DOMINIOS DE AMPLIFICACAO PARAMETRICA PARA O MOVIMENTO

DE BALANCO EM ONDAS DE UM NAVIO PORTA-CONTENTOR

Vinicius Lopes Vileti

Projeto Final apresentado a Escola Politecnica

da Universidade Federal do Rio de Janeiro,

como parte dos requisitos necessarios a

obtencao do tıtulo de Engenheiro em

Engenharia Naval e Oceanica.

Orientadores: Marcelo de Almeida Santos

Neves

Claudio Alexis Rodrıguez

Castillo

Rio de Janeiro

Agosto de 2014

a

Dedico esse trabalho a minha

famılia.

Em especial ao meu Pai, por

todo carinho, incentivo e

dedicacao na tarefa de me

mostrar o que e importante.

“The basic law of ocean waves is

the apparent lack of any law”

“A lei basica das ondas no

oceano e a aparente ausencia de

leis”

(Lord Rayleigh)

Agradecimentos

Agradeco aos professores Marcelo Neves e Claudio Rodrıguez pela paciencia e

acompanhamento durante todo o trabalho desenvolvido.

Agradeco aos amigos do LabOceano pelo apoio e incentivo em todos os momen-

tos. E por me ajudarem a entender qual o meu papel como cidadao e Engenheiro

Naval.

b

Resumo do Projeto Final apresentado a Escola Politecnica da UFRJ como parte dos

requisitos necessarios para a obtencao do grau de Engenheiro em Engenharia Naval

e Oceanica

DOMINIOS DE AMPLIFICACAO PARAMETRICA PARA O MOVIMENTO

DE BALANCO EM ONDAS DE UM NAVIO PORTA-CONTENTOR

Vinicius Lopes Vileti

Agosto/2014

Orientadores: Marcelo de Almeida Santos Neves

Claudio Alexis Rodrıguez Castillo

Departamento: Engenharia Naval e Oceanica

O objetivo do trabalho e investigar o balanco parametrico de um navio em ondas

a traves da variacao sistematica dos parametros de onda, aproamento e velocidade de

avanco. A metodologia a ser aplicada consiste na aplicacao de um modelo numerico

nao linear de simulacao de movimentos do navio em ondas para o caso de um navio

porta-contentor tıpico. Resultados experimentais de testes com um porta-contentor

sob condicoes de ressonancia parametrica serao usados para verificar e calibrar o

modelo numerico. Posteriormente, sera implementada a automatizacao dos dados

de entrada e das simulacoes numericas que permitira a variacao sistematica dos

parametros de onda, aproamento e velocidade de avanco do navio. Finalmente,

a partir da automatizacao das simulacoes numericas serao obtidos os domınios de

amplificacao parametrica do balanco do navio.

c

i

DOMÍNIOS DE AMPLIFICAÇÃO PARAMÉTRICA PARA

O MOVIMENTO DE BALANÇO EM ONDAS DE UM NAVIO PORTA-CONTENTOR

Vinicius Lopes Vileti PROJETO DE GRADUAÇÃO SUBMETIDO AO CORPO DOCENTE DO CURSO DE ENGENHARIA NAVAL E OCEÂNICA DA ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE ENGENHEIRO NAVAL E OCEÂNICO Autor:

_________________________________________________ Vinicius Lopes Vileti

Orientador:

_________________________________________________ Prof. Marcelo de Almeida Santos Neves

Co-Orientador:

_________________________________________________ Prof. Claudio Alexis Rodríguez Castillo

Examinador:

_________________________________________________ Prof. Paulo de Tarso Themistocles Esperança

Examinador:

_________________________________________________ D.Sc. Mauro Costa de Oliveira

Rio de Janeiro – RJ, Brasil

Agosto de 2014

Sumario

Lista de Figuras f

Lista de Tabelas i

1 Introducao 1

1.1 Breve nota historica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

2 Descricao teorica 6

2.1 Sistemas dinamicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.1.1 Equacao da dinamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.1.2 Sistemas lineares X Sistemas nao-lineares . . . . . . . . . . . . 8

2.1.3 Estabilidade dinamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.1.4 Linearizacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.1.5 Conclusoes Parciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.2 Dinamica de embarcacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2.1 Estabilidade estatica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2.2 Equacoes do movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.2.3 Estabilidade dinamica em ondas longitudinais . . . . . . . . . 15

2.2.4 A ressonancia parametrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.2.5 Modificacoes das equacoes de movimento . . . . . . . . . . . . 17

2.2.6 Resultados da literatura - Diagramas de Estabilidade . . . . . 24

2.2.7 Conclusoes Parciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3 Aplicacao de Ferramenta Numerica 28

3.1 Desenvolvimento do programa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.1.1 Correcao das excitacoes devido a influencia de velocidade (WA-

MIT) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.1.2 Response Amplitude Operator (RAO) . . . . . . . . . . . . . 32

4 Analises e Resultados 33

4.1 Verificacao das Acoes Hidrodinamicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.2 Ajuste dos Coeficientes de Massa Adicional e Amortecimento de Roll 33

d

SUMARIO e

4.3 Verificacao do Comportamento Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4.4 Simulacoes nao-lineares no domınio do tempo . . . . . . . . . . . . . 34

4.5 Obtencao dos limites de estabilidade com metodos de ajuste polinomial 36

4.5.1 Comparacao com trabalhos anteriores . . . . . . . . . . . . . . 36

4.5.2 Avaliacao da Variacao Sistematica dos Parametros . . . . . . . 38

5 Conclusoes 47

Referencias Bibliograficas 48

I Apendice 49

A Banco de Dados de Coeficientes Hidrodinamicos 50

A.1 Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

A.2 Dados do Navio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

A.3 Conteudo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

A.4 Comparacoes de RAO’s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

A.5 Comparacoes dos coeficientes Hidrostaticos . . . . . . . . . . . . . . . 56

A.6 Coeficientes Hidrodinamicos para ROLL . . . . . . . . . . . . . . . . 57

A.6.1 Massas adicionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

A.6.2 Amortecimentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

A.6.3 Series Temporais - Comparacao entre coeficientes . . . . . . . 61

A.7 Comparacoes com o Benchmark . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

A.7.1 Massas Adicionais e Amortecimentos . . . . . . . . . . . . . . 67

A.7.2 Forcas e Momentos de Excitacao . . . . . . . . . . . . . . . . 87

A.8 Coeficientes Hidrodinamicos para Variacao do Aproamento . . . . . . 93

A.8.1 Massas Adicionais e Amortecimentos . . . . . . . . . . . . . . 93

A.8.2 Forcas e Momentos de Excitacao . . . . . . . . . . . . . . . . 113

B Diagramas de Estabilidade - Variando Amplitude de Onda e Frequencia

de Onda 137

B.1 Aproamento: 180 graus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

B.2 Aproamento: 175 graus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

B.3 Aproamento: 170 graus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

B.4 Aproamento: 165 graus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

C Diagramas de Estabilidade - Variando Amplitude de Onda e Velo-

cidade da Embarcacao 154

C.1 Aproamento: 180 graus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

Lista de Figuras

1.1 Foto do navio Porta-Conteiner APL China depois do incidente. . . . . 2

1.2 Foto do navio Porta-Conteiner MAERSK Carolina depois do incidente. 3

1.3 Serie temporal do movimento de roll registrada a bordo do navio

PCTC Aida. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.4 Foto do navio Porta-Conteiner Ville d’Orion depois do incidente. . . . 4

1.5 Imagens dos tipos de plataformas cilındricas que foram simuladas/ensaiadas 5

2.1 Sistema Massa-Mola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.2 Estabilidade segundo Savi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.3 Equilıbrio de um corpo qualquer [1]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.4 Intercecao entre a superfıcie livre gerada pela onda e o casco. Fonte:Shin,

et al . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.5 Variacao da curva de restauracao com a passagem da onda. Fonte:ABS,

2004. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.6 Diagrama de Ince-Strutt. (Fonte: Belenky et al . . . . . . . . . . . . 18

2.7 Limites de estabilidade do navio pesqueiro TS. Fonte: Neves, Perez

e Valerio, 1998. [2]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.8 Limites de estabilidade do navio pesqueiro TS. Aproximacao analıtica.

Fonte: Neves, Rodrıguez, 2006[3]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.9 Limites de estabilidade do navio pesqueiro TS. Modelo nao-linear

de 3aordem desacoplado, com coeficientes analıticos. Fonte: Neves,

Rodrıguez, 2006[4]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.10 Limites de estabilidade do navio pesqueiro TS. Modelo nao-linear

de 3aordem acoplado, com coeficientes analıticos. Fonte: Neves,

Rodrıguez, 2006[4]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

4.1 Comparacoes da influencia de coeficientes de massa adicional na res-

posta do sistema - Usando amortecimentos IKEDA corrigidos . . . . 34

4.2 Comparacoes da influencia de coeficientes de amortecimento na res-

posta do sistema - Usando massa adicional do WAMIT . . . . . . . . 35

f

LISTA DE FIGURAS g

4.3 Diagramas de estabilidade calculados utilizando a formulacao analıtica

(Esquerda) e utilizando o metodo de ajuste polinomial (Direita) . . . 36

4.4 Diagramas de estabilidade calculados utilizando a formulacao analıtica

(Esquerda) e utilizando o metodo de ajuste polinomial (Direita) . . . 36

4.5 Aproamento variando [Ksi = 180, 175, 170, 165] e Numero de Froude

constante [Fn = 0.00] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4.6 Aproamento variando [Ksi = 180, 175, 170, 165] e Numero de Froude

constante [Fn = 0.04] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.7 Aproamento variando [Ksi = 180, 175, 170, 165] e Numero de Froude

constante [Fn = 0.08] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4.8 Aproamento variando [Ksi = 180, 175, 170, 165] e Numero de Froude

constante [Fn = 0.12] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4.9 Aproamento constante [Ksi = 180] e Numero de Froude variando [Fn

= 0.00, 0.04, 0.08, 0.12] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

4.10 Aproamento constante [Ksi = 180] e Numero de Froude variando [Fn

= 0.00, 0.04, 0.08, 0.12] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4.11 Aproamento constante [Ksi = 180] e Numero de Froude variando [Fn

= 0.00, 0.04, 0.08, 0.12] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

4.12 Aproamento constante [Ksi = 180] e Numero de Froude variando [Fn

= 0.00, 0.04, 0.08, 0.12] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.13 Aproamento constante [Ksi = 180] e Numero de Froude variando [Fn

= 0.00, 0.04, 0.08, 0.12] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

A.1 Dados do navio utilizado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

A.2 Comparacao entre Massas adicionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

A.3 Amortecimento calculado pelo metodo de IKEDA (Corrigido pelo

efeito de sustentacao) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

A.4 Comparacoes entre coeficientes de amortecimento - Usando massa

adicional do WAMIT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

A.5 Comparacoes entre coeficientes de amortecimento - Usando massa

adicional extraıda do decaimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

A.6 Comparacoes entre coeficientes de massa adicional - Usando amorte-

cimentos IKEDA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

A.7 Comparacoes entre coeficientes de massa adicional - Usando amorte-

cimentos IKEDA corrigidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

A.8 Comparacoes entre coeficientes de massa adicional - Usando amorte-

cimentos IKEDA experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

A.9 Comparacao de coeficientes de amortecimento no decaimento . . . . . 66

B.1 Aproamento de 180graus, Fn = 0.00 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

LISTA DE FIGURAS h

B.2 Aproamento de 180 graus, Fn = 0.04 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

B.3 Aproamento de 180 graus, Fn = 0.08 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

B.4 Aproamento de 180 graus, Fn = 0.12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

B.5 Aproamento de 175 graus, Fn = 0.00 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

B.6 Aproamento de 175 graus, Fn = 0.04 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

B.7 Aproamento de 175 graus, Fn = 0.08 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

B.8 Aproamento de 175 graus, Fn = 0.12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

B.9 Aproamento de 170 graus, Fn = 0.00 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

B.10 Aproamento de 170 graus, Fn = 0.04 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

B.11 Aproamento de 170 graus, Fn = 0.08 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

B.12 Aproamento de 170 graus, Fn = 0.12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

B.13 Aproamento de 165 graus, Fn = 0.00 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

B.14 Aproamento de 165 graus, Fn = 0.04 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

B.15 Aproamento de 165 graus, Fn = 0.08 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

B.16 Aproamento de 165graus, Fn = 0.12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

C.1 Aproamento de 180graus, Variando a Velocidade . . . . . . . . . . . . 155

Lista de Tabelas

2.1 Coeficientes de Restauracao Hidrostaticos - (1aOrdem) . . . . . . . . 21

2.2 Coeficientes de Restauracao Hidrostaticos - (2aOrdem) . . . . . . . . 21

2.3 Coeficientes de Restauracao Hidrostaticos - (3aOrdem) . . . . . . . . 21

2.4 Coeficientes de Restauracao Hidrostaticos devido a passagem da onda

- (2aOrdem) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.5 Coeficientes de Restauracao Hidrostaticos devido a passagem da onda

- (3aOrdem) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

A.1 Comparacao entre Coeficientes Hidrostaticos . . . . . . . . . . . . . . 56

A.2 Comparacao entre Massas adicionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

A.3 Amortecimento extraıdo do decaimento . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

A.4 Amortecimento calculado pelo metodo de IKEDA . . . . . . . . . . . 58

A.5 Tabela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

i

Nomenclatura

x Segunda derivada da posicao

� Angulo de Fase da resposta, em relacao a excitacao

A0 Amplitude do movimento oscilatorio

F0 Amplitude de oscilacao da forca de excitacao

k Coeficiente linear de elasticidade da mola

m Massa

t Tempo

w Frequencia de oscilacao

x Posicao

APL Grande operadora de navios porta-conteineres. Operauma das maiores frotas do mundo

CMA-CGM Grande grupo de operadores de navios porta-conteiner

Cruzeiros Navio especializado no transporte de passageiros

dsstab Programa desenvolvido em projeto conjunto entre aUFRJ e a PUC que calcula coeficientes de restauracaoe excitacao de um casco

MAERSK Grande grupo de operadores em transportes marıtimos

Mono-Colunas Plataformas do tipo FPSO com secao horizontal circular

Movimento de Heave Movimentacao linear dinamica da embarcacao no seueixo vertical

Movimento de Pitch Movimentacao angular dinamica da embarcacao emtorno do seu eixo transversal

Movimento de Roll Movimentacao angular dinamica da embarcacao emtorno do seu eixo longitudinal

Movimento de Surge Movimentacao linear dinamica da embarcacao no seueixo longitudinal

PCTC Navio do tipo “Pure Car/Truck Carrier” tipicamente uti-lizado para transporte de carros/caminhoes

Porta-Conteiner Navio que transporta carga armazenada em conteineres

RAO Response Amplitude Operator

Sintonia Razao entre a frequencia de encontro e a frequencia na-tural em roll da embarcacao

Sistema Massa-Mola Modelacao mais simples de um sistema dinamico

SPAR Plataforma com uma estrutura que contem um unicocorpo cilındrico

Viga-Navio Abstracao de se considerar que a estrutura global do na-vio se comporta como uma viga

WAMIT Programa que, utilizando teoria potencial, calcula coefi-cientes hidrodinamicos de um dado casco

j

Capıtulo 1

Introducao

1.1 Breve nota historica

Ha tempos observa-se pequenas embarcacoes apresentando grandes amplitudes

de movimento de jogo(ou Roll), quando sob excitacao de ondas em mares de proa

ou de popa.

