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Estruturas IsostáticasDeslocamentos em Estruturas
Profª.: Erika Marinho
Departamento de Tecnologia em Engenharia Civil, Computação e Humanidades
Créditos:
Profª. Dalilah Pires - UFSJ
Prof. Ricardo Azoubel - UFOP
2015/1
Introduçãoa. Origem dos deslocamentos (FLECHAS E ROTAÇÕES) nas estruturas:
� Cargas;� Temperatura;� Erros de fabricação e montagem;� Movimentos (recalques) de apoios.
b. Importância da avaliação dos deslocamentos nas estruturas:
� Projeto: os deslocamentos devem ser pequenos no sentido de seevitar fissuras e fraturas;
� Conforto: pequenas vibrações e deflexões;� Método das Forças: para análise de estruturas estaticamente
indeterminadas (fundamentos baseados no MÉTODO DACARGA UNITÁRIA).
IntroduçãoDeslocamentos causados pelo carregamento:
IntroduçãoDeslocamentos causados pela variação de temperatura:
Princípio de d’Alembert
Considere um ponto material m em equilíbrio, isto é,
submetido a um conjunto de forças Pi, tais que sua resultante R é nula.
Suponha que, a este ponto, seja dado um deslocamento δ, sem
introduzir nenhum outra força, ou seja, R continua sendo zero.
Pn
Pi
P2P1
mm1
δ
Nestas condições (R=0), o deslocamento δ
não pode ser real, caso contrário, deveria
ser causado por alguma outra força.
Portanto, δ é uma entidade puramente
matemática, chamada de:
DESLOCAMENTO VIRTUAL.
Princípio de d’Alembert
O trabalho realizado pelo sistema de forças Pi quando o ponto
m sofre o deslocamento virtual δ é nulo:
Pn
Pi
P2P1
mm1
δ
W = R δ = 0
“O trabalho virtual realizado pelo
sistema de forças que atua sobre
um ponto material é nulo para um
deslocamento virtual arbitrário
imposto qualquer”.
Princípio dos Trabalhos Virtuais
A partir do Princípio de d’Alembert aplicado a corpos
elásticos, temos o Princípio dos Trabalhos Virtuais (PTV) a seguir:
“Para um corpo elástico que atingiu sua configuração de equilíbrio, o
trabalho virtual total das forças externas que sobre ele atuam é igual ao
trabalho virtual das forças internas nele atuantes, para todos os
deslocamentos arbitrários (compatíveis com os vínculos do corpo) que
lhe imponhamos”.
Princípio dos Trabalhos Virtuais
Seja o corpo abaixo, submetido às cargas reais P1, P2 e P3
aplicadas na estrutura. Em se tratando de um corpo elástico, ele sedeformará devido a estas cargas, adquirindo a configuração tracejadana figura.
P1
P2
∆
P3δ
Suponhamos que se deseja avaliar δ, que é o deslocamento do ponto A na direção Δ.
Princípio dos Trabalhos Virtuais
Tem-se agora, o mesmo corpo, sob aplicação da carga P’=1,que coincide com a configuração descarregada do corpo da figuraanterior.
P’ = 1
A
Princípio dos Trabalhos Virtuais
P1
P2
∆
P3δ
P’ = 1
A
Apliquemos ao corpo 2, deslocamentos virtuais exatamenteiguais aos provocados pelo carregamento do corpo 1. Ou seja, ocorpo 2 ficará com a configuração tracejada mostrada no corpo 1(configuração deformada virtual).
Ou seja, estamos considerando que o deslocamento δ doponto A, é causado por uma carga P’=1.
Corpo 1 Corpo 2
Princípio dos Trabalhos Virtuais
Aplicando o PTV no corpo 2, sob os deslocamentos virtuaisimpostos, temos:
Wext = Wint
onde:
Wext = P’ δ (as reações não realizam trabalho);Wint = soma dos trabalhos virtuais de deformação de todos os elementosde comprimento ds ao longo do corpo, que é a soma dos trabalhos virtuaisde deformação devidos a cada um dos esforços atuantes na estrutura.
Wint = � ���ϕ�
+ � ����
+ � ����
Ou: Wint = � � ��
���+ �
�����
���+ �
������
���
Igualando o trabalho externo e interno:
P’ δ = ������
���+ �
�����
���+ �
!!���
"��
Princípio dos Trabalhos Virtuais
Observação 1:Pode-se substituir a expressão Wint = � ���ϕ
�+ � ���
�+ � ���
�por Wint =
� � ��
���+ �
�����
���+ �
������
���, como foi feito, porque, da Resistência dos Materiais,
sabemos que:
dϕ =���
��→ rotação relativa de duas seções distantes de ds devida a M;
Δds =���
��→ deslocamento axial relativo de duas seções distantes de ds, devido a N;
dh = !��
"�→ deslizamento relativo de duas seções distantes de ds, devido a Q.
Onde:E = módulo de elasticidade longitudinal;G = módulo de elasticidade transversal;I = momento de inércia da seção transversal em relação a seu eixo neutro;A = área da seção transversal;χ = coeficiente de redução, resultante da distribuição não uniforme das tensõescisalhantes, cujo valor varia com o tipo de seção.
Princípio dos Trabalhos Virtuais
Observação 2:
A Figura do corpo 1 nos forneceu as deformações, e do corpo 2 nosforneceu os esforços, por isso, são denominadas:
P1
P2
∆P3
δ
P’ = 1
A
Estado de Deformações Estado de Carregamento
O Estado de Deformação pode ser provocado por: carregamentoexterior, variação de temperatura, movimentos (recalques) de apoios oumodificações impostas na fabricação e montagem.
