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7. Circuitos de Corrente Alternada (AC)
7.1. Fontes de AC e Fasores
7.2. Resistncias num Circuito AC
7.3. Indutores num Circuito AC
7.4. Condensadores num Circuito AC7.5. O Circuito RLC em Srie
7.6. Ressonncia num Circuito RLC em Srie
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Descrevemos os princpios bsicos dos circuitos AC simples.
Anlise de circuitos em srie simples com resistncias (R), condensadores(C), e indutores (L), isoladamente ou em combinao, alimentados por uma
fonte de voltagem sinusoidal.
Vamos usar o facto de R, C e L terem respostas lineares: a corrente alternadainstantnea (AC) em cada um deles proporcional voltagem alternada
instantnea no componente.
Quando a voltagem (V) alternada aplicada for sinusoidal, a corrente em cada
componente tambm ser sinusoidal, mas no necessariamente em fase com a
voltagem aplicada.
Quando a corrente numabobina (indutor) se altera com o tempo, h uma fem
(fora electro-motriz) induzida na bobina, conforme a Lei de Faraday.
A fem auto-induzida numa bobina define-se pela expresso:
dtdiL= OndeL a indutncia da bobina
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A Indutncia uma medida de oposio dum componente do
circuito (neste caso a bobina) variao da corrente.
1 1V s
H =SI henry (H)
A indutncia de qualquer bobina (solenide, bobina toroidal) dada pelaexpresso
I
NL m
=
Indutor (bobina)
Onde I a corrente, m o fluxo magntico atravs da bobina, eNo nmerototal de espiras.
A indutncia de um componente de um circuito depende da geometria docomponente.
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7.1. Fontes de AC e Fasores
Circuito de corrente alternada (AC): uma combinao de componentes (R,L,C) e
um gerador que proporciona AC.
Pela rotao duma espira num campo magntico com velocidade angular ()constante, induz-se uma voltagem alternada (fem) sinusoidal na espira.
Esta voltagem instantnea dada por:
Vm: voltagem de pico do gerador de AC ou amplitude da voltagem.
A frequncia angular:
f: frequncia linear da fonte, T: perodo (f Hz (ciclos por segundo);
rad/s)Em Portugal, na rede elctrica f=50 Hz
tsenVm =
Tf 22 ==
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Objectivo primordial do captulo - exemplo: Suponha que tem um gerador
de AC ligado a um circuito com componentes R, L e C em srie; se a Vme a fdo gerador forem dadas, e os valores de R, L e C tambm, achar a
corrente resultante, caracterizada pela amplitude e pela fase.
A fim de simplificar esta anlise temos que construir graficamente um
diagrama de fasores: as grandezas oscilatrias (corrente, voltagem) sorepresentadas por vectores giratrios (no sentido anti-horrio) no plano
complexo, os fasores.
O comprimento do fasor representa a amplitude (valor mximo) dagrandeza;
A projeco do fasor no eixo real representa o valor instantneo da
grandeza.
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7.2. Resistncias num Circuito AC
A soma algbrica instantnea da elevao do potencial,e do abaixamento do potencial, na malha do circuito
deve ser nula (Lei das malhas de Kirchhoff)
~= Vm.sen(.t)
vR
1i=0 -R= 0 = R= Vm.sen tR: queda instantnea de voltagem naresiatncia (R).
tsenItsenR
V
Ri m
mR
=== 2A corrente instantnea:
R
VI mm = corrente de pico
1 2e R= Im R sen t
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iR e R variam, ambos de uma forma sinusoidal (com sen t) e atingem os valoresmximos (picos) num mesmo instante as duas grandezas esto em fase.
Im
Vm
t
vR
iR iR
R Vm
Im
t
Diagrama de fasores. As projeces
deIm e Vm (fasores) no eixo verticalrepresentam os valores instantneos
de iRe R.Grfico da voltagem e da
corrente em funo do tempo
! O valor mdio da corrente sobre um ciclo nulo: a corrente mantm-se
num sentido (+) durante o mesmo intervalo de tempo que se mantm no
sentido oposto (-) O sentido da corrente no tem efeito sobre o
comportamento do R no circuito.
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Efeito trmico
Qualitativamente: as colises entre os electres de conduo de corrente e ostomos fixos da resistncia (R) provocam um aumento da sua temperatura, que
depende do valor da corrente, mas independente da direco da corrente.
Quantitativamente: taxa de converso da energia elctrica em calor numa R a sua potncia instantnea ; i: corrente instantnea na R.