Porem, nao se sabia exatamente a origem desse efeito, tendo em vista que, nessas

condicoes, a embarcacao e excitada principalmente em outros modos (predominan-

temente surge, heave e pitch), nao excitada diretamente em Roll.

Os acidentes eram frequentemente associados a outros fatores e nao haviam ferra-

mentas e conhecimento suficiente para que o fenomeno fosse corretamente avaliado.

Os avancos em dinamica nao-linear de embarcacoes tornaram possıvel a com-

preensao desse fenomeno que e essencialmente nao linear e ficou conhecido como

ressonancia parametrica.

Ainda hoje, tem-se pouco registro de incidentes que foram comprovadamente

influenciados pelo fenomeno.

Estudos foram realizados com navios pesqueiros (Neves, Perez e Valerio[2], Ne-

ves, Perez e Lorca[5]) e muito descobriu-se a respeito do fenomeno. Um modelo

matematico foi desenvolvido de forma a representar caracterısticas relevantes a essa

dinamica particular (Neves e Rodrıguez[6]).

Recentemente alguns acidentes ocorreram com embarcacoes de diferentes tipos

como PCTC’s, Porta-Conteineres e Navios Cruzeiros. Esses acidentes tem chamado

a atencao da comunidade internacional para o problema. Alguns desses estao mos-

trados abaixo:

1

APL China

No final de 1998, um acidente marıtimo configurou um dos maiores prejuızos

ja vistos na comunidade marıtima internacional. O Porta-Conteiner APL China

(5.316 TEU) enfrentou uma tempestade causada pelo tufao conhecido como “Babs”.

Aproximadamente 400 conteineres foram lancados ao mar e outros 1000 danificados,

somando um prejuızo em torno de 100 milhoes de dolares.

Figura 1.1: Foto do navio Porta-Conteiner APL China depois do incidente.

2

MAERSK Carolina

Em 2003 (S.M. Carmel [7]]) um Porta-Conteiner PANAMAX da MAERSK en-

controu uma tempestade no Atlantico Norte, partindo do porto Algeciras na Espa-

nha em direcao ao porto Halifax no Canada.

O navio (MAERSK Carolina) foi exposto a ondas de ate 10m de altura e ventos

fortes. Submetido a essa condicao de carregamento ambiental particularmente vio-

lenta, o navio assumiu amplitudes de roll acima de 47 graus. Nesse incidente 133

conteineres foram perdidos e mais 50 sofreram grandes danos somando prejuızos

acima de 4 milhoes de dolares. A estrutura viga-navio tambem foi avariada.

Figura 1.2: Foto do navio Porta-Conteiner MAERSK Carolina depois do incidente.

3

PCTC M/V Aida

Em 2004 (M. Palmquist and C. Nygren, [8]), um PCTC foi exposto a um mar

de proa com ondas de ate 6m de altura, adquirindo amplitudes de roll de 17 graus.

Series temporais foram registradas a bordo e estao mostradas abaixo.

Figura 1.3: Serie temporal do movimento de roll registrada a bordo do navio PCTCAida.

Ville d’Orion

Em 2005, o Porta-Conteiner Ville d’Orion da empresa CMA-CGM chegou ao

porto TraPac de Los Angeles com 69 conteineres avariados (nenhum foi perdido no

mar). Nesse caso, os danos a estrutura do navio foram pequenos.

Figura 1.4: Foto do navio Porta-Conteiner Ville d’Orion depois do incidente.

4

Plataformas Cilındricas

Foram conduzidos testes no Laboratorio de Tecnologia Oceanica - COPPE/UFRJ

em cilindros verticais, com intuito de analisar o desenvolvimento do fenomeno de

Ressonancia Parametrica em plataformas de secoes cilındricas como SPAR’s e Mono-

Colunas[9].

O modelo matematico nao-linear de terceira ordem desenvolvido (por Neves e

Rodrıguez[4]), foi utilizado para entender o fenomeno, comparando os resultados

numericos com os testes experimentais realizados.

Os experimentos e analises numericas mostraram que formas cilındricas tambem

estao sujeitas ao desenvolvimento do fenomeno de Ressonancia Parametrica que sera

abordado nas secoes seguintes.

Figura 1.5: Imagens dos tipos de plataformas cilındricas que foram simula-das/ensaiadas

Estudos mostram que medidas corretivas a bordo, como por exemplo fixar melhor

os conteineres (no caso de um navio porta-conteiner) nao sao suficientes para resolver

o problema.

Sendo assim, o fenomeno de Ressonancia Parametrica deve ser analisado e en-

tendido, para que acidentes como os mostrados acima sejam evitados.

5

Capıtulo 2

Descricao teorica

2.1 Sistemas dinamicos

2.1.1 Equacao da dinamica

O modelo de um sistema dinamico surge com a necessidade de simplificar siste-

mas complexos para que dessa forma possam ser estudados.

O modelo mais simples de um sistema dinamico e o de uma massa oscilando sob

a acao da forca restauradora de uma mola linear (a restauracao varia linearmente

com a elongacao) .

Sem amortecimento e sem excitacao externa

Figura 2.1: Sistema Massa-Mola

Nesse sistema, onde so a inercia da massa esta presente (a da mola e desconsi-

derada), e a unica forca presente e a de restauracao da mola, a equacao que modela

6

matematicamente o sistema e uma equacao diferencial linear de segunda ordem,

como a seguir:

mx+ kx = 0 (2.1)

Com solucao do tipo:

x(t) = A0 · cos(wt+ �) (2.2)

onde w0 e a frequencia desse movimento, e A0 e a amplitude do movimento

oscilatorio resultante:

w0 =

rk

m

Sem amortecimento e com excitacao externa

Considerando agora que o sistema seja excitado por uma forca oscilatoria harmonica,

o sistema sera modelado pela seguinte equacao:

mx+ kx = F0 · cos(wt) (2.3)

e apresentara uma resposta da seguinte forma:

x(t) = A0 · cos(wt+ �) (2.4)

onde � e a fase entre a forca excitatriz e o movimento de resposta.

Para essa situacao a frequencia de resposta e igual a de excitacao e a fase e nula

(ou ⇡) . A amplitude de resposta e deduzida pela equacao abaixo:

A0 =F0

�mw

2 + k

(2.5)

Com amortecimento e sem excitacao externa

Sabemos que na natureza nao existem sistemas ideais. Alguns podem ate ser

simplificados como ideais, mas na realidade tem algum tipo de amortecimento. A

equacao da dinamica descrita acima, incluindo agora o efeito do amortecimento fica:

mx+ bx+ kx = 0 (2.6)

Considerando o efeito do amortecimento, temos entao a frequencia de resposta

como:

7

w = � k

2m± i

rk

m

�⇣

c

2m

⌘2(2.7)

Na concepcao de sistemas pouco amortecidos, como sao os casos da dinamica

de embarcacoes, e sem forca excitatriz a frequencia de resposta e igual a mostrada

abaixo:

w

a

=

rk

m

�⇣

c

2m

⌘2(2.8)

Com amortecimento e com excitacao externa

Considerando agora que o sistema amortecido seja excitado por uma forca osci-

latoria harmonica:

mx+ bx+ kx = F0 · cos(wt) (2.9)

o sistema apresentara uma resposta da seguinte forma:

x(t) = A0 · cos(wt� �) (2.10)

onde � seria a fase entre a forca e a resposta, A0 a amplitude dessa resposta e w

a frequencia de resposta.

A amplitude e a fase do movimento resultante podem ser encontrados pelas

equacoes abaixo:

A0 =F0p

(�mw

2 + k)2 + (bw)2(2.11)

� = arctan

✓bw

�mw

2 + k

◆(2.12)

2.1.2 Sistemas lineares X Sistemas nao-lineares

Um sistema modelado matematicamente pode ser classificado de acordo com sua

linearidade (linear ou nao-linear).

O conceito de linearidade pressupoe o princıpio da superposicao de efeitos, ou

seja, um efeito poderia ser analizado/avaliado a partir da superposicao de varios

efeitos previamente conhecidos. Um exemplo e a utilizacao da soma de varias ondas

regulares como representacao aproximada do mar real irregular.

Em um sistema linear esse princıpio pode ser utilizado como forma de ferramenta

de modelacao e analise. O mesmo nao pode ser feito quando os sistemas sao nao-

lineares.

8

E importante notar que na natureza nao existem sistemas completamente linea-

res. Ela e essencialmente nao-linear.

2.1.3 Estabilidade dinamica

A solucao de um problema pode ser classificada de acordo com sua estabilidade.

Do ponto de vista dinamico a estabilidade e classificada de acordo com seu compor-

tamento quando sofre uma pequena perturbacao.

Segundo Savi [10], a estabilidade pode ser classificada de quatro formas:

1. Equilıbrio estavel: Configuracao caracterizada pelo retorno do sistema a

sua posicao inicial apos aplicacao de uma dada perturbacao.

2. Equilıbrio instavel: Configuracao de equilıbrio onde o sistema, apos sofrer

uma dada perturbacao, nao volta a sua posicao inicial.

3. Equilıbrio meta-estavel: Condicao de equilıbrio onde, dependendo da mag-

nitude da perturbacao, o sistema voltara a sua posicao inicial ou encontrara

outra posicao de equilıbrio, mais estavel que a inicial.

4. Equilıbrio neutro ou indiferente: Condicao onde, apos a aplicacao de uma

perturbacao, o sistema nao volta a sua posicao inicial de equilıbrio, e assume

como equilıbrio sua nova posicao.

Figura 2.2: Estabilidade segundo Savi.

2.1.4 Linearizacao

Utiliza-se a Linearizacao como forma de se avaliar a estabilidade de solucoes. O

que se faz e a linearizacao do sistema em torno de uma solucao que ja se conhece.

Faz-se uma mudanca de variaveis: x = �(t) + ⌘, onde ⌘ e a perturbacao da

solucao.

9

Usando a expansao em series de Taylor para escrever a funcao com a mudanca

de variaveis feita temos:

f(x) = f(�(t) + ⌘) = f(�(t)) + [Df(�(t))|⌘=0]⌘ + . . . (2.13)

Tomando apenas a parte linear da expansao, por isso o nome linearizacao, ficamos

com:

x = �(t) + ⌘ = f(�(t)) + [Df(�(t))|⌘=0]⌘ (2.14)

Como �(t) e uma solucao do sistema, temos que: �(t) = f(�(t)). Chega-se entao

ao sistema linearizado:

⌘ = [Df(�(t))|⌘=0]⌘ (2.15)

Deve-se observar que para ⌘ = 0 a solucao fica:

x = �(t) (2.16)

Conclui-se que, se para ⌘ = 0 o sistema for estavel, o sistema “original”(antes de

ser linearizado) e tambem estavel.

Vale notar que esse procedimento depende da avaliacao da jacobiana do sistema,

que varia com o tempo: Df(�(t))|⌘=0

Esse procedimento so trara resultados confiaveis se a solucao nao variar com o

tempo. Ou seja:

x = �(t) = x (2.17)

Assim pode-se avaliar a estabilidade do sistema linearizando o sistema em torno

de um ponto de equilıbrio conhecido.

“Define-se um ponto de equilıbrio ou

ponto fixo de um sistema dinamico

como sendo o ponto em que o sistema

permanece estacionario na medida em

que o tempo evolui”(Savi [10])

2.1.5 Conclusoes Parciais

As caracterısticas e procedimentos teoricos mostrados nessa secao tambem se

aplicam e/ou servem de objeto de estudo e avaliacao para problemas envolvendo o

movimento de embarcacoes sob acao das ondas, que serao estudados mais adiante,

pois estes tambem possuem caracterısticas de sistemas dinamicos.

10

2.2 Dinamica de embarcacoes

Muitas forcas excitam o sistema, mas para a modelacao do problema proposto

consideraremos apenas:

• As forcas resultantes da interacao casco-fluido.

• As forcas gravitacionais agindo no navio, sua carga, consumıveis, equipamen-

tos a bordo, etc. Todos representados pela massa total do navio, seu centro

geometrico e suas inercias de massa.

2.2.1 Estabilidade estatica

Uma embarcacao esta em equilıbrio quando o somatorio de todas as forcas e

momentos sobre ela e nula. Foi descoberto por Arquimedes que, para um corpo

flutuante em equilıbrio, o volume de fluido deslocado e proporcional ao peso do

corpo:

r / ~

P (2.18)

onde a constante de proporcionalidade da relacao e o peso especıfico ( � ) do

fluido. Desenvolvendo ficamos com:

m~g = ⇢gr (2.19)

Como as unicas forcas (consideradas) presentes sao o Peso e a reacao do fluido

(Empuxo), no equilıbrio estatico:

~

E = ~

P (2.20)

)

~

E = ⇢gr = m~g (2.21)

Como vimos acima o empuxo e proporcional ao volume de fluido deslocado. Mas

o centro geometrico onde pode-se considerar que ele esteja concentrado (centro de

carena) coincide com o centro geometrico do volume da parte submersa do corpo.

