Download - 12. Apêndices e Respostas
APÊNDICE A Momentos de Áreas
APËNDICE B Propriedades Típicas de Materiais Mais
Usados na Engenharia
APÊNDrcE C Propriedades de Perfis de Aço Laminadof
APENDICE D Flechas e Inclinações de Vigas
APÊNDICE E Características Geométricas de Figuras Planas
APENDICE F Prefixos e Unidades SI
+Cortesia do American Institute of Steel Construction, Chicago, IIlinois.
722
ILJ
733
735
741
742
-ÀiI +.+
ì.*,
ffimremsruffimm #w &wwmm
A.1. MOMENTO ESTATICO DE UMA AREA:cENTRoTDE DE UMA Ánen
Considere uma área A locahzada no plano ry (Fig. A.l). Chamando de x ey as coordenadas de um elemento de área dÁ, definimos o momento estático dadrea A em relação ao eixo Í como a integral
(4.1)
De modo semelhante, o momento estático da órea A em relação ao eixo y édefinido como a integral
(A.2)
Observamos que cada uma dessas integrais pode ser positiva, negativa, ou zero,dependendo da posição dos eixos de coordenadas. Se forem usadas as unidadesSI, os momentos estáticos Q" e Qn serão expressos em m3 ou mm3; se foremusadas as unidades inglesas, os momentos serão expressos em pés3 ou pol3.
O centróide da área Á é definido como o oonto C de coordenadas x e v(Fig. A.2), que satisfaz as relações
Q,: lvdAt
. : .:'. :.' . .. llt '., .
Qr,= | x dA
.: [ . - . . . . . ' . . . . : . . . : . ' .
1,';';69;;="ÁÍ (4.3)
Comparando as Equações (A.1) e (A.2) com as Equações (4.3), notamos queos momentos estáticos da área A podem ser expressos como os produtos da áreapelas coordenadas de seu centróide:
l ,vdA:Av
O.: Ay O., : ,4Í (A 4)
723
724 Rsistência dos Materiais
Quando uma área possui um eixo de simetria, o momento estático da áreaem relação àquele eixo é zero. De fato, considerando a área A da Fig. A.3, que ésimétrica em relação ao eixo y, observamos que para cada elemento de área dAde abscissa x corresponde um elemento de área dA' de abscissa -x. Conclui-seque a integral na Equação (A.2) é zero e portanls, Q, : 0. Conclui-se tambémda primeira das relações (4.3) que x : 0. Assim, se uma iírea Á possui um eixode simetria, seu centróide C está localizado naquele eixo.
(a)
Fig. A.4
Como um retângulo possui dois eixos de simetria (Fig. A.4a), o centróideC de uma iírea retangular coincide com seu centro geométrico. Da mesma forma,o centróide de uma área circular coincide com o centro do círculo (Fig. A.4b).
Quando uma área possui um centro de simetria O, o momento estático daiírea em relação a qualquer eixo que passe pelo ponto O é zero. De fato, con-siderando a árrea A da Fig. A.5, observamos que para cada elemento de área dAde coordenadas x e y corresponde um elemento de iírea dA' de coordenadas -re -y. Conclui-se que as integrais nas Equações (A.1) e (A.2) são ambas iguaisazeÍo, e que Q,: Q, :0. Segue-se também das Equações (A.3) que i : y : 0,ou seja, o centróide da fuea coincide com seu centro de simetria.
Quando o centróide C de uma iírea pode ser localizado por simetria, o mo-mento estático daquela áreaem relação a qualquer eixo pode ser facilmente obtidodas Equações (A.4). Por exemplo, no caso da ârea retangular da Fig. A.6, temos
Q,: ,4' : (bh)(+h) : |bh2
Qn: Ax : (bh)(+b) : +b2h
Em muitos casos, no entanto, é necessário executar as integrações indicadas nasEquações (4.1) até (4.3) para determinar os momentos estáticos e o centróidede uma área. Embora cada uma das integrais envolvidas seja na realidade umaintegral dupla, é possível em muitas aplicações selecionar os elementos de iíreadA na forma de faixas estreitas horizontais ou verticais, e assim reduzir os cál-culos das integrações em uma única variável. Isso está ilustrado no Exemplo A.1.Os centróides de formas geométricas mais usadas estão indicados em uma tabelano Apêndice E.
Fig. 4.3
Fig. 4.5
- - f -
Ia: tnLW
Fig.4.6
Aoêndicê A Momentos de Áreas 725
Para a área triangular da Fig. 4.7, determine (a) o momentoestático Q, da ánea em relação ao eixo x, (b) a ordenada y docentróide da ârea.
(a) Momento Estático Q*. Selecionamos, como umelemento de írea, uma faixa horizontal de comprimento ,l e es-pessura dy, e notamos que todos os pontos dentro do elementoestão à mesma distância y do eixo.r (Fig. 4.8). Por semelhançade triângulos, temos
h-ydA:udv:b . dv'h
O momento estático da átrea em relação ao eixo x é
IFig. 4.7
u h'y .h-y; : , u:o-bhh
Q,: lvan:JA-
bl v2-t h ' - -ht2
fo, t -y bfol rb- ; 'ay: ï l ínt- f )at
Jo ' " ' - to
.,3 'l I
?1, Q,: àbh'
(b) Ordenada do Centróide. Recordando a primeiradas Equações (A.4) e observando que Á : jbfr. te-os
Q,: Ay àbh'z : (ibh),
- t .
v: ih
A.2. DETERMTNAçÃO DO MOMENTO ESïÁflCO E CENTROTDEDE UMA AREA COMPOSTA
Considere uma iírea A, como a fuea trapezoidal mostrada na Fig. 4.9, quepode ser dividida em formas geométricas simples. Como vimos na seção ante-rior, o momento estático Q, da fuea em relação ao eixo Í é representado pela in-tegtal ! y dA, que se estende sobre toda a área A. Dividindo Á em suas partescomponentes Av Az, Á3, escrevemos
n,: Io, ^ v dA + Io,, oo * lo., oot
- l- lJo,
ou, lembrando da segunda das Equações (4.3),
Q,: AJt + Atl, + Azyz
onde y1, lze lz representam as ordenadas dos centróides das áreas compo-nentes. Estendendo esse resultado para um número arbitrário de áreas com-
726 Resistência dos Materiais
ponentes, e observando que pode ser obtida uma expressão similar para e,escrevemos
Qr: ) A,x, (A.s)
Para obter as coordenadut x e 7 do centróide c da iírea composta A, subs-tituímos Q, : AY e Qo : ÁÍ nas Equações (4.5). Temos
AV: !Z-J
i
Atyt N(:
Resolvendo parax e 7 e lembrando de que a ráreaÁ é a soma das iíreas com-ponentes Á;, oSCÍoveÍ[os
(
2 e,,,í
u:# 2 e,t,u: j ; (4.6)
Localize o centróide C da ârea A mostrada na Fig. A.10.
Dimensões em mrn
Fig. A.10
Selecionando os eixos de coordenadas mostrados na Fig.4.11, notamos que o centróide C deve estar localizado no eixoy, pois esse é um eixo de simetria; portanto Í : O.
Dividindo Á em suas partes componentes Á1 e Á2, usâmosa segunda das Equações (A.6) para determinar a ordenada Ído centróide. O cálculo é feito mais facilmente construindo umatabela.
T-20ü
ï-I
60
IIl
-T120Y
Dimensões em mm
Fig.4.11
Área, mm2 A,Y,,mmg
2 e,t,Ì : '
)a,
184 X 103 mm3
Il2 x 10372 x 103
184 x 103
4 x 103 mmz:46mm
Com referêncía a área A do Exemplo A.2, consideramos o eixohorizontal r' passando pelo centróide C. (Um eixo assim échamado de eixo central.) Chamando de A, a parte de Aloca-lizada acima daquele eixo (Fig. A.l2), determine o momentoestático de A' em relação ao eixo x'.
Fig. A.12
Solução. Dividimos aâreaA'em seus componentes Á1e A, (Fig. A.l3). Lembrando do Exemplo A.2 que C está lo-calizado 46 mm acima da borda inferior de Á, determinamosas ordenadas yl e yl de A, e A., e expressamos o momento es-tâtico Q',, de A' em relação a x' da seguinte maneira:
Q,:Aty|+Aryi: (20 x 80X24) + (14 x 40X7) : 42,3 x 103 mm3
Solução Alternativa. primeiro observamos que, comoo centróide C de A está localizado no eixo x,, o momento es-tâtìtco Q,, da órea inteira A em relação àquele eixo é zero:
Qt:Ay' :A(0):0
Chamando de A" a parte de Alocalizada abaixo do eixo x' epot Q':,seu momento estático em relação àquele eixo, temosponanto
Q,, : Q',, + Q':,, :o ou a',, : -Oi
que mostra que os momentos estáticos de A, e A,, têm o mesmovalor e sinais contriários. Referindo-nos à Fig. A.14, escreve-mos
Q'i : üyL: (40 x 46)(-23) : -42,3 x 103 mm3
e
I
Apêndice A Momentos de Áreas 727
40
Dimensões em mm
Fig. A.13
Dimensões em mm
Fig. A.14
Q',' : -Q'i : +42,3 x 103 mm3
728 Resistência dos Materiais
4.3. MOMENTO DE SEGUNDA ORDEM OU MOMENTODE rNÉRCtA DE UMA ÁRen; RAIO DE G|RAçÃO
Considere novamente uma área A localizada no plano ry Gig. A.l) e o ele-mento de fuea dA de coordenadas Í e y. O momento de segunda ordem, ov mo-mento de inércia, da fuea Á em relação ao eixo x, e o momento de segundaordem, ou momento de inércia, de Á em relação ao eixo y são definidos, res-pectivamente, como
(4.7)
Essas integrais são chamadas de momentos retangulares de inércia, pois elas sãocalculadas por meio das coordenadas retangulares do elemento dA. Embora cadaintegral seja realmente uma integral dupla, é possível em muitas aplicações se-lecionar os elementos de 6trea dA na forma de faixas estreitas horizontais ou ver-ticais, e assim reduzir os cálculos das integrações em uma única variável. Issoestá ilustrado no Exemplo A.4.
Definimos agora o momento polar de inércia da árreaÁ em relação ao pontoO (Fig. A.15) como a integral
' .: Ino ^ \ : [n* ae
,o: Ior'ae
: [^t*
+ yz) dA : Il
ae + [^f at
Io=
onde p é a distância de O ao elemento dA. Embora essa integral seja novamenteuma integral dupla, é possível, no caso de uma iírea circular, selecionar elemen-tos de rírea dAnaforma de finos anéis circulares, e assim reduzir os cálculos deJo a wa única integração (veja o Exemplo A.5).
Observamos com as Equações (4.7) e (A.8) que os momentos de inérciade uma iírea são valores positivos. Se forem usadas as unidades SI, os momen-tos de inércia serão expressos em mo ou mma; se forem usadas as unidades in-glesas. eles serão expressos em péa ou pola.
Pode ser estabelecida uma importante relação entre o momento polar de inér-cia Jo de uma dada área e os momentos retangulares de inércia I, e I, da mesmaiárea. Observando que p' : x2 * y2, escrevemos
1,,tturÁ. .. :
(A.8) Fis' A'15
JaàI*+Iy (A.e)
O raio de giração de uma 6rea A em relação ao eixo x é definido como ovaÌor r,, que satisfaz a relação
I " : r f ,A (4.10)
Apêndice A Momêntos de Áreas 729
onde 1, é o momento de inércia de Á em relação ao eixo Í. Resorvendo a Equfção(4.10) para r_,, temos
_\
f* : (4.11)
De maneira similar, definimos os raios de giração com relação ao eixo y e aorigem O. Escrevemos
I r : r le
Jo: r2oA'
Substituindo J6, I, e 1, em termosEquação (4.9), observamos que
t\' , : tJ o
(4. l2)
nto: Ve
(A'13)
dos raios de giração correspondentes na
,3: ,1+ ,1, (4.14)
Para a ârea retangular da Fig. A.16, determine (a) o momentode inércia I"daárea em relação ao eixo central x, (b) o raio degiração correspondente r".
