Download - 04-Cinemática - Lançamento Obliquo
47Capítulo 4
CINEMÁTICA VETORIAL
1. Introdução
A cinemática vetorial pode descrever quaisquer movimentos,independentemente de conhecer-se previamente as trajetórias.
As grandezas vetoriais não podem ser confundidas com asescalares, que possuem conotação distinta. Devemos fazerum esforço para visualizar as questões propostas a seguir demaneira “espacial”, para que, com a adição das ferramentasmatemáticas, o entendimento seja completo.
2. Movimento balístico
Neste tipo de movimento, podemos analisar lançamentosoblíquos e horizontais de corpos sob a ação da gravidade.
Consideremos, inicialmente, o lançamento oblíquo a seguir:
48Capítulo 4
No gráfico, vemos um corpo P, lançado com velocidade ini-cial v0
→, que faz com a horizontal um ângulo θ, chamado ângu-
lo de tiro. Para facilitar o estudo do movimento de P ao longoda trajetória, utilizamos a análise das projeções do movimentonos eixos x e y, sendo desprezada a resistência do ar.
O ponto P sofre a ação da aceleração da gravidade g→ . Noeixo x, a projeção de g→ é nula; logo, o movimento de P noeixo x é Retilíneo e Uniforme (MRU). No eixo y temos a açãode g→ , que é �g (usando convencionalmente a orientação doeixo y para cima); assim, o movimento de P é Retilíneo Uni-formemente Variado (MRUV).
x � v0x � t e y � v0y � t �
g t� 2
2
Para calcular a velocidade em qualquer instante, devemosconsiderar que a componente horizontal da velocidade doponto P é constante e vale:
vx � v0 � cos θ
A componente vertical da velocidade do ponto P variacom o tempo, conforme a equação:
vy � v0y � g � t
Podemos também escrever a equação de Torricelli para omovimento de P no eixo y:
vy2 � v0y
2 � 2g � �y
Das fórmulas anteriores, obtém-se a equação da trajetória,que é:
y � tg θ � x �
g
vx
2 02 2
2
� cos θ
49Capítulo 4
A equação da trajetória é de segundo grau em x e, portan-to, a trajetória é uma parábola.
A velocidade em um ponto qualquer é obtida com a apli-cação do teorema de Pitágoras:
O tempo de subida equivale ao intervalo de tempo decor-rido desde o instante do lançamento até o instante em que omóvel atinge o vértice da parábola. Neste instante, a compo-nente vertical da velocidade é nula; logo, podemos concluir:
0 � v0 � sen θ � g � tPortanto:
t
v sengs �
�0 θ
O tempo de descida é igual ao de subida; assim, o tempototal é:
t
v sengT ��2 0 θ
v2 v vx
2y2� �
50Capítulo 4
A altura máxima h é obtidapor meio da equação deTorricelli aplicada ao movi-mento vertical de P, e permitecalcular h admitindo-se vy � 0quando �y igual a h.
Assim:
0 � v0y2 � 2g � h ⇒
⇒ v02 � sen2 θ � 2g � h ⇒
h
v seng
�� �0
2 2
2
O alcance horizontal é obtido pela função horária do movi-mento horizontal de P, quando o tempo é igual ao tempo total:
a
v seng
�� �0
2 2
O alcance máximo é obtido sabendo-se que o ângulo detiro máximo é θ � 45°. Então, o alcance máximo é dado por:
a
vgmáx � 0
2
Nessas condições, a altura máxima atingida é obtida por:
h
vg
ou ha
� �02
4máx
4
No caso do lançamento horizontal, o ângulo de tiro é nuloe, portanto, v0x � v0 e v0y � 0.
Orientando o eixo y para baixo, temos:
51Capítulo 4
Exemplos
a) Um avião voa horizontalmente
com velocidade de 110 ms
a
1.500 m de altitude. Num certoinstante, o piloto lança um paco-te de alimentos e remédios. Dado
g � 10 ms2
, determine:
1) o instante, a partir do lança-mento, em que o pacote atingeo solo;
2) a que distância da vertical em que o pacote foi lançado ele atingeo solo;
3) a velocidade com que o pacote atinge o solo.