E o centro geometrico onde pode-se considerar que toda a massa esteja concen-

trada (centro gravitacional) pode ser calculado fazendo-se uma soma ponderada das

massas, incluindo a massa do navio.

C

G

=

Pc

G

·mM

! para x, y ou z (2.22)

11

M =X

m (2.23)

No equilıbrio, o empuxo e igual ao peso em magnitude e seus centros geometricos

estao alinhados verticalmente, ou seja, coincidem se forem “rebatidos” no plano de

flutuacao.

Figura 2.3: Equilıbrio de um corpo qualquer [1].

Quando se trata de embarcacoes, ha (obviamente) uma grande preocupacao para

que ela nao emborque, e seja estavel no que diz respeito a sua posicao de equilıbrio

desejada.

Quando a embarcacao gira e assume uma posicao inclinada (banda), o centro de

carena se movimenta, e se nao houver movimentacao de massas a bordo o centro de

gravidade se mantem na mesma posicao.

O centro de carena (CB

), para pequenas inclinacoes assume uma trajetoria curva,

onde o centro dessa trajetoria e chamado de metacentro (M).

A distancia entre o centro de carena e o metacentro pode ser obtida pela equacao

abaixo:

BM =I

xx

r ! onde I

xx

e a inercia do plano de flutuacao (2.24)

e r e o volume submerso. (2.25)

O raio metacentrico e o centro de gravidade definem o nıvel de estabilidade de

uma determinada embarcacao. Isso pode ser resumido pela equacao abaixo:

BM +KB = GM +KG (2.26)

Onde:

• BM e o raio metacentrico.

12

• KB e a distancia vertical entre a quilha e o centro de carena.

• GM e a altura metacentrica.

• KG e a distancia vertical entre a quilha e o centro de gravidade.

A altura metacentrica define a estabilidade inicial. Se for positiva: estavel,

senao: instavel. Logicamente e requisitado um valor positivo mınimo para o GM

por medidas de seguranca.

13

2.2.2 Equacoes do movimento

As equacoes classicas de movimento do navio, desacopladas, nos seis graus de liber-

dade sao mostradas abaixo:

(mij

+ A

ij

)⌘j

+B

ij

⌘

j

+ C

ij

⌘

j

= F

j

(t) ! para i,j: 1. . . 6 (2.27)

onde:

m

ij

- Matriz de massa do navio

A

ij

- Matriz de massa adicional do navio

B

ij

- Matriz de amortecimento do navio

C

ij

- Matriz de Restauracao do navio

F

j

(t) - Forcas Excitatrizes

⌘

j

- Deslocamentos (Translacionais e Angulares)

As matrizes sao mostradas a seguir: (Referencial no centro de gravidade)

m

ij

=

2

6666666664

m 0 0 0 0 0

0 m 0 0 0 0

0 0 m 0 0 0

0 0 0 I

xx

0 �I

zx

0 0 0 0 I

yy

0

0 0 0 �I

xz

0 I

zz

3

7777777775

(2.28)

Onde m e a massa do navio, Ixx

e a inercia de massa do navio em torno do eixo

longitudinal, Iyy

e a inercia do navio em torno do eixo transversal, Izz

e a inercia do

navio em torno do eixo vertical e Ixz

= I

zx

sao os produtos de inercia de massa entre

os eixos longitudinal e vertical, sendo nulos se a distribuicao de massa do navio for

simetrica tambem em relacao ao eixo transversal.

A

ij

=

2

6666666664

A11 0 A13 0 A15 0

0 A22 0 A24 0 A26

A31 0 A33 0 A35 0

0 A42 0 A44 0 A46

A51 0 A53 0 A55 0

0 A62 0 A64 0 A66

3

7777777775

B

ij

=

2

6666666664

B11 0 B13 0 B15 0

0 B22 0 B24 0 B26

B31 0 B33 0 B35 0

0 B42 0 B44 0 B46

B51 0 B53 0 B55 0

0 B62 0 B64 0 B66

3

7777777775

(2.29)

14

Os termos “A” sao relativos a energia despendida pelo navio acelerando a massa

de fluido a sua volta. E os termos “B” representam as forcas de origem potencial e

viscosa do fluido transmitidas ao casco.

C

ij

=

2

6666666664

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 C33 0 C35 0

0 0 0 C44 0 0

0 0 C53 0 C55 0

0 0 0 0 0 0

3

7777777775

Os termos “C” representam as reacoes hidrostaticas do fluido sobre o casco.

A frequencia de resposta se dara na frequencia de encontro que pode ser obtida

pela equacao abaixo:

w

e

= w � w

2

g

V cos( ) (2.30)

onde w e a frequencia da onda, V e a velocidade do navio e e o angulo de

aproamento do navio em relacao a onda.

A solucao desse tipo de equacao para forcas de excitacao harmonicas (como e o

caso de uma onda regular), foi mostrada na secao 1.1 .

2.2.3 Estabilidade dinamica em ondas longitudinais

Quando um navio encontra ondas regulares (hipotese assumida) a configuracao

da intersecao entre a superfıcie da onda e a superfıcie do casco (que chamarei aqui de

linha d’agua instantanea) varia com o tempo. Essa superfıcie influencia diretamente,

como ja vimos anteriormente para o navio em condicao de calado paralelo, o nıvel

de restauracao da embarcacao, ou seja, sua estabilidade.

Figura 2.4: Intercecao entre a superfıcie livre gerada pela onda e o casco. Fonte:Shin,et al .

Essa variacao da linha d’agua instantanea assume valores maximos e mınimos

15

de area de forma oscilatoria. E como vimos, a area de linha d’agua esta diretamente

associada a inercia de area de linha dagua, que esta diretamente associada a esta-

bilidade. Nesse caso: “Estabilidade Dinamica”, que e muito afetada quando o

casco tem formas muito variantes.

A linha d’agua instantanea tem seu valor maximo de area quando o cavado esta

proximo da meia nau e suas cristas proximas da proa e da popa, e seu valor mınimo

na situacao inversa. Como pode ser visto abaixo:

Abaixo esta mostrada uma figura que ilustra como a curva de restauracao (GZ

versus �, onde GZ e o braco de endireitamento e � e o angulo de banda) varia com

a passagem da onda.

Figura 2.5: Variacao da curva de restauracao com a passagem da onda. Fonte:ABS,2004.

2.2.4 A ressonancia parametrica

A variacao periodica da estabilidade da origem a uma excitacao interna, indireta.

A essa excitacao da-se o nome de excitacao parametrica.

Essa variacao da estabilidade se da no modo de roll e, atingindo-se algumas

configuracoes, pode-se desenvolver um movimento crescente nesse modo, como um

“disturbio” causado por essa excitacao interna.

Algumas condicoes importantes, lembrando que tudo depende tambem de carac-

terısticas geometricas do casco, estao listadas a seguir:

• L

W

' Lpp; Onde L

W

e o comprimento da onda e Lpp o comprimento entre

perpendiculares do navio.

• w

e

' 2w4n

; Onde w

e

e a frequencia de encontro e w4n

e a frequencia natural

de roll do navio.

• Flare: inclinicao do casco na regiao da intercecao entre a linha d’agua ins-

tantanea e o casco.

16

• A

w

: Amplitude de onda suficiente para provocar grande variacao na area de

linha d’agua instantanea.

• E necessario uma perturbacao inicial para que o fenomeno se desenvolva.

2.2.5 Modificacoes das equacoes de movimento

Assumindo que a equacao de roll e desacoplada das demais temos:

(Jxx

+K

�

)�+K

�

�+K

�

(t)� = 0 (2.31)

As informacoes relativas a variacao, no tempo, da restauracao devido a passagem

da onda estao contidas no coeficiente �(t).

Equacao de Mathieu sem amortecimento

Como foi visto anteriormente caracterısticas de restauracao variam com a passa-

gem da onda. Entao, para que o modelo matematico aborde esse aspecto defini-se

o termo da equacao correspondente a restauracao como uma constante mais uma

funcao periodica. Ficamos com:

K

�

(t) = K

�

+ E1 · cos(!e

t) (2.32)

Onde K

�

e o coeficiente linear da equacao de roll e E1 a amplitude de variacao

provocada pela passagem da onda.

Faz-se entao uma mudanca de variaveis:

!

2n4 =

K

�

(Jxx

+K

�

); p =

!

2n4

!

2e

; q =E1

(Jxx

+K

�

)!2e

; ⌧ = !

e

t (2.33)

E ficamos com:

d

2�

d⌧

2+ (p+ qcos(⌧))� = 0 (2.34)

Essa equacao e conhecida como equacao de Mathieu. Sua solucao depende dos

termos p e q. Uma das formas mais conhecidas de representar as solucoes esta

mostrada abaixo: (diagrama de Ince-Strutt)

No grafico acima, as areas em cinza sao as regioes estaveis, e as regioes em branco

sao as regioes instaveis. Como vemos, a primeira e pior regiao de instabilidade e a

primeira, pois para pequenos valores de q a instabilidade ja ocorreria. Em p=0.25

(primeira regiao de instabilidade) temos:

17

Figura 2.6: Diagrama de Ince-Strutt. (Fonte: Belenky et al, 2003[? ])

p =!

2n4

!

2e

= 0.25 ) !

n4

!

e

= 0.5 ) !

e

= 2 · !n4 (2.35)

Concluımos entao que as piores condicoes, ou seja, as condicoes mais favoraveis

para que o fenomeno ocorra, em termos de estado de mar, e quando a configuracao

de frequencia de onda, aproamento e velocidade geram uma frequencia de encontro

no dobro do valor da frequencia natural de jogo. As maiores amplificacoes devido

ao fenomeno seriam encontradas em torno dessa sintonia.

Equacao de Mathieu com amortecimento

Podemos incorporar o amortecimento (linear), de forma a melhor aproximar o

modelo matematico da situacao real. Incluindo o termo K

�

· � mas com a mudanca

de variaveis fica:

d

2�

d⌧

2+ µ

d�

d⌧

+ (p+ qcos(⌧))� = 0 (2.36)

onde:

µ =K

�

(Jxx

+K

�

)!e

(2.37)

Na figura mostrada acima podemos ver que a incorporacao do amortecimento

na equacao de Mathieu eleva as fronteiras de instabilidade. Com esse modelo ma-

tematico pode-se analisar qualitativamente o desenvolvimento de roll parametrico.

Mas nao se pode dizer qual o valor maximo de roll que seria atingido, por exemplo.

O amortecimento em roll e conhecidamente nao-linear. Entao, para aproximar

18

melhor do amortecimento atuante no sistema, inclui-se um termo de amortecimento

de segunda ordem. A equacao fica:

(Jxx

+K

�

)�+K

�

�+K

�|�|�|�|+ [K�

+ E1 · cos(!e

t)]� = 0 (2.38)

Equacao de Mathieu-Du�ng

A restauracao desenvolvida ate agora e valida somente para pequenos angulos,

pois e baseada na variacao da altura metacentrica. Quando se atinge angulos mai-

ores aparecem efeitos nao lineares. Uma forma comumente utilizada de incorporar

esses efeitos nao lineares na restauracao e adicionar um termo de terceira ordem

dependente somente do angulo de roll:

1

6K

���

�

3 (2.39)

assim a equacao completa fica:

(Jxx

+K

�

)�+K

�

�+K

�|�|�|�|+ [K�

+ E1 · cos(!e

t)]�+1

6K

���

�

3 = 0 (2.40)

Obs: Os termos K�

e K���

sao obtidos da curva de restauracao da embarcacao.

Essa equacao e conhecida como a equacao de Mathieu-Du�ng.

19

Modelacao nao-linear de 3a ordem

Ensaios experimentais demonstram que ha um acoplamento forte entre os mo-

vimentos de heave e pitch com o movimento de roll. Esses aspectos podem ser

observados quando se analisa as respostas de heave e pitch antes, durante e depois

do desenvolvimento do roll parametrico. O modelo proposto por Rodrıguez (2004)

[11], abrange esses efeitos por acoplar os movimentos verticais (heave e pitch) com o

movimento de roll. As equacoes acopladas propostas por Rodrıguez estao mostradas

abaixo:

(m+ Z

z

)z + Z

z

z + Z

✓

✓ + Z

✓

✓ + Z

z

z + Z

✓

✓ +1

2Z

zz

z

2 +1

2Z

��

�

2 +1

2Z

✓✓

✓

2 + Z

z✓

z✓

+1

6Z

zzz

z

3 +1

2Z

zz✓

z

2✓ +

1

2Z

��z

�

2z +

1

2Z

��✓

�

2✓ +

1

2Z

✓✓z

✓

2z +

1

6Z

✓✓✓

✓

3

+Z

⇣z

(t)z + Z

⇣✓

(t)✓ + Z

⇣⇣z

(t)z + Z

⇣zz

(t)z2 + Z

⇣⇣✓

(t)✓ + Z

⇣z✓

(t)z✓ + Z

⇣��

(t)�2 + Z

⇣✓✓

(t)✓2 = Z

w

(t)

(Jxx

+K

�

)�+K

�

�+K

�|�|�|�|+K

�

�+K

z�

z�+K

�✓

�✓ +1

2K

zz�

z

2�

+1

6K

���

�

3 +1

2K

✓✓�

✓

2�+K

z�✓

z�✓

+K

⇣�

(t)�+K

⇣⇣�

(t)�+K

⇣z�

(t)z�+K

⇣�✓

(t)�✓ = 0

(Jyy

+M

✓

)✓ +M

✓

✓ +M

z

z +M

z

z +M

z

z +M

✓

✓ +1

2M

zz

z

2 +1

2M

��

�

2 +1

2M

✓✓

✓

2 +M

z✓

z✓

+1

6M

zzz

z

3 +1

2M

zz✓

z

2✓ +

1

2M

��z

�

2z +

1

2M

��✓

�

2✓ +

1

2M

✓✓z

✓

2z +

1

6M

✓✓✓

✓

3

+M

⇣z

(t)z +M

⇣✓

(t)✓ +M

⇣⇣z

(t)z +M

⇣zz

(t)z2 +M

⇣⇣✓

(t)✓ +M

⇣z✓

(t)z✓ +M

⇣��

(t)�2 +M

⇣✓✓

(t)✓2 = M

w

(t)

As forcas e momentos excitatrizes de heave, pitch e roll estao abaixo: (obs.: notar

que com essa modelacao o aproamento da embarcacao considerado e de 180oou 0onao

ha excitacao direta em roll)

