôs como estratégia de ação o uso do Material
Dourado, criado por Maria Montessori, na retomada do processo ensino-aprendizagem dessas
operações. As atividades propostas neste artigo tiveram como objetivo trabalhar a formação do
número, transformação das ordens, a lógica presente na resolução das seguintes operações: adição,
subtração, multiplicação e divisão no conjunto nos números naturais. A utilização do Material Dourado
permitiu a experiência de observar concretamente a estrutura das operações, fazer uma correlação
do concreto ao abstrato, mostrar um meio prazeroso de aprender matemática e uma forma
interessante de retomada de conhecimentos.
Palavras-chave: Operações Fundamentais. Material Dourado. Maria Montessori.
1 Introdução
As crianças, em geral, trazem de sua vivência a ideia de número e as
operações fundamentais. Cabe ao professor, utilizar esse conhecimento, aperfeiçoá-
lo a fim de desenvolver novas relações, fazer trabalho contínuo para que o aluno
possa ter a compreensão concreta do número que auxilia na aritmética das
operações numéricas.
“O desenvolvimento do sentido numérico é um dos objetivos mais importantes
do currículo de Matemática, pois é fundamental para o domínio dos números e
operações” (BIGODE; GIMENEZ, 2009, p.112).
Os professores, em geral, deparam-se com a falta de compreensão do
sentido numérico e com dificuldades na resolução das quatro operações
fundamentais por diversos alunos do 6ο ano do Ensino Fundamental. Na literatura há
muitos autores que sugerem o uso do Material Dourado para auxiliar a resolver
esses problemas.
O aluno ao iniciar o 6ο ano deve já ter assimilado o sistema de numeração
decimal-posicional e os métodos para efetuar as operações fundamentais, mas
percebe-se a dificuldade e a falta de compreensão em transformar centenas em
dezenas, ou unidades, por exemplo. Surgem também dificuldades na lógica de
dividir, multiplicar e a necessidade de transformar o minuendo na subtração, para
depois resolvê-la. Estas são algumas dificuldades enumeradas, mas outras surgem,
a partir do momento em que o professor avalia, interage com o aluno e verifica como
está a compreensão do aluno em determinados conteúdos.
Para que a criança compreenda o sentido de número, há a necessidade que a
mesma estabeleça relações, ideias, compreenda o processo de seriação numérica,
desenvolva habilidades referentes a cada tipo de operação. Pois, segundo Scriptori
(2005, p.139) “o conceito de número advém de uma síntese operatória da inclusão
hierárquica de classes e de ordem serial, a conservação, a seriação e a inclusão de
classes constituem as estruturas cognitivas básicas necessárias a essa construção”.
O presente artigo apresenta o trabalho realizado com o Material Dourado
como ferramenta alternativa para aprendizagem das operações fundamentais,
estimulando o aluno através de desafios e diversas possibilidades de seu uso.
2 Material Dourado como recurso metodológico
Segundo as Diretrizes Curriculares de Educação Básica (DCE) de Matemática
“espera-se que, no Ensino Fundamental, os alunos compreendam o sistema de
numeração decimal [...] e os conceitos da adição, subtração, multiplicação, divisão
[...] pertencentes aos conjuntos dos naturais” (PARANÁ, 2008, p.51).
A compreensão e resolução das operações fundamentais pelos alunos do
Ensino Fundamental no sexto ano e até em anos posteriores vêm demonstrando-se
precária, pois é comum professores encontrarem em seus alunos dificuldades para
dividir, mas, infelizmente, há ainda alunos que não compreendem a necessidade de
agrupar os números, colocando-os em ordem de unidades, dezenas, centenas para
calcular adições e subtrações. Assim como, verifica-se que há alunos que não
apresentam raciocínio em transformar dezenas em unidades, centenas em dezenas.
Para que a criança aprenda as operações fundamentais, há necessidade de
que a mesma compreenda o sistema de numeração decimal, que envolvem o valor
posicional do número, transformação das unidades e a lógica presente nas
operações de adição, subtração, multiplicação e da divisão.
“Nada deve ser dado à criança, no campo da matemática, sem primeiro
apresentar-se a ela uma situação concreta que a leve a agir, pensar, a experimentar,
a descobrir, e daí, a mergulhar na abstração” (AZEVEDO, 1979, p.27).
Essa falta de experimentação pode explicar a razão da grande dificuldade
apresentada pelas crianças ao resolver as operações, pois falta-lhes concretização.
Geralmente inicia-se o processo de abstração funcional das operações básicas sem
que o professor perceba se de fato o aluno compreendeu a lógica das operações,
assim como o processo de transformação das ordens e classes dos números.
