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Distribuio de Probabilidades Aula 04 Prof. Christopher Freire Souza Centro de Tecnologia Universidade Federal de Alagoas www.ctec.ufal.br/professor/cfs

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Objetivos Promover o entendimento do que so modelos de distribuio de probabilidade Desenvolver habilidades para identificar quais modelos devem ser aplicados para cada estudo Desenvolver habilidades para elaborar modelos de distribuio de probabilidade. 2 Christopher Souza: Distribuio de probabilidades

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Relevncia do contedo Um modelo de distribuio de probabilidades pode ser usado para interpolar ou extrapolar probabilidades ou quantis no contidos nas observaes amostrais. 3 Christopher Souza: Distribuio de probabilidades

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Contedo Fundamentos Variveis discretas Variveis contnuas Estatsticas Amostrais 4 Christopher Souza: Distribuio de probabilidades

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Fundamentos Conceitos Parmetros Distribuies 5 Christopher Souza: Distribuio de probabilidades

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Fundamentos (Conceitos) Variveis aleatrias Tm um nico valor numrico para cada resultado de um experimento. Discretas Assumem apenas valores inteiros. Contnuas Podem assumir valor mensurvel em escala contnua, i.e., sem saltos ou interrupes. Distribuio de probabilidades descrio que apresenta a probabilidade para cada valor da varivel aleatria. Observe que para todo valor individual de x, 0P(x) 1 e que para todos os valores possveis de x,. A distribuio de probabilidade freqentemente expressa por um grfico, tabela ou equao. 6 Christopher Souza: Distribuio de probabilidades

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Fundamentos (Conceitos) Funo massa de probabilidade Indica com que probabilidade a varivel aleatria x assume o valor x o, i.e., P(x=x o ) = f x (x o ). A funo massa de probabilidade se aplica a variveis discretas. Funo densidade de probabilidade Equivale funo massa de probabilidade, sendo que se aplica a variveis contnuas..,., 7 Christopher Souza: Distribuio de probabilidades

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Fundamentos (Conceitos) Funo de distribuio acumulada de probabilidades Indica com que probabilidade a varivel x menor ou igual ao valor x o, i.e.,.,., ou 8 Christopher Souza: Distribuio de probabilidades

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Fundamentos (Conceitos) Modelos de distribuio de probabilidades Equaes (P(x=x 0 )=f(x, 1, 2,..., n )) que sintetizam o comportamento de variveis aleatrias (x) quanto probabilidade de ocorrncia de seus valores (x 0 ). Os coeficientes das equaes ( 1, 2,..., n ) possibilitam a particularizao de seu uso para uma amostra de dados. Christopher Souza: Distribuio de probabilidades 9 Distribuio Normal

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Fundamentos (Parmetros) Particularizao de modelos de distribuio por meio da estimao de coeficientes, a partir da estimao dos parmetros pelo clculo da esperana matemtica Esperana matemtica, tambm conhecida como valor esperado (E[x] ou ), representa o valor mdio de uma varivel aleatria x, calculado com as probabilidades de ocorrncia dos valores de x como ponderadores 10 Christopher Souza: Distribuio de probabilidades

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Esperana Matemtica (Propriedades) E[c]=c E[g(X)]=g(x i ).p X (x i ) ou E[g(X)]= g(x i ).f X (x i )dx E[c.g(X)]=c.E[g(X)] E[c 1.g 1 (X) c 2.g 2 (X)]=c 1.E[g 1 (X)] c 2.E[g 2 (X)] E[g 1 (X)]E[g 2 (X)], se g 1 (X)g 2 (X) Estimativa de parmetros por meio da formulao: 11 Christopher Souza: Distribuio de probabilidades Parmetroak Mdia01 Varincia 2 Assimetria 3 Curtose 4

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Esperana Matemtica (Propriedades) =E[X]= x i.p X (x i ) = Var[X]= 2 X = E[(X- ) 2 ]=E[(X-E[X]) 2 ]=E[X 2 ](E[X]) 2 Var[c]=0 Var[c.X]=c 2.Var[X] Var[c.X+d]= c 2.Var[X] Cov[X,Y]= XY =E[(X- X ) (Y- Y )]=E(XY) X. Y Var[XY]= Var[X]+ Var[Y] 2Cov[X,Y] XY X. Y 12 Christopher Souza: Distribuio de probabilidades

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Funo geratriz de momentos Funo geratriz Primeiro momento: Expanso por srie de Maclaurin 13 Christopher Souza: Distribuio de probabilidades

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Modelos para variveis discretas Binomial Geomtrica Pascal ou Binomial Negativa Poisson Uniforme 14 Christopher Souza: Distribuio de probabilidades

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Distribuio binomial Experimento de Bernoulli: resulta em apenas um dos 2 tipos de respostas as quais so dicotmicas. x i ={0,1} Ex: sim/no, chuva/no-chuva, inunda/no-inunda Processo de Bernoulli: resulta da repetio de experimentos de Bernoulli, cujos resultados so independentes e p a probabilidade de obter o resultado sucesso P(qq 0 )=p, e logo, P(q

Distribuio de Poisson Para n>50 e p

Distribuio Normal (Binomial pela Normal) Christopher Souza: Distribuio de probabilidades 33 Correo para continuidade usa-se o intervalo x-0,5 a x+0,5 na distribuio normal como um representante do valor discreto x na distribuio binomial Ex: P(x>15), onde x segue a distribuio binomial, com e conhecidos? P (x+0,5>15,5) pela distribuio normal, via escore z