(a) Momento de Inércia 1,. Selecionamos como umelemento de ârea uma faixa horizontal de comprimento à e es-pessura dy (lFig. A.17). Como todos os pontos dentro da faixaestão à mesma distância y do eixo Í, o momento de inércia dafaixa com relação àquele eixo é
dI,: ,z dA : y2(b $,)
Integrando de y : -h/2 até, y : +h/2, escrevemosFig.4.16
,.: I^f ae: [_1,,'t @ ay) : !b]y,l:i/Â
:'-(ç . +)(b) Raio de Giração r,. Da Equação (A.10), temos
r,: rlA $un3 : r|çan1
e, resolvendo para r*
ra
I-d l l
7:ilt ffircb<tosMdeÍiais
l.Para a área circular da Fig. A.18, determine (a) o momentopolar de inércia Jo, (b) os momentos retangulares de inércia 1,e Ir'
(a) Momento Polar de Inércia. Selecionamos comoum elemento de iárea um anel de raio p e espessura dp (Fig.A.l9). Como todos os pontos dentro do anel estão à mesma dis-tância p da origem O, o momento polar de inércia do anel é
dJo : p2 dA : p2(2np dp)
Integrando em p de 0 a c, escrevemos
Jo : )trca
(b) Momentos Retangulares de lnércia. Devido àsimetria da rírea circular, temos 1, : 1r. Lembrando da Equação(4.9), escrevemos
Jo: I , i I r :21,
e portanto
Inca :21,
I* : Iy:)nca
t,: [^t
ae : l,' o,{z,p dp) : zn
lo" o, ao
Os resultados obtidos nos dois exemplos anteriores, e os momentos deinércia de outras formas geométricas mais usadas, estão listados em uma tabelano Apêndice E.
A.4 TEOREMA DOS EIXOS PARALELOS
Considere o momento de inércia 1, de uma átrea A em relação a um eixo ar-bitrrírio x (Fig. A.20). Chamando de y a distância de um elemento de rárea dA atéaquele eixo, lembramos da Equação A.3 que
,r: b'^Fig.4.20
Vamos agora traçar o eixo central.r', isto é, o eixo paralelo ao eixo r que passapelo centróide C da iírea. Chamando de y' a distância do elemento dA até aqueleeixo, escrevemos y : y' + d, onde d é a distância entre os dois eixos. Substi-tuindo y na integral que representa 1,, escrevemos
I* :
I , : dA+ +d2 (4.1s)
rlv 'Í
I v' '
ae: !o0'
+ d)zdA
zd [ot'
de I^^A primeira integral na Equação (A.15) representa o momento de inércia 1,, daárea em relação ao eixo central x'. A segunda integral representa o momento
Apêndice A Momentos de Áreas 731
estático Qi da ârea em relação ao eixo x' e é igual a zero, porque o centrófde cda área está localizado naquele eixo. De fato, lembramos da Seção A.t qu\
Q,,:Ay' :Á(o) :o
Finalmente, observamos que a última integral na Equação (A.15) é igual à ráreatotal A. Temos portanto
Ir : Ì r '+Adz (4.16)
Essa fórmula expressa o fato de que o momento de inércia I,de uma áreaem relação a um eixo x arbitriírio é igual ao momento de inércia Ì,, da fuea emrelação ao eixo central x' paralelo ao eixo x, mais o produto Adz da iírea Á e doquadrado da distância d entre os dois eixos. Esse resultado é conhecido comoteorema dos eixos paralelos. Ele permite determinar o momento de inércia deuma área em relação a um eixo, quando é conhecido seu momento de inérciaem relação a um eixo central de qresma direção. Reciprocamente, ele permitedeterminar o momento de inércia 1,, de uma fuea A em relação a um eixo cen-tral x' , quando é conhecido o momento de inércia I, de A em relação a um eixoparalelo, subtraindo de 1, o produto Ad2. Devemos notar que o teorema dos eixosparalelos pode ser tsado somente se um dos dois eixos envolvidos for um eixocenlral.
Pode ser deduzida uma fórmula similar, que relaciona o momento polar deinércia "r, {e uma área em relação a um ponto arbitriírio o e o momento polarde inércia J6' da mesma área em relação ao seu centróide c. chamando de d adistância entre O e C, escrevemos
Jo: Jc + Adz (A.r7 )
A.5. DETERMTNAçÃO DO MOMENTO DE tNÉRCtADE UMA AREA COMPOSTA
Considere uma área composta Á formada por viírias partes Á1, Á, etc. Comoa integral que representa o momento de inércia Á pode ser subdividida em inte-grais que se estendem sobre Á,, A2etc., o momento de inércia de Á em relaçãoa um eixo será obtido somando-se os momentos de inércia das iíreas A1, A2 etc.,em relação ao mesmo eixo. o momento de inércia de uma área composta porviírias formas mais usadas, mostradas no Apêndice E, pode então ser obtido pormeio de fórmulas dadas naquelatabela. No entanto, antes de somar os momen-tos de inércia das ríreas componentes, deverá ser usado o teorema dos eixos para-lelos para transferir cada um dos momentos de inércia para o eixo desejado. Issoestá ilustrado no Exemplo A.6.
732 Rsistêrrcia dos Matertais
Determine o momento de inércia I" da ârea mostrada em re-lação ao eixo central -r (Fig. A.21).
Localização do Centróide. Primeiro deve ser loca-lizado o centróide C da área. No entanto, isso já foi feito noExemplo 4.2 para a área dada. Recordamos daquele exem-plo que C estâ localizado 46 mm acima da borda inferior daárea A.
Cálculo do Momento de lnércia. Dividimos a áreaÁ nas duas áreas retangulares Á1 e A2 (Fig. A.22), e calculamoso momento de inércia de cada átrea em relação ao eixo x.
Área Retangular A1. Para obtermos o momento deinércia (1)r de A1 emrelaçáo ao eixo.r, primeiro calculamoso momento de inércia de A1 em relação ao seu próprio eixocentral x'. Lembrando da fórmula deduzida na parte a doExemplo 4.4 para o momento central de inércia de uma árearetangular, temos
(1,,), : +bh' :;(80 mmx20 mm)3 : 53,3 x 103 mma
Usando o teorema dos eixos paralelos, transferimos o momentode inércia deÁ1 de seu eixo central x' para o eixo paralelox:
(rJ' : (r",)' + Ad? : fi,3 x 103 + $0 x 20)(24)2
:975 x 103 mma
Área Retangular A2. Calculando o momento de inér-cia de A, em relação ao seu eixo central -/', e usando o teoremados eixos paralelos para transferi-lo para o eixo x, temos
(Í,.)r: iun' : rr1+o;1eo;3 : 720 x lo3 mma
(1,)r: (Ì,"), + ArdZ: 720 x 103 + (40 x 60x16)'z
: 1334 X 103 mma
Área Total A. Somando os valores calculados para osmomentos de inércia de Á1 e A2 em relação ao eixo x, obtemoso momento de inércia 1, da área total:
: (D' + (1,)2: 975 x lo3 + 1334 x 103
: 2,31 x 10Ó mma
Dimensões em mrrr
Fig. A.21
Dimensões em mm
Fig.4.22
Ì,
Ì,
x
\
Apêndice B Propriedades Típicas de Materiais Mais Usados na Engenharìa 733
Apêndice B. Propriedades Típicas de Materiais Mais usados na Engenharial,5(Unidades Sl)
\\
Urrrfle ie Resisifuofa
módltti deilódulo de Elactici- :
Êlqstici- dade .dadg, Transver- .GPe sât liPr lMFa sãor. lttPâ MPa
açoEstrutural (ASTM-A36)Baixa liga e aita resistência
ASTM-A709 Classe 345ASTM-4913 Classe 450ASTM-4992 Classe 345
Temperado e revenido
ASTM-4709 Classe 690'ïïÏi.i;ïË'Média Resistência .
Alta Resistência
Ferro Fundido
Ferro Fundido Cinzento
4,5Vo C, ASTM A-48
Ferro Fundido Maleável
2Vo C, lTa Si, ASTM A-47
7860
7860
7860
7860
7860. . . : '
1924792A
78607860
'72M
7300
27tO
2800
2800
?63A
27tA
2800
Cobre
Cobre livre de Oxigênio (99,97o Cu)
Recozido 8P10
Trefilado a frio 8910
'l'ffiffiïï:':'" 35% zn) 8È470
Recozido 8470
Latão Vermelto (85Ío Cu, lïVo 7-tt)
Laminado a frio 8740
Recozido 8'740
Liga (88Vo Cu,87o Sn,4Vo Zn) 8800
Liga (63% Ca,257o Zn,
67a Al,37o Mq37o Fel 8360
Liga
(8 1 7o Cu,, 44o Ni, 4Vo Fe, llTo Al) 8330
400
450
550
450
760
110
345
,1:,::.:,trQ,455:*.,9,21 { .
zffi,5?0
220
390
5i0
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620
330
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18.7' 4s
18,0 30
45
2t,6
16,2
20
6
734 Reistência dos Materiais
Ligas de Magnésio
Liga AZ80 (Forjado)
LrgaAZ3l (Extrudado)
Liga Monel 400 (Ni-Cu)Trabalhado a frìoRecozido
Madeira, seca ao ar+
Douglas fir
Spruce, Sitka
Shortleaf pine
Wesçrn white prne
::rtqeros_â pÌft€
ìwntte oax
lì::r:ilk'[,115çy::::' ì.:::r:: ':.: ', ::::]', ]::]
Western hemlock
Shagbark hickory
Redwood
Plásticos
Nr4ilon, tipo 6/6 (composto moldado)
Policarbonato
Poliéster PBT (termoplástico)
Elastômero ternioplástico de poliéster
Poliestireno
Vinil. PVC rígido
Borracha
Granito (valores médios)
Miírmore (valores médios)
Arenito (Valores módios)
Vidro.987o Sílica
Apêndice B. Propriedades Típicas de Materiais Mais Usados na Engenharial,5(Unidades Sl)
18001770
:;:';:;;1'1;,;,
,:,41jffi
88308830
410415s00
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t -< ' ' a
:::,l:r::Ie5::rar,r;:rt:ì::i:l:ì4S162 6001')
ln R
qo
80
I As propriedades dos metais vriam muito em função das diferenças na composição, no tratamento témico e no trabalho mecânico.2 Pma metais dúcteis, a resislência à compressão geralmente é considerada como sendo igual à resistência à tração.- LreSlOCamenÌO Oe U.l70.t As propriedades das madeiras são ptra cmegmentos pralelós às fibras.5 Veja tmbém Mark's Mechanícal Engineeríng Handbook, 10th ed., McGraw-Hill, New York, 1996 Annual Book os ASTM, American Society for Testing Materials,Philadelphia, Pa.i Metals Handbook, Ameicm Society for Metals, Metals Ptrk, Ohio; e Alumìnum Design Manual, The Americân Association, Washington, DC.*N.R.T. - Manteve-se os nomes das madeiras em inglês por se trdÍarem de mad.eiras típicas do hemisfério norÍe, com característicqs diferentes das madeíras enconÍrqdqs noBruil. Consulte a página do livro no site da McGraw-Hill parq localizar um relaçõo de madeirqs típicas brasileiras.
--I
Apêndice C Propriedades de PerÍis de Aeo Laminado 735
Apêndice C. Propriedades de PerÍis de Aço LamÍnado(Unidades Sl)
Perfis W(Perfis de Mesas Largas)
'{ ï
ï rTI-./ x--ffi-x
*ÍlI- r,,
'Fi5lv ll- br1
Área AlturaDesignaçãof Á, mm2 4 mm
MesaÊspes-sura daAlmaÍ., mm
Eixos X-X Eixos Y-YEspes-
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w6g0 x 217125
v/610 x 155101
v/530 x 150a)66
w460 x 1581137452
w410 x 1148560
46,r38,8
w360 x 5512t6122to17964
51,84439
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?7100 69516000 678
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,t1na , 35s5730 3524980 3534170 349
42,1020,10
29,2018,80
21,1017,00
24,8016,30
19,0014,90
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19,3018,2012,801r,208,80
67,6021,1021,7018,3016,8013,50I 3,109,80
10,708,50
203ar5,6011.40
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2512s5205203r72t7112812'l
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15,010,89,07,6
11,610,9
7,06,4
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7,96,9
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16,6
15,4lt,1
12,110,51':, 1
10,28,9
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185156
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185 104044,1 349
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81,657)
81,752,5
14,047,6
fUm perÍìl de mesa larga é designado pela letra W seguida pela altura nominaì em milímetros e a massa em quiloqramas Dor meúo.
