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1) A viga de madeira tem seção transversal retangular de
base b e altura 3b. Supondo L = 3 m, determinar a dimensão b, de modo
que ela atinja simultaneamente sua tensão de flexão admissível
adm = 9 MPa e uma tensão de cisalhamento adm = 0,3 MPa. Além disso,
qual carga máxima P ela suportará nessas condições?
Solução:
A tensão normal numa seção transversal de uma viga é: cI
Mmax
max
I= momento de inércia da seção (no caso, um retângulo). O centróide da seção situa-se no centro da
altura. Na questão, o momento máximo, Mmax, ocorre no apoio. Com os dados fornecidos na questão:
2
b3
2
hc
4
b9
12
)b3(bI
P3000LPM
43
max
Assim: )1(2000
b9P
2
b3
4
b9
P30009c
I
Mc
I
M3
4
max
adm
max
max
A tensão de cisalhamento numa seção transversal de uma viga é: bI
QVmax
max
Na questão, o cortante máximo, Vmax, ocorre no apoio. Com os dados fornecidos na questão:
8
b9
4
b3
2
b3b
4
h
2
hbQ
PV
3
max
Assim: )2(b5
3P
b4
b9
8
b9P
3,0bI
QV
bI
QV2
4
3
max
adm
max
max
Das equações (1) e (2), temos que:
N10666)3,133(5
3b
5
3P
mm3,133bb5
3
2000
b9
22
2
3
Resposta: A dimensão b deve ser de b=133,3 mm e uma força
P = 10,66 kN.
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2) Um tubo de aço com diâmetro externo de d1 = 64 mm transmite 120 kW
quando gira a 2700 rpm. Determinar o diâmetro interno d2 do tubo, em
milímetros inteiros, se a tensão de cisalhamento admissível for
max = 70 MPa.
Solução:
A relação entre potência e velocidade é:
PTTP
Assim, a tensão de cisalhamento máxima é:
4
max
14
12
max
14
1
4
2
max
1
4
1
4
2
max
1
4
2
4
1
4
2
4
1
1
4
2
4
1
1
t
1
max
2
dP32dd
2
dP32dd
2
dP
32
d
32
d
2
dP
32
d
32
d
32
d
32
d2
dP
32
d
32
d2
dP
J2
dT
Como temos:
d1= 64 mm
P= 120 kW = 120×106 N.mm/s
= 2700 rpm = 2700 × (2 rad) / (60s)
max= 70 MPa = 70 N/mm2
Então:
mm03,62
7060
227002
64101203264
2
dP32dd
4
6
44
max
14
12
Resposta: O diâmetro interno d2 do tubo deve ser de 62 mm.
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3) Calcule o alongamento de um tubo de comprimento de 5,0 m, quando
sujeito a uma tensão de tração de 225 MPa. O material desse tubo é visto
no diagrama tensão versus deformação abaixo. Calcule, também, os
módulos de elasticidade, resiliência e tenacidade desse material. (M P a )
(% o )
2 5 0
1 ,5
2 0 0
2 ,5 1 0 Solução:
Módulo de Elasticidade
GPa3,133MPa1333330015,0
200tgE
Módulo de Resiliência
MPa15,02
2000015,0u
r
Módulo de Tenacidade
MPa25,2250)0025,0010,0(2502002
)0015,00025,0(
2
2000015,0u
t
Na tensão de 225 MPa, o diagrama nos mostra que:
mm10
mm50000020,0LL
0020,02
)0015,00025,0(
Resposta: O alongamento do tubo de 5 m é de 10,0 mm. Os Módulos de
Elasticidade, Resiliência e Tenacidade são: 133 GPa, 0,150 MPa e 2,25
MPa, respectivamente.
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4) Os três arames de aço A-36 têm, cada um, diâmetro de 2 mm e
comprimento (sem carga) de LAC = 1,6 m e LAB = 2,00 m. Determinar a
força em cada arame depois que a massa de 150 kg for suspensa pelo anel
em A.
Solução:
P
FAB
FAD
FAC
AC
Sabendo que:
ADABFF
8,0)(sen
P=150×9,80665 N
Equilíbrio de forças em y no nó A:
)1(F6,1PF
PF)(senF)(senF
ABAC
ACADAB
Compatibilidade
)2(EA
6,1F6,12,1
EA
2F2
6,12,12
2
AC2
2
AB
2
AC
22
AB
Resolvendo as equações 1 e 2 simultaneamente temos:
N185,465FF
N701,726F
ADAB
AC
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5) Uma coluna de aço A-36 (E=200 GPa) é usada para apoiar as cargas
simétricas de dois pisos de um edifício. Determinar o deslocamento
vertical de seu topo A se P1= 178 kN, P2= 276 kN e a coluna tem área da
seção transversal de 150 cm2.
Solução:
Dados:
a) Esforços normais:
NAB = –2P1 = –2×178 kN = –356 kN
NBC = –2P1–2P2 = –2×178 kN –2×276 kN = –908 kN
b) Comprimentos:
LAB = LBC = 3,66 m = 3660 mm
c) Módulos de Elasticidade:
EAB = EBC = 200 GPa = 200 kN/mm2
d) Áreas das seções transversais:
AAB = ABC = 150 cm2 = 15000 mm
2
Assim:
mm54208,115000200
3660908
15000200
3660356
AE
LN
AE
LN
AE
LN
AC
BCBC
BCBC
ABAB
ABAB
BCABAC
n
1i ii
ii
Resposta: O deslocamento vertical de seu topo A é 1,54 mm
(encurtamento).
3,66 m
3,66 m
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6) Calcule os momentos de inércia em relação ao eixo y (vertical) que
passa pelos centróides das seções transversais vistas nas figuras abaixo.
Solução:
Adotando a origem dos eixos x e y no canto inferior esquerdo de cada seção:
Seção (a)
mm17,51
302702)20015(
15)30270(2100)20015(x
a
4
a
2
3
2
3
a
mm45510700I
)1517,51()30270(12
302702)17,51100()20015(
12
20015I
Seção (b)
mm6538,78
152402)20030(
5,7)15240(2100)20030(x
b
4
b
2
3
2
3
b
mm63761700I
)5,76538,78()15240(12
152402)6538,78100()20030(
12
20030I
Resposta: Os momentos de inércia em relação ao eixo y que passa pelo
centróide das seções a e b são: 4551,07 cm4 e 6376,17 cm
4,
respectivamente.
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7) Uma viga de madeira tem seção transversal “T” como vista na figura
abaixo. Determinar o maior momento fletor, Mmax, e a maior força cortante,
Vmax, que a viga pode suportar se o material da viga tem a sua tensão de
flexão admissível adm = 20 MPa e tensão de cisalhamento admissível
adm = 2 MPa.
Vmax=?
200 mm
150 mm
75 mm
75 mm
50 mm
Mmax=?
Solução:
Centro de gravidade da seção transversal tomando como base inferior como referência:
mm368,222y)200200()15050(
250)200200(75)15050(y
Momento de Inércia:
4
x
2
3
2
3
x
mm 340816886I
)250y()200200(12
200200)75y()15050(
12
15050I
Momento estático acima (que é igual abaixo) da linha neutra:
3
mm16289822
368,222350368,222350200Q
Momento estático abaixo (que é igual acima) da ligação mesa-alma:
N8,308351105263
250340816886
Q
bIV
bI
QV
mm.N30653353222,368
20340816886
y
IMy
I
M
mm 110526375368,222)15050(Q
admx
max
x
max
admx
max
x
max
3
Resposta: Maior momento fletor, Mmax=30,6 kN.m, e maior força cortante,
Vmax=30,8 kN.