Para ensinar as operações fundamentais, assim como cálculos envolvendo
área e volume, existem muitos materiais pedagógicos, mas sobressai o Material
Dourado criado por Maria Montessori, e aperfeiçoado por “Lubienska de Lenval,
seguidor de Montessori, que fez uma modificação no material inicial e construiu em
madeira na forma que encontramos atualmente” (DALTOÉ e STRELOW, s.d).
Maria Montessori cita em seus estudos que a aprendizagem passa pelas
mãos, “a criança aprende mexendo-se (aprendizagem-movimento) num ambiente
previamente preparado” (DALTOÉ e STRELOW, s.d); desta maneira, há a
necessidade da criança sentir concretamente o material, explorá-lo e compreender
as relações que este material apresenta com o seu mundo em processo de
aprendizagem.
O professor deve propiciar situações para que a criança possa manipular o
material dourado, por exemplo. Se o professor somente demonstrar o material e não
permitir que a criança “pegue” o material com suas mãos, certamente haverá falta de
interesse pelo aluno, dispersando a atenção e prejudicando a aprendizagem, isto
porque “a criança ama tocar os objetos para depois reconhecê-los” (DALTOÉ e
STRELOW,s.d).
Quando a criança utiliza materiais e situações problema, como o Material
Dourado, junto com a necessidade de somar, ou diminuir, por exemplo, tendo o
material à sua disposição para manipular, efetuar as transformações necessárias
das ordens (unidade, dezena e centena), interagir com colegas e esclarecer suas
dúvidas com o auxílio do professor, conseguirá compreender a necessidade de
emprestar da dezena para unidade e realizar os cálculos com a lógica necessária
para a aprendizagem.
Segundo Bigode e Gimenez (2009, p.127) “o sentido numérico confere ao
aluno um suporte para que ele conheça valores razoáveis para os números em
diversos contextos”.
Se, nas séries iniciais o aluno compreender o sentido numérico, encontrará no
seu cognitivo os alicerces para compreender cálculos mais complexos, assim como,
futuramente, o raciocínio abstrato, como por exemplo, a álgebra.
Sobre sentido numérico, Van de Walle (2009, p.148) elucida que “o senso
numérico se desenvolve quando os estudantes compreendem o tamanho de
números, desenvolvem múltiplos modos de pensar sobre e representar números”.
Para que a aprendizagem ocorra, professores conscientes sabem que pular
etapas no processo prejudica o raciocínio e compreensão do aluno. A criança deve
experimentar diversas situações, desde as mais simples, como as mais complexas.
Desta forma, Piaget explica que “as estruturas da inteligência não são inatas e
somente se impõem como necessárias por um processo de contínua interação com
o meio” (PIAGET apud SCRIPTORI, 2005, p.131).
A interação do professor com os alunos e estes com seus colegas no
ambiente escolar são uma grande estratégia de aprendizagem, pois com o diálogo
estimulado pelo professor, a criança sente-se à vontade para perguntar quando
apresenta dúvidas e necessita de esclarecimentos.
Além do diálogo presente em sala de aula, a utilização do Material Dourado
no processo de ensino da formação do número e das operações fundamentais
permitem compreender que:
[...] o indivíduo não poderia adquirir suas estruturas mentais mais essenciais sem uma contribuição exterior, a exigir um certo meio social de formação, e que em todos os níveis (desde os mais elementares até os mais altos) o fator social ou educativo constitui uma condição do desenvolvimento (PIAGET, 1976, p. 39).
A interação do professor com o aluno e a maneira de como o professor
concretiza a compreensão das transformações que ocorrem nos números nas
diversas operações, visualizadas, por exemplo, com o Material Dourado, permitem
que ocorra a ligação deste processo concreto na resolução aritmética das operações
quando feitas no quadro de giz ou no caderno.
3 Material Dourado, as quatro operações fundamentais e observação no
processo ensino-aprendizagem
Os alunos do 6o ano do Ensino Fundamental, na grande maioria já conheciam
o Material Dourado e até saibam como formar os números e transformar unidades
em dezenas, dezenas em centenas, centenas em unidades de milhar. Muitos desses
alunos não dominavam as transformações e o raciocínio necessário quando se trata
de adição, subtração, multiplicação e divisão.
Alguns alunos nunca tiveram a oportunidade de mexer no Material Dourado,
somente viram o(a) professor(a) manipulando-o e ainda, uma pequena quantidade
de alunos desconheciam-no totalmente.