736 Resistência dos Materiais
Apêndice C. Propriedades de Perfis de Aço Laminado(Unidades Sl)
PerÍis W(Perfis de Padrão Americano)
Área AlturaDesignaçãof 4mm' 4mm
MesâE$is.'Súlã:rda.trfu4'..,r'üt,'rnú,.'
Eixos Y-YEspes-
Largura . sura.Dr, flìm " Í6 ÍYlÍÌt
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4940 3104180 3r33040 305
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w200 x 86 11000]t 910059 756052 6660
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\\'130 x 28.1 3580 13123,8 3010 121
\\-100 x 19.3 2480 106
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Apêndice C. Propriedades de PerÍis de(Unidades Sl)
Perfis I(Pedis de Padrão Americano)
Apêndice C Propriedades de Perfis de Aço Laminad "
737
Aço Laminado
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1510 x 143r28r1298,3
1460 x 1048 1,4
1380 x 74' ,64
13l0 x 1460,75241,3
1250 x '5''37,8
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18200 51616400 5161420ü 50812500 508
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t' 6{t70"'' ' ' nto4820 '254
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6,69 93,2 26,15,13 83,6 26,84,19 63,6 24,83,91 61,1 25,3
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0,513 r3,2 16.3
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738 Resistência dos Matêriais
Apêndice C. Propriedades de Perfis de Aço Laminado(Unidades Sl)
Perfis U(Padrão Americano)
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Área Alturatlesignação+ A, mm2 4 mm
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u310 x 45' 5690
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u250 x 45 567037 415030 378022,8 2880
u230 x 30 3800,, 22 2840,
: 19;9 2530
u200 x 27,9 356020,s 2660t],t 2170
ul80 x 18,2 23ta14;6. 1850
ul50 x 19,3 245015,6 1980r2,2 1540
ul30 I 13 l?1010,4 ' 1310
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u?5 x, r8,9 1r3ü.:t,4 9366,1 765
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10,08,83
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1,90 37,3 37,21,61 3r,6 39,7
0,850 72,30,751 19,7a,671 I't,6
27,428,329,6
4,54 61,53,19 54,71?4 5n 5
2,09 '33,21,83 30,51,57 ,n.7
1,58 26,s1,38 24,0t,L4 21,20,912 18,5
a,997 1s,10,796 ,',:1:6i50,708 15;4
0,8r7 16,40,620 r3,l0,538 12,6
0,+ío ',1{ 20,400 10,2
0,420 r0,20,341 9,010,276 1,82g?264O1229
0,1720,130
0,\220,094q0,a765
21,9 20,222,4 t9,722,8 19,9
t:9,2 LlSt9;7 t7;O2ú,ú 17;4
16,7 16,311,0 15,617,4 15,3t7,8 15,8
16,2 t4,716,7 .;,Il:,9tr6,7 15,0
15,1 14,315,4 13,915,1 14,4
14;3 ' lg, t143 L3;7
t3,t 12,913,2 12,513.4 12.7
7;37.' 12,4 ",1,2;26;74 13,2 13,05,44 rr,2 tr,44,56 t l ,3 11,5
.4;25 :,,1gr* 113
.3]62: 10;1 1O;83,16 10;0r ''.10;8
;Um perfil U é designado pela ietra U seguida pela altura nominal em milímetros e a massa em quilogramas por metro.
Apêndice C Propriedades de Pêrfis de AÇo Laminado 739
Apêndice C.
Cantoneira(Abas lguais)
Propriedades de Perlis de Aço Laminado(unidadef Sl)
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24,825,025,r
. 19.9r;:::;::1 .?ilil,',..::,tx;*1,:rtr:rr:,!r9.s'l,r,.lìi;iá'0$i:',::,:::l;2ii;3::ì:
t7,4l7,4l7,6
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12,612,7
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7
;1r:*&:{;ã
i"
7n *r$#rciadosMateriais
Apêndice C. Propriedades de Perfis de Aço Laminado(Unidades Sl)
Gantoneira(Abas Desiguais)
L203.x 152 x 25,419,012,7
LI27 X 76 \.
L89x64x
L64 x 51
32,4?)1
33,0
0,54L0,5510,556
16,316,616,8
12,79,56,4
12,79,56,4
x 9,56,4
0,3550,3620,369
t3,7 0,49113,8 0,503t3,9 0,512
65,5 837050,1 638034,r 4350
3,93 47,63,06 36,62,r4 25,2
40,3 44,440,8 43,341,2 42,1
1,36 23,3 27,6 30,6r,07 18,0 28,0 29,50,759 r2,5 28,4 28,3
lIII
IÌIiI
I
Apêndice D Flechas e Inclinações de Vigas 741
Apêndice D. Flechas e Inclinações de Vigas
Viga e Carregamento Linha ElásticaFlechaMáxima
Inclinação eExtremidade
Equação daLinha Elástica
I
#l":@,F-.---!
v
oI ---------4- t \ PL3
- 3EI
PÚ* 2EI ,: h@3 - 3r.r)
2
l#l-n, :ü i t t t t i t t'@
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, : ' (4x3-3L2x\' 48EI
r.-FiÁ@B
ry_,__ffi
Paraa ) b:
_Pb(L2 ' b2)3/2
9\f3ErL
àx^ =
Pbu] - b2\e^: -^ 6EIL
Pa(L2 - az)a - L___-_-l_-----i
6EIL
Para x 1 a:
, : *v ' - ( r ' - b ' )* l' 6EIL
Pa2b2Parax:a: y:-3EIL
61D
fl-l-ffï-il1r-ffitwffis
*&#l,- r 'ïï'"""
_ 5wLo
38481
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24EI , : - f f i (xa-21'x3+L3x)
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ML2
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MLfl^: 1-^ 6EI
ML9^:--
3EI
, : - * (x3-Lzx\
" 6EIL
742 Rqú#ncia dos MateÍiais
Apêndice E. Características Geométricas de Figuras Planas
Centróides de Formas Gomuns de Área e Linha
Forma t v Area
Area de triângulo
l*z**-l
LJ
bhL
Área de quarto de círculo4r3n
4rJ Ì I
rrÊ
4
Area semicircular 04r
3r
nf2
Area semiparabólica r-, -ì 3a
8
3h-)
2ah
J
Área parabólica 03h
5
4ah
3
Triângulo de hipotenusa
parabólica
a-__|
3aÂ
3h10
ah
J
Setor circular2r sena
3a0 al
Arco de quarto de círculo2r 2r 7fr
;L
Arco semicircular 02r
7rr
Arco de círculor sen0
a0 2ar
Apêndice E CaractorístÍcas e€ométÍicasde.Ftglüí€,ptarr*; 749
Momentos de Inér,cia dgFormas Çeqméhicas Comuns
Retângulol-h
I
7*: tuutf
tr, - $Ën,,: lbh3I, : lb3hrc: #bh(b2 + h2)
Triângulo
l_ 6 _*l
7.,: tbh31. = $bh3
Círculo Ì , : Í r : lnra
Jo : |trra
Semicírculo I ,= Iy: lnra
Jo: tnra
Quarto de
círculolr : Iy: hol
Jo : [rra
Elipse
Í,: f,,nab3Ì, : f,rra3b
'Jo: lrrab(a2 + b2)
7
744 Resistência dos MaterÍais
Prefixos Sl
Apêndice F. PreÍixos e Unidades Sl
Fator de Multiplicação PÍeÍixo Símbolo
I 000 000 000 000 : l0r2I 000 000 000 : 10e
I 000 000 : 10oI 000 : 103
100: 102l0: lOt
0.1 : 10- l0.01 : 10-2
0.001 : 10-30.000 001 : 10-6
0. 000 000 001 : 10 e
0.000 000 000 001 : lO-120.000 000 000 000 OQl : 1g-ts
0.000 000 000 000 000 001 : 10-18
teragigamegakilohectofdeka{deci{centi$millimicronanopicofemtoatto
TGMkhdad
mlLnpfa
* Deve-se evitar o uso desses prefixos, exceto para medidas de áreas e volumes para usosnão-técnicos do cenímetro, como altura das pessoas e medidas de roupas.
Principais Unidades Sl Usadas em Mecânica
Grandeza Unidade Símbolo Fórmula
AceleraçãoAceleração angularAnguloÁreaComprimentoDensidadeEnergiaForçaFrequênciaImpulsoMassaMomento de uma forçaPotênciaPressãoTempoTensãoTrabalhoVelocidadeVelocidade angularVolume, líquidos
Volume, sólidos
Metro por segundo ao quadradoRadianos por segundo ao quadradoRadianoMetro quadradoMetro
Quilograma por metro cúbicoJouleNewtonHertzNewton-segundoQuilogramaNewton-metroWattPascalSegundoPascalJouleMetros por segundoRadianos por segundoLitro
Metro cúbico
:;
m
JNHz
kg
;PasPaJ
m/stradf s2
m2
kg/m3N.m
kg . m/s2- ìs-
kg . m/s
N.mJ/sN/m2
N/m2N.mm/srad/sl0-3 m3
m3
L
Apêndice F PrêÍixos e Unidades Sl 745
Unidades Inglesas e Seus Equivalentes Sl
Grandeza Unidades Inglesas Equivalente Sl
Aceleração
Área
EnergiaForça
ImpuÌsoComprimento
Massa
Momento de uma força
Momento de inérciade uma iáreade uma massa
Potência
Pressão ou tensão
Velocidade
Volume, sólidos
Líquidos
Trabalho
ftl s2in.ls2tt'in2f r . lbkiplbozlb.sftin.mioz masslb massslugtonlb . f t
lb . in.
