1) a viga de madeira tem seção transversal retangular de b · a tensão normal numa seção...

Ucdb – Engenharia Civil e ESA Resistência dos Materiais I Exame – Modelo

www.profwillian.com 1 26/06/2017

1) A viga de madeira tem seção transversal retangular de

base b e altura 3b. Supondo L = 3 m, determinar a dimensão b, de modo

que ela atinja simultaneamente sua tensão de flexão admissível

adm = 9 MPa e uma tensão de cisalhamento adm = 0,3 MPa. Além disso,

qual carga máxima P ela suportará nessas condições?

Solução:

A tensão normal numa seção transversal de uma viga é: cI

Mmax

max

I= momento de inércia da seção (no caso, um retângulo). O centróide da seção situa-se no centro da

altura. Na questão, o momento máximo, Mmax, ocorre no apoio. Com os dados fornecidos na questão:

2

b3

2

hc

4

b9

12

)b3(bI

P3000LPM

43

max

Assim: )1(2000

b9P

2

b3

4

b9

P30009c

I

Mc

I

M3

4

max

adm

max

max

A tensão de cisalhamento numa seção transversal de uma viga é: bI

QVmax

max

Na questão, o cortante máximo, Vmax, ocorre no apoio. Com os dados fornecidos na questão:

8

b9

4

b3

2

b3b

4

h

2

hbQ

PV

3

max

Assim: )2(b5

3P

b4

b9

8

b9P

3,0bI

QV

bI

QV2

4

3

max

adm

max

max

Das equações (1) e (2), temos que:

N10666)3,133(5

3b

5

3P

mm3,133bb5

3

2000

b9

22

2

3

Resposta: A dimensão b deve ser de b=133,3 mm e uma força

P = 10,66 kN.



2) Um tubo de aço com diâmetro externo de d1 = 64 mm transmite 120 kW

quando gira a 2700 rpm. Determinar o diâmetro interno d2 do tubo, em

milímetros inteiros, se a tensão de cisalhamento admissível for

max = 70 MPa.

Solução:

A relação entre potência e velocidade é:

PTTP

Assim, a tensão de cisalhamento máxima é:

4

max

14

12

max

14

1

4

2

max

1

4

1

4

2

max

1

4

2

4

1

4

2

4

1

1

4

2

4

1

1

t

1

max

2

dP32dd

2

dP32dd

2

dP

32

d

32

d

2

dP

32

d

32

d

32

d

32

d2

dP

32

d

32

d2

dP

J2

dT

Como temos:

d1= 64 mm

P= 120 kW = 120×106 N.mm/s

= 2700 rpm = 2700 × (2 rad) / (60s)

max= 70 MPa = 70 N/mm2

Então:

mm03,62

7060

227002

64101203264

2

dP32dd

4

6

44

max

14

12

Resposta: O diâmetro interno d2 do tubo deve ser de 62 mm.



3) Calcule o alongamento de um tubo de comprimento de 5,0 m, quando

sujeito a uma tensão de tração de 225 MPa. O material desse tubo é visto

no diagrama tensão versus deformação abaixo. Calcule, também, os

módulos de elasticidade, resiliência e tenacidade desse material. (M P a )

(% o )

2 5 0

1 ,5

2 0 0

2 ,5 1 0 Solução:

Módulo de Elasticidade

GPa3,133MPa1333330015,0

200tgE

Módulo de Resiliência

MPa15,02

2000015,0u

r

Módulo de Tenacidade

MPa25,2250)0025,0010,0(2502002

)0015,00025,0(

2

2000015,0u

t

Na tensão de 225 MPa, o diagrama nos mostra que:

mm10

mm50000020,0LL

0020,02

)0015,00025,0(

Resposta: O alongamento do tubo de 5 m é de 10,0 mm. Os Módulos de

Elasticidade, Resiliência e Tenacidade são: 133 GPa, 0,150 MPa e 2,25

MPa, respectivamente.