Princípio dos Trabalhos Virtuais
A escolha do Estado de Carregamento deve ser tal que a carga P’associada à deformação δ, que se deseja calcular, nos forneça um trabalhovirtual de forças externas P’ δ. Ou seja, o estado de carregamento é função dadeformação que se deseja calcular.
Para os casos usuais, temos os estados de carregamento mostradosna Tabela 1.
Tabela 1: Escolha do Estado de
Carregamento
Fórmula de Mohr
No caso mais geral (estruturas no espaço), teríamos queacrescentar ao trabalho virtual das forças internas, o trabalho domomento de torção.
Assim, o cálculo de deslocamentos em estruturas devidos acarregamento exterior atuante, seria dado pelo FÓRMULA DEMOHR:
1 ∙δ = ������
���+ �
%%���
"&'�+ �
�����
���+ �
!!���
"��
onde:Jt = momento de inércia à torção da seção.
Simplificações
Para as estruturas usuais, algumas parcelas podem serdesconsideradas:
1 – A parcela � !!���
"��pode ser desprezada na presença das demais
(exceto em vãos muito curtos e cargas muito elevadas);
2 – A parcela ������
���também pode der desprezada em peças que
não trabalhem fundamentalmente ao esforço normal (mas deve serconsiderada em peças como arcos, escoras, tirantes, treliças, pilaresesbeltos e barras protendidas em geral).
* Em caso de dúvida, devem ser computadas todas as parcelas.
Exemplo 1Determine o deslocamento vertical do ponto C da treliça metálica
mostrada na figura abaixo.Dados: E = 29 x103 k/in² e A = 0,5 in2.
A
10 ft
4 k
B
4 k
CD
EF
10 ft 10 ft
10 ft
Exemplo 2Determine o deslocamento horizontal do ponto D do pórtico
abaixo.Dados: EI = 2,0 x 104 tf.m² para todas as barras.
Para estruturas cujas barras têm inércia constante, adeformação devida ao trabalho à flexão vale:
δ = ������
���= ∑�
�������)*++*)*++*
Tirando EIbarra da integral, pois é constante, temos:
EIbarraδ = ∑� �����)*++*
Em função dos diagramas de M e M’, os valores de
� �����)*++*
serão tabelados. Quando somados para todas as barras
da estrutura, nos fornecem o valor E.Ibarra.δ, a partir do qual se obtém
o valor da deformação δ desejada.
Uso de Tabelas para � ������
Pode-se demonstrar que:
A integral � �����)*++*
é numericamente igual ao produto da áreado diagrama M (do estado de deformação) pela ordenada dodiagrama M’ (do estado de carregamento) na abscissa do centro degravidade do diagrama M.
� �����)*++*
= AM ,-
Uso de Tabelas para � ������
Tabela 2 – Cálculo de � ����./
0, para barras de comprimento L
Exemplo 3Refaça o exemplo 2 usando a tabela de � ����.
/
0.
Exemplo 3Barra 1
Exemplo 3Barra 2
Exemplo 4Determine a rotação θ no ponto B da viga metálica mostrada abaixo.
Dados: E = 200 GPa e I = 60 x 106 mm4.
A
B
3 kN
5 m 5 m
C
Exemplo 4
Exemplo 5Determine o deslocamento horizontal no ponto C do pórtico
metálico mostrado abaixo.
Dados: E = 4176 x 103 k/ft², I = 28,935 x 10-3 ft4 para ambos os membros.
A
B
4 k/ft
C8 ft
10 ft
Exemplo 5Barra AB
Exemplo 5Barra BC
Variação de TemperaturaSeja a estrutura abaixo, cujas fibras superiores tiveram uma
variação de temperatura T1 e as fibras inferiores tiveram variação T2, em relação à temperatura da época de sua execução.
c
dxTd m∆α
=θ
dx
T1
T2
T1 > T2
T1
T2
c
c
dxδx
δx
c
c
M
∆T
∆T
1 2m
T TT
2
+=
Rotação positiva
dθ
Variação de TemperaturaEsta variação de temperatura causa, em duas seções distantes de dx,
um movimento relativo composto de:
a) um deslocamento axial relativo de Δdx = α Tm
dx (onde Tm é a variação de
temperatura no CG em relação ao dia de execução);
b) uma rotação relativa dϕ = 1 %23%4 �.
45= 16%7�.
5.
dx
T1
T2
T1 > T2
T1
T2
c
c
dxδx
δx
c
c
M
∆T
∆T
1 2m
T TT
2
+=
Rotação positiva
dϕ
Variação de TemperaturaEntão, aplicando o PTV, temos:
P’ δ = � ��16%�
�. 9���16%7�.
5�
dx
T1
T2
T1 > T2
T1
T2
c
c
dxδx
δx
c
c
M
∆T
∆T
1 2m
T TT
2
+= dϕ
onde:M’ = momento virtual interno nas barra causado pela força virtual externa unitáriaα = coeficiente de dilatação térmicaΔTm = diferença entre a temperatura média e a temperatura do topo ou base da seção da vigac = metade da altura da seçãoL = comprimento da barra
Variação de TemperaturaEm barras de seção transversal constante, temos:
P’ δ = 16%� ���
�. 916%75
� ���.�
Mas as integrais � ���
�.e � ���.�
se identificam com as áreas
dos diagramas de esforço normal e de momento fletor no estado decarregamento e temos, então:
P’ δ = α ΔT AN’ +αΔTm 5
AM’
Exemplo 6A viga mostrada abaixo está sujeita a duas temperaturas diferentes.
Se a temperatura do topo da seção é 80°F e a da base é 160°F, determine o
deslocamento vertical no meio da viga devido a esse gradiente de
temperatura.
Dado: α = 6,5 x 10-6 / oF.
80º F
160º F
120in
10 in