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1
Lógica Proposicional
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2
Sintaxe (uma revisão mais formal)
Def.1 Um alfabeto é um conjunto qualquer de símbolos.
Def. 2 Dado um alfabeto , uma palavra (ou cadeia) sobre é uma sequência finita de símbolos de .
Def. 3 Uma linguagem sobre um alfabeto , L(), é um conjunto qualquer de palavras sobre .
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3
Sintaxe (uma revisão mais formal)
Def. 4 Um alfabeto proposicional consiste da união dos seguintes conjuntos de símbolos:
(i) conjunto de símbolos lógicos: pontuação: ( , ) conectivos: ~(negação), &(conjunção), (disjunção), (implicação) e (bi-implicação)
(ii) conjunto de símbolos não-lógicos: conjunto enumerável de símbolos proposicionais
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4
Sintaxe (uma revisão mais formal)
Def. 5 O conjunto das fórmulas proposicionais sobre um alfabeto proposicional é o menor conjunto de palavras sobre satisfazendo as condições:
todo símbolo proposicional P é uma fórmula (fórmula atômica) sobre .
se P e Q são fórmulas sobre , então (~P), (P & Q), (P Q), (P Q) e (P Q) são fórmulas sobre .
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5
Sintaxe (uma revisão mais formal)
Def. 6 Uma fórmula é uma sub-fórmula de uma fórmula se e somente se é ou ocorre em .
Def. 7 Uma linguagem proposicional sobre um alfabeto , L(), é o conjunto das fórmulas proposicionais sobre .
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6
Convenções AdotadasObjeto Sintático Convenção Notacional
Alfabeto Símbolos
Proposicionais P, Q, R, ...Conjuntos de Símbolos
Proposicionais P, Q, R, ... Fórmulas , , , ...
Conjuntos de Fórmulas , , , ... Linguagem
Proposicional L()
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7
Convenção sobre omissão de parênteses
Parênteses mais externos podem ser omitidosEx.: P & Q é (P & Q)
Negação aplica-se à menor fórmula possívelEx.: ~P & Q é ((~P) & Q) e não ~(P & Q)
Conjunção e disjunção aplicam-se à menor fórmula possívelEx.: P & Q R é (P & Q) R e não P & (Q R)
Agrupamento pela direita quando houver repetição de conectivosEx.: P & Q R é (P & (Q R))
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8
Exemplo: Formalizar o problema que segue
Descrição da situação:“Suponhamos que Sócrates estaria disposto a visitar Platão, se Platão estivesse disposto a visitá-lo; e que Platão não estaria disposto a visitar Sócrates, se Sócrates estivesse disposto a visitá-lo, mas estaria disposto a visitar Sócrates, se Sócrates não estivesse disposto a visitá-lo”.
Pergunta: Sócrates está ou não disposto a visitar Platão?
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9
Continuação do Exemplo: Formalização da situação:
Escolhendo um P = {P, Q} com o seguinte significado:P : Sócrates está disposto a visitar Platão.
Q : Platão está disposto a visitar Sócrates. A situação pode ser descrita por:
Sócrates: (Q P)Platão: (P ~Q) & (~P Q)
Então, a pergunta pode ser posta na seguinte forma:{(Q P), (P ~Q) & (~P Q)} |= P ou ?{(Q P), (P ~Q) & (~P Q)} |= ~P
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10
Continuação do Exemplo: Como Provar qual das respostas está correta?
Como a Lógica Proposicional é um sistema formal coerente e completo pode-se provar por Derivação ou por Implicação Lógica.
a) Por derivação (|- ). A partir das premissas deriva-se a resposta certa
{(Q P), (P ~Q) & (~P Q)} |- P ou ?{(Q P), (P ~Q) & (~P Q)} |- ~P
b) Por Implicação Lógica, |= . Pela atribuição de valores lógico, verifica-se qual das respostas é uma implicação lógica
{(Q P), (P ~Q) & (~P Q)} |= P ou ?{(Q P), (P ~Q) & (~P Q)} |= ~P
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Continuação do Exemplo: Como Provar qual das respostas está correta?
