VARIÁVEL ALEATÓRIA

Profa. Ana Clara Guedes

Tomemos o exemplo da variável “peso ao nascer”.

A variabilidade dos pesos ao nascer de meninos, com mesma idade gestacional,

mesma raça, filhos de mães em condições similares de saúde e

alimentação é explicada pelo acaso. Dizemos, neste caso, que peso ao nascer

é uma variável aleatória.

Grandes amostras de certas variáveis aleatórias permitem construir gráficos

que apresentam aparência típica.A seguir são apresentados os dados de

peso ao nascer de nascidos vivos brancos do sexo masculino com cerca de

40 semanas de gestação.

Uma pesquisa com 2000 bebês, escolhidos ao acaso, apresentou os seguintes resultados para a variável “peso ao nascer” :

Peso % de bebês

1,50 | 2,00 5

2,00 | 2,50 11

2,50 | 3,00 32

3,00 | 3,50 36

3,50 | 4,00 10

4,00 | 4,50 4

4,50 | 5,00 2

TOTAL 100

Os dados dos bebês apresentaram: média = 3,025Kg desvio padrão = 0,6Kg

• Observe que:o A maioria dos bebês está concentrada em

torno da média.o Valores distantes da média apresentam

pequena porcentagem de indivíduoso O valor da média quase coincide com o valor

da modao A média está no centro dos valores mínimo e

máximo

Estes dados são provenientes de uma amostra de 2000 sujeitos.À medida que aumentamos o tamanho da amostra o polígono de freqüências se aproxima de uma curva muito especial chamada curva Normal.

DISTRIBUIÇÃO NORMAL

Uma curva Normal típica apresenta a seguinte forma:

: média

: desvio padrão

x

f(x)

• Quando uma variável se aproxima muito de uma Distribuição Normal, vários métodos, modelos e tipos de análises podem ser realizados e/ou aplicados, daí sua importância na Pesquisa Científica.

• Um número muito grande de variáveis biológicas apresenta distribuição Normal:

Altura Taxa de colesterol Glicemia basalPeso Pressão Sistólica Resultados de um testeIdade Taxa de glicose Teste de Avaliação

EscolarAvaliação de QI Índice Cefálico Nível de Agressividade

As curvas normais apresentam algumas características bastante interessantes em termos de sua forma, de como se especificam e de como são utilizadas para obtenção de probabilidades.

São elas:1. A distribuição tem forma de sino;2. É simétrica em relação à média;3. = Mo = Md;4. Prolonga-se de - a + ;5. Cada distribuição normal fica completamente especificada por

sua média e seu desvio padrão; ou seja, há uma distribuição normal distinta para cada combinação de média e desvio padrão;

5.1Distribuições Normais com mesmo e diferentes valores de

A

B

C

.

A > B > C

5.2Distribuições Normais com diferentes e mesmos valores de .

A > B

AB

B A

6. A área total sob a curva Normal é 100%;7. A área sob a curva e entre dois pontos é a probabilidade de

uma variável normalmente distribuída tomar um valor entre esses pontos;

• 7.1Exemplo: Suponhamos que a população de adultos no Brasil possua altura com distribuição Normal com média de 1,75 metros e desvio padrão de 0,08m (8 cm). A probabilidade de um homem adulto ter mais que 1,83 m é dada pela área hachurada na figura abaixo:

8. O intervalo (- ; +) contém 68% da população O intervalo (-2 ; +2) contém 95,5% da populaçãoO intervalo (-3 ; +3) contém 99,7% da população

68.26 %

99.73 %

+ +3+2

--2

-3

95.46 %

• Exercício 1 - Suponhamos que a população de adultos no Brasil possua altura média de 1,75 metros e desvio padrão de 0,08m (8 cm). Considerando que as alturas tenham distribuição normal, represente graficamente:

b) A probabilidade de um homem adulto ter menos que 1,52 m

c) A probabilidade de um homem adulto estar entre 1,67 e 1,78

• Exercício 1 - Suponhamos que a população de adultos no Brasil possua altura média de 1,75 metros e desvio padrão de 0,08m (8 cm). Considerando que as alturas tenham distribuição normal, represente graficamente:

b) A probabilidade de um homem adulto ter menos que 1,52 m

P (X < 1,52)

c) A probabilidade de um homem adulto estar entre 1,67 e 1,78

P (1,67 < X < 1,78)

• Exercício 1d)A probabilidade que um homem adulto não ter mais que

1,83m.

e) A probabilidade que um homem adulto tenha exatamente 1,83 m.

• Exercício 1d)A probabilidade que um homem adulto não ter mais que 1,83m.P ( X ≤ 1,83)

e) A probabilidade que um homem adulto tenha exatamente 1,83 m.

P (X = 1,83)

• Exercício 2 - 2. Suponha que para a população de funcionários da Empresa MYKONOS os salários tenham distribuição Normal com média $15.000,00 e desvio padrão $3.000,00.

a) Represente graficamente a probabilidade de um indivíduo desta população apresentar salário superior a $18.600,00;

b) Qual das duas probabilidade é maior: P(X<12.000) ou P(X>18.600) ?

c) Qual o valor aproximado de P(X<15.500)? ( )18% ( )43% ( )57% ( )93%