distribuição características exemplo

FNC 0376 - Física Moderna 2 Aula 14

1

Propriedades das distribuições

Gás de elétronsPartículas idênticas,

indistinguíveis, que obedecem ao Princípio de Exclusão (spin

semi-inteiro)Fermi-Dirac

Gás de fótons, 4He

Partículas idênticas, indistinguíveis, que não

obedecem ao Princípio de Exclusão (spin inteiro ou nulo)

Bose-Einstein

Gás idealPartículas idênticas, mas distinguíveisBoltzmann

ExemploCaracterísticasDistribuição


2

Calor específico de um sólido cristalino Demonstrada a partir do teorema de eqüipartição: Energia interna de um sólido é constituída por energia de vibração dos átomos (energia cinética + energia potencial das vibrações)

Lei de Dulong-Petit

E energia de vibração de cada átomo é dada por:

23

22

21

222

21

21

21

21

21

21 zkykxkmvmvmvE zyx +++++=

A energia média por átomo é 3kT e a energia total contida em um mol é:

RdT

RTddTdUCRTkTNU V 3)3( Mas . 33 A =====


3

Einstein (1907): osciladores quantizados, as energias dos átomos nos sólidos pode assumir apenas certos valores.

Lei de Dulong-Petit

CV → 0 se T → 0 K,

Teoria e valores experimentais não

concordam

Pb como Au para Tamb obedecem a Lei de Dulong-Petit

Calor específico de um sólido cristalino R

dTRTd

dTdUCRTkTNU V 3)3( Mas . 33 A =====


4

Considerar um mol de sólido composto por NA átomos e que estes estão livres para vibrar em três dimensões em relação a um ponto fixo. Einstein supôs que todos os átomos estariam vibrando com a mesma freqüência ω. Cada um destes osciladores só poderia assumir valores ωhnEn =

Einstein energia média dos osciladores usando o mesmo procedimento de Planck para radiação de corpo negro

∫∞

−==

0/ 1

)( kTB edEEEnE ω

ωh

h

Altas temperaturas ħω/kt é pequeno:

kTkTe

xxe

kT

x

ωωω hhh ≈−

++≈−

++=

1...11

...2/1

/

2 kTE =


5

A energia dos 3NA osciladores é portanto:

CV → 0 se T → 0 K e CV → 3NAk = 3R se T →∞.

Tenho uma faixa de temperatura em que o resultado clássico pode ser usado, temperatura critica:

kTE

ωh=

Conhecida como temperatura de Einstein. Como as forças de ligação dos átomos são maiores nos sólidos duros, que nos sólidos macios

A freqüência de oscilação dos átomos e a temperatura de Einstein devem ser maiores nos sólidos duros


6

No diamante a TE= 1300K e portanto a 300K (ambiente) CV é muito menor que 3R

Calor específico molar do diamante

A concordância entre a teoria e os dados experimentais mostra a que a proposta feita por Einstein estácorreta, mas para temperaturas muito baixas os pontos experimentais estão acima da curva Modelo de Einstein usou modelo simplificado

todos os átomos oscilam com a mesma freqüência

|


7

Dulong-Petit

Debye

Θ → temperatura de DebyeΘ = ħωD/k

velocidade das ondas elásticas no sólido

3/1A

4π9

=Θ

VN

khv

Um modelo mais realista foi proposto por P. Debye

Tratou o sólido como um sistema de osciladores acoplados, capazes de oscilar com qualquer freqüência entre 0 e o valor máximo ωDusada para definir a temperatura de Debye

ΘFe = 465 KΘAl = 395 KΘAg = 210 K


8

O He Líquido

Qual a melhor distribuição para o He líquido, a 4,2 K, cuja densidade éde 0,124 g/cm3:

( )( ) VmkT

NheNh

VmkTe 2/3

3

3

2/3

π2π2

=⇒= −ααVimos que

⇒ e-α << 1 para que a função de distribuição de Boltzmann possa ser usada.

32832323

atomos/m 109,1cm/m) 10(g/cm 124,0g/mol 4106

⋅=⋅⋅⋅

=VN

( )( )

( )( )

110105,1106,3

eV 25eV 4π2109,1eV.m 24,1

eV 0,025GeV 4π2109,1keV.nm 24,1

64

10

2/3

103

2/3

283

>>≈⋅⋅

=⋅⋅

⋅⋅=

=⋅⋅

⋅⋅=−αe

a distribuição de Boltzmann não descreve adequadamente o comportamento do Helíquido: usar Bose-Einstein

Calcule para 1 mol de He em CNTP


9

F. London (1938): sugeriu tratar o He líquido como um gás ideal que obedece a distribuição de Bose-Einstein (para entender o comportamento do He em baixas temperaturas).

Keesom e Wolfke (1928): descontinuidade da curva relacionada a transição de fase (He1 → He2). O He2 seria composto por 2 fluidos: uma fração normal, com as mesmas características do He1 e uma fração superfluida (fluído de viscosidade nula). Na fase superfluida, todos os átomos de He estariam no mesmo estado quântico.

Em 1924, Kamerlingh-Onnes e Bokshaviam medido a densidade do He em função de T e observado uma anomalia em T=2,17K

He2

He1

Quanto menor a T, maior a fração do estado superfluido.


10

106

Acima do ponto λ o He ferve violentamente e deixa de fazê-lo abaixo, embora continue evaporando → aumento da condutividade térmica quando Heultrapassa o ponto λ. O He2 conduz melhor o calor que qualquer metal (2000 vezes maior do que a do cobre à Tamb).