{(Q P), (P ~Q) & (~P Q)} |- P
1. Q P P2. (P ~Q) & (~P Q) P3. | ~ P H P/ RAA4. | ~P Q 2 ^E5. | Q 3, 4 MP6. | P 1, 5 MP7. | P ^ ~P 3, 6 ^I8. ~~P 3-7 RAA9. P 8 ~E
Fica provado que “ Sócrates está disposto a visitar Platão” |- ((Q P) & ((P ~Q) & (~P Q))) P
Não Existe uma prova/derivação para ~P (verifique)
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Continuação do Exemplo: Como Provar qual das respostas está correta?
b) Para provar por Implicação Lógica, |=
{(Q P), (P ~Q) & (~P Q)} |= P ou ?{(Q P), (P ~Q) & (~P Q)} |= ~P
E necessário atribuir valores verdade (semântica) às fórmulas, e verificar qual das respostas (conclusão) é uma implicação lógica das premissas.
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13
Semântica da Lógica Proposicional
As fórmulas de uma linguagem proposicional têm como significado os valores-verdade (ou valores-lógicos) VERDADEIRO (V) ou FALSO (F).
Como atribuir um valor-verdade às fórmulas?
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14
Semântica
Def. 8 Seja um alfabeto proposicional e P o conjunto de símbolos proposicionais de . Uma atribuição de valor-verdade para é uma função de atribuição: v : P {V, F}também chamada uma interpretação para .
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Semântica Def. 9 Seja um alfabeto proposicional e v uma
interpretação para .
A função de avaliação para L() induzida por v é a função:
v´: L() {V, F}v´ é definida da seguinte forma:
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Semântica Continuação da Def. 9:
v´(P) = v (P), se P é um símbolo proposicional de
v´(~ ) = V, se v´() = F = F, se v´() = V
v´( & ) = V, se v´() = v´() = V = F, nos outros casos
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Semântica Continuação da Def. 9:
v´( ) = V, se v´() ou v´() = V= F, se v´() = v´() = F
v´( ) = F, se v´() = V e v´() = F = V , nos outros casos
v´( ) = V, se v´() = v´() = F, se v´() v´()
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Tabela da Semântica dos Conectivos Lógicos
P Q ~P P & Q P Q P Q P QV V F V V V VV F F F V F FF V V F V V FF F V F F V V
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Exemplo = (P ~Q) & (~P Q)
P Q ~P ~Q P ~Q ~P Q (P ~Q) &
(~P Q)v 1 V V F F F V Fv 2 V F F V V V Vv 3 F V V F V V Vv 4 F F V V V F F v´() = v´((P ~Q) & (~P Q)) = V a avaliação de , v’ , é Verdadeira para as interpretações 2 e 3.
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20
Semântica Def. 10: ( alfabeto, conjunto de fórmulas e
fórmula).
é verdadeira em uma atribuição de valor-verdade v (interpretação) para sse v () = V
é válida (tautologia) (|= ) sse v () = V ( é verdadeira) para toda interpretação v para
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21
Semântica Def. 10: ( alfabeto, conjunto de fórmulas e fórmula).
uma atribuição de valor-verdade v satisfaz (v é um modelo para v deixa verdadeira) sse para toda , v´() = V (v satisfaz )
é satisfatível (consistente) sse existe uma atribuição de valor-verdade v para que satisfaz .
é insatisfatível (inconsistente) ( | ) sse não for satisfatível.
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22
Semântica Sumário da classificação das fórmulas (Def.
10: )
FÓRMULA
a) VÁLIDA (TAUTOLOGIAS (|= ))
b) INVÁLIDA
b1) SATISFATÍVEL (CONSISTENTE)
b2) INSATISFATÍVEL ( | ) (INCONSISTENTE, CONTADIÇÃO)
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23
Exemplos = ~(~P) P
P ~P ~(~P) ~(~P) Pv 1 V F V Vv 2 F V F V
= {P, P Q}P Q P Q
v 1 V V Vv 2 V F Fv 3 F V Vv 4 F F V
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24
Semântica Def. 11 Seja um alfabeto proposicional, uma fórmula sobre
e um conjunto de fórmulas de L().
é uma consequência lógica (implicação lógica) de ( |= ) se e somente se, para toda atribuição de valor-verdade v, se v satisfaz então v satisfaz .
