2. VARIÁVEIS ALEATÓRIAS
2015
2
Variável aleatória
é o espaço amostral de um experimento aleatório. Uma variável aleatória, X, é uma função que atribui um número real a cada resultado em .
Exemplo. Retira-se, ao acaso, um item produzido de um lote de seis unidades. Variáveis:
X: Número de defeitos no item selecionado.
Y: Tempo de vida do item (em h).
3
O espaço amostral associado a este experimento aleatório é
.,,, 621 aaa
Os possíveis valores da variável X são 0,1,2,..., e os possíveis valores da variável Y são os números reais não negativos.
Classificação:• Variáveis aleatórias discretas. O conjunto de possíveis valores é finito
ou infinito enumerável.
• Variáveis aleatórias contínuas. O conjunto de possíveis valores é infinito não enumerável (um intervalo, por exemplo).
No exemplo acima, X é discreta e Y é contínua.
4
Variáveis aleatórias discretas (VAD)
Exemplo. Um lote de um certo produto é formado por 35 itens, sendo 21 itens do tipo H e 14 do tipo M. Uma amostra de 3 itens será formada sorteando-se, sem reposição, três itens do lote. Qual a probabilidade de encontrarmos na amostra pelo menos dois itens do tipo M?
X é uma VAD com possíveis valores no conjunto RX. Uma função f(x) é uma função de probabilidade se
Xi Rxi
iii
i
xf
xxfxXxf
.1)( (iii)
e R ),()(P (ii),1)(0 (i)
X
Definimos X como o número de itens do tipo M na amostra.
5
E s p a ç o a m o s t r a l P r o b a b i l i d a d e X H H H 203,0
3319
3420
3521
0
H H M 150,03314
3420
3521
1
H M H 150,03320
3414
3521
1
M H H 150,03320
3421
3514
1
H M M 097,03313
3414
3521
2
M H M 097,03320
3421
3514
2
M M H 097,03321
3413
3514
2
M M M 056,03312
3413
3514
3
x 0 1 2 3 P ( X = x ) 0 , 2 0 3 0 , 4 5 0 0 , 2 9 1 0 , 0 5 6
0,347.0,0560,2913P2P2)P(X Assim, )(X)(X
6
Exemplo. A demanda diária de um item é uma variável aleatória discreta com a função de probabilidade
.4 ,3 ,2 ,1;!
2)(P ddCdD
d
(a) Determinar a constante C.
(b) Calcular P(D 2).
Solução. (a) Para que P(D = d) seja uma função de probabilidade, devemos ter (i) C > 0 e (ii) P(D = 1) + P(D = 2) + P(D = 3) + P(D = 4) = 1. Ou seja,
.611
!42
!32
!22
121)(P
432
CCdDDRd
.32
64
621)1(P1)2(P1)2(P)(
.4,3,2,1;!6
2)(P Logo,
DDDb
dd
dDd
7
Função de distribuição acumulada de uma VAD
F u n ç ã o d e d i s t r i b u i ç ã o a c u m u l a d a ( F D A ) X é u m a V A D c o m v a l o r e s e m R X = { x 1 , x 2 , . . . } e f u n ç ã o d e p r o b a b i l i d a d e f ( x ) = P ( X = x ) . P a r a q u a l q u e r x , a F D A d e X , d e n o t a d a p o r F ( x ) , é d e f i n i d a c o m o
.que em ,)(P)()(P)( Xixx
ixx
i RxxXxfxXxFii
Exemplo. Uma variável aleatória X tem função de probabilidade
,c.c.,0
3,2se,15/7,1se,15/1
)(P)(
xx
xXxf
Determinar F(x).