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Distribuio Normal (Teorema do limite central) Christopher Souza: Distribuio de probabilidades 34 Dada a disponibilidade de n dados da varivel aleatria independente x, com mdia , desvio e distribuio no exageradamente no-normal, a distribuio de mdias de m valores de x segue a distribuio normal com mdia e desvio / se n for grande o suficiente Quanto maior n, maior a aproximao da distribuio de mdias amostrais da distribuio normal. Se x~N(, ), a aplicao do teorema independe de n. Se n 30, obtm-se uma aproximao razovel normal Para x muito no-normal, sugere-se n >>30. Quando n>0,05N, recomenda- se usar como desvio

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Distribuio Normal (Transformaes normalizantes) Christopher Souza: Distribuio de probabilidades 35 Equao de Box-Cox: onde i designa a posio do dado na amostra e a potncia normalizante. Quando tende a zero, a transformao se aproxima da aplicao de ln. Um critrio para examinar o valor de pode ser avaliar quando 0. Transformaes modificam a magnitude e a escala da informao que estes contm e por esta razo qualquer anlise posterior deve ser transformada de volta. Tcnicas para avaliar o ajuste de dados a uma distribuio, inclusive como determinar se h normalidade para os dados originais ou transformados, sero apresentados no prximo tpico.

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Distribuio Log-normal Christopher Souza: Distribuio de probabilidades 36 Aplicaes em hidrologia estudo de cheias e estiagens, do tamanho de sedimentos e de gotas de chuva Se x est em anlise e y=ln(x) atende critrios da teoria do limite central, y~N( y, y ) FDP: Esperana, Varincia, CV e Assimetria

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Distribuio Log-Normal-3 Christopher Souza: Distribuio de probabilidades 37 Um 3 o coeficiente ( 4 ) pode ser utilizado para permitir melhor ajuste: y=ln(x- 4 )~N( y, y ) FAP: Esperana, Varincia, Assimetria onde.

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Distribuio Exponencial Se subintervalos de Poisson forem muito pequenos, a varivel w que designa tais intervalos pode ser considerada contnua. A probabilidade de que se tenha w 0 intervalos at que o prximo sucesso ocorra pode ser estimado por uma distribuio de Poisson para y=0. Onde 1 =. w 0 e a razo mdia de sucessos por subintervalo Tal distribuio se comporta como a distribuio geomtrica Christopher Souza: Distribuio de probabilidades 38

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Distribuio Exponencial FDP: FAP: Christopher Souza: Distribuio de probabilidades 39

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Distribuio Erlang Christopher Souza: Distribuio de probabilidades 40 Serve estimativa do 3 -simo sucesso para w 0 subintervalos, assim como a distribuio binomial negativa servia a variveis discretas. Para 3 =1, a distribuio obtida a exponencial Para 3 >>0, a distribuio obtida se aproxima da Normal

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Distribuio Gama Christopher Souza: Distribuio de probabilidades 41 Aplicaes em hidrologia precipitao diria, semanal, mensal e anual e de vazes mdias anuais. Supondo que o nmero de sucessos ( 3 ) seja computado como uma varivel contnua, substitui-se ( 3 -1)! pela funo gama FDP: Esperana e Varincia estimadas como na funo Erlang

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Distribuio Gama-3 Christopher Souza: Distribuio de probabilidades 42 Um 3 o coeficiente ( 4 ) pode ser utilizado para permitir melhor ajuste da funo Gama aos dados FAP:

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Distribuio Pearson Distribuies Pearson podem representar oito grandes famlias de distribuio, incluindo a Normal, a Gama e a Beta. Pearson tipo III (Gama-3) apresenta o maior nmero de aplicaes no estudo de freqncia de variveis hidrolgicas, com destaque para vazes e precipitaes mximas anuais. Log-Pearson III = Pearson III (log(x)). Log-Pearson III ~ log-normal, para =0. Para

Distribuio GEV (mximos) Christopher Souza: Distribuio de probabilidades 50 Incorpora as trs formas assintticas se 3 0, a GEV representa a distribuio do tipo I (Gumbel). se 3 >0, a GEV representa a distribuio do tipo II (Frchet), definida para se 3

Distribuio Weibull (mnimos) Christopher Souza: Distribuio de probabilidades 52 FDP (para z 0 > 2, 1 0 e 3 0 ): FAP: Esperana (para 3 >1 ): Varincia (para 3 >2 ): Assimetria Inversa

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Distribuies de estatsticas amostrais Prerrogativas: Variveis originais atendem aos critrios para aplicao do teorema do limite central Variveis aleatrias e independentes Modelos: t de Student 2 F de Snedecor 53 Christopher Souza: Distribuio de probabilidades

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Distribuio t de Student Aplicao para mdias quando: no se conhece a varincia populacional no se tem uma amostra com 30 ou mais dados Varivel aleatria: FDP: Esperana: Varincia: para n e >2 Christopher Souza: Distribuio de probabilidades 54

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Distribuio Aplicao para varincias Varivel aleatria: FDP (~gama(0,5; /2)): FAP: Esperana: Varincia: Assimetria: Christopher Souza: Distribuio de probabilidades 55

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Distribuio F Aplicao para comparao de varincias Varivel aleatria: Para std 1 >std 2 FDP (p/ 1, 2 e F 0 >0): Esperana: Christopher Souza: Distribuio de probabilidades 56