P i2 no faz diferena se a corrente for contnua (DC) ou alternada (AC),ou seja se o sinal (+) ou (-) for associado a i.
! O efeito trmicoprovocada por uma corrente alternada com Im no o mesmo
que o provocado por uma corrente contnua com o mesmo valor, dado que acorrente alternada somente tem o Imax durante um pequeno instante de tempo
durante um ciclo.
P = i2R
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Importante num circuito AC o valor mdio da corrente ou corrente
mdia quadrtica (rms).
A corrente mdia quadrtica (ou eficaz) a raiz quadrada da mdia dos
quadrados da corrente.
O quadrado da corrente varia com sen2 t, e pode-se mostrar que o valor
mdio de i2 I2m/2
I2rms
i2
t
I2m
22
0,7072
2
mrms m
mrms
II
II
= =
=
Exemplo: Uma corrente AC com Im = 2 A libertar o mesmo calor numa
R do que uma corrente DC de 0,7072 = 1,414 A
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Apotncia mdia dissipada num R com uma corrente AC :
rms
rms
VR
I=RIP rmsmed
2=
0,7072m
rms mVV V= =A voltagem mdia quadrtica (ou eficaz):
! Quando se fala em medir a voltagem alternada de 220V duma tomada
elctrica, fala-se na realidade duma Vrms de 220V Vm = 311,1 V
! Usaremos valores rms ao discutir as correntes e voltagens alternadas.
! Os ampermetros e voltmetros de AC so projectados para ler os valores rmsSe forem usados os valores rms, muitas equaes tero a mesma forma que as
equaes nos circuitos DC
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Irms(Ief)Vrms(Vef)Valor mdio quadrtico (ou eficaz)
ImVmValor mximo (pico)
iValor instantneo
CorrenteVoltagem
Exerccio 7.1
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7.3. Indutores num Circuito AC
L: queda instantnea de voltagem no indutor (bobina).
~= Vmsen(.t)
L
Lei das malhas: i=0 + L = 0 ,
0m mdi di
L V sen t L V sen t dt dt
+ = = 1
A integrao d a corrente em funo do tempo:
cosm mLV V
i sen t dt t
L L
= =
dado que: cos
2
t sen t
=
=2
tsen
L
Vi mL 2
Comparando com a corrente est fora de fase com a voltagem
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Comparando com a corrente est fora de fase com a voltagem,
com um atraso de /2 rad, ou 90
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Vm
Im v
L
iL
t
iL
vLVm
.t
Im
L atinge Vm (pico) num instante queest um quarto do perodo deoscilao antes de iL atingirIm
Quando a aplicada forsinusoidal, iL segue a L comum atraso de 90
! L di/dt L maior quando i estiver a variar com maior rapidez. i(t)
uma curva sinusoidal di/dt (declive) mximo quando a curva i(t)passar
pelo zero L atinge Vm quando iL = 0
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tsenXItsenV LmmL ==Com e 31
Pode ser visto como a Lei de Ohm dum circuito
indutivo. XL tem a unidade SI de resistncia
(impedncia) o Ohm ().
A impedncia dum indutor aumenta com a frequncia. Nas frequncias
mais elevadas ivaria mais rapidamente, o que provoca um aumento da fem
induzida associada a uma certa Im.
Exerccio 7.2
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7.4. Condensadores num Circuito AC
~
v = Vmsen(.t)
vC
C
Lei das malhas: i=0 - c = 0
= c = Vm sen t c: queda instantnea de voltagem no condensador.
( )( )c m
Q tv Q t CV sen t
C= = 1
Uma vez que i = dQ/dt a derivao de d a corrente instantnea1
cos sin 2C m mdQ
i CV t CV t dt
= = = +
dado que: cos2
t sen t
= +
Vemos que a corrente no est em fase com a voltagem aos terminais do
condensador.
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12 2C m mC
i CV sen t V sen t = + = + iC est com uma diferena de fase de 90 em antecipao C.
2
Vm
Im
vC
iC
t
ImIC
C Vmt
Quando a fem aplicada for sinusoidal, a
corrente num condensador est avanada
de 90 relativamente voltagem no C.
iC atinge Im (pico) um quarto de ciclo
mais cedo que o instante em que a Catinge Vm
CXC
1=Impedncia capacitiva Exerccio 7.3
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7.5. Circuitos RLC em Srie
i = Im.sen(t - ); o ngulo de fase entre a corrente e a voltagemaplicada.