8
xxi
xi
xxi
xi
xxi
xi
i
i
i
i
i
i
XXXxXxXxFx
XXXxXXFx
XXxXxXxFx
XXxXXFxSe
XxXxXxFx
fXxXXFx
xXxFx
.1)3(P)2(P)1(P)(P)(P)(,3Se
.1157
157
151
)3(P)2(P)1(P)(P)3(P)3(,3Se
.158)2(P)1(P)(P)(P)(,32Se
.158
157
151)2(P)1(P)(P)2(P)2(,2
.151)1(P)(P)(P)(,21Se
.151)1()1(P)(P)1(P)1(,1Se
.0)(P)(,1Se
3
2
1
9
.R de elementos são eque sendo )()(então ),[ se geral, Em
).2()(então),3,2[se);1()(então),2,1[ Se
x1
1
ll
lll
xxxFxFxxx
FxFxFxFx
Observação.
Logo, a FDA é dada por
.3se,1,32se,15/8,21se,15/1
,1se,0
)(
xxxx
xF
10
X é u m a V A D 1 . P a r a t o d o x , 0 F ( x ) 1 . 2 . F ( x ) é u m a f u n ç ã o m o n ó t o n a n ã o d e c r e s c e n t e .
3 . 1)(lim0)(lim
xFexFxx
4 . S e R X = { x 1 , x 2 , . . . . . . } , e m q u e x 1 < x 2 < . . . , e n t ã o f ( x i ) = P ( X = x i ) = F ( x i ) - F ( x i - 1 ) . 5 . S e a e b s ã o t a i s q u e a < b , e n t ã o
).(P)()()(P)(e )(P)()()(P)(
),()()(P)(),(P1)(P)(
),()(P)(
bXaFbFbXavaXaFbFbXaiv
aFbFbXaiiiaXaXii
aFaXi
Propriedades da função de distribuição acumulada
11
Exemplo. A variável aleatória X tem função de distribuição acumulada
.3,32
sese
,1,8/5
,21se,2/1,10se,8/1
,0se,0
)(
xxxx
x
xF
Determinar
c.c.,0,3 ,1se,8/3,2 ,0se,8/1
)(P)(
é X de adeprobabilid de função a quemostrar se-pode FDA, da 4 epropriedad Pela}.3,2,1,0{ que se-FDA tem Da (c)
1/2.1/2-1F(1)-12)P(X-12)P(X :FDA da 5(i) ePropriedad)(.2/12/11)1()3()31(P (a)
:FDA da 5(iii) epropriedad a Usando).()( e )2(P)( ),31(P)(
xx
xXxf
Rb
FFX
xfcXbXa
X
12
Exemplos
3.0 3.5 4.0 4.5
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
x
F(x)
3.0 3.5 4.0 4.5 5.0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
x
F(x)
3.0 3.5 4.0 4.5 5.0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
x
F(x)
3.0 3.5 4.0 4.5 5.0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
x
F(x)
13
Variáveis aleatórias contínuas (VAC)
Função densidade de probabilidade
Uma função f(x) é chamada função densidade de probabilidade de uma VAC X se
b
a
dxxfbXaAbxaxA
dxxf
xxf
.)()(P)(Pentão },;{ Se.3
.1)(.2
. todopara ,0)(.1
Exemplo. O tempo de produção de um componente (em minutos) é uma variável aleatória X com função densidade
contrário.caso,0
,42se,4
5)( xxxf
Verificar se f(x) é uma função densidade de probabilidade e calcular a probabilidade que o tempo de produção de um artigo escolhido ao acaso seja menor do que 3 minutos.
14
Primeiro notamos que f(x) 0, para todo x. Falta verificar a condição (2), ou seja a área sob o gráfico de f(x) deve ser igual a 1.
.1)2
5(41
450
450)(
4
2
22 4
2 4
4
2
x
xxdxxdxdxxdxdxxf
A probabilidade de que o tempo de produção de um artigo escolhido ao acaso seja menor do que 3 minutos é a probabilidade do evento A = {x; x < 3}, ou seja,
.85)
25(
41)5(
410)()3(P)(P
3
2
23 2 3
2
xxdxxdxdxxfXA
15
Observação. Se X é uma VAC, então
. todo para),(P)(P (iii), com e todospara ),(P
)(P)(P)(P (ii),todo para,0)(P (i)
aaXaXbababXa
bXabXabXaxxX
Função de distribuição acumulada. X é uma VAC com função densidade f(x). A função de distribuição acumulada (FDA) de X é
. todopara ,)()()(
x
xdttfxXPxF
Exemplo. Uma variável aleatória X tem função densidade
contrário.caso,0
,42se,4
5)( xxxf Determinar F(x).