Solução
a.1) No instante em que o pacote atinge o solo, y � 1.500 m.
y �12
� gt2 ⇒ 1.500 � 5t2 ⇒ t �17,32 s
a.2) x � v0 � t ⇒ x � 110 � 17,32 ⇒ x � 1.905,3 m
a.3) Ao atingir o solo a velocidade resultante é v0 � 110 m/s e avelocidade vertical vy:
vy � g � t ⇒ vy � 10 � 17,32 � 173,2 ms
v2 � v02 � vy
2 ⇒ v2 � 1102 � 173,22 ⇒ v � 205,2 ms
x � v0 � t
y
g t�
� 2
2
vy� g � t
52Capítulo 4
b) Um corpo é lançado obliquamente no vácuo, com velocidade ini-
cial de módulo 50 ms
. O ângulo de tiro é de 60°. Considerando
g � 10 ms2
, determine:
1) as componentes vertical e horizontal da velocidade inicial e omódulo da velocidade;
2) as funções horárias do movimento na horizontal e na vertical;
3) a equação da trajetória;
4) a altura máxima e o alcance horizontal;
5) o tempo total até o corpo atingir o solo.
Solução
b.1) vx � v0 � cos θ ⇒ vx � 50 � 0,5 ⇒ vx � 25 ms
vy � v0 � sen θ ⇒ vy � 50 � 0,866 ⇒ vy � 43,3 ms
v2 � 252 � 43,32 ⇒ v2 � 625 � 1.874,9 ⇒
⇒ v2 � 2.499,9 ⇒ v � 50 ms
b.2) Na horizontal o movimento é uniforme, logo:
x � vx � t ⇒ x � 25t
Na vertical temos MUV, logo:
y � v0y � t � 12
αt2 ⇒ y � 43,3t � 5t2
b.3) Eliminaremos t das equações horárias do item anteriorpara obter a equação da trajetória, logo:
t x
�25 ;
y x x
� � �43 325
525
2
, ⎛⎝
⎞⎠ ⇒ y � 1,73x � x2
125
b.4) Altura máxima:
h
v seng
��0
2 2
2θ ⇒
h �
�50 0 7520
2 , ⇒ h � 93,7 m
53Capítulo 4
Alcance horizontal:
a
v seng
��0
2 2θ ⇒ a �
�50 0 86610
2 , ⇒ a = 216,5 m
b.5) t
v sengT ��2 0 θ
⇒ tT �
� �2 50 0 86610
, ⇒ tT � 8,66 s
1. (Unesp-SP) A escada rolante que liga a plataforma de uma estaçãosubterrânea de metrô ao nível da rua move-se com velocidade
constante de 0,80 ms
.
a) Sabendo-se que a escada tem uma inclinação de 30o em rela-ção à horizontal, determine, com o auxílio dos dados abaixo, acomponente vertical de sua velocidade.
Dados: sen 30o � 0,50, sen 60o � 0,867, cos 30o � 0,867 e cos60o � 0,500.
b) Sabendo-se que o tempo necessário para que um passageiroseja transportado pela escada do nível da plataforma ao nívelda rua é de 30 segundos, determine a que profundidade se en-contra o nível da plataforma em relação ao nível da rua.
2. (UECE) Aline anda 40 m para o leste e certa distância X para onorte, de tal forma que fica afastada 50 m do ponto de partida. Adistância percorrida para o norte foi de:a) 20 m b) 30 m c) 35 m d) 40 m
3. (UF Uberaba-MG) Uma bola é chutada segundo uma direção queforma um ângulo de 45o com a horizontal. Desprezando-se a re-sistência do ar, no ponto mais alto que a bola atinge, a intensida-de de:a) sua velocidade é zero;b) sua aceleração é zero;c) sua velocidade é mínima, mas diferente de zero;d) sua aceleração é mínima, mas diferente de zero;e) n.d.a.
54Capítulo 4
b) e)
c)
4. (UFGO) Uma esfera rola sobre uma mesa horizontal, abandona-acom velocidade inicial V0 e toca o solo após 1 s. Sabendo-se quea distância horizontal percorrida pela bola é igual à altura da
mesa, a velocidade V0, considerando-se g � 10 ms2
, é de:
a) 1,25 ms
c) 20,00 ms
e) 2,50 ms
b) 10,00 ms
d) 5,00 ms
5. Quais das figuras propostas representa a trajetória percorrida pelabola depois de deixar a mesa?
a) d)
6. (Fuvest-SP) Adote g � 10ms2 . Uma pessoa sentada num trem,
que se desloca numa trajetória retilínea a 20 ms
, lança umabola verticalmente para cima e a pega de volta no mesmo níveldo lançamento. A bola atinge uma altura máxima de 0,80 m emrelação a este nível. Ache:
a) o valor da velocidade da bola, em relação ao solo, quando elaatinge a altura máxima;
b) o tempo durante o qual a bola permance no ar.