8.5 – Centro de massa
Posição do centro de massa de um sistema de N partículas:
Média, ponderada pelas massas, das posições das partículas
N
ii
N
iii
N
NNcm
m
rm
mmm
rmrmrmR
1
1
21
2211
...
...
0
1
2
i
ir
Em componentes:
N
ii
N
iii
N
NNcm
m
xm
mmm
xmxmxmX
1
1
21
2211
...
... (idem para y e z)
21
2211
mm
xmxmXCM
(c) Em geral, o centro de massa é um ponto intermediário entre x1 e x2:
2CM1 xXx
Lm
LmmXCM 3
2
3
20
x
xCMmx=0
2mx=L
2/3 1/3
(a)2
2121
xxxmm CM
x
xCM
1x 2x
(b) 121 xxmm CM x
xCM
2x
Exemplos em 1D: 2 partículas
Kits LADIF
Exemplo: sistema de 3 partículas em 2D
CM
CM
0×1+ 0×2 + 4×4x = m = 2,3 m
1+ 2 + 40×1+ 3×2 + 0×4
y = m = 0,9 m1+ 2 + 4
Distribuições contínuas de massa (qualitativo)
Objeto homogêneo com centro geométrico: CM no centro
Objeto com eixo de simetria: CM ao longo do eixo
Note que o c.m. pode estar localizado fora do objeto
Movimento do centro de massa
N
NNcm mmm
rmrmrmR
...
...
21
2211
Velocidade do centro de massa:
N
NNcmcm mmm
vmvmvm
dt
RdV
...
...
21
2211
Massa total: NmmmM ...21
PvmvmvmVM NNcm
...2211 (momento linear
total)
Momento linear total é igual à massa total multiplicada pela velocidade do centro de
massa
Como vimos na aula passada, se a resultante das forças externas for nula, ou se o sistema for isolado:
constanteP
constante cmV
Vídeo: Physics Demonstrations in Mechanics: Part II, No. 5
Exemplo: Y&F 8.14
E se houver força externa resultante não-nula?
NNcm vmvmvmVM
...2211
Derivando mais uma vez:
dt
vdm
dt
vdm
dt
vdm
dt
VdM N
Ncm
...2
21
1
NNcm amamamAM
...2211
NNcm amamamAM
...2211
Pela 2ª Lei de Newton:
FFFFAM Ncm
...21
Somatório de todas as forças que atuam sobre todas as partículas
intFFF ext
Soma das forças externas
Soma das forças internas
Como vimos na aula passada, pela 3ª Lei de Newton:
(pares ação e reação se cancelam)
0int F
Assim: cmextAMF
O centro de massa se move como uma partícula que concentrasse toda a massa do sistema, sob ação da
resultante das forças externas
Vídeo: Physics Demonstrations in Mechanics: Part II, No. 6
Ou:
dt
Pd
dt
VMd
dt
VdMF cmcm
ext
Colisões no referencial do centro de massa:
• ausência de forças externas, velocidade do c.m. permanece inalterada pela colisão
• referencial do c.m. é inercialMostrar applet: http://galileoandeinstein.physics.virginia.edu/more_stuff/Applets/Collision/jarapplet.html
Av
BA
Bv
Referencial do c.m.
AuA B
Bu
Bv
Av
A B
Referencial do laboratório
Trajetória do c.m.
C.m. está parado
Au
Bu
A B
Velocidades no referencial do centro de massa:
cmBB
cmAA
cmBB
cmAA
Vvu
Vvu
Vvu
Vvu
Conservação do momento linear:
BBAABBAA vmvmvmvm
cmBBcmAAcmBBcmAA VumVumVumVum
BBAABBAA umumumum
Momento linear também se conserva no referencial do centro de massa (como esperado, pois trata-se de um referencial inercial)
Energia cinética no referencial do lab:
Antes: 22
2
1
2
1BBAAc vmvmE
Mudança de variáveis para velocidade do c.m. e velocidade relativa:
l)referencia do (independe BABArel
BA
BBAAcm
uuvvv
mm
vmvmV
Invertendo, obtemos:
relBA
AcmB
relBA
BcmA
vmm
mVv
vmm
mVv
22
2
1
2
1BBAAc vmvmE
Substituindo na expressão para a energia cinética:
22
2
1
2
1
relBA
AcmBrel
BA
BcmAc v
mm
mVmv
mm
mVmE
Após alguma álgebra (quadro negro):
22
2
1
2
1rel
BA
BAcmBAc v
mm
mmVmmE
Definindo: (massa total) e
(massa reduzida)
BA mmM
BA
BA
mm
mm
Obtemos finalmente:
22
2
1
2
1relcmc vMVE
Energia cinética do movimento do centro de massa
Energia cinética do movimento relativo
Análise:
1. Parece com a expressão da energia cinética de duas “partículas”
2. No referencial do c.m., temos:
Ou seja, a energia cinética depende do referencial, e a energia cinética mínima é aquela calculada no referencial do c.m.
0) c.m. do vel.(2
1 2 relcmc vE
3. Antes e depois de uma colisão, a velocidade do c.m. não varia, de modo que a variação da energia cinética é:
Ou seja, a variação de energia cinética não depende do referencial (como esperado)
22
2
1
2
1relrelc vvE
4. Em uma colisão elástica, temos:
Ou seja, o módulo da velocidade relativa não é alterado pela colisão
relrelrelrelc vvvvE
02
1
2
1 22
5. A perda máxima de energia cinética (colisão totalmente inelástica), ocorre quando:
Desta forma, explica-se porque as partículas ficam “grudadas” depois de uma colisão totalmente inelástica
222
2
1
2
1
2
1relrelrelc vvvE
0
8.6 – Propulsão de um foguete
Exemplo de movimento de um sistema de massa variável:
Instante t
v
Massa m
Instante t + dt
vdv
m +dmdm < 0
exv
-dm
Velocidade de exaustão dos gases relativa ao foguete
http://www.youtube.com/watch?v=sJj1WpbvxM4
Conservação do momento linear:
))(()()(
)(
exvvdmdvvdmmdttP
mvtP
))(()( exvvdmdvvdmmmv
dmvvdmdmdvvdmmdvmvmv ex
Infinitésimo de ordem superiordmvmdv ex
dt
dmvF
dt
dmv
dt
dvm exex
Força de propulsão do foguete (proporcional à taxa e à velocidade de exaustão)
Note que, ainda que a força seja supostamente constante, a aceleração aumenta com o tempo, pois a massa diminui continuamente
Cálculo da velocidade:
dmvmdv exm
dmvdv ex
m
m
ex
v
v m
mdvvd
00
00 ln
m
mvvv ex
m
mvvv ex
00 ln
Exemplo: Y&F 8.16
Próximas aulas:
4a. Feira 26/10: Aula de Exercícios (sala A-327)
6a. Feira 28/10: Feriado
4a. Feira 02/11: Feriado
6a. Feira 04/11: Aula Magna (sala A-343) e Testes do Cap. 8