ln '
lb . f t . s2ft . lb/shprbtflllb/inz(psi)físin/smi/h (mph)mi/h (mph)ft".1tn '
galqtf t . lb
0,3048 m/s20,0254 nls20,0929 m2645,2 mÍr21,356 J4,448 kN4,448 N0,2780 N4,448 N . s0,3048 m25,40 mm1,609 km28,35 g0,4536 kg14,59 kg907,2 kg1,356 N . m0,1130 N . m
0,4162 x 106 mma1,356 kg . m21,356 V/745,7 W47,88 Pa6,895 kPa0,3048 m/s0,0254 mls0,4410 mJs1,609 km/h0,02832m316,39 cm33,785 L0,9464 L1,356 J
7
Aço, especificações de projeto paru,25Acoplamento com flange, 158Alongamento, deformação percentual, 47Análise tridimensional
da deformação específica, 463-466Analogia da membrana, 177Angulo de rotação, 143Angulo de rotação, relativo, 143Angulo de torção para eixo circular
no intervalo elástico, 143no material elastoplástico, 165para barra retangular, 176
. para seção vazada de paredes finas, 181Areas de formas comuns, 561Arredondamentos, distribuição de tensões próxima de,
em barra chata: em flexão,223em placa submetida à carga axial,99
em eixos circulares, 158Articulação, 10
Barra de seção circularde seção vanáue|143deformações em, 128-131deformações de cisalhamento em, 130estaticamente indeterminado, 143fórmulas da torção no regime elástico para, 131tensões em, 126-133
Barra em forma de canal,39O-394centro de cisalhamento da,392-393tensões de cisalhamento em, 393
Barra em torção retangular, coeficiente para, I77Barras (placas) chatas, fatores de concentração
de tensões paraa força axial, 100em fTexão,223
Barras constituídas de viários materiais, 219de concreto rcforyado, 222não-prismátic a, 3 43 -346tensões de cisalhamento em, 298,364-367tensões normais em,207tensões principais em, 485-487tipos de, 297
Barras curvasflexão de, 274-280superfície neutra em, 27'7tensões em.279
Barras de paredes finassob força transversal assimétrica, 390-396sob força transversal simétrica, 379
746
Cantoneiras. 395.397Capacidade de absorção de energia, 663,682Carga Admissível,23Carga axial, 5
centrada, 7deformação específica sob, 96-98deformações plásticas sob, 101-103tensão sob,23,96-98
excêntrica, 7caso geral de,265-266
Carga crítica, 597Carga de projeto,23Carga de trabalho, 23Cargas (carregamentos)
cíclicos,24combinada. 496-498dinâmicos, 24flutuantes, 52impulsivo, 24multiaxial 77 -79por impacto, 658, 681-682repetidas, 52transversal, 360-396
Cargas flutuantes, 52Carregamento axial,42Carregamentos cíclicos, 24Carregamento dinâmico, 24Carregamento multiaxial
lei de Hooke generalizada para, 78Carregamento por impacto, 681-682
proeto para, 683-684Carregamento simétrico, flecha de vigas com, 559-560Carregamentos combinados, tensão sob, 496-498Carregamentos impulsivos, 24Carregamentos repetidos, 52Castigliano, Alberto, 699Centro de cisalhamento, 380, 391
de cantoneira, 395de forma de canal.392de perfil Z,396
Centróideda seção transversal, 206
Ciclos de carregamento, 52Círculo de Mohr
na análise tridimensional da tensão, 436-437para análise tridimensional da deformação, 463-466para carga axial centrada, 429paÍa carga torcional, 429para momentos e eixos principais de inércia,268
para plano de deformação, 46I-462,465para plano de tensão, 424-429, 436-437 , 464-466para tensões: em vasos de pressão cilíndricos,452
Cisalhamento. 7. 300duplo, 8simples, 8
Clebsch. 4.336Coefiçiente de dilatação térmiça, 66Coeficiente de impacto, 693Coeficiente de influência, 697Coeficiente de Poisson, 76Coeficiente de segurança, 24Colunas, 595-642
carregamento excêntrico de, 613-617força (carga) axial centrada em, 595-605projeto de: submetidos a uma força centrada,624-629projeto de: submetidos a uma força excêntrica,640-642
Colunas biarticuladas, 598-601Colunas de aço, projeto de,626-628Colunas de alumínio, projeto de, 628Colunas de madeira, projeto de,629Componentes de tensões, 20Compressibilidade, módulo de, 80Comprimento de flambagem
para viírias condições de extremidade, 605Comprimento de referência, 44Comprimento real da coluna, 602Concreto, especificações de projeto parc,25Condições de contorno
para vigas estaticamente determinadas, 522para vigas estaticamente indeterminadas, 529
Condições de extremidade para colunas, 605Convenção de sinais
para deformação de cisalhamento, 82para força cortante, 300para momento fletor, 201, 300para tensão, 21
Coulomb, Charles Augustin de,442Critério da deformação específica normal máxim4442Critério da energia de distorção máxima
para estado plano de tensão, 670para plano de tensão, 440
Critério da tensão de cisalhamento máxima , 439Critério da tensão normal máxima, 441-442Critério de Coulomb, 442Critério de escoamento para materiais dúcteis, 439-441Critério de fratura para materiais frágeis, 441-443Critério de Mohr. 442-443Critério de Saint-Venarft, 442Critério de von Mises, 440Critério real de falha, 439-443Curvatura anticlástica, 210Curvatura
anticlástica, 210da seção transversal, 210da superfície neutra, 208de uma barra de material compósito, 221
índice Anatítico 747
Deformação de cisalhamento máxima no plano,462Deformação de cisalhamento, 8l-82
em uma bana circular, 130Deformação específica normal
sob carregamento axial, 42-43,96Deformação específica térmica, 66Deformação específica, 76Deformações
em barra de seção circular, 128-132em flexão, 203-208em seção transversal de uma viga,2l0pelo método do trabalho e da energia, 686-687pelo teorema de Castigliano, 700-703pelo teorema do momento de área,557-576por integração, 518-549por superposição, 519-549sob carregamento axial, 53
Deformação(ções) específica(s)eixos principais de, 46I,463lateral,'16medida da,466principal, 461,463térmiça,66transformações de, 458-466verdadeiras, 66
Deformação, percentual de, 47Deformações específicas, 46I, 463Deformações permanentes, 50-5 1, 103
em torção, 168Deformações plásticas, 50
em eixos circulares. 163-169para barras chata em flexão pura,223
com um único plano de simetria, 239e de seção transversal retangular, 235-237em um plano de simetria horizontal e vertical, 233-238feitas de um material elastoplástico e de seção
transversal não retangular, 237 -238sob carregamento axial, 101
Deformações verdadeiras, 48Densidade de energia de deformação
para estado geral de tensão, 668-670para tensões de cisalhamento, 665para tensões normais, 660-662
Desvio tangencial, 558Diagrama de cisalhamento, 300-302Diagrama do momento fletor, por partes, 562-564Diagrama tensão-deformaçáo, 43, 46Diagrama(s) de corpo livre, 3Dilatação, 80Dilatação térmica, coeficiente de, 66Ductilidade, 47, 49
Efeito Bauschinger, 51Eixo que passa pelo çentróide
linha neutra, 260Eixos circulares
concentração de tensões em, 158
748 Resistência dos Materiais
deformações plásticas em, 165-169feitos de um material elastoplástico, 165-169tensõ€s residuais em, 167-169
Eixos de transmissão, 124projeto de, 156-157, 488-489
Eixos estaticamente indeterminados, I44Eixos principais de deformação específi ca, 461-463Eixos vazados de paredes finas, 179-181Elasticidade, módulo de, 49-50Elementos, seçundiírios, 24Empenamento, seção transversal, 176Energia de deformação, 658-660
para estado geral de tensão, 668-670para tensões de cisalhamento, 665-667
na torção, 666-66'7para forças transversais, 667
paÍa tensões normais, 662-665na flexão, 664pÍÌra carregamento axial, 663
Energia de deformação, 659Ensaìo de fração,44Escoamento, 45Escorregamento, 50Especificações de projeto, 25Estabilidade
de colunas, 595-642de estruturas, 596-598
Estricção, 45Estruturas simples, análise de, 8Estruturas. análise de. 9Euler. Leonhard. 600
Fadiga, 24,52Fator de forma,237Fatores de concentração de tensão
eixos circulares, 158para barras chatas
momento f7etor,223sob carregamento axial, 99
Flambagem,24Flecha máxima de viga
pelo teorema do momento de 6rea,572-573,577Flexão assimétrica, 259-264Flexão pura, 199
deformações em, 203 -209Flexão, 199
assimétrica, 259-264barras curvas,274-280de elementos feitos de viírios materiais,2l9deformações em, 203 -208no plano de simetria, 199-240
Fluência, 50Fluxo de cisalhamento
na parede da barra de seção vazada, 180sob força cortante transversal, 363
em barras de paredes finas, 378Força assimétrica
flecha de viga sob, 570-572
Força axialcírculo de Mohr para,429de colunas, 595-605, 613-618, 624-631deformação de componentes sob, 53no plano de simetria, 249-25I
Força cortante horizontal, 363, 476Força cortante, 297, 360, 390Força crítica, 600Força de impacto, 660Força distribuída,297Força estática, 682, 686Força interna, 53Forças (cargas),22-24
çrítica. 597 - 600estâtica,682
Forças concenÍradas, 297Forças distribuídas, 4Forças estaticamente indeterminadas, 41Formas comuns, tabelas de iíreas e centróides de, 561Fórmula da interação, 691Fórmula da secante, 616Fórmula de Euler, 600Fórmulas da f\exáo,207Fórmulas da flexão elásÍica,207Fórmulas da torção, l3lFórmulas de torção no regime elástico, 131Frequência, 156Funções de singularidade
definição de,334para cisalhamento e momento fletor em vigas, 332-347para inclinação e flecha de vigas, 537-546programação de computador para, 337
Furo circular, distribuição através do centro do furo, 99
Gigapascal, 4Gráfico tensão-deformação de cisalhamento, I 65
Hexágono de Tresca, 440Hooke. Robert.49Hp, 156Inclinação de vigas
pelo método de integração, 522, 526pelo teorema de Castigliano, 701pelo teorema do momento de área,551-558,570
Índice de esbeltez, 600da coluna, 602
Joule (unidade), 659
Lâmina, 50Laminado, plano, 50Lei de Hooke,49
generalizada para carregamentopara força multiaxial
de um material isotrópico homogêneo, 78para tensão e deformação de cisalhamento
de um material isotrópico, 82de um material ortotrópico, 88
Limitede proporcionalidade, 49de resistência à fadiga, 52elástico, 50
Limite de resistência,23, 45Limite de tensão, 23Limite elástico, 50Linha elástica, equações da, 521-52'lLinha neutra
para carregrìmento axial excôntrico em plano desimetria, 261
paÍa o caso geral de carregamento axialexcêntrico, 265-266
para flexão assimétrica, 263para plano de simetria, 204
no momento plâstico, 239no regime elástico, 206
Macaulay, V/. H., 336Madeira, especifìcações de projeto para,25Máquina de teste de torção, 141Máquina para ensaio, 44Materiais compósitos reforçados com fibra, 50, 87-90Materiais compósitos, 49, 87-90Materiais dúcteis. 45. 133
critério de escoamento paÍa, 439-441Materiais frágeis, 45, 133
critério de fratura para,44I-443Materiais ortotrópicos, 88Material anisotrópicos, 49Material elastoplástico, 101
carregamento axial de elementos feitos de, 101-104eixos circulares feitos de, 165-169flexão, barras feita de,235-240
Material isotrópico, 49,76,78, 82Marerial(is)
anisotrópicos, 49compósitos reforçado com fibras, 49,87-90dúcteis, 45,133
critério de escoamento para materiais, 439,441frágeis, 45,133
critério de fratura para materiais, 441-443isotrópicos, 49,78,82ortotrópicos, 88
Máxima força,23Maxwell, James Clerk, 698Megapascal,4Método da interação, 641Método da superposição, 63-64
para deflexão de vigas, 546-549Método da tensão admissível, 640-641Método do desvio,47Método trabalho-energia para flecha sob uma força
simples, 687Métodos de energia, 658-705