Z

w

(t) = Z

w0 · cos(!e

t+ ↵

w3) (2.41)

K

w

(t) = 0 (2.42)

M

w

(t) = M

w0 · cos(!e

t+ ↵

w5) (2.43)

20

Coeficientes calculados analiticamente

Neves e Rodriguez [6] Relataram, analiticamente o calculo dos coeficientes das

equacoes acima. Que estao transcritos abaixo:

Heave roll pitchZ

z

= ⇢gA0 K

z

= 0 M

z

= �⇢gA0xf0

Z

�

= 0 K

�

= ⇢g[r0(zB0 � z

G

) + I

xx0] M

�

= 0

Z

✓

= �⇢gA0xf0 K

✓

= 0 M

✓

= ⇢g[r0(zB0 � z

G

) + I

yy0]

Tabela 2.1: Coeficientes de Restauracao Hidrostaticos - (1aOrdem)

Heave Roll Pitch

Z

zz

= �2⇢gRL

�y

�z

dx K

zz

= 0 M

zz

= 2⇢gRL

x

�y

�z

dx

Z

z�

= 0 K

z�

= �2⇢gRL

y

2 �y

�z

dx M

z�

= 0

Z

z✓

= 2⇢gRL

x

�y

�z

dx K

z✓

= 0 M

z✓

= �2⇢gRL

x

2 �y

�z

dx

Z

��

= �2⇢gRL

y

2 �y

�z

dx K

��

= 0 M

��

= 2⇢gRL

xy

2 �y

�z

dx

Z

�✓

= 0 K

�✓

= 2⇢gRL

xy

2 �y

�z

dx M

�✓

= 0

Z

✓✓

= �2⇢gRL

x

2 �y

�z

dx K

✓✓

= 0 M

✓✓

= 2⇢gRL

x

3 �y

�z

dx

Tabela 2.2: Coeficientes de Restauracao Hidrostaticos - (2aOrdem)

HeaveZ

zzz

= 0a Z

zz�

= 0 Z

zz✓

= 0a

Z

��z

= ⇢g

"4R

L

y

⇣�y

�z

⌘2dx + A0

#Z

���

= 0 Z

��✓

= �⇢g

"4R

L

xy

⇣�y

�z

⌘2dx + A0x

f0

#

Z

✓✓z

= 0a Z

✓✓�

= 0 Z

✓✓✓

= 0a

Roll

K

zzz

= 0 K

zz�

= ⇢g

"4R

L

y

⇣�y

�z

⌘2dx + A0

#K

zz✓

= 0

K

��z

= 0 K

���

= ⇢g

"8R

L

y

3⇣

�y

�z

⌘2dx + 2I

xx0

#K

��✓

= 0

K

✓✓z

= 0 K

✓✓�

= ⇢g

"4R

L

x

2y

⇣�y

�z

⌘2dx + I

yy0

#K

zz✓

= 0

PitchM

zzz

= 0a M

zz�

= 0 M

zz✓

= 0a

M

��z

= �⇢g

"4R

L

xy

⇣�y

�z

⌘2dx + A0x

f0

#M

���

= 0 M

��✓

= ⇢g

"4R

L

x

2y

⇣�y

�z

⌘2dx + I

yy0

#

M

✓✓z

= 0a M

✓✓�

= 0 M

✓✓✓

= 0a

Acoplamento de heave-roll-pitch

Z

z�✓

= 0 K

z�✓

= �⇢g

"4R

L

xy

⇣�y

�z

⌘2dx + A0x

f0

#M

z�✓

= 0

Tabela 2.3: Coeficientes de Restauracao Hidrostaticos - (3aOrdem)(a) - Essas expressoes foram obtidas para o caso de um navio de costado inclinado, correspondendo a uma boaaproximacao para o caso de navios de formas convencionais, pequenos deslocamentos e mınimas curvaturas no

casco ( �2y

�z

2 ) na altura de linha d’agua.

21

Heave Roll Pitch

Z

⇣z

(t) = 2⇢gR

L

⇣�y

�z

⌘⇣dx K

⇣z

= 0 M

⇣z

= �2⇢gR

L

x

⇣�y

�z

⌘⇣dx

Z

⇣�

= 0 K

⇣�

= 2⇢gR

L

y

2⇣

�y

�z

⌘⇣dx M

⇣�

= 0

Z

⇣✓

= �2⇢gR

L

x

⇣�y

�z

⌘⇣dx K

⇣✓

= 0 M

⇣✓

= 2⇢gR

L

x

2⇣

�y

�z

⌘⇣dx

Tabela 2.4: Coeficientes de Restauracao Hidrostaticos devido a passagem da onda -(2aOrdem)

Esses termos acima podem ser expressos em termos senos e cossenos. Variando

com a amplitude de onda e a frequencia de encontro. Para roll por exemplo, ficaria:

K

⇣�

(t) = A

W

K

⇣�c

cos(!e

t) +A

W

K

⇣�s

sen(!e

t)

K

⇣⇣�

(t) = A

2W

K

⇣⇣�c

cos(2!e

t) +A

2W

K

⇣⇣�s

sen(2!e

t) +A

2W

K

⇣⇣�0sen(2!e

t)

K

⇣z�

(t) = A

W

K

⇣z�c

cos(!e

t) +A

W

K

⇣z�s

sen(!e

t)

K

⇣�✓

(t) = A

W

K

⇣�✓c

cos(!e

t) +A

W

K

⇣�✓s

sen(!e

t)

Os coeficientes hidrostaticos devido a passagem da onda de 3aOrdem estao

abaixo:

HeaveZ

⇣⇣z

(t) = 0a Z

⇣⇣�

(t) = 0 Z

⇣⇣✓

(t) = 0a

Z

⇣zz

(t) = 0a Z

⇣z�

(t) = 0 Z

⇣z✓

(t) = 0a

Z

⇣��

(t) = �⇢g

R

L

2y

⇣�y

�z

⌘2+ y

�⇣dx Z

⇣✓✓

(t) = 0a Z

⇣�✓

(t) = 0

Roll

K

⇣⇣z

(t) = 0 K

⇣⇣�

(t) = ⇢g

R

L

2y

⇣�y

�z

⌘2+ y

�⇣

2dx K

⇣⇣✓

(t) = 0

K

⇣zz

(t) = 0 K

⇣z�

(t) = �⇢g

R

L

4y

⇣�y

�z

⌘2+ 2y

�⇣dx K

⇣z✓

(t) = 0

K

⇣��

(t) = 0 K

⇣✓✓

(t) = 0 K

⇣�✓

(t) = ⇢g

R

L

4xy

⇣�y

�z

⌘2+ 2xy

�⇣dx

PitchM

⇣⇣z

(t) = 0a M

⇣⇣�

(t) = 0 M

⇣⇣✓

(t) = 0a

M

⇣zz

(t) = 0a M

⇣z�

(t) = 0 M

⇣z✓

(t) = 0a

M

⇣��

(t) = ⇢g

R

L

2xy

⇣�y

�z

⌘2+ xy

�⇣dx M

⇣✓✓

(t) = 0a M

⇣�✓

(t) = 0

Tabela 2.5: Coeficientes de Restauracao Hidrostaticos devido a passagem da onda -(3aOrdem)(a) - Essas expressoes foram obtidas para o caso de um navio de costado inclinado, correspondendo a uma boaaproximacao para o caso de navios de formas convencionais, pequenos deslocamentos e mınimas curvaturas no

casco ( �2y

�z

2 ) na altura de linha d’agua.

22

Coeficientes calculados numericamente

Com os avancos da computacao, um caminho natural foi o de tentar calcular

numericamente os coeficientes das equacoes de movimento, sem as hipoteses simpli-

ficadoras relatadas nas tabelas acima.

Esta em desenvolvimento um programa que visa atender esse servico, o dSstab.

Na fase de desenvolvimento do presente projeto final, foi possıvel utilizar versoes

desse programa de forma a incluı-los nas simulacoes de movimento.

23

2.2.6 Resultados da literatura - Diagramas de Estabilidade

Navios Pesqueiros

Limites de Estabilidade

Neves, Perez e Valerio, 1998[2] relataram limites de estabilidade para o navio

pesqueiro TS, utilizando um modelo matematico que continha as equacoes de heave

e pitch acopladas, mas com roll desacoplado. Os limites de estabilidade gerados

estao mostrados abaixo:

Figura 2.7: Limites de estabilidade do navio pesqueiro TS. Fonte: Neves, Perez eValerio, 1998. [2].

No grafico acima, estao desenhados os limites de estabilidade. As regiao acima

das curvas sao as regioes de instabilidade.

24

Neves e Rodrıguez, 2006[3] relataram limites de estabilidade que foram gerados

para o navio TS em uma aproximacao analıtica. Estao mostrados abaixo:

Figura 2.8: Limites de estabilidade do navio pesqueiro TS. Aproximacao analıtica.Fonte: Neves, Rodrıguez, 2006[3].

25

Neves e Rodrıguez, 2006[4] relataram limites de estabilidade para o navio TS,

utilizando um modelo matematico nao-linear de 3aordem (heave e pitch acoplados

e roll acoplado e desacoplado) proposto por Rodrıguez[11], utilizando coeficientes

analıticos. Os diagramas para o navio pesqueiro TS foram gerados e estao mostrados

abaixo:

Roll desacoplado:

Figura 2.9: Limites de estabilidade do navio pesqueiro TS. Modelo nao-linear de3aordem desacoplado, com coeficientes analıticos. Fonte: Neves, Rodrıguez, 2006[4].

Roll acoplado:

Figura 2.10: Limites de estabilidade do navio pesqueiro TS. Modelo nao-linear de3aordem acoplado, com coeficientes analıticos. Fonte: Neves, Rodrıguez, 2006[4].

26

2.2.7 Conclusoes Parciais

Como foi descrito anteriormente, foram iniciados calculos numericos dos coe-

ficientes para se atingir uma aproximacao puramente numerica e se poder gerar

diagramas de estabilidade com essa abordagem.

A integracao, com coeficientes numericos era feita da seguinte maneira: Retirava-

se do arquivo de saıda de um programa como Hansel ou Wamit os valores de massa

adicional e amortecimento na frequencia correspondente e as forcas excitatrizes na

velocidade e frequencia correspondente. Os coeficientes hidrostaticos eram retirados

do programa dSstab e todos esses dados eram relacionados em um arquivo de entrada

a ser lido pelo integrador.

Uma das dificuldades de se gerar diagramas de estabilidade dessa forma era a

nao existencia de uma rotina que facilitasse a organizacao desses coeficientes, visto

que o numero de frequencias a serem avaliadas para que o diagrama tivesse uma boa

definicao era muito grande.

A primeira parte do trabalho seria a programacao de uma rotina que lendo os

arquivos bases que contem os coeficientes (hidrodinamicos e hidrostaticos) interpo-

laria e organizaria os dados de forma a serem inseridos corretamente no integrador,

diminuindo tambem a margem de erro humano.

Essa investida possibilitou tambem a geracao de diagramas de estabilidade para

angulos diferentes de 180o. Que no decorrer do processo, mostrou ser a contribuicao

mais importante do projeto.

27

Capıtulo 3

Aplicacao de Ferramenta

Numerica

3.1 Desenvolvimento do programa

Os parametros de analise: velocidade do navio (representado pelo numero de

Froude), condicao de mar (representada pela frequencia da onda regular incidente),

e o angulo de aproamento em relacao a onda, influenciam diretamente os coeficientes

hidrodinamicos (Massas adicionais e Amortecimentos), as forcas excitatrizes e os

coeficientes hidrostaticos.

Como foi relatado anteriormente, para cada simulacao e necessario a obtencao

de todos os coeficientes (hidrostaticos e hidrodinamicos) e forcas excitatrizes corres-

pondentes aos parametros fixados.

O presente projeto pretende analisar a influencia da mudanca de aproamento

do navio no desenvolvimento da ressonancia parametrica. E acreditava-se, em um

primeiro momento, que seria necessario somente integrar no tempo, nas condicoes

de aproamento de interesse, e comparar as respostas com as mesmas configuracoes

de mar e velocidade, mudando apenas o aproamento.

Porem, foi observado no inıcio das simulacoes que quando o navio estava com

um aproamento suficientemente distante de 180� a amplitude de onda necessaria

para desenvolver o fenomeno no aproamento de 180� emborcaria o navio no novo

aproamento.

Essa caracterıstica da fısica do problema impos um limite ao projeto. Viu-se que

nao era possıvel analisar o desenvolvimento do roll parametrico em outras direcoes de

incidencia de onda comparando-as com a direcao de incidencia de 180� para mesma

condicao de mar e velocidade.

28

Viu-se que a melhor forma de analisar e tratar os dados seria por meio de dia-

gramas de estabilidade.

Cada diagrama de estabilidade e composto pelos seguintes parametros: angulo

de aproamento (um angulo por diagrama), variacao da amplitude da onda no eixo

vertical, e variacao da sintonia( !

e

!

n4, onde !

e

e a frequencia de encontro e !n4 a

frequencia natural de roll) no eixo horizontal influenciada pela velocidade do navio,

condicao de mar e angulo de aproamento. E cada ponto do diagrama representa a

amplitude maxima do movimento de roll por um sistema de cores.

Para que esses diagramas pudessem ser obtidos, agora com os os coeficientes hi-

drostaticos calculados numericamente e com variacao sistematica dos parametros de

analise descritos acima, incluindo variacoes da amplitude da onda, foi desenvolvido

um script em MATLAB que le os dados de saıda do programa WAMIT contendo

as massas adicionais, amortecimentos e forcas excitatrizes e faz internamente os

calculos relativos a dimensionalizacao e correcoes de velocidade . Tambem le os

dados de saıda do dsstab. Uma interface foi desenvolvida para mostrar as series

temporais e o diagrama de estabilidade.

Preparando os coeficientes e forcas excitatrizes internamente para cada simulacao,

o programa integra no tempo utilizando o codigo de series temporais do programa

STAB3D.