“Argumento dedutível válido: se as premissas forem verdadeiras, é impossível a conclusão ser falsa”
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25
Exemplo = {P, P Q} e = Q; observe que |=
P Q P Qv 1 V V Vv 2 V F Fv 3 F V Vv 4 F F V
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26
Método de Prova: Tabelas Verdade
Provar que uma fórmula é consequência lógica de um conjunto de fórmulas é um problema decidível.
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27
Tabelas Verdade Procedimento de decisão:
Se é um conjunto finito de fórmulas e é uma fórmula.
então o número de símbolos proposicionais ocorrendo em e é finito (digamos n).
logo, há um número finito de interpretações (atribuições de valor-verdade) distintas para estes símbolos ( = 2n).
Assim, para decidir (provar) |= basta enumerar todas as interpretações e, para cada uma delas que satisfizer , verificar se ela também satisfaz .
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Retornado a questão do nosso Exemplo:Sócrates está ou não disposto a visitar Platão?
A descrição da situação:Sócrates: (Q P)Platão: (P ~Q) & (~P Q)
A pergunta:{(Q P), (P ~Q) & (~P Q)} |= Pou ?{(Q P), (P ~Q) & (~P Q)} |= ~P
A Resposta pode ser obtida pela tabela verdade.
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29
Exemplo A resposta:
P Q ~P ~Q QP P~Q ~PQ (P~Q) &
(~PQ)v 1 V V F F V F V Fv 2 V F F V V V V Vv 3 F V V F F V V Vv 4 F F V V V V F F ou seja, {(Q P), (P ~Q) & (~P Q)} |= P
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30
Teorema da Dedução Teorema 1: (Teorema da Dedução)
Sejam dadas as fórmulas 1 , ... , n e . Então,
{ 1 , ... , n } |= sse |= (1 & ... & n) Consequência Lógica Tautologia
Assim a fórmula (1 & ... & n) é chamada de um teorema, as fórmulas 1 , ... , n são as hipóteses e a fórmula é a conclusão do teorema.
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Teorema da Dedução Teorema 2:
Sejam dadas as fórmulas 1 , ... , n e .Então,
{ 1 , ... , n } |= sse | (1 & ... & n & ~)Consequência Lógica Contradição
Provar que uma fórmula é consequência lógica de um conjunto de fórmulas é equivalente a provar que a fórmula (& ~ ) é insatisfatível. Esse tipo de prova é chamada Prova por Refutação.
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Equivalência Lógica Def. 12 é tautologicamente equivalente a
( |=| ) sse toda fórmula de for consequência lógica de e vice-versa.
Se e são finitos: = {1 , ... , n} e = {1 , ... , m},
e são tautologicamente equivalentes sse
(1 & ... & n) (1 & ... & m) for uma tautologia, ou seja:
|=| sse |= (1 & ... & n) (1 & ... & m)
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Equivalência Lógica Pares de fórmulas (A e B) tautologicamente
equivalentes (“leis” da lógica):
A B associatividade
comutatividade distributividade “
eliminação da dupla negação
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Equivalência Lógica Continuação “leis” da lógica:
A B Implicação
Material “ Lei De Morgan “
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35
Equivalência Lógica Continuação “leis” da lógica:
Considere as seguintes representações dos valores verdade V = ▪ e F =
A B Lei da Identidade▪ “▪ ▪ Lei do Valor
Predominante “
▪
““
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Formas Normais Def. 13 Se 1 , ... , n são fórmulas, então a
fórmula 1 & ... & n é chamada a conjunção de 1 , ... , n e a fórmula 1 ... n é chamada a disjunção de 1 , ... , n .
Def. 14 Um literal é uma fórmula atômica ou a negação de uma fórmula atômica.
Def. 15 Uma fórmula é dita estar na forma normal conjuntiva se e somente se a tem a forma 1 & ... & n , n 1, onde cada i , i n, é uma disjunção de literais.
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37
Formas Normais Def. 16 Uma fórmula é dita estar na
forma normal disjuntiva se e somente se tem a forma 1 ... n, n 1, onde cada i , i n, é uma conjunção de literais.
Toda fórmula pode ser transformada para uma forma normal.