Objectivo: determinar e Im. Teremos que construir e analisar o diagramade fasores do circuito.! Todos os componentes esto em srie no circuito a corrente alternada
(i) sempre a mesma (mesma amplitude e mesma fase) em todos os
pontos do circuito. a voltagem em cada componente ter amplitudee fase diferente.
vR
t
vL
t
vC
t
R L
= Vm.sen t
C
R C
~
L
i
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VL
Im
90
VC
Im90
VR Im
1
Resistncia Indutor Condensador
Voltagem em fase / avano de 90 / atraso de 90 com a corrente
As quedas instantneas de voltagem:R= ImRsen (t-) = VRsen (t-)
L = ImXL sen (t+/2-) = VL cos (t-)
C = ImXC sen (t -/2-) = -VC cos (t-)
VR = ImR; VL = ImXL; VC = ImXC so as voltagens de pico (mximos) aos
terminais de cada componente.
( ) = tsenIi m
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! A voltagem instantnea nos trs componentes obedece a:
= R+ L + C
mais simples efectuar a soma usando o diagrama de fasoresA corrente em cada componente a mesma,I(t) pela combinao dostrs fasores :1
2
Im VR
VL
VC
Vm
VL-VCVm
VR
2
Soma vectorial dasvoltagens
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! A soma vectorial das amplitudes das voltagens VR, VL, VC igual a um fasorcujo comprimento o pico da voltagem aplicada, Vm, e que faz um ngulo como fasor da corrente Im.
Pelo tringulo na Figura:
( ) ( ) ( )2222 CmLmmCLRm XIXIRIVVVV +=+=
( )22
CLmm XXRIV += ; XL = L; XC = 1/ CA
( )22CL
mm
XXR
VI
+=
( )22 CL XXR + SI: OhmZA impedncia (Z) do circuito RLC :
Vm = Im Z Generalizao da Lei de Ohm para ACA
;m rmsV V
Z Z= =
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;m rms
Z ZI I
= =
! A corrente no circuito depende da R, L, C e Se eliminamos o factor comum Im de cada fasor da Figura
tringulo de impedncia.
2
Z
R
R
XX CL =tanXL XC
( ) = tsenIi m
Quando XL > XC (frequncias altas) > 0, a isegue a aplicada. Se XL < XC < 0, iprecede a aplicada. Quando XL = XC = 0, Z = Re Im = Vm/R
A frequncia a que se verifica esta condio a frequncia de
ressonncia.
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Negativo se XC > XL
Positivo se XC < XL
Positivo, entre 0 e 90
Negativo, entre 90 e 0
+90XL
-90XC
0R
ngulo de Fase, Impedncia, ZComponentes do Circuito
R CL
L
R
C
CR 22CXR +
LR22 LXR +
( )22 CL XXR +
Exerccio 7.5
7 6 Potncia num Circuito AC
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7.6. Potncia num Circuito AC
No circuito RLC podemos exprimir a potncia instantnea, P, como:
P = i = Imsen(t )Vmsen (t)= ImVmsen(t)sen(t )
1
! Funo complicada do tempo sem muita utilidade prtica.
Interessa, em geral: a potncia mdia em um ou mais ciclos
sen(
t -
) = sen(
t)cos(
) sen(
)cos(
t) 1
P = ImVmsen2(t)cos() ImVmsen(t)cos(t)sen()
Toma-se a mdia de P sobre o tempo durante um ou mais ciclos (Im
, Vm
,
e constantes).
Mdia de sen2(t).cos() cos()
Mdia de sen(t).cos(t).sen() 0
.sen(2t)
;m mV I
V I= =
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;2 2
rms rmsV I= =
A potncia mdia ou
potncia activa eficaz:
Pmed = Im.Vm.cos
= Irms.Vrms.cos VL-VC
VR
Vm
A queda mxima de voltagem naresistncia : VR= Vmcos = Im.R
factor de potncia
cos = Im R/Vm
212cos
2 2m m m
md rms rms m
m
I V I R P I V I R
V
= = =
RIP rmsmd 2=
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Preact = Irms.Vrms.sen()
! A potncia mdia proporcionada pelo gerador dissipada como calor na R.(como em DC)
!No h perda de potncia num indutor ideal ou num condensador ideal.
(Ex.: o C carregado e descarregado duas vezes durante cada ciclo hfornecimento de carga ao C durante dois quartos do ciclo, e h o retorno
da carga fonte de voltagem, durante os outros dois quartos. Apotncia mdia proporcionada pela fonte nula. Logo um C num circuito
de AC no dissipa energia.) (Analogamente para o indutor)
A potncia que se transmite entre a fonte e o circuito que no dissipada:Potncia reactiva:
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Pmd = Pact = Irms.Vrms.cos Puramente resistivo = 0, cos = 1
Potncia mxima(mx. amplitude)
Pmax = Irms.Vrms
t
P = v.i
iv
Potnciamdia}
Exerccio 7.8
7.7. Ressonncia num Circuito RLC em Srie.
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7.7. Ressonncia num Circuito RLC em Srie.