4) Os três arames de aço A-36 têm, cada um, diâmetro de 2 mm e

comprimento (sem carga) de LAC = 1,6 m e LAB = 2,00 m. Determinar a

força em cada arame depois que a massa de 150 kg for suspensa pelo anel

em A.

Solução:

P

FAB

FAD

FAC

AC

Sabendo que:

ADABFF

8,0)(sen

P=150×9,80665 N

Equilíbrio de forças em y no nó A:

)1(F6,1PF

PF)(senF)(senF

ABAC

ACADAB

Compatibilidade

)2(EA

6,1F6,12,1

EA

2F2

6,12,12

2

AC2

2

AB

2

AC

22

AB

Resolvendo as equações 1 e 2 simultaneamente temos:

N185,465FF

N701,726F

ADAB

AC



5) Uma coluna de aço A-36 (E=200 GPa) é usada para apoiar as cargas

simétricas de dois pisos de um edifício. Determinar o deslocamento

vertical de seu topo A se P1= 178 kN, P2= 276 kN e a coluna tem área da

seção transversal de 150 cm2.

Solução:

Dados:

a) Esforços normais:

NAB = –2P1 = –2×178 kN = –356 kN

NBC = –2P1–2P2 = –2×178 kN –2×276 kN = –908 kN

b) Comprimentos:

LAB = LBC = 3,66 m = 3660 mm

c) Módulos de Elasticidade:

EAB = EBC = 200 GPa = 200 kN/mm2

d) Áreas das seções transversais:

AAB = ABC = 150 cm2 = 15000 mm

2

Assim:

mm54208,115000200

3660908

15000200

3660356

AE

LN

AE

LN

AE

LN

AC

BCBC

BCBC

ABAB

ABAB

BCABAC

n

1i ii

ii

Resposta: O deslocamento vertical de seu topo A é 1,54 mm

(encurtamento).

3,66 m

3,66 m



6) Calcule os momentos de inércia em relação ao eixo y (vertical) que

passa pelos centróides das seções transversais vistas nas figuras abaixo.

Solução:

Adotando a origem dos eixos x e y no canto inferior esquerdo de cada seção:

Seção (a)

mm17,51

302702)20015(

15)30270(2100)20015(x

a

4

a

2

3

2

3

a

mm45510700I

)1517,51()30270(12

302702)17,51100()20015(

12

20015I

Seção (b)

mm6538,78

152402)20030(

5,7)15240(2100)20030(x

b

4

b

2

3

2

3

b

mm63761700I

)5,76538,78()15240(12

152402)6538,78100()20030(

12

20030I

Resposta: Os momentos de inércia em relação ao eixo y que passa pelo

centróide das seções a e b são: 4551,07 cm4 e 6376,17 cm

4,

respectivamente.



7) Uma viga de madeira tem seção transversal “T” como vista na figura

abaixo. Determinar o maior momento fletor, Mmax, e a maior força cortante,

Vmax, que a viga pode suportar se o material da viga tem a sua tensão de

flexão admissível adm = 20 MPa e tensão de cisalhamento admissível

adm = 2 MPa.

Vmax=?

200 mm

150 mm

75 mm

75 mm

50 mm

Mmax=?

Solução:

Centro de gravidade da seção transversal tomando como base inferior como referência:

mm368,222y)200200()15050(

250)200200(75)15050(y

Momento de Inércia:

4

x

2

3

2

3

x

mm 340816886I

)250y()200200(12

200200)75y()15050(

12

15050I

Momento estático acima (que é igual abaixo) da linha neutra:

3

mm16289822

368,222350368,222350200Q

Momento estático abaixo (que é igual acima) da ligação mesa-alma:

N8,308351105263

250340816886

Q

bIV

bI

QV

mm.N30653353222,368

20340816886

y

IMy

I

M

mm 110526375368,222)15050(Q

admx

max

x

max

admx

max

x

max

3

Resposta: Maior momento fletor, Mmax=30,6 kN.m, e maior força cortante,

Vmax=30,8 kN.

1) a viga de madeira tem seção transversal retangular de b · a tensão normal numa seção...

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