29

3.1.1 Correcao das excitacoes devido a influencia de veloci-

dade (WAMIT)

Forcas e momentos (WAMIT):

|Fj(WAMIT )

| · cos(we

t+ �

j(WAMIT )) (3.1)

Parcela de Froude-Krilov(dsstab):

|F1j(FK�dsstab)| · cos(w

e

t) + |F2j(FK�dsstab)| · sen(w

e

t) (3.2)

No sistema complexo ficam:

Wamit:

|FRj

WAMIT

| = |Fj(WAMIT )

| · cos(�j(WAMIT )

) (3.3)

|FIj

WAMIT

| = |Fj(WAMIT )

| · sen(�j(WAMIT )

) (3.4)

dsstab:

|Fj(FK�dsstab)

| =q

|F1j(FK�dsstab)|2 + |F2j(FK�dsstab)

|2 (3.5)

�

j(FK�dsstab)= tan

�1

|F2j(FK�dsstab)

||F1j(FK�dsstab)

|

!(3.6)

|FRj(FK�dsstab)

| = |Fj(FK�dsstab)

| · cos(�j(FK�dsstab)

) (3.7)

|FIj(FK�dsstab)

| = |Fj(FK�dsstab)

| · sen(�j(FK�dsstab)

) (3.8)

Retirando das forcas publicadas no Wamit a parcela de Froude-Krilov calculadas

no dsstab, ficamos com:

F

0Rj(DIF )

= F

Rj

WAMIT

� F

Rj(FK�dsstab)

F

0Ij(DIF )

= F

Ij

WAMIT

� F

Ij(FK�dsstab)

Aplicando as correcoes devido a influencia da velocidade, ficamos com:

F

U

R5(DIF )= F

0R5(DIF )

� U

!

e

· F 0I3(DIF )

(3.9)

30

F

U

I5(DIF )= F

0I5(DIF )

+U

!

e

· F 0R3(DIF )

(3.10)

F

U

R6(DIF )= F

0R6(DIF )

+U

!

e

· F 0I2(DIF )

(3.11)

F

U

I6(DIF )= F

0I6(DIF )

� U

!

e

· F 0R2(DIF )

(3.12)

Pode-se entao encontrar os momentos totais em pitch e Yaw:

F

U

R5 = F

U

R5(DIF )+ F

R5(FK�dsstab)

F

U

I5 = F

U

I5(DIF )+ F

I5(FK�dsstab)

F

U

R6 = F

U

R6(DIF )+ F

R6(FK�dsstab)

F

U

I6 = F

U

I6(DIF )+ F

I6(FK�dsstab)

Retornando ao sitema trigonometrico ficamos com:

F

U

5 =q(FU

R5)2 + (FU

I5)2 (3.13)

�

U

5 = tan

�1

✓F

U

I5

F

U

R5

◆(3.14)

F

U

6 =q(FU

R6)2 + (FU

I6)2 (3.15)

�

U

6 = tan

�1

✓F

U

I6

F

U

R6

◆(3.16)

ref:PNA - pags:56 e 57

31

3.1.2 Response Amplitude Operator (RAO)

Para o grafico do RAO foram utilizadas as seguintes equacoes:

A

x

=F

xp(C � (m+ a)!2

e

)2 + (B!e

)2

✏

x

= arctan(C � A!

2e

)

B!

e

32

Capıtulo 4

Analises e Resultados

4.1 Verificacao das Acoes Hidrodinamicas

Como foi comentado anteriormente, os coeficientes de acoes hidrodinamicas:

Massas Adicionais, Amortecimentos e Forcas de Excitacao, foram extraıdos do WA-

MIT (calculados para velocidade de avanco nula) e corrigidos para a velocidade de

avanco simulada.

Esses coeficientes foram comparados com trabalhos anteriores com intuito de

verificar o processo de correcao empregado. Todos os coeficientes calculados estao

compatıveis.

4.2 Ajuste dos Coeficientes de Massa Adicional e

Amortecimento de Roll

Os coeficientes de massa adicional utilizados foram extraıdos dos ensaios experi-

mentais de decaimentos realizados. Algumas comparacoes foram realizadas e estao

apresentadas no apendice do presente trabalho.

As comparacoes mostram que uma mudanca no valor do coeficiente de massa

adicional modifica o perıodo natural que por sua vez modifica a sintonia do sis-

tema (We/Wn) influenciando assim na ocorrencia do fenomeno de ressonancia pa-

rametrica.

Os coeficientes de amortecimento foram calculados a partir das formulacoes semi-

empıricas de Ikeda. Alem disso, os coeficientes de amortecimento “B1” e “B2” foram

ajustados com dados experimentais.

Algumas comparacoes foram realizadas e estao apresentadas no apendice do pre-

sente trabalho. As comparacoes mostram que apesar de os valores se apresentarem

muito diferentes, os efeitos nas series temporais nao sao muito significativos.

33

4.3 Verificacao do Comportamento Linear

Com intuito de verificar as simulacoes realizadas apos todo o processamento

dos coeficientes, fez-se uma comparacao entre os RAOs extraıdos do WAMIT e os

RAOs extraıdos das simulacoes com todos os coeficientes nao-lineares zerados (para

possibilitar a comparacao com o WAMIT que utiliza teoria linear).

Concluiu-se que os RAOs estao compatıveis, e representam a mesma base de

dados de coeficientes lineares.

4.4 Simulacoes nao-lineares no domınio do tempo

Foi utilizado o mesmo integrador de trabalhos anteriores, a diferenca do presente

trabalho esta na selecao dos coeficientes e automatizacao desse processo.

Pode-se observar na figura abaixo a influencia, comentada anteriormente, da

variacao do coeficiente de massa adicional no desenvolvimento do fenomeno de res-

sonancia parametrica. A referencia aos trabalhos anteriores esta na curva verde.

0 50 100 150 200 250 300 350 400−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

Time (s)

HEA

VE (m

)

HEAVE − A44 WAMIT − B44 IKEDA_CORRHEAVE − A44 EXP − B44 IKEDA_CORR

0 50 100 150 200 250 300 350 400−20

−15

−10

−5

0

5

10

15

20

Time (s)

RO

LL (d

eg)

ROLL − A44 WAMIT − B44 IKEDA_CORRROLL − A44 EXP − B44 IKEDA_CORR

0 50 100 150 200 250 300 350 400−3

−2

−1

0

1

2

3

4

Time (s)

PITC

H (d

eg)

PITCH − A44 WAMIT − B44 IKEDA_CORRPITCH − A44 EXP − B44 IKEDA_CORR

Figura 4.1: Comparacoes da influencia de coeficientes de massa adicional na respostado sistema - Usando amortecimentos IKEDA corrigidos

34

Com relacao aos aprimoramentos no amortecimento, pode-se ver na figura abaixo

que ha uma pequena diferenca no perıodo de desenvolvimento do fenomeno.

0 50 100 150 200 250 300 350 400−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

Time (s)

HEA

VE (m

)

HEAVE − A44 WAMIT − B44 IKEDAHEAVE − A44 WAMIT − B44 IKEDA_CORRHEAVE − A44 WAMIT − B44 EXP

0 50 100 150 200 250 300 350 400−20

−15

−10

−5

0

5

10

15

20

Time (s)

RO

LL (d

eg)

ROLL − A44 WAMIT − B44 IKEDAROLL − A44 WAMIT − B44 IKEDA_CORRROLL − A44 WAMIT − B44 EXP

0 50 100 150 200 250 300 350 400−3

−2

−1

0

1

2

3

4

Time (s)

PITC

H (d

eg)

PITCH − A44 WAMIT − B44 IKEDAPITCH − A44 WAMIT − B44 IKEDA_CORRPITCH − A44 WAMIT − B44 EXP

Figura 4.2: Comparacoes da influencia de coeficientes de amortecimento na respostado sistema - Usando massa adicional do WAMIT

35

4.5 Obtencao dos limites de estabilidade com metodos

de ajuste polinomial

4.5.1 Comparacao com trabalhos anteriores

Uma das principais contribuicoes do presente trabalho foi viabilizar a utilizacao

dos coeficientes calculados a partir do metodo numerico de ajustes polinomiais,

na construcao dos diagramas de estabilidade. Trabalhos anteriores utilizavam os

coeficientes calculados analiticamente.

Abaixo estao colocados lado a lado resultados de trabalhos anteriores e resultados

obtidos no presente projeto.

1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2 3.40

1

2

3

4

5

6

Tunning − We/Wn

Aw

[m

]

Fn = 0.08

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

Figura 4.3: Diagramas de estabilidade calculados utilizando a formulacao analıtica(Esquerda) e utilizando o metodo de ajuste polinomial (Direita)

1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2 3.40

1

2

3

4

5

6

Tunning − We/Wn

Aw

[m

]

Fn = 0.12

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

Figura 4.4: Diagramas de estabilidade calculados utilizando a formulacao analıtica(Esquerda) e utilizando o metodo de ajuste polinomial (Direita)

Ambos os resultados apresentam mesma tendencia. Maiores diferencas aparecem

para baixas frequencias de encontro e amplitudes de ondas acima de 3m, onde os

resultados gerados pelo presente trabalho mostram ocorrencia de ressonancia.

E em uma regiao do diagrama de estabilidade para Fn=0.12 (um pouco acima

36

da sintonia e ondas de aprox. 2m), os resultados do presente projeto mostram uma

nao ocorrencia do fenomeno, diferentemente dos resultados mostrados em trabalhos

anteriores.

Todos os diagramas de estabilidade do presente trabalho sao calculados utilizando-

se os coeficientes obtidos pelo dsstab, que utiliza metodo numerico de ajuste poli-

nomial.

Todos as simulacoes foram realizadas levando em consideracao a massa adicional

extraıda dos decaimentos experimentais e amortecimentos de roll calculados pelo

metodo semi-empırico e ajustados com base nos dados experimentais.

37

4.5.2 Avaliacao da Variacao Sistematica dos Parametros

Como exercıcio pratico de aplicacao da ferramenta numerica desenvolvida, e com

intuito de atingir os objetivos estabelecidos ao inıcio do projeto, foram realizadas

diversas simulacoes variando os parametros de onda, aproamento e velocidade de

avanco. Todos os diagramas de estabilidade relativos a essas simulacoes podem ser

encontrados no apendice.

Variacao do Aproamento

Aqui serao apresentados lado a lado os diagramas de forma a se avaliar a tendencia de

influencia de cada parametro. Abaixo estao agrupados os diagramas de estabilidade

para mesma velocidade de avanco.

1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2 3.40

1

2

3

4

5

6

Tunning − We/Wn

Aw

[m

]

Fn = 0.00

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2 3.40

1

2

3

4

5

6

Tunning − We/Wn

Aw

[m

]

Fn = 0.00

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2 3.40

1

2

3

4

5

6

Tunning − We/Wn

Aw

[m

]

Fn = 0.00

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2 3.40

1

2

3

4

5

6

Tunning − We/Wn

Aw

[m

]

Fn = 0.00

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

Figura 4.5: Aproamento variando [Ksi = 180, 175, 170, 165] e Numero de Froudeconstante [Fn = 0.00]

38

1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2 3.40

1

2

3

4

5

6

Tunning − We/Wn

Aw

[m

]

Fn = 0.04

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2 3.40

1

2

3

4

5

6

Tunning − We/Wn

Aw

[m

]

Fn = 0.04

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2 3.40

1

2

3

4

5

6

Tunning − We/Wn

Aw

[m

]

Fn = 0.04

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2 3.40

1

2

3

4

5

6

Tunning − We/Wn

Aw

[m

]

Fn = 0.04

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

Figura 4.6: Aproamento variando [Ksi = 180, 175, 170, 165] e Numero de Froudeconstante [Fn = 0.04]

39

1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2 3.40

1

2

3

4

5

6

Tunning − We/Wn

Aw

[m

]

Fn = 0.08

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2 3.40

1

2

3

4

5

6

Tunning − We/Wn

Aw

[m

]

Fn = 0.08

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2 3.40

1

2

3

4

5

6

Tunning − We/Wn

Aw

[m

]

Fn = 0.08

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2 3.40

1

2

3

4

5

6

Tunning − We/Wn

Aw

[m

]

Fn = 0.08

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

Figura 4.7: Aproamento variando [Ksi = 180, 175, 170, 165] e Numero de Froudeconstante [Fn = 0.08]

40

1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2 3.40

1

2

3

4

5

6

Tunning − We/Wn

Aw

[m

]

Fn = 0.12

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2 3.40

1

2

3

4

5

6

Tunning − We/Wn

Aw

[m

]

Fn = 0.12

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2 3.40

1

2

3

4

5

6

Tunning − We/Wn

Aw

[m

]

Fn = 0.12

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2 3.40

1

2

3

4

5

6

Tunning − We/Wn

Aw

[m

]

Fn = 0.12

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

Figura 4.8: Aproamento variando [Ksi = 180, 175, 170, 165] e Numero de Froudeconstante [Fn = 0.12]

Pode-se concluir dos graficos acima que, para todas as velocidades de avanco

a variacao do aproamento aproxima as duas regioes de ocorrencia do fenomeno de

ressonancia parametrica.

41

Variacao da Velocidade

Abaixo estao agrupados os diagramas de estabilidade para mesmo aproamento.

