26 Física na Escola, v. 7, n. 1, 2006Usando frações contínuas em eletricidade

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AFísica e a Matemática possuemuma forte relação de interdis-ciplinaridade em seus conteú-

dos, principalmente no Ensino Médio.Isso fica claro para o aluno desde oinício, quando ele se defronta com osprimeiros problemas de cinemática,tendo que calcular, tipicamente,espaços, velocidades e acelerações, oque requer conhecimentos matemá-ticos prévios, relacionados às funçõesde 1° e 2° grau e seus respectivos grá-ficos. Em seguida, no estudo da dinâ-mica, o conceito de vetor e as noçõesbásicas de trigonometria (principal-mente no cálculo de projeções) serãofundamentais para um bom apren-dizado das leis de Newton. Na verda-de, essa relação interdisciplinar serámantida ao longo de todo o EnsinoMédio, de forma que cada novo tópicode Física vai, em geral, requerer oaprendizado de novos pré-requisitosmatemáticos por parte do aluno.Dessa forma, fica claro que a ausênciade alguns temas no currículo deMatemática pode prejudicar o apren-dizado dos tópicos de Física a eles rela-cionados. Há casos, inclusive, em queo não conhecimento de determinadostemas impossibilita os alunos de resol-ver problemas correlatos. Neste texto,vamos relatar um destes casos, o qualocorreu recentemente conosco aopropormos um problema de eletrici-dade aos nossos alunos. Para nossa

Divaldo P.F. JúniorColégio Classe, Goiânia, GOe-mail: portilho_jr@yahoo.com.br

Fábio M.S. LimaInstituto de Física,Universidade de Brasíliae-mail: fabio@fis.unb.br

O tema frações contínuas tem recebido poucaatenção por parte dos professores de Matemá-tica do Ensino Médio, sendo que alguns nemsequer tocam neste assunto em suas aulas. Emconseqüência, a grande maioria dos alunos nãoconsegue resolver problemas usando este im-portante “pré-requisito” matemático. Nesteartigo, apresentamos um problema de eletrici-dade que foi considerado impossível pelos nos-sos alunos, e mesmo por alguns professorescolegas nossos. Após uma breve introdução àsfrações contínuas, mostraremos como elas po-dem ser usadas para representar númerosirracionais, tipo , com r e s sendo nú-meros naturais. Usando a representação emfrações contínuas desses irracionais, o problemaproposto é, então, resolvido de forma simplese criativa.

surpresa, nenhum deles conseguiuchegar à resposta certa, o mesmoocorrendo, posteriormente, com al-guns colegas nossos, professores deFísica de outras escolas. Após apresen-tar a resolução correta do problema econversar com os alunos, constata-mos que isto se deu por falta de conhe-cimento de um pré-requisito mate-mático que, de fato, raramente temsido ensinado nas aulas de Matemá-tica: as frações contínuas.

O problema em questão é umexercício de eletricidade envolvendouma associação mista de resistoresidênticos, cada um com resistência R,conforme ilustrado na Fig. 1. As reti-cências horizontais indicam que onúmero de sub-malhas quadradas(malhas menores envolvendo quatroresistores, um em cada lado do qua-drado) é muito grande, podendo serconsiderado como infinito. O exercícioconsiste em determinar a resistênciaequivalente entre os terminais docircuito (à esquerda da Fig. 1).

Antes de resolvê-lo, faremos umabreve introdução às frações contínuas,uma das mais importantes ferramen-tas em Análise Numérica, Teoria dosNúmeros e Matemática Computacio-nal [1]. Isso porque, apesar de ser con-ceitualmente simples, esse assuntonão tem recebido o devido destaquenos livros-texto usualmente adotadosno Ensino Médio.

Figura 1. Associação mista de resistores. Observe que o circuito é formado por umnúmero muito grande de sub-malhas quadradas.

27Física na Escola, v. 7, n. 1, 2006 Usando frações contínuas em eletricidade

Comecemos por verificar comopodemos usar uma fração contínuapara representar um número racio-nal. Por definição, número racional étodo e qualquer número que pode serescrito como uma razão p/q, onde p éum inteiro p e q é um natural (q > 0).Para obter a representação em fraçãocontínua de um tal número, basta quese façam aplicações sucessivas doalgoritmo de Euclides para a divisãode inteiros. Assim, fazemos p =a0q +r0, com r0 < q, sendo únicos osinteiros a0 e r0. Logo,

.