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38
Algoritmo para obtenção da Forma Normal
Passo 1: Usar as “leis”:
para eliminar os conectivos e
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39
Algoritmo para obtenção da Forma Normal
Passo 2: Usar repetidamente a “lei”:
e as “leis” de De Morgan:
para colocar o símbolo de negação imedia-tamente antes das fórmulas atômicas.
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Algoritmo para obtenção da Forma Normal
Passo 3 Usar repetidamente as “leis”:
e as outras “leis” para obter a forma normal.
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Forma Normal Exemplo: Obter a Forma Normal Conjuntiva de
(P ^ (Q → R) ) → S= ~(P ^ (~Q v R) ) v S= (~P v ~(~Q v R) ) v S= (~P v (Q ^ ~R) ) v S= ((~P v Q) ^ (~P v ~R) ) v S= (S v ~P v Q) ^(S v ~P v ~ R)
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Forma Normal Exemplo: Obter a Forma Normal Disjuntiva
de (P ^ (Q → R) ) → S= ~(P ^ (~Q v R) ) v S= (~P v ~(~Q v R) ) v S= (~P v (Q ^ ~R) ) v S= ~P v (Q ^ ~R) v S
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Forma Normal Exemplo: Use as Formas Normais para provar a tautologia
Modus Ponens. |= ( (P → Q) ^ P ) → Q
= ~( (~P v Q) ^ P) ) v Q= (~ (~P v Q) v ~P) ) v Q= ((P ^ ~Q) v ~P ) v Q= ((P v ~P) ^ (~Q v ~P)) v Q= ( ▪ ^ (~Q v ~P)) v Q= (~Q v ~P) v Q= (~Q v Q) v ~P= ▪ v ~P= ▪
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Exemplo de um Problema: Síntese Química
Descrição da situação: Supor que podemos realizar as seguintes
reações químicas: MgO + H2 –> Mg + H2O C + O2 –> CO2 CO2 + H2O –> H2CO3
Supor ainda que temos alguma quantidade de MgO, H2, O2 e C.
Queremos mostrar que podemos obter H2CO3.
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Exemplo de um Problema: Síntese Química
Formalização do problema:
considerar MgO, H2, O2 , C, Mg, H2O e H2CO3 fórmulas atômicas
representar as reações químicas pelas fórmulas: 1 : (MgO & H2) (Mg & H2O) 2 : (C & O2) CO2 3 : (CO2 & H2O) H2CO3
representar o fato de ter MgO, H2, O2 e C pelas fórmulas atômicas: 4 : MgO 5 : H2 6 : O2 7 : C
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Exemplo de um Problema: Síntese Química
Resolver a Questão é verificar a seguinte implicação Lógica:
{ 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 } |= H2CO3 ?
que pode ser também colocado como: | 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & ~ H2CO3
?
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Exemplo de um Problema: Síntese Química
Poderíamos resolver esse problema através do método da tabela da verdade. No entanto, vamos mostrar um outro método que também utiliza as Formas Normais: Método da Multiplicação.
Método da Multiplicação: Numa forma disjuntiva, qualquer conjunção contendo um par complementar (P e ~P) é removida.
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1 & ........ & 7 & ~H2CO3 = ((MgO & H2) (Mg & H2O) &((C & O2) CO2) &((CO2 & H2O) H2CO3) &MgO & H2 & O2 & C & ~ H2CO3
|=| (~MgO ~H2 Mg) & (~MgO ~H2 H2O) & (~C ~O2 CO2) &(~CO2 ~H2O H2CO3) &MgO & H2 & O2 & C & ~H2CO3
|=| (~MgO ~H2 Mg) & (~MgO ~H2 H2O) &MgO & H2 & (~C ~ O2 CO2) & C & O2 &(~CO2 ~ H2O H2CO3) & ~ H2CO3
|=| Mg & H2O & MgO & H2 & CO2 & C & O2 &(~CO2 ~H2O) & ~H2CO3
|=| (~CO2 ~H2O) & H2O & CO2 & Mg &MgO & H2 & C & O2 & ~H2CO3
|=| & Mg & MgO & H2 & C & O2 & ~H2CO3
|=| .
onde representa uma fórmula do tipo ( & ~) que é sempre inconsistente