1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2 3.40

1

2

3

4

5

6

Tunning − We/Wn

Aw

[m

]

Fn = 0.00

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2 3.40

1

2

3

4

5

6

Tunning − We/WnA

w [m

]

Fn = 0.04

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2 3.40

1

2

3

4

5

6

Tunning − We/Wn

Aw

[m

]

Fn = 0.08

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2 3.40

1

2

3

4

5

6

Tunning − We/Wn

Aw

[m

]Fn = 0.12

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

Figura 4.9: Aproamento constante [Ksi = 180] e Numero de Froude variando [Fn =0.00, 0.04, 0.08, 0.12]

42

1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2 3.40

1

2

3

4

5

6

Tunning − We/Wn

Aw

[m

]

Fn = 0.00

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2 3.40

1

2

3

4

5

6

Tunning − We/Wn

Aw

[m

]

Fn = 0.04

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2 3.40

1

2

3

4

5

6

Tunning − We/Wn

Aw

[m

]

Fn = 0.08

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2 3.40

1

2

3

4

5

6

Tunning − We/Wn

Aw

[m

]

Fn = 0.12

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

Figura 4.10: Aproamento constante [Ksi = 180] e Numero de Froude variando [Fn= 0.00, 0.04, 0.08, 0.12]

43

1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2 3.40

1

2

3

4

5

6

Tunning − We/Wn

Aw

[m

]

Fn = 0.00

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2 3.40

1

2

3

4

5

6

Tunning − We/Wn

Aw

[m

]

Fn = 0.04

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2 3.40

1

2

3

4

5

6

Tunning − We/Wn

Aw

[m

]

Fn = 0.08

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2 3.40

1

2

3

4

5

6

Tunning − We/Wn

Aw

[m

]

Fn = 0.12

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

Figura 4.11: Aproamento constante [Ksi = 180] e Numero de Froude variando [Fn= 0.00, 0.04, 0.08, 0.12]

44

1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2 3.40

1

2

3

4

5

6

Tunning − We/Wn

Aw

[m

]

Fn = 0.00

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2 3.40

1

2

3

4

5

6

Tunning − We/Wn

Aw

[m

]

Fn = 0.04

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2 3.40

1

2

3

4

5

6

Tunning − We/Wn

Aw

[m

]

Fn = 0.08

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2 3.40

1

2

3

4

5

6

Tunning − We/Wn

Aw

[m

]

Fn = 0.12

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

Figura 4.12: Aproamento constante [Ksi = 180] e Numero de Froude variando [Fn= 0.00, 0.04, 0.08, 0.12]

Pode-se concluir das figuras acima que a variacao da velocidade tambem influen-

cia na aproximacao das zonas de ocorrencia do fenomeno de ressonancia parametrica,

assim como a variacao do aproamento.

Alem disso, a variacao da velocidade influencia no aumento da zona de ocorrencia

superior esquerda (do diagrama) e no espalhamento da parte superior da zona de

ocorrencia direita.

45

Variacao da velocidade em um mesmo diagrama de estabilidade

Adicionalmente, foi construıdo um diagrama de estabilidade no qual os parametros

variados foram a velocidade de avanco e a amplitude de onda. O perıodo da onda

foi fixado.

1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2 3.40

1

2

3

4

5

6

Tunning − We/Wn

Aw

[m

]

Varying Fn

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

Figura 4.13: Aproamento constante [Ksi = 180] e Numero de Froude variando [Fn= 0.00, 0.04, 0.08, 0.12]

Esse diagrama representa, em um mesmo diagrama de estabilidade, a variacao

da velocidade de avanco de uma embarcacao, para um mar de mesmo perıodo. Por

exemplo, se o mar tem amplitude de onda de 2 metros, ha uma faixa de velocidade

que ele desenvolvera o fenomeno de ressonancia parametrica. Abaixo dessa faixa de

velocidade (uma sintonia de aprox. 1.8) e acima dessa faixa (uma sintonia de aprox.

2.8), nao haveria ocorrencia de ressonancia parametrica.

46

Capıtulo 5

Conclusoes

O presente trabalho serviu de aplicacao pratica do sistema de calculos de coefici-

entes hidrostaticos desenvolvido pelos professores Marcelo Neves, Claudio Rodrıgues,

pela TECGRAF e PETROBRAS.

Alem de servir como aplicacao pratica do sistema desenvolvido, foram avaliados

varios aspectos dessa modelacao numerica.

Dados experimentais foram utilizados para calibrar os coeficientes. A influencia

desses coeficientes calibrados tambem foram avaliadas.

47

Referencias Bibliograficas

[1] SNAME. Principles of Naval Architecture. 1 ed. Rio de Janeiro, RJ, Brazil,

SNAME, 2006.

[2] M.A.S. NEVES, N.A. PEREZ, L. V. “Stability of small fishing vessels in longi-

tudinal waves.” Ocean Engineering, nov. 1997.

[3] NEVES, M., RODRIGUEZ, C. “Infuence of non-linearities on the limits of

stability of ships rolling in head seas.” Ocean Engineering, nov. 2006.

[4] NEVES, M., RODRIGUEZ, C. “An Investigation on Roll Parametric Resonance

in Regular Waves.” Ocean Engineering, nov. 2006.

[5] M.A.S. NEVES, N.A. PEREZ, O. L. “Analysis of roll motion and stability of a

fishing vessel in head seas.” Ocean Engineering, nov. 2002.

[6] NEVES, M., RODRIGUEZ, C. “On unstable ship motions resulting from strong

non-linear coupling.” Ocean Engineering, nov. 2006.

[7] CARMEL, S. “Study of Parametric Rolling Event on a Panamax Container

Vessel.” Ocean Engineering, nov. 2006.

[8] PALMQUIST, M., NYGREN, C. “Recordings of head-sea parametric rolling on

a PCTC.” Ocean Engineering, nov. 2006.

[9] “On Occurrence of mathieu instabilities of vertical cylinders.” OMAE2008 -

57567, 2008.

[10] SAVI, M. A. Dinamica Nao-Linear e Caos. 1 ed. Rio de Janeiro, RJ, Brazil,

Editora E-papers, 2006.

[11] RODRIGUEZ, C. M.Sc. Thesis. M.Sc. dissertation, University of Rio de janeiro

- COPPE/UFRJ, Rio de Janeiro, RJ, Brazil, 2000.

48

Parte I

Apendice

49

Apendice A

Banco de Dados de Coeficientes

Hidrodinamicos

A.1 Objetivo

O objetivo dessa secao e analisar os coeficientes que estao sendo inseridos nas

simulacoes computacionais para gerar os diagramas de estabilidade.

O programa desenvolvido utiliza dados de duas fontes diferentes. Os coeficien-

tes de massa adicional e amortecimento sao extraıdos do programa WAMIT, e os

coeficientes hidrostaticos sao extraıdos do programa dsstab.

A.2 Dados do Navio

Figura A.1: Dados do navio utilizado.

50

A.3 Conteudo

O documento contem os seguintes itens:

• Comparacao entre o RAO do WAMIT e RAO gerado a partir de testes com

onda unitaria, em toda a faixa de frequencia e incidencia de 180 graus;

• Comparacao entre os coeficientes de restauracao hidrostatica gerados pelos

programas dsstab e WAMIT;

• Comparacao entre as massas adicionais e amortecimentos (no domınio do

perıodo) para quatro valores de velocidade (Fn = 0.00, 0.04, 0.08 e 0.12);

Comparacoes com o Benchmark (180 graus);

Coeficientes para outros aproamentos;

• Comparacao entre as forcas e momentos de excitacao (no domınio do perıodo)

para diferentes velocidades de avanco e aproamento;

• Diagramas de Estabilidade gerados com os coeficientes utilizados;

51

A.4 Comparacoes de RAO’s

As figuras abaixo comparam os RAO’s gerados pelo WAMIT e os RAO’s ex-

traıdos das series temporais geradas para uma onda unitaria.

4 6 8 10 12 14 160

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

Period [s]

Am

plit

ude [m

]

RAO Comparisons − Heave

RAO Heave − WAMITRAO Heave − TimeSeries

4 6 8 10 12 14 160

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Period [s]

Am

plit

ude [deg/m

]

RAO Comparisons − Pitch

RAO Pitch − WAMITRAO Pitch − TimeSeries

52

As figuras abaixo comparam os RAO’s gerados pelo WAMIT e os RAO’s ex-

traıdos das series temporais geradas para uma onda de 0,2m de amplitude.

4 6 8 10 12 14 160

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

Period [s]

Am

plit

ude [m

]RAO Comparisons − Heave

RAO Heave − WAMITRAO Heave − TimeSeries

4 6 8 10 12 14 160

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Period [s]

Am

plit

ude [deg/m

]

RAO Comparisons − Pitch

RAO Pitch − WAMITRAO Pitch − TimeSeries

53

As figuras abaixo comparam os RAO’s gerados pelo WAMIT e os RAO’s ex-

traıdos das series temporais geradas para uma onda unitaria. Obs.: Para essas

simulacoes, os coeficientes nao lineares de restauracao foram zerados.

4 6 8 10 12 14 160

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

Period [s]

Am

plit

ude [m

]

RAO Comparisons − Heave

RAO Heave − WAMITRAO Heave − TimeSeries

4 6 8 10 12 14 160

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Period [s]

Am

plit

ude [deg/m

]

RAO Comparisons − Pitch

RAO Pitch − WAMITRAO Pitch − TimeSeries

54

As figuras abaixo comparam os RAO’s gerados pelo WAMIT e os RAO’s ex-

traıdos das series temporais geradas para uma onda de 0,2m de amplitude. Obs.:

Para essas simulacoes, os coeficientes nao lineares de restauracao foram zerados.

4 6 8 10 12 14 160

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

Period [s]

Am

plit

ude [m

]

RAO Comparisons − Heave

RAO Heave − WAMITRAO Heave − TimeSeries

4 6 8 10 12 14 160

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Period [s]

Am

plit

ude [deg/m

]

RAO Comparisons − Pitch

RAO Pitch − WAMITRAO Pitch − TimeSeries

55

A.5 Comparacoes dos coeficientes Hidrostaticos

Nesta secao sao comparados os coeficientes hidrostaticos extraıdos do WAMIT

com os coeficientes hidrostaticos extraıdos do dsstab.

Tabela A.1: Comparacao entre Coeficientes Hidrostaticos

56

A.6 Coeficientes Hidrodinamicos para ROLL

Antes de serem analisadas as simulacoes propriamente ditas, foram feitas analises

a respeito dos coeficientes de massas adicionais e amortecimentos no grau de liber-

dade de interesse (ROLL).

Ha na literatura algumas formas de se obter esses coeficientes e de corrigi-los.

Algumas dessas formas foram analisadas nessa secao, com o intuito de se verificar a

diferenca e/ou interferencia no comportamento da embarcacao.

A.6.1 Massas adicionais

A primeira comparacao foi realizada entre duas formas de se obter as massas

adicionais. Comparando os resultados de calculo pela teoria potencial e os resultados

experimentais.

Tabela A.2: Comparacao entre Massas adicionais

A.6.2 Amortecimentos

Uma analise mais especıfica foi realizada a respeito das formas de calculo e

correcao do amortecimento, coeficiente muito influente no comportamento da em-

barcacao para a observacao do fenomeno estudado.

Decaimento

O primeiro caminho realizado para o calculo dos coeficientes de amortecimento

(linear e quadratico) foi utilizando os dados experimentais. Os coeficientes de amor-

tecimento do grau de liberadade analisado (ROLL) foram extraıdos dos decaimentos

realizados em tanque de provas.

Tabela A.3: Amortecimento extraıdo do decaimento

57

IKEDA

Foi utilizado tambem para comparacao o metodo de calculo do amortecimento

IKEDA [Referencia].

Tabela A.4: Amortecimento calculado pelo metodo de IKEDA

58

IKEDA - Correcao

Foi realizada uma correcao devido a sustentacao no metodo IKEDA.

Figura A.2: Comparacao entre Massas adicionais

59

Os coeficientes corrigidos estao abaixo:

Figura A.3: Amortecimento calculado pelo metodo de IKEDA (Corrigido pelo efeitode sustentacao)

Abaixo um resumo dos coeficientes de amortecimento calculados nessa secao:

Tabela A.5: Resumo dos calculos de amortecimento

60

A.6.3 Series Temporais - Comparacao entre coeficientes

Abaixo as comparacoes entre os coeficientes de massa adicional e amortecimento

gerados.

0 50 100 150 200 250 300 350 400−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

Time (s)

HEA

VE (m

)

HEAVE − A44 WAMIT − B44 IKEDAHEAVE − A44 WAMIT − B44 IKEDA_CORRHEAVE − A44 WAMIT − B44 EXP

0 50 100 150 200 250 300 350 400−20

−15

−10

−5

0

5

10

15

20

Time (s)

RO

LL (d

eg)

ROLL − A44 WAMIT − B44 IKEDAROLL − A44 WAMIT − B44 IKEDA_CORRROLL − A44 WAMIT − B44 EXP

0 50 100 150 200 250 300 350 400−3

−2

−1

0

1

2

3

4

Time (s)

PITC

H (d

eg)

PITCH − A44 WAMIT − B44 IKEDAPITCH − A44 WAMIT − B44 IKEDA_CORRPITCH − A44 WAMIT − B44 EXP

Figura A.4: Comparacoes entre coeficientes de amortecimento - Usando massa adi-cional do WAMIT

61

0 50 100 150 200 250 300 350 400−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

Time (s)

HEA

VE (m

)

HEAVE − A44 EXP − B44 IKEDAHEAVE − A44 EXP − B44 IKEDA_CORRHEAVE − A44 EXP − B44 EXP

0 50 100 150 200 250 300 350 400−25

−20

−15

−10

−5

0

5

10

15

20

25

Time (s)

RO

LL (d

eg)

ROLL − A44 EXP − B44 IKEDAROLL − A44 EXP − B44 IKEDA_CORRROLL − A44 EXP − B44 EXP

0 50 100 150 200 250 300 350 400−3

−2

−1

0

1

2

3

4

Time (s)

PITC

H (d

eg)

PITCH − A44 EXP − B44 IKEDAPITCH − A44 EXP − B44 IKEDA_CORRPITCH − A44 EXP − B44 EXP

Figura A.5: Comparacoes entre coeficientes de amortecimento - Usando massa adi-cional extraıda do decaimento

62

0 50 100 150 200 250 300 350 400−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

Time (s)

HEA

VE (m

)

HEAVE − A44 WAMIT − B44 IKEDAHEAVE − A44 EXP − B44 IKEDA

0 50 100 150 200 250 300 350 400−25

−20

−15

−10

−5

0

5

10

15

20

25

Time (s)

RO

LL (d

eg)

ROLL − A44 WAMIT − B44 IKEDAROLL − A44 EXP − B44 IKEDA

0 50 100 150 200 250 300 350 400−3

−2

−1

0

1

2

3

4

Time (s)

PITC

H (d

eg)

PITCH − A44 WAMIT − B44 IKEDAPITCH − A44 EXP − B44 IKEDA

Figura A.6: Comparacoes entre coeficientes de massa adicional - Usando amorteci-mentos IKEDA

63

0 50 100 150 200 250 300 350 400−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

Time (s)

HEA

VE (m

)

HEAVE − A44 WAMIT − B44 IKEDA_CORRHEAVE − A44 EXP − B44 IKEDA_CORR

0 50 100 150 200 250 300 350 400−20

−15

−10

−5

0

5

10

15

20

Time (s)

RO

LL (d

eg)

ROLL − A44 WAMIT − B44 IKEDA_CORRROLL − A44 EXP − B44 IKEDA_CORR

0 50 100 150 200 250 300 350 400−3

−2

−1

0

1

2

3

4

Time (s)

PITC

H (d

eg)

PITCH − A44 WAMIT − B44 IKEDA_CORRPITCH − A44 EXP − B44 IKEDA_CORR

Figura A.7: Comparacoes entre coeficientes de massa adicional - Usando amorteci-mentos IKEDA corrigidos

64

0 50 100 150 200 250 300 350 400−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

Time (s)

HEA

VE (m

)

HEAVE − A44 WAMIT − B44 IKEDA_EXPHEAVE − A44 EXP − B44 IKEDA_EXP

0 50 100 150 200 250 300 350 400−20

−15

−10

−5

0

5

10

15

20

Time (s)

RO

LL (d

eg)

ROLL − A44 WAMIT − B44 IKEDA_EXPROLL − A44 EXP − B44 IKEDA_EXP

0 50 100 150 200 250 300 350 400−3

−2

−1

0

1

2

3

4

Time (s)

PITC

H (d

eg)

PITCH − A44 WAMIT − B44 IKEDA_EXPPITCH − A44 EXP − B44 IKEDA_EXP

Figura A.8: Comparacoes entre coeficientes de massa adicional - Usando amorteci-mentos IKEDA experimental

65

Abaixo comparacoes de decaimentos utilizando os diferentes valores de amorte-

cimento calculados.