Um circuito RLC est em ressonncia quando a corrente tem o seu valorde pico (ver pag. 22).
Em geral ( )22 CL
rmsrms
rmsXXR
V
Z
V
I +==
! Z = Z () Irms = Irms()
A corrente atinge o seu valor mximo quando XL = XC Z = RA frequncia 0 a que isso ocorre a frequncia de ressonncia docircuito:
LC10 =
CLXX CL
00 1
==
0 tambm corresponde frequncia natural de oscilao do circuito LC.
Nesta frequncia a corrente est em fase com a voltagem instantnea
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aplicada.
R = 10
(mA)R = 3.5
R = 5
Irms1.2
0.2 9 w0 12
, Mrad/s
L = 5 HC = 2 nF
Vmq= 5 mV
R0 = 107 rad/s
Curvas mais estreitas e altas quandoR diminui.
Irms , R 0 (teoria!!) Os sistemas mecnicos tambm
exibem ressonncias: sistemamassa-mola.
Actuando na 0, a amplitude das
oscilaes aumenta com o tempo.
Os circuitos reais tm sempreuma certa resistnciaque limita o valor da corrente.
A potncia mdia em funo da frequncia:
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A potncia mdia em funo da frequncia:
( )222
2
22
CL
rmsrmsrmsmd
XXRRVR
ZVRIP
+===
LC
120 =
CXC
1=
LXL =
( )220222222
+=
LR
RVP rmsmd
R
VP rmsmd
2
=Quando = 0 a Pmd mxima,
R = 10
R = 3.5
Pmd, w
7
1
9 0 11 , Mrad/s
A largura da curva descritapor um factor de qualidade: Q0
= 00Q
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a largura da curva medida entre dois valores de para os quaisPmd tem metade do valor mximo da P=
L
R
R
LQ 00
=
XL(0)
Grandeza adimensional
! Q0 elevado, estreito; Q0baixo, corresponde a uma faixa de frequncias
mais ampla.! 10 < Q0 < 100 (aprox.) nos circuitos electrnicos.
Aplicaes: Aparelho de rdio
- C 0 (sintonizao)
- 0 do circuito = onda de rdio recebida aumenta I no circuito.
- Sinal amplificado alimenta o alto-falante
- Q0 elevado a fim de serem eliminados os sinais indesejveis.
Anexo1: Representao Complexa das grandezas AC
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p p g
Uma corrente ou tenso alternadas podem ser representadas por um
nmero complexo.
Aproveitando a identidade
ei = cos + i sen ; com i2 = -1
Regra para a representao:
Uma voltagem alternada V0.cos(t+) deve ser representada pelo nmerocomplexo V0.ei
.eit, isto , o nmero cuja parte real V0.cos() e cuja
parte imaginria V0.sen() que roda no plano complexo com a velocidade
angular. Portanto, a voltagem em funo do tempo dada pela parte real
do produto V0.ei(t+).
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Y
X
V0
Voltagem em funodo tempo.
Representaocomplexa
V0.cos(t+) V
0.ei = x + iy
Multiplique por eit e tome a parte real
V = Re[V0.ei(eit)] = V0.cos(t+)
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( ) ZV
IXXR
VI mm
CL
mm =
+= ,
22
( )22 CL XXRZ +=
R
XX CL = arctan
ieZZ = iXRZ +=;
LieLZi
L
== 2
CiC
ie
C
Zi
C
11 2 =
==
CLR ZZZZ ++=
( )22 CLR ZZZZ ++=
=
Z
ZIm
Re
arctan
RZR =
Acetatos preparados por:- S. Lanceros-Mndez (contedo e figuras)
- J. A. Mendes (layout)Anexo 2: Circuito em Paralelo
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-C. Tavares (comentrios adicionais)
I = IC+ IR + IL = V.(YC+ YR + YL)
CiYCiZVYZ
V
I CCCCC ==== ;
1
;
RYRZVY
R
VI RRRR
1;; ====
I = V.YT
CiYCiZVY
Z
VI LLL
L
L
1;; ====
RL
i
CiRLiCiYYYY LRCT111
+=++=++=
RY
LCTR
1;
1==ressonncia:
!Y, admitnciaImpedncia, Z = 1/Y ;