A transição de fase He1 → He2 é clara na curva do calor específico em função da temperatura. O ponto de transição éconhecido como ponto λ:


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Transição de He1 para He2

Abaixo do pontoλ o He pára de ferver e o superfluido passa pelos estreitos canais do fundo do recipiente

Acima do pontoλ o He ferve violentamente

He2He1


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Efeito do filme migrante:

Quando um recipiente com He líquido a uma temperatura abaixo do ponto λ é mergulhado em um banho de He líquido a mesma temperatura e depois retirado, um filme de superfluído sobe pelas paredes internas do recipiente, desce pelas paredes externas e pinga no reservatório abaixo até o nível do liquido no interior se tornar igual ao nível de líquido no exterior ou o recipiente se esvaziar.


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O 3He superfluído

Durante muito tempo acreditava-se que o 3He não podia se tornar um superfluído já que o núcleo de 3He (átomo como um todo) com spin ½e portanto deve obedecer o princípio de exclusão de Pauli.

Mas no início de 1970, Lee, Osheroff e Richardson mostraram que a uma temperatura de 2,7mK, os spins de pares de átomos de 3He podem se alinhar paralelamente, criando bosons de spin 1, o que permite que o líquido passe para o estado superfluído

Mais tarde foram descobertos mais dois estados superfluídos do 3HeSpin 0 (pares de átomos com spins antiparalelos) com Tc=1,8mKSpin 1 (criado quando um campo magnético alinha os spins dos pares dos átomos)

Os três cientistas receberam o prêmio Nobel de física em 1996 pela descoberta


14

Na distribuição de Bose-Einstein o número de partículas no intervalo dE é dado por n(E)dE, onde n(E) 1

)()( / −= ktEee

EgEn α

( )

( )∫

∫ ∫∫∞

∞ ∞∞

−=

=−

===

0

2/1

3

2/30 0

2/1

3

2/3

0

12π2

12π2)()()(

dxeex

hVmkT

dEeeE

hVmdEEfEgdEEnN

x

kTEBose

α

α

com x = E/kT

O problema com a nossa contagem de número de estados, é que usamos uma distribuição contínua de energias. Quando E é grande, isso não é um problema, pois a densidade de estados é muito grande. Mas, quando E → 0, temos problemas, pois, g(E) ∝ E1/2 ⇒ g(E) = 0 se E = 0.

Isso não é um problema para um gás de férmions, onde cada estado sópode ser ocupado por 2 férmions de spins opostos. Ou seja, estaríamos ignorando 2 partículas em 1 mol (1022). Mas, no caso de bósons, principalmente quando T é baixa, a probabilidade de haver muitos bósons no estado de energia mais baixa é muito grande e aí nossa contagem erra feio. Ou seja, nossa condição de normalização deixa de valer abaixo de uma temperatura crítica, TC.


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Esta temperatura Tc corresponde ao menor valor possível de α, α=0. E isto significa que em temperaturas muito baixas existe um no significativo de partículas no estado fundamental

Vamos então assumir a normalização como:

( ) ( ) )(1

2π2 2/30

0

2/1

3

2/3

0 αα GkTAVndxeex

hVmkTnN x +=

−+= ∫

∞

Com: ∫∞

−=

0

2/1

1)( dx

eexG xαα incluir explicitamente o

estado fundamental

Aí podemos discutir 2 limites:αα −→ eG

2π)(

612,22π)0( →G

1) Para α muito grande:

e 2) para α = 0:

( ) )(2/30 αGkTAVNn −=


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Quando α ~ 1/N (eα ≈ 1) já é suficientemente pequeno para que possamos usar o resultado de G(0) e determinar o número de partículas no estado fundamental:

( ) ( ) 612,22π)0( 2/32/3

0 kTAVNGkTAVNn −=−=

−=

2/3

0 1CT

TNn2/3

0 1

−=

CTT

NnOu:

( )3

2/322hmkA π

=

VN

=ρ

3/2

π612,221

=

AVN

kTC

; e

3/22

612,2π2

=

ρkm

TCh


17

3/22

612,2π2

=

ρkm

TCh No caso do He, TC:

⇒

⋅=

− 3/2328

2

22

612,2m 109,1π2

kmccTC

h

( )

K 74,2K 8,6

3,75π2

m 1027,7eV.K 108,6GeV 4

MeV.fm) π(2002 3/232715

2

=⋅

=

=⋅⋅⋅

=⇒ −−-CT

O valor de 2,74K pode ser considerado razoável se considerarmos que no modelo teórico usamos a hipótese de que o Helíquido se comportava como um gás ideal.

Abaixo dessa temperatura (na verdade 2,17 K), a fração de átomos no estado fundamental (com propriedades de superfluido) aumenta.


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Boltzmann como boa aproximação das distribuições quânticas Quando o no médio de partículas por estado quântico é muito menor do que 1, as distribuições quânticas se confundem com a clássica

( )( )

( )( )

kTegg

nn 12

1

2

1

2εε

εε

εε −

−=

Que fornece o no relativo de partículas por estado quântico a duas energias diferentes

Fator de Boltzmann:

Podemos usá-lo para determinar a razão de ocupação de estados em um sistema quântico, quando ε >> kT. Exemplo: colisões térmicas de átomos em um gás à temperatura T. Estados excitados são pouco populados ⇒ podemos usar o fator de Boltzmann para determinar as populações relativas e determinar as correspondentes intensidades de transição. Ou vice-versa, como discutimos no caso da determinação de temperatura de estrelas a partir da observação de espectros.Vamos usar o fator de Boltzmann para estudar o funcionamento do LASER.

Light Amplification by Stimulated Emission of RadiationAmplificação de Luz pela Emissão Estimulada de Radiação

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