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200−15

−10

−5

0

5

10

15

[de

g]

B44Exp − Fn = 0.00 − rollB44Ikeda − Fn = 0.00 − rollB44IkedaCorr − Fn = 0.00 − roll

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200−15

−10

−5

0

5

10

15

[de

g]

B44IkedaCorr − Fn = 0.00 − rollB44IkedaCorr − Fn = 0.08 − rollB44IkedaCorr − Fn = 0.12 − roll

Figura A.9: Comparacao de coeficientes de amortecimento no decaimento

66

A.7 Comparacoes com o Benchmark

A.7.1 Massas Adicionais e Amortecimentos

Nessa secao e mostrada as comparacoes dos coeficientes de massa adicional e

amortecimento para os casos simulados.

Aproamento: 180 graus

1 1.5 2 2.5 3 3.50.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

2.2

2.4x 10

5

Tunning − We/Wn

ton

.m

A15 − Fn=0.00A15 − Fn=0.04A15 − Fn=0.08A15 − Fn=0.12A15 − Rodriguez (2010) − Fn = 0.00A15 − Rodriguez (2010) − Fn = 0.08A15 − Rodriguez (2010) − Fn = 0.12

67

1 1.5 2 2.5 3 3.50

0.5

1

1.5

2

2.5x 10

5

Tunning − We/Wn

ton

.m

A26 − Fn=0.00A26 − Fn=0.04A26 − Fn=0.08A26 − Fn=0.12A26 − Rodriguez (2010) − Fn = 0.00A26 − Rodriguez (2010) − Fn = 0.08A26 − Rodriguez (2010) − Fn = 0.12

68

1 1.5 2 2.5 3 3.5−2.5

−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2x 10

5

Tunning − We/Wn

ton.m

A35 − Fn=0.00A35 − Fn=0.04A35 − Fn=0.08A35 − Fn=0.12A35 − Rodriguez (2010) − Fn = 0.00A35 − Rodriguez (2010) − Fn = 0.08A35 − Rodriguez (2010) − Fn = 0.12

69

1 1.5 2 2.5 3 3.53.5

4

4.5

5

5.5

6

6.5

7

7.5

8x 10

5

Tunning − We/Wn

ton

.m2

A46 − Fn=0.00A46 − Fn=0.04A46 − Fn=0.08A46 − Fn=0.12A46 − Rodriguez (2010) − Fn = 0.00A46 − Rodriguez (2010) − Fn = 0.08A46 − Rodriguez (2010) − Fn = 0.12

70

1 1.5 2 2.5 3 3.50.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

2.2

2.4x 10

5

Tunning − We/Wn

ton

.m

A51 − Fn=0.00A51 − Fn=0.04A51 − Fn=0.08A51 − Fn=0.12A51 − Rodriguez (2010) − Fn = 0.00A51 − Rodriguez (2010) − Fn = 0.08A51 − Rodriguez (2010) − Fn = 0.12

71

1 1.5 2 2.5 3 3.50

1

2

3

4

5

6

7x 10

5

Tunning − We/Wn

ton

.m

A53 − Fn=0.00A53 − Fn=0.04A53 − Fn=0.08A53 − Fn=0.12A53 − Rodriguez (2010) − Fn = 0.00A53 − Rodriguez (2010) − Fn = 0.08A53 − Rodriguez (2010) − Fn = 0.12

72

1 1.5 2 2.5 3 3.52

2.5

3

3.5

4

4.5

5

5.5

6

6.5x 10

7

Tunning − We/Wn

ton

.m2

A55 − Fn=0.00A55 − Fn=0.04A55 − Fn=0.08A55 − Fn=0.12A55 − Rodriguez (2010) − Fn = 0.00A55 − Rodriguez (2010) − Fn = 0.08A55 − Rodriguez (2010) − Fn = 0.12

73

1 1.5 2 2.5 3 3.5−4

−2

0

2

4

6

8

10

12

14x 10

4

Tunning − We/Wn

ton.m

A62 − Fn=0.00A62 − Fn=0.04A62 − Fn=0.08A62 − Fn=0.12A62 − Rodriguez (2010) − Fn = 0.00A62 − Rodriguez (2010) − Fn = 0.08A62 − Rodriguez (2010) − Fn = 0.12

74

1 1.5 2 2.5 3 3.53

4

5

6

7

8

9

10x 10

5

Tunning − We/Wn

ton.m

2

A64 − Fn=0.00A64 − Fn=0.04A64 − Fn=0.08A64 − Fn=0.12A64 − Rodriguez (2010) − Fn = 0.00A64 − Rodriguez (2010) − Fn = 0.08A64 − Rodriguez (2010) − Fn = 0.12

75

1 1.5 2 2.5 3 3.51

1.5

2

2.5

3

3.5

4x 10

7

Tunning − We/Wn

ton

.m2

A66 − Fn=0.00A66 − Fn=0.04A66 − Fn=0.08A66 − Fn=0.12A66 − Rodriguez (2010) − Fn = 0.00A66 − Rodriguez (2010) − Fn = 0.08A66 − Rodriguez (2010) − Fn = 0.12

76

1 1.5 2 2.5 3 3.50

2

4

6

8

10

12x 10

4

Tunning − We/Wn

ton.m

.rad/s

B15 − Fn=0.00B15 − Fn=0.04B15 − Fn=0.08B15 − Fn=0.12B15 − Rodriguez (2010) − Fn = 0.00B15 − Rodriguez (2010) − Fn = 0.08B15 − Rodriguez (2010) − Fn = 0.12

77

1 1.5 2 2.5 3 3.5−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5x 10

5

Tunning − We/Wn

ton.m

.rad/s

B26 − Fn=0.00B26 − Fn=0.04B26 − Fn=0.08B26 − Fn=0.12B26 − Rodriguez (2010) − Fn = 0.00B26 − Rodriguez (2010) − Fn = 0.08B26 − Rodriguez (2010) − Fn = 0.12

78

1 1.5 2 2.5 3 3.50

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5x 10

5

Tunning − We/Wn

ton

.m.r

ad

/s

B35 − Fn=0.00B35 − Fn=0.04B35 − Fn=0.08B35 − Fn=0.12B35 − Rodriguez (2010) − Fn = 0.00B35 − Rodriguez (2010) − Fn = 0.08B35 − Rodriguez (2010) − Fn = 0.12

79

1 1.5 2 2.5 3 3.5−1

0

1

2

3

4

5

6

7x 10

5

Tunning − We/Wn

ton.m

2.r

ad/s

B46 − Fn=0.00B46 − Fn=0.04B46 − Fn=0.08B46 − Fn=0.12B46 − Rodriguez (2010) − Fn = 0.00B46 − Rodriguez (2010) − Fn = 0.08B46 − Rodriguez (2010) − Fn = 0.12

80

1 1.5 2 2.5 3 3.50

2

4

6

8

10

12x 10

4

Tunning − We/Wn

ton.m

.rad/s

B51 − Fn=0.00B51 − Fn=0.04B51 − Fn=0.08B51 − Fn=0.12B51 − Rodriguez (2010) − Fn = 0.00B51 − Rodriguez (2010) − Fn = 0.08B51 − Rodriguez (2010) − Fn = 0.12

81

1 1.5 2 2.5 3 3.5−2.5

−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1x 10

5

Tunning − We/Wn

ton.m

.rad/s

B53 − Fn=0.00B53 − Fn=0.04B53 − Fn=0.08B53 − Fn=0.12B53 − Rodriguez (2010) − Fn = 0.00B53 − Rodriguez (2010) − Fn = 0.08B53 − Rodriguez (2010) − Fn = 0.12

82

1 1.5 2 2.5 3 3.50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2x 10

7

Tunning − We/Wn

ton

.m2

.ra

d/s

B55 − Fn=0.00B55 − Fn=0.04B55 − Fn=0.08B55 − Fn=0.12B55 − Rodriguez (2010) − Fn = 0.00B55 − Rodriguez (2010) − Fn = 0.08B55 − Rodriguez (2010) − Fn = 0.12

83

1 1.5 2 2.5 3 3.50

2

4

6

8

10

12

14

16

18x 10

4

Tunning − We/Wn

ton.m

.rad/s

B62 − Fn=0.00B62 − Fn=0.04B62 − Fn=0.08B62 − Fn=0.12B62 − Rodriguez (2010) − Fn = 0.00B62 − Rodriguez (2010) − Fn = 0.08B62 − Rodriguez (2010) − Fn = 0.12

84

1 1.5 2 2.5 3 3.5−2

−1

0

1

2

3

4

5

6

7x 10

5

Tunning − We/Wn

ton.m

2.r

ad/s

B64 − Fn=0.00B64 − Fn=0.04B64 − Fn=0.08B64 − Fn=0.12B64 − Rodriguez (2010) − Fn = 0.00B64 − Rodriguez (2010) − Fn = 0.08B64 − Rodriguez (2010) − Fn = 0.12

85

1 1.5 2 2.5 3 3.50

0.5

1

1.5

2

2.5x 10

7

Tunning − We/Wn

ton

.m2

.ra

d/s

B66 − Fn=0.00B66 − Fn=0.04B66 − Fn=0.08B66 − Fn=0.12B66 − Rodriguez (2010) − Fn = 0.00B66 − Rodriguez (2010) − Fn = 0.08B66 − Rodriguez (2010) − Fn = 0.12

86

A.7.2 Forcas e Momentos de Excitacao

Nessa secao e mostrada as comparacoes dos coeficientes de forcas e momentos

de excitacao para os casos simulados.

Aproamento: 180 graus

1 1.5 2 2.5 3 3.50

500

1000

1500

2000

2500

3000

Tunning − We/Wn

ton

F11 − Fn=0.00F11 − Fn=0.04F11 − Fn=0.08F11 − Fn=0.12F11 − Rodriguez (2010) − Fn = 0.00F11 − Rodriguez (2010) − Fn = 0.08F11 − Rodriguez (2010) − Fn = 0.12

87

1 1.5 2 2.5 3 3.50

1

2

3

4

5

6x 10

−4

Tunning − We/Wn

ton

F21 − Fn=0.00F21 − Fn=0.04F21 − Fn=0.08F21 − Fn=0.12F21 − Rodriguez (2010) − Fn = 0.00F21 − Rodriguez (2010) − Fn = 0.08F21 − Rodriguez (2010) − Fn = 0.12

88

1 1.5 2 2.5 3 3.50

0.5

1

1.5

2

2.5x 10

4

Tunning − We/Wn

ton

F31 − Fn=0.00F31 − Fn=0.04F31 − Fn=0.08F31 − Fn=0.12F31 − Rodriguez (2010) − Fn = 0.00F31 − Rodriguez (2010) − Fn = 0.08F31 − Rodriguez (2010) − Fn = 0.12

89

1 1.5 2 2.5 3 3.50

0.5

1

1.5

2

2.5

3x 10

−3

Tunning − We/Wn

ton

.m

F41 − Fn=0.00F41 − Fn=0.04F41 − Fn=0.08F41 − Fn=0.12F41 − Rodriguez (2010) − Fn = 0.00F41 − Rodriguez (2010) − Fn = 0.08F41 − Rodriguez (2010) − Fn = 0.12

90

1 1.5 2 2.5 3 3.50

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5x 10

5

Tunning − We/Wn

ton

.m

F51 − Fn=0.00F51 − Fn=0.04F51 − Fn=0.08F51 − Fn=0.12F51 − Rodriguez (2010) − Fn = 0.00F51 − Rodriguez (2010) − Fn = 0.08F51 − Rodriguez (2010) − Fn = 0.12

91

1 1.5 2 2.5 3 3.50

100

200

300

400

500

600

700

800

900

Tunning − We/Wn

ton

.m

F61 − Fn=0.00F61 − Fn=0.04F61 − Fn=0.08F61 − Fn=0.12F61 − Rodriguez (2010) − Fn = 0.00F61 − Rodriguez (2010) − Fn = 0.08F61 − Rodriguez (2010) − Fn = 0.12

92

A.8 Coeficientes Hidrodinamicos para Variacao do

Aproamento

A.8.1 Massas Adicionais e Amortecimentos

Aproamento: 180 graus

1 1.5 2 2.5 3 3.50.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

2.2

2.4x 10

5

Tunning − We/Wn

ton

.m

A15 − Fn=0.00A15 − Fn=0.04A15 − Fn=0.08A15 − Fn=0.12

93

1 1.5 2 2.5 3 3.50

0.5

1

1.5

2

2.5x 10

5

Tunning − We/Wn

ton

.m

A26 − Fn=0.00A26 − Fn=0.04A26 − Fn=0.08A26 − Fn=0.12

94

1 1.5 2 2.5 3 3.5−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2x 10

5

Tunning − We/Wn

ton.m

A35 − Fn=0.00A35 − Fn=0.04A35 − Fn=0.08A35 − Fn=0.12

95

1 1.5 2 2.5 3 3.53.5

4

4.5

5

5.5

6

6.5

7

7.5

8x 10

5

Tunning − We/Wn

ton

.m2

A46 − Fn=0.00A46 − Fn=0.04A46 − Fn=0.08A46 − Fn=0.12

96

1 1.5 2 2.5 3 3.50.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

2.2

2.4x 10

5

Tunning − We/Wn

ton

.m

A51 − Fn=0.00A51 − Fn=0.04A51 − Fn=0.08A51 − Fn=0.12

97

1 1.5 2 2.5 3 3.50.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5x 10

5

Tunning − We/Wn

ton

.m

A53 − Fn=0.00A53 − Fn=0.04A53 − Fn=0.08A53 − Fn=0.12

98

1 1.5 2 2.5 3 3.52

2.5

3

3.5

4

4.5

5

5.5x 10

7

Tunning − We/Wn

ton

.m2

A55 − Fn=0.00A55 − Fn=0.04A55 − Fn=0.08A55 − Fn=0.12

99

1 1.5 2 2.5 3 3.5−4

−2

0

2

4

6

8

10

12

14x 10

4

Tunning − We/Wn

ton.m

A62 − Fn=0.00A62 − Fn=0.04A62 − Fn=0.08A62 − Fn=0.12

100

1 1.5 2 2.5 3 3.53

4

5

6

7

8

9

10x 10

5

Tunning − We/Wn

ton.m

2

A64 − Fn=0.00A64 − Fn=0.04A64 − Fn=0.08A64 − Fn=0.12

101

1 1.5 2 2.5 3 3.51

1.5

2

2.5

3

3.5

4x 10

7

Tunning − We/Wn

ton

.m2

A66 − Fn=0.00A66 − Fn=0.04A66 − Fn=0.08A66 − Fn=0.12

102

1 1.5 2 2.5 3 3.52

3

4

5

6

7

8

9

10

11x 10

4

Tunning − We/Wn

ton.m

.rad/s

B15 − Fn=0.00B15 − Fn=0.04B15 − Fn=0.08B15 − Fn=0.12

103

1 1.5 2 2.5 3 3.5−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5x 10

5

Tunning − We/Wn

ton.m

.rad/s

B26 − Fn=0.00B26 − Fn=0.04B26 − Fn=0.08B26 − Fn=0.12

104

1 1.5 2 2.5 3 3.50

0.5

1

1.5

2

2.5

3x 10

5

Tunning − We/Wn

ton

.m.r

ad

/s

B35 − Fn=0.00B35 − Fn=0.04B35 − Fn=0.08B35 − Fn=0.12

105

1 1.5 2 2.5 3 3.5−1

0

1

2

3

4

5

6

7x 10

5

Tunning − We/Wn

ton.m

2.r

ad/s

B46 − Fn=0.00B46 − Fn=0.04B46 − Fn=0.08B46 − Fn=0.12

106

1 1.5 2 2.5 3 3.52

3

4

5

6

7

8

9

10

11x 10

4

Tunning − We/Wn

ton.m

.rad/s

B51 − Fn=0.00B51 − Fn=0.04B51 − Fn=0.08B51 − Fn=0.12

107

1 1.5 2 2.5 3 3.5−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1x 10

5

Tunning − We/Wn

ton.m

.rad/s

B53 − Fn=0.00B53 − Fn=0.04B53 − Fn=0.08B53 − Fn=0.12

108

1 1.5 2 2.5 3 3.50.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2x 10

7

Tunning − We/Wn

ton

.m2

.ra

d/s

B55 − Fn=0.00B55 − Fn=0.04B55 − Fn=0.08B55 − Fn=0.12

109

1 1.5 2 2.5 3 3.50

2

4

6

8

10

12

14

16

18x 10

4

Tunning − We/Wn

ton.m

.rad/s

B62 − Fn=0.00B62 − Fn=0.04B62 − Fn=0.08B62 − Fn=0.12

110

1 1.5 2 2.5 3 3.5−2

−1

0

1

2

3

4

5

6

7x 10

5

Tunning − We/Wn

ton.m

2.r

ad/s

B64 − Fn=0.00B64 − Fn=0.04B64 − Fn=0.08B64 − Fn=0.12

111

1 1.5 2 2.5 3 3.50

0.5

1

1.5

2

2.5x 10

7

Tunning − We/Wn

ton

.m2

.ra

d/s

B66 − Fn=0.00B66 − Fn=0.04B66 − Fn=0.08B66 − Fn=0.12

112

A.8.2 Forcas e Momentos de Excitacao

Aproamento: 180 graus

1 1.5 2 2.5 3 3.50

500

1000

1500

2000

2500

3000

Tunning − We/Wn

ton

F11 − Fn=0.00F11 − Fn=0.04F11 − Fn=0.08F11 − Fn=0.12

113

1 1.5 2 2.5 3 3.50

1

2

3

4

5

6x 10

−4

Tunning − We/Wn

ton

F21 − Fn=0.00F21 − Fn=0.04F21 − Fn=0.08F21 − Fn=0.12

114

1 1.5 2 2.5 3 3.50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2x 10

4

Tunning − We/Wn

ton

F31 − Fn=0.00F31 − Fn=0.04F31 − Fn=0.08F31 − Fn=0.12

115

1 1.5 2 2.5 3 3.50

0.5

1

1.5

2

2.5

3x 10

−3

Tunning − We/Wn

ton

.m

F41 − Fn=0.00F41 − Fn=0.04F41 − Fn=0.08F41 − Fn=0.12

116

1 1.5 2 2.5 3 3.50

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5x 10

5

Tunning − We/Wn

ton

.m

F51 − Fn=0.00F51 − Fn=0.04F51 − Fn=0.08F51 − Fn=0.12

117

1 1.5 2 2.5 3 3.50

100

200

300

400

500

600

700

800

900

Tunning − We/Wn

ton

.m

F61 − Fn=0.00F61 − Fn=0.04F61 − Fn=0.08F61 − Fn=0.12

Aproamento: 175 graus

118

1 1.5 2 2.5 3 3.50

500

1000

1500

2000

2500

3000

Tunning − We/Wn

ton

F11 − Fn=0.00F11 − Fn=0.04F11 − Fn=0.08F11 − Fn=0.12

119

1 1.5 2 2.5 3 3.50

100

200

300

400

500

600

Tunning − We/Wn

ton

F21 − Fn=0.00F21 − Fn=0.04F21 − Fn=0.08F21 − Fn=0.12

120

1 1.5 2 2.5 3 3.50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2x 10

4

Tunning − We/Wn

ton

F31 − Fn=0.00F31 − Fn=0.04F31 − Fn=0.08F31 − Fn=0.12

121

1 1.5 2 2.5 3 3.50

500

1000

1500

2000

2500

Tunning − We/Wn

ton

.m

F41 − Fn=0.00F41 − Fn=0.04F41 − Fn=0.08F41 − Fn=0.12

122

1 1.5 2 2.5 3 3.50

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5x 10

5

Tunning − We/Wn

ton

.m

F51 − Fn=0.00F51 − Fn=0.04F51 − Fn=0.08F51 − Fn=0.12

123

1 1.5 2 2.5 3 3.50

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5x 10

4

Tunning − We/Wn

ton

.m

F61 − Fn=0.00F61 − Fn=0.04F61 − Fn=0.08F61 − Fn=0.12

124

Aproamento: 170 graus

1 1.5 2 2.5 3 3.50

500

1000

1500

2000

2500

3000

Tunning − We/Wn

ton

F11 − Fn=0.00F11 − Fn=0.04F11 − Fn=0.08F11 − Fn=0.12

125

1 1.5 2 2.5 3 3.5200

400

600

800

1000

1200

1400

Tunning − We/Wn

ton

F21 − Fn=0.00F21 − Fn=0.04F21 − Fn=0.08F21 − Fn=0.12

126

1 1.5 2 2.5 3 3.50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2x 10

4

Tunning − We/Wn

ton

F31 − Fn=0.00F31 − Fn=0.04F31 − Fn=0.08F31 − Fn=0.12

127

1 1.5 2 2.5 3 3.5500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

4500

5000

Tunning − We/Wn

ton

.m

F41 − Fn=0.00F41 − Fn=0.04F41 − Fn=0.08F41 − Fn=0.12

128

1 1.5 2 2.5 3 3.50

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5x 10

5

Tunning − We/Wn

ton

.m

F51 − Fn=0.00F51 − Fn=0.04F51 − Fn=0.08F51 − Fn=0.12

129

1 1.5 2 2.5 3 3.50

1

2

3

4

5

6

7x 10

4

Tunning − We/Wn

ton

.m

F61 − Fn=0.00F61 − Fn=0.04F61 − Fn=0.08F61 − Fn=0.12

130

Aproamento: 165 graus

1 1.5 2 2.5 3 3.50

500

1000

1500

2000

2500

3000

Tunning − We/Wn

ton

F11 − Fn=0.00F11 − Fn=0.04F11 − Fn=0.08F11 − Fn=0.12

131

1 1.5 2 2.5 3 3.5200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

2000

Tunning − We/Wn

ton

F21 − Fn=0.00F21 − Fn=0.04F21 − Fn=0.08F21 − Fn=0.12

132

1 1.5 2 2.5 3 3.50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2x 10

4

Tunning − We/Wn

ton

F31 − Fn=0.00F31 − Fn=0.04F31 − Fn=0.08F31 − Fn=0.12

133

1 1.5 2 2.5 3 3.51000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

Tunning − We/Wn

ton

.m

F41 − Fn=0.00F41 − Fn=0.04F41 − Fn=0.08F41 − Fn=0.12

134

1 1.5 2 2.5 3 3.50

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5x 10

5

Tunning − We/Wn

ton

.m

F51 − Fn=0.00F51 − Fn=0.04F51 − Fn=0.08F51 − Fn=0.12

135

1 1.5 2 2.5 3 3.50

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10x 10

4

Tunning − We/Wn

ton.m

F61 − Fn=0.00F61 − Fn=0.04F61 − Fn=0.08F61 − Fn=0.12

136

Apendice B

Diagramas de Estabilidade -

Variando Amplitude de Onda e

Frequencia de Onda

Nessa secao sao mostrados os diagramas de estabilidade para os aproamentos de

180, 175, 170 e 165 graus variando em cada diagrama os parametros “Amplitude de

Onda” e “Frequencia de Onda”.

B.1 Aproamento: 180 graus

137

1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2 3.40

1

2

3

4

5

6

Tunning − We/Wn

Aw

[m

]Fn = 0.00

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

Figura B.1: Aproamento de 180graus, Fn = 0.00

B.2 Aproamento: 175 graus

138

1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2 3.40

1

2

3

4

5

6

Tunning − We/Wn

Aw

[m

]Fn = 0.04

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

Figura B.2: Aproamento de 180 graus, Fn = 0.04

B.3 Aproamento: 170 graus

139

1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2 3.40

1

2

3

4

5

6

Tunning − We/Wn

Aw

[m

]Fn = 0.08

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

Figura B.3: Aproamento de 180 graus, Fn = 0.08

B.4 Aproamento: 165 graus

140

1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2 3.40

1

2

3

4

5

6

Tunning − We/Wn

Aw

[m

]

Fn = 0.12

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

Figura B.4: Aproamento de 180 graus, Fn = 0.12

141

1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2 3.40

1

2

3

4

5

6

Tunning − We/Wn

Aw

[m

]

Fn = 0.00

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

Figura B.5: Aproamento de 175 graus, Fn = 0.00

142

1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2 3.40

1

2

3

4

5

6

Tunning − We/Wn

Aw

[m

]

Fn = 0.04

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

Figura B.6: Aproamento de 175 graus, Fn = 0.04

143

1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2 3.40

1

2

3

4

5

6

Tunning − We/Wn

Aw

[m

]

Fn = 0.08

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

Figura B.7: Aproamento de 175 graus, Fn = 0.08

144

1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2 3.40

1

2

3

4

5

6

Tunning − We/Wn

Aw

[m

]

Fn = 0.12

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

Figura B.8: Aproamento de 175 graus, Fn = 0.12

145

1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2 3.40

1

2

3

4

5

6

Tunning − We/Wn

Aw

[m

]

Fn = 0.00

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

Figura B.9: Aproamento de 170 graus, Fn = 0.00

146

1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2 3.40

1

2

3

4

5

6

Tunning − We/Wn

Aw

[m

]

Fn = 0.04

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

Figura B.10: Aproamento de 170 graus, Fn = 0.04

147

1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2 3.40

1

2

3

4

5

6

Tunning − We/Wn

Aw

[m

]

Fn = 0.08

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

Figura B.11: Aproamento de 170 graus, Fn = 0.08

148

1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2 3.40

1

2

3

4

5

6

Tunning − We/Wn

Aw

[m

]

Fn = 0.12

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

Figura B.12: Aproamento de 170 graus, Fn = 0.12

149

1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2 3.40

1

2

3

4

5

6

Tunning − We/Wn

Aw

[m

]

Fn = 0.00

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

Figura B.13: Aproamento de 165 graus, Fn = 0.00

150

1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2 3.40

1

2

3

4

5

6

Tunning − We/Wn

Aw

[m

]

Fn = 0.04

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

Figura B.14: Aproamento de 165 graus, Fn = 0.04

151

1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2 3.40

1

2

3

4

5

6

Tunning − We/Wn

Aw

[m

]

Fn = 0.08

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

Figura B.15: Aproamento de 165 graus, Fn = 0.08

152

1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2 3.40

1

2

3

4

5

6

Tunning − We/Wn

Aw

[m

]

Fn = 0.12

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

Figura B.16: Aproamento de 165graus, Fn = 0.12

153

Apendice C

Diagramas de Estabilidade -

Variando Amplitude de Onda e

Velocidade da Embarcacao

Nessa secao e mostrado o diagrama de estabilidade para o aproamento de 180

graus variando os parametros “Amplitude de Onda” e “Velocidade da Embarcacao”.

154

C.1 Aproamento: 180 graus

1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2 3.40

1

2

3

4

5

6

Tunning − We/Wn

Aw

[m

]

Varying Fn

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

Figura C.1: Aproamento de 180graus, Variando a Velocidade

155