Usando o mesmo raciocínio paraa fração q/r0, teremos um único parde inteiros a1 e r1 tais que q = a1r0 +r1, com r1 < r0 < q, o que nos leva a

. Logo,

.

.

Usando o mesmo tratamento para afração r0/r1, e assim sucessivamente,teremos:

.

Isso mostra que todo número ra-cional possui uma representação emfração contínua que lhe é equivalente.Os números ai, com i = 0, 1, ..., n,são chamados de elementos da fra-ção contínua, os quais podem ser or-ganizados na forma [a0; a1, a2, ..., an]para representar a fração contínua na,assim chamada, notação simplifi-cada. As propriedades dos númerosracionais permitem mostrar que todonúmero racional possui uma expan-são em fração contínua com umnúmero finito de elementos (ou se-ja, um número finito de somas e divi-sões), como pode ser visto em Moreira[2]. Por outro lado, os números irra-cionais requerem um número infini-to de elementos para serem repre-

sentados em frações contínuas, istoé, a fração contínua será do tipo [a0;a1, a2,...], conforme mostrado porMoreira [2].

Estamos particularmente interes-sados em obter a fração contínuaequivalente a um irracional do tipo

, com r e s naturais e s ≠ m2

(m ∈ ù), assim como em obter o irra-cional a partir da sua represen-tação em fração contínua infinita.

Para tal, comecemos com uma ta-refa mais simples, qual seja obter a fra-ção contínua equivalente a para ocaso em que n e um número natural(n > 0) porém n ≠ m2 (m ∈ ù), ou seja,um número irracional quadrático.Conforme discutido por Carneiro [3],isso pode ser feito seguindo-se umalgoritmo bastante simples. Tomemoscomo exemplo o número . Observeque 3 pertence ao intervalo aberto (1,4), cujos extremos são quadrados per-feitos. Assim, 12 < < 22 e, con-seqüentemente, 1 < < 2. Portan-to, pode ser escrito na forma 1 + u,onde u é algum número irracionalpositivo e menor que 1. Ou seja:

i) Existe um número v > 1 tal que

. Logo , o que nos

permite acrescentar que v < 2. Usan-do este fato, podemos escrevê-lo como

, com y > 1. Assim, ,

o que implica que . Destaforma, 2 < y < 3.

ii) Podemos escrever y como ,

com z > 1, logo , o que

implica em z ser igual a , que é

o v do passo i), acima.Note que este processo torna-se

cíclico, indo do passo i) ao ii) e do ii)ao i), repetidamente. Isto fornece:

,

ou seja, = [1; 1, 2, 1, 2,…], a qualé uma fração contínua infinita. Noteque ela é também periódica, pois oselementos (com exceção de a0) apare-cem de forma repetida (neste exemplo,dois a dois). De fato, pode-se mostrarque todo irracional quadrático possuirepresentação em fração contínua in-finita, porém periódica [1]. Vejamoscomo esta seqüência converge para analisando os valores numéricos dosquocientes parciais (também chama-dos de convergentes), na Tabela 1. No-

Tabela 1.

Elementos somados Quocientes parciais Valor numérico

1 1 1

2 2

3

4

5

. . .

. . .

. . .∞ [1; 1, 2, 1, 2, 1, 2,...] 1,73205080...

28 Física na Escola, v. 7, n. 1, 2006

te que os resultados se aproximam dovalor exato alternadamente por faltae por excesso, comportamento estecaracterístico das frações contínuas(ver demonstração na seção 10 daRef. [1] e na Ref. [4]).