Tornou-se necessário saber se os alunos já conheciam esse recurso
pedagógico que é o Material Dourado e até que ponto conseguiam manipular e
realizar pequenos cálculos.
Para isso, nas primeiras semanas, os alunos responderam um questionário
que sondaria esses fatos antes que os mesmos fossem apresentados a ele.
Todo o trabalho foi realizado em oficinas no ambiente escolar,
individualmente, em pequenos grupos e também de forma expositiva pela professora
à toda classe, apresentando as transformações e os cálculos nas resoluções das
quatro operações fundamentais.
Após a análise dos questionários respondidos pelos alunos, foi possível traçar
o perfil de conhecimento e manuseio do material pelos alunos descritos abaixo:
Aproximadamente 95% dos alunos já conheciam o material dourado. Destes:
● 82% dos alunos sabiam explicar como transformar unidades em
dezenas, dezenas em centenas, centenas em unidades de milhar;
● 11% dos alunos nunca haviam tocado no material, somente viam a
professora demonstrar a utilização;
● 79% sabiam explicar como realizar adições com o material dourado;
● 44% sabiam explicar como realizar subtrações com o material dourado;
● 6 % sabiam explicar como realizar multiplicações com o material
dourado;
● 7% sabiam explicar como realizar divisões com o material dourado;
A implementação da produção didático-pedagógica objetivando a
compreensão dos alunos nas operações fundamentais utilizando o Material Dourado
foi dividida em número de aulas, conforme a tabela abaixo:
Número
de aulas
Atividade a ser desenvolvida
1 Responder o questionário sobre o conhecimento do Material
Dourado.
1 Aula expositiva apresentando o Material Dourado e como
formar os números.
1 Aula expositiva sobre como transformar unidades em
dezenas, dezenas em centenas e centenas em unidades de milhar.
2 Alunos em pequenos grupos para transformar unidades em
dezenas, dezenas em centenas e centenas em unidades de milhar.
1 Aula expositiva para explicar como fazer a adição.
3 Alunos realizaram, em pequenos grupos, cálculos de adição.
1 Aula expositiva para explicar como fazer a subtração.
3 Alunos realizaram, em pequenos grupos, cálculos de
subtração.
1 Aula expositiva para explicar como fazer a multiplicação.
3 Alunos realizaram, em pequenos grupos, cálculos de
multiplicação.
1 Aula expositiva para explicar como fazer a divisão.
3 Alunos realizaram, em pequenos grupos, cálculos de divisão.
2 Aula expositiva para aprender a representar o Material
Dourado planificado.
5 Avaliação individual e fixação das operações com o Material
Dourado planificado.
4 Ligação da forma concreta utilizando o Material Dourado e a
forma aritmética.
Fonte: dados adaptados da produção didática-pedagógica 2016 a 2017 da própria autora.
O Material Dourado foi apresentado e explicado detalhadamente: como são
representadas as unidades, dezenas, centenas e unidades de milhar, assim como a
devida transformação entre essas unidades. É de fundamental importância a
manipulação do material pelo aluno, sendo que isto aconteceu em pequenos grupos,
onde, com o auxílio dos colegas e da professora pode aprender a fazer as
transformações de unidades em dezenas, das dezenas em centenas e das centenas
em unidades de milhar.
representa a unidade representa a dezena
representa a centena representa a unidade
de milhar
Após o conhecimento de como se formam os números e como realizar as
transformações das ordens, foi introduzido o ensino das operações fundamentais.
As operações foram realizadas na seguinte ordem: adição, subtração,
multiplicação e divisão. Primeiramente, em todas as operações, sem a necessidade
de transformações nas ordens e posteriormente havendo necessidade de
transformações.
Na adição, por exemplo, a professora, com o auxílio de três alunos, de frente
para toda a turma, formou as duas parcelas a serem somadas, sendo que dois
alunos formaram as parcelas e o terceiro com a função de somar as parcelas e
relatar o resultado. Durante este momento, os demais alunos da classe
presenciaram o cálculo e a explicação da professora para os três alunos, assim
como para toda a classe, explicando as dúvidas que surgiram.
Para as demais operações, foi utilizado a mesma prática metodológica
utilizando aula expositiva, com auxílio de alguns alunos e através de pequenos
grupos.
Exemplos de algumas das quatro operações fundamentais realizadas:
236 + 298
1º) Colocação das parcelas no quadro valor lugar
UM C D U
2 3 6
UM C D U
2 9 8
2º) As duas parcelas são colocadas juntas em cada ordem no quadro valor lugar:
UM C D U
3º) Transformação de cada uma das ordens, pois em cada uma só pode ter no
máximo 9 elementos, no quadro valor lugar:
UM C D U
Resultado:
UM C D U
5 3 4
355 - 248
1º) Montamos primeiramente o minuendo:
UM C D U
3 5 5
E o subtraendo:
UM C D U
2 4 8
2º) O subtraendo retira as peças do minuendo, uma a uma, havendo necessidade de
transformação de 1 dezena em 10 unidades.