Obs. Se X é um tempo de vida, utilizamos a função de confiabilidade (reliability function): R(x) = P (X > x) = 1 – F(x).
16
.1)()(
,4 Se
.8
)5(98
54
50
4,x2Se.0logo, ;0)( ,2 Se
0
x
4
1
4
2
0
2x
-
2
2
22
2
x
-
f(t)dtdttfdttff(t)dtF(x)
x
xtdttdtf(t)dtF(x)
F(x)xfx
xx
.4se,1
,42se8
)5(9,2se,0
)(2
x
xxx
xF
Logo, a FDA de X é
0 1 2 3 4 5 60.
00.
20.
40.
60.
81.
0
x
F(x)
17
Observação.
A FDA de X permite o cálculo de probabilidades de eventos da forma
E = {x; a x b}, com a b. Isto é,
P(E) = F(b) – F(a).
Exemplo. Considere a FDA abaixo. Obtenha P(X 3) e P(3 X < 5).
,
.4se,1
42se,8
)5(9,2se,0
)(2
x
xxx
xF
.83
851)3()5()53(P
e 85
8)35(9)3()3(P
2
FFX
FX
Solução.
18
Propriedades
1. 0 F(x) 1, para todo x.
2. F(x) é uma função monótona não decrescente.
3. F(x) é uma função contínua para todo x.
.1)(lim)(lime0)(lim)(lim .4
x
xx
x
xxdttfxFdttfxF
).(xFdxdf(x)
5. Do teorema fundamental do cálculo obtemos
Exemplo. Suponha que o tempo de vida de um processador é uma variável aleatória X com
.0 se,0,0 se,1)( 2
xxkexF
x
Determinar (a) o valor de k, (b) P(X 2), P(2 X 4) e P(X -1) e (c) f(x).
19
Solução. (a) Propriedade 3 de F(x): F(0) = 0.
c.c.,0,0se,1 Logo, .101 20 xeF(x)kke
x
.0)1()1(P.233,0)1()1()2()4()42(P
.368,0)1(1)2(P1)2(P)(2112
11
FXeeeeFFX
eeXXb
0 2 4 6 8
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
x
f(x)
0 2 4 6 8
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
x
F(x)
e R
(x)
F(x)
R(x)
c.c.,0
,0 se,21
)()(
: de 5 ePropriedad )(
2 xexFdxdxf
F(x)cx
20
Valor esperado e variância
Valor esperado de uma variável aleatória. X é uma variável aleatória com função de probabilidade ou função densidade de probabilidade f(x). O valor esperado (ou esperança matemática ou média da variável aleatória), denotado por E(X) = X é definido como
,)()(
:contínua aleatória variáveluma é X .2
e )()(
:discreta aleatória variáveluma é X 1.
dxxxfXE
xxfXEXRx
supondo que o somatório e a integral existem.
21
Valor esperado de uma função de variável aleatória
Y = h(X), sendo h uma função de X.
O valor esperado de h(X) é dado por
.)()()(
:contínua aleatória variáveluma é X .2
e )()()(:discreta aleatória variáveluma é X 1.
dxxfxhXE
xfxhXEXRx
22
Variância de uma variável aleatória. X é uma variável aleatória com função de probabilidade ou função densidade de probabilidade f(x) e com média E(X) = X. A variância de X, denotada por 2)(
XXVar é definida como o valor
esperado de (X - X)2.
.)()()(
:contínua aleatória variáveluma é X .2
e )()()(
:discreta aleatória variáveluma é X 1.
2
2
dxxfxXVar
xfxXVarXRx
Desvio padrão. É a raiz quadrada da variância:
.)()( XVarXDP X
23
Solução. Gráfico de f(x).