Embora a convergência não sejatão rápida quanto a fornecida por ou-tros métodos numéricos mais com-plexos, o algoritmo é bem simples esempre fornece uma representação pe-riódica para quando esta raiz nãoé exata. Pode-se mostrar, inclusive,que, quando n for do tipo m2 + 1 oum2 - 1 (m ∈ ù), a representação emfração contínua de será e

, respectivamente [3].Vejamos, agora, como obter o nú-

mero irracional , com r e s racio-nais, correspondente a uma dada fra-ção contínua periódica. Tomemos co-mo exemplo um caso interessante, de-vido a aspectos de convergência, que éo da fração contínua que representa onúmero irracional Φ (proporção áu-rea), o qual foi discutido em detalhesem um artigo recente da Física na Es-cola [5]. Observe, na Tabela 2, os valoresnuméricos dos quocientes parciais.

Note que as frações obtidas na co-luna da direita são exatamente as ra-zões Fn/Fn-1, n ≥ 2, entre dois númerosconsecutivos da “seqüência de Fibo-nacci”, a qual recebeu especial atençãopor parte da Dona Fifi [5]. Lembremosque essa seqüência é definida de formarecursiva, tomando-se F1 = F2 = 1 eFn = Fn-1 + Fn-2, œ n > 2. Note que aconvergência é lenta, fato já observadopor Dona Fifi quando ela afirma que“talvez o número Φ seja o mais irra-cional dos números irracionais” [5],referindo-se justamente à lentidãocom que os quocientes parciais seaproximam de Φ, cujo valor exatocom dez casas decimais é dado na últi-ma linha da Tabela 2. Usando a fór-mula recursiva para a seqüência deFibonacci, temos:

,

e portanto, .

Como Fn-1 = Fn-2 + Fn-3, então:

.

Usando frações contínuas em eletricidade

Novamente, podemos fazer Fn-2 =Fn-3 + Fn-4 e gerar mais um elementoda fração contínua, e assim sucessi-vamente, o que nos leva a:

.

Tomando o limite n → ∞ para a razão

, temos:

.

Portanto, , ou, equivalen-

temente, x2 - x - 1 = 0. Esta equaçãodo 2° grau tem duas raízes reais:

. Como x > 0, pois , œ n ≥

2, então podemos desprezar a raiz

negativa, restando . Esta

solução também pode ser escrita

como , forma em que ficam

evidentes os valores de r e s, os quaisdesejávamos obter.

Vejamos, agora, como podemosusar as frações contínuas para resol-ver o problema proposto no início des-te artigo. Lembremos que a associaçãoem série de duas resistências R1 e R2

leva a uma resistência equivalenteRs = R1 + R2, ao passo que a associa-ção em paralelo leva a uma resistência

equivalente Rp dada por ,

ou seja, .

Montemos o circuito da Fig. 1gradativamente. Chamaremos de Rna resistência equivalente do circuito

Tabela 2.

Elementos somados Quocientes parciais Valor numérico

1 1 1

2 2

3

4

5

. . .

. . .

. . .

10 [1; 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1]

. . .

. . .

. . .∞ [1; 1, 1, 1, 1, 1, 1, ...] 1,6180339887...

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Referências[1] A. Ya. Khinchin, Continued Fractions

(Dover Science, New York, 1997).[2] C.G. Moreira, Eureka! 33333, 43 (1998).[3] J.P.Q. Carneiro, Revista do Professor

de Matemática 3434343434, 36 (1997).[4] N. Beskin, Frações Contínuas (Ed.

Unijuí, Ijuí, 2001).[5] M.E.G. Alencar (Dona Fifi), Física na

Escola 55555(2), 4 (2004).

apresentado no n-ésimo passo. Assim:1° passo:

R1 = R + R + R = 3R.2° passo:

.

3° passo:

, ou seja, .

4° passo:

, ou seja,

.

n-ésimo passo:Observando o padrão recursivo

dos passos anteriores, temos:

.

Chamando de x o valor da resis-tência equivalente do circuito quandon tende ao infinito, temos que:

,

logo , o que nos leva a

x2 - 2Rx - 2R2 = 0, que é uma equaçãodo 2° grau com duas raízes reais. Sãoelas . Obviamente, x nãopode ser negativo, o que nos obriga aescolher como solução.Esta é a resistência equivalente deseja-da. Por fim, para escrever esta soluçãona forma de uma fração contínua,basta usar o resultado que obtivemospara no início deste artigo, de modoque , o que nospermite escrever:

.