UM C D U
3 5 5
Resultado:
UM C D U
1 0 7
67 x 2
1º) Colocação de um dos fatores no quadro valor lugar, iniciando preferencialmente
pelo de maior valor.
UM C D U
6 7
2º) Como será multiplicado por 2, ou seja, dobrar, repete-se a quantidade 67.
UM C D U
3º) Os dois fatores são colocados juntos em cada ordem no quadro valor lugar:
UM C D U
4º) Neste exemplo, ficarão mais de 9 elementos na unidade e na dezena,
ocasionando a transformação dessas ordens.
UM C D U
Resultado:
UM C D U
1 3 4
318 : 3
1º) Coloca-se o dividendo no quadro valor lugar:
UM C D U
3 1 8
2º) Como divide-se por 3, separar-se os elementos igualmente em três partes:
Parte I Parte II Parte III
Observe que sobraram:
A dezena deve ser transformada em unidades e agrupada junto às duas
unidades restantes.
As unidades deverão ser distribuídas novamente para cada uma das três
partes em quantidades iguais, representadas no quadro valor lugar da seguinte
maneira:
Parte I Parte II Parte III
Não sobrou peças, portanto o resto será zero.
Em cada parte deve ficar o mesmo número de peças e do mesmo valor. A
resposta será obtida contando o valor que ficou para cada parte.
Resultado:
UM C D U
1 0 6
Durante o conhecimento do material e de como realizar as operações,
juntamente com o auxílio dos colegas e da professora, todos tiveram a oportunidade
de manipular o material em todas as atividades propostas. Na atividade em
pequenos grupos (quatro alunos), onde cada grupo pode realizar as operações
manipulando o material, observou-se a facilidade que a professora obteve em
esclarecer as dúvidas que surgiram, pois todos estavam empenhados em realizar as
tarefas sugeridas com o material didático. Podendo assim, acompanhar os grupos
para verificar se os alunos estavam realizando de maneira correta as
transformações e alcançando o resultado. Em caso de erro, a professora com os
colegas do grupo retomavam os números a serem formados, assim como o cálculo a
ser realizado para alcançar o resultado almejado.
A planificação do Material Dourado foi ensinado com o objetivo de registrar o
que se aprendeu com o material concreto e memorizar todo o processo de
transformações que ocorrem em todas as operações.
O processo avaliativo foi realizado individualmente. Enquanto os demais
alunos realizavam a planificação de operações postadas no quadro negro, um aluno
era sorteado para fazer a avaliação. Neste momento, foi bastante prazeroso
perceber que praticamente todos os alunos queriam ser sorteados para fazer a
avaliação, a qual para eles foi um momento de alegria em demonstrar
concretamente a aprendizagem que alcançaram. Bastante diferente de outras
formas de avaliações em que o aluno sente-se frustrado, nervoso e, se possível,
desejaria que não precisasse ser avaliado.
Todo o momento da avaliação foi acompanhado pela professora, desde a
formação do número (Exemplo: o aluno ia sorteando a unidade, dezena, centena de
uma parcela e depois a unidade, centena, dezena de outra parcela, colocando os
algarismos sorteados numa tabela para depois colocar as peças com o Material
Dourado, realizar as transformações necessárias e chegar ao cálculo final da soma,
finalizando com a leitura da resposta obtida). As demais operações também foram
avaliadas sorteando-se os algarismos para fazer os números.
Os alunos realizaram a avaliação das quatro operações, acompanhados pela
professora e em raros momentos precisando de um ajuste na transformação dos
cálculos envolvidos em cada operação.
Desta forma, a avaliação foi estimulante, curiosa e participativa.
Durante avaliação individual, os demais alunos construíram o Material
Dourado planificado, recortando uma folha quadriculada e colando o material de
acordo com as operações solicitadas pela professora. Esta atividade teve como
objetivo auxiliar o aluno a relembrar todos os processos envolvidos a fim de alcançar
a fixação do conteúdo apresentado.
As operações realizadas no caderno com o material planificado foram
corrigidas pela professora, sendo algumas diretamente no caderno e outras
realizadas no quadro para toda a classe.
4 Considerações finais
As dificuldades encontradas com alunos de 6os anos referentes à realização
das quatro operações trouxe a necessidade da pesquisa e a busca de possíveis
caminhos para diminuir esta problemática.
Toda a pesquisa bibliográfica, assim como os encontros de orientação com a
professora regente na Universidade Estadual de Ponta Grossa e orientadora no
Projeto de Intervenção Pedagógica, Produção Didático Pedagógico, Grupo de
Trabalho em Rede (GTR) e Artigo deste PDE 2016/2017, contribuíram imensamente
para a realização do trabalho que resultou neste artigo que visa procurar minimizar
as dificuldades que os alunos apresentam ao realizar as quatro operações.
Percebe-se que o professor sempre deve buscar metodologias, materiais
didáticos e bibliografias que aprofundem seu conhecimento a fim de auxiliar o
processo ensino aprendizagem aos alunos.
Maria Montessori, através do Material Dourado, torna o processo da
aprendizagem da adição, subtração, multiplicação e divisão uma atividade
participativa, prazerosa, envolvendo o aluno com seu professor, aluno com aluno,
facilitando o elo entre a abstração dos processos envolvidos nas operações com o
Material Dourado e as atividades realizadas no quadro e caderno, quando apenas
registra-se os algoritmos matemáticos.
A participação dos alunos de maneira prazerosa, onde todos tentavam
alcançar os resultados, a dedicação dos alunos que haviam compreendido de
imediato e tentavam auxiliar os alunos que estavam no processo de compreensão, a
alegria dos mesmos quando o professor chegava com as caixas de Material
Dourado e eles imediatamente já perguntavam se era para formar grupos, fizeram
com que a professora sentisse estímulo a ensinar, sentimento recíproco entre os
alunos em busca da aprendizagem.
Pode-se dizer que o mais interessante foi o aluno querer fazer avaliação e o
melhor de tudo, com prazer em fazer a mesma. Contente em poder fazer parte da
“escolha” dos números a serem calculados nas quatro operações; confiante em
demonstrar sua aprendizagem com o material concreto e em raros casos, quando o
aluno se confundia em algum cálculo, bastava uma pequena intervenção da
professora para que o mesmo revesse o processo de formação e transformação do
número para alcançar o resultado, mesmo quando havia resultado equívoco o aluno
continuava insistindo em tentar acertar.
Em último momento, após o processo de planificação do material e relação de
toda a aprendizagem com o material concreto e planificado com os algoritmos
escritos no quadro, ao se escrever as operações no quadro, resolvendo-as passo a
passo, observar o olhar dos alunos atentos e muitos falarem “agora entendi” o
porquê do emprestar e outros processos mecânicos que os alunos faziam nas
operações sem compreender, o que na verdade estava camuflado ou não
compreendido na construção e realização das quatro operações fundamentais.
Sem dúvida, o trabalho mencionado na utilização do Material Dourado como
ferramenta pedagógica apresentou resultados positivos, devendo ser estendido, se
possível para anos anteriores ao 6o ano e, colocado em prática no momento
adequado ao aprendizado deste conteúdo fundamental.
5 Referências
AZEVEDO, E. D. M. Apresentação do trabalho Montessoriano. In: Ver. de Educação &Matemática nº. 3 (pp. 26 - 27), 1979. BIGODE, Antônio José Lopes; GIMENEZ, Joaquin. Metodologia para o ensino da aritmética: competência numérica no cotidiano. São Paulo: FTD, 2009. BRASIL. Diretrizes Curriculares da Educação Básica: Matemática / Secretaria de Educação Fundamental. – Paraná: MEC/SEF, 2008.
DALTOÉ, K.; STRELOW, S. Trabalhando com material dourado e blocos lógicos nas séries iniciais. Disponível em: http://www.somatematica.com.br/artigos/a14. Acesso em: 10julho. 2016. PARANÁ. Secretaria de Estado da Educação do Paraná. Departamento da Educação Básica. Diretrizes Curriculares da Educação Básica: Matemática. Paraná: 2008. Disponível em: <http://www.educadores.diaadia.pr.gov.br/arquivos/ File/diretrizes/dce_mat.pdf>. Acesso em: 17 ago. 2016. PIAGET, J. Para onde vai a educação? Rio de Janeiro: Livraria José Olympio, 1976. SCRIPTORI, Carmem Campoy. A matemática na educação infantil: uma visão piagetiana. In: GUIMARÃES, Celia Maria. (Org.). Perspectivas para educação infantil. Araraquara, SP: Junqueira & Marin, 2005.
VAN DE WALLE, John A. Matemática no Ensino Fundamental: formação de professores e aplicação em sala de aula. 6 ed. Porto Alegre: Artmed, 2009.