Exemplo. Suponha que a demanda diária de uma peça é uma variável aleatória discreta com função de probabilidade
.c.c,0
,4 ,3 ,2 ,1,!6
2)()( x
xxXPxfx
Determinar (a) a demanda esperada e (b) o desvio padrão da demanda.
x
P(X
= x
)
1 2 3 4
0.15
0.20
0.25
0.30
24
.99,08180)(
,8180
!462)
9194(
!362)
9193(
!262)
9192(
62)
9191(
)()()( )(
42
32
222
2
X
Rx
XDP
xfxXVarbX
Solução. (a) Pela definição de valor esperado, temos
.1,29
19!46
24!36
23!26
22621)()(
432
XRx
xxfXE
x
P(X
= x
)
1 2 3 4
0.15
0.20
0.25
0.30
Gráfico de f(x) com – , e + .
25
Moda, mediana e média (VAC)
x
f(x)
Mod
a
Med
iana
Méd
ia
x
f(x)
Méd
iaM
edia
na
Mod
a
Assimetria à direita:
Moda < Mediana < Média
Assimetria à esquerda:
Moda > Mediana > Média
Simetria: Mediana = Média (se existir).
26
Variáveis aleatórias independentes
X e Y são duas variáveis aleatórias. Dizemos que X e Y são independentes se, e somente se,
. e todospara ),(P)(P))()((P yxyYxXyYxX
Em particular, se X e Y são duas variáveis aleatórias discretas, X e Y são independentes se, e somente se,
, e todospara ),()())(P)(P))()((P
yxyFxFyYxXyYxX
YX
sendo que FX e FY são as FDA’s de X e Y.
27
).()()()(Xentão tes,independen variáveis são ,,Se.9
).()(Y)X(
então tes,independen aleatórias variáveissão e Se.8).()(.7
.0)(.6
2121
1
22
2
nn
n
XVarXVarXVarXXVarnXX
YVarbXVarabaVar
YXXVaraaXVar
aVar
Propriedades do valor esperado e da variância
X e Y são duas variáveis aleatórias e a e b dois números reais.
.)()(.5
).()(.4.)()(.3
).()(.2.)(.1
22 XXEXVar
YbEXaEbYaXEbXaEbaXE
XaEaXEaaE
28
Exemplo. O total de vendas diárias de um empresa que comercializa equipamentos eletrônicos (em dezenas de milhares de R$) é uma variável aleatória com função densidade
c.c.,0
,64se,6
6
,42se,3
2
)( xx
xx
xfX
(a) Para um certo dia, determine a probabilidade de que as vendas da empresa sejam maiores do que R$ 22.000,00, mas não ultrapassem R$ 45.000,00.
(b) A média e o desvio padrão das vendas diárias.(c) Se o lucro diário é dado pela função Y = 0,2X - 0,5, calcule a média e
o desvio padrão do lucro diário.
29
Solução. Denotamos as vendas diárias (em dezenas de milhares de R$) por X.
Gráfico de f(x):
.806,02
6612
231
66
32)()5,42,2(P)(P
5,4
4
24
2,2
2
5,4
2,2
5,4
4
4
2,2
xxxx
dxxdxxdxxfXA
(a) Definimos A = {2,2 < X 4,5} e calculamos
0 2 4 6 8
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
Vendas (104 R$)
Den
sida
de
30
.89,149
1346
63
2)()( e
78,39
346
63
2)()(
6
4
24
2
222
6
4
4
2
dxxxdxxxdxxfxXE
dxxxdxxxdxxxfXE
(b) Iniciamos calculando
Logo,
.786,081/50)( e
81/50934
9134)()(
2222
XVar
XEXVar
X
XX
(c) Definimos Y = 0,2X – 0,5. Das propriedades do valor esperado e da variância obtemos E(Y) = E(0,2X – 0,5) = 0,2 E(X) – 0,5 = 0,2 34/9 –0,5 0,256,
.157,0)(
)81/50(2,0)(2,0)5,02,0()( 22
YVar
XVarXVarYVar
Y