análise de estruturas estaticamente indeterminadaspelos, 704-705
deformações pelos, 686-689, 7 00-7 03
índice Anatítico 749
Módulode compressibilidade volumétrica, 80de elasticidade transversal, 82de elasticidade, 49de resistência, 661de resistência: regime eIâstico, 207
de seção plástica,23lde ngidez,82de ruptura: em flexão, 232
em torção, 165de tenacidade. 661de Young, 49
Mohor, Otto,424, 442Momento da seção transversal, estático, 206Momento de inércia
da seção transversal, 207de seção transversal de barra circular, 131polar, 131
Momento elástico máximo. 233Momento fletor, 201
convenção de sinais para,2Ollim|te,234
Momento plástico,236Momento polar de inércia
da barra de seção circular vazada, l3lda seção transversal, 131
Momento torçor elástico, mráximo, 165Momento torçor plástico, 166Mudanças de temperatura, 66-68
Normas técnicas, 25Núcleo cenffal,274Núcleo elástico
em barras, 235em eixo circular, 166
Parafusos. tensão em. 8Pascal (unidade), 4Perfil V/360, tensões em,367Perfi l2,396Pinos. tensão em. 8Plano de deformação, estado, 93
transformação de, 458-462Plano de tensão, estado, 93,465
transformação de, 4I3 -429Planos principais de tensão, 4I7, 435Poisson. Siméon Denis. 76Pontes rodoviiírias, especificações de projeto para 25Ponto de escoamento, 46
inferior, 46superior, 46
Potência, 156Precisão. numérica. l2Pressão hidrostática, 80Principais tensões, 417, 435
em uma viga, 485487sob uma dada força" 497
r
750 Resistência dos Materiais
Princípio da superposição, 78Princípio de Saint-Venant, 98Problemas estaticamente indeterminados, 62Programação de computador, funções de singularidade,337Projeto, 5
de colunas: submetidas à força centrada, 624-629de eixos de transmissão. 156-157.488-489de vigas, 297-351de vigas prismáticas, 321-323para caÍregamento por impacto, 683-696
Quilopascal, 4
Raiode curvatura de superfície neutra para vigaprismática, 208,231
de seção transversal de coluna, 600de superfície neutra de varias formas de seçãotransversal, 278
Rasgo da chaveta, 158Reação redundante
para uma viga, 548, 574sob carregamento axial, 63
Redução percentual da ârea,4'7Região plástica
em barra em flexão pura,233em eixos circulares, 165
Regime elástico,207Relações
entre cisalhamento e momento fletor.312-313entreE veG.84-87entre força e cisalhamento, 311
Resistênciaà ruptura, 45-46ao escoamento, 45limite de. 23. 45
Resistência constante, vigas de, 343-344Rigidez
à flexáo, 522módulo de, 82
Roseta de deformação, 467Rotação, angulo de,143Ruptura, 47, módulo de
em flexáo,234em torção, 164
Saint-Venant, Adhémar Bané de, 98Seção circular variável
eixos de, 143Seção não-circular
de eixos vazados de paredes finas, 179torção de elementos, 176-178
Seção transformadade viga de concreto reforçado,222em barra de material compósito, 220
Seçoes. distribuição de tensões nas,223
Segurança, fator de,23Superfície neutra
centro de curvatura, 2JBda barra curvada,275de um elemento prismático,204raio de curvatura de,208,236
Suporte, 11Suporte e conexões, em uma estrutura, 9
Tangente de referência, 559, 570Tenacidade, modulo de, 661Tensão, 4
admissível, 23biaxial, 93carregamento multiaxial, 77-78circunferencial, 450componentes de, 20convenção de sinais para,2lcrítica, 600de esmagamento, 9, 11de flexão,207distribuição uniforme da, 7em parafusos, 9, 10em pinos, l0em rebites, 10em vasos de pressão de paredes finas,450-452estado geral de, 434-435l imite, 23longitudinal, 450planos principais de, 4ll, 435sob carregamentos combinados, 496-498transformação de, 41 1-438verdadeiras, 48
Tensão(ões) de cisalhamento, l, 361devido a força axial,20,22devido a forças combinadas, 496-498devido a força cortante: de cantoneira, 397
de barra retangular estreita, 366-369de barras de paredes finas, 378-380,390-396de perfi l 2,396devigasSevigasW366em viga,364-369em forma de canal, 393
em torção: em barra de seção circular, 121, I29,163-161na parede da barra de seção vazada, 180seção transversal quadrada, 176
máxima. 418.436máxima, em viga, 298máxima, no plano, 418,437
Tensão Admissível, 23Tensão biaxial.92Tensão circunferenci al, 450Tensão de cisalhamento máxima, no plano, 418,43'7Tensão e deformação de cisalhamento,
Lei de Hooke para,82Tensão longitudinal em vasos de pressão cilíndricos,450-4sl
Tensão normaldevido a força (canegamento) axial centrada (o),
23.96-98em flexão
de barra prismáticaem barras curvadas, 2'79no momento elâstico, 202
em torção, 133máxima, em vigas, 298sob carregamentos combinados, 496-498
Tensão verdadeira, 48Tensões de esmagamento, 9, 11Tensões reais,24Tensões residuais
em eixos ciruclares, 161-169em flexão, 239-240sob carregamento axial, 105-106
Tensões, carregamento multiaxial, 7 7Teorema da reciprocidade de Maxwell, 698Teorema de Castigliano, 699-7 13
análise de estruturas estaticamente indeterminadas.pelo,704-705
deformações, pelo, 700-703Teorema de reciprocidade, 698Teorema do momento de área para inclinação de
vigas, 557-576Teoremas do momento de área.55'7-559Torção
de barras retangulares, 177de eixos de transmissão, 124-126de eixos vazados de paredes finas, 179-181de elementos de seções não-circulares, 17 6-178
Torção ou esforço interno, 132Torque (momentos de torçáo), 124
elástico. máximo. 165interno, 132limite, 164plástico, 165
Torque-limite, 164Trabalho
de um único conjugado, 684de uma força, 658-660, 684-685de viirias cargas, 691-699
índice Analítico 751
Trabalho elementar. 658Trajetória de tensão, 487Transformação
do estado plano de deformação, 458-462do estado plano de tensão, 413-414,430tridimensional de deformação, 463-466
Tresca. Henri Edouard. 440Trincas macroscópicas, 443Trincas microscópicas, 47, 443
Vasos de pressão cilíndriços, 450Vasos de pressão de paredes finas, tensões em,45O-452Vasos de pressão, tensões em paredes delgadas, 450-452Vasos de raio esféricos, 452Viga biapoiada,29"IYiga caixão,379Viga de mesa larga, 208Viga em balanço, 291,522
análise de, 559-560Vigas, 360
de resistência constante, 343-344projeto de,297-351
Vigas de concreto reforçado,222Vigas de mesa larga em aço, 208
projeto de,322Vigas de padrão americano, 208Vigas estaticamente determinadas, condições de
contorno pan,522Vigas estaticamente indeterminadas
análise depelo teorema de Castigliano, 104-'705pelo teorema do momento de fuea,5'74-575por integração, 528por superposição, 548-549
Vigas de material compósito, 219Vigas não prismáticas, 343-344Vigas prismáticas, projeto de, 321 -323
von Mises. Richard. 440
V/atts (unidade), 156
Young, Thomas,49
F
Os problemas cujas respostas estão listadas neste apêndice estdo identificados no lívro sem itálico
CAPíTULO 1
1.1 (a) 35,7 MPa. (Ò) 42,4 MPa.1.2 ú : 25,2 mm; d2 : 16,52 mm.1.7 62,7 kN.1.9 k) 101,6 MPa. (á) -2r,7 MPa.1.13 @) 12,73 MPa. (á) -4,77 MPa.1.14 (a) 17,86 kN. (b) -4r,4MPa.1.15 5,93 MPa.1.18 9.22 kN.1.19 178,6 mm. ì1.20 (a) 3,33 MPa. (b) b : 525 mm.1.23 k) 3,97 MPa. (ó) 202 mm. (c) 20,8 MPa.1.27 (a) 80,8 MPa. (á) 127,0 MPa. (c) 203 MPa.1.29 o:489 kPa; r :489kPa.1.30 (a) 13,95 kN. (á) 620 kPa.1.33 o: -37,1 MPa; r :17,28MPa.1.34 337 kN.1.38 2,35.1.41 (a) 181,3 mm2. çbÌ 213 mm2.1.42 (a) 3,97. (b) 265 mm2.1.43 20,8 mm.1.44 2,50.1.53 3,72 kN.1.54 3,97 kN.1.55 r ,683 kN.1.56 2,06 kN.1.58 (a) 362 kg. (á) 1,718.1.59 60,0 MPa.1.61 60,2 mm.1,67 2,42.1.68 L^tn: ou6^d/4 r^,,,-1.C2 (c) 16 mm < d < 22 mm. (d) 18 mm < d = 22mm.'t .C5 (b) Fis. P 1.29, para a : 45":
(l ) 489 kPa; (2) 489 kPa; (3) 2,58; (4) 3,07; (5) 2,58,1.C6 (.d) Pud^: 5,79 kN; a tensão na barra é crítica.
CAPíTULO 2
2.2 (a) 6,91mm. (ó) 160,0 MPa.2.4 (a) 81,8 MPa. (b) r,712.2.6 (a) 17,25 MPa. (b) 2,82 mm.2.8 (a) 817 mm. (ó) 15,28 mm.2.9 10,70 mm.2.10 160,0 kN.2.15 @) 0,'794 mm. (b) 0,484 mm.2.16 16,52 mm.2.23 @) 1,222 mm. (b) 1,910 mm.2.24 0,1095 mm J.2.25 @) -0,0302 mm. (D) 0,01783 mm.2.26 ,r ( 92,6 mm.
752
2.29 pgh'l4E2.30 (a) pgL2l2E.2.35 (a) 140,6 MPa. (à) 93,75 MPa.2.36 (a) 15,00 mm. (&) 288 kN.2.39 (a) 62,8 kN <- no pontoÁ; 37,2 kN <- no ponto E.
(b) 46,3 pm --+.2.4O (a) 45,5 kN <- no ponto A,' 54,5 kN <- no ponto E.
(b) 48,8 Írm -+.2.41 (.a) 0,0762 mm.
(b) oen : üct>: 30,5 MPa; a'r : 38,1 MPa.2.42 (a) rubo, 67,9 MPa; bana, -55,6 MPa.. (b) tubo,0,2425 mm; bara, *0,1325 mm.2.48 -47,OMPa.2.49 -6.72MPa.2.53 (a) -44,4 MPa em AB; - 100,0 MPa em BC. \
(b) 0.500 mm J.2.54 tubo, 63,0 MPa; bana, -51,6 MPa.2.55 (a) -116,2 MPa. (ó) 0,363 mm.2.60 (a) -122,8 MPa. (à) 108,5 MPa.2.61 (a) 0,205 mm. (à) -0,00905 mm.2.62 (a) 0,0358 mm. (b) -0,00258 mm.
(c,l 0,0003437 mm. (.1) -0,00825 mm2.2.67 -0.0518%.2.68 (a) 0,0754 mm. (ó) 0,1028 mm. (c) 0,1220 mm.2.75 1,091 mm J.2.76 302 kN.2.79 (a) 262 mm. (b) 2l,4mm.2.8O G: 1.080 MPar r : 43i kPa.2.87 3,00.2.88 16.46 kN.2.91 (a) 0,0303 mm.
(b) o, : 40,6 MPa; or, : c,: 5,48 MPa.2.92 (a) o" : 44,6 l|i4Pa1. ou : 0i o, : 3,45 MPa
(D) -0,0129 mm.2.93 41,7 kN.2.94 (a) 10,1MPa. (D) 92,2MPa.2.99 (a) 12 mm. (r) 62,1 kN.2.100 (a) 134,7 MPa. (&) 135,3 MPa.2.105 13.97 kN: 3.39 mm.2.106 10.12 kN: 2.46 mnr.2.11'l (a) 310 MPa. (b) 6,20 mm J. 1.) 0.2.112 (a) 310 MPa. (b) 6,20 mm J. 1c; 2,20 mmI.2.114 (a) -250 MPa. (á) 0,0930 mm <-.2.115 b) 30,8 MPa. (b) 0,0462 mm <-.2.116 (a) AD, 250 MPa; BE 124,3 MPa. (b) 0,622 mm I.2.117 (a) AD, 233 llúPa: BE, 250 MPa.
Itot r :zz mm +.2.12O (a) O,1O+Z**. (b) _ '65,2MPa.
2.121 (a) 0,00788 mm. (b) -6,06 MPa.2.124 4-67"C.
2.131 Pt: Pe : 397 N; P. : 105,3 N.2.133 (at -57.7"C. (bt) 0,0329 mm -+ emÁ,.
0,0263 mm -> em B.2.135 (a) Aoy/1t"g. (b) EAIL.2.C1 Prob. 2.18: (a) 0,01819 mm. (b) -0,0909 mm.2.C6 (a) -0,40083. (D) -0,10100. (c) -0,00405.
CAPíTULO 3
3.3 133,8 kN . m.3.4 89.7 MPa.3.5 (a) 117,9 MPa (Ò) 69,8 mm.3.6 (a) 125,7 N'm. (b) 181,4 N . m.3.11 (a) 75,5 MPa. (á) 63,7 MPa.3.13 (a) 81,2 MPa. (b) 64,5 MPa. (c) 23,0 MPa.3.15 das : 42,0 mm duç: 33,3 mm.3.17 (a) 1,473 kN.m. (b) 43,7 mm.3.19 754 N .m.3.20 (a) 35,8 mm. (b) 42,4mm.3.21 (a) 45,1mm. (à) 65,0 mm.3.22 1,129 kN. m.3.25 (a) 30,1 mm. (b) 21,7 mm.3.26 118,5 N. m.3.29 (a) r-(cl + czr)/2pg c2. (b) (T/us)/11 + (c,/cr)21.3.30 1,000; 1,025; 1,120; 1,200; 1,000.3.31 (a) 199,5 N .m. (b) 10,40'.3.36 (a) r,384". (b) 3,22'.3.37 6,02".3.38 5,85..3.39 12,22".3.40 13,23".3.46 36,1 mm.3.49 GdL/21Ã.3-54 (a) 17,45 MPa. (ü) 2'7,6 MPa. (c) 2,05'.3.55 (a) 688 N . m. (ó) 2,35".3.56 (a) To : 1105 N . mi Tc: 295 N . m.
(b) 45,0 MPa. (c) 27,4MPa.3.57 (a) Te : 1090 N . mt Tc: 310 N . m.
(b) 47,4 MPa. (c) 28,8 MPa.3.62 (a) r^a^: T/2ntr? em p : 11.3.63 (a) 82,5 MPa. (à) 0,273".3.65 (a) 2O,l mm. (b) 15,94 mm.3.66 (a) 46,9 MPa. (b) 23,5 MPa.3.69 (a) 11,84 Mw. (ú) 8,91".3.71 2,64 mm.3.72 (a) 47,5 MPa. (á) 30,4 mm.3.73 t :8mm.3.78 d=74,0mm.3.83 47,2H2.3.86 5,1 mm.3.87 42,6H2.3.90 (a) 203 N . m. (à) 165,8 N . m.3.92 (a) 111,4 MPa; 19 mm. (á) 145 MPa; 15,50 mm.3.93 314 MPa.3.97 (a) 8,17 mm. (b) 42,r".3.99 (a) 1,126 ôE. @) 1,587 ôp. (c) 2,15 óu.3.101 (a) 5,96 kN . m; l '1,94". (b) 7,31 kN . m; 26,9".3.1O2 (a) 43,0". (b) 7,61 kN .m.3.108 (a) aprox. 1,876 kN .m. (b) 17,19".3.109 (a) 1,900 kN .m. (b) 17,19' .3.110 81,2 MPa.3.112 14,62".3.114 (a) 33,5 MPa em p : 16 mm. (b) 1,032".3.116 (b) 0,2209 ruc3.
Bespostas dos problemas Selecionados 753
3.121 (a) 74,0MPa;9$6. (b) 61,5 MPa; 6,95..3.122 (a) 189,2 N.m;9,05". (b) 228 N.m;7,91..3.127 TA/TB: 1,356.3.128 óB/ôA: 1,198.3.129 b :2,20 mm.3.135 (a) 52,5MPa. (ó) 31,5 MPa.3.137 (a) 8,47 MPa. (b) 8,4't MPa.3.138 8,45 N.m.3.141 (a) ToQ * e/t).(b) 107o;5OVa;907o.3.142 (a) 12,76MPa. (b) 5,40 kN.m.3.'145 (b) 0,25Vo; 1Va;4Vo.3.148 (a) 283 N .m. (ó) 12,91 mm.3.149 (c) t6,02H2. (b) 27,2H2.3.150 (a) 50,3 mm. (b) 63,4mm.3.152 12,24MPa.3.155 0,944.3.C1 Prob. 3.157: 56,9 MPa; 3.41'.3.C2 Prob.3.44:2,21".3.C5 (a) -3,282%. (b) -0,853Ec. (c) -0.1387o.
U) -0.0055Vo.3.C6 (a) -r,883%. (b) -0,484%. (c) -0.078vc.
(d) -0,0031%.
CAPíTULO 4
4.1 (a) -61.6 MPa. (b) 91,7 MPa4.3 80.2 kN. m.4.4 24,8 kN. m.4.5 5.28 kN . m.4.6 4.51 kN.m.4.9 73,2lr{Pa'. -102.4MPa.4.10 (a) 79,8 MPa. (b) -136,5 MPa (c) 14,87 MPa.4.15 3.79 kN .m.4.22 (a) 965 MPa. (ó) 20,5 N . m.4.26 (a) 53,6 MPa; 379 m, (b) 158,9 MPa; 127,5 m.4.27 0,950.4.28 0.949.4.31 (a) 139,6 m. (b) 481 m.4.32 (n) (oJ.r-(y' - c2)/2pc.4.33 1,092 kN . m.4.34 887 N .m.4.39 (a) 45,1MPa. (b) -81,1 MPa.4.40 (a) 5r,9 MPa. (ú) -121,0 MPa.4.43 15,53 m.4.44 72,15 m.4.47 (a) 330 MPa. (b) -26,0 MPa.4.48 (a) 292 MPa. (b) -27,3MPa.4.54 (a) 1674 mm2. (b) 90,8 kN . m.4.57 (a) 52,3 MPa. (b) 132,1 MPa.4.58 (a) 40,8 MPa. (b) 145,2MPa.4.59 (a) 6,15 MPa. (b) -8,69 MPa.4.65 (a) 1,25 kN.m. (b) 1,53 kN.m.4.66 (a) 147 MPa. (à) ll9 MPa.4.69 (a) 38,4 N . m. (b) 52,8 N .m.4.70 (a) 57,6 N.m. (á) 83,2 N.m.4.73 (a) 19,44 kN. m. (b) 28,1kN .m.4.74 (a) 19,08 kN.m. (b) 27,0 kN.m.4.77 (a) 29,2 kN.m. (b) 1,500.4.82 19,01 kN.m.4.86 48,6 kN .m.
4.87 120 MPa.4.88 106.4 MPa.
r754 Resistência dos Materiais
4.91 (a) 106,7 MPa. (á) +31,15 mm; 0. (c) 24,1m.4.95 (a) 292 MPa. (b) 7,01 mm.4.99 (a) -2P/rrr2. (b) -5P/rr2.+.103 (c) 112,8 MPa. (á) -96,0 MPa.4.106 14,40 kN.4.107 16,04 mm.4.108 (a) -79,6À{Pa. (b) -139,3 MPa. (c) -152,3 MPa.4.113 96,0 kN.4.114 (a) 52,7 MPa. (b) -67,2MPa.
(c) 11,20 mm acima de D.4.117 (a) 40,3 kN. (b) 56,3 mm da face esquerda.4.118 (a) 69,6 kN. (b) 41,9 mm da face esquerda.4.121 (a) 30,0 mm. (b) 94,5 kN.4|124 (a) 75,0 mm. (b) 40,0 MPa.4.127 (a) -2,80 MPa. (b) 0,452 MPa. (c) 2,80 MPa.4.131 (a) 57,8 MPa. (b) -56,8 MPa. (c) 25,9 MPa.4.134 (a) 19,16". (b) 77,7 MPa.4.135 (a.) 10,03'. (r) 54,2}l{Pa4.139 113,0 MPa.4.14O (a) 633 kPa. (b) -233 kPa. (c) 146,2mmparaA.4.144 17,11mm.4.146 733 N'm.4.147 1,323 kN ' m.4.151 900 N. m.4.156 (a) -77,3 MPa. (á) -55,7 MPa.4.160 -148,6 MPa.4.164 (a) -82,4 MPa. (b) 36,6MPa.4.165 (a) -64,1MPa. (b) 65,2MPa.4.166 (c) -106,1 MPa. (b) 38,9 MPa.4.171 (a) -45,2MPa.(b) 17,40MPa.4.172 (a) -43,3 MPa. (b) 14,43 MPa.q.173 (a) -5,96 MPa. (b) 3,61 MPa.4.175 84,7 MPa.4.176 (a) 63,9 MPa. (b) -52,6MPa.4.186 (c) -8,33 MPa; -8,33 MPa.
(b) -15,97 MPa;4,86 MPa.4.189 (a) -56,0MPa. (b) 66,4MPa.4.190 (a) 56,7 kN . m. (á) 20,0 m.4.195 5,22 MPa; -12,49 MPa.4.Cl a : 4 mm: o.: 50,6 MPa, o, : 107,9 MPa;
a : 14 mm: oa: 89,7 MPa, o, : 71,8 MPa.(a) 111,6 MPa. (b) 6,61 mm.
4.C4 4/h : 0,529 para 507o acima de o.6*.
CAPíTULO 5
5.1 (à) 0 < x3a:V: PblL; M: PbxlL;a I x 3 L: V : -Pa/L; M : Pa(L - x\L.
5.22 136.0 MPa.5.26 14,29 MPa.5.27 (a) 12,00 kN.(á) 10,71MPa.5.29 (a) 866 mm. (á) 5,74MPa.5.30 17,19 MPa.5.32 (a) 33,3 mm. (b) 6,66 mm.5.45 (a) 140,0 N. (à) 33,6 N.m.5.47 10,89 MPa.5.50 (a) V : (u;oI-/n)cos(nx/L);
M : (w;Lz / ln2) sen(rr x/ L).(b) wú2/7r2.
5.52 (a) V: - lDú+wft tZt+wü3:u: -wfftz + wof/6L + wd.x/3.
(b) O,06al5 wot?.5.54 156,6 MPa.5.55 73,5 MPa.5.60 136,4 MPa.5.61 38,7 MPa.5.62 (b) 62,5 MPa.5.65 h:173,2mm.5.69 á:48.0mm.5.7O h:203 mm.5.73 W530 x 66.5.74 W250 x 28,4.5.75 13l0 x 47,3.5.76 I5r0 x 98,3.5.79 U230 x 19,9.5.80 U180 x 14,6.5.84 W6l0 x 101.5.87 7,48 kN.5.88 7,32 kN.5.90 (a) r,485 kN/m. (ó) 1,935 m.5.91 (a) 4,or kN. (b) 3,27 m.5.96 383 mm.5.97 336 mm.5.98 (a) v:2P/3- P(x-a\o:
M : -2Px/3 - P\* - a). (b) Pa/3.5.99 (a) V = -wu,c + ws\x - 2a) + 3wsa/2;
M : -wox2l2 + wk - 2a)2/2-t 3w0ax/2.(b) 't,oaz/z.
5.'t00 (a) V : -ro| - ) - 3w0a/4 + ríwp(x' Zalot+;, : -wo? -
"ftz - 3woax/4 t
l5w6t\x - 2a)/4.(b) -woa2/2.
5.101 (a) V: -wvic + tttç\x * a);n ' t=-woÌt2+.06-of tz.
(b) -3woa2/2.51O4 (a) v : -P(* - a)o; M : -P\x - a) - P"Q -
"lo(ò -Pa.5.105 (a) V : -P - r(x - zuzf;
M - -Px + PI-/3 - P(x - 2LB\t -PLG - zu3\o/3.
(b\ -4PU3.5.107 (a) V: -r,5x + 3(x - 0,t)0 + 3(x - 3,2)0kN;
M : -0,7sf + 3(-r - o,a) + :(; * 3,2) kN . m.(b) 600 N .m.
5.109 (a) v: 40 - 48<, - 1,5)0 - 60(x - 3,0)0 -0o(' - r.o)o tN;
M : 40x - 48(, - 1.5) - 600 - 3.0) +6ú - 3,6) kN.m.
(b) 60,0 kN . m.5.113 (a) 184,0 kN . m em x : 1,950 m. (b) 137,3 MPa.
5.25.35.45.5
5.75.85.115.135.185.20
(b) V : ut(U2 - x); M : wx(L - x)/2.(b) V = -ur*tZf; M = -wox3/6L.
(b) V = w(L - x); M : -w(L - x)2/2.(b) 0 = x 3 a: V : w(L - 2a)/2;
M:w(L-2a)x; a3x3L-a:V : w(Ll! - x); M = wl(L - 2a)x - (x - a)2112;L-a=x<L:V:w(L-2a)12;M:w(L-2a)(L-x)12.
(b) O = x 3 a: V : w(a. - x); M = w(ax - f/2);a 3 x 3 L - a: V : O; M -- wa'/2;L-a=x<L:V:ID(L-x-a);M : wla(L - x) - (L - x)2/21,
(a) 68,0 kN. (á) 60,0 kN'm.(a) 42,0 kN. (b) 27,0 kN ' m.(a) 85,0 N. (b) 21,25 N .m.
(a) 18,00 kN. (b) 12,15 kN . m.139,0 MPa.51,6 MPa.
5.116 (a) 0,872 kN . m. em x : 2,09 m.(b)h- l30mm.
5.118 IYI*á. = 35,6 kN at x -- 1,2 m;lMl^a*: 24,96 kN . m at Í : 3,6 m.
5.119 YÁ : 89,0 kN; Vo : -85,0 kÌ{;lMl^t": 178,0 kN . m no ponto B.
5.122 VA:10,20 kN; Vr: -13,80kN;
lMl^*: 16,16 kN .m em x:2,84 m;o*6* : 83.3 MPa.
5.123 lVl.á- : 40,0 kN; lMl^â*: 30,0 kN . m;o-1 : 40,0 MPa.
5.128 (a) h: ho6/L)r/2; (b) 167,7 mm.5.131 (a) h:ho(2x/L)t /2 para0= x=L/2.
(à) 60,0 kN.5.132 1,800 m.5.133 1,900 m.5.136 d : dolax(L - x)/L2f1/3.5.14O (a) 155,2 MPa. (b) 142,4 MPa.5.141 114,0 kN.5.144 (a) 152,6MPa. (Õ) 133,6 MPa.5.'145 ,(a) 4,49 m. (b) 2ll mm.5.148 (a) 0,240 m de cada extremidade. (b) 149,3 kN/m.5.152 (a) 600 N. (b) 180,0 N .m.5.161 (a) 3,45 kN. (á) 1125 N .m.5.C1 Prob.5.18: Emx = 2m'.V = 0,M: 104,0kN.m,
o : 139,0 MPa.
CAPíTULO 6
6.3 (a) r,387 kN. (b) 380 kPa.6.4 (a) 155,8 N. (b) 329 kPa.6.5 193,5 kN.6.6 2r7 kN.6.13 2r0 kN.6.14 (a) 206 kN.(b) 195,3 kN.6.19 (b) h : 225 mm; b : 61,7 mm.6.20 (b) h : 320 mm; b : 97,7 mm.6.21 (a) 3r,0 MPa. (b) 23,2MPa.6.23 32,7 MPa.6.26 (a) linha neutra. (b) 2.00.6.28 (a) meia altura. (b) 1.500.6.29 728 N.6.34 (a) 12,27 MPa. (b) 58,9 MPa.6.35 (a) 101,6MPa. (b) 79,9MPa.6.36 (a) 4r,4 MPa. (&) 4r,4MPa.6.39 (a) 4,55 MPa. (b) 3,93 MPa.6.40 (a) 41,3 mm. (b) 3,98 MPa6.45 255 kN.6.46 83.3 MPa.6.48 (a') 50,9 MPa. (b) 62,4 MPa.6.49 (a) 23,2 MPa. (b) 35,2MPa.6.53 (a) 2,25. (b) 2,r2.6.54 (a) 2,08. (b) 2,r0.6.55 proof.6.61 0,345 a.6.62 O;714 a.6.63 1,250 a.6.64 z(u2 - a)t(aa + 6b + h).6.67 (a) 10,22 mm. (b) 81,1 MPa (máximo).6.68 (a) 9,12 mm. (ó) 88,6 MPa (máximo).6.70 20,2 mm.6.71 6,14 mm.6.77 40,0 mm.
Respostas dos Probtemas Setecionados 755
6.78 0 ou 40,0 mm.6.81 (a) 144,6 N . m. (à) 65,9 MPa.6.82 (a) 144,6 N . m. (b) 106,6 MPa.6.87 P(Za - y)(0,750y - 0,500a)/a3t.6.88 P(a - x)(3,00x + r,000a)/a3t.6.89 738 N.6.94 (a) 239 N. (á) 549 N.6.95 (a) 239 kPa. (b) 359 kPa.6.100 (a) 50,6 mm. (b) 2,61MPa (máximo).6.Cl (a) h : l'13,2 mm. (b) h = 379 mm.6.C3 Prob. 6.10: (a) 920 kPa (b) 765 kPa.
CAPíTULO 7
7.17.47.77.87.117.13
7.177.227.257.267.287.307.537.547.60
:225"<0=278.1".7.62 -141,4 MPa para 141,4 MPa.7.66 (a) 100,0 MPa. (ó) 110,0 MPa.7.67 (a) 94,3 MPa. (b) 105,3 MPa.7.68 (a) 55,0 MPa. (b) 50,0 MPa.7.69 (a) 50,0 MPa. (b) 62,5 MPa.7.74 56,9 MPa; -130,0 MPa.7.79 -60,0 MPa para 60,0 MPa.7.8O (a) 45,7 MPa. (á) 92,9MPa.7.83 (a) 1,228. (à) 1,098. (c) escoa.7.87 717 N. m.7.89 ruptura.7.90 sem ruptura.7.95 196,9 N.m.7.96 50,0 MPa.7.98 83,1 MPa;41,8 MPa.7.102 (a) 1,290MPa. (D) 0,0852 mm.7.105 l,676MPa.7.107 103,8 MPa;52,5 MPa.7.11O 3.29 MPa.7.111 3.80 MPa.7.116 56,8. .7.117 (a) 419 kPa. (b) 558 kPa.7.118 45,1 MPa; 9,40 MPa.7.123 17,06 kN . m.7.126 115,0 p.;285 t-t; -5.72 1t.7.127 36,7 p.;283 p.;227 p".7.129 35'7 tt; -157,1 p; -613 p..7.130 115,0 t t ;285 t t ; -5.7 t - r .7.131 36,7 p.;283 p.;227 p..7.133 357 p.; -157,1 p.; -613 p..7.134 (a) -21,6";68,4";2'19 p.; 16O p..
14,19 MPa; 15,19 MPa32,9 MPa:71,0 MPa.(a) -37,0";53,0'. (b) -13,60 MPa; -86,4 MPa.(a) -31,0"; 59,0'. (b) 52,0 MPa; -84,0 MPa.(a) 8,0'; 98,0". (b) 36,4 MPa (c) -50,0 MPa.(a) -56,2 MPa; 86,2 MPa; -38,2 MPa.(b) -45,2MPa:'75,2 MPa;53,8 MPa(a) -0,300 MPa. (á) -292MPa.(a) 399 kPa. (á) 186,0 kPa.35,4 MPa; -35.4 MPa; 35,4 MPa.12,18 MPa; -48,7 MPa; 30,5 MPa.205 MPa.(a) -2,89 MPa. (D) 12,77 MPal' 1,226 MPa.(a) -8,66 MPa. (b) 17,00 MPa; -3,00 MPa.24,6 ; 114,6 ; 145,8 MPa; 54,2 MPa.-45" =0 < 8,1 ' ; 45" < 0 < 98,1o; 135" = 0 = 188,1'
{
756 Resistência dos Materiais
(b) 877 p.. (c) 8"t'7 p..7.136 (a) -26,6';64,4";750 p; -150 p; -300 p,.
(á) 900 p.; (c) l05O p..7.137 (a) -30,1'; 59,9"; -298 tL; -702 p.; 5Q0 p..
(b) 403 p.. (c) r2O2 1t.7.14O (a) 37,0";121,0;512,5 p.; 87,5 tL"; 0.
(b) 425 p.; (c) 512,5 p..2.141 (a) 7,8";97,8";243,4 t t ;56,6 p. ; 0.
(r) 186,8 p.. (c) 243,4 tt.7.144 (a) -300 g.. (b) 435 p.; -315 p.;750 p..7.148 (a) -22,5";67,5";426 p.; -952 p.; -224 p..7.152 l,421MPa.7.158 (a) -0,250MPa. (b) -2,43MPa.7.164 (a) 4'1,9 MPa. (b) 102,7 MPa.7.166 (a) 97,5 MPa. (b) 85,0 MPa. (c) 120,0 MPa.7.C1 Prob.7.l4: (a) 24,0 MPa, -104,0 MPa, -1,50 MPa.
(b) -19,51MPa, -60,5 MPa, -60,7 MPa.7.C5 Prob. 7.128: e,' = -653 p, er, : 303 p',
e,' : -829 tt"7.C6 Prob.7.135: op: -33.7 ' ; €o : 100 F, er, : -420 p' ,
e. : 160.0 p..y^u* : 520 micro radianos (no plano); 7*6" : 580micro radianos.
7.C7 Prob. 7.138: ap : 37,9"; eo : -57,5 p',er, : -382 p,, e, = O.y^u, : 325 micro radianos (o plano); 7.u* : 383 microradianos.Prob. 7.139: op: 11,3"; ea: 310 P', eu: 50 P',€":0 'y^6*: 260 micro radianos (no plano); y-6* : 310micro radianos.
CAPíTULO S
(a) 195,1MPa. (b) 193,5 MPa. (c) aceitável.(a) 195,1 MPa. (D) 201,6 MPa. (c) não aceitável.(a) W360 x 32,9.(b) 146,1MPa;27,6 MPa; 118,4 MPa.(a) W690 x 125.(b) 128,2 MPa; 47,3 MPa; 124,0 MPa.(a) r3r,3 MPa. (à) 135,5 MPa.(a) 123,3 MPa. (á) ll9,0MPa.37,3 mm.39.5 mm.(a) 64,1MPa; 62,4 MPa; (b) 69,1 MPa; 65,0 MPa.37,0 mm.43,9 mm.41,3 mm.44,8 mm.(a) 116,3 MPa;0. (b) -4,4'l MPa; 13,42 MPa.(c) -125,2 MPa; 0.(a) -129,7 MPa;0. (b) -8,94 MPa;6,71 MPa.(c) 111,8 MPa;0.
8.39 (a) 20,4 MPa; 14,34 MPa.(b) -21,5 MPa; 19,98 MPa.
8.40 -20,2MPa; 2,82MPa.8.41 65,5 MPa; -21,8 MPa; 43,7 MPa.8.42 55,0 MPa; -55,0 MPa; -45"; 45";55,0 MPa.8.45 (a) 18,39 MPa; 0,391 MPa.
(b) 21,3 MPa; 0,293 MPa. (c) 24,1MPa;0.8.46 (a) -798 MPa; 0,391 MPa.
(b) -5,11 MPa; 0,293 MPa. (c) -2,25 MPa; O.8.49 (a) 30,1 MPa; *0,62 MPa; -8,2'; 81,8'.
(á) 15,37 MPa.8.50 (a) 0,12 MPa; -51,4 MPa'2,8':92,8".
(b) 25,8 MPa.8.53 86,5 MPa; 0; 57,0 MPa; 9,47 MPa.8.54 42,2 MPa; 2,83 MPa; 12,74 MPa 0.8.60 (at 6Pl GosBlh - senBlb)lbh. út ïg t(b/h).
8.63 12,20 MPal' -12,20 MPa; 12,20 MPa.8.66 41,2 mm.8.7O -14,98 MPa: 17,29 MPa.8.73 PQR+4rl31lnl .8.76 (a) 7,50 MPa. (b) 11,25 MPa. (c) 56,3'; 13,52 MPa.8.C6 Prob. 8.34: (a) -37,9 MPa; 14,06 MPa.
(b) -131,6 MPa; 0.
CAPíTULO 9
9.1 (a) Y : -rx2(3L - x)/6 EI.(D PL3B Er I. k) PL2/2 Er=\.
9.2 (a) Y = Mof/2 EL@) MoL2/2 Erï. k) MüEr ã..
9.3 (a) y: -wo(f - 5Lax + 4Ls)/l2oEL(D wüL4Bo EI I. G) woLLtz+ at a..
9.4 (a) y : -w (*u - 4L3x + 3L4)/24 EL(D wL4/8 Er J.. k) wL3/6 Er ã..
9.6 (a) y : u) ellf - x4)/24 H.(b) 11wL4B84 EIÌ. G) 51.t)L3/48 EI ã.
9.8 (a) y: w(l2r.f - 5xa - 6L2* - I lx)/r2\EL(b) t3wL4/p208lJ. t r t wL3/ l2O EI\ .
9.9 (a) 2,77 x 10-3 rad S. (b) 1,156 mm J.9.11 (a) y^:0,01604 M0L2/H J e-
". : 0,211 L.
(b) 6,09 m.9.15 (a) y:Mo(f - Lx+ a2)/281.
(D) 3.05 mm l.9.17 (a) y: wo(ru - zti + 5L3x3 - 3L5x)/9oEIL2.
@) woL33o E1T. (c) 6lwú4/5760 EI L9.18 (a) y: -wo(5L2x4 - ui + x6 - 5r4f)/r20nn2.
(b) woLa/ao EI I.I lwol- /401.l lwoL/40Ï.14,44 kN 1.9Mo/8Lï; M6/8 em A; -7Ms/16 próximo à esquerdade C; 9MdI6 próximo à direita de C; 0 em B.5P/16ï; Me : -3PL/16 M, = 5Pl,/32; Mn: 0.4lwL/128I; Me: 0, M^: 0,0513 utL2;Mn: -0,0547 utL2.
9.28 9woIJ640l; M^ = O,OO8L4 wol];Me : -0.0276 w&'.
9.29 7u;L/128f; Bwr4/6wq et 1..9.30 riwL/64f ; wr4nozq u I.9.33 wU2f ; uL2/12\; tt : wL (6xL - 6* - L2)/12.9.34 Pb2(3a + b)/L3Ï; Pab2/L2\: Mt: -Pab2/I];
Mo : 2Pa2b2/ L3; M u : - Pazbl L3.9.35 (a) y: Molr ' -3L\x- a)2
+ (3b2 - IJ)x)/6 EIL.(b) MoQb2 - L2)/6E1rX.(c) Mnab(b - a)/3 EILÏ.
9.36 (a) y: plbx3 - rG - o)t - b(L'- b'?)l/6ErL.(b) pb(Lz - b2)/6E1rs. 1c7 pa2b2/3 ErLL
9.37 (a) y: Pl-f/6 - k - a)3rc + 5a2x/2 - 7a3/21/EI.(b) 5Pa2/2 EI ã . (c) 7 pa3/2 EI L
9.38 (a) y:_Plx3/3 -/ç- a)3te -3ai/21/EI.(b\ 5Pa'/2 EI ã..k) 7Pa3/2 EI L
8.18.28.7
9.219.229.249.25
9.269.27
8.98.108.158.168.228,278.288.298.308.31
8.32
ì
tt
i
9.459.489.499.509.519.529.539.569.579.589.599.629.659.669.679.689.719.729.739.749.799.809.819-829.859.889.899.92
9.41 (a) y : ?oltftzt - (x - uzftz4 - 7L3n/2431/EI.(b) 7wL'/243 El 3.k) 2wL4/243 EI I.
9.42 (a) y: wl-3L2i /16+ t f t tz- (x- Ltz)otz+1tm.(b) 7u)L4/192 Er J..k) 4twL4B84 EI I.(a) 0,873 x 10-3radT. (b) 1,641 mmJ.(a) 9,51 x 10-3 rad X. (b) 5,80 mm J.(a) eMdsLÏ. (b) Mür:/125 Er I.(a) 5P/r6I. (D tpr3trcs u I.(a) 3Ml4Lï. @) |.UoL,tsr2Err.(a) 2P/3 ï. @) Spr't+Se il I.(a) rr,54 kN 1. (b) 4,18 mm .f.(a) 33,3 kN 1. (à) 3,19 mm J.(a) 3Md2LÏ; Mo/4\.(b) MoL/r6 EI ã.(a) 3wL/32Ì;5wr2/1-c/2\. (b) u)L4/768 EI l.1,648 mm J e*, : 2.86 m.5.80 mm J em x : 0.991 m.3Pr:/4 Er à; BPL3/24 Er t.1t)L3/48 EI à; uL4B84 EIÌ.wL3/48 EI\; uL4/384 EI I.l3wa3 / 6 EI \; 29waa /24 EII.(a) pa3(L - a)/6 ErLÌ. @) p"'(zt - a)/6 ErL à..(a) wL4/128 EI I. (b) wL3/i2 EIs,.6,30 X 10-3 rad T; 5,53 mm v.5,56 x l0-3 rad S; 2,50 mm +.(a) 7 wtl t28 ï. @) st wu t2t f ; Swtlt tztS.(a) 4Pl3 ï;PL/3 \ . (b) 2PB I.Ra:2MdLt; rRr : 3M/LI; Rc: MJL| .Re : 3P/8 t; Rc : 7P/8Ì; Ro : P/4 t.121,5 N/m.(a) 5,94 mm J. (a) 6,75 mm J.43,9 kN.(a) 10,86 kN ï ; 1,942 kN.m ì .(b) r,r44 kN 1; 0,286 kN . m J.
Respostas dos Problemas Selecionados 757
9.134 (a) wL3/4BE1s. (b) wr4/D8HI.9.139 (a) 3Mü16 Ers-'. (b) MouB Er 2. (c) Mor:/24 Er I.9.140 (c) 9wL3/256u1x. (b) 7wL3/256Erà.
\c) 5trL4/512 EI 1,.9.142 0.006i7 ?L3/EI em x: 0,433L.9.143 1,511 mm em x:2,81 m.9.147 sPlrcr.9.148 eMlsLï.9.149 7u;Ur28ï.9.15O rrwU4\Ì.9.153 65,3 kN t; 58,7 kN . m em D,. -82,8 kN . m em B.9.155 48 EI/lL3.9.156 144 Ei l r : .9.157 12,75 mm t.9.159 (a) y : (2woLa/n4gl)l-8cos(nx/2L) +
r2f/L2 + 2n(n - 2)x/L + n@ - n)1.(b) 0,1473 r0&3/Er ã.. (c) 0,1089 woÚtU I.
9.160 0,0642 M*L2|EII em.r : 0,57'7 L.9.163 (a) 0,714 x 10-3 rad 2.. (b) 1,071mm. 1.9.164 (a) 3,125 x 10-3 rad t. (Õ) 1,016 mm 1.9.C3 x : 1,6 m: (a) 7,90 x 10-3 rad S, 8,16 mm J;
(D) 6,05 x 10-3 rad S, 5,79 mm J;(c) 1,021 x 10 3 rad S, 0,314 mm J.
9.C5 (á) a -- 1,0 m: 0,293 x 10 3 rad X; 0,4i9 mm*.9.C6 Prob. 9.77: (a) 0,601 x 10-3 rad X. (Õ) 3,67 mm J.9.C7 x:2.5 m:5,31mmJ; x: 5,0m: 12,28mm-.
CAPíTULO 10
10.1 kL.1O.2 r(/L.10.3 ML.10.4 2kLt9.10.5 ka2/21.10.6 d>392mm.10.9 487 N.10.11 1,421.10.12 @) 7,48 mm. (b) 58,8 kN; 84,8 kN.10.19 4,00 kN.10.20 2,27.10.23 (a) 0,500. (b) 28,3 mm; 14,15 mm. ,10.24 657 mm.10.28 2,64 kN; 0,661 kN; 10,57 kN; 5,39 kN; 2,64 kN.10.32 (a) 1,552 mm. (á) 47,8 MPa.10.34 (a) 6,37 mm. (Õ) 68,7 MPa.10.37 (a) 368 kN. (ó) 103,8 Mpa.10.38 (a) 223 kN. (b) 62,8 MPa.10.41 37,2 "C.10.42 5,81 mm.10.45 (a) r89 kN. (b) 229 kN.10.46 (a) r47 kN. (á) 174 kN.10.49 2, t1 m.10.50 1.337 m.10.53 56 mm.10.54 64 mm.10.58 (a) 218 kN. (b) 8s9 kN.10.60 (a) 1568 kN. (á) 633 kN.10.62 (a) 26,4 kN. (à) 32,2 kN.10.64 45,4 kN.10.65 (a) 66,3 kN. (á) 243 kN.10.67 898 kN.10.74 @) a. (b) 3.
9.93 (a) 3r,2 m- J. (r) 17,89 mm t.9.95 (a) PL2/2 Er z-. (b) PL3B Er J.9.96 (al MvL/EI\. (b\ MoL2/2 EII.9.97 (a) 5pa2/2 EIX. (b) 7pa3/2EII.9.98 (a) wL3/6 EI ã. (b) wt4/B nI L9.101 (a) 5,22 x 10 3 rad ã.. (á) 10,88 mm l.9.104 (a) 2,55 x 1O-3 rad ã. (b) 6,25 mm I.9.106 25 Mra2/12 EIÏ; 11 Msa/6 EI5q..9.108 tal 6.10 x l0- j radt . (b) 6.03 mm J.9.109 (a) PL2/rc813.(D PL3/48ErI.9.110 (a) Pa(L- a)/2813.(b) pa(3L2 - +a2)tZ+uJ..9.111 (a) Mo(L - 2a)/2 EI\,. (b) M^(I] - +a2)n u I.9.112 (a) 5?.D&3/L92EIx. (b) wrranZOuI.9.113 (a) wa2(3L - 2a)/12 Er\.
(b) wa2(3IJ - za2)t+t at I.9.114 (a) PrlB2 Er3. (D PL3/n8 Er I.9.117 (a) 5,17 x l0-3radX. (á) 21,0mmJ.9.118 (a) 4,72 x l0-3 rad S. (á) 5,85 mm J.9.119 (a) 4,50 x l0-3 rad X. (b) 8,26 mm l.9.120 3,84 kN/m.9.123 0,211 L.9.124 0,223 L.9.125 (a) 4pL3/243 Er L (b) 4pL2/81 Er3.9.126 (a) 3MoL2/64 Er 1,. (b) 5MoI-/32 EI\.9.127 (a) 5pL3/768 Er !. (b) 3pL2/128 Er 3.9.129 (a) 8,70 x 10-3 rad =S. (b) 15,03 mm J.9.131 1a) 7.48 x l0 3 rad S. 1ó) 5.35 mm J.9.133 (a) Pa(2r + 3a)/6 EI\. (b) Pa2(L + a)B EI I.
758 Resistência dos Materiais
10.76 d: l ,2 l mm.10-77 W250 x 67.10.80 (a) 3O,I mm. (ô) 33,5 mm.10.8íì L89 x 64 x 12,7.10.84 L89 x 64 x 12,7.10.85 (a) 409 kN; 303 kN. (á) 846 kN; 627 kN.10.87 W310 x 74.10.89 35,1 kN.10.90 28,2 kN.10.95 1,016 m.10.96 1,159 m.10.97 5,48 m.10.98 4,81 m.10.103 140 mm.10-104 140 mm.10.105 87,6 mm.10.106 83.9 mm.10.115 l2 mm.10.116 15 mm.'f0.117 n?b2/tztla.10.118 8 K/L.10.121 2,77 kN.10.126 W200 x 46,1.10.C1 r :8mm:9,07kN.
r : 16 mm:70,4 kN.10.C3 h- 5,0m:9819k9.
h : 7,0 m: 13255k9.
CAPíTULO 11
11.2 (a) 21,6 kym3. (b) 323 kllm3. (c) 160,7 Wlm3.11.3 (a) 177,9 kJ/m3. (b) 7l2kJlm3. (c) 160.3 kJ/m3.11.5 (a) 1296 kym3. (b) 90 MJ/m3.11.8 (a) 150 kvm3. (b) 63 MJ/m3.11.10 (a) 12,18 J. (á) 15,83 kJ/m3;38,6 kJ/m3.11.13 13,73 mm.1 1.16 0,24856 PzrJEAnín; -0,575Y".11.18 r ,500 PUEA.11.20 1.398 P2\/EA.11.23 Pa2(a + L)/6 EI. -11.24 tt8@. + b3)/6Err:.11.25 w2L5/40 EI.11.29 1048 J.11.30 662 J.11.33 12,701.11.38 (a) não escoa. (à) escoa.Í1.41 2M'zoL$ + 3 E*/rO Gr])/Ebê.11.42 24,7 mm.11.46 4,76 kg.11.49 2,55 mls.11.50 3,68 m/s.11.52 (a) 15,63 mm. (á) 83,8 N.m. (c) 208 MPa.11.53 (a) 23,6 mm. (á) 64,4 N . m. (c) 157,6 MPa11.55 (b) 7,r2.
11.57 Pa2b2/3 EIL +.11.58 Pa2(a + L)B EI I.11.59 Ms(a3 + b3)/3 Err] s.11.62 3Pa3/4i l I .11.63 5Mür6ErS,1í .64 3Mür6Er\ .11.65 59,8 mm.11.68 11,57 mm J.1i.71 3.375 PUEA--+.11.72 2,375 PUEA ->.11.76 3,19 mm J.11.77 (a) e (b) PÊrc u + pMoI]/2 EI + M2ü2 EL11.79 (a) e(b) trtlgaqr - pMoL2/l6Er + M2ü6EL11.80 h\ 5P2L3/t62EL11.81 (ò 7PL3/248r.11.82 (a) M2ü28r.1 1 .83 PL3/96 Er Ì.11.84 Prj/48 Er ã..11.85 5PL3/48 Er L11.87 Pab (31^a - 2a2 + 2b2)/6 EIL2 \.11.88 MoIl6 EIx.11.89 PaL2/t6 Et Ï.11.90 wr4nzg u Ì.11.92 wL3/192 EI .4_.11.95 7,25 mm L11.98 6,98 x 10-3 rad S.11.101 3,19 mm l .Í 1 .105 irPR3/2 EI J..11.106 (ò pR3/2 EI --+. (b) ítPR3/4 EI +.11.107 5PL3/6 EI -+.11.111 Rs = 3Ms/2LI; Uo : ïM,11.112 Rn : 5P/l6f ; Me = -3 PUl6; Mc: 5 PL/32.11.114 Ro = 3Mob(L + a)/2Úf ; Me : 0'.
Mo: 3Moab(L + a)/2L3; Ml: Mõ - Mo;Mn: ReL - Mo'
11.116 Re : 14 p/2'7 Ì; Mo : 01728 PL;
11.11711.11811.11911.12111.12211.12311.12411.12711.13411.C3
11.C4
11.C5
Mn: -0,1481 PL'P/(I + 2 cos34).3 Pt4.7 P/8.0,583 P2 Pt3.5,08 mm {.256 kJ.136,6 J.14,70 J.(a) L:200mm:h:2,27mm
L:800mm:h:1,076mm.(b) L:440mm:h:3,23mm.a : 300 mm: 1,795 mm, l'79,46MPa;a : 600 tnm: 2,87 mm, 179,59 MPa.a : 2 m: (a) 30,0 I; (b) 7,57 mm, 60,8 J.a : 4 m: (a) 21.,9 J; (b) 8,87 mm, 83,4 J.