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Universidade de Coimbra
~ Códigos detectores de erros ~
A álgebra dos números de
identificação
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Sistemas de identificação
Maio 2003 A álgebra dos números de identificação 1
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Códigos de barras UPC / EAN
Maio 2003 A álgebra dos números de identificação 1
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Maio 2003 A álgebra dos números de identificação 1
Sistema ISBN(International Standard Book
Number)
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Maio 2003 A álgebra dos números de identificação 1
Bilhetes de Avião
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Maio 2003 A álgebra dos números de identificação 1
Sistema VIA VERDE
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Maio 2003 A álgebra dos números de identificação 1
e muitos mais exemplos ...• cartões de crédito
• cheques, contas bancárias (NIB)• NIF, passaportes• correio expresso, vales postais• revistas (ISSN)• cartões de utilizador (bibliotecas, lojas, ...)
• cd’s, telemóveis, comunicações com satélites ...
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Maio 2003 A álgebra dos números de identificação 2
Identifica ofabricante
Códigos de barras
Identifica oproduto
Algarismode
Controle
Identifica opaís
European Article NumberSistema
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Maio 2003 A álgebra dos números de identificação 2
Código de barras EAN
a13 a12 a11 a10 a9 a8 a7 a6 a5 a4 a3 a2 a1
a1 é o algarismo em {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} tal que
a13+3a12+a11+3a10+a9+ ... +3a4+a3+3a2+a1é divisível por 10
?
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x3 x3 x3 x3 x3 x3 x1 x1 x1 x1 x1 x1 x1
Maio 2003 A álgebra dos números de identificação 2
5 6 0 1 1 9 9 0 7 2 6 7 ?
Código de barras EAN
5 0 1 9 7 6 ?
103 10+ 7 =
+18+ +3+ +27+ +0+ +6+ +21+
3
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Maio 2003 A álgebra dos números de identificação 3
Para que serve tal algarismo de controle?
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Maio 2003 A álgebra dos números de identificação 3
Os testes de qualidade garantem: poderão ocorrer quando muito erros singulares (um algarismo errado)
5 6 0 1 1 9 9 0 7 7 6 7 7x3
3 + 7 + 15
X3
= 25
3x(7-2)
3 + 7 = 10
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Maio 2003 A álgebra dos números de identificação 3
ESSENCIAL:max. div. comum (3,10)=1max. div. comum (1,10)=1
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Maio 2003 A álgebra dos números de identificação 4
Sistema ISBN criado pelas
editoras
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Maio 2003 A álgebra dos números de identificação 4
Erros mais comuns
Tipo de erro Freq. Rel.
Singular: a b 79.1%Troca de algarismos adjacentes: ab ba 10.2%
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Maio 2003 A álgebra dos números de identificação 4
Os códigos de barras não detectamtodas as “trocas de algarismos adjacentes”
porquem.d.c.(3-1,10)=2
EFICIÊNCIA 88,9%
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Maio 2003 A álgebra dos números de identificação 5
Sistema ISBNa10 a9 a8 a7 a6 a5 a4 a3 a2 a1
?
0 - 3 8 7 - 9 4 6 6 5 - 9país editora n.º identificação alg. controle
a1 {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} tal que10a10 +9a9 + 8a8 + ... + 3a3 + 2a2 + a1
é divisível por 11
Quando a1 =10 faz-se a1 = X
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Maio 2003 A álgebra dos números de identificação 5
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Maio 2003 A álgebra dos números de identificação 6
Sistema do BI foi COPIADO do ISBN
a10 a9 a8 a7 a6 a5 a4 a3 a2 a1
n.º identificação alg. controle
X10 x9 x8 x7 x6 x5 x4 x3 x2 x1
A soma tem que ser divisível por 11
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Maio 2003 A álgebra dos números de identificação 6
6 2 3 5 0 0 8 ?x8 x7 x6 x5 x4 x3 x2 x1
Sistema do BI foi COPIADO do ISBN
48 14 18 25 0 0 16 ?
121
8 8
00
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Maio 2003 A álgebra dos números de identificação 6
Sistema do BI foi COPIADO do ISBN
a1 {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} {X}
Disparate!a1 = 10
mas,mal copiado!
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Maio 2003 A álgebra dos números de identificação 6
6 2 3 5 0 0 3 0x8 x7 x6 x5 x4 x3 x2 x1
111 101
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Maio 2003 A álgebra dos números de identificação 6
O sistema do BI não detectatodos os “erros singulares” !!!
88
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Maio 2003 A álgebra dos números de identificação 7
Sistema do número identif. fiscal (NIF)
é igual ao do BI
Disparate!
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Maio 2003 A álgebra dos números de identificação 8
Os matemáticos criaram métodos muito eficientes. Porque razão se continua a usar sistemas tão primitivos?
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Maio 2003 A álgebra dos números de identificação 9
Sistemas de identificação módulo m
Tipo de erro Condições
Singulares: ai a’i mdc(pi,m)=1 Troca de algarismos: ai+1 ai ai ai+1 mdc(pi+1-pi,m)=1
an an-1 ... a2 a1
pn an + pn-1 an-1 + ... + p2 a2 + p1 a1
é divisível por m
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Maio 2003 A álgebra dos números de identificação 10
Generalização
n(an) + n-1(an-1) + ... + 2(a2) + 1(a1)
é divisível por mEFICIÊNCIA 97,8%m=10
i :
ai pi ai
{0,1,...,m-1} {0,1,...,m-1}
an an-1 ... a2 a1
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Maio 2003 A álgebra dos números de identificação 11
Aritmética Modular
Z10 ={0,1,2,...,9}
n(an) 10 n-1(an-1) 10 ... 10 2(a2) 10 1(a1) = 0
a+b divisível por 10 a 10 b = 0
Espiral Modular
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Maio 2003 A álgebra dos números de identificação 12
an an-1 ... a2 a1
n(an) n-1(an-1) ... 2(a2) 1(a1) = 0
Para cada m existe sempre um grupo comEFICIÊNCIA = 100%
(Z10 , 10) outros grupos (G,)Generalização
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Maio 2003 A álgebra dos números de identificação 13
Grupo Diedral D5grupo das simetrias de um pentágono regular
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0123456789
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
3 4 0 1 7 8 9 5 64 0 1 2 8 9 5 6 70 1 2 3 9 5 6 7 89 8 7 6 0 4 3 2 15 9 8 7 1 0 4 3 26 5 9 8 2 1 0 4 37 6 5 9 3 2 1 0 48 7 6 5 4 3 2 1 0
r1
r2
r3
r4
r5
1=72º
0 1 2 3 4 r1 r2 r3 r4 r5
3 4 0 6 7 8 9 5
2=144º3=216º4=288º
0=0º
123456789
2
C D
A
EBE B
CD
A
A
B
E
C
D
A
B E
C D
m=10
AA
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Maio 2003 A álgebra dos números de identificação 14
MARCO ALEMÃO
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Maio 2003 A álgebra dos números de identificação 15
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L 4 FinlândiaM 5 PortugalN 6 ÁustriaP 8 HolandaR 1 LuxemburgoS 2 Itália
Maio 2003 A álgebra dos números de identificação 15
T 3 IrlandaU 4 França V 5 EspanhaX 7 AlemanhaY 8 GréciaZ 9 Bélgica
M3132681541?
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Maio 2003 A álgebra dos números de identificação 15
M3132681541?
5+3+1+3+2+6+8+1+5+4+1+?
39
“noves fora” 3
div. por 9
?=6
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Maio 2003 A álgebra dos números de identificação 15
M31326815416
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Maio 2003 A álgebra dos números de identificação FIM
Não detecta os erros singulares 0 9 9 0
Não detecta nenhuma